INTERAÇÃO TRINCA-DISCORDÂNCIA: INFLUÊNCIA DA VIZINHAÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL
ANGELO GIL P. RANGEL
UFMG 2002
X2
X3
X1
ρ'
E
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA METALÚRGICA E DE MINAS
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
Curso de Pós-Graduação em Engenharia Metalúrgica e de Minas
Tese de Doutorado
"Influência da vizinhança de uma trinca
sobre a energia elástica de uma
discordância em anel”
Autor: Angelo Gil Pezzino Rangel
Orientadores: Profa. Dra. Berenice M. Gonzalez Prof. Dr. Horacio Helman (in memoriam) Co-Orientador: Prof. Dr. Gérard Michot
Agosto/2002
ii
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
Curso de Pós-Graduação em Engenharia Metalúrgica e de Minas
Angelo Gil Pezzino Rangel
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA
SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA
DISCORDÂNCIA EM ANEL
Tese de Doutorado apresentada ao Curso de
Pós-Graduação em Engenharia Metalúrgica e
de Minas da Universidade Federal de Minas
Gerais.
Área de concentração: Metalurgia Física Orientadores: Profa. Dra. Berenice M. Gonzalez Prof. Dr. Horacio Helman (in memoriam) Co-Orientador: Prof. Dr. Gérard Michot
Belo Horizonte
Escola de Engenharia da UFMG
2002 INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
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INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
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HOMENAGEM
AO PROFESSOR
HORACIO HELMAN,
pela sua inesgotável fonte de sabedoria diante de adversidades, pela sua inata
capacidade de simplificar o que a todos parecia complexo, pelo seu excepcional dom de
cativar o espírito de quem quer que fosse que com ele se relacionasse, esse trabalho foi
finalizado em sua memória.
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v
A Margarida, Anathalia, Joana e Giuliano.
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vi
AGRADECIMENTOS
TRABALHOS DE NATUREZA ACADÊMICA SEMPRE CONTÊM ERROS que alguns colegas mais
afoitos se apressam logo em descobrir. É sobre os erros de muitos e os poucos acertos
de alguns que caminha a Ciência. Esse trabalho não pretende fugir à regra. E, antes que
alguém venha lhe apontar tais erros, o Autor deseja informar que essas são as páginas
do trabalho em que mais erros ele comete. Erra o Autor por omitir quem nela deveria ter
o nome constando e erra mais gravemente ainda por agradecer de forma insuficiente
àqueles que aqui são citados. Num ato de contrição, o Autor deseja antecipadamente
desculpar-se com os que se incluem no erro de primeira espécie. Quanto aos incluídos
no erro da segunda espécie, o Autor agradece:
- à Profa. Maria Angela Loyola de Oliveira e ao Prof. Guilherme E.C. Laux, incentivadores da hora primeira;
- ao Colegiado do Curso Superior de Tecnologia Mecânica da UFES, pela licença concedida para ausentar-me durante o período de Set/1997 a Fev/1999, rearranjando-se para absorver os meus encargos acadêmicos, enquanto eu "passeava pela Europa", principalmente ao Coordenador, Prof. Antonio Paula Nascimento, amigo leal e sincero, e à Secretária, Srta. Elizabeth Vieira;
- aos colegas e amigos do Departamento de Engenharia Mecânica e do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da UFES, os quais, mais que dar-me incentivos, faziam a necessária e imprescindível cobrança pelo resultado final do trabalho;
- à Sra. Maria Aparecida Pacheco, Secretária do CPGEM que me cobrava pelo lado mineiro do trabalho e de quem me tornei admirador pela sua eficiência no trato administrativo;
- a todo o pessoal do LPM-EMN, Nancy (je ne pouvais pas les oublier ici): Mme. Sylvie Choux, Mme. la Secretáire Nounou, M. Pascal Martin, Jojo (M. J.P. Feieresen), M. Daniel Perrin, Dr. J.P. Michel, Dr. Amand George, pesquisador e Diretor do Labo, quem amavelmente me acolheu e me forneceu o inefável apoio para esse trabalho, por quem desenvolvi extraordinária admiração por sua seriedade e pela sua constante preocupação em relação ao meu desenvolvimento, Dr. Marc Legros, pelo seu apoio inconteste e pelas nossas discussões, dentro e fora do Labo, a tous mes remérciments;
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vii
- ao Prof. Marcio Coelho de Mattos, ontem meu aluno brilhante, hoje meu professor exemplar, colega fiel e amigo sincero, parceiro de inconfidências acadêmicas;
- em especial ao Prof. Cherlio Scandian, companheiro em França, executor das mais belas manips de Silício, colaborador importante na jornada e que me deu a honra de participar da banca que analisa este trabalho;
- aos colegas professores Rogério Ramos, Marcelo Camargo de Macedo e João Luis Donatelli, pelas palavras de incentivo e exemplos gratificantes;
- a CAPES, pela oportunidade a mim concedida de poder, através de seu Programa CAPES-COFECUB e da Rede Santos-Dumont, visitar o LPM pelo período de dezoito meses, sem o que esse trabalho não poderia ter se completado;
- à Cia. Siderúrgica de Tubarão, na pessoa do seu ex-Diretor de RH, Sr. Luiz Carlos Pimenta, que apoiou grande parte do desenvolvimento do trabalho em França através de seu programa conjunto com a UFES;
- a Gerard (Prof. Dr. Gérard Michot), competente profissional, brilhante pesquisador, coordenador do projeto e directeur de thése chez LPM, de quem absorvi a paixão pelo tema e a quem coube, originalmente, propô-lo, que me recebeu em França sem medir energias para me auxiliar na jornada longe dos amigos, tornando-se ele mesmo um amigo;
- ao Prof. Horacio Helman, jamais esquecido, orientador em toda a acepção da palavra, que se foi tão prematuramente, sem que pudéssemos juntos desfrutar o fim de mais uma tarefa concluída;
- à Profa. Berenice M. Gonzalez, quem aceitou me orientar após a morte do Prof. Helman, substituindo-o em todos os aspectos acadêmicos e juntando-se a sua memória no aspecto pessoal, sempre dela tendo incondicional apoio;
- aos Profs. Paulo J. Modenesi e Vicente T.L. Buono, por me darem o prazer e a honra de também participarem da banca; e
- a minha família: Margarida, minha mulher, e meus filhos Anathalia, Joana e Giuliano, pela compreensão, abnegação e paciência por férias sem passeios, fins de semana modorrentos e pela pouca atenção que lhes pude oferecer durante o período em que estive me dedicando a esse trabalho.
(Mesmo após esta lista de agradecimentos, resta-me a incômoda sensação que nela
ainda falta alguém importante.)
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Rangel, Angelo Gil Pezzino
Influência da vizinhança de uma trinca sobre a energia elástica de uma discordância em anel / Angelo Gil Pezzino Rangel. – Belo Horizonte, 2002. Tese (doutorado) — Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais. Departamento de Engenharia Metalúrgica e de Minas. Área de concentração: Metalurgia Física. Orientador(a): Berenice M. Gonzalez. Descritores: 1. MECÂNICA DA FRATURA / 2. TEORIA DAS DISCORDÂNCIAS / 3. INTERAÇÃO TRINCA-DISCORDÂNCIA / 4. FATORES DE INTENSIDADE DE TENSÃO / 5. ANÁLISE DE ENERGIA.
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ix
UFMG – ESCOLA DE ENGENHARIA CAPA Distribuição da componente normal da tensão na região da trinca causada pela presença de uma discordância em anel, de raio ρ, no plano de deslizamento [1 –1 1], com vetor de Burgers b = [1 1 0] e emitida e se desenvolvendo à frente da trinca (eixo das coordenadas X3) no ponto E. [v. Eq. (4.33) na página 62 dessa tese]. ISBN XX–XX–XXXX O trabalho descrito nessa tese é parte de um programa de pesquisa entre a UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS (Brasil) e a ÉCOLE DES MINES DE NANCY, do Institute Nationale Polytéchnique de Lorraine (França), através do Programa CAPES-COFECUB e da Rede Santos-Dumont. Os recursos foram fornecidos pela CAPES, pela EMN e pela CST – Cia. Siderúrgica de Tubarão (Vitória – Brasil).
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x
PREFÁCIO
A PESQUISA NA ÁREA DA ENGENHARIA DE MATERIAIS SE CARACTERIZA, principalmente,
pelos trabalhos experimentais. Isto se explica pela natureza complexa dos fenômenos
que nela são estudados, a maioria deles lidando com um número tal de parâmetros e
variáveis que se torna largamente imprevisível, ou simplesmente impossível, qualquer
afirmação à cerca do comportamento desses materiais quando utilizados em aplicações
da Engenharia. No entanto, à medida que avança a Ciência e a própria Engenharia, seja
nas novas aplicações de materiais amplamente conhecidos, seja na criação de novos
materiais para resolver problemas até recentemente insolúveis, sopram os ventos na
direção de um maior emprego de técnicas de simulação para analisar materiais. Longe
de querer substituir a experimentação por modelos computacionais, o uso da simulação
tem o propósito de complementar os resultados experimentais e fornecer subsídios, a
um baixo custo, para aumentar as chances de acerto nas previsões sobre o
comportamento do material modelado.
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Nas páginas que se seguem, o leitor irá acompanhar a descrição da interação de uma
discordância em anel, ou dislocação em anel, vizinha à frente de uma trinca que se
desenvolve em um material monocristalino. Este é um problema já conhecido, com
soluções, em sua maioria, bidimensionais, e para o qual existem milhares de horas de
experimentação que justificam investigações mais profundas sobre os seus resultados.
As implicações da interação e as ramificações das questões que elas propõem nos
resultados práticos direcionam a pesquisa para a simulação tridimensional, uma vez que
xi
analisar todas as possibilidades que se apresentam tornaria lento e oneroso o processo
de aquisição do conhecimento. A natureza interdisciplinar do problema, em que está
presente, de um lado, a teoria atômica de discordâncias e, de outro, a mecânica de meios
contínuos, é um outro fator indutor do emprego de técnicas computacionais de
simulação que permitam a maior compreensão do comportamento das variáveis nele
envolvidas. O desenvolvimento das técnicas computacionais se baseia em teorias bem
fundamentadas da Mecânica da Fratura e da Teoria Linear da Elasticidade.
Para apresentar os pontos de vista do autor, essa obra divide-se em três partes. A
primeira parte apresenta as noções preliminares sobre o tema, os objetivos do trabalho e
a revisão bibliográfica, esta última não tão intensa quanto o que se desejava a princípio,
mas abrangente o suficiente para permitir que o leitor possa avaliar as principais
contribuições que existem na literatura. A segunda parte descreve a metodologia
empregada e a descrição do procedimento computacional. A terceira e última parte tem
a finalidade de apresentar os resultados e as discussões que deles decorrem, seguindo-se
as conclusões pertinentes.
Embora seja esse um trabalho que pode ser caracterizado como sendo uma pesquisa
pura, suas motivações ultrapassam os muros da Academia e se originam em problemas
reais vividos pelo autor na sua vida profissional. Sempre lhe despertaram a atenção as
falhas provocadas por trincas surgidas, aparentemente do nada, em estruturas
aeronáuticas, área na qual existe um rigoroso controle de qualidade sobre os critérios de
projeto, como também sobre o material empregado e sobre todo o processo de
fabricação das peças. Embora o trabalho não enderece diretamente esse tipo de
problema, o autor acredita que nele tenha sido dado um passo decisivo para a
compreensão de alguns dos fenômenos que desempenham papel importante naquelas
falhas.
Durante a elaboração desse trabalho, o autor teve a oportunidade de visitar, entre 1997 e
1999, sob o patrocínio da CAPES, o Laboratoire des Physiques des Matériaux, da
École des Mines de Nancy, Institute Nationale Polythécnique de Lorraine, em França,
onde foram realizados inúmeros ensaios sobre o Silício monocristalino. A experiência INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
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da Équipe du Silicium, como é conhecida, foi fundamental para a compreensão do
problema, influenciando sobremaneira o direcionamento do trabalho e dos critérios nele
adotados. Lá se desenvolveram, também, os primeiros passos do procedimento
computacional aqui apresentado.
Para que este trabalho pudesse se iniciar e ser concluído, foi essencial o apoio do
CPGEM. Em especial, a profícua e breve interação com o Prof. Horacio Helman que
acreditou na sua concretização desde o início, mas que não pode vê-lo concluído. O
vazio deixado pela sua morte prematura foi incontornável e a sua memória fez-se
presente em cada momento desse trabalho.
Finalmente, é preciso ressaltar que esse trabalho é apenas uma estação na trajetória para
o domínio do assunto e o controle da propagação de trincas em materiais. Ele próprio
poderá ter alguns de seus procedimentos melhorados, não apenas para se obter
resultados mais precisos, mas para que o faça de forma mais eficiente.
Belo Horizonte – Agosto de 2002
O AUTOR
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xiii
SUMÁRIO
PREFÁCIO ..................................................................................................... x
FIGURAS ....................................................................................................... xvi
TABELAS ...................................................................................................... xxv
SIMBOLOGIA................................................................................................. xxvi
RESUMO ....................................................................................................... xxx
ABSTRACT.................................................................................................... xxxi
PARTE I
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO..................................................................................... 2
CAPÍTULO 2 - OBJETIVOS ........................................................................................ 6
CAPÍTULO 3 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................................. 7
3.1 A mecânica da fratura ............................................................................ 7 3.2 A teoria das discordâncias ..................................................................... 13 3.3 Descrição de uma trinca pelo empilhamento de discordâncias ........... 15 3.4 Geração de discordâncias na extremidade da trinca ............................ 17 3.5 A interação trinca-discordância............................................................. 18
PARTE II
CAPÍTULO 4 - METODOLOGIA.................................................................................. 23
4.1 Fundamentos teóricos ............................................................................ 23 4.1.1 Introdução ...................................................................................... 23 4.1.2 O Silício e os modelos de emissão de discordâncias.................. 24
4.1.2.1 Orientações cristalográficas ............................................... 25 4.1.2.2 Fontes de discordância no Si.............................................. 27 4.1.2.3 Densidade de fontes primárias ........................................... 27
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xiv
4.1.2.4 Fontes secundárias ............................................................. 32 4.1.2.5 Emissão estimulada de discordâncias ................................ 33 4.1.2.6 Mecanismo de multiplicação de fontes de discordância.... 35 4.1.2.7 A transição dútil-frágil (BDT) ........................................... 37
4.1.3 Princípios físicos........................................................................... 46 4.1.3.1 A energia potencial de um corpo ....................................... 48 4.1.3.2 A variação de energia causada pela presença de uma
discordância ....................................................................... 49 4.1.3.3 Formulação de energia para o problema da Mecânica da
Fratura ................................................................................ 51 4.2 A solução computacional....................................................................... 57
4.2.1 O anel de discordância e seu campo de tensões.......................... 58 4.2.1.1 A malha de elementos ........................................................ 58 4.2.1.2 As componentes de tensão no plano da trinca ................... 71
4.2.2 Os fatores de intensidade de tensão – KI, KII e KIII ..................... 73 4.2.2.1 A discordância presa à aresta da trinca .............................. 73 4.2.2.2 A discordância distante da aresta da trinca ........................ 76
4.2.3 A força imagem ............................................................................. 79 4.2.4 A energia elástica armazenada....................................................... 80
PARTE III
CAPÍTULO 5 - RESULTADOS E DISCUSSÃO................................................................ 83
5.1 As configurações para o CFC ............................................................. 83 5.1.1 Configuração ALPHA ................................................................... 84 5.1.2 Configuração BETA ...................................................................... 85 5.1.3 Configuração GAMMA................................................................. 85
5.2 Um caso sob a Configuração ALPHA ..................................................... 86 5.2.1 A malha de elementos.................................................................... 86 5.2.2 A distribuição de tensões ............................................................... 89 5.2.3 Os fatores de intensidade de tensão ............................................... 91
5.3 Um caso sob a Configuração BETA ........................................................ 92 5.3.1 A malha de elementos.................................................................... 92 5.3.2 A distribuição de tensões ............................................................... 93 5.3.3 Os fatores de intensidade de tensão ............................................... 95
5.4 Um caso sob a Configuração GAMMA ................................................... 96 5.4.1 A malha de elementos.................................................................... 96 5.4.2 A distribuição de tensões ............................................................... 98
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xv
5.4.3 Os fatores de intensidade de tensão ............................................... 100 5.5 A Configuração REF0 ............................................................................. 101 5.6 A Configuração REF1 ............................................................................. 104 5.7 A Configuração REF2 ............................................................................. 108 5.8 A Variação de energia ............................................................................. 112
5.8.1 O cálculo da força-imagem e da energia elástica .......................... 114 5.8.2 A energia elástica acumulada ........................................................ 116
CAPÍTULO 6 - CONCLUSÕES .................................................................................... 125
CAPÍTULO 7 - SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ........................................... 127
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 128
O AUTOR ......................................................................................................... 135
APÊNDICE A – .................................................................................................
APÊNDICE B – .................................................................................................
APÊNDICE C – LISTAGEM DAS ROTINAS...........................................................
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xvi
FIGURAS
CAPÍTULO 3
FIGURA 3.1 Modos de carregamento da Mecânica da Fratura: (i) Modo I;
(ii) Modo II; e (iii) Modo III........................................................ 10
FIGURA 3.2 Distribuição das tensões próximas à aresta da trinca (ponto O):
(a) Mecânica da Fratura Linear Elástica (MFLE) com material
frágil; (b) Mecânica dos Meios Contínuos, com material
elástico-perfeitamente plástico; e (c) Fratura frágil-dútil com
enclave elástico............................................................................ 11
FIGURA 3.3 Discordância (a) em aresta; e (b) em hélice. ............................... 14
FIGURA 3.4 A trinca modelada por arranjos de discordâncias: (a) Modo I;
(b) Modo II; e (c) Modo III. ........................................................ 16
CAPÍTULO 4
FIGURA 4.1 Corpo de prova DCB (double cantilever beam) típico
empregado nos ensaios de nucleação de discordâncias em
trincas.. ........................................................................................ 26
FIGURA 4.2 Figuras de ataque observadas nos planos de clivagem 110
(a) e 111 (b) depois da fratura completa da amostra
(microscopia óptica, marcadores: 10 µm). A posição da frente
da trinca durante a deformação plástica materializa-se por uma
linha tracejada na micrografia. Durante a propagação à
temperatura ambiente, sua posição se moveu para baixo............ 28
FIGURA 4.3 Topografia de Raios-X [OLIVEIRA (1994)]... .............................. 29
FIGURA 4.4 (a) Micrografia óptica de um plano 111 (onde e é a
espessura da amostra e os pontos O e S são as interseções da INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
xvii
aresta da trinca com as faces da amostra antes da sua fratura
completa). Os pontos de emissão de discordâncias (indicados
por setas) fora evidenciados pelas figuras de ataque [v. Fig.
4.2(b)]. As discordâncias são emitidas na frente da trinca e se
desenvolvem nos planos de deslizamento 111, os quais
cortam as faces da amostra. No caso apresentado aqui, dois
planos de deslizamento paralelos contendo dua sfontes
primárias SP cortam a face maior da amostra na direção [132].. 30
FIGURA 4.4 (b). Sob as condições de carregamento para o qual a fratura
frágil é evitada, uma intensa deformação plástica se
desenvolve. Grandes anéis de discordância crescem até o
contorno do cristal que eles cortam localmente (triângulos
escuros). Um exame dos .... nessas faces ao longo da direção
[132] fornece valiosas informações sobre a densidade de fontes
e suas atividades. No caso especial representado aqui, os anéis
emitidos são tangentes ao plano da trinca. Nenhum pit pode ser
detectado sobre o plano de clivagem. Em geral, a discordâncias
cortam esse plano e os pits são observados como aqueles vistos
na Fig. 4.2(b). .............................................................................. 31
FIGURA 4.5 Figuras de ataque observadas na face da amostra (marcador: 50
µm). O ponto P2 [v. Fig. 4.4(b)] corresponde à interseção do
maior anel de discordância com a face da amostra. Pelo menos
tres empilhamentos de pits bem definidos (setas maiores) são
notados no lado direito da micrografia, enquanto a situação é
bem mais difusa no lado esquerdo............................................... 32
FIGURA 4.6 Uma das orientações cristalográficas concebidas para o Modo I
de carregamento para amostras de Si clivadas no plano (111).
Supões-se que quatro discordâncias com vetores de Burgers
(a/2) [0 1 1] são emitidas de uma fonte primária SPRI. O
segmento P1P2 da quarta discordância emitida migra do plano
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xviii
de deslizamento (1 1 1) para o outro plano de deslizamento
(1 1 1). ......................................................................................... 36
FIGURA 4.7 A migração acontece porque o segmento P1P2 é atraído pela
trinca. Então, o segmento se curva no plano (1 1 1) até o
momento em que ele corta a aresta da trinca. Uma fonte
secundária é ativada através do processo de emissão
estimulada [v.MICHOT (1982)]. ................................................... 37
FIGURA 4.8 Dependência dos fatores de intensidade de tensão em relação à
temperatura para diferentes valores de δ . Os círculos cheios
representam KC, os fatores de intensidade de tensão de
clivagem, enquanto os círculos vazados são os fatores de
intensidade de tensão plásticos, KI [MICHOT (1989) e MICHOT
& GEORGE (1985)], para um Si do tipo Czochralski. .................. 39
FIGURA 4.9 Taxa de variação de carregamento, K , versus o inverso da
temperatura crítica de transição no Si, TC, tal como obtidas por
HIRSCH & ROBERTS (1996): grandes variações são observadas
de acordo com a geometria da amostra testada, a origem do
cristal, a pureza, o procedimento para inserira trinca no
material, etc.. ............................................................................... 41
FIGURA 4.10 Variações admitidas para a contribuição da blindagem, Kd,
para o fator de intensidade de tensão efetivo, KE, nos pontos
mais vulneráveis ao longo da frente da trinca para uma dada
taxa de carregamento, AK : (a) para uma transição suave, as
discordâncias que geram a blindagem são emitidas para baixos
valores de KA; (b) para uma transição mais abrupta, a
discordância que gera a blindagem surge quando os valores de
KA estão próximos de KIC. .......................................................... 42
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FIGURA 4.11 Interação discordância anelar-trinca: (a) configuração do
Modelo de RICE-THOMSON, com semi-anel situado em
plano de deslizamento que contém a frente da trinca;
xix
(b) configuração do Modelo OLIVEIRA-MICHOT, com anel
inteiro situado em plano de deslizamento oblíquo em relação à
frente da trinca............................................................................. 47
FIGURA 4.12 Corpo elástico B: (a) em repouso sem carregamento; e (b) em
uma posição de equilíbrio, após sofrer um carregamento P,
q. ................................................................................................ 48
FIGURA 4.13 Geração de uma discordância em aresta através do corte do
material, com deslocamento na parte inferior (x > 0, y < 0)
igual a bx em relação à parte superior (x > 0, y > 0), com o
restabelecimento do material inteiro (recolagem). Durante esta
operação (quasi-estática), a componente da tensão, σxy aumenta
progressivamente e o trabalho total é igual ao aumento de
energia elástica... ........................................................................ 50
FIGURA 4.14 Corpo elástico com superfície interna livre S. A parte superior
da superfície livre é denotada por S+ e a parte inferior é
denotada por S– , enquanto a normal é denotada nS... ................. 52
FIGURA 4.15 Região do corpo em que a Φ é determinado em função do
ângulo θ.. ..................................................................................... 53
FIGURA 4.16 A superposição dos efeitos da trinca e da discordância que
interagem: (a) a discordância em um meio infinito sem a trinca
(logo, Kd = 0); (b) a mesma discordância próxima a uma trinca
que é fechada por um carregamento tal que Kd = KA = 0; (c) a
discordância próxima à trinca causa um campo de tensões que
se traduz por Kd g 0; (d) para recuperar o meio contínuo, agora
com a trinca, mas retirada a discordância, é preciso que se
aplique um carregamento para fechar a trinca tal que KA = Kd.. . 56
FIGURA 4.17 A discordância de raio unitário à frente da aresta da trinca e as
coordenadas adimensionais usadas na formulação...................... 59
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xx
FIGURA 4.18 Coordenadas adimensionais do ponto M sobre o plano da
trinca, vendo-se a curva iso-p. ..................................................... 61
FIGURA 4.19 Superfície iso-p genérica.construída pelas coordenadas (Ρ, λ) ... 62
FIGURA 4.20 Decaimento da componente de tensão τηζ com o aumento da
distância EM................................................................................ 67
FIGURA 4.21 Malha de elementos quadrilaterais, típica para a análise. (a) O
valor mínimo de p é correspondente à tensão de cisalhamento
de (µ/6) x 10-5. O percentual de redução das tensões usado para
a malha foi de 40%. Nº de divisões em λ = 24; Nº divisões em
p = 20. Total de elementos = 480; (b) Detalhe da região da raíz
da malha, notando-se o raio de corte.. ......................................... 68
FIGURA 4.22 (a) Superfície iso-p para a malha da Fig. 4.16; (b) Vista da
superfície (N.B.: A escala vertical está ampliada 20X para
facilitar a visualização)................................................................ 69
FIGURA 4.23 Rotação ω do eixo ζ para o procedimento de integração ao
longo do anel de discordância. .................................................... 70
FIGURA 4.24 Esquema para determinação das funções de peso, vendo-se em
elemento IJKL sobre o qual atua uma tensão distribuída, e.g.
