2.1Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Didaktik der AlgebraModul 5
Jürgen Roth
2.2Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Inhalt
Didaktik der Algebra
1 Ziele und Inhalte
2 Terme
3 Funktionen
4 Gleichungen
2.3Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Kapitel 2: TermeDidaktik der Algebra
menti.com ⇒ 18 07 72
2.4Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Inhalt
Kapitel 2: Terme
2.1 Variablenbegriff
2.2 Aspekte des Termbegriffs
2.3 Terme strukturieren
2.4 Lernen der Formelsprache
2.5Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Darstellungen in Beziehung setzen
http://www.juergen-roth.de/dynageo/kreis/kreis_umfang_inhalt.html
2.6Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Darstellungen in Beziehung setzen
Roth (2008). Systematische Variation – Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. Mathematik lehren 146, S. 17-21
www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/trapezflaeche_funktional.html • https://www.geogebra.org/m/dTuCuDs5
2.7Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.1 VariablenbegriffKapitel 2: Terme
2.8Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Variable
Buchstaben
bezeichnen in der Algebra in der Regel Variable.
treten in unterschiedlichen Kontexten auf.
Unbekannte: 2𝑥𝑥 + 1 = 7
Allgemeine Zahl: 𝑥𝑥 � 0 = 0
Veränderliche: 𝑥𝑥 ↦ 2𝑥𝑥 + 1
Platzhalter: 2𝑥𝑥 + 1
sollten einheitlich als „Variable“ bezeichnet werden.
𝑥𝑥𝑥𝑥
2.9Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Klassifizierung von Variablen
Freudenthal (1973) klassifiziert Variable nach der Art ihrer Verwendung:
Unbekannte Die Variable steht für ein Objekt (Zahl bzw. Term), das noch unbekannt ist, prinzipiell aber bestimmt werden kann.
UnbestimmteDie Variable steht für ein nicht bekanntes Objekt, das zu bestimmen nicht näher interessiert. Für die Variable können z.B. beliebige Zahlen eingesetzt werden und jedes Mal ergibt sich eine wahre Aussage (z. B. bei allgemeinen Regeln, Rechengesetzen, der Beschreibung von Beziehungen).
VeränderlicheVariable in funktionalen Zusammenhängen, in denen tatsächlich etwas variiert wird bzw. in denen die Veränderung betrachtet wird.
Freudenthal, Hans (1973): Mathematik als pädagogische Aufgabe, Band 1. Stuttgart: Klett, S. 256ff
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
2.10Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Grundvorstellungen zu Variablen
Malle, G. (1993). Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg, S. 45-49
Roth, J. (2008). Systematische Variation – Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. Mathematik lehren 146, S. 17-21
Ist die Variable ein Gegenstand, mit dem icheinfach umgehe – so etwas wie eine Black Box?
Einsetzungsaspekt
Gegenstandsaspekt
Grundvorstellung Verwendung der Variablen
Kalkülaspekt
Ist die Variable ein Platzhalter oder eine Leerstelle, wo ich etwas einsetze?
Ist die Variable eine Größe, mit der ich rechne wie mit Zahlen?
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
Malle (1993) benennt Grundvorstellungen zu Variablen, die sich aus der Art ihrer Verwendung ergeben:
2.11Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Stadien des Umgangs mit Variablen
Stadium 0:Idee wird nicht angenommen
Die Idee der Formalisierung wird (noch) nicht angenommen.
Hier nehmen Schüler die Idee, Buchstaben für Zahlen zu setzen, nicht an.
Stadium 1:Symbolisches Beschreiben
Variable und symbolische Aus-drücke werden zur Beschrei-bung erkannter Muster genutzt.
Term und Variablen sind noch eng mit der Aufgabe verbunden. Zum Teil wird dieselbe Variable für verschiedene unbekannte Zahlen genutzt.
Stadium 2:Symbolisches Operieren
Erworbenes Wissen wird reorganisiert.
Schüler verstehen die Variable als verallgemeinerte Zahl und können Terme umformen.
