JAK CHÁPAT
PRAVDĚPODOBNOST?
Matematika, fyzika a jejich vyučování
Velké Meziříčí, 24. srpna 2010
Magdalena Hykšová
Andrei Nikolajevič Kolmogorov, 1933:
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
SUBJEKTIVNÍ INTERPRETACE
PRAVDĚPODOBNOST
= míra osobního přesvědčení nebo víry
ve výskyt určitého jevu či události
Václav Šimerka (1818 – 1887), 1882
Frank Plumpton Ramsey (1903 – 1930), 1931 (1926)
Bruno de Finetti (1906 – 1985), 1931, 1937
Leonard Jimmie Savage (1917 – 1971), 1954
SUBJEKTIVNÍ INTERPRETACE
Každodenní uvažování
• Touhle dobou snad na D1 nebudou kolony.
• Proti Rusku nemají naši hokejisté šanci.
• Tento lék by měl na Vaše potíže zabrat.
• Volby nejspíš vyhraje ČSSD.
• Když vyrazím v 16:10, tak ten vlak snad stihnu.
1. Který závodník má podle kanceláře Sazka a.s. největší šanci stát se v roce 2010 mistrem světa ve formuli 1?
1. Který závodník má podle kanceláře Sazka a.s. největší šanci stát se v roce 2010 mistrem světa ve formuli 1?
1. Který závodník má podle kanceláře Sazka a.s. největší šanci stát se v roce 2010 mistrem světa ve formuli 1?
sázka 1 Kč výhra 2,55 Kčnebo nic
Podobně se můžeme ptát v následujících případech:
2. U které společnosti si máme vsadit na zápas
Španělsko – Honduras na MS ve fotbale 2010?
Název 1 (výhra Š) X (remíza) 2 (výhra H)
Bet-at-home 1,11 8,00 15,00
Fortuna 1,12 6,70 13,00
Tipsport 1,13 13,00 22,50
2. U které společnosti si máme vsadit na zápas
Španělsko – Honduras na MS ve fotbale 2010?
Název 1 (výhra Š) X (remíza) 2 (výhra H)
Bet-at-home 1,11 8,00 15,00
Fortuna 1,12 6,70 13,00
Tipsport 1,13 13,00 22,50
Čísla v tabulce: kolik sázková kancelář vyplatí za 1 Kč sázky na správný výsledek
2. U které společnosti si máme vsadit na zápas
Španělsko – Honduras na MS ve fotbale 2010?
Název 1 (výhra Š) X (remíza) 2 (výhra H)
Bet-at-home 1,11 8,00 15,00
Fortuna 1,12 6,70 13,00
Tipsport 1,13 13,00 22,50
Čísla v tabulce: kolik sázková kancelář vyplatí za 1 Kč sázky na správný výsledek
a) Ať už zápas dopadne jakkoli, nejvíce vyplatí Tipsport
2. U které společnosti si máme vsadit na zápas
Španělsko – Honduras na MS ve fotbale 2010?
Název 1 (výhra Š) X (remíza) 2 (výhra H)
Bet-at-home 1,11 8,00 15,00
Fortuna 1,12 6,70 13,00
Tipsport 1,13 13,00 22,50
Čísla v tabulce: kolik sázková kancelář vyplatí za 1 Kč sázky na správný výsledek
a) Ať už zápas dopadne jakkoli, nejvíce vyplatí Tipsport
b) Nejpravděpodobnější výsledek: výhra Španělska
c) Představte si, že vsadíte na všechny možnosti tak, abyste v každém případě vyhráli 100 Kč. Kolik procent vsazené částky se vám vrátí?
Název 1 0 2 Návratnost
Bet-at-home 1,11 8,00 15,00
Fortuna 1,12 6,70 13,00
Tipsport 1,13 13,00 22,50
Návratnost - např. pro Fortunu:
abychom vyhráli 100 Kč v případě vítězství Španělska,
musíme na ně vsadit
Celkem zaplatíme: 00,13
1100
70,6
1100
12,1
1100Z
12,1/1100
c) Představte si, že vsadíte na všechny možnosti tak, abyste v každém případě vyhráli 100 Kč. Kolik procent vsazené částky se vám vrátí?