τηη, representada pela área sombreada. As forças resultantes
incrementais dP, dQ e dR são representadas no ponto M
situado no baricentro do elemento IJKL.. ................................... 74
FIGURA 4.25 Progressão da região de influência do anel de discordância.
Somente a parte da região que fica sobre a superfície da trinca
é considerada para integração...................................................... 77
FIGURA 4.26 Regiões retangulares (malha "negativa"). Os fatores de
intensidade de tensão devem ser calculados para essas áreas e o
resultado subtraído do resultado da malha original.. ................... 78
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xxi
FIGURA 4.27 Deslocamento da discordância para o cálculo da energia.
Inicialmente, o ponto do anel que irá tocar a aresta da trinca
está em O. Para o cálculo, porém esta é a última posição,
encontrada quando a energia é muito pequena para atrair a
discordância até o ponto E........................................................... 81
CAPÍTULO 5
FIGURA 5.1 Configuração ALPHA.. ................................................................ 84
FIGURA 5.2 Configuração BETA..................................................................... 85
FIGURA 5.3 Configuração GAMMA.. .............................................................. 86
FIGURA 5.4 Malha de elementos para a configuração ALPHA.. .................... 87
FIGURA 5.5 Distribuição da componente normal da tensão, τΗΗ, sobre o
plano da trinca para os dados da Configuração ALPHA da
Fig. 5.1: vista de topo.. ............................................................... 88
FIGURA 5.6 Perspectiva da distribuição da componente normal da tensão,
τΗΗ, sobre o plano da trinca. ........................................................ 88
FIGURA 5.7 Detalhe da distribuição da componente normal da tensão, τΗΗ,
sobre o plano da trinca em torno do ponto de emissão, E.. ......... 89
FIGURA 5.8 Perspectiva da distribuição da componente normal da tensão,
τΞΗ, sobre o plano da trinca em torno do ponto de emissão, E.... 90
FIGURA 5.9 Perspectiva da distribuição da componente normal da tensão,
τΖΗ, sobre o plano da trinca em torno do ponto de emissão, E.... 90
FIGURA 5.10 Distribuição dos fatores de intensidade de tensão reduzidos ao
longo da aresta da trinca para a malha da Fig. 5.4 e os dados da
Tab. 5.1... ..................................................................................... 91
FIGURA 5.11 Malha típica para a configuração cristalina BETA.. ................... 93
FIGURA 5.12 Componente da tensão normal ao plano da trinca, τΗΗ.. ............. 94
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
xxii
FIGURA 5.13 Componente da tensão de cisalhamento τΞΗ no plano da trinca.. 94
FIGURA 5.14 Componente da tensão de cisalhamento τΖΗ no plano da
trinca... ......................................................................................... 95
FIGURA 5.15 Distribuição dos fatores de intensidade de tensão reduzidos na
configuração BETA. .................................................................... 96
FIGURA 5.16 Malha de elementos na configuração GAMMA... ...................... 97
FIGURA 5.17 Distribuição da componente de tensão normal ao plano da
trinca, τΗΗ. ................................................................................... 98
FIGURA 5.18 Distribuição da componente de tensão tangente ao plano da
trinca, τΞΗ..................................................................................... 98
FIGURA 5.19 Distribuição da componente de tensão tangente ao plano da
trinca, τΖΗ..................................................................................... 99
FIGURA 5.20 Distribuição dos fatores de intensidade de tensão na
configuração GAMMA. .............................................................. 100
FIGURA 5.21 Anel de discordância no plano de deslizamento perpendicular
ao plano da trinca......................................................................... 101
FIGURA 5.22 Malha utilizada para a solução da Configuração REF0. ............. 102
FIGURA 5.23 Componentes da tensão sobre o plano da trinca para a
Configuração REF0. .................................................................... 103
FIGURA 5.24 Fatores de intensidade de tensão para o exemplo da
Configuração REF0. .................................................................... 104
FIGURA 5.25 Configuração REF1, na qual foram usados dados da
Configuração BETA modificados para que o plano de
deslizamento usado contivesse toda a aresta da trinca. ............... 105
FIGURA 5.26 Malha de elementos para os dados da Configuração REF1. ....... 106
FIGURA 5.27 Componentes da tensão no plano da trinca, notando-se a
componente de cizalhamento τΖΗ (Modo III). ............................. 107
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
xxiii
FIGURA 5.28 Predominância do Modo III nos fatores de intensidade de
tensão da Configuração REF1. .................................................... 108
FIGURA 5.29 Configuração REF2, com o plano de deslizamento contendo a
aresta da trinca............................................................................. 109
FIGURA 5.30 Malha de elementos usada no cálculo da Configuração REF2. .. 110
FIGURA 5.31 Componentes de tensão sobre o plano da trinca.......................... 111
FIGURA 5.32 Fatores de intensidade de tensão para a Configuração REF2,
destacando-se o Modod II de carregamento. ............................... 112
FIGURA 5.33 Malhas usadas para comparação da força imagem e da energia
elástica armazenada no material para os vetores de Burgers e
planos de deslizamento indicaods nas Figs. 5.37-38: (a) b = [1
0 1] (-1 1 1); e b = [0 -1 1] (1 1 1)............................................... 114
FIGURA 5.34 Distribuição da força imagem ao longo da direção ξ. ................. 115
FIGURA 5.35 Distribuição da energia elástica acumulada ao longo da direção
ξ. .................................................................................................. 115
FIGURA 5.36 (a) ................................................................................................ 117
FIGURA 5.36 (b) ................................................................................................ 117
FIGURA 5.36 (c)................................................................................................. 118
FIGURA 5.36 (d) ................................................................................................ 118
FIGURA 5.36 (e)................................................................................................. 119
FIGURA 5.36 (f) ................................................................................................. 119
FIGURA 5.36 (g) ................................................................................................ 120
FIGURA 5.36 (h) ................................................................................................ 120
FIGURA 5.36 (i) ................................................................................................. 121
FIGURA 5.36 (j) ................................................................................................. 121
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
xxiv
FIGURA 5.37 Energia elástica para diferentes valores do ângulo de emissão
α e para anéis em posições afastadas da aresta trinca. ................ 122
FIGURA 5.38 Energia elástica para diferentes valores do ângulo de emissão
α................................................................................................... 122
FIGURA 5.39 Variação da energia elástica para diferentes valores do raio do
anel de discordância ao longo da direção ξ. ................................ 123
FIGURA 5.40 Ângulo variável usado na determinação do parâmetro χ. ........... 124
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
xxv
TABELAS
CAPÍTULO 4
TABELA 4.1 Orientações do plano de deslizamento usadas. .............................. 27
TABELA 4.2 Constantes elásticas HJ para o cálculo da força-imagem............... 80
CAPÍTULO 5
TABELA 5.1 Dados para a construção da malha da Fig. 5.4 (Configuração
ALPHA)......................................................................................... 87
TABELA 5.2 Dados para a construção da malha da Fig. 5.11 (Configuração
BETA)............................................................................................ 92
TABELA 5.3 Dados para a construção da malha da Fig. 5.16 (Configuração
GAMMA). ..................................................................................... 97
TABELA 5.4 Dados para a construção da malha da Fig. 5.22 (Configuração
REF0)............................................................................................. 102
TABELA 5.5 Dados para a construção da malha da Fig. 5.26 (Configuração
REF1/BETA). ................................................................................ 105
TABELA 5.6 Dados para a construção da malha da Fig. 5.30 (Configuração
REF2/ALPHA). ............................................................................. 109
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
xxvi
SIMBOLOGIA
Alfabeto grego:
Α, Β, Γ configurações dos planos de deslizamento segundo o tetraedro de Thompson;
Γ espaço dos pontos materiais da superfície S que envolve o corpo elástico B;
Φ campo potencial de tensões;
Φ(θ) matriz de funções angulares;
Πp Energia potencial do sistema;
Ρ, λ coordenadas polares adimensionais do ponto M no plano da trinca;
Ξ, Η, Ζ coordenadas adimensionais associadas ao plano de propagação da trinca;
Ω espaço ocupado pelo corpo elástico B;
Ω(ω) matriz de rotação usada na integração das tensões em torno do anel de discordância;
α ângulo de emissão, medido entre a direção X’1, reta que define a direção da interseção do plano de deslizamento com o plano de propagação da trinca, e a direção X’2, definida pela reta que liga o ponto de emissão, E, e o centro do anel (v. Fig. 4....);
χ ângulo de varredura do anel usado para determinar o parâmetro η;
ϕ energia de ativação da discordância;
γ ângulo de afastamento da direção ξ’ em relação ‘a direção Ξ;
γS energia da superfície livre;
δ distância da aresta da trinca à periferia do anel de discordância;
εijk símbolo de permutação; INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
xxvii
ε diádica de deformações;
κ afastamento do ponto M em relação ao ponto de emissão E, em número de raios do anel de discordância;
µ módulo de cisalhamento ou módulo de elasticidade transversal;
η parâmetro usado para determinação do trabalho das forças externas sobre o corpo no Modo I;
ν coeficiente de Poisson;
ρ valor da coordenada η" no sistema rotacionado sobre o plano de deslizamento;
ρ' raio do anel de discordância;
σij tensor que representa a componente da tensão na superfície cuja normal é a direção j agindo na direção de i;
σ diádica de tensões;
τij tensor adimensional que representa a componente da tensão na superfície cuja normal é a direção j agindo na direção de i;
τ diádica adimensional de tensões;
θ no problema bidimensional, ângulo formado entre a reta que une o ponto de emissão ao centro do anel de discordância e a direção de propagação da trinca (Ξ);
ξ, η, ζ coordenadas adimensionais associadas ao plano de deslizamento da discordância;
ξ', η', ζ' coordenadas adimensionais associadas ao plano de deslizamento com origem no centro do anel de discordância;
ξ”, η”, ζ” coordenadas adimensionais associadas ao plano de deslizamento com origem no centro do anel de discordância e girante em torno de ζ’ para permitir o cálculo das integrais elípticas ao longo do anel de discordância;
ω ângulo de rotação usado na integração ao longo do anel de discordância;
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
xxviii
Alfabeto: romano
Ak área do elemento k da malha;
B largura do corpo elástico em que se encontra a trinca;
Ci coeficientes do polinômio que determina as coordenadas da malha (i = 1,..,4);
E (p), K (p) funções elípticas de primeira e de segunda ordem, respectivamente;
Fo constante usada no cálculo do campo de tensões;
G força de extensão da trinca;
G(ζo) matriz das funções de peso Gi(ζo) para o ponto ζo ao longo da aresta da trinca;
H constante elástica;
H (χ) função do ângulo χ usada no integrando do parâmetro η;
I, J, K vetores unitários nas direções Xi;
J índice referente ao modo de carregamento da trinca (=I, II ou III);
KJ fator de intensidade de tensões sob carregamento em modo J;
KA fator de intensidade de tensões devido à aplicação de cargas externas ao corpo B;
Kd fator de intensidade de tensões devido à presença do anel de discordância no interior do corpo B;
N número inteiro que corresponde ao número de vezes que o raio do anel de discordância é maior que o comprimento do vetor de Burgers;
Pi força concentrada aplicada no ponto i;
Q(p) matriz de atenuação que relaciona as tensões com as funções elípticas;
Sy limite de escoamento do material;
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
xxix
S superfície da trinca, tal que S = S+ 4 S–, onde S+ representa a superfície superior da trinca e S– representa a superfície inferior;
TA vetor tensão de superfície aplicado sobre o corpo elástico B;
Uo energia de deformação de um corpo elástico B;
Wo trabalho das forças externas agindo sobre um corpo elástico B;
W(p,η”,ζ”) matriz geométrica;
X, Y, Z cadas associadas ao plano de propagação da trinca;
a comprimento da trinca;
b comprimento do vetor de Burgers;
b vetor de Burgers;
bi componente do vetor de Burgers na direção i;
dP, dQ, dR forças incrementais agindo sobre os pontos M (superfície superior) e M’ (superfície inferior) da trinca e nas direções associadas ao plano de propagação da trinca, Ξ, Η, Ζ;
f forças de corpo de B;
g i vetores de base de um sistema de coordenadas;
i, j, k vetores unitários nas direções xi;
li cossenos diretores das componentes do vetor de Burgers em relação ao próprio vetor;
m matriz da constante elástica f;
nS vetor unitário normal à superfície S;
p parâmetro das funções elípticas;
q forças de superfície aplicadas sobre o corpo B;
t forças de superfície resultantes sobre o corpo B;
u vetor de deslocamentos.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
xxx
RESUMO
A proposição de um modelo semi-analítico tridimensional para determinação da
energia elástica de discordâncias em anel no interior da estrutura cristalina de um
monocristal e próxima a uma trinca é apresentada. Nele, simula-se o comportamento
de um corpo de prova de um material CFC, no qual existe uma trinca e uma única
discordância. Os planos cristalinos principais do material são conhecidos previamente.
São determinadas as condições de propagação da trinca induzidas pela presença de um
anel de discordância (blindagem e antiblindagem) através do cálculo dos fatores de
intensidade de tensão. A variação de energia de uma discordância em relação a um
meio infinito foi determinada para uma das três diferentes orientações cristalográficas
do Si monocristalino por uma formulação inteiramente tridimensional. Um programa
foi desenvolvido utilizando técnicas relativamente simples de programação para
simular o comportamento do anel de discordância ao longo do seu plano de
deslizamento e para calcular a força imagem associada. A integração dessa força em
relação à distância entre o anel de discordância e a aresta da trinca fornece um
trabalho virtual e permite o cálculo da redução da energia elástica do anel de
discordância induzido na vizinhança da trinca. Uma distância crítica, além da qual não
existe interação entre trinca e anel de discordância, é também calculada.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
xxxi
ABSTRACT
A semi-analytic three-dimensional model is proposed in which the elastic energy of the
dislocation loop within the crystal lattice of a monocrystalline material and in the
neighborhood of a crack is calculated. The behavior of a specimen made of a FCC
material is simulated when a single dislocation is present near a crack edge. Crystal
planes of the material are known a priori. Fracture propagation conditions induced by
the presence of the dislocation loop (shielding or anti-shielding) are analyzed by
calculating the stress intensity factors. The energy change in the infinite medium due to
the dislocation loop is determined for one of the three different Silica crystallographic
orientations and using an entirely three-dimensional approach. The computational
techniques used are actually very simple and they succeed in simulating the loop
behavior within its slip plane and to calculate the corresponding image force. The
integration of this force with respect to different distances from the loop to the crack
edge leads to a virtual work which allows the calculation in the elastic energy reduction
due to the closeness of the loop and the crack edge. A critical distance is found beyond
which there is no interaction between crack and loop.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
PARTE I
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
DURANTE O CARREGAMENTO DE UMA PEÇA, a presença de concentradores de tensões
induz a emissão de discordâncias, mesmo para carregamentos bem inferiores àqueles
necessários para se obter uma deformação plástica generalizada na peça. Por esta razão,
as discordâncias podem facilmente aparecer nas vizinhanças de uma trinca. Quando o
material é quase perfeito, como é o caso do Silício, a ausência de fontes volumétricas de
discordâncias faz com as discordâncias apareçam na extremidade daquela trinca. No
caso real, tridimensional, elas tomam a forma de anéis. Durante o seu crescimento,
surge a competição entre o trabalho realizado pelas forças externas (numa primeira
aproximação, proporcional à área do anel) e a energia elástica armazenada na região em
torno do defeito estrutural (inicialmente aproximada como sendo proporcional ao
perímetro do anel). Feito o balanço dessas variações, a energia livre do cristal atinge seu
valor máximo quando o raio do anel atinge um valor crítico. Se este raio crítico é da
ordem de grandeza do vetor de Burgers, a emissão é espontânea para energias da ordem
de um eletron-volt e a emissão pode ser ativada termicamente. Cálculos efetuados para
emissões de discordâncias no Silício, considerando a energia do anel em um meio
infinito, indicam, entretanto, valores certamente absurdos para o raio crítico e para a
barreira de energia. Assim, na medida em que parece impossível a emissão de
discordâncias, pode-se concluir que o Silício é intrinsecamente frágil, rompendo-se
apenas por clivagem. A partir da comparação dos valores do raio crítico, os materiais
podem ser separados em duas famílias: parcialmente frágeis (covalente, cerâmicos, etc.)
e parcialmente dúteis (metais de estrutura cúbica de face centrada). Esta classificação
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 3
não responde, porém, a duas questões fundamentais: (i) como considerar o
comportamento de materiais semi-frágeis que apresentam uma transição frágil-dútil (a
maioria deles de estrutura cúbica centrada, como o Ferro de primeira liga, a neve, etc.)?;
e (ii) como explicar as observações que podem ser feitas experimentalmente na aresta
de trincas em corpos de prova de Silício?
A resposta à primeira indagação será detalhada ulteriormente ao longo desse trabalho.
Ao que tudo indica, parece que a transição frágil-dútil não é uma grandeza intrínseca,
pois ela depende de parâmetros mecânicos como a velocidade de aplicação do
carregamento e o número de fontes de discordâncias. A observação presença de
superfícies livres, no entanto, permitiria, talvez, responder a segunda indagação. De
fato, a presença de tais superfícies permite uma certa relaxação de deformações e, por
conseguinte, de tensões, conduzindo a uma redução da energia elástica do anel. Esta
redução de energia do defeito estrutural deve ser acompanhada da respectiva redução do
raio crítico e do valor absoluto da barreira de energia, facilitando, assim, a emissão de
discordâncias na aresta da trinca. Embora o cálculo dessa energia já tenha sido
apresentado há algum tempo para um anel em um meio semi-infinito, tal fato não é
verdadeiro para um anel nas vizinhanças de superfície livre constituída pelas bordas de
uma trinca. Este é o principal objetivo desse trabalho.
O cálculo da energia de uma discordância tocando em apenas um ponto a aresta da
trinca, denominado ponto de emissão, e orientada de maneira genérica em relação ao
plano de propagação da trinca e para um vetor de Burgers qualquer não pode ser feito
analiticamente. Utiliza-se um método de cálculo semi-analítico dessa energia,
reduzindo-se o tempo de computação necessário em um cálculo puramente numérico. O
procedimento adotado permite, em particular, a determinação da energia armazenada no
volume do material por uma integral de área.
O cálculo tridimensional introduz um parâmetro de importância capital no problema,
qual seja, a direção do plano de deslizamento segundo o qual o anel de discordância se
desenvolve (caracterizado pelo ângulo γ na Fig. 4....), pois, tanto o trabalho das forças
externas, quanto a energia elástica do anel, variam com essa direção. As experiências INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 4
realizadas sobre o Silício mostram que os sistemas de deslizamento ativados nem
sempre correspondem àqueles mais solicitados pelo carregamento. Em um material
homogêneo, isto poderia significar que os sistemas de deslizamento não obedeceriam ao
critério do fator de Schmid. A presença de superfícies livres impõe um critério que
engloba o trabalho das forças externas e a energia elástica armazenada. Para um dado
modo de carregamento, se o valor máximo da primeira energia não corresponde ao valor
mínimo da segunda, a emissão pode não ocorrer. O ângulo ideal de desenvolvimento o
anel de discordância deve provavelmente corresponder àquele para o qual a razão do
trabalho das forças externas pela energia elástica armazenada é máxima. É importante
observar que o denominador dessa razão não depende do modo de carregamento,
contrariamente ao que se passa com o numerador.
A análise física dos resultados do cálculo numérico deve permitir explicar as
disparidades observadas nos sistemas de deslizamento em relação àqueles deduzidos
pela simples aplicação do fator de Schmid. Levando-se em conta o grande número de
resultados experimentais obtidos para monocristais de diferentes orientações
cristalográficas, pode esperar-se testar a validade deste tipo de critério.
A seguir, o Cap. 2 apresenta os objetivos desse trabalho. O Cap. 3 faz uma extensa
revisão bibliográfica sobre conceitos da Mecânica da Fratura, da Teoria de
Discordâncias e da interação entre trincas e discordâncias. Nele são apresentados os
principais desenvolvimentos que levaram à idealização do presente trabalho.
Os principais aspectos e o equacionamento do problema de interação trinca-
discordância em três dimensões são apresentados no Cap. 4. Nele, uma discussão
detalhada é feita sobre o uso do Silício monocristalino como material modelo para o
estudo de emissão de discordâncias na aresta da trinca. Os princípios físicos usados na
análise da interação são descritos a seguir, com a apresentação dos fatores de
intensidade de tensões, dos parâmetros que caracterizam a discordância em anel e das
demais variáveis que definem o problema. São apresentadas algumas considerações
sobre a força-imagem e sobre a variação da energia elástica do anel de discordância,
desde um ponto relativamente distante até a aresta da trinca. Uma vez estabelecidas as
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 5
equações do problema, uma solução numérica é proposta. As propriedades do Silício
monocristalino nas três configurações usadas para o modelamento são discutidas no
início do capítulo. A formulação das equações de um elemento é introduzida a seguir,
juntamente com a construção da malha de elementos usada para o cálculo das variáveis.
A determinação numérica dos fatores de intensidade de tensão, da força imagem e do
valor da energia é descrita ao final.
O Cap. 5 apresenta os resultados numéricos obtidos quando são efetuadas algumas
alterações de parâmetros do problema. Uma comparação é feita com os resultados
obtidos com o modelo OLIVEIRA-MICHOT e os contornos das zonas de blindagem são
estabelecidos. É dada atenção a uma configuração especial de um material cujo plano de
deslizamento é ortogonal ao plano de clivagem. Embora este não seja o caso do Silício,
os resultados podem ser usados para um outro material, ainda não explorado
experimentalmente, mas que revela algumas importantes observações interessantes a
cerca do modelo. Concluindo o capítulo, é feita uma discussão sobre a barreira de
nucleação e são apresentadas algumas distâncias críticas que controlam o fenômeno. As
conclusões integram o Cap. 6, dando-se especial atenção ao desenvolvimento da
blindagem da trinca e aos resultados experimentais obtidos anteriormente. A obtenção
das equações adimensionais para os fatores de intensidade de tensão é mostrada no
Apêndice.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 2
OBJETIVOS
O OBJETIVO DESSE TRABALHO É DETERMINAR A REDUÇÃO DA ENERGIA ELÁSTICA de um
anel de discordância induzida pela proximidade das superfícies livres de uma trinca em
relação a energia de um meio infinito no qual elas se encontram.