Stadium 3: Formale Sprache als mentales Werkzeug
Formale Sprache wird zum gedanklichen Werkzeug und Instrument des Argumentierens.
Schüler wenden die Symbolsprache in unbekannten Situationen an um eigene Hypothesen zu beweisen.
Berlin (2010): Algebra erwerben und besitzen: Eine binationale empirische Studie in der Jgst. 5. Universität Duisburg-Essen.
http://duepublico.uni-duisburg-essen.de/servlets/DocumentServlet?id=22563
2.12Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Aspekte des Variablenbegriffs
Variable können Zahlen aus einem Bereich auf verschiedene Weisen „repräsentieren”.
Einzelzahlaspekt 𝑥𝑥 – 3 � 4 = 24Variable als beliebige, aber feste Zahl aus dem Bereich. Nur eine Zahl aus dem Bereich wird repräsentiert.
BereichsaspektVariable als beliebige Zahl aus dem Bereich.Jede Zahl des Bereichs wird repräsentiert.Dieser Aspekt tritt in zwei Formen auf:
Simultanaspekt ∀𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 ∈ ℝ 𝑎𝑎 ± 𝑏𝑏 � 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 � 𝑐𝑐 ± 𝑏𝑏 � 𝑐𝑐Alle Zahlen aus dem Bereichwerden gleichzeitig repräsentiert.
Veränderlichenaspekt 𝑥𝑥 ↦ 𝑥𝑥𝑥 – 1 Änderungsverhalten? Alle Zahlen aus dem Bereich werdenin zeitlicher Aufeinanderfolge repräsentiert.
Malle, G. (1993). Didaktische Probleme der elementaren Algebra. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg, S. 79-83
2.13Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
VeränderlichenaspektRoth, J. (2006). Terme dynamisch – Mit Tabellen Terme analysieren. Mathematik lehren 137, S. 14-16
http://www.juergen-roth.de/terme
2.14Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.2 Aspekte des TermbegriffsKapitel 2: Terme
2.15Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Was ist ein Term?
Terme sind formal Zeichenreihen, die selbst Zahlen darstellen oder durch Einsetzen von Zahlen in Zahlen übergehen.
Jede Zahl ist ein Term.
Jede Variable ist ein Term.
Sind 𝑇𝑇1 und 𝑇𝑇2 Terme, dann sind auch 𝑇𝑇1 + 𝑇𝑇2 , 𝑇𝑇1–𝑇𝑇2 , 𝑇𝑇1 · 𝑇𝑇2 , 𝑇𝑇1 ∶ 𝑇𝑇2 , …
Terme.
Sind 𝑇𝑇1 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 , 𝑇𝑇2 und 𝑇𝑇3Terme, dann ist auch𝑇𝑇1 𝑇𝑇2,𝑇𝑇3 ein Term.
Beispiele
𝑇𝑇1 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 Variable
𝑇𝑇2 = 5 Zahl
𝑇𝑇3 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 Summe
𝑇𝑇4 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 5 Differenz
𝑇𝑇5 𝑐𝑐 = 10 � 𝑐𝑐 Produkt
𝑇𝑇6 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦3
Quotient
𝑇𝑇3 𝑇𝑇4 𝑥𝑥 ,𝑇𝑇5 𝑐𝑐= 𝑥𝑥 − 5
𝑇𝑇4(𝑥𝑥)+ 10 � 𝑐𝑐
𝑇𝑇5(𝑐𝑐)Summe
2.16Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Grundvorstellungen zu Termen
Term als
Siller, H.-S.; Roth, J. (2016). Herausforderung Heterogenität: Grundvorstellungen als Basis und Bezugsnorm − das Beispiel Terme.Praxis der Mathematik in der Schule, 58(70), S. 2-8
Roth, J. (2008). Systematische Variation – Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. Mathematik lehren 146, S. 17-21
(𝑝𝑝 � 𝑥𝑥 + 𝐺𝐺) · 1,19