Název 1 0 2 Návratnost
Bet-at-home 1,11 8,00 15,00 91,53 %
Fortuna 1,12 6,70 13,00 89,36 %
Tipsport 1,13 13,00 22,50 99,37 %
Návratnost - např. pro Fortunu:
Celkem zaplatíme:
% 53,919153,0
00,13
1
70,6
1
12,1
11
Z
100
00,13
1100
70,6
1100
12,1
1100Z
Kdo může na kurzových sázkách systematicky vydělávat?
Název 1 0 2 Návratnost
Bet-at-home 1,11 8,00 15,00 91,53 %
Fortuna 1,12 6,70 13,00 89,36 %
Tipsport 1,13 13,00 22,50 99,37 %
Kdo může na kurzových sázkách systematicky vydělávat?
• Sázková kancelář • Ten, kdo dokáže sehnat lepší informace než ona
Název 1 0 2 Návratnost
Bet-at-home 1,11 8,00 15,00 91,53 %
Fortuna 1,12 6,70 13,00 89,36 %
Tipsport 1,13 13,00 22,50 99,37 %
SPRAVEDLIVÁ SÁZKA
kurz sázky p
... kolik musí sázející vsadit na jev A, aby v případě, že A nastane, vyhrál 1 Kč
SPRAVEDLIVÁ SÁZKA
kurz sázky p
... kolik musí sázející vsadit na jev A, aby
v případě, že A nastane, vyhrál 1 Kč
MS v hokeji 2010, finále Česká rep. – Rusko
pČ = 1/4, pR = 4/5
Abych vyhrála S = 100 Kč, musím vsadit
25 Kč ... na výhru České republiky,
80 Kč ... na výhru Ruska
kurz sázky p
... kolik musí sázející vsadit na jev A, aby
v případě, že A nastane, vyhrál 1 Kč
MS v hokeji 2010, finále Česká rep. – Rusko
pČ = 1/4, pR = 9/10
Abych vyhrála S = 100 Kč, musím vsadit
25 Kč ... na výhru České republiky,
90 Kč ... na výhru Ruska
zaplatím 115 Kč, vyhraji 100 Kč
návratnost:
% 87115
100
MS v hokeji 2010, finále Česká rep. – Rusko
pČ = 1/4, pR = 9/10
Abych vyhrála S = 100 Kč, musím vsadit
25 Kč ... na výhru České republiky,
90 Kč ... na výhru Ruska
zaplatím 115 Kč, vyhraji 100 Kč
návratnost:
pČ + pR > 1 sázející prodělá
spravedlivá sázka
% 87115
100
SPRAVEDLIVÁ SÁZKA
tomu, kdo navrhuje kurz sázky p musí hrozit, se sám ocitne v roli sázejícího
SPRAVEDLIVÁ SÁZKA
tomu, kdo navrhuje kurz sázky p musí hrozit, se sám ocitne v roli sázejícího
připustíme kladné i záporné hodnoty sázek
pČ + pR > 1 ... sázející navrhne S < 0 a vydělá
pČ + pR < 1 ... sázející navrhne S > 0 a vydělá
pČ + pR = 1
SPRAVEDLIVÁ SÁZKA
S ... hodnota výhry v případě, že nastane A
(kladná nebo záporná)
Zisk: Z(A) = S - pS = (1 - p) S
Z(A) = - pS
p ... pravděpodobnost, kterou bookmaker
přisuzuje jevu A
Aby zabránil jisté ztrátě, musí hodnoty p vyhovovat axiomům teorie pravděpodobnosti
3. Tomáš Berdych a Robin Soderling jsou podle sázkových kanceláří na stejné výkonnostní úrovni. Jaké jsou Berdychovy šance na výhru v jejich vzájemném zápase?
X1
4
1
31
1P
4. Doktor mi řekl, že mám šanci 1:3 na úplné uzdravení.
Jaká je podle něj pravděpodobnost, že se zcela uzdravím?
31
4
1
31
1P
Podobně jako u kurzových sázek, i zde lze ukázat, proč musí platit základní axiomy pravděpodobnosti.
Pan Vychytralý vyzve Martina k sázce o to, zda 21. března bude teplota nad nulou nebo pod nulou. Martin si může libovolně zvolit kurz pro oba jevy, ale pan Vychytralý pak určí, kolik peněz na ně má vsadit.
