Metrologia Metrologia -- IntroduIntroduoo
MediMedio:o: Conjunto de operaes que tem por objetivo
determinar o valor de uma grandeza.
Por que medir? Por que medir? A medio empregada para monitorar, controlar ou
investigar um processo ou fenmeno fsico.
Resultado da mediResultado da medio:o: A indicao, obtida de um Sistema de Medio (SM),
sempre expressa por meio de um nmero e a unidade do mensurando.
Ex.: 1 m, 5 kg, 3,46 A.
Metrologia Metrologia -- IntroduIntroduoo
Metrologia Metrologia -- IntroduIntroduoo
Metrologia Metrologia Sistema de UnidadesSistema de Unidades
Sistema Internacional de unidadesSistema Internacional de unidades
CdcandelaIntensidade LuminosaMolmolQuantidade de MatriaKkelvinTemperatura TermodinmicaAampreCorrente EltricaSsegundoTempokgquilogramaMassammetroComprimento
SmboloNome GRANDEZA
Metrologia Metrologia -- PadresPadres
Sistema Internacional de unidadesSistema Internacional de unidades
Metro (m) o caminho percorrido pela luz no vcuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de um segundo [17a. CGPM (1983)]
Quilograma (kg) igual massa do prottipo internacional, feito com uma liga platina -irdio, dentro dos padres de preciso e confiabilidade que a cincia permite [ 1a. CGPM (1889) ; ratificada na 3a. CGPM (1901)]
Segundo (s) a durao de 9 192 631 770 perodos da radiao correspondente transio entre os dois nveis hiperfinos do tomo de csio-133, no estado fundamental [13a. CGPM ( 1967)]
Metrologia Metrologia -- PadresPadres
Sistema Internacional de unidadesSistema Internacional de unidades
Kelvin (K) a frao 1/273,16 da temperatura termodinmica do ponto triplo da gua[13a. CGPM (1967)]
Mol (mol) a quantidade de matria de um sistema que contm tantas entidades elementares quantos forem os tomos contidos em 0,012 quilograma de carbono 12 [14a. CGPM (1971)]
Ampre (A) uma corrente constante que, se mantida em dois condutores retilneos e paralelos, de comprimento infinito e seco transversal desprezvel, colocados a um metro um do outro no vcuo, produziria entre estes dois condutores uma fora igual a 2 x10-7 newton, por metro de comprimento [9a. CGPM (1948)]
Metrologia Metrologia -- PadresPadres
Sistema Internacional de unidadesSistema Internacional de unidades
Candela (cd) a intensidade luminosa, em uma determinada direo, de uma fonte que emite radiao monocromtica de freqncia 540x1012hertz e que tem uma intensidade radiante naquela direo de 1/683 watt por esferoradiano [16a. CGPM (1979)]
Metrologia Metrologia Unidades DerivadasUnidades Derivadas
Sistema Internacional de unidades derivadasSistema Internacional de unidades derivadas
mol/m3mol por metro cbicoconcentraom3/kgmetro cbico por quilogramavolume especficokg/m3quilograma por metro cbicodensidade
m-1metro recproco nmero de ondam/s2metro por segundo quadradoaceleraom/smetro por segundovelocidadem3metro cbicovolumem2metro quadradorea
SmboloUnidadeGrandeza
Metrologia Metrologia Unidades DerivadasUnidades Derivadas
Sistema Internacional de unidades derivadasSistema Internacional de unidades derivadas
V/A ohmresistncia eltricaC/VFfaradcapacitncia eltricaW/AV voltpotencial eltricoA sCcoulombquantidade de eletricidadeJ/sWwattpotncia, fluxo radianteN mJjouleenergia, trabalhoN/m2Pa pascalpresso, tenso
kg m/s2Nnewtonforas-1 Hzhertzfreqncia
Expresso(*)SmboloUnidadeGrandeza
Metrologia Metrologia Unidades DerivadasUnidades Derivadas
Sistema Internacional de unidades derivadasSistema Internacional de unidades derivadas
J/kg Svsievertdose equivalenteJ/kg Gygraydose absorvida s-1 Bqbecquerelatividade (de radionucldeo)
lm/m2lxluxiluminnciacd srlmlumenfluxo luminoso
KCgrau celciustemperatura celciusWb/AHhenryindutnciaWb/m2T tesladensidade de fluxo magntico
V sWbweberfluxo magnticoA/VS siemenscondutncia eltrica
ExpressoSmboloUnidadeGrandeza
Metrologia Metrologia Unidades DerivadasUnidades Derivadas
Sistema Internacional de unidades derivadasSistema Internacional de unidades derivadas
J/moljoule por molenergia molarA/mampre por metrofora do campo magnticoJ/Kjoule por kelvinentropiaJ/m3joule por metro cbicodensidade de energiaV/mvolt por metrofora do campo eltricoC/m2coulomb por metro quadradodensidade de carga eltrica A/m2ampere por metro quadradodensidade de correnterad/sradiano por segundovelocidade angularrad/s2radiano por segundo quadradoacelerao angular
ExpressoUnidadeGrandeza
Metrologia Metrologia Unidades DerivadasUnidades Derivadas
Sistema Internacional de unidades derivadasSistema Internacional de unidades derivadas
W/(m K)watt por metro kelvincondutividade trmicaN/mnewton por metrotenso superficial
J/(kg K)joule por quilograma kelvinentropia especficaJ/kgjoule por quilogramaenergia especficaW/srwatt por esferoradianopotncia radiante
W/(m2 sr) watt por metro quadrado esferoradianoradincia
W/m2watt por metro quadradodensidade de potnciaJ/(mol K)joule por mol kelvinentropia molar
ExpressoUnidadeGrandeza
Resultado da MediResultado da Medio:o: O resultado de uma medio (RM) composto de duas
parcelas:
Resultado base (RB = Valor mdio); Incerteza da medio (IM = Desvio padro da mdia).