2 · (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = 2 · 𝑎𝑎 + 2 · 𝑏𝑏
Vereinfachung von Berechnungen
Zulässige Veränderung des Bauplans
Wertgleichheit Strukturgleichheit
𝐴𝐴𝑇𝑇𝑇𝑇𝑎𝑎𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 =𝑎𝑎 + 𝑐𝑐
2� ℎ
Termum-formung
Beispiel
Rechenschema Bauplan
Gleichheit
2.17Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Term als Rechenschema
Monatliche Stromkosten:monatl. Verbrauch: 𝑥𝑥 kWhVerbrauchspreis: 0,15 €/kWhGrundpreis: 7 €Mehrwertsteuer: 19 %
Rechenschema:(0,15 · 𝑥𝑥 + 7) · 1,19
Mit Variablen:monatl. Verbrauch: 𝑥𝑥Verbrauchspreis: 𝑝𝑝Grundpreis: 𝐺𝐺
allgemeines Rechenschema:(𝑝𝑝 � 𝑥𝑥 + 𝐺𝐺) · 1,19
In der Praxis: Tabellen als BerechnungsschemataVerbrauch
in kWhEinzelpreis in €/kWh
Zwischen-ergebnis Grundpreis Netto Rech-
nungsbetragMehrwert-
steuer 19 %Rechnungs-
betrag
0 0,15 0,00 € 7,00 € 7,00 € 1,33 € 8,33 €1 0,15 0,15 € 7,00 € 7,15 € 1,36 € 8,51 €2 0,15 0,30 € 7,00 € 7,30 € 1,39 € 8,69 €
2.18Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Term als „Bauplan“
·5 c
–a 3
:5
+b2
·3
–
–
[(a – 3) : 5 – 3 · (2 + b)] – 5c
2.19Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Term als „Bauplan“
Der Term ist eine Differenz.Minuend: Differenz
Minuend: QuotientDividend: Differenz
Minuend: aSubtrahend: 3
Divisor: 5Subtrahend: Produkt
1. Faktor: 32. Faktor: Summe
1. Summand:22. Summand:b
Subtrahend: Produkt1. Faktor: 52. Faktor: c
[(a – 3) : 5 – 3 · (2 + b)] – 5c
2.20Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Kalkülvorstellung
Aufgabe 1 (Kalkülvorstellung)Die Strohhalme sollen die Begrenzungen beliebiger ebener Figuren darstellen.Legt verschiedene Figuren und gebt zu jeder Figur den zugehörigen Term zur Berechnung des Flächeninhalts und des Umfangs an (zuerst in ausführlicher und dann in möglichst kurzer Form).Versucht eine entsprechende Regel zu finden.
U = 2 ⋅ 𝑎𝑎 + 2 ⋅ 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎= 8 ⋅ 𝑎𝑎
𝐴𝐴 = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎 + 2 ⋅ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑎𝑎= 𝑎𝑎2 + 2 ⋅ 𝑎𝑎2= 3 ⋅ 𝑎𝑎2
Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46
2.21Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Kalkülvorstellung
Aufgabe 1 (Kalkülvorstellung)Typische Lösungsansätze und Fehler
Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46
Grundvorstellung zu Termen?
2.22Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Kalkülvorstellung und Einsetzungsvorstellung
Aufgabe 2 (Kalkülvorstellung)Legt aus 5 Rechtecken eine Figur.Beschreibt den Flächeninhalt auf unterschiedliche Arten.
Aufgabe 3 (Einsetzungsvorstellung)Setzt nacheinander für 𝑥𝑥 die Zahlen −4,−3,−2, … , 2, 3, 4in die folgenden Terme ein.Fertigt eine Tabelle an und be-schreibt eure Beobachtungen.
a) 2 ⋅ 𝑥𝑥 + 3b) 3 ⋅ 𝑥𝑥 + 4c) −2 ⋅ 𝑥𝑥 + 3d) 𝑥𝑥 − 1 ⋅ 𝑥𝑥 − 1
Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46
𝒛𝒛
𝒛𝒛
𝒄𝒄
𝒄𝒄
𝒛𝒛
𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒙𝒙 𝒛𝒛
𝒂𝒂
Grundvorstellung zu Termen?