Martin : nad nulou … 3:1
pod nulou … 5:3
Je to rozumné?
Pan Vychytralý vyzve Martina k sázce o to, zda 21. března bude teplota nad nulou nebo pod nulou. Martin si může libovolně zvolit kurz pro oba jevy, ale pan Vychytralý pak určí, kolik peněz na ně má vsadit.
Martin : nad nulou … 3:1
pod nulou … 5:3
Pan Vychytralý určí, že má Martin vsadit 6 tisíc na to, že bude nad nulou a 5 tisíc na to, že bude pod nulou. Kdo na tom vydělá a kolik?
Martin : nad nulou … 3:1
pod nulou … 5:3
Pan Vychytralý určí, že má Martin vsadit 6 tisíc na to, že bude nad nulou a 5 tisíc na to, že bude pod nulou.
Kdo na tom vydělá a kolik?
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0
pod 0
Martin : nad nulou … 3:1
pod nulou … 5:3
Pan Vychytralý určí, že má Martin vsadit 6 tisíc na to, že bude nad nulou a 5 tisíc na to, že bude pod nulou.
Kdo na tom vydělá a kolik?
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +2
pod 0 – 6
Martin : nad nulou … 3:1
pod nulou … 5:3
Pan Vychytralý určí, že má Martin vsadit 6 tisíc na to, že bude nad nulou a 5 tisíc na to, že bude pod nulou.
Kdo na tom vydělá a kolik?
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +2 – 5 – 3
pod 0 – 6 +3 – 3
Jak tomu má Martin předejít?
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +2 – 5 – 3
pod 0 – 6 +3 – 3
Jak tomu má Martin předejít?
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +2 – 5 – 3
pod 0 – 6 +3 – 3
Jak tomu má Martin předejít?
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +2 – 5 – 3
pod 0 – 6 +7 + 1
Jak tomu má Martin předejít?
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +3 – 5 – 2
pod 0 – 9 +7 – 2
Jak tomu má Martin předejít?
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +3 – 5 – 2
pod 0 – 9 +10 + 1
Jak tomu má Martin předejít?
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +4 – 5 – 1
pod 0 – 12 +9 – 3
Jak tomu má Martin předejít?
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +4 – 5 – 1
pod 0 – 12 +13 + 1
Jak tomu má Martin předejít?
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +5 – 5 0
pod 0 – 15 +14 – 1
Jak tomu má Martin předejít?
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +5 – 5 0
pod 0 – 15 +15 0
Jak tomu má Martin předejít?
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +5 – 5 0
pod 0 – 15 +16 + 1
Jak tomu má Martin předejít?
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +6 – 5 +1
pod 0 – 18 +16 – 2
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +6 – 5 + 1
pod 0 – 18 +16 – 2
Martin : nad nulou … 3:1
pod nulou … 5:16
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +6 – 5 + 1
pod 0 – 18 +16 – 2
Martin : nad nulou … 3:1
pod nulou … 5:16
Martin a pan Vychytralý se dohodnou, že si po stanovení kurzu hodí korunou a padne-li líc, vymění si role.
Jaké hodnoty sázky na „pod nulou“ by měl nyní Martin zvolit?
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +5 – 5 0
pod 0 – 15 +15 0
sázka: nad nulou … 3:1
pod nulou … 5:15 neboli 1:3
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +1 – 1 0
pod 0 – 3 +3 0
sázka: nad nulou … 3:1
pod nulou … 1:3
sázka: nad nulou … 3:1 ... pravděpodobnost:
pod nulou … 1:3 ... pravděpodobnost:
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +1 – 1 0
pod 0 – 3 +3 0
43
133
1
p
41
131
2
p
sázka: nad nulou … 3:1 ... pravděpodobnost:
pod nulou … 1:3 ... pravděpodobnost:
Opačné jevy:
sázka
nad 0 pod 0 Martinův zisk
skutečnostnad 0 +1 – 1 0
pod 0 – 3 +3 0
43
133
1
p
41
131
2
p
141
43
21 pp
5. RULETASázka 10 Kč na červenou:
Průměrná výhra:
10 x 18 / 37 – 10 x 19 / 37
= – 0,27 Kč
6. Alici je 31 let, je svobodná, inteligentní, pohledná. Vystudovala filosofii, za studií vášnivě bránila práva menšin a demonstrovala před obchodním domem, který neměl zázemí pro kojící matky. Uspořádejte následující výroky od nejpravděpodobnějších po nejméně pravděpodobné.