CAPÍTULO 3
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
TRINCAS E MICRO-FISSURAS SÃO DEFEITOS que surgem em peças e componentes
estruturais, até mesmo durante o processo de obtenção do próprio material com que eles
são confeccionados, ou, ainda, nas várias etapas do seu processo de fabricação. Em
materiais cristalinos, defeitos da microestrutura, oriundos da natureza aleatória da
formação da rede cristalina durante a solidificação, interagem com trincas e micro-
fissuras presentes nas suas vizinhanças, podendo levar a falhas catastróficas desses
elementos. A propagação de trincas e o descolamento de fibras em materiais compostos
são apenas dois dos diversos fenômenos que podem ser citados, os quais são
provocados por falhas dessa natureza. As condições em que a interação trinca-defeito
estrutural ocorre e as suas conseqüências têm despertado, ao longo dos anos, a atenção
de pesquisadores, os quais têm investigado experimental, analítica e
computacionalmente as diversas combinações de materiais, trincas e defeitos
estruturais, na tentativa de obter uma previsão confiável do comportamento mecânico de
corpos elásticos. Duas áreas de estudo de materiais aliam-se a essas investigações: a
Mecânica da Fratura e a Teoria de Discordâncias.
3.1 A MECÂNICA DA FRATURA
O homem neolítico concebeu e aperfeiçoou a técnica do escamamento de pedras silex,
usando-a com excepcional destreza para confeccionar as suas primeiras ferramentas.
CAPÍTULO 3 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 8
Sem que ele soubesse, estava empregando a Mecânica da Fratura para a sua
sobrevivência. Outras aplicações surgiram com o tempo, mas os primeiros relatos
descrevendo os resultados do efeito de trincas datam dos sécs. XII e XIII.
Aparentemente, somente nos sécs. XV e XVI se tentou estabelecer algum tipo de estudo
investigativo que levasse ao entendimento do efeito de trincas em peças quando estas
eram submetidas a um carregamento [v. ROSSMANITH (1997)]. Não causa muita
surpresa saber que Leonardo da Vinci e Galileo Galilei foram dois desses primeiros
investigadores. O primeiro, engenheiro, arquiteto, médico, desenhista, pintor, auto-
didata, foi dono de uma série de talentos indiscutíveis. Em um dos seus inúmeros
escritos, ele descreve o que se poderia, hoje, chamar de ensaio de tração, realizado em
pedaços de arame de ferro de diferentes comprimentos, mas de mesmo diâmetro.. Ele
observou que a força para romper o arame diminuía à medida que o seu comprimento
aumentava. Essa estranha relação encontra uma explicação no aumento do número de
defeitos presentes no arame, pois os métodos de fabriacação desse material não
asseguravam um controle mínimo da sua qualidade. O outro, Galilei, analisou o
comportamento de arames de diferentes diâmetros, mas de mesmo comprimento, e de
vigas de mármore sob carregamento central. As observações de da Vinci e Galilei se
repetiram em outros ensaios realizados até o final do séc. XIX, quando se atribuiu o fato
de arames de menor comprimento suportarem cargas maiores que arames de mesmo
diâmetro e de maior comprimento à falta de homogeneidade do material das amostras.
A maior parte do desenvolvimento do estudo de trincas, porém, ocorreu durante o
séc. XX.
Quando GRIFFITH (1921) propôs seu modelo para a análise de trincas, calcado no
trabalho matemático anterior de INGLIS (1913), foram, finalmente, lançadas as bases
para o surgimento de uma nova disciplina – a Mecânica da Fratura – muito embora seus
estudos tenham permanecido como mera curiosidade científica até meados de 1950.
Griffith, partindo do princípio de conservação da energia, mostrou que o decréscimo da
energia potencial em um corpo elástico, no qual existe uma trinca, é igual ao aumento
da energia da superfície livre devida à propagação da trinca, dada por γS. Essa energia
de superfície foi por ele definida como a energia necessária para gerar a trinca, ou
provocar o aumento de suas dimensões, em um meio elástico. Matematicamente, isso se INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 3 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 9
traduz por G = (ØE/Øa) > 2.γS, onde G é a força de extensão da trinca, E é a energia
elástica total e a o comprimento da trinca. Esse critério, no qual admite-se que o
material se rompe logo após se deformar de forma puramente elástica, era ideal para
aplicações em materiais frágeis, como o vidro, material usado por Griffith para
demonstrar a sua teoria. A esse modelo, a literatura convencionou denominar Modelo de
Griffith e ele se tornou o ponto de partida para que outros modelos mais complexos
fossem idealizados.
Ao descrever a distribuição das tensões em torno de uma trinca, IRWIN (1957),
considerando apenas o termo singular da solução geral proposta por WILLIAMS (1957),
mostrou que G é variável com a carga e o seu valor máximo foi interpretado como sendo
uma propriedade do material, GC, pois depende das forças de coesão que estão presentes
na sua estrutura cristalina. IRWIN (1958), introduzindo um cálculo essencialmente
baseado na Mecânica dos Meios Contínuos, apresentou, ainda, uma solução para a
distribuição da componente de tensão na direção normal ao plano de propagação da
trinca e as componentes de cisalhamento na mesma região, todas proporcionais a r–1/2,
portanto, uma solução singular. Para caracterizar as componentes de tensão, ele adotou
três diferentes modos de carregamento (v. Fig. 3.1) – Modo I: quando a trinca está sob o
efeito de um esforço de tração normal ao seu plano; Modo II: quando o esforço sobre a
trinca é de cisalhamento no seu próprio plano, com o carregamento na direção normal a
sua aresta; e Modo III: quando o esforço de cisalhamento também se dá no plano da
trinca, mas com o carregamento na direção paralela à aresta. Em cada um desses modos,
as componentes de tensão foram matematicamente expressas em função de um
parâmetro, que ele denominou de Fator de Intensidade de Tensões, FIT, sendo
representado pela letra K, a ela apondo-se os índice I, II ou III, conforme o modo de
carregamento empregado. Essencialmente, a solução dada é bidimensional, pois se
considera que a trinca se estende sobre um plano semi-infinito, cujo limite é a sua
aresta, admitindo-se, assim, que qualquer plano normal ao plano da trinca pode
representar o que está acontecendo em torno dela. Embora limitada, a aceitação dessa
solução é respaldada por uma ampla comprovação experimental.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 3 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 10
BARENBLATT (1962) deu um tratamento matemático consistente ao problema de trincas
em materiais frágeis através da Teoria da Elasticidade, resolvendo alguns problemas
específicos, nos quais as trincas apareciam sob equilíbrios estático e dinâmico. Mais que
a simples solução desses problemas, ele indicou a importância da caracterização da
extremidade da trinca na sua propagação. O Modelo de Griffith foi estendido a materiais
dúteis por OROWAN & SYLWESTROWICZ (1949), os quais introduziram, na formulação
do critério de ruptura proposto por Griffith, o termo devido à dissipação de energia por
deformação plástica. O aparecimento de uma zona plástica em torno da extremidade da
trinca deslocou o centro das atenções dos pesquisadores e essa passou a ser uma das
principais linhas de desenvolvimento da Mecânica da Fratura a partir de então.
Figura 3.1: Modos de carregamento da Mecânica da Fratura: (i) Modo I; (ii) Modo II; e (iii) Modo III.
(i)
(ii)
(iii)
É difícil o uso prático do critério de Griffith para a propagação de trincas, modificado
para incluir a contribuição plástica. Pode-se dizer, mesmo, que ele não tem qualquer
justificativa teórica [IRWIN (1964)]. Por esta razão, o conceito dos fatores de intensidade
de tensão tem sido preferido pela simplicidade do seu emprego e pela possibilidade de
sua extensão ao problema do escoamento em pequena escala. Todos os cálculos para o
desenvolvimento da zona plástica à frente da trinca em materiais elásticos-perfeitamente INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 3 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
NFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A
r
O
r
σ
O
Sy
r
σ
O
Sy
(b)
(c)
Figura 3.2: Distribuição das tensões próximas à aresta da trinca (ponto O): (a) Mecânica da Fratura Linear Elástica (MFLE) com material frágil; (b) Mecânica dos Meios Contínuos, com material elástico-perfeitamente plástico; e (c) Relaxação incompleta devida ao enclave elástico, típica dos materiais semi-frágeis [v. MICHOT (1998)].
trinca
trinca
trinca
enclave elástico
σ [ Sy
zona plástica (relaxação)
ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
11
plásticos (nos quais não existe o encruamento) resultam no desaparecimento da solução
singular em r–1/2, isto é, uma completa relaxação devida à plasticidade. Por exemplo,
DUGDALE (1960), BARENBLATT (1962) e GOODIER (1968) ampliaram o tratamento
matemático para incluir materiais dúteis. A tensão no interior da zona plástica é
uniforme e igual à tensão de escoamento. Na ausência de um critério de propagação da
trinca que envolva as tensões locais, foi proposto um critério alternativo, baseado na
deformação provocada pela abertura da aresta da trinca (CTOD, ou Crack Tip Opening
Displacement).
(a) σ
I
CAPÍTULO 3 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 12
Este critério deve ser relacionado à regra de NEUBER (1961), a qual determina que o
produto entre o fator de concentração de tensões e o fator de concentração de
deformações é um valor constante. Esta concepção leva a resultados considerados
satisfatórios para materiais, tanto quanto é satisfatório o tratamento puramente elástico
dado aos materiais frágeis. Entretanto, ela não leva em consideração o comportamento
de alguns materiais com estrutura cristalográfica CCC ou covalente, os quais
apresentam uma transição frágil-dútil (BDT, ou Brittle-Ductile Transition). Esta
transição, cujas implicações e comparações com os demais modelos pode ser vita na
Fig. 3.2, pode ser atribuída à evolução da deformação plástica na aresta da trinca,
iniciada de forma discreta na região frágil, mas crescendo a posteriori rapidamente, até
a completa relaxação na região plástica.
Como a relaxação completa resulta da hipótese da existência de continuidade física
entre a zona plástica e a trinca, uma descontinuidade foi introduzida por CHANG & OHR
(1981). Duas justificativas físicas podem ser apresentadas para sustentar a existência
desse enclave próximo à aresta da trinca [WEERTMAN (1978) e THOMPSON (1978)].
Primeiramente, nas vizinhanças da aresta da trinca, as deformações são certamente
elásticas e os deslocamentos são de ordem de grandeza menor que a separação média
entre discordâncias, ou, ainda, possuem dimensão de ordem maior que a das células de
discordância. Em segundo lugar, a atração da força-imagem, proporcional a r–1,
ultrapassa a repulsão da trinca, esta proporcional a r–1/2 para as menores distâncias
radiais a partir da aresta da trinca. Então, a introdução de um enclave puramente elástico
nesta região, reduzindo o fator de concentração devido à carga aplicada, ou pela
presença de uma discordância, para um valor efetivo. Esta operação é chamada de
blindagem (shielding) e será tratada posteriormente. Ela é conseqüência: (i) do uso do
modelo BCS [v. BILBY, COTTRELL & SWINDEN (1963)] modificado pela introdução de
uma zona livre de discordâncias à frente da trinca [v. CHANG & OHR (1981)]; (ii) do
equilíbrio causado pela contínua distribuição das discordâncias, as quais são afastadas
da ponta da trinca pelo campo de tensões proporcional a r–1/2 e retardadas por uma
tensão de escoamento constante (ou uma tensão de atrito da estrutura cristalina) [v.
MAJUMDAR & BURNS (1983)]; e (iii) do mesmo equilíbrio descrito em (ii), mas, agora,
levando em consideração a força-imagem [v. MICHOT (1989)]. Como a amplitude da INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 3 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 13
blindagem é fortemente afetada pelo tamanho da zona livre de discordâncias, outras
considerações são necessárias para se determinar sua extensão, como, por exemplo, a
interrupção da atividade da fonte de discordância em virtude de tensões de cisalhamento
inferiores à tensão de cisalhamento mínima [v. CHANG &OHR (1981), MAJUMDAR &
BURNS (1983) e MICHOT (1989)]. Este tipo de parâmetro microscópico é geralmente
ignorado na Mecânica do Contínuo.
A consideração da zona plástica na região à frente da trinca suscitou algumas
indagações sobre o comportamento do material quando as tensões naquela região
ultrapassavam o seu limite de escoamento e atingiam a tensão de ruptura do material.
Observou-se que o escoamento causava um relaxamento das tensões, aumentando,
assim, a capacidade do corpo de suportar carregamentos maiores sem que a trinca
sofresse alteração na sua extensão. Porém, em determinado instante do aumento do
carregamento, a trinca se propagava rapidamente, sugerindo que o mecanismo de
deformação assemelhava-se ao dos materiais frágeis. Também, pelo que se viu acima,
nos materiais que apresentam uma transição frágil-dútil, não se pode usar o mesmo
tratamento ao comportamento plástico que normalmente se dá na Mecânica dos Meios
Contínuos. É preciso descer ao nível microscópico e, por essa razão, parece apropriada a
introdução da Teoria das Discordâncias.
3.2 A TEORIA DAS DISCORDÂNCIAS
A Teoria de Discordâncias surgiu de algumas constatações feitas a partir de observações
do comportamento mecânico de alguns materiais. Em monocristais, os valores teóricos
previstos para a resistência à ruptura por cisalhamento eram algumas ordens de
grandeza discrepantes (bem acima) dos valores encontrados em laboratório. Alguns
pesquisadores atribuíam esse fato à existência de defeitos na estrutura cristalina do
material (ou à falta de homogeneidade, como foi dito anteriormente), imperceptíveis,
àquela época, a olho nu, e que reduziam drasticamente a sua resistência teórica.
OROWAN (1934a-c) propôs uma solução para este problema com a criação de um
modelo de defeito na estrutura cristalina, mostrado na Fig. 3.3 (a), denominado de
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 3 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 14
discordância em aresta (edge dislocation). Logo a seguir, BURGERS (1939) sugeriu um
outro tipo de defeito micro-estrutural, visto na Fig. 3.3 (b), denominado discordância
em hélice (screw dislocation). Outras configurações surgiram da combinação entre os
modelos de defeitos estruturais propostos por Orowan e Burgers. Além de agirem entre
si, os defeitos estruturais interagem com outros tipos de defeitos, como a inclusão de
átomos de outros materiais e a presença de alguns precipitados, o que reduz ainda mais
a resistência do material. Porém, tudo isso se tratava de idealizações que não podiam ser
vistas, apenas conjecturadas.
Figura 3.3: Discordância (a) em aresta; e (b) em hélice.
(a)
(b)
A comprovação da existência das discordâncias teve que aguardar o fim da II Grande
Guerra, quando foram desenvolvidos equipamentos e técnicas de visualização capazes
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CAPÍTULO 3 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 15
de detectá-las. A microscopia eletrônica de transmissão é a técnica que permitiu o maior
conhecimento do surgimento e do comportamento de defeitos da estrutura cristalina.
Em anos recentes, o computador veio contribuir de forma decisiva para o estudo das
discordâncias e dos seus efeitos na estrutura do material. A criação de novos algoritmos,
a enorme capacidade de processamento em semicondutores e o fácil acesso de uma
grande faixa de pesquisadores a essas máquinas permitiram um desenvolvimento
rápido, de caráter multiplicador, assegurando condições para a solução de problemas
cada vez mais complexos.
Embora as discordâncias sejam defeitos de natureza bidimensional, pois se
desenvolvem em planos e superfícies da estrutura cristalina, elas afetam o
comportamento tridimensional da rede cristalina. Pela sua concepção, também, as
discordâncias ocorrem somente em uma das três hipóteses: (a) possuem comprimento
infinito; (b) ligam duas superfícies livres; (c) são fechadas, ou seja, formam polígonos
fechados [v. NABARRO (1967) e KOSEVICH (1979)]. A primeira delas é de ocorrência
puramente teórica, uma vez que não existe material de comprimento infinito. Nesse
caso, os problemas se reduzem àqueles em que as tensões, ou as deformações, podem
ser consideradas em um estado plano. Salvo em microscopia de transmissão de elétrons
(TEM), quando as superfícies dos corpos de prova estão muito próximas, a segunda
hipótese é difícil de ser encontrada, embora seja mais realista que a primeira e de
existência plausível (De fato, uma das maiores dificuldades para se determinar a solução
de problemas em que as discordâncias estão presentes é a diferença de escalas a eles
inerente). As leis de conservação de energia fazem com que a discordância se feche
sobre si própria se ela não encontrar uma superfície livre. Esse fato leva à terceira
hipótese, a qual compreende a maioria dos casos reais e contempla discordâncias
fechadas, limitadas, portanto, à região do corpo onde elas surgem. A existência de uma
tensão de linha ao longo da discordância resulta na forma circular para discordâncias
que se iniciam (raios muito pequenos). Essas discordâncias são denominadas
discordâncias em anel (loop dislocation), ou discordâncias anelares, que são
combinações das discordâncias em aresta, das discordâncias em hélice e mistas. No
entanto, a medida em que crescem, as discordâncias fechadas sofrem os efeitos da
cristalografia, podendo assumir formas de energia mínima, como é o caso do Si, no qual INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 3 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 16
as discordâncias possuem a forma hexagonal, com cada um dos segmentos orientados
segundo a direção < 1 1 0 >.
3.3 DESCRIÇÃO DE UMA TRINCA PELO EMPILHAMENTO DE DISCORDÂNCIAS
LOUAT & RATH (1987), HIRTH & LOTHE (1982) e WEERTMAN (1996) mostraram que
uma trinca em um material frágil pode ser modelada por um arranjo adequado de
discordâncias(v. Fig. 3.4 a-c). De fato, a trinca pode ser imaginada como uma
distribuição de discordâncias que satisfaçam a hipótese (b) acima, as quais são
justapostas a uma distância igual ao comprimento total da trinca. O mesmo critério de
energia formulado por Griffith pode ser deduzido para materiais frágeis usando apenas
as equações das discordâncias. A distribuição de tensões em torno delas é idêntica
àquela determinada por IRWIN (1957) para os três diferentes modos de carregamento.
Figura 3.4: A trinca modelada por arranjos de discordâncias: (a) Modo I; (b) Modo II; e (c) Modo III.
(a)
(b)
(c)
σyy
σyx
σyx
SSS S S S S S S S SSSS
σyz
σyz ·
σyy
A vantagem desse procedimento é que se pode introduzir outras discordâncias na região
da zona plástica fora da trinca e calcular a dimensão da zona plástica apenas resolvendo
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CAPÍTULO 3 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 17
as equações de equilíbrio do conjunto de discordâncias virtuais que formam a trinca e
das discordâncias reais que formam a zona plástica. Entretanto, a solução dessas
equações é matematicamente delicada e só se apresentam em algumas situações em que
somente duas dimensões são encontradas.
3.4 GERAÇÃO DE DISCORDÂNCIAS NA EXTREMIDADE DA TRINCA
Pelas equações da Mecânica da Fratura, a presença de discordâncias na região à frente
da trinca leva a um alívio de tensões em virtude da formação de uma zona de
deformação plástica nesse local. Sendo a deformação plástica nada mais que o
movimento de deslizamento de discordâncias, isso sugere que, nos materiais dúteis, a
extremidade da trinca é uma região especialmente propícia à emissão de discordâncias.
Na verdade, a emissão de discordâncias se deve ao trabalho das forças externas e ao
crescimento do anel. RICE & THOMSON (1974) apresentaram uma detalhada análise
desse fenômeno, estabelecendo um critério para fratura de materiais cristalinos.
Admitindo a discordância e usando as equações da elasticidade, um raio crítico foi
determinado, a partir da frente da trinca, além do qual torna-se possível a emissão
espontânea de discordâncias. Pequenos valores deste raio crítico, da ordem do
comprimento do vetor de Burgers, ocorrem em materiais dúteis, enquanto os materiais
frágeis apresentam valores de raios críticos bem mais altos. Entretanto, valores
intermediários deste raio crítico levam a algumas contradições do modelo apresentado.
Mesmo assim, baseadas nesta formulação do raio crítico, diversas outras propostas
vieram à luz, sempre apresentando problemas de incompatibilidade com os resultados
experimentais [OHR ET AL. (1986)]. Salienta-se que o critério permite separar materiais
frágeis (e.g., materiais cerâmicos) de materiais dúteis (CFC), mas é de pouca utilidade
quando se tem materiais semi-frágeis (CCC). Outro aspecto é que a admissão de uma
nucleação homogênea na região à frente da trinca mostrou-se equivocada, como foi
comprovado por MICHOT (19..), pois tal nucleação somente pode ocorrer se for
heterogênea (somente na presença de um defeito estrutural sobre a aresta da trinca).
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 3 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 18
3.5 A INTERAÇÃO TRINCA-DISCORDÂNCIA
Quem se propõe estudar a Mecânica da Fratura e a Teoria das Discordâncias
surpreende-se ao descobrir quão estreita é a relação entre trincas e discordâncias. Esse
fato, como observou WESTERGAARD (1939), aliado ao efeito que discordâncias
provocam à frente de uma trinca, permite afirmar-se que, dos diversos defeitos
cristalinos possíveis de ocorrer em um material, a discordância deva ser o primeiro a ser
investigado. Os modelos matemáticos que permitem a análise da interação trinca-
discordância resultam da combinação das duas áreas de conhecimento acima descritas –
a Mecânica da Fratura e a Teoria de Discordâncias. A complexidade desses modelos
varia em uma ampla gama de formulações, as quais se baseiam em diversas hipóteses
simplificadoras.
Os primeiros modelos de interação trinca-discordância eram representados no espaço
bidimensional [v. MAJUMDAR & BURNS (1981), THOMSON (1985), KIRCHNER & MICHOT
(1986), SCHOECK (1991), LOUAT (1992)]. A redução de uma das dimensões do
problema leva a uma simplificação significativa das equações da Elasticidade, as quais
se restringem a um estado plano de tensões ou de deformações, e, em diversas situações,
permite a solução analítica do problema. No entanto, as discordâncias, mesmo as de
aresta, não ocorrem paralelas à direção da frente da trinca. A natureza tridimensional do
problema exige, pois, um tratamento de mesma ordem de complexidade. RICE &
THOMSON (1974) foram os primeiros a tentar solucionar o problema da interação trinca-
discordância em três dimensões. Embora uma geometria tridimensional tivesse sido
adotada por eles para a trinca, foram considerados somente os efeitos bidimensionais da
sua interação com uma discordância em semicírculo, a qual se situava em um plano de
deslizamento que continha inteiramente a aresta da frente da trinca e cujas extremidades
coincidiam com aquela aresta.
O conceito de blindagem foi introduzido na escala microscópica [v. RICE & THOMSON
(1974)] antes de ser usado na Mecânica do Contínuo por WEERTMAN (1978). A
discordância isolada é considerada como um carregamento interno que provoca uma
pré-tensão, esta representada pelo campo de tensões em torno da discordância que INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 3 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 19
resulta num Kd. A este campo de tensões soma-se o fator de intensidade de tensão
devido à aplicação das forças externas aplicadas sobre o corpo, dado por KA. Existe um
efeito protetor, ou de blindagem da trinca no sentido que a sua propagação é inibida. O
fator que determina essa proteção é o resultado do produto Kd KA. Se Kd KA < 0 não
ocorre a propagação da trinca, enquanto Kd KA > 0 causa o efeito contrário, provocando
a propagação da trinca mesmo para carregamentos ligeiramente abaixo do carregamento
crítico (KA < KC). Inicialmente, o formalismo foi desenvolvido para o modo III por
MAJUMDAR & BURNS (1983) e, depois, foi estendido para um caso mais geral [v.