2.23Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Einsetzungsvorstellung
Aufgabe 3 (Einsetzungsvorstellung)Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46
𝒙𝒙 −𝟒𝟒 −𝟑𝟑 −𝟐𝟐 −𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟒𝟒2 � 𝑥𝑥 + 3 −5 −3 −1 1 3 5 7 9 11
2 2 2 2 2 2 2 2
𝒙𝒙 −𝟒𝟒 −𝟑𝟑 −𝟐𝟐 −𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟒𝟒3 ⋅ 𝑥𝑥 + 4 −8 −5 −2 1 4 7 10 13 16
3 3 3 3 3 3 3 3
𝒙𝒙 −𝟒𝟒 −𝟑𝟑 −𝟐𝟐 −𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟒𝟒𝑥𝑥 − 1 � 𝑥𝑥 − 1 25 16 9 4 1 0 1 4 9
9 7 5 3 1 −1 −3 −52 2 2 2 2 2 2
𝒙𝒙 −𝟒𝟒 −𝟑𝟑 −𝟐𝟐 −𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟒𝟒−2 ⋅ 𝑥𝑥 + 3 11 9 7 5 3 1 −1 −3 −5
−2 −2 −2 −2 −2 −2 −2 −2
2.24Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Gegenstandsvorstellung
Aufgabe 4 (Gegenstandsvorstellung)Schaut euch die Reihe aus regelmäßig wachsenden Plättchenmustern genau an und versucht sie fortzusetzen.a) Gebt jeweils die Gesamtzahl
der Plättchen im Muster an.b) Stellt einen allgemeinen
Term auf, mit dem man die Gesamtzahl der Plättchen bestimmen kann (ohne alle Plättchen zu zählen).
Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46
2.25Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Gegenstandsvorstellung
Aufgabe 4 (Gegenstandsvorstellung)Zugänge und Strategien
Wiegand/Wiegand (2006). Der Termbaukasten – Ein aktiver Einstieg in die Algebra. Mathematik lehren 136, S. 44-46
2.26Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.3 Terme strukturierenKapitel 2: Terme
2.27Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
KlammergebirgeKortenkamp, U. (2006): Terme erklimmen – Klammergebirge als Strukturierungshilfe. Mathematik lehren 136, S. 14-16
https://vimeo.com/11653437
98 − 20 − 4 · 3 ∶ 10 − 1 =𝟖𝟖
𝟗𝟗𝟗𝟗𝟎𝟎
= 10
Ein Werkzeug zur Strukturierung von Termen (98 −(20 − 4 ⋅ 3))∶(10 − 1)
2.28Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Regeln und Formeln
Regeln sind in zwei Richtungen lesbar!
𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐
Terme einsetzen
(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) ⋅ 2𝑢𝑢 + 3𝑣𝑣 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) ⋅ 2𝑢𝑢 + (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) ⋅ 3𝑣𝑣
Doppelfunktion von Termen in Regeln
Objekt einer Termumformung
Regel fürTermumformungen
2.29Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Regelhierarchie
Regeln
Für Termumformungenmuss man rechnen können! (u. a. mit Brüchen und negativen Zahlen)
Klammern werden (von innen nach außen) zuerst berechnet.
Von Links nach Rechts
Punkt vor Strich
Potenzen!? Beispiel: 15 + 2 � 32
Andreas: 15 + 2 � 32 = 51Bernd: 15 + 2 � 32 = 2601Carolin: 15 + 2 � 32 = 33Welches Ergebnis ist richtig?
Regel zu Potenzen notwendig?
Reihenfolge der Regeln?
2.30Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Sprechen über Termumformungen
Frage nach dem „Warum?“:
Zielangabe„Ich möchte in 2 � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦die Klammer auflösen.“
Wegangabe„Ich multipliziere jeden Summanden mit 2.“
Begründung„Nach dem Distributivgesetz gilt: 𝑎𝑎 � 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 � 𝑏𝑏 + 𝑎𝑎 � 𝑐𝑐“
Warum?Weg?