a) Alice je aktivní feministka.b) Alice je bankovní úřednice.c) Alice pracuje v malém knihkupectví.d) Alice je bankovní úřednice a aktivní feministka.e) Alice je bankovní úřednice a aktivní feministka, která navštěvuje kurzy jógy.f) Alice pracuje v malém knihkupectví a je aktivní feministka, která navštěvuje kurzy jógy.
6. Alici je 31 let, je svobodná, inteligentní, pohledná. Vystudovala filosofii, za studií vášnivě bránila práva menšin a demonstrovala před obchodním domem, který neměl zázemí pro kojící matky. Uspořádejte následující výroky od nejpravděpodobnějších po nejméně pravděpodobné.
a) Alice je aktivní feministka.b) Alice je bankovní úřednice.c) Alice pracuje v malém knihkupectví.d) Alice je bankovní úřednice a aktivní feministka.e) Alice je bankovní úřednice a aktivní feministka, která navštěvuje kurzy jógy.f) Alice pracuje v malém knihkupectví a je aktivní feministka, která navštěvuje kurzy jógy.
P(a) > P(d) > P(e) P(c) > P(f)
P(b) > P(d) > P(e)
7. Kterému z následujících tvrzení přiřadíte vyšší pravděpodobnost?
a) V březnu budou někde v Evropě povodně.
b) V březnu v českých horách roztaje sníh a následkem toho budou povodně.
7. Kterému z následujících tvrzení přiřadíte vyšší pravděpodobnost?
a) V březnu budou někde v Evropě povodně.
b) V březnu v českých horách roztaje sníh a následkem toho budou povodně.
P(a) > P(b)
ČETNOSTNÍ INTERPRETACE
PRAVDĚPODOBNOST
= limita relativní četnosti daného jevu v kolektivu
(nekonečná posloupnost výsledků opakovaného pokusu, splňující dané axiomy)
Robert Leslie Ellis (1817 – 1859), 1843John Venn (1834 – 1923), 1866Richard von Mises (1883 – 1953), 1931
Erich Kamke (1890 – 1961), 1932
ČETNOSTNÍ INTERPRETACE
PRAVDĚPODOBNOST
= limita relativní četnosti daného jevu v kolektivu
(nekonečná posloupnost výsledků
opakovaného pokusu, splňující dané axiomy)
ČETNOST V POPULACI
četnost daného znaku
v „kolektivu“ v běžném
smyslu
8. Pravděpodobnost, že žena má rakovinu prsu, je 0,8%. Pokud ji má, pak pravděpodobnost, že mamogram bude pozitivní, je 90%. Pokud ji nemá, pak pravděpodobnost, že mamogram bude i tak pozitivní, je 7%. Představte si ženu, jejíž mamogram je pozitivní; jaká je pravděpodobnost, že má skutečně rakovinu?
Osm žen z tisíce má rakovinu prsu. Sedm z těchto osmi žen bude mít pozitivní mamogram. Ze zbylých 992 žen, které rakovinu nemají, jich bude mít zhruba 70 rovněž pozitivní mamogram. Představte si skupinu žen, kterým vyšel mamogram pozitivní; kolik z nich má skutečně rakovinu prsu?
8. Osm žen z tisíce má rakovinu prsu. Sedm z těchto osmi žen bude mít pozitivní mamogram. Ze zbylých 992 žen, které rakovinu nemají, jich bude mít zhruba 70 rovněž pozitivní mamogram.
1000 lidí1000 lidí
992 zdravých
992 zdravých
7 pozitivní
7 pozitivní
1 negativní
1 negativní
70 pozitivní
70 pozitivní
922 negativní
922 negativní
8 nemocných
8 nemocných
P(nemocná|pozitivní) = 7/77 = 9,09 %
9.