Sistema de mediSistema de medio (SM): o (SM): Em termos genricos, um SM pode ser dividido em trs mdulos
funcionais: sensor/transdutor unidade de tratamento do sinal dispositivo mostrador.
Metrologia Metrologia -- ConceitosConceitos
][unidadeIMRBRM =
Sensor/Transdutor
Tratamento de sinal
Mostrador/Registrador
Converte tipo de energiaSinal de baixa energia
Torna o sinal perceptvelProcessa sinalFonte de energia
Medida Direta:Medida Direta: o valor obtido por comparao da grandeza fsica a
medir com outra de mesma espcie de valor conhecido.
Metrologia Metrologia -- ConceitosConceitos
Medida Indireta: Medida Indireta: o valor obtido por meio de uma equao fsica (leis,
definies ou modelos) a qual relaciona valores conhecidos de outras grandezas.
Metrologia Metrologia -- ConceitosConceitos
Tenso a partir da corrente
Vazo a partir do nvel
Erro:Erro: a diferena entre um valor obtido ao se medir uma
grandeza e o valor real ou correto da mesma.
Erro = valor medido valor real
Desvio: Desvio: a diferena entre um valor obtido ao se medir uma
grandeza e um valor adotado que mais se aproxima do valor real. Na prtica se trabalha na maioria das vezes com desvios e no erros.
Metrologia Metrologia -- ConceitosConceitos
Erros e Desvios de medidas: Erros e Desvios de medidas: incerteza associada ao desvio, impreciso ou
incerteza da medida. Grosseiros; Sistemticos; Acidentais.
Metrologia Metrologia -- ConceitosConceitos
Erros Grosseiros:Erros Grosseiros: decorrem da falta de cuidado ou falta de experincia
do observador. Ex.: erros de clculo, erros de leitura, erros oriundos de um
manuseio incorreto do sistema de medio, erros de paralaxe.
Erros SistemErros Sistemticos: ticos: decorrem de imperfeies do observador, do
instrumento de medio e do mtodo utilizado na medio.
Erros Acidentais:Erros Acidentais: decorrem de vrias causas, conhecidas ou no, que
se superpem de maneira Imprevisvel.
Metrologia Metrologia -- ConceitosConceitos
Valor MValor Mdio:dio: a mdia das diversas medidas de uma varivel.
26,5528,527,525,530,520,5
11 =++++=
== n
i iMnmedV
Metrologia Metrologia -- ConceitosConceitos
5,285,275,255,305,20
Medidas (Mi)
Metrologia Metrologia -- ConceitosConceitos
VM = 5,26
5,28
5,27
5,25
5,30
5,20
Valores Medidos
EM = 0,028
0,02
0,01
0,01
0,04
0,06
Erro Absoluto
Erro Absoluto (Erro Absoluto (EEabsabs) e Erro M) e Erro Mdio (Edio (EMM): ): Apresenta a diferena entre o valor medido e o
Valor Mdio (VM).
=
=
==
=
n
i iabsEnME
medxxabsE
x
ii
i
11
mdio valor xmedido valor
:Dados
med
Metrologia Metrologia -- ConceitosConceitos
V = 5,26 V = 5,26 0,090,09P = 0,0892VM = 5,26
5,385,275,155,305,20
Medidas (Mi)
V = 5,26 V = 5,26 0,040,04P = 0,0381VM = 5,26
5,285,275,255,305,20
Medidas (Mi)
Desvio Padro (Desvio Padro (PP): ): Exprime a disperso dos valores medidos em
relao ao Valor Mdio.