KIRCHNER & MICHOT (1986), LIN & THOMSON (1986)]. A ocorrência do fenômeno de
blindagem foi comprovada experimentalmente para o Si quando uma zona plástica se
desenvolve por fluência a alta temperatura e, em seguida, ela é "congelada" à
temperatura ambiente, resfriando-se o corpo de prova ainda sob carregamento.
Verificou-se que, à temperatura ambiente, a propagação da trinca implica carregamentos
até três vezes superior àqueles necessários para provocar a ruptura em cristais livres
[v. MICHOT et al. (1982)].
SCHOECK (1991) mostrou a formação e a emissão de uma discordância à frente da trinca
usando o modelo de Peierls-Nabarro. Esse modelo alia os efeitos da escala atômica, ou,
pelo menos, da discordância, aos da escala macroscópica. Nele, as tensões em uma
pequena vizinhança em torno da discordância são admitidas com uma variação senoidal,
para simular o efeito das forças interatômicas, enquanto as tensões numa região fora
daquela vizinhança variam linearmente com a deformação, segundo a Lei de Hooke. No
limite entre essas duas regiões, as tensões se igualam. Com o aumento da tensão
causado pelo carregamento crescente, a energia acumulada na estrutura cristalina é
suficiente para gerar a discordância. SCHOECK & PÜSCHL (1991), estendendo esse
conceito para o problema tridimensional, e RICE (1992), introduzindo uma relação
tensão-deformação complementar sobre o plano de deslizamento baseada no modelo de
Peierls, aperfeiçoaram o modelo sugerido por RICE & THOMSON (1974). No entanto,
uma forte restrição parece se impor no que diz respeito ao posicionamento do plano de
deslizamento [v. ARGON (1982)]. Como no modelo de RICE & THOMSON (1974),
SCHOECK & PÜSCHL (1991) e RICE (1992) também consideram que este plano contém a
aresta que define a frente da trinca, o que é um fato raro. Um outro modelo foi sugerido INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 3 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 20
por KIRTIKAR & KING (1991), no qual as interações entre discordâncias anelares e a
frente da trinca são observadas usando-se anéis de discordância infinitesimais, de
maneira semelhante àquela sugerida por KROUPA (1966). Recentemente, SCHOECK
(1995, 1996.a, 1996.b), XU & ARGON (1997) e WANG (1998) apresentaram importantes
modificações na formulação de modelos baseados nas hipóteses de Peierls. SCHOECK
(1995, 1996b) generalizou o problema e introduziu uma formulação variacional. XU &
ARGON (1997) analisaram a nucleação de discordâncias anelares a partir do plano de
propagação de uma trinca, como fizeram OLIVEIRA ET AL. (1994). WANG (1998)
ampliou o seu modelo para o tratamento de carregamentos em modos mistos.
Finalmente, OLIVEIRA (1994) propôs um modelo tridimensional usando o Silício
monocristalino como material de base. Nesse modelo, a interação trinca-discordância
foi caracterizada pela presença de uma discordância anelar situada na raiz da trinca,
enquanto o plano de deslizamento que contém a discordância foi posicionado de forma
tal que a sua interseção com a aresta que contém a frente da trinca se reduzisse a apenas
um ponto. Tem-se, assim, um ângulo entre ele e o plano de propagação da trinca, o que
torna o modelo bem mais genérico, tendo nele embutida a tridimensionalidade do
problema. Como resultado, obteve-se uma importante alteração no valor do fator de
intensidade de tensões na região próxima ao ponto onde a discordância toca a trinca.
Esta alteração pode significar tanto uma redução, quanto um aumento daquele valor,
provocando efeitos de shielding (“blindagem”, ou redução das tensões) e de anti-
shielding (“antiblindagem”, ou aumento das tensões), respectivamente, na trinca. O
modelo tridimensional de Oliveira foi validado por um intenso programa prévio de
ensaios que se iniciou por BADAWI (1976) e foi completado por MICHOT (1982, 1988),
AZZOUZI (1992), GEORGE & MICHOT (1993) e SCANDIAN (2000).
Muitos dos trabalhos publicados sobre a interação trinca-discordância usam o Si como
material básico [v. AZZOUZI (1992), OLIVEIRA (1994) e SCANDIAN (2000)]. Do lado
experimental, esse fato se deve às características ímpares desse material em relação à
temperatura em que a discordância pode nele se mover. Frágil à temperatura ambiente,
em temperaturas relativamente baixas ele se torna dútil e pode, rapidamente, voltar à
situação de frágil, congelando, assim, a discordância em sua posição e permitindo a sua INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 3 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 21
visualização através de topografia com Raios-X. Nesse aspecto, o Silício apresenta,
ainda, certas vantagens em relação a outros materiais, pois as mudanças na sua estrutura
cristalina desviam os Raios-X, deixando-se ver, claramente, onde e de que forma elas
acontecem. Do ponto de vista analítico e computacional, a estrutura cristalina do Silício
é facilmente modelada e seus planos de deslizamento podem ser determinados com
expressões geométricas bem simples. Isso facilita a comparação entre o modelo
computacional e o corpo de prova ensaiado. Com tudo isso a seu favor, o Silício
monocristalino se apresenta como material ideal, sendo possível modelar
adequadamente a região à frente da trinca. Existe uma literatura vasta a respeito dos
fatos aqui narrados, como BADAWI (1976), MICHOT (1982, 1988), AZZOUZI (1992),
GEORGE & MICHOT (1993), OLIVEIRA (1994), OLIVEIRA ET AL. (1994), GEORGE (1998),
SCANDIAN ET AL. (999), SCANDIAN (1999), GEORGE ET AL. (2001), OLIVEIRA ET AL.
(2001) e RANGEL ET AL. (2001).
Observa-se que os modelos acima mencionados, quando apresentam o cálculo da
variação da energia plástica durante o movimento da discordância de um ponto qualquer
na região próxima à trinca até sua aresta, o fazem para domínios bidimensionais, ou, se
apresentam uma visão tridimensional do problema, tratam-no com simplificações que
retornam o equacionamento a duas dimensões somente. LI [v. OHR ET AL. (1986)]
estabeleceu alguns parâmetros de comparação para saber se a discordância se aproxima,
se afasta, ou fica indiferente em relação à trinca. Nenhum modelo tridimensional foi
apresentado, até o presente momento, no qual é efetuado o cálculo da variação de
energia elástica. A realização deste cálculo só é exeqüível numericamente, uma vez que
o equacionamento e a formulação exigem uma metodologia bastante elaborada.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
PARTE II
CAPÍTULO 4
METODOLOGIA
4.1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS
4.1.1 INTRODUÇÃO
A PRINCIPAL FUNÇÃO DOS MODELOS de interação trinca-discordância é refletir os
mecanismos de deformação em torno da frente da trinca e, assim, determinar os efeitos
da presença da discordância na região próxima à trinca. Para alcançar esse objetivo,
esses modelos se baseiam nas seguintes hipóteses:
Hipótese 1 – O campo de tensões da trinca é dado pelas equações da Mecânica da Fratura;
Hipótese 2 – O material sólido na região próxima à discordância e à trinca é considerado como um meio contínuo homogêneo e isotrópico;
Hipótese 3 – As equações da Mecânica do Contínuo são válidas para analisar os efeitos mecânicos oriundos da presença de uma discordância em um sólido.
À primeira vista, as duas últimas hipóteses acima parecem contrariar a natureza do
próprio problema, uma vez que, como observou GRIFFITH (1923), a discordância é um
defeito na estrutura atômica do material que possui escala microscópica e, nela, cada
átomo está em uma posição bem definida relativamente aos seus vizinhos, o que faz
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
24
com que as forças de interação atômica provoquem direções preferenciais no
deslocamento de cada um deles. Entretanto, KOVÁCS & ZSOLDOS (1973) apresentam
justificativas plausíveis para estas hipóteses.
Um outro aspecto importante no tratamento da interação discordância-trinca é que, na
prática, um pequeno volume do material sólido apresenta um grande número
discordâncias. Nesse caso, a trinca interage com todas essas discordâncias
simultaneamente. Uma boa parcela dos modelos propostos, porém, considera que
apenas uma discordância está presente na região próxima à trinca. A conseqüência dessa
simplificação é que a região analisada restringe-se àquela ocupada pela discordância e
pelos efeitos da sua singularidade. Ela não constitui qualquer violação da natureza física
do problema, pois o aparecimento de apenas uma discordância na ponta trinca é uma
condição real, obtida pelo início da formação de uma zona plástica à frente da trinca.
4.1.2 O SILÍCIO E OS MODELOS DE EMISSÃO DE DISCORDÂNCIA
A validação de um modelo para simular os mecanismos responsáveis pelo movimento
de discordâncias deve fundamentar-se em resultados de ensaios efetuados em
laboratório, nos quais são usados materiais reais e estabelecidas condições ideais de
propagação da trinca. Além disso, o material deve apresentar certas características de
comportamento mecânico que possam ser reproduzidas pelo modelo.
O Silício tem se mostrado como esse material adequado para mostrar
experimentalmente o aparecimento de discordâncias e o crescimento da zona plástica à
frente de trincas [v. MICHOT (1982), SELATNIA (1986), MICHOT (1988), AZZOUZI (1992),
GEORGE & MICHOT (1993), OLIVEIRA (1994), OLIVEIRA ET AL. (1994), GEORGE (1998),
SCANDIAN ET AL. (1999), SCANDIAN (2000), OLIVEIRA ET AL. (2001) e GEORGE (2001)].
As principais razões para que ele seja utilizado são:
a) Ele apresenta planos de clivagem bem definidos 111 e 110;
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
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b) Nele, a propagação de trincas à temperatura ambiente (20ºC) é
totalmente frágil, sem discordâncias;
c) Embora frágil à temperatura ambiente, observa-se uma mobilidade de
discordâncias na faixa de temperaturas que vai de 600ºC a 800ºC, as
quais são relativamente baixas e possíveis de serem alcançadas em
laboratório durante um ensaio. Esse fato atua positivamente quando se
deseja “congelar” uma determinada configuração da discordância
com um rápido resfriamento do corpo de prova e, assim, fazer
observações;
d) Em amostras de Silício de grande pureza, tem-se, ainda, a ausência da
influência de outros elementos na microestrutura do material; e
e) O Silício é, além disso, um material que não absorve Raios-X, o que
permite observações das amostras usadas nos ensaios por técnicas de
visualização em que esse tipo de radiação é usado Essa técnica é
denominada de topografia com Raios-X convencional, ou com
sincrotron.
Todos esses fatores fazem do Silício o material ideal para se obter resultados
experimentais, nos casos em que se deseja o aparecimento de uma zona plástica na
ponta da trinca, tanto pela presença de discordâncias, quanto pelo crescimento da zona
plástica. Ele é, também, o material ideal para ser modelado em virtude dessas
propriedades e da sua estrutura CFC. Logo, ele é o material mais indicado para validar o
modelo proposto, a exemplo do que já fizeram OLIVEIRA (1994), OLIVEIRA ET AL.
(1994), SCANDIAN (2000), OLIVEIRA ET AL. (2001) e RANGEL ET AL. (2001).
4.1.2.1 Orientações cristalográficas
As orientações cristalográficas usadas nesse desenvolvimento são aquelas também
definidas para a realização dos ensaios de nucleação de discordâncias em amostras
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
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confeccionadas a partir de placas de cristal de Si de espessuras que variam entre 600 e
800 µm. Essas placas são livres de discordâncias, formando uma estrutura
monocristalina praticamente perfeita.
Para definir as orientações cristalográficas de uma amostra faz-se necessário saber,
antes, quais as direções desejadas para a propagação da trinca (X), para o plano de
clivagem (Y) e para a normal à face lateral da amostra (Z). Esta última direção é sempre
escolhida de forma que seja paralela à direção ideal da aresta da trinca. O corpo de
prova do tipo DCB (Double Cantilever Beam) mostrado na Fig. 4.1 ilustra essas
direções.
plano de propagação da trinca
Z
Y
X E
trinca
Figura 4.1: Corpo de prova DCB (double cantilever beam) típicempregado nos ensaios de nucleação de discordâncias em trincas.
o
Usando o tetraedro de Thompson [v. KOVÁCS & ZSOLDOS (1967) e HIRTH & LOTHE
(1982)], da mesma forma como foi adotado por OLIVEIRA (1994), GEORGE & MICHOT
(1993) e SCANDIAN (2000), foram considerados as três orientações indicadas na
Tab. 4.1 para o plano de deslizamento.
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TABELA 4.1: Orientações do plano de deslizamento usadas.
Configuração Plano de clivagem Direção da normal Série
ALFA 111 [ 211 ] K
BETA 111 [ 110 ] E
GAMMA 1 01 [ ] 100 G
4.1.2.2 Fontes de discordância no Si
Muito pouco se sabe sobre a natureza de fontes de nucleação. Na ausência de fontes em
volume em materiais quase perfeitos como o Si, a emissão de discordâncias está restrita
à aresta da trinca. Ensaios feitos com corpos de prova de Si demonstraram que a
capacidade da frente da trinca gerar discordâncias é dramaticamente reduzida quando se
consegue melhorar a qualidade dessa trinca [v. MICHOT et al. (1998) e SCANDIAN et al.
(1998)], o que enfatiza a natureza heterogênea da nucleação à frente da trinca. Logo, é
necessária a existência de defeitos para que ocorra a emissão de uma discordância.
Cálculos recentes apresentados por XU et al. confirmam essas observações.
Em alguns casos, é possível ligar a origem das discordâncias com um degrau (step) na
aresta da trinca. Essas regiões são denominadas fontes primárias.
4.1.2.3 Densidade de fontes primárias
Padrões típicos de discordâncias em torno de fontes são observados nos planos de
clivagem <110> e <111> para as trincas presentes nos corpos de prova das Figs. 4.2(a)-
(b), obtidas em um microscópio óptico (as figuras de ataque correspondem aos pontos
de desvio das discordâncias nas superfícies observadas). No primeiro deles, somente um
plano de deslizamento foi ativado, dando origem a 90 discordâncias. O segundo exibe
configurações típicas de fontes, com ativação dos tres possíveis planos de
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
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escorregamento [a análise detalhada dessa configuração pode ser encontrada em Michot
et al. (1994)]. A observação daquelas figuras evidencia o caráter tridimensional do
problema, pois as discordâncias emitidas são caracterizadas pela sua forma em anel
(Fig. 4.3).
(a)
[ ]011
[ ]011 [ ]001
SP
[ ]111
[ ]101
[ ]211SP
[ ]011 [ ]101
(b)
Figura 4.2: Figuras de ataque observadas nos planos de
clivagem 110 (a) e 111 (b) depois da
fratura completa da amostra (microscopia
óptica, marcadores: 10 µm). A posição da frente
da trinca durante a deformação plástica
materializa-se por uma linha tracejada na
micrografia. Durante a propagação à
temperatura ambiente, sua posição se moveu
para baixo.
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
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(1994)]. Figura 4.3: Topografia de Raios-X [OLIVEIRA
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P2
[ ]110
e = 650 µm
P1
[ ]211
S
[ ]111
[ ]132
[ ]111
SP
SP O
Figura 4.4: (a) Micrografia óptica do plano de clivagem 111 (onde e é a espessura da amostra e os pontos O e S são as interseções da aresta da trinca com as faces da amostra antes da sua fratura completa). Os pontos de emissão de discordâncias (indicados por setas) fora evidenciados pelas figuras de ataque [v. Fig. 4.2(b)]. As discordâncias são emitidas na frente da trinca e se desenvolvem nos planos de deslizamento 111, os quais cortam as faces da amostra. No caso apresentado aqui, dois planos de deslizamento paralelos contendo duas fontes primárias SP cortam a face maior da amostra na direção [132].
A Fig. 4.4(a) mostra a distribuição das fontes primárias ao longo da frente de uma
trinca. São identificadas seis fontes primárias (plano de clivagem 1 1 1). Esse corpo
de prova foi carregado à temperatura T = 885 K, com uma taxa dK / dt = 62 Pa√m s-1 e
falhou quando KA = 1,11 KIC. A maior extensão de uma discordância em anel (medida
no plano de clivagem) foi ~ 80 µm. Dois planos de deslizamento (1 1 1) paralelos
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
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originados de duas fontes aparecem na Fig. 4.4(a). Permitindo-se um desenvolvimento
maior [Fig. 4.4(b)], os anéis crescem até tocar o contorno (1 2). Os pontos de
interseção devem estar alinhados segundo a direção [132]. O número de fontes
primárias pode, então, ser deduzido a partir do número de linhas paralelas.
1
A observação das figuras de ataque na face ( 11 2) do corpo de prova mostrado na
Fig.4.5, o qual é carregado durante duas horas à temperatura T = 1.023 K, sob
KA = 0,66 MPa√m, indica que três fontes bem definidas emitiram mais que cinco anéis.
O
P2
P1
[ ]211
[ ]111
[ ]132
[ ]111
SP
SP
[ ]110
Figura 4.4: (b). Sob as condições de carregamento para o qual a fratura frágil é evitada, uma
intensa deformação plástica se desenvolve. Grandes anéis de discordância crescem
até o contorno do cristal que eles cortam localmente (triângulos escuros). Um exame
das figuras de ataque nessas faces ao longo da direção [132] fornece valiosas
informações sobre a densidade de fontes e suas atividades. No caso especial
representado aqui, os anéis emitidos são tangentes ao plano da trinca. Nenhum pit
pode ser detectado sobre o plano de clivagem. Em geral, a discordâncias cortam esse
plano e os pits são observados como aqueles vistos na Fig 4 2 (b)
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
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Este tipo de observação é comum nos ensaios realizados, com um número de fontes
primárias sempre inferior a dez, ou seja, com a distância mínima entre fontes de
aproximadamente 50 µm (N.B.: deve-se ressaltar que as fontes são detectadas
freqüentemente na interseção da frente da trinca com a superfície livre (1 2). Este fato
deve-se, provavelmente, ao estado plano de tensões que prevalece nessas situações).
[1
[ ]132
os
amos
1
]21
P2
Figura 4.5: Figuras de ataque observadas na face da am tra (marcador: 50 µm). O ponto P2 [v. Fig. 4.4(b)] corresponde à interseção do maior anel de discordância com a face da tra. Pelo menos três empilhamentos de pits bem definidos (setas maiores) são notados no lado direito da micrografia, enquanto a situação é bem mais difusa no lado esquerdo.
4.1.2.4 Fontes secundárias
Se os alinhamentos das figuras de ataque que surgem das fontes primárias são
observados de formas bem definidas do lado de fora da região da zona plástica, como na
Fig.4.5, por outro lado é difícil achar traços de deslizamento sobre o plano primário
(lado esquerdo daquela figura). Pode-se concluir que a relaxação plástica dispara
algumas fontes primárias, as quais emitem dezenas de discordâncias em formações retas
bem definidas e que são prontamente seguidas da ativação de muitas fontes secundárias
que emitem, no entanto, apenas algumas discordâncias em outros planos. Este fato é
confirmado por observações AFM (Atomic Force Microscope) da superfície da trinca
após sofrer uma extensa deformação plástica [v. MICHOT et al. (2000)], mostrando que a
distância entre planos de deslizamento é muito menor que aquela entre fontes primárias.
Um mecanismo de multiplicação de fontes de discordâncias foi proposto por MICHOT et
al. (1999) e (2000). Uma das discordâncias emitidas em uma das fontes primárias migra
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
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para um plano ao longo do qual ela pode se mover e tocar o fundo da trinca. A
interseção dessa discordância com a frente da trinca em um ponto em que o efeito de
blindagem inexiste dispara uma fonte secundária através do processo de emissão
estimulada [v. SCANDIAN ET AL. (1999)]. Este processo pode repetir-se mais de uma vez,
dando origem a uma avalanche de emissões de discordâncias, o que claramente provoca
um efeito de blindagem da trinca. A seguir, o processo de emissão estimulada é
apresentado, antes mesmo de se descrever o mecanismo de multiplicação de
discordâncias.
4.1.2.5 Emissão estimulada de discordâncias
Com uma clivagem quase perfeita, com as encontradas em para corpos de prova
confeccionados em GaAs, todas as tentativas de se desenvolver zonas plásticas na aresta
da trinca em corpos de prova do tipo DCB foram infrutíferas até o presente. As
discordâncias não são nucleadas para fatores de intensidade de tensões KA inferiores ao
valor de KIC, mesmo para um carregamento estático. A hipótese da nucleação
heterogênea baseia-se na correlação entre fontes de discordâncias e algumas
características das superfícies da aresta da trinca. Como é geralmente impossível se
detectar a posição da aresta da trinca em corpos de prova de GaAs, mesmo utilizando-se
microscopia óptica, conclui-se a total ausência de fontes de discordância. Como
nenhuma nucleação homogênea ocorre, o material é intrinsecamente frágil. Em corpos
de prova de Si clivados ao longo do plano 110, a nucleação pode ser suprimida
aplicando-se uma pequena carga sob alta temperatura por um tempo suficientemente
longo, de forma a aliviar, por difusão, o campo de tensões em torno dos poucos defeitos
deixados na aresta da trinca (v. KOIZUMI & MICHOT). Se as amostras correspondentes
são fraturadas à temperatura de 20°C, um aumento da tenacidade é observado, sua
ordem de grandeza subindo com a temperatura e o tempo dessa exposição. Na ausência
de discordâncias, tal efeito deve ser associado a uma mudança no raio da aresta da trinca
através da difusão. Uma primeira estimativa indica que apenas uns poucos planos
atômicos estão envolvidos nesse processo.
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
34
A localização das atividades das fontes nas proximidades da aresta da trinca permite que
se estude a interação entre discordâncias emitidas por fontes em volume e a frente da
trinca ainda virgem, isto é, sem a presença de discordâncias a ela presas. Como tais
fontes não são, em geral, encontradas em amostras de GaAs, ou mesmo de Si, fontes
extrínsecas são criadas por micro-identação. Em cristais de GaAs, por exemplo,
nenhuma atividade de discordância é detectada se as amostras são carregadas para que
atinjam 0,6 KIC. Em uma amostra, previamente identada com uma força de 100 g num
ponto distante 0,2 mm da frente da trinca, foi aplicada uma carga de 0,5 KIC a uma
temperatura de 450ºC e, em seguida, sob uma observação de topografia de Raios-X in-
situ, verificou-se, primeiramente, o crescimento de um contraste elástico em torno da
identação Vickers, a qual evidencia uma atividade plástica, e, em segundo lugar,
decorridos alguns minutos, a repentina aparição de uma zona plástica na aresta da
trinca. Esse mecanismo tem sido denominado emissão estimulada [v. MICHOT (1982)].
Testes equivalentes foram realizados com amostras de Si [v. SCANDIAN (2000)]. Após o
embotamento da trinca, a amostra é carregada. As discordâncias surgem a partir da
identação e algumas são atraídas pelo campo de tensões da trinca. Quando a primeira
dessas discordâncias toca a aresta da trinca, ocorre uma rápida e imediata multiplicação
de discordâncias. Dois pontos devem ser destacados: (i) a nucleação ocorre facilmente
pelo processo que se convencionou chamar emissão estimulada, pois ela ocorre sob
cargas relativamente baixas. Pode-se considerar que, localmente, a amplitude da tensão
atingida no núcleo da discordância (e que é aproximadamente igual à resistência teórica
ao cisalhamento) é suficientemente alta para estimular a emissão de uma nova
discordância na interseção do plano de deslizamento da primeira discordância com a
aresta da trinca. O processo envolvido na emissão em materiais semi-frágeis e que exige
um alto nível de energia é, então, suplantado [v. SCHOECK & PÜSCHL (1991), RICE
(1992) e XU et al. (1997)]; (ii) este primeiro evento é seguido de uma rápida
multiplicação da população de discordâncias. Uma explicação possível para a origem do
mecanismo de avalanche é apresentada a seguir.