V Kocourkově provozují taxi dvě společnosti. Jedna má modré vozy, druhá zelené. Modrých vozů taxi jezdí po městě 15 %, zelených 85 %.
Jednoho zimního večera za tmy a v mlze srazil automobil taxislužby mladého muže. Ten později vypověděl, že automobil byl modrý. Policie vyzkoušela, nakolik je muž schopen rozeznat barvu v podobných podmínkách jako onoho večera, a zjistila, že barvu dokáže určit správně v 80 % případů. Jaký závěr z těchto informací může udělat soudce, který řeší žalobu poškozeného na provozovatele taxislužby?
zelená auta ... 85 % modrá auta ... 15 % schopnost rozpoznat ... 80 %
100 aut100 aut
15 modrých
15 modrých
17 modrých
17 modrých
68 zelených
68 zelených
12 modrých
12 modrých
3 zelená
3 zelená
85 zelených
85 zelených
svědectví
zelená auta ... 85 % modrá auta ... 15 % schopnost rozpoznat ... 80 %
100 aut100 aut
15 modrých
15 modrých
17 modrých
17 modrých
68 zelených
68 zelených
12 modrých
12 modrých
3 zelená
3 zelená
85 zelených
85 zelených
P(modrý|svědectví) = 12/29 = 41,4 %
svědectví
10. Před nástupem do nového zaměstnání musel David podstoupit rutinní preventivní prohlídku, jejíž součástí byl test na HIV. Výrobce testu na HIV uvádí, že test odhalí přítomnost viru u nemocné osoby s pravděpodobností 99,90 % a s pravděpodobností 99,99 % dá negativní výsledek u zdravé osoby. V České republice je virem nakažen přibližně 1 člověk z 10 000. Po vyhodnocení testu lékař Davidovi zatelefonoval, že mu test vyšel pozitivní, a že musí znovu na odběr krve, aby se výsledek ověřil. Výsledek druhého testu bude znám až za týden. David zatím musí čekat, hlavou mu přitom běží nejčernější myšlenky.
a) David se z hlediska rizika nákazy virem HIV považuje za průměrného Čecha. Jaká je pravděpodobnost po výsledku prvního testu, že má skutečně HIV?
i) větší než 99 %
ii) mezi 90 % a 99 %
iii) mezi 60 % a 90 %
iv) mezi 40 % a 60 %
v) mezi 10 % a 40 %
vi) mezi 1 % a 10 %
vii) menší než 1 %
pozitivní výsledek u nemocné osoby ... pravděpodobnost 99,90 %
negativní výsledek u zdravé osoby ... pravděpodobnost 99,99 %
výskyt nemoci ... 1 Čech z 10 000
10 000 lidí10 000 lidí
9999 zdravých
9999 zdravých
1 pozitivní
1 pozitivní
0 negativní
0 negativní
1 pozitivní
1 pozitivní
9998 negativní
9998 negativní
1 nemocný
1 nemocný
1 : 1
pozitivní výsledek u nemocné osoby ... pravděpodobnost 99,90 %
negativní výsledek u zdravé osoby ... pravděpodobnost 99,99 %
výskyt nemoci ... 1 Čech z 10 000
10 000 lidí10 000 lidí
9999 zdravých
9999 zdravých
1 pozitivní
1 pozitivní
0 negativní
0 negativní
1 pozitivní
1 pozitivní
9998 negativní
9998 negativní
1 nemocný
1 nemocný
P(nemocný|pozitivní) = 1/2
pozitivní výsledek u nemocné osoby ... pravděpodobnost 99,90 %
negativní výsledek u zdravé osoby ... pravděpodobnost 99,99 %
výskyt nemoci ... 1 Čech z 10 000
10 000 lidí10 000 lidí
9999 zdravých
9999 zdravých
1 pozitivní
1 pozitivní
0 negativní
0 negativní
1 pozitivní