)1(
)(1
2
= = nVM
P
n
iMi
Menos dispersos Mais dispersos
Metrologia Metrologia -- ConceitosConceitos
V = 5,26 V = 5,26 0,040,04PM = 0,0399
VM = 5,26
5,385,275,155,305,20
Medidas (Mi)
V = 5,26 V = 5,26 0,020,02PM = 0,017VM = 5,26
5,285,275,255,305,20
Medidas (Mi)
Desvio Padro da MDesvio Padro da Mdia (dia (PMPM): ): Exprime a incerteza em relao ao Valor Mdio.
)1.(
)(1
2
= = nnVM
PM
n
iMi
Menos dispersos Mais dispersos
Metrologia Metrologia -- ConceitosConceitos Algarismos significativos:Algarismos significativos:
Algarismos exatos mais o primeiro algarismo duvidoso.
Ex.: 2,5 (2), 3,456 (4), 0,026 (2).
Medidas com incertezas x Algarismos Significativos:Medidas com incertezas x Algarismos Significativos: Exemplos:
3,4579 0,02 0,02 3,46 3,46 0,02 0,02 356,253 356,253 1 1 356 356 11 0,7932 0,7932 0,03 0,03 0,79 0,79 0,03 0,03
A posiA posio do do do dgito significativo do erro determinargito significativo do erro determinar o o nnmero de algarismos significativos do valor medido.mero de algarismos significativos do valor medido.
Metrologia Metrologia PropagaPropagao de Erroso de Erros
SomaSoma
)()(
e Dados
yxyxyxz
yyyxxx
++=+===
5,00,15
5,03,02,00,150,50,10
3,00,5 e 2,00,10
==+=+=
=+===
z
yxzz
yx
Metrologia Metrologia PropagaPropagao de Erroso de Erros
SubtraSubtraoo
)()(
e Dados
yxyxyxz
yyyxxx
+=+=+=+=
5,00,5
5,03,02,00,50,50,10
3,00,5 e 2,00,10
==+=+=
====
z
yxzz
yx
Metrologia Metrologia PropagaPropagao de Erroso de Erros
MultiplicaMultiplicaoo
)..().(.
e Dados
xyyxyxyxz
yyyxxx
+==+=+=
450
42,00,53,00,10..500,5x0,10
3,00,5 e 2,00,10
==+=+=
====
z
xxxyyxzz
yx
Metrologia Metrologia PropagaPropagao de Erroso de Erros
DivisoDiviso
( )2,00,2
16,0)2,00,53,00,10(251..2
1
2,00,50,10
3,00,5 e 2,00,10
=
=+=+===
==
z
xxxyyxy
z
z
yx
)..(21
e Dados
xyyxyy
xyxz
yyyxxx
+
==+=+=
Metrologia Metrologia PropagaPropagao de Erroso de Erros
1. no algarismo significativo o zero esquerda do primeiro algarismo significativo diferente de zero. Assim, tanto l = 32,5 cm como l = 0,325 m representam a mesma medida e tm 3 algarismos significativos. Outros exemplos:5 = 0,5x10 = 0,05x102 = 0,005x103 (1 A. S. )26 = 2,6x10 = 0,26x102 = 0,026x103 (2 A. S. )0,00034606 = 0,34606x10-3 = 3,4606x10-4 (5 A. S.)
2. zero direita de algarismo significativo tambm algarismo significativo. Portanto, l = 32,5 cm e l = 32,50 cm so diferentes, ou seja, a primeira medida tem 3 A.S. enquanto que a segunda mais precisa e tem 4 A. S.
3. significativo o zero situado entre algarismos significativos.Ex: l = 3,25 m tem 3 A. S. enquanto que l = 3,025 m tem 4 A. S.
4. Quando tratamos apenas com matemtica podemos dizer, por exemplo, que 5 = 5,0 = 5,00 = 5,000. Contudo, ao lidarmos com resultados de medidas devemos sempre lembrar que 5 cm 5,0 cm 5,00 cm 5,000 cm, j que estas medidas tem 1 A.S., 2 A. S. , 3 A. S. e 4 A. S., respectivamente. Em outras palavras, a preciso de cada uma delas diferente.
Metrologia Metrologia PropagaPropagao de Erroso de Erros5. Arredondamento: Quando for necessrio fazer arredondamento de algum nmero, utilizaremos a seguinte regra: quando o ltimo algarismo significativo for menor ou igual a 5 este abandonado; quando o ltimo algarismo significativo for maior que 5, somamos 1 unidade ao algarismo significativo anterior.Ex.: 8,234 cm e arredondado para 8,23 cm8,235 cm e arredondado para 8,23 cm8,238 cm e arredondado para 8,24 cm
6. Operaes com algarismos significativos:a) Soma e subtrao: Primeiro devemos reduzir todas as parcelas mesma unidade. Aps realizar a soma, o resultado deve apresentar apenas um algarismo duvidoso.Ex. 2,653 m + 53,8 cm + 375 mm = 2,653 m + 0,538 m + 0,375 m = 3,57 m.3,765 cm + 2,8 cm + 3,21 cm = 9,775 cm = 9,8 cm.133,35 cm - 46,7 cm = 86,65 cm = 86,6 cm.Neste item sugere-se que as contas sejam feitas mantendo todos os algarismos significativos e os arredondamentos necessrios sejam feitos no resultado da operao.