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Acredita-se que o mecanismo de emissão estimulada seja válido também para materiais
contendo fontes em volume. Provavelmente, é este mecanismo o responsável pela
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
35
grande plasticidade encontrada na aresta de trincas de materiais dúteis, pois ela baixa as
tensões necessárias para a ativação de fontes na aresta da trinca e de fontes em volume.
4.1.2.6 Mecanismo de multiplicação de fontes de discordâncias
A posição do tetraedro de Thompson em relação à orientação cristalográfica é vista na
Fig.4.6. Algumas discordâncias com vetor de Burgers b = (a/2) [0 1 1] são emitidas na
fonte primária, SPRI sobre o plano de deslizamento (1 ) mostrado na Fig.4.7 e move-se
para o ponto SSEC por um deslizamento desviado, onde intercepta a aresta da trinca. A
fonte secundária ativada emite uma nova trilha de discordâncias e o processo reinicia.
Alguns argumentos sustentam essa hipótese, mesmo se, devido à resolução limitada da
topografia por Raios-X, este mecanismo não tenha sido observado diretamente:
11
(i) Em primeiro lugar, em pelo menos uma orientação, não há dúvidas com
relação à migração de planos, pois se verificou que ele ocorre durante o
crescimento da zona plástica [v. OLIVEIRA & MICHOT (1995)];
(ii) Em segundo lugar, a factibilidade do processo de migração de planos foi
verificada. Sob um carregamento no Modo I, o sistema de deslizamento
± a/2 [011] (1 ) é observado com freqüência. O campo de tensões
impõe o sinal positivo ao vetor de Burgers para que a condição de
crescimento do anel seja satisfeita. Se ele se move no plano de deslizamento
(1 ), esta discordância estará sujeita a um campo de tensões de amplitude
relativamente baixa e cujo sinal satisfaz a condição de encolhimento. Como
a amplitude da tensão de cisalhamento resolvida impõe a escolha do plano
primário, qual seria a razão para que a discordância muda-se para este
plano? Sob uma tal situação de desequilíbrio, a tensão é mais baixa na
última discordância emitida do que na primeira delas. Isto se deve à tensão
de retorno das discordâncias já emitidas. Quanto maior o número de
discordâncias no empilhamento inverso, menor é o valor da tensão que age
sobre a última discordância emitida. A trinca é, então, blindada em torno da
11
11
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
36
fonte primária. Entretanto, cálculos de modelos tridimensionais [v.
OLIVEIRA & MICHOT (1998)] mostram que o comprimento da aresta da
trinca influenciado por esta blindagem é menor que o raio da discordância.
Isto significa que a fonte secundária é apenas ligeiramente blindada.
Dependendo das condições de ensaio (temperatura, carga e taxa de variação
do carregamento), existirá um número crítico de discordâncias emitidas,
acima do qual haverá migração, o que leva à emissão estimulada;
Ssec
b = a/2 ([011])
[111]
[111]
P1
Figura 4.6: Uma das orientações cristalográficas concebidas para o Modo I de carregamento para amostras de Si clivadas no plano (111). Supões-se que quatro discordâncias com vetores de Burgers (a/2) [0 1 1] são emitidas de uma fonte primária SPRI. O segmento P1P2 da quarta discordância emitida migra do plano de deslizamento (1 1 1) para o outro plano de deslizamento (1 1 1).
P2
Sp
(iii) Por último, pode-se concluir que a relaxação plástica se inicia pelo
aparecimento de algumas fontes primárias, as quais são rapidamente
seguidas pela estimulação de muitas novas fontes que emitem cada vez INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
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menos discordâncias à medida que se multiplicam. A emissão da primeira
discordância é a situação mais difícil de se determinar, indicando, assim, um
ponto de interesse para se analisar a interação entre a trinca e uma
discordância.
[111]
[111]
P1
Spr
Ssec
b = a/2 [011]
FIGURA 4.7: A MIGRAÇÃO ACONTECE PORQUE O SEGMENTO P1P2 É ATRAÍDO PELA TRINCA. ENTÃO, O SEGMENTO SE CURVA NO PLANO (1 1 1) ATÉ O MOMENTO EM QUE ELE CORTA A ARESTA DA TRINCA. UMA FONTE SECUNDÁRIA É ATIVADA ATRAVÉS DO PROCESSO DE EMISSÃO ESTIMULADA [V Michot (1982)]
P2
4.1.2.7 A transição dútil-frágil (BDT)
Origem da transição
Quando uma trinca é posta sob carga de abertura a uma taxa de crescimento constante
, surge a competição entre o aumento da energia elástica devida à carga aplicada e a
relaxação plástica induzida pela emissão e pela mobilidade de discordâncias, . Se a
taxa de crescimento da zona plástica (i.e., a taxa de crescimento da blindagem) é
controlada pela mobilidade da discordância (principalmente em função da temperatura),
AKi
dKi
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
38
pode-se esperar a transição de um modo de baixa absorção da energia de clivagem (em
baixas temperaturas) para um modo dútil, no qual é grande a absorção desta energia (em
altas temperaturas). Esta transição do material de uma condição frágil para uma outra
dútil é controlada por parâmetros físicos (emissão, multiplicação e mobilidade da
discordância) e por fatores geométricos (cristalografia do deslizamento, modo de
abertura da trinca). A fratura frágil aparecerá se o fator de intensidade de tensão efetivo,
KE = KA + Kd (Kd < 0), ultrapassa a tenacidade do material KC. Caso contrário, uma
abertura dútil será observada.
A mudança no comportamento ocorre a uma temperatura crítica, TC, denominada
temperatura de transição f'rágil-dútil (BDDT - Brittle to Ductile Transition
Temperature). Como a taxa de crescimento da zona plástica depende da temperatura e
do tempo, a BDDT é sensível à taxa de aumento do carregamento e, assim, não pode ser
considerada como uma propriedade intrínseca do material. ST. JOHN (1975), MICHOT &
GEORGE (1985) e MICHOT (1989) investigaram a transição frágil-dútil no Modo I de
abertura para amostras de Si monocristalino que haviam sofrido um processo prévio de
clivagem e que foram carregadas com uma taxa de abertura ( = dδ/dt) constante. A
transição observada ocorre dentro de uma estreita faixa de temperatura, como mostra a
Fig. 4.8, e a BDTT mostra-se dependente da taxa de abertura, com uma energia de
ativação, ϕ, próxima a 2eV para a fiaxa de temperatura entre 973 e 1.223ºK. Isto pode
ser expresso por
δ
dδ/dt (ou dK/dt) α exp(– Q / k TC) , (a)
onde k é a constante de Boltzmann
No trabalho pioneiro de St. John, a transição frágil-dútil é atribuída ao embotamento da
ponta da trinca causado pela deformação plástica que compete com o crescimento da
tensão aplicada. Esta idéia foi mais tarde estendida para o nível microscópico [HAASEN
(1983) e BREDE & HAASEN (1988)] em função de emissão de discordâncias em uma
ponta de trinca embotamento. Entretanto, pelo Princípio de St.Venant [ou a cálculos
mais sofisticados de PASJIN et al. (1985)], como os planos de deslizamento cortam a INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
39
aresta da trinca em apenas um ponto, a perturbação limita-se a algumas poucas
distâncias interatômicas ao longo da frente da trinca, ou seja, uma distância bem menor
que o espaçamento dos planos de deslizamentos ativos. Isto indica que a relaxação de
tensões por embotamento é desprezível. Ensaios feitos por OLIVEIRA & MICHOT (1995)
indicam que, mesmo para orientações favoráveis, a blindagem resultante de
deslizamentos de planos que quase contêm a aresta da trinca é, de fato, o mecanismo de
relaxação predominante. XU, ARGON & ORTIZ (1995) mostraram, por estimativas
mecânicas, que a nucleação de discordâncias desses planos de embotamento é pouco
provável de ocorrer para muitos cristais. MICHOT & GEORGE (1985) ligaram a transição
frágil-dútil a um mecanismo de blindagem provocado por uma discordância.
Figura 4.8: Dependência dos fatores de intensidade de tensão em relação à temperatura para diferentes valores de δ . Os círculos cheios representam KC, os fatores de intensidade de tensão de clivagem, enquanto os círculos vazados são os fatores de intensidade de tensão plásticos, KI [MICHOT (1989) e MICHOT & GEORGE (1985)], para um Si do tipo Czochralski.
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
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A cinética de movimentação de discordâncias é um processo térmico de ativação de
energia, próxima a 2eV no Si. Assim admite-se, já há algum tempo, que a transição
frágil-dútil era controlada pela mobilidade de discordâncias. A mesma observação é
válida para outros materiais como Ge, AsGa, Mo e Al2O3, como mostram HIRSCH &
ROBERTS (1996). Entretanto, somente a inclinação da curva é imposta através da energia
de ativação no gráfico de Arrhenius relacionando a taxa de variação de tensão com a
BDTT. Grandes afastamentos na BDTT são, de fato, observadas no Si (Fig. 4.9), de
acordo com a orientação cristalográfica, origem (zona de flutuação, ou Czochralski),
pureza (intrínseca, dopagem, conteúdo de oxigênio, carga de hidogênio, etc.) e
tratamentos termomecânicos. Afastamentos, nos quais a inclinação da curva mantém-se
constante, são resultados de diferenças nas atividades das fontes, enquanto uma variação
desta inclinação deve-se a outros mecanismos ativados termicamente (nucleação,
interações das discordâncias que se movem com eventuais obstáculos, etc.). Qualquer
tentativa de prever a BDTT significará lidar com a avaliação da atividade de
discordâncias. Admitindo um equilíbrio do crescimento da zona plástica, é possível
contornar essa dificuldade. Porém, esta não é uma hipótese realista, o que é confirmado
por experimentos, e, além disso, em cristais covalentes a tensão de atrito deve ser
compreendida como um parâmetro dinâmico, pois a taxa de variação de tensão com o
tempo (fluxo de tensão), por ela definida, é muito sensível à taxa de variação de
deformação. Por essas razões, HIRSCH et al. (1989) desenvolveram um modelo
bidimensional e simularam situações de desequilíbrio, introduzindo explicitamente a
mobilidade da discordância. Muito embora eles não tenham conseguido evitar algumas
hipóteses sobre as condições de emissão de discordâncias, eles destacaram o conceito
fundamental de uma distância crítica entre fontes, dC, abaixo da qual, sob as condições
em que ocorre o ensaio, todos pontos vulneráveis sobre o perfil da trinca podem ser
blindados (KE < KIC). A característica nova e fundamental deste modelo é que duas
escalas definem a BDT: a zona livre de discordâncias, obtida de considerações
unicamente bidimensionais, e um parâmetro micro-estrutural que é o espaçamento entre
fontes de discordância.
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
41
106 B C
A
105 E D dKA/dt
F G H
104 (MPa√m s-1)
103
102
0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 x1000
/ TC
Figura 4.9: Taxa de variação de carregamento, K , versus o inverso da temperatura crítica de transição no Si, TC, tal como obtidas por HIRSCH & ROBERTS (1996): grandes variações são observadas de acordo com a geometria da amostra testada, a origem do cristal, a pureza, o procedimento para inserira trinca no material, etc..
A nitidez da transição
Como os processos termicamente ativados exibem variações contínuas sobre uma larga
gama de temperaturas, torna-se difícil, para alguns autores [XU et al. (1995)], explicar o
rápido aumento na resistência do material, observado a alguns graus abaixo da BDTT
(Fig. 4.8) através de um simples mecanismo de blindagem pelo surgimento de uma
discordância. De fato, um aumento contínuo e permanente da blindagem deve levar a
uma variação do fator de intensidade de tensão KE(t) no ponto mais vulnerável ao longo
da frente da trinca [Fig. 4.10 (a)]. Uma transição suave é observada, uma vez que a
trinca só acontece para fatores de intensidade de tensão aplicados (KA = KC) muito
maiores que a tenacidade do material, KIC em temperaturas logo abaixo de TC. Por outro
lado, para uma transição mais nítida, é necessário um rápido crescimento da blindagem
[Fig. 4.10 (b)]. Pergunta-se, então, como explicar esse aumento?
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
42
T IMEDIATAMENTE ACIMA DA TRANSIÇÃO FRÁGIL DÚTIL
K KKC
KIC KIC
KA KA
KC
KE KE
KMIN KMIN
KD KD
t t
Figura 4.10:Variações admitidas para a contribuição da blindagem, Kd, para o fator de intensidade de tensão efetivo, KE, nos pontos mais vulneráveis ao longo da frente da trinca para uma dada taxa de carregamento, AK : (a) para uma transição suave, as discordâncias que geram a blindagem são emitidas para baixos valores de KA; (b) para uma transição mais abrupta, a discordância que gera a blindagem surge quando os valores de KA estão próximos de KIC.
HIRSCH et al. (1995) escolheram a rota da simulação para apreciar a influência dos
diferentes parâmetros (taxa de mobilidade, nucleação, taxa de carregamento, etc.) sobre
a amplitude da blindagem. Para considerar esta clara separação da BDT, a primeira
emissão deve ser iniciada em um valor próximo a KIC e ser seguido por uma rápida
emissão de conjuntos de discordância sob um nível mais baixo de tensão. Expressando a
condição de nucleação em função das componentes de tensão, ao invés de termos do
fator de intensidade efetivo, MAEDA (1989) obteve uma transição mais nítida e com
menos hipóteses, enquanto BREDE (1993) e XIN & HSIA (1997) obtiveram o mesmo
resultado acelerando o processo de blindagem através do aumento do número de
sistemas de deslizamento ativados. Pode-se pensar que o número de planos de
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
43
deslizamento envolvidos é importante, mas somente isto não é suficiente para explicar a
evolução da blindagem. MICHOT et al. (1998) evidenciaram que as simulações
bidimensionais não representam adequadamente a cinética do mecanismo, pois as
hipóteses admitidas no modelo de duas dimensões abstraem-se da evolução da
população de fontes de discordância durante o teste. Aqueles autores concluiram,
através de medições in-situ, que a taxa de nucleação de discordâncias deve ser
proporcional ao produto KA · (dKA / dt), isto é, o número de fontes deve aumentar
segundo uma relação de t2. Experimentos recentes sobre a emissão estimulada [MICHOT
et al. (1998)] mostram que, tão logo que uma primeira discordância esteja disponível na
aresta da trinca, outras discordâncias surgem, mesmo sob níveis mais baixos de tensão.
As discordâncias multiplicam-se por um mecanismo de avalanche, ou seja, a taxa de
multiplicação de discordâncias resultante da ativação de novas fontes é muito maior que
aquela resultante da mobilidade de emissão controlada para uma mesma fonte.
Esta é uma das condições que levam a uma transição mais abrupta, de acordo com a
simulação de HIRSCH et al. (1995). Entretanto, essa condição não é suficiente. Se este
mecanismo de multiplicação sempre ocorre, como se pode justificar uma evolução
suave como aquela proposta pela Fig. 4.10 (a)? Obviamente, a transição repentina
depende de um outro parâmetro. Pela simulação de Hirsch, um alto valor limite de KMIN
para a emissão da primeira discordância também é necessário para se obter uma BDT
abrupta. Assim, deve-se procurar um mecanismo físico a nível microscópico para a
criação de novas fontes cuja eficiência será dependente da tensão.. Isto pode ser
alcançado através do estímulo do processo de emissão anteriormente descrito. Seria este
mecanismo sensível à tensão? Experimentalmente, a contagem de figuras de ataque em
amostras de Si carregadas sob condições de fluência por um período de duas horas
indica um crescimento muito rápido do número de discordâncias, n, dentro da zona
plástica com o carregamento aplicado [MICHOT (1982)], sendo que esse número situa-se
em torno de n KA8 ! A taxa de geração de fontes (o inverso do laso de tempo
necessário para uma discordância percorrer a trajetória da fonte primária até uma
segunda fonte) é proporcional à mobilidade da discordância (para o Si, o expoente de
tensão é próximo da unidade) e ao inverso da distância d percorrida pela discordância.
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
44
Quando o valor limite para ativação da fonte, KMIN, é baixo, as condições de crescimento
estão próximas de uma condição de equilíbrio, i.e., todas as discordâncias estão
aproximadamente sob o mesmo campo de tensão, a migração entre planos é improvável
de ocorrer, d deve ser grande e a taxa de ativação de novas fontes é muito baixa. Para
valores mais altos de KMIN, as condições de desequilíbrio acopladas à maior mobilidade
favorecem a migração entre planos, aumentando, assim, a taxa de ativação de novas
fontes.
Sob condições conhecidas de temperatura e de taxa de carregamento, quanto mais baixo
o valor limite da fonte de ativação, KMIN, mais baixa será a taxa de multiplicação de
discordâncias. O aumento da taxa de blindagem é contínuo e uma transição suave é
esperada [Fig. 4.10 (a)]. Em oposição, para valores mais altos de KMIN a taxa de
multiplicação é instantaneamente aumentada, bem como a taxa de blindagem. Uma
transição abrupta é esperada [Fig. 4.10 (b)]. Pode-se concluir que a transição abrupta
observada no Si resulta do fato que algumas fontes disponíveis na frente da trinca são
ativadas sob um valor alto de KMIN e que elas se multiplicam por um mecanismo de
avalanche cuja eficiência depende fortemente do nível de tensão, ou seja, uma emissão
estimulada na frente da trinca irá aparecer sob um valor baixo de KMIN e levará o
material a uma transição suave. No Si, uma rede equivalente pode ser desenvolvida pelo
efeito de uma pré-deformação. Com efeito, a forma da BDT muda de abrupta para suave
quando cristais de Si livres de discordâncias são substituídos por amostras pré-
tensionadas e aquecidas [WARREN (1989)]. Um crescimento semelhante no valor da
tenacidade após deformação foi também observado em monocristais de NiAl [EBRAHIMI
& SHRIVASTAVA (1998)].
Comentários
Quando dois mecanismos independentes, porém alternativos, estão competindo durante
qualquer transformação microestrutural, a evolução global será controlada pelo mais
rápido deles, isto é, aquele com a maior energia de ativação em alta temperatura, ou
aquele com o fator pré-exponencial mais alto em baixa temperatura. Por outro lado,
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
45
quando dois mecanismos independentes, mas simultâneos, combinam-se para efetuar a
transformação, a evolução será controlada pelo mais lento deles.
A transição frágil-dútil depende da habilidade do material em gerar e mover
discordâncias. Esses mecanismos não são independentes no sentido que, em primeiro
lugar, deve existir uma emissão de discordâncias antes que elas possam mover-se. O
mecanismo mais lento ainda controla a transição global. A taxa de blindagem deve ser,
em primeira aproximação, proporcional ao produto da taxa de nucleação de
discordâncias pela mobilidade dessas discordâncias. Sob a hipótese de nucleação
heterogênea, o número de fontes depende ou da densidade de densidade de defeitos ao
longo da frente da trinca, ou da densidade de fontes volumétricas na origem de emissões
estimuladas na frente da trinca. A taxa de nucleação depende não somente do nível de
tensão, mas, também, da temperatura ao longo da mobilidade da discordância, como é
explicitamente colocado no modelo de multiplicação proposto. Não se pode descartar a
hipótese de nucleação homogênea. Porém, como experimentalmente a nucleação surge
mais facilmente em defeitos, pode-se imaginar um processo de nucleação ativada
somente em tensões próximas àquela necessária para romper o material. O segundo
termo do produto, ou seja, a mobilidade da discordância, controla a atividade das fontes
e, como foi dito anteriormente, uma parte da taxa de nucleação. Portanto, não
surpreende que, em muitos casos, a BDT é interpretada como um processo
termicamente ativado e controlado pela mobilidade da discordância [HIRSCH &
ROBERTS (1996) e GUMBSCH (1998)]. De fato, exceto no caso de amostras de Si livres
de discordâncias, não existem evidências de uma BDT dominada por nucleações.
GUMBSCH (1998) mostrou, recentemente, que em monocristais de tungstênio a
nucleação de discordâncias identifica-se com um processo de controle apenas em trincas
sob regimes semi-frágeis de baixas temperaturas, bem abaixo da transição.
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Um fato importante a destacar é a que o mecanismo de multiplicação proposto é
termicamente ativado, pois a taxa de multiplicação de fontes ao longo da aresta da trinca
depende da mobilidade da discordância. Portanto, todos os ensaios realizados com o Si
devem levar a um valor de ativação comum., i.e., aquele necessário para a ativação do
deslizamento da discordância. Pode-se afirmar, uma vez que a densidade das fontes
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
46
primárias ao longo da frente da trinca impõe um valor absoluto para a temperatura de
transição, que a BDT, nos cristais de Si livres de discordâncias, é controlada pela
nucleação.
4.1.3 PRINCÍPIOS FÍSICOS
Ao realizar o cálculo da interação discordância-trinca OLIVEIRA (1994) e OLIVEIRA &
MICHOT (1994) tinham em mente a comprovação dos efeitos de shielding e de
antishielding da frente da trinca. Esses efeitos, que podem ser traduzidos como
blindagem e antiblindagem, respectivamente, descrevem o fenômeno de redução
(shielding), ou de aumento (antishielding) do nível de tensão na região da frente da
trinca. Essa alteração no nível de tensão se reflete na alteração dos fatores de
intensidade de tensão, KI, KII e KIII e, portanto, na inibição, ou na exacerbação da
propagação da trinca.
O cálculo admite que a discordância está posicionada imediatamente à frente da trinca,
mas, diferentemente de RICE & THOMSON (1994), está situada em um dos planos de
deslizamento do material que intercepta a frente da trinca em apenas um ponto. A
Fig. 4.11 faz uma comparação entre o modelo RICE-THOMSON (a) e o modelo de
OLIVEIRA-MICHOT (b).
Na configuração usada no cálculo de Oliveira-Michot, a existência de um anel de
discordância dá origem a um campo de tensões em suas vizinhanças e que altera o
campo de tensões à frente da trinca. Quando as tensões em ambos os campos
apresentam sinais contrários e o nível de tensão é reduzido, ocorre o shielding, ou seja, a
propagação da trinca é inibida pela presença da discordância; em caso contrário, ocorre
o anti-shielding.
A configuração usada nos cálculos de RICE-THOMSON foi concebida para determinar as
diferentes condições em que ocorrem as respostas dútil e frágil de materiais cristalinos.
Nela, um semi-anel de discordância se situa em um plano de deslizamento que contém a
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
47
aresta da trinca. Essa simplificação reduz o problema em uma dimensão, permitindo,
assim, que a solução seja expressa em função da parte real de uma função complexa.
Por seu lado, a configuração usada nos cálculos de Oliveira-Michot apresenta uma
análise tridimensional completa do problema. No entanto, a análise feita em
RICE & THOMSON (1974) mostra que existe uma força de atração exercida sobre a
discordância pela aresta da trinca (sem carga) e uma outra força de repulsão produzida
pela ação das forças externas. É possível, então, calcular o trabalho produzido por essas
forças sobre a discordância situada em um ponto qualquer do seu plano de deslizamento
e, assim, determinar o raio crítico de emissão da discordância. Embora a solução pelo
modelo de Oliveira-Michot seja mais geral, OLIVEIRA (1994) não apresenta essa análise,
nem se conhece quem a tenha feito.