2.31Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2.4 Lernen der FormelspracheKapitel 2: Terme
2.32Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Lernen der Formelsprache
2.33Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Lernen der Formelsprache
1. Intuitiv GebrauchenVerankerung der Sprache im Umgang mit Zahlen und Größen. Nicht über Sprachelemente reden, sondern sie verwenden.
2. ReflektierenSprachelemente, ihre Verwendung und Erfahrungen mit ihnen reflektieren. Über Variable, Terme und den Umgang mit ihnen sprechen.Geeignete Bezeichnungen einführen.
3. Erkunden und AneignenAusdrucksmöglichkeiten erkundenRegeln entdecken und anwenden. Handlungsmuster bei Termumformungen einprägen. Sicherheit im Umgang mit der Sprache erwerben.
4. NutzenNeue Einsichten in mathemati-sche Sachverhalte gewinnen.Kenntnisse vertiefen.
5. ErweiternBruch-, Wurzel-, Potenzrechnung, ⇒ neue Terme Trigonometrie
2.34Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheIntuitiv Gebrauchen
2.35Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheReflektieren
2.36Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheErkunden und Aneignen
2.37Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheErkunden und Aneignen
2.38Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheErkunden und Aneignen
Sind diese Terme äquivalent?
𝑇𝑇1 𝑥𝑥 =32𝑥𝑥
𝑇𝑇1 0 = 0
𝑇𝑇1 1 =32
𝑇𝑇1 2 = 3
𝑇𝑇1 3 =92
𝑇𝑇1 4 = 6
𝑇𝑇2 𝑥𝑥 =14𝑥𝑥4 −
32𝑥𝑥3 +
114𝑥𝑥2
𝑇𝑇2 0 = 0
𝑇𝑇2 1 =32
𝑇𝑇2 2 = 3
𝑇𝑇2 3 =92
𝑇𝑇2 4 = 12
2.39Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheErkunden und Aneignen
http://www.juergen-roth.de/dynageo/termaequivalenz/
2.40Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheErkunden und Aneignen
Mateos (2011): Enaktive Zugänge zu Termen mit Streichhölzern und Wendeplättchen in Klasse 8. MNU 64(7), S. 397-401
2 ⋅ 𝑛𝑛 + 2 ⋅ 𝑛𝑛 − 2 4 ⋅ 𝑛𝑛 − 14 · 𝑛𝑛 − 4
𝑛𝑛2 − (𝑛𝑛 − 2)24 · 𝑛𝑛 − 2 + 4
Aus wie vielen Punkten besteht das Quadratmuster, wenn eine Seite des Quadrates aus n Punkten besteht?
2.41Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheErkunden und Aneignen
Aus wie vielen kleinen Würfeln bestehtein 𝑛𝑛-Würfel der längs einer Kante aus 𝑛𝑛kleinen Würfeln zusammengesetzt ist?
Stellen Sie möglichst viele verschiedeneZählterme auf, und zeigen Sie dieÄquivalenz dieser Terme.
Was spricht dafür, im Unterricht mehrereLösungswege für eine Aufgabe zuerarbeiten?
Wie viele Kanten der kleinen Würfel sindbeim 𝑛𝑛-Würfel sichtbar?Hinweis: Kanten, an denen zwei oder mehrWürfel zusammenstoßen, werden nur einmalgezählt.