1 pozitivní
9998 negativní
9998 negativní
1 nemocný
1 nemocný
P(nemocný|pozitivní) = 1/2
pozitivní výsledek u nemocné osoby ... pravděpodobnost 99,90 %
negativní výsledek u zdravé osoby ... pravděpodobnost 99,99 %
výskyt nemoci ... 1 Čech z 10 000
10 000 lidí10 000 lidí
9999 zdravých
9999 zdravých
1 pozitivní
1 pozitivní
0 negativní
0 negativní
1 pozitivní
1 pozitivní
9998 negativní
9998 negativní
1 nemocný
1 nemocný
P(nemocný|pozitivní) = 1/2
P(pozitivní|nemocný) P(nemocný|pozitivní)
nemocní zdraví pozitivní 1 1 2
negativní 0 9998 9998
1 9999 10 000
pozitivní výsledek u nemocné osoby ... pravděpodobnost 99,90 %
negativní výsledek u zdravé osoby ... pravděpodobnost 99,99 %
výskyt nemoci ... 1 Čech z 10 000
P(nemocný|pozitivní) = 1/2 = 50 %
P(zdravý|pozitivní) = 1/2 = 50 % ... falešná pozitivita
nemocní zdraví pozitivní 1 10 11
negativní 0 99 989 99 989
1 99 999 100 000
pozitivní výsledek u nemocné osoby ... pravděpodobnost 99,90 %
negativní výsledek u zdravé osoby ... pravděpodobnost 99,99 %
výskyt nemoci ... 1 ze 100 000
P(nemocný|pozitivní) = 1/11 = 9,09 %
P(zdravý|pozitivní) = 10/11 = 90,91 %
nemocní zdraví pozitivní 9990 99 10 089
negativní 10 989 901 989 911
10 000 990 000 1 000 000
pozitivní výsledek u nemocné osoby ... pravděpodobnost 99,90 %
negativní výsledek u zdravé osoby ... pravděpodobnost 99,99 %
výskyt nemoci ... 1 ze 100
P(nemocný|pozitivní) = 9990 / 10 089 = 99,02 %
P(zdravý|pozitivní) = 99 / 10 089 = 0,98 %
11.
Lékař má podezření, že potíže jeho pacienta, pana Veselého, působí streptokoková infekce. Provede mu výtěr z krku a do laboratoře pošle celkem 5 stěrů. Test není dokonalý: má-li pacient streptokokovou infekci, bude výsledek pozitivní v 70 % případů, ve zbývajících 30 % případů bude negativní. Je-li pacient zdráv, bude výsledek v 90 % případů negativní, v 10 % případů pozitivní. Výsledek laboratorních zkoušek je následující:
ANO, NE, ANO, NE, ANO.
Příznaky choroby nejsou příliš přesvědčivé a lékař na jejich základě odhadne pravděpodobnost streptokokové infekce na 0,5. Co z toho plyne?
i) Výsledky testu jsou bezcenné.ii) Pacient streptokokovou infekci spíš nemá.iii) Je o něco málo pravděpodobnější, že pacient streptokokovou infekci má než nemá.iv) Je mnohem pravděpodobnější, že pacient streptokokovou infekci má než nemá.
nemocný ... pozitivní test: 70 %, negativní test: 30 % zdravý ... pozitivní test: 10 %, negativní test: 90 % výsledky: + – + – + P(+ – + – + | N) = 0,7 x 0,3 x 0,7 x 0,3 x 0,7 = 0,03087 = 3,087 %
P(+ – + – + | Z) = 0,1 x 0,9 x 0,1 x 0,9 x 0,1 = 0,00081 = 0,081 %
P(N)=P(Z)=0,5
20 000 lidí20 000 lidí
10 000 zdravých
10 000 zdravých
309 + – + – +
309 + – + – +
9691 jinak
9691 jinak
9992 jinak
9992 jinak
10 000 nemocných
10 000 nemocných
8 + – + – +
8 + – + – +
20 000 lidí20 000 lidí
10 000 zdravých
10 000 zdravých
309 + – + – +
309 + – + – +
9691 jinak
9691 jinak
9992 jinak
9992 jinak
10 000 nemocných