Apresenta-se, a seguir, uma formulação geral, na qual as equações são obtidas de forma
consistente e utilizando variáveis adimensionalizadas em relação a parâmetros
intrínsecos ao problema.
y
x
z
discordância
y
x
z
discordância plano de
deslizamento
(a) (b)
Figura 4.11: Interação discordância anelar-trinca: (a) configuração usada no modelo de RICE-THOMSON, vendo-se o semi-anel situado em um plano de deslizamento que contém a frente da trinca; (b) configuração usada no Modelo OLIVEIRA-MICHOT, na qual o anel inteiro está situado em plano de deslizamento oblíquo em relação à frente da trinca.
plano de propagação da trinca
abertura da trinca
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
48
Figura 4.12: Corpo elástico B: (a) em repouso sem carregamento; e (b) em uma posição de equilíbrio, após sofrer um carregamento P, q.
(a)
B
Ω
Γ
X2
X1 X3
O
(b)
P1
P2 P3
q1
q2
X2
X1 X3
O
Ω’
Γ’
4.1.3.1 A energia potencial de um corpo
Um corpo elástico B ocupa, inicialmente, uma região do espaço Ω delimitada por Γ,
como mostra a Fig. 4.12(a). Ao ser submetido a um carregamento P, q, indicado na
Fig. 4.12(b), seus pontos materiais passam a ocupar uma nova região do espaço, Ω’,
muito próxima de Ω e delimitada por Γ’. Admitindo-se que o corpo seja um meio
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
49
contínuo perfeito, a energia potencial total do sistema deformado pode ser calculada por
[LANGHAAR (1962) e WASHIZU (1982)]
Π p = Πo = Uo + Wo (4.1)
onde Uo é a energia elástica armazenada no corpo, dada por
Uo = ∫Ω21
σ : ε dΩ , (4.2)
onde σ é a diádica de tensão, ε a diádica de deformação e Wo é o trabalho realizado
pelas forças conservativas, q e P, aplicadas sobre o corpo ao longo do deslocamento u,
dado por
Wo = – q · u dΓ – ∫Γ ∑i
Pi · u . (4.3)
4.1.3.2 A variação de energia causada pela presença de uma discordância
Seja o corpo elástico B no qual existe uma discordância que pode ser descrita pelo
vetor de Burgers b (bx, by). A presença desse defeito provoca, internamente, um campo
de deformações e, por conseguinte, um campo de tensões que se traduz pelo acúmulo de
energia elástica em torno da linha de discordância. Uma forma de calcular esta energia é
considerar que ela representa o trabalho de forças externas capazes de criar a mesma
discordância. Para simplificar o procedimento, imagine-se que o corpo B tenha uma de
suas dimensões conhecida, e.g., a sua espessura, dada por B, como mostra a Fig. 4.13.
Efetuando-se um corte no corpo a partir da posição da discordância e na direção paralela
à direção da componente bx, até a sua superfície, de tal forma que a coordenada x se
situe no intervalo 0 [ x [ R, e, a seguir, deslocando a região inferior do valor daquela
componente do vetor b, obtém-se o vetor de tensão aplicada à superfície n (0,1,0) dado
por tA(x) = σΑ · n, o qual varia de um valor 0, na raiz do corte, até o valor tA(bx), na
superfície do corpo. Ao longo do plano do corte existe um aumento do trabalho
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
50
necessário para fazer com que as duas partes se separem de bx. Para um trecho dbx, este
aumento corresponde a
dW = B dbx σ∫R
0 xy (x) dx . (4.4)
B y
x
bx
σxy(x, bx)
Figura 4.13: Geração de uma discordância em aresta através do corte do material, com deslocamento na parte inferior (x > 0, y < 0) igual a bx em relação à parte superior (x > 0, y > 0), com o restabelecimento do material inteiro (recolagem). Durante esta operação (quasi-estática), a componente da tensão, σxy aumenta progressivamente e o trabalho total é igual ao aumento de energia elástica.
Na Eq. (4.4), a tensão aplicada é igual e oposta à tensão causada pela presença da
discordância, cujo vetor de Burgers é bx. Admitindo que o campo de tensão se
desenvolve a partir de um campo potencial Φ(x, y), como é o caso das tensões
originadas nas funções de Airy, por exemplo, por ter apenas a componente de
cisalhamento, a tensão pode ser encontrada por – (∂2Φ/∂x∂y). Assim, a Eq. (4.4) pode
ser reescrita na forma
dW = B dbx (∂∫R
02Φ/∂x∂y) dx = B dbx [– Φx(R, 0) + Φx(0, 0)] , (4.5)
onde Φx = – (∂Φ/∂y). Uma vez que, sobre a superfície livre do corpo, as tensões são
nulas e Φx(R, 0) ≡ 0. Considerando-se, agora, apenas a componente by do vetor de
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
51
Burgers, nada se modifica na Eq. (4.4), uma vez que esta componente gera uma tensão
normal à superfície do corte e, portanto, não realiza trabalho. Num raciocínio
semelhante para um corte efetuado ao longo da direção y, chega-se ao aumento de
trabalho dado por
dW = – B dby (∂∫R
02Φ/∂x∂y) dy = B dby Φy(0, 0) , (4.6)
com Φy = (∂Φ/∂x). Para as duas componentes, o aumento total do trabalho por unidade
de comprimento de largura do corpo será
dW/B = dbx Φx(0, 0) + dby Φy(0, 0) . (4.7)
Usando a notação r, a integração da Eq. (4.7) leva a
W/B = ½ [Φ1(r) b1 + Φ2(r) b2] = ½ Φi(r) bi , (4.8)
onde a repetição de índices denota um somatório em i.
De posse desse resultado e com as Eqs. (4.1-3), a energia potencial de um corpo em que
existam n discordâncias é dada por
Πp = ∫Ω21
σ : ε dΩ – Γ∫ q
q · u dΓ – ∑j
Pj · uj – ½ ∑k
Φik(ρ) bi
k . (4.9)
4.1.3.3 Formulação de energia do problema da Mecânica da Fratura
Admita-se, agora, que, no corpo elástico B, do qual se conhece uma de suas dimensões
dada por B, exista internamente uma pequena região S, de comprimento 2a, mostrada na
Fig. 4.14, representando a trinca.
A força capaz de aumentar a superfície da trinca, chamada força de extensão, é dada por
G = (∂Πp/∂A) . (4.10)
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
52
Figura 4.14: Corpo elástico com superfície interna livre S. A parte superior da superfície livre é denotada por S+ e a parte inferior é denotada por S– , enquanto a normal é denotada nS.
x
y
z
S+
S–
B
nS
2a
Devem-se considerar, a partir daqui, os modos de abertura da superfície S mostrados na
Fig. 3.1: Modo I, para esforço normal ao plano da superfície; Modo II, para
cisalhamento no plano da superfície e atuante na direção x da Fig. 4.14; e, finalmente,
Modo III, para cisalhamento também no plano da superfície, mas atuante na direção z.
Nesses casos, as componentes da diádica de tensões σ' = [σ11 σ12 σ13 σ22 σ23 σ33]T
podem ser obtidas pela relação de Irwin [v. MAUGIN (1992) e FETT (1998)]
σ' = rπ2
1 Φ(θ) K J , (4.11)
onde r é a distância entre a aresta da trinca e o ponto considerado e θ é o ângulo que r
faz com a horizontal, mostrado na Fig. 4.15, e a função angular Φ(θ) é dada por
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
53
E x
y
θ
Figura 4.15: Região do corpo em que a Φ é determinado em função do ângulo θ.
Φ(θ) = , (4.12)
636261
535251
434241
333231
232221
131311
ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ
sendo
Φ11 = Φ22 =
−
2θ3sen
2θsen1
2θosc ,
Φ12 =
+−
2θ3cos
2θcos2
2θsen ,
Φ21 = Φ42 = 2θ3cos
2θcos
2θens ,
Φ33 = 2θsen− ,
Φ41 =
+
2θ3sen
2θsen1
2θcos ,
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
54
Φ53 = 2θcos ,
Φ61 = 2 ν2θcos ,
Φ62 = –2 ν 2θsen ,
Φ13 = Φ23 = Φ31 = Φ32 = Φ43 = Φ51 = Φ52 = Φ63 = 0, (4.13.a-i)
e
K J = [ KI KII KIII ]T . (4.14)
IRWIN (1957) relacionou a força de extensão da trinca e os fatores de intensidade de
tensão por
G = 21
2 Eν− ( KI
2 + KII2) +
µ21 KIII
2 , (4.15)
onde E é o módulo de elasticidade do material, ν é o seu coeficiente de Poisson e µ é o
módulo de elasticidade transversal. Considerando apenas o Modo I de abertura da
superfície, a Eq. (4.15) reduz-se a
G = 21
2 Eν −
KI
2 = KI2 / H . (4.16)
Admita-se, agora, que, aplicado sobre o corpo elástico B, um carregamento qualquer
P+ resulte em um fator de intensidade de tensão dado K+I. Se um segundo carregamento,
por exemplo, P–, é aplicado sobre o corpo, obtem-se um novo fator de intensidade de
tensão K–I. Sobrepor esses dois carregamentos é o mesmo que retirar a carga, com o
fator de intensidadede tensão
KI = K+I + K–
I (4.17) INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
55
e a força de extensão será
G = (K+I + K–
I)2 / H = [(K+I)2 + 2(K+
I) (K–I) + (K–
I)2] / H . (4.18)
Usando a definição da força de extensão vista na Eq. (4.10), tem-se
G = (K+I + K–
I)2 / H = 12 A Γ
∂∂ ∫
t
[(σ · n)+ + (σ · n)–] · (u+ + u–) dΓ +
+ 12 A Ω
∂∂ ∫ [(f+ + f–) · (u+ + u–)] dΩ . (4.19)
Restringindo a análise aos termos cruzados da Eq. (4.19) e omitindo-se o índice I do
fator de intensidade de tensão, chega-se a
(K+ · K–) / H = 12 A Γ
∂∂ ∫
t
[t+ · u– + t– · u+] dΓ + 12 A Ω
∂∂ ∫ [f+ · u– + f– · u+] dΩ ,
(4.20)
onde se considerou t = (σ · u). Pelo Teorema de Betti da reciprocidade, t+ · u– = t– · u+ e
os termos da Eq. (4.20) se somam para dar
K– = HK A+
∂∂
Γ∫ t
t– · u+ dΓ + f∫Ω– · u+ dΩ . (4.21)
Se o campo de deslocamentos u+ é conhecido para um dado carregamento K+, pode-se,
então, determinar, para o corpo elástico considerado, o fator de intensidade de tensão
induzido K–, qualquer que seja o carregamento.
Introduzindo o termo devido à presença de uma discordância na equação do trabalho
das forças que atuam sobre o corpo, tem-se, da Eq. (4.28),
K– = HK A+
∂∂
Γ∫ t
t– · u+ dΓ + f∫Ω– · u+ dΩ + ∑
kΦi
+k(r) bi–k
. (4.22)
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
56
θ
σ22dA
σ12dA df2
df1
(a) Kd = 0 (b) Kd = KA = 0
θ
(c) Kd g 0 (d) KA = –Kd
θ
Figura 4.16: A superposição dos efeitos da trinca e da discordância que interagem: (a) a discordância em um meio infinito sem a trinca (logo, Kd = 0); (b) a mesma discordância próxima a uma trinca que é fechada por um carregamento tal que Kd = KA = 0; (c) a discordância próxima à trinca causa um campo de tensões que se traduz por Kd g 0; (d) para recuperar o meio contínuo, agora com a trinca, mas retirada a discordância, é preciso que se aplique um carregamento para fechar a trinca tal que KA = Kd.
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
57
Na Eq. (4.22), vê-se que o K– total é, então, o resultado da contribuição das forças de
superfície (primeiro termo do lado direito), das forças de corpo (segundo termo) e das
forças devidas à presença da discordância (terceiro termo). Nota-se que existirá um K–
mesmo que inexistam forças de superfície e forças de corpo atuando. Conclui-se que
cada discordância age como um carregamento interno. No entanto, como Φi(r) é um
potencial obtido de uma função de Airy, este método somente pode ser utilizado para
problemas bidimensionais.
É interessante observar que a superposição dos efeitos provocados pela trinca e pela
presença da discordância não é evidente, como mostrou OLIVEIRA (1994). A
Fig. 4.16(a) mostra uma região do corpo elástico e contínuo B em que existe uma
discordância. Se existe uma trinca nas proximidades da discordância, o contínuo pode
ser recuperado aplicando-se um carregamento sobre as duas faces da trinca, S+ e S–, de
maneira que se obtenha o seu completo fechamento. O corpo da Fig. 4.16(b) é, então,
idêntico ao da Fig. 4.16(a). Pode-se chegar ao mesmo resultado somando-se o efeito da
perturbação provocada pela presença da discordância sobre a trinca, representado por
Kd, como mostra a Fig. 4.16(c), e um carregamento externo tal que KA = – Kd, esse
mostrado na Fig. 4.16(d).
4.2 A SOLUÇÃO COMPUTACIONAL
A solução computacional do problema envolve uma primeira parte inteiramente
analítica – até o cálculo do campo de tensões em torno da discordância, cujas
expressões são dadas em função de integrais elípticas conhecidas, e suas projeções no
plano da trinca – e uma segunda parte totalmente numérica e que finaliza os cálculos
para se obter, em primeiro lugar, os fatores de intensidade de tensão, KJ, e, em seguida,
a variação da energia.
A primeira parte do procedimento computacional inicia-se com as relações básicas entre
as coordenadas associadas ao sistema cristalino, ao plano de propagação da trinca e ao
plano de deslizamento. Matrizes de transformação são construídas entre os três INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
58
sistemas. As três configurações usadas na definição do plano de deslizamento do Silício
dependem da sua orientação cristalográfica descritas na Tab. 4.1. A configuração ALFA
corresponde à orientação de mesmo nome e assim sucessivamente. A seguir, o
procedimento gera uma malha de elementos sobre a superfície da trinca. A malha é
polar e tem como referência o ponto onde a discordância toca a aresta da trinca. Para
determinar a distância radial usa-se o parâmetro p da solução das integrais elípticas, e,
na varredura angular, o ângulo λ. As seis componentes independentes da diádica de
tensão são calculadas analiticamente para cada nó desses elementos e, em seguida, lhes
é aplicada a transformação entre os sistemas de coordenadas do plano de deslizamento e
do plano de propagação da trinca. Obtém-se, então, o vetor de tensão, representado pela
componente normal da tensão e pelas componentes de cisalhamento no plano da trinca
que resultam nas forças dfi responsáveis pelo fechamento da trinca (v. Fig. 4.13).
Na segunda parte, procede-se utilizando os resultados analíticos já obtidos para se
calcular, iterativamente, os fatores de intensidade de tensão, por integração numérica, e
a força-imagem para diferentes posições de um anel de discordância afastado da aresta
da trinca. A variação do trabalho realizado pela força-imagem ao longo de uma
trajetória virtual de afastamento é calculada e igualada à variação de energia elástica
induzida pela proximidade das superfícies livres da trinca. As duas partes da solução
serão detalhadas a seguir.
4.2.1 O ANEL DE DISCORDÂNCIA E SEU CAMPO DE TENSÕES
4.2.1.1 A malha de elementos
Processos iterativos exigem uma relativa rapidez nos cálculos. Tempos demasiadamente
longos despendidos em cálculos intermediários tornam excessivamente lenta a iteração
a ser efetuada na segunda parte da solução. Se esses processos iterativos envolvem
ainda integrações numéricas, geralmente por procedimentos também muito lentos, vê-se
que existe uma necessidade de otimizar todo o processo de cálculo. Para acelerar a
solução do problema da determinação dos fatores de intensidade de tensão da Eq. (4.22) INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
59
seria necessário, então, usar uma malha com o menor número possível de elementos e,
ainda assim, que produzisse resultados suficientemente precisos. O ideal seria obter uma
malha através de um método adaptativo que pudesse minimizar o erro da integração
numérica. Isto, porém, poderia imprimir uma maior lentidão nos cálculos, frustrando, de
uma certa forma, o objetivo de se obter um procedimento numérico mais rápido.
Um dos parâmetros a ser usado para se conseguir uma malha adaptativa é o campo de
tensões, pois dele depende a precisão da integração. Resolveu-se, assim, investigar o
comportamento das componentes da tensão sobre a superfície da trinca para identificar a
possível otimização da posição dos nós da malha. Uma análise da distribuição das
componentes de tensão sobre o plano da trinca demonstrou que essas componentes
dependiam dos valores do parâmetro p usado na determinação das funções elípticas de
primeira e de segunda espécies, K (p) e E (p), respectivamente, bem como da sua
posição relativa à componente do vetor de Burgers no ponto considerado, do raio do
anel e de constantes elásticas [v. Apêndice A]. Foi identificada a forte dependência das
componentes da tensão em relação ao parâmetro p e ele foi escolhido para representar
uma das coordenadas da malha.
Figura 4.17: A discordância de raio unitário à frente da aresta da trinca e as coordenadas adimensionais usadas na formulação.
plano de propagação da trinca plano de deslizamento
trinca C
Ξ
ξ
Η
Ζ
η'
ξ'
ζ" ≡ ζ'
1α
ξ"
η" ω
θ
E
ζ
η
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
60
As coordenadas dos diversos sistemas usados nos cálculos, bem como as diversas
grandezas envolvidas no problema, foram adimensionalizadas para simplificação.
Convencionou-se, neste trabalho, que as coordenadas adimensionalizadas, ou reduzidas,
são designadas por letras do alfabeto grego, enquanto as coordenadas dimensionais, ou
absolutas, são representadas em letras do alfabeto romano. Assim, o sistema de
coordenadas xi, i = 1, 2, 3 é substituído nos cálculos por ξi, onde
ξi = (xi / ρ ') , (4.23)
sendo ρ' o raio da discordância, dado, por sua vez, por
ρ' = N | b | , N ∈ ø , (4.24)
enquanto o sistema Xi é substituído por Ξi = Xi / ρ '. Nota-se, ainda, que essas
coordenadas são, alternativamente, representadas como x, y, z, ξ, η, ζ, X, Y, Z e
Ξ, Η, Ζ. A Fig. 4.17 mostra as coordenadas adimensionais.
Para um ponto M qualquer, de coordenadas (ξM, 0, ζM) h (ξ"M, η"M, ζ"M), situado,
assim, sobre a superfície da trinca (v. Fig. 4.18), o valor de p é encontrado pela relação
p2 = 4 ζ" M / (Ρo)M = 1 – p'2, (4.25)
onde ζ"M é a coordenada do ponto na direção ζ" mostrada na Fig. 4.14, e a distância
(Ρo)M é dada por
( CM / ρ ')2 = (Ρo)2 = η" M2 + (ζ" M + 1)2 . (4.26)
A direções dos eixos ξ M", η M", ζ M" são escolhidas de forma que a posição do ponto
M em relação ao ponto E é dada por
CM = CE + EM = 0 i" + η" M j" + ζ" M k" , (4.27)
onde i", j", k" são os vetores unitários nas direções ξ" M, η" M, ζ" M e
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
A VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A A ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL
Figura 4.18: Coordenadas adimensionais do ponto M sobre o plano da trinca, vendo-se a curva iso-p.
Ξ Ζ
ΖM
E ξ
C
ζ Η curva iso-p
ΞM
M
λM
η
η"
Ρ
ENERGIANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
61
EM = Ξ M I + 0 J + Ζ M K . (4.28)
A substituição das relações das Eqs. (4.25-26) na Eq. (4.27) resulta no polinômio
Ρ 4 + C2 Ρ 3 + C3 Ρ 2 + C4 Ρ + C5 = 0 , (4.29)
sendo que os coeficientes Ci são dados por
C2 = 4 ψ(λ) , (4.30.a)
C3 = 4 [ψ(λ)]2 + δo + 2 – p' 1 – [φ(λ)]2 , (4.30.b)
C4 = 2 2 ψ(λ) + (δo + 1) – ψ(λ) p' , e (4.30.c)
C5 = (δo + 1)2 – δo p' , (4.30.d)
onde se tem δo como a distância entre o perímetro do anel de discordância e o ponto E
sobre a aresta da trinca, medida no plano de deslizamento,
plano da trinca
1
INFLUÊNCIA D
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
62
φ(λ) = (i' · ∆ M) sen(λ) + (k' · ∆ M) cos(λ) , (4.31.a)
ψ(λ) = [ (i' · ∆ M) sen(λ) – (k' · ∆ M) cos(λ) ] , (4.31.b)
δo = δ2 + 2 δ cos(α) + 1 , (4.31.c)
∆ M = [δ + cos(α) sen (α) 0]T . (4.31.d)
E
Ξ
Ζ
λ Ρ
p
superfície iso-p plano da trinca
Figura 4.19: Superfície iso-p genérica.construída pelas coordenadas (Ρ, λ).
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
63
A solução do polinômio da Eq. (4.29) fornece, para cada ponto M(ξM, 0, ζM), os valores
do par (Ρ, λ) que formam o sistema de coordenadas polares com centro em E.
Inspecionando-se as Eqs. (4.30.a-d), verifica-se que os coeficientes do polinômio em Ρ
são funções apenas de p (ou de p'). Dessa forma, dado um valor de λ, determina-se Ρ
para um valor constante de p. Isto resulta numa curva em torno do ponto E, tal que Ρ(p),
a qual pode ser comparada a uma curva de nível. O conjunto de curvas para as quais o
valor de p é constante forma uma superfície, a qual foi denominada superfície iso-p.
Admitindo um incremento constante ∆λ para 0 [ λ [ π e que Ρ(p) varie à partir do
ponto E, ao longo de λ, para 0 [ p < 1, é possível formar uma superfície sobre o semi-
plano da trinca (ξ m 0) que corresponda à variação de λ e Ρ, isto é, dado um valor
p = cte., tem-se uma curva em que λ se situa no intervalo 0 [ λ [ π e Ρ varia de um
valor mínimo, Ρmin, quando p = pmax, até um valor máximo, Ρmax, quando p = pmin. Esta
superfície é ilustrada no esquema da Fig. 4.19. Quando Ρ d 0, p d 1 e a superfície é
assintótica ao eixo p. Se, ao contrário, Ρ d ∞, então p d 0, assim como qualquer outra
função que depender de p.