96𝑛𝑛 − 144
12𝑛𝑛 − 16
2.42Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheErkunden und Aneignen
Sinn von TermumformungenGedächtnis entlasten
numerisch Berechnungen vereinfachen
Formeln vereinfachen oder auf eine bestimmte Gestalt bringen
Größen können wegfallen ⇒Nicht-Abhängigkeiten
können erkannt werden
aus einer Formel verschiedene Zusammenhänge bzw. Interpretationen herauslesen
Hilfsmittel zum Gleichungslösen
2.43Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheErkunden und Aneignen
Zuweisungszeichen (Handlungszeichen)
Vergleichszeichen (Beziehungszeichen)
Lernziel:Ergänzen um
Grundvorstellungen zum Gleichheitszeichens
Aufgabe → Ergebnis Vergleich
2.44Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheErkunden und Aneignen
Erarbeitung der Termumformungen
1. Schritt: Ordnen
2. Schritt: Zusammenfassen
3. Schritt: Klammern auflösen
5𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑥𝑥𝑦 − 2𝑥𝑥= 5𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑥𝑥𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥= 5𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥= 5 + 6 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4 − 2 𝑥𝑥= 11𝑥𝑥𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥= 𝑥𝑥 � 11𝑦𝑦 + 2
5𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑥𝑥𝑦 − 2𝑥𝑥= 5𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥= 11𝑥𝑥𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥= 𝑥𝑥 � 11𝑦𝑦 + 2
Zunächst Später
2.45Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheErkunden und Aneignen
EinstiegDie Seitenlänge 𝒂𝒂 eines Quadrats wird um 𝒃𝒃 vergrößert. Wie ändert sich der Flächeninhalt des Quadrates?𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 2
Erarbeitung𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2
= 𝑎𝑎2
Sicherung𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 2 = 𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2 heißt
1. binomische Formel (Plusformel).
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2, 𝑥𝑥 + 3 2, 5 + 𝑧𝑧 2, 𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 2, 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦3 2, 𝑐𝑐2 + 2𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑐𝑐2, …
VertiefungVerwandle (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)𝑥 in eine Summe.Lässt sich diese Aussage geometrisch deuten? …
http://www.juergen-roth.de/dynageo/binomische_Formeln/binomische_Formeln.html
𝒂𝒂𝑥
𝒃𝒃𝑥𝒃𝒃
𝒃𝒃
𝒂𝒂
𝒂𝒂
𝒂𝒂𝒃𝒃
𝒂𝒂𝒃𝒃
Probleme(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)𝑥 = 𝑎𝑎𝑥 + 𝑏𝑏𝑥
(2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 3𝑣𝑣𝑣𝑣)𝑥
= 𝒂𝒂2 + 𝒃𝒃2+ 2𝒂𝒂𝒃𝒃
= 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 ⋅ (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)
+ 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2
2.46Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheNutzen
Algebraischer Beweis zum Satz des Pythagoras von J.A. Garfield (1881 Präsident der U.S.A.)(1) 𝐴𝐴Trapez = 𝐴𝐴∆1 + 𝐴𝐴∆2 + 𝐴𝐴∆3
= 12𝒂𝒂𝒃𝒃 + 1
2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 1
2𝒄𝒄2
= 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 12𝒄𝒄2
(2) 𝐴𝐴Trapez = 𝑎𝑎+𝑐𝑐2⋅ ℎ = 𝒂𝒂+𝒃𝒃
2⋅ (𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)
= 12𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 2
= 12𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2
Gleichsetzen der Terme aus (1) und (2) liefert:12𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2 = 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 1
2𝒄𝒄2
𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2 = 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒄𝒄2
𝒂𝒂2 + 𝒃𝒃2 = 𝒄𝒄2
| ⋅ 2
| − 2𝑎𝑎𝑏𝑏
∎
𝐴𝐴Trapez: Flächeninhaltdes Trapezes
𝚫𝚫𝟏𝟏
𝒂𝒂
𝒂𝒂𝒃𝒃
𝒃𝒃𝒄𝒄
𝒄𝒄
𝚫𝚫𝟐𝟐
𝚫𝚫𝟑𝟑
2.47Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheNutzen
Entdecken von SachverhaltenInduktiv, deduktiv o. Hypothesen widerlegenBeispiel: „Quadrieren vergrößert.“
Formulieren der Sachverhalteals mathematische Aussagen
Begründen der AussagenLogische Struktur (Voraussetzung, Behauptung) herausarbeitenZiele des Begründens
Wahrheit einer Aussage sichernEinsicht in den Sachverhalt vermitteln
Verstehen der Sachverhalte
Ziel: Anregen von geistigen Prozessen, die zu (neuen) mathematischen Erkenntnissen führen
Fallunter-scheidung
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5
0 5
0,5
1
1,5
2
2,5
3
x
y
22 = 4 > 232 = 9 > 342 = 16 > 4
𝑎𝑎2 > 𝑎𝑎⇔ 𝑎𝑎 ∈ ℝ\[0; 1]
2.48Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheErweitern
PermanenzprinzipErweiterungen so, dass die bisherigenGesetze & Rechenregeln gültig bleiben!Bei Erweiterungen jeweils überprüfen!