10 000 nemocných
8 + – + – +
8 + – + – +
P(N| + – + – +) = 309/317 = 0,974 = 97,4 %
Bayes:
)Z(P)Z|(P)N(P)N|(P)N(P)N|(P
)|N(P
974,05,085,0093
5,00935,00,00085,00,0309
5,00,0309
nemocný ... pozitivní test: 70 %, negativní test: 30 % zdravý ... pozitivní test: 10 %, negativní test: 90 % výsledky: + – + – + P(+ – + – + | N) = 0,7 x 0,3 x 0,7 x 0,3 x 0,7 = 0,03087 = 3,087 %
P(+ – + – + | Z) = 0,1 x 0,9 x 0,1 x 0,9 x 0,1 = 0,00081 = 0,081 %
P(N)=P(Z)=0,5
20 000 lidí20 000 lidí
10 000 zdravých
10 000 zdravých
309 + – + – +
309 + – + – +
9691 jinak
9691 jinak
9992 jinak
9992 jinak
10 000 nemocných
10 000 nemocných
8 + – + – +
8 + – + – +
Bayes:
974,08093
093)|N(P
)|N(P 974,05,085,0093
5,00935,00,00085,00,0309
5,00,0309
20 000 lidí20 000 lidí
10 000 zdravých
10 000 zdravých
309 + – + – +
309 + – + – +
9691 jinak
9691 jinak
9992 jinak
9992 jinak
10 000 nemocných
10 000 nemocných
8 + – + – +
8 + – + – +
Bayes:
974,08093
093)|N(P
)Z(P)Z|(P)N(P)N|(P)N(P)N|(P
)|N(P
nemocný ... pozitivní test: 70 %, negativní test: 30 % zdravý ... pozitivní test: 10 %, negativní test: 90 % výsledky: + – + – + P(+ – + – + | N) = 0,7 x 0,3 x 0,7 x 0,3 x 0,7 = 0,03087 = 3,087 %
P(+ – + – + | Z) = 0,1 x 0,9 x 0,1 x 0,9 x 0,1 = 0,00081 = 0,081 %
P(N)=0,9 P(Z)=0,1
100 000 lidí100 000 lidí
10 000 zdravých
10 000 zdravých
2778 + – + – +
2778 + – + – +
87 222 jinak
87 222 jinak
9992 jinak
9992 jinak
90 000 nemocných
90 000 nemocných
8 + – + – +
8 + – + – +
P(N| + – + – +) = 2778/2786 = 0,997 = 99,7 %
100 000 lidí100 000 lidí
10 000 zdravých
10 000 zdravých
2778 + – + – +
2778 + – + – +
87 222 jinak
87 222 jinak
9992 jinak
9992 jinak
90 000 nemocných
90 000 nemocných
8 + – + – +
8 + – + – +
Bayes:
)Z(P)Z|(P)N(P)N|(P)N(P)N|(P
)|N(P
997,01,0819,00873
9,008731,00,000819,00,03087
9,00,03087
nemocný ... pozitivní test: 70 %, negativní test: 30 % zdravý ... pozitivní test: 10 %, negativní test: 90 % výsledky: + – + – + P(+ – + – + | N) = 0,7 x 0,3 x 0,7 x 0,3 x 0,7 = 0,03087 = 3,087 %
P(+ – + – + | Z) = 0,1 x 0,9 x 0,1 x 0,9 x 0,1 = 0,00081 = 0,081 %
P(N)=0,9 P(Z)=0,1
Bayes:
)Z(P)Z|(P)N(P)N|(P)N|(P
)N(P)|N(P
)Z(P)Z|(P)N(P)N|(P)Z|(P
)Z(P)|Z(P
100 000 lidí100 000 lidí
10 000 zdravých
10 000 zdravých
2778 + – + – +
2778 + – + – +
87 222 jinak
87 222 jinak
9992 jinak
9992 jinak
90 000 nemocných
90 000 nemocných
8 + – + – +
8 + – + – +
LOGICKÁ INTERPRETACE
PRAVDĚPODOBNOST
= míra racionálního přesvědčení o platnosti
určitého tvrzení
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), 1678Bernard Bolzano (1781 – 1848), 1837Tomáš Garrigue Masaryk (1851 – 1925), 1883Johannes von Kries (1853 – 1928), 1886John Maynard Keynes (1883 – 1946), 1921Ludwig Wittgenstein (1889 – 1951), 1921Emanuel Czuber (1851 – 1925), 1923Otomar Pankraz (1903 – 1976), 1939Rudolf Carnap (1891 – 1970), 1950
Evidence: všichni doposud pozorovaní havrani byli černí
Hypotéza: všichni havrani jsou černí
Top Related