Metrologia Metrologia PropagaPropagao de Erroso de Erros
6. Operaes com algarismos significativos:
b) Produto e diviso: a regra dar ao resultado da operao o mesmo nmero de algarismos significativos do fator que tiver o menor nmero de algarismos significativos.Exemplos: 32,74 cm x 25,2 cm = 825,048 cm2 = 825 cm2.32,74 cm2 x 3,8 cm = 124,412 cm3 = 1,2 x 102 cm3.37,32 m/ 7,45 s = 5,00940 m/s = 5,01 m/s.
c) Algarismos significativos em medidas com erro: Suponhamos que uma pessoa ao fazer uma srie de medidas do comprimento de uma barra l, tenha obtido os seguintes resultados:-comprimento mdio, l = 82,7390cm-erro estimado, l = 0,538cmComo o erro da medida est na casa dos dcimos de cm, no faz sentido fornecer os algarismos correspondentes aos centsimos, milsimos de cm. O erro estimado de uma medida deve conter apenas o seu algarismo mais significativo. Neste caso l deve ser expresso apenas por:l = (82,7 0,5) cm
Metrologia Metrologia ExercExerccioscios
1- Verifique quantos algarismos significativos apresentam os nmeros abaixo:a) 0,003055 b) 1,0003436 c) 0,0069000 d) 162,32x106
2- Aproxime os nmeros acima para 3 algarismos significativos.
3- Efetue as seguintes operaes, levando em conta os algarismos significativos:a) 2,3462 cm + 1,4 mm + 0,05 m b) 0,052 cm /1,112 s c) 10,56 m - 36 cm
4- Efetue as seguintes operaes, levando em conta os algarismos significativos:a) (2,50 0,6)cm + (7,06 0,07)cm b) (0,42 0,04)g/(0,7 0,3)cmc) (0,7381 0,0004)cm x (1,82 0,07)cmd) (4,450 0,003)m x (0,456 0,006)m
Metrologia Metrologia ExercExerccioscios
5- As medidas da massa, comprimento e largura de uma folha foram obtidas 8 vezes e os resultados esto colocados na tabela abaixo. Usando estes dados e levando em conta os algarismos significativos, determine:
a) Os valores mdios da massa, comprimento e largura da folha.b) Os erros absolutos das medidas da massa, comprimento e largura da folha.c) O desvio padro e o desvio padro da mdia das medidas da massa, comprimento e largura da folha.d) O erro relativo das medidas da massa, comprimento e largura da folha.e) Escreva o valor da varivel na forma:
massa (g)
4,51 4,434,46 4,414,56 4,564,61 4,61
largura (cm)
21,0 21,121,2 20,920,8 20,821,1 20,7
comprimento (cm)
30,2 29,829,8 30,129,9 29,930,1 29,9
][unidadeIMRBRM =
Metrologia Metrologia ExercExerccioscios
6-Utilizando os resultados do exerccio 5 e a teoria de propagao de erros, determine:(a) A rea da folha e seu respectivo erro.(b) Densidade superficial da folha e seu respectivo erro.
7 - Em uma srie de medidas foram obtidos os seguintes resultados:
x = [ 40,7; 40,2; 40,8; 40,3; 40,3; 40,4; 40,5; 40,7; 40,6; 40,5]Encontre o valor mais provvel da grandeza x (cm) e calcule o desvio padro da mdia.
8 - Considere a expresso para o clculo do volume de um cubo V = ABC . As dimenses medidas foram A = (1,37 0,02) cm; B = (2,43 0,05) cm; C = (27,4 0,3) cm. Determine o Volume e o erro associado.
Metrologia Metrologia ExercExerccioscios9 - Dadas as medidas e seus respectivos desvios, escrever os resultados corretamente, em termos de algarismos significativos.
28 h276 m0,0219 g2,3 cm0,25 gm82372 h12314 m4,189 g72,19 cm32,75 gm
(e)(d)(c)(b)(a)
10 - Numa experincia, a medida do comprimento de uma barra, repetida 5 vezes ( N = 5 ), forneceu a tabela:
2,272,222,242,262,21Ln (m)54321n
a) Encontrar o valor mdio.b) Encontrar o desvio mdio.c) Escrever o resultado final em termos de algarismos significativos.
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