Potenzen mit Exponenten aus ℕ:Beispiel: 25 = 2 � 2 � 2 � 2 � 2
5 Faktoren
Definition: Für 𝑎𝑎 ∈ ℝ und 𝑛𝑛 ∈ ℕ mit 𝑛𝑛 ≥ 2 gilt: 𝑎𝑎𝑛𝑛 ≔ 𝑎𝑎 � 𝑎𝑎 � … � 𝑎𝑎 � 𝑎𝑎𝑛𝑛 Faktoren
Bezeichnungen:
Beispiel: Potenzen
𝑎𝑎𝑛𝑛Exponent
BasisPotenz
2.49Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheErweitern
Rechengesetze: 𝑚𝑚,𝑛𝑛 ∈ ℕ\{1} und 𝑎𝑎 ∈ ℝ
𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑚𝑚 ∶ 𝑎𝑎𝑛𝑛
= 𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑚𝑚 Faktoren
⋅ 𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑛𝑛 Faktoren
𝑚𝑚+𝑛𝑛 Faktoren
Def. = 𝑎𝑎𝑚𝑚+𝑛𝑛Def.
=𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑚𝑚 Faktoren
𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑛𝑛 Faktoren
Def. =
𝑎𝑎𝑚𝑚−𝑛𝑛 für 𝑚𝑚 > 𝑛𝑛1 für 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛
1𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑚𝑚
für 𝑚𝑚 < 𝑛𝑛
Kürzen!
2.50Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheErweitern
Rechengesetze: 𝑚𝑚,𝑛𝑛 ∈ ℕ\{1} und 𝑎𝑎 ∈ ℝ
𝑎𝑎𝑚𝑚 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑛𝑛 Faktoren
Def.
= 𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑚𝑚 Faktoren
⋅ … ⋅ 𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑚𝑚 Faktoren
𝑛𝑛 Klammern
= 𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑚𝑚⋅𝑛𝑛 Faktoren
= 𝑎𝑎𝑚𝑚⋅𝑛𝑛Def.
Def.
2.51Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheErweitern
Rechengesetze: 𝑚𝑚,𝑛𝑛 ∈ ℕ\{1} und 𝑎𝑎 ∈ ℝ
𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑎𝑎1
𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑎𝑎
Da die Gleichung 𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑚𝑚+1 eindeutig lösbar bleiben sollen, muss festgelegt werden: 𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝒂𝒂
𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑎𝑎0
𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 1
Da die Gleichungen 𝑎𝑎𝑚𝑚 ⋅ 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑚𝑚 eindeutig lösbar bleiben sollen, muss festgelegt werden: 𝒂𝒂𝟎𝟎 = 𝟏𝟏
= 𝑎𝑎𝑚𝑚+1Def.= 𝑎𝑎𝑚𝑚+1
= 𝑎𝑎𝑚𝑚+0 = 𝑎𝑎𝑚𝑚
= 𝑎𝑎𝑚𝑚 1 ist neutrales Elementder Multiplikation.
2.52Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheErweitern
Rechengesetze: 𝑛𝑛 ∈ ℕ und 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ
𝑎𝑎𝑛𝑛 ⋅ 𝑏𝑏𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛 ∶ 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑏𝑏𝑛𝑛
= 𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑛𝑛 Faktoren
⋅ 𝑏𝑏 ⋅ … ⋅ 𝑏𝑏𝑛𝑛 Faktoren
Def.