Nesse instante, é necessário estabelecer um critério para os incrementos de Ρ e λ de
forma a se construir a malha. Um critério para λ é considerar intervalos angulares
iguais, ou seja, dividir-se o ângulo π em nλ intervalos. Para os incrementos de Ρ,
entretanto, como as equações são mais complexas, é preciso compreender-se
exatamente o papel de p no problema. Ele surge da solução das equações integrais das
componentes da diádica de tensão, σ. Essas integrais têm a forma geral dada por HIRTH
& LOTHE (1968)
σ = σ ij g i 1 g j =
( ) ( )" " "8π " "m kmi j m kmj iC C
k k
b R dx b R dxx x
ε ε∇ − ∇∂ ∂
∫ ∫2 2µ " ∂ ∂
+
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
64
( ) ( )3
22 "1 " " " "m kmn ij nC
k i j k
Rb Rx x x x
ε δν
∂ ∂ "dx − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∇
∫ g i 1 g j , (4.32),
ou, em coordenadas adimensionais, assumindo a forma também adimensional
τ = τ ij g i 1 g j =
( ) ( )2 2" ξ " " ξ "8 π ξ " ξ "m kmi j m kmj iC C
k k
l P d l PN
ε ε∇ − ∇∂ ∂
∫ ∫1 d
∂ ∂+
( ) ( )3
22 " ξ "1 ξ " ξ " ξ " ξ "m kmn ij nC
k i j k
Pl Pε δν
∂ ∂ − − − ∂ ∂ ∂ ∂
∫ d∇ g i 1 g j . (4.33)
Por serem as integrais da Eq (4.33) do tipo elíptico, portanto resolvidas em função das
funções elípticas de primeira e segunda espécie, K (p) e E (p), respectivamente, é
possível resolvê-las numericamente reconhecendo-se que elas podem ser colocadas na
forma
( )∫
π+
π− ∆
2
2 0
duP
ufkk , (4.34)
onde k é um inteiro,
∆ = usinp 221 − , (4.35)
P02 = η"2 + (ζ" + 1)2 e (4.36)
p2 = 4 ζ" / P02 = 1 – p'2 . (4.37)
As Eqs. (4.36) e (4.37) são idênticas às Eqs. (4.25) e (4.26) e são repetidas, apenas, por
questões de formalismo. É fácil rearranjar a Eq. (4.33) para escrevê-la na forma
matricial
τ(p) = Fo Ω(ω) · W(η", ζ") · Q(p) , (4.38) INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
65
onde
Fo = [2 . N . π . (1 – ν)]–1 , (4.39)
Ω(ω) = 0
" senω" cosω 0
cosω1" senω
0 senω" senω
P
ζ −ζ −ζ
ζ
, (4.40)
W(η", ζ") =
2 2 2 2 20 0
2 2 2 2 20 0
22
0
2 22 2 2 2 2
00 0 0
2 22 2
0 0
8 321 2 0 2(1 ) 0
8 321 0 2(1 ) 0 η"
12(1 )(1 η") 0 2(1 )η" 0 4 ζ"
3 2 4 6 32 121 (1 η") 1 (1 η" ) (1 2η")
3 61 η" (1 η")ζ" 2η" ζ"
P p P p P
P p P p P
P
PP p P P p P
P P
− ν − − ν − −
− ν − + − ν
− ν + − − ν ν −
+ − − + − −
+ − + − −
0
0
20
12
12
+
22
0
2 22 2
0 0
124 η"
3 61 ζ" 2 ζ" 0 0
P
P P
ν − −
(4.41)
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
66
Q(p) =
2
2
2
22
2 2 2
2 2
4 4
2 2
4 4
1 0
2 2- 1-3 1- 3
1 -1
( )21 3-2 1- ( )1-
3 1- 3
3 -4 2-
6- 2 1--3
pp
pp
ppp
p p p
p pp p
p pp p
EK
. (4.42)
As funções elípticas são dadas por
K (p) = 2 220
1 senp dπ
− ϕ∫ ϕ e (4.43.a)
E (p) = 20 2 21 sen
d
p
π ϕ
− ϕ∫ . (4.43.b)
Elas são resolvidas completamente pelo método da média aritmética-geométrica
[ABRAMOWITZ & STEGUN (1965)], como pode ser visto no Apêndice B. Considerem-se,
agora, as componentes da diádica de tensão sobre o plano da trinca e ao longo da
direção ξ, a qual é a direção definida pela interseção do plano de deslizamento com o
plano de propagação da trinca. Uma inspeção do valor de cada uma dessas componentes
revela que, nesta situação, todas as componentes são nulas exceto a componente τηζ, a
qual se escreve, segundo a notação usada por OLIVEIRA (1994),
τηζ = 2 Fo (1 – p')2 [Q1 – (1 + p') Q3 ] / (1 – ν) – [(1 – p') / (1 – ν)] Q5 ν , (4.44)
sendo
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
67
1.0
0.5
0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12κ
τ ηζ =
σηζ
/ µ
Figura 4.20: Decaimento da componente de tensão τηζ com o aumento da distância EM em número de raios do anel de discordância.
Q1 = 2 E (p) / p'2 , (4.45.a)
Q3 = Q1 – [2 K (p)] / p2 e (4.45.b)
Q5 = [Q1 – Q3 (1 + p'2)] / p2 . (4.45.c)
Ao traçar o gráfico τηζ vs. κ, como mostra a Fig. 4.20, vê-se um rápido decaimento
daquela componente da tensão a medida que aumenta a distância do ponto M ao ponto
E. Na Fig. 4.20 observa-se que, para valores de κ m 4 (o que significa que a distância
é maior ou igual a 4 vezes o raio da discordância ρ'), a componente adimensional
da tensão é inferior a uma ordem de grandeza em relação ao valor reduzido da tensão de
cisalhamento em relação ao limite teórico de cisalhamento do material, indicando que, a
partir dessa distância, a influência da presença do anel de discordância é desprezível no
campo de tensões da trinca. Nesse caso, à medida que p cresce, a tensão tende
EM
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
68
suavemente para zero. O máximo valor de Ρ foi estabelecido para um valor mínimo da
tensão reduzida (adimensional) da ordem de (µ/6) x 10–5.
Ζ
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Ξ
(a)
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ξ
ζ
A Malha de Elementos
(b)
Figura 4.21: Malha de elementos quadrilaterais, típica para a análise. (a) O valor mínimo de p é correspondente à tensão de cisalhamento de (µ/6) x 10-5. O percentual de redução das tensões usado para a malha foi de 40%. Nº de divisões em λ = 24; Nº divisões em p = 20. Total de elementos = 480; (b) Detalhe da região da raíz da malha, notando-se o raio de corte.
Ζ
Ξ
A Malha de Elementos
Por outro lado, para valores κ [ 1, o valor da componente da tensão cresce muito
rapidamente, podendo ultrapassar o limite de cisalhamento teórico do material, µ/6. Este
fato obriga a determinação de um valor mínimo para κ ligeiramente maior que zero. O
valor de κ abaixo do qual a componente de tensão τηζ é ligeiramente inferior ao limite INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
69
de cisalhamento do material corresponde ao valor máximo da tensão e, portanto, ocorre
para o maior valor de p, isto é, para o menor valor de Ρ. A essa distância denominou-se
raio de corte. Dentro deste limite, as tensões são superiores ao limite de cisalhamento
teórico do material e não são válidas as relações da Elasticidade linear. Arbitrariamente,
para manter um valor finito dessa tensão, adotou-se que ela teria um valor constante e
igual a µ/6.
Figura 4.22: (a) Superfície iso-p para a malha da Fig. 4.18; (b) Vista da superfície (N.B.: A escala vertical está ampliada 20X para facilitar a visualização).
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8Ζ
Ξ
(a)
E
-10
-5
0
5
-10-8
-6-4
-2 0
2 4
6 8
10
12
14
16
18
20
Ξ
Ζ
(b)
Η
A Superfície Iso-p
Conhecidos os limites da região a ser discretizada, resta, ainda, determinar a malha, isto
é, os nós dos elementos. Na direção do ângulo λ (observar que este ângulo varia INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
70
positivamente no mesmo sentido dos ponteiros do relógio a partir do sentido positivo do
eixo Ζ), é mais prático que se estabeleçam setores regulares, ou seja, tomando-se
intervalos iguais. No sentido radial, porém, a adoção de um critério não é tão natural e
exige uma estratégia adequada.
Sobre o raio de corte, a tensão se apresenta com um valor ligeiramente inferior ao limite
teórico de cisalhamento do material, µ/6. A partir dele, é possível, com o uso da
Eq. (4.44), fazer essa tensão decrescer sempre de um valor percentual (entre 60 e 95%,
dependendo da precisão e do tempo desejados) do valor imediatamente anterior e
encontrar, assim, a variação de p ao longo de ξ. Este procedimento pode ser adotado até
que se atinja o valor mínimo da tensão [como foi visto acima, da ordem de (µ/6) x 10–5],
correspondendo, então, ao limite da região a ser considerada no cálculo dos fatores de
intensidade de tensão.
Figura 4.23: Rotação ω do eixo ζ em torno do eixo η, como usada no cálculo da integração dos fatores de intensidade de tensão ao longo do anel de discordância. Nota-se que ω é escolhido de maneira que a componente na direção ξ” seja sempre zero.
M
Cn ω
η = η"
ξ'
ζ'
ζ"
ξ"
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
71
A Fig. 4.21 apresenta uma malha típica para o cálculo dos fatores de intensidade de
tensão. Nela, usou-se um intervalo angular uniforme correspondente a 24 divisões
(∆λ = π/24). Foi empregada uma redução da tensão de 40%, isto é, cada novo valor de
tensão usado para calcular p e, por conseguinte, as coordenadas Ρ, valia 60% do valor
da tensão usado no cálculo do Ρ anterior. Reduções mais suaves garantem melhor
representação da distribuição de tensões, mas sobrecarregam os cálculos. Na malha da
Fig. 4.21, a redução usada resulta em 20 divisões ao longo de cada direção radial
partindo de E. Neste caso, um total de 480 quadriláteros foi obtido. Observa-se que o
valor mínimo de p é alcançado quando a tensão de cisalhamento sobre o plano da trinca
e ao longo da direção ξ atinge um valor próximo a (µ/6) x 10-5, enquanto o valor
máximo de p ocorre para esta mesma tensão em torno de (µ/6). No primeiro caso, a
distância máxima do ponto E corresponde a, aproximadamente, 8,5 vezes o raio do anel
de discordância.
A Fig. 4.22 apresenta a superfície iso-p para a malha da Fig. 4.21. Em (a) tem-se uma
vista de topo dessa superfície. Cada curva em torno do ponto E representa um único
valor de p. A Fig. 4.22 (b) mostra uma perspectiva da superfície. Para melhor
visualização, a escala vertical (valores de p) está aumentada 20X.
4.2.1.2 As componentes de tensão no plano da trinca
Como foi visto na Eq. (4.22), a interação trinca-discordância pode ser verificada através
da alteração do fator de intensidade de tensão na região em que a discordância está
próxima à trinca. A determinação desses fatores de intensidade de tensão está, então,
relacionada ao cálculo das componentes do campo de tensões em torno da discordância.
O cálculo analítico dessas componentes é explicitado na Eq. (4.38) para um ponto
qualquer M nas vizinhanças do anel de discordância, como o mostrado na Fig. 4.23.
Se o ponto M está localizado no plano da trinca, os valores encontrados para as
componentes τij ainda serão relativos às direções associadas ao plano de deslizamento
onde se encontra o anel de discordância. Para encontrar as componentes nas direções
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
72
associadas ao plano da trinca é necessário, então, aplicar a matriz de transformação
entre os dois sistemas de coordenadas, ou seja,
τM = TT(ξi, Ξi) · τ'M · T(ξi, Ξi) , (4.46)
onde o símbolo τ'M representa as componentes da diádica de tensões nas coordenadas do
plano de deslizamento [Eq. (4.38)], τM essas mesmas componentes, mas no sistema de
coordenadas do plano da trinca e T(ξi", Ξi) é a matriz de transformação entre o sistema
de coordenadas ξi" para o sistema de coordenadas Ξi. Embora a matriz [ τij ] contenha
seis componentes independentes, apenas as componentes τηη, τηξ e τηζ são usadas no
cálculo dos fatores de intensidade de tensões, em virtude dos modos de abertura de
interesse.
4.2.2 OS FATORES DE INTENSIDADE DE TENSÃO – KI, KII E KIII
4.2.2.1 A discordância presa à aresta da trinca
Muitos dos métodos numéricos empregados para calcular os fatores de intensidade de
tensão precisam de rotinas separadas para completar o cálculo, uma para cada
distribuição de tensões e uma para cada comprimento de trinca. BÜCKNER (1970)
propôs um procedimento através de funções de peso que simplifica a determinação
desses fatores. Conhecida a função de peso para uma determinada geometria da trinca,
os valores de KJ para um ponto situado na aresta da trinca são obtidos multiplicando-se
esta função pela distribuição de tensões no semiplano onde a trinca está situada.
Para um ponto Z(0, 0, Ζo) situado na aresta da trinca, os fatores de intensidade de tensão
são dados pelo vetor
KJ = II
I
III
( )1 ( )'
( )
o
o
o
KKK
Ζ Ζ ρ Ζ
= ∫∫∞+
∞−∞−π0
22N m G(Ζo) τ(Ξ,Ζ) dΖ dΞ , (4.46)
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
73
onde N é o número inteiro de vetores de Burgers contidos no raio do anel de
discordância, τ(Ξ,Ζ) é o vetor de tensões [ τηξ τηη τηζ ]T,
m = , com f =
f
f
0100000100001
)2(2
ν−ν , (4.47)
G(Ζo) = , (4.48)
−
1
32
23
1
1
0000
0000
GGGGG
GG
que é a matriz das funções de peso, dadas por [BÜCKNER (1970)]
G1(Ζo) = 2
ΞΛ
, (4.49.a)
G2(Ζo) = ( )22
o
4
Ξ Ξ − Ζ − Ζ Λ
, e (4.49.b)
G3(Ζo) = ( )3
o4
2 Ζ ΖΞ − Λ
, (4.49.c)
nas quais
Λ2 = Ξ2 + (Ζ – Ζo)2 . (4.50)
A Fig. 4.24 apresenta um esquema para determinação das funções de peso de Bückner.
Nela, vê-se o ponto de aplicação das forças resultantes incrementais sobre um elemento
e também a geometria que define as funções de peso. As forças resultantes incrementais
podem ser encontradas pelas relações
dP = τηη dA k , dQ = τηξ dA i , dR = τηζ dA j (4.51)
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
74
e, dados os modos de abertura considerados, a elas correspondem forças resultantes
contrárias, de mesma intensidade, mas aplicadas na superfície inferior do plano da
trinca.
No procedimento usado para obter os fatores de intensidade de tensão apresentado por
OLIVEIRA (1994), as integrais da Eq. (4.46) são calculadas numericamente pelo Método
de Romberg. Os limites de integração (–∞ < Ξ [ 0; –∞ < Ζ < +∞) foram satisfeitos
aproximadamente, tomando-se, para isto, valores das coordenadas (Ξ, Ζ) desde regiões
muito distantes do ponto E até as suas proximidades. Esse procedimento torna a solução
numérica extremamente lenta e pouco eficiente, pois leva em consideração uma grande
região do plano da trinca onde as tensões são muito baixas e pouco contribuem para o
cálculo dos fatores de intensidade de tensão.
Figura 4.24: Esquema para determinação das funções de peso, vendo-se em elemento IJKL sobre o qual atua uma tensão distribuída, e.g. τηη, representada pela área sombreada. As forças resultantes incrementais dP, dQ e dR são representadas no ponto M situado no baricentro do elemento IJKL.
ξM
ζM ζo
Ζ
Ξ E I
J
L
K
dQ dR
dP
dA
τηη
plano da trinca aresta da trinca(τηη)J
(τηη)K
(τηη)I
(τηη)L
Η
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
75
A Fig. 4.20 mostra que existe um rápido decaimento das componentes da tensão para
pontos do plano da trinca afastados do ponto de emissão, E. Com base neste fato, uma
nova região de integração é proposta aqui, na qual o trabalho computacional é
drasticamente reduzido. Essa região consiste superfície demarcada pela projeção da
superfície iso-p sobre aquele plano. O resultado é uma malha de elementos como a
mostrada na Fig. 4.21, sobre os quais as componentes da tensão se distribuem entre um
valor máximo, em torno de µ/6, e um valor mínimo, em torno de (µ/6) x 10-5. Os fatores
de intensidade de tensão são obtidos pela integração das equações sobre cada elemento.
Outro aspecto importante a se observar é que, até o cálculo das componentes de tensão,
o problema foi tratado unicamente por soluções quasi-analíticas, usando-se, para tal, as
integrais elípticas, como foi visto nas Eqs. (4.38)-(4.43). A partir de agora, porém, as
integrais que determinam os fatores de intensidade de tensão, na Eq. (4.46), deverão ser
calculadas numericamente, procurando-se diminuir os erros de aproximação que sempre
existem nesses procedimentos. Uma vez que os valores das componentes das tensões
são praticamente exatos nos nós de cada um dos elementos, esses valores nodais serão
usados para obter os valores interpolados para as componentes da tensão através de uma
aproximação bicúbica. Com esse procedimento, é possível, então, substituir as integrais
da Eq. (4.46) pelo somatório da integral sobre cada elemento (e = 1, 2, ..., L), ou seja,
KJ = 21
2e
L
Ae
N=π∑ ∫ m Ge (Ζo) τε (Ξ,Ζ) dAe , (4.52)
onde L é o número total de elementos na malha e Ae é a área de cada um deles.
Admite-se que as componentes da tensão apresentam uma distribuição bicúbica (em Ξ3
e Ζ3) sobre a área equivalente a um elemento quadrilátero e da malha. Sabendo que nos
nós (I,J,K,L) do elemento essas componentes – respectivamente, (τij)I, (τij)J, (τij)K e
(τij)L, mostradas na Fig. 4.24, apresentam valores quase exatos, pelo Método da
Quadratura de Gauss a integral da Eq. (4.52) será exata se forem escolhidos quatro
pontos de integração e seus respectivos pesos. Porém, visando à redução do tempo de
computação, optou-se por um esquema de integração reduzida, com apenas um ponto de INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
76
integração situado no baricentro do elemento e mantendo a interpolação bicúbica. A
expressão usada na solução da Eq. (4.52) é
KJ = ∑∑==π
L
k
L
e
N
112
2m Gk(Ζo) τk(ΞM,ΖM) wk(ΞM,ΖM) Ak , (4.53)
sendo que Gk(Ζo) é o valor das funções de peso de Bückner para um ponto M situado no
baricentro do elemento, τk(ΞM,ΖM) é o valor da componente de tensão naquele mesmo
ponto e wk(ΞM,ΖM) é a função peso de Gauss para um ponto de integração localizado,
também, no baricentro de cada elemento.
4.2.2.2 A discordância afastada da aresta da trinca
O desenvolvimento apresentado na Seção anterior considerou o anel de discordância
osculando a aresta da trinca no ponto E. Para determinar a diminuição da energia
elástica induzida pela proximidade da trinca, considera-se uma situação fictícia em que
a discordância se afasta da trinca. Admite-se, então, que a discordância está posicionada
a uma distância δ do ponto E, medida ao longo da direção ξ, como mostra a Fig. 4.23. A
força de atração que atua sobre o anel nesta posição reflete-se no fundo da trinca como a
força imagem, a qual será tratada adiante.
Quando o anel de discordância é posicionado a uma distância qualquer do fundo da
trinca, ele leva consigo o campo de tensões a sua volta. Isto implica que a região que é
usada para a determinação dos fatores de intensidade de tensão vai diminuindo
gradativamente de tamanho até praticamente desaparecer, como mostra a Fig. 4.25.
Computacionalmente, isto corresponde a se omitir, do cálculo dos fatores de intensidade
de tensão, os elementos incluídos naquela região. Pode considerar, ainda, um recuo da
aresta da trinca, qo na Fig. 4.25, no sentido contrário ao do deslocamento, o que,
novamente, resulta na necessidade de omissão da influência dos elementos
imediatamente vizinhos a ela.
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
77
direção do deslocamento do anel de discordância
região de influência do anel
δ1 δ2
Ξ
Ζ
Η
ξ
Figura 4.25: Progressão da região de influência do anel de discordância. Somente a parte da região que fica sobre a superfície da trinca é considerada para integração.
Eo
E1 E2
posição inicial
posições intermediárias
q2 q1
qo
Em virtude da formulação da malha de elementos em coordenadas polares, com centro
no ponto E onde o anel toca o fundo da trinca, os elementos vizinhos à aresta da trinca e
próximos a este ponto podem ser, sem perda sensível de precisão, omitidos do cálculo
dos fatores de intensidade de tensão. Porém, à medida que cresce a distância entre o
elemento e o ponto E, a dimensão do elemento no sentido circunferencial cresce na
mesma proporção. Isto significa que o elemento não pode ser inteiramente omitido no
cálculo, pois parte dele pode estar ainda na região sobre a superfície da trinca. Que parte
desse elemento deve ser considerada e como ela influencia nos cálculos para a obtenção
dos fatores de intensidade de tensão são perguntas dificilmente respondíveis sem uma
análise detida de cada elemento. Um lado positivo desse procedimento é que as tensões
nessa região são relativamente baixas quando comparadas com aquelas encontradas nos
elementos próximos ao ponto E em que o anel de discordância toca a aresta da trinca.
Obviamente, isso causa uma irregularidade na aresta da trinca que aumenta com o
tamanho do elemento, ou seja, com a distância em que o elemento se encontra do ponto
E.
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
78
O cálculo de uma nova malha pode ser evitado se a malha anterior é usada, dela
retirando-se os elementos que estão sombreados na Fig. 4.26. Esses elementos possuem
seus baricentros além da linha que delimita a aresta. A Fig. 4.26 mostra que a nova
aresta é bastante irregular, mas pode ser usada como uma primeira aproximação. Vê-se,
também, que o deslocamento do anel dado por
δ = δξ gξ + δζ gζ . (4.54)
O cálculo dos fatores de intensidade de tensão ao longo de ζ, como no procedimento
anterior. Observa-se uma pequena perda de precisão pela aproximação da região
original por elementos retangulares. Como essas aproximações ocorrem para valores
das componentes de tensão relativamente baixos quando comparados aos valores dessas
mesmas tensões na região em torno do ponto E, o erro cometido pode ser considerado
desprezível no resultado da integração.
-7 -6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 10
ξ
ζ
ξ
δζ
δξ
ξ' η'
δξ
δ
Figura 4.26: Os elementos sombreados são retirados da região de integração por possuírem seus baricentros além da linha que limita a aresta da trinca. Os fatores de intensidade de tensão devem ser calculados para a área restante (elementos sem sombra).
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
79
4.2.3 A FORÇA IMAGEM
A presença de superfícies livres permite que ocorra o relaxamento das tensões e,
conseqüentemente, de se diminuir a energia elástica armazenada no corpo. A
discordância situada no interior do volume do corpo apresenta uma energia superior
àquela associada a uma discordância próxima à superfície. Dessa forma, é
energeticamente mais favorável a sua aproximação da superfície. A diminuição de
energia correspondente é dada por
f = eU∂∂r
, (4.55)
onde Ue é a energia elástica e r é a distância entre a posição inicial e a nova posição da
discordância, tem grandeza de uma força. Esta força, denominada força-imagem, não é
uma força no sentido clássico da ação entre dois corpos, mas é uma força
termodinâmica que atua sobre uma configuração atômica. Seu ponto de aplicação é
desconhecido. Quando estão presentes os três modos de abertura, a força de extensão da
trinca é dada por
G = (∂Πp/∂Ξ) = (∂Πp/∂a) = (KI)d2 / HI + (KII)d
2 / HII + (KIII)d2 / HIII , (4.56)
Onde Pp representa a energia potencial de um corpo, no qual existe uma trinca. HI, HII
e HIII são constantes elásticas dadas na sua forma adimensional na Tab. 4.2 e o índice ()d
indica um fator de intensidade de tensão induzido pela discordância. Na ausência de um
campo de forças pela aplicação de um carregamento externo ao coirpo, a energia
potencial se reduz à energia elástica do anel de discordância.
Empregando a Terceira Lei de Newton, observa-se que a força exercida pela
discordância sobre a trinca é igual e de sinal oposto à força induzida na discordânica
pela trinca. Assim,
f = – G = (f µ b2) gξ . (4.57)
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CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
80
TABELA 4.2: Constantes elásticas adimensionais HJ para o cálculo da força-imagem.