= 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏𝑛𝑛 Faktoren
= 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 𝑛𝑛Def.Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
=𝑎𝑎 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑎𝑛𝑛 Faktoren
𝑏𝑏 ⋅ … ⋅ 𝑏𝑏𝑛𝑛 Faktoren
Def.=
𝑎𝑎𝑏𝑏⋅ … ⋅
𝑎𝑎𝑏𝑏
𝑛𝑛 Faktoren
=𝑎𝑎𝑏𝑏
𝑛𝑛Def.
𝑏𝑏 ≠ 0
2.53Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheErweitern
Potenzen mit Exponenten aus ℤ: 𝑛𝑛 ∈ ℕ0 und 𝑎𝑎 ∈ ℝ\{0}
𝑎𝑎𝑛𝑛 ⋅ 𝑎𝑎−𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛 ⋅ 1𝑎𝑎𝑛𝑛
Da die Gleichung 𝑎𝑎𝑛𝑛 ⋅ 𝑥𝑥 = 1 eindeutig lösbar bleiben soll, muss festgelegt werden:
𝒂𝒂−𝒏𝒏 =𝟏𝟏𝒂𝒂𝒏𝒏
Damit vereinfacht sich der Quotient zweier Potenzen mit gleicher Basis zu:
𝒂𝒂𝒎𝒎
𝒂𝒂𝒏𝒏= 𝒂𝒂𝒎𝒎−𝒏𝒏
= 𝑎𝑎𝑛𝑛−𝑛𝑛 = 𝑎𝑎0 = 1
= 𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑎𝑎𝑛𝑛= 1
2.54Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
FormelspracheErweitern
Potenzen mit Exponenten aus ℚ: 𝑛𝑛 ∈ ℕ und 𝑎𝑎 ∈ ℝ+
Die bisherigen Rechengesetze sollen unverändert erhalten bleiben (Permanenzprinzip):
𝑎𝑎1𝑛𝑛
𝑛𝑛
D. h. 𝑎𝑎1𝑛𝑛 sollte als reelle Lösung der Gleichung 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 definiert
werden. Da man aber die einzige reelle Lösung dieser Gleichung, nämlich 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 𝑎𝑎 bereits kennt, muss man definieren:
𝒂𝒂𝟏𝟏𝒏𝒏 = 𝒏𝒏 𝒂𝒂
Potenzen mit Exponenten aus ℝ:Potenzen mit irrationalen Exponenten lassensich über Intervallschachtellungen definieren.
= 𝑎𝑎1𝑛𝑛⋅𝑛𝑛 = 𝑎𝑎
𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝑎𝑎1= 𝑎𝑎
2.55Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Kontrolle bei Termumformungen
𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥 − 2 + 1𝑥𝑥 + 3 + 3
8 + 4𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑥𝑥3
= 𝑥𝑥2
Semantische KontrolleEinzelbeispiele
Numerische KontrolleWertetabellen
Graphische KontrolleVergleich der Graphen
Automatische Umformungvollständigschrittweise
Spiegel, H. (1995). Ist 1 ∶ 0 = 1? Ein Brief – und eine Antwort. Grundschule 27(5), S. 8
Warum darf man eigentlich nicht durch Null teilen?
? ?
2.56Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Interessante Fragen
Was bedeutet 𝟎𝟎𝟎𝟎?
Vgl. Penßel, Penßel, Roth (1990). Was ist 00? In: Basis Mathematik, 10 Algebra. München: BSV
Ist folgendes richtig?
𝑎𝑎𝑛𝑛�𝑟𝑟𝑛𝑛�𝑠𝑠 = 𝑎𝑎
𝑟𝑟𝑠𝑠 = 𝑎𝑎
1𝑠𝑠𝑇𝑇
= 𝑎𝑎𝑇𝑇1𝑠𝑠
Ja, falls 𝑎𝑎 > 0!
Beispiel−2 2 = 4ist definiert.
−242 = −2
12
4
ist nicht definiert!
−242 = −2 4
12 = 16
12 = 4
ist definiert!
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