Modo de abertura Estado
I II III
Plano de tensão 2 / (1 – ν) 2 / (1 – ν) 2
Plano de deformação 2 (1 + ν) 2 (1 + ν) 2 (1 + ν)(1 – ν)
4.2.4 A ENERGIA ELÁSTICA ARMAZENADA
A energia elástica da discordância tende a diminuir à medida que ela se aproxima da
trinca. A variação da energia elástica é determinada, então, admitindo-se que ela é igual
ao trabalho realizado pela força imagem sobre a discordância ao longo da trajetória
fictícia, desde uma posição afastada da trinca até que a sua circunferência toque a aresta
da trinca no ponto de emissão, E. De acordo com o Princípio de St.Venant, o efeito
mútuo entre discordância e trinca torna-se desprezível à medida que a primeira se
encontra a distâncias maiores da segunda. Existirá, então, uma posição longe da trinca a
partir da qual quase nenhuma interação ocorrerá entre discordância e trinca. Como esta
posição é desconhecida, torna-se mais fácil considerar o trabalho virtual no sentido
inverso, ou seja, parte-se de uma posição em que o anel de discordância toca a trinca no
ponto de emissão, E, calculam-se os fatores de intensidade de tensão e, a seguir, a força-
imagem. Usando a força-imagem, essa energia pode ser encontrada por
Ed = – Wi(f) = – f · dξ gC
ξ = 0
ξ = r∫ ξ . (4.56)
Como o ponto ξ = rC é desconhecido, uma forma de determinar a energia é fazer com
que a discordância caminhe a trajetória do seu deslizamento no sentido para fora da
trinca, o que explica o sinal negativo na Eq. (4.56). A Fig. 4.27 ilustra essa trajetória.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 4 – METODOLOGIA
81
OE
δT
Η
Ξ
ξ
Ζ
posição originalposição final
Figura 4.27: Distância máxima ξ = δT = rC que a discordância pode estar da aresta da trinca a partir da qual a sua influência torna-se desprezível. Para o cálculo da variação da energia elástica, esta é a última posição a ser considerada para o cálculo do trabalho virtual.
A energia elástica do corpo é, então,
Ue = Ue∞ – G dξ . (4.58) Cξ =
ξ = 0
r
∫
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PARTE III
CAPÍTULO 5
RESULTADOS E DISCUSSÃO
COM BASE NA FORMULAÇÃO APRESENTADA NO CAP. 4, foi elaborado o programa
computacional DIFRAC (um acrônimo para Dislocation-Fracture Interaction), o qual
usa a metalinguagem MATLAB. O programa permite calcular, em primeiro lugar, a
distribuição das componentes de tensão sobre o semiplano que forma a trinca. Em
seguida, calculam-se os fatores de intensidade de tensão na aresta da trinca para diversas
posições arbitrárias do anel de discordância sobre o plano de deslizamento e em relação
àquela aresta, admitindo que o problema é essencialmente de natureza tridimensional.
Prosseguindo, o programa calcula, ainda, a força imagem e a energia elástica relativas a
cada uma das posições assumidas pelo anel. O programa apresenta a vantagem de
ilustrar graficamente os resultados. Na versão usada, a interatividade com o usuário não
está ainda implementada.
Nas páginas a seguir, iniciando com a apresentação das três diferentes configurações
cristalinas analisadas, são mostrados resultados obtidos pelo DIFRAC.
5.1 AS CONFIGURAÇÕES CRISTALINAS PARAO SI
Antes de iniciar a apresentação dos resultados, é necessário apresentar as diferentes
orientações da cristalografia do Si monocristalino usadas nos cálculos e que já foram
mencionadas na Tab. 4.1. Essas configurações correspondem àquelas utilizadas nos
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 84
experimentos realizados por MICHOT (1982, 1989), MICHOT, GEORGE & CHAMPIER
(1982), AZZOUZI (1992), GEORGE & MICHOT (1993), OLIVEIRA (1994), MICHOT et al.
(2000) e SCANDIAN (2000), os quais compõem a base experimental usada neste
trabalho.
5.1.1 CONFIGURAÇÃO ALPHA
A orientação cristalográfica ALPHA corresponde ao plano de clivagem situado em
1 , enquanto a normal à face lateral da amostra é a direção [1 ]. Nesta
configuração, o anel de discordância tem o aspecto mostrado na Fig. 5.1.
11 21
Figura 5.1: Configuração ALPHA.
-400-200
0
-500
0
500
-500
0
500
Z
Configuração ALPHA
X
Y
α = π / 3N = 50
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 85
5.1.2 BETA
A orientação cristalográfica BETA corresponde ao plano de clivagem situado em 111 ,
sendo a normal à face lateral da amostra a direção [ ]. Nesta configuração, o anel de
discordância tem o aspecto mostrado na Fig. 5.2.
110
1 10
Configuração BETA
-400-200
0200
-500
0
500
-500
0
500
ZX
Y
Figura 5.2: Configuração BETA.
α = – π / 4 N = 50
5.1.3 GAMMA
A orientação cristalográfica GAMMA corresponde ao plano de clivagem situado em
01 , a normal à face lateral da amostra sendo dada pela direção [ 0 ]. Nesta
configuração, o anel de discordância tem o aspecto mostrado na Fig. 5.3.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 86
Figura 5.3: Configuração GAMMA.
-400
-200
0
200
-5000
500
-500
0
500
Z
Configuração GAMMA
X
Y
α = – π / 6 N = 50
5.2 UM CASO SOB A CONFIGURAÇÃO ALPHA
5.2.1 A MALHA DE ELEMENTOS
Uma malha de elementos típica para essa configuração é apresentada na Fig. 5.4. Para
obtê-las, foram usados os dados da Tab. 5.1.:
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 87
Tabela 5.1 Dados para a construção da malha da Fig. 5.4 (Configuração ALPHA)
Parâmetro Descrição Valor
I Direção de propagação da trinca. [-1 1 0]
K Direção normal à grande face do CP. [-1 -1 2]
k Direção normal ao plano de deslizamento. [-1 1 1]
b Vetor de Burgers. [1 1 0]
α Ângulo de emissão. π / 3
N Número de vezes que o raio do anel é maior que o vetor de Burgers.
50
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Ξ
Ζ
A Malha de Elementos
Figura 5.4: Malha de elementos para a configuraç!ao ALPHA.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
88
-6 -4 -2 0 2
-10-5
05
10
-6
-4
-2
0
2
Ζ
τHH nos Nós dos Elementos
Ξ
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
τHH nos Nós dos Elementos
Ζ
Ξ
Figura 5.5: Distribuição da componente normal da tensão, τΗΗ, sobre o plano da trinca para os dados da Configuração ALPHA da Fig. 5.1: vista de topo.
Figura 5.6: Perspectiva da distribuição da componente normal da tensão, τΗΗ, sobre o plano da trinca.
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 89
5.2.2 A DISTRIBUIÇÃO DAS COMPONENTES DE TENSÃO
Para a malha da Fig. 5.4, foram encontradas as distribuições de tensão mostradas nas
Figs. 5.5-5.7. Na Fig. 5.5 pode ser vista a distribuição da componente da tensão normal
ao plano da trinca, com o detalhe da região do ponto de emissão na Fig. 5.6, notando-se
o gradiente de tensão provocado pela presença do anel de discordância. Na Fig. 5.7 são
vistas as componentes da tensão tangenciais ao plano da trinca, também com gradientes
de tensão significativos na região do ponto de emissão.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
Figura 5.7: Detalhe da distribuição da componente da tensão normal ao plano da trinca, τΗΗ, na região do ponto de emissão, E.
E
Y
Z
X
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
90
-4 -2 0
-6-4
-20
24
6
00.5
11.5
τζη nos Nós dos Elementos
Ξ
-4 -2 0
-5
0
5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
τξη nos Nós dos Elementos
ΞFigura 5.8: Perspectiva da distribuição da
componente normal da tensão, τΞΗ, sobre o plano da trinca em torno do ponto de emissão, E.
Figura 5.9: Perspectiva da distribuição da componente normal da tensão, τΖΗ, sobre o plano da trinca em torno do ponto de emissão, E.
τΞΗ
τΖΗ
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS
R
VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. ANGEL DEMET / UFMG
91
5.2.3 OS FATORES DE INTENSIDADE DE TENSÃO
Na Fig. 5.8 está a distribuição dos fatores de intensidade de tensão reduzidos
(adimensionais) para as distribuições das componentes da tensão mostradas nas
Figs. 5.5-5.7.
-8-6-4-202468-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Ζο
K I
, K II
, K
III /
µ b
1/2
K I / µ b1/2 K II / µ b1/2 K III/ µ b1/2
Figura 5.10: Distribuição dos fatores de intensidade de tensão reduzidos ao longo da aresta da trinca para a malha da Fig. 5.4 e os dados da Tab. 5.1.
Fatores de Intensidade de Tensão
INFLUÊNCIA DA
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 92
5.3 UM CASO SOB A CONFIGURAÇÃO BETA
5.3.1 A MALHA DE ELEMENTOS
De maneira análoga à configuração cristalina anterior, a Tab. 5.2 apresenta os dados
para se determinar uma malha típica para a configuração BETA, para a qual a Fig. 5.2
apresenta a situação relativa de anel de discordância e trinca.
Tabela 5.2 Dados para a construção da malha da Fig. 5.11 (Configuração BETA)
Parâmetro Descrição Valor
I Direção de propagação da trinca. [-2 1 1]
K Direção normal à grande face do CP. [0 -1 1]
k Direção normal ao plano de deslizamento. [-1 -1 1]
b Vetor de Burgers. [1 0 1]
α Ângulo de emissão. −π / 4
N Número de vezes que o raio do anel é maior que o vetor de Burgers.
50
Para esse caso, a malha é a mostrada na Fig. 5.11.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 93
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-6 -4 -2 0 2 4 6
Ξ
Ζ
A Malha de Elementos
Figura 5.11: Malha típica para a configuração cristalina BETA.
5.3.2 A DISTRIBUIÇÃO DAS COMPONENTES DE TENSÕES
As distribuições das componentes de tensão sobre o plano da trinca são mostradas nas
Figs. 5.12-14.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 94
-6 -4 -2 0
-4-2024
-4
-2
0
2
4
6
Ζ
τ HH nos Nós dos Elementos
Ξ
-6 -4 -2 0
-4-2
02
4
-1
0
1
2
3
Ζ
τΞH nos Nós dos Elementos
Ξ
Figura 5.12: Componente da tensão normal ao plano da trinca, τΗΗ.
Figura 5.13: Componente da tensão de cisalhamento τΞΗ no plano da trinca.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 95
-6 -4 -2 0
-4-2
02
4
-1
0
1
2
Ζ
τZH nos Nós dos Elementos
Ξ
Figura 5.14: Componente da tensão de cisalhamento τΖΗ no plano da trinca.
5.3.3 OS FATORES DE INTENSIDADE DE TENSÃO
Como foi calculado para a configuração ALPHA, também se obtém os fatores de
intensidade de tensão para a configuração BETA. Eles são mostrados na Fig. 5.15
abaixo.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 96
Figura 5.15: Distribuição dos fatores de intensidade de tensão reduzidos na configuração BETA.
-6-4-20246-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12 Fatores de Intensidade de Tensão
Zo
K I
, K II
, K
III /
µ b
1/2
K I / µ b1/2 K II / µ b1/2 K III / µ b1/2
5.4 CONFIGURAÇÃO GAMMA
5.4.1 A MALHA DE ELEMENTOS
Na configuração GAMMA, a malha da Fig. 5.16 foi obtida com base nos dados da
Tab. 5.3.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 97
Tabela 5.3 Dados para a construção da malha da Fig. 5.16 (Configuração GAMMA)
Parâmetro Descrição Valor
I Direção de propagação da trinca. [1 -1 0]
K Direção normal à grande face do CP. [0 0 1]
k Direção normal ao plano de deslizamento. [-1 -1 1]
b Vetor de Burgers. [1 0 1]
α Ângulo de emissão. −π / 6
N Número de vezes que o raio do anel é maior que o vetor de Burgers.
50
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Ξ
Ζ
A Malha de Elementos
Figura 5.16: Malha de elementos na configuração GAMMA.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL
-6 -4 -2 0
-5
0
5
0
1
2
Ζ
τΞH nos Nós dos Elementos
ΞFigura 5.18: Distribuição da componente de
tensão tangente ao plano da trinca, τΞΗ.
Ξ
Figura 5.17: Distribuição da componente de tensão normal ao plano da trinca, τΗΗ.
DEMET / UFMG
98
5.4.2 A DISTRIBUIÇÃO DAS COMPONENTES DE TENSÃO
As Figs. 17-19 referem-se às componentes de tensão no plano da trinca.
-6 -4 -2 0
-5
0
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Z
τHH nos Nós dos Elementos
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 99
-6 -4 -2 0
-5
0
5
-2
-1
0
1
2
Ζ
τZH nos Nós dos Elementos
ΞFigura 5.19: Distribuição da componente de
tensão tangente ao plano da trinca, τΖΗ.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 100
5.4.3 OS FATORES DE INTENSIDADE DE TENSÃO
Os fatores de intensidade de tensão para os dados da Tab. 5.3 são apresentados na
Fig. 5.20.
-8-6-4-202468-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1 Fatores de Intensidade de Tensão
Zo
K I
, K II
, K
III /
µ b
1/2
K I / µ b1/2 K II / µ b1/2
K III / µ b1/2
Figura 5.20: Distribuição dos fatores de
intensidade de tensão na configuração GAMMA.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 101
5.5 CONFIGURAÇÃO REF0
O caso a seguir não se enquadra nas configurações possíveis do Si, mas pode ser
aplicado a outros materiais em que o plano de deslizamento está colocado
perpendicularmente ao plano da trinca. O interesse em apresentá-lo reside no fato dele
apresentar resultados que refletem as expectativas em relação ao campo de tensões em
torno do anel sobre o plano da trinca.
A Fig. 5.21 mostra a posição do anel de discordância em relação à trinca. Por ser
perpendicular ao plano de deslizamento, o plano da trinca deve mostrar-se com um
plano principal de tensões.
Configuração REF0
-400-200
0200
-500
0
500
-500
0
500
ZX
Y
Figura 5.21: Anel de discordância no plano de deslizamento perpendicular ao plano da trinca.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Ξ
ΖFigura 5.22: Malha utilizada para a
solução da Configuração REF0.
ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
102
Tabela 5.4 Dados para a construção da malha da Fig. 5.22 (Configuração REF0)
Parâmetro Descrição Valor
I Direção de propagação da trinca. [-1 1 0]
K Direção normal à grande face do CP. [-1 -1 -1]
k Direção normal ao plano de deslizamento. [-1 -1 -1]
b Vetor de Burgers. [-1 1 0]
α Ângulo de emissão. 0
N Número de vezes que o raio do anel é maior que o vetor de Burgers.
50
A Malha de Elementos
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 103
-6 -4 -2 0
-4-2
02
4Z
τZH nos Nós dos Elementos
Ξ
-6 -4 -2 0
-4-2
02
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Ζ
τHH nos Nós dos Elementos
Ξ
-8 -6 -4 -2 0 2
-5
0
5Z
τΞH nos Nós dos Elementos
Ξ
Figura 5.23: Componentes da tensão sobre o plano da trinca para a Configuração REF0.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 104
A malha da Fig. 5.22 foi usada para gerar as componentes de tensão da Fig. 5.23. Estas
revelam que o plano da trinca é, de fato, um plano principal de tensão. Os fatores de
intensidade de tensão correspondentes podem ser vistos na Fig. 5.24.
-4-3-2-101234-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 Fatores de Intensidade de Tensão
Zo
K I
, K II
, K
III /
µ b
1/2
K I / µ b1/2 K II / µ b1/2
K III / µ b1/2
Figura 5.24: Fatores de intensidade de tensão para
o exemplo da Configuração REF0.
5.6 CONFIGURAÇÃO REF1
Um segundo exemplo que apresenta um interesse específico é apresentado na Fig. 5.25,
onde se vê um anel posicionado em um plano de deslizamento que contém a aresta da
trinca. Espera-se que o programa dê resultados nos quais existe uma forte influência da
tensão de cizalhamento. Em especial, se o vetor de Burgers é paralelo à frente da trinca,
que o fator de intensidade de tensão para o Modo III seja proeminente em relação outros
dois modos de carregamento. Para os cálculos, foram usados os dados da Tab. 5.5. INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 105
-400 -200 0
-500
0
500
-500
0
500
Z
Configuração REF1
X
Y
Figura 5.25: Configuração REF1, na qual foram usados dados da Configuração BETA modificados para que o plano de deslizamento usado contivesse toda a aresta da trinca.
Tabela 5.5 Dados para a construção da malha da Fig. 5.26 (Configuração REF1/BETA)
Parâmetro Descrição Valor
I Direção de propagação da trinca. [-2 1 1]
K Direção normal à grande face do CP. [0 -1 1]
k Direção normal ao plano de deslizamento. [1 -1 -1]
b Vetor de Burgers. [0 -1 1]
α Ângulo de emissão. π/2
N Número de vezes que o raio do anel é maior que o vetor de Burgers.
50
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 106
A malha de elementos obtida com esses dados é mostrada na Fig. 5.26.
-6
-4
-2
0
2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Ξ
Z
A Malha de Elementos
Figura 5.26: Malha de elementos para os dados da Configuração REF1.
As componentes da tensão são mostradas na Fig. 5.27 e os fatores de intensidade de
tensão na Fig. 5.28. Nelas, vê-se que a tensão de cizalhamento τΖΗ e o fator de
intensidade de tensão relativo ao Modo III destacam-se dos demais.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS
107
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
-4 -3 -2 -1 0
-8-6
-4-2
02
46
8
-0.20
0.2Z
τHH nos Nós dos Elementos
Ξ
-4 -2 0
-5
0
5-0.5
00.5
Z
τΞH nos Nós dos Elementos
Ξ
-4 -2 0
-5
0
5-5
-4
-3
-2
-1
Z
τZH nos Nós dos Elementos
Ξ
Figura 5.27 Componentes da tensão no plano da trinca, notando-se a componente de cizalhamento τΖΗ (Modo III).
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 108
-8-6-4-202468-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
Zo
K I
, K II
, K
III /
µ b
1/2
K I / µ b1/2 K II / µ b1/2 K III / µ b1/2
Figura 5.28: Predominância do Modo III nos fatores de intensidade de tensão da Configuração REF1.
Fatores de Intensidade de Tensão
5.7 CONFIGURAÇÃO REF2
Uma terceira configuração especial, representada na Fig. 5.29, denominada aqui
Configuração REF2, baseada na Configuração ALPHA. Como na Configuração REF1,
considera-se o anel num plano de deslizamento que contém a aresta da trinca. Com o
vetor de Burgers na direção de propagação da trinca, espera-se que o resultado mostre
uma predominância do Modo II. Os dados usados são mostrados na Tab. 5.6. Essa
configuração é a mesma usada por OLIVEIRA (1994).
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 109
Configuração REF2
-400-200
0200
-500
0
500
-500
0
500
ZX
Y
Figura 5.29: Configuração REF2, com o plano de deslizamento contendo a aresta da trinca.
Tabela 5.6 Dados para a construção da malha da Fig. 5.30 (Configuração REF2/ALPHA)
Parâmetro Descrição Valor
I Direção de propagação da trinca. [-1 1 0]
K Direção normal à grande face do CP. [-1 -1 2]
k Direção normal ao plano de deslizamento. [-1 -1 -1]
b Vetor de Burgers. [-1 1 0]
α Ângulo de emissão. π/2
N Número de vezes que o raio do anel é maior que o vetor de Burgers.
50
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 110
-8
-6
-4
-2
0
2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Ξ
Ζ
A Malha de Elementos
Figura 5.30: Malha de elementos usada no cálculo da Configuração REF2.
A Fig. 5.31 mostra as componentes da tensão sobre o plano da trinca. Delas, a
componente τΞΗ, a qual corresponde ao Modo II de carregamento, destaca-se das outras
duas componentes. Os fatores de intensidade de tensão são mostrados na Fig. 5.32, onde
se vê a predominância do Modo II de carregamento.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
111
-6 -4 -2 0
-5
0
5 Z
τHH nos Nós dos Elementos
Ξ
-6 -4 -2 0
-5
0
5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
Ζ
τΞH nos Nós dos Elementos
Ξ
-6 -4 -2 0
-5
0
5-0.200.2
Ζ
τZH nos Nós dos Elementos
ΞFigura 5.31: Componentes de
tensão sobre o plano da trinca.
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 112
-8-6-4-202468-0.16
-0.14
-0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02 Fatores de Intensidade de Tensão
Zo
K I
, K II
, K
III /
µ b
1/2
K I / µ b1/2 K II / µ b1/2 K III/ µ b1/2
Figura 5.32: Fatores de intensidade de tensão para a Configuração REF2, destacando-se o Modod II de carregamento.
5.8 A VARIAÇÃO DA ENERGIA
As configurações apresentadas anteriormente têm, como objetivo, mostrar a
flexibilidade do programa e demonstrar a sua versatilidade em casos específicos, nos
quais as expectativas por resultados satisfatórios em casos limites são satisfeitas. Como
se vê, porém, a quantidade de informação que pode ser obtida para cada uma das
configurações é crescente. Sabendo que cada configuração possui quatro planos de
deslizamento (tetraedro de Thompson) e que em cada um desses planos podem ocorrer
três vetores de Burgers, seria demasiado apresentar aqui a análise de todas as
combinações possíveis entre configuração, planos de deslizamento e vetores de Burgers. INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 113
Isto, sem dúvida, será feito no futuro, mas é importante, no momento, apresentar as
combinações que podem responder a algumas das perguntas formuladas por SCANDIAN
(2000). Por que, no ensaio de algumas configurações, criam-se situações favoráveis ao
aparecimento de um determinado vetor de Burgers, mas ele pouco, ou jamais é
detectado? Que carregamentos são necessários para gerar esse vetor e sob que condições
ele é estimulado?
A seguir, um exemplo do cálculo de energia é apresentado para uma situação
característica da Configuração GAMMA, demonstrando os resultados que o programa
DIFRAC pode obter no cálculo da força-imagem e da energia elástica. Lembra-se que
todas essas variáveis são mostradas na sua forma adimensional. Na seqüência, A
variação da energia é analisada para diferentes ângulos de emissão (α) e para diferentes
raios do anel de discordância para um CP de Configuração BETA.
5.8.1 O CÁLCULO DA FORÇA-IMAGEM E DA ENERGIA ELÁSTICA
Usando como base um CP na Configuração GAMMA, são calculadas a força-imagem e
a energia elástica para dois diferentes vetores de Burgers, cada um deles associado a um
plano de deslizamento, para uma anel com a mesma dimensão, ρ’ = 50b, e o mesmo
ângulo de emissão, α = 0. Esta simulação procura repetir as condições de ensaio do CP
CH-19 apresentado por SCANDIAN (2000).
As Figs. 5.33(a-b) mostram as malhas utilizadas nos cálculos da força-imagem,
mostrada na Fig. 5.34, para diferentes posições do anel de discordância ao longo da
direção ξ, medidas em (D/ρ’) sobre o plano de deslizamento, e da energia elástica
acumulada correspondente (Fig. 5.35), presente no material em função da presença do
anel para dois casos: (i) b = [1 0 1] (-1 1 1); e (ii) b = [0 -1 1] (1 1 1).
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 114
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
Ξ
Ζ
A Malha de Elementos
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Ξ
Ζ
A Malha de Elementos
(a)
(b) Figura 5.33: Malhas usadas para comparação da força imagem e da
energia elástica armazenada no material para os vetores de Burgers e planos de deslizamento indicaods nas Figs. 5.37-38: (a) b = [1 0 1] (-1 1 1); e b = [0 -1 1] (1 1 1).
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 115
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2x 10
-3 Variação da Força Imagem
D / ρ'
< f
>
b = [ 1 0 1 ] (-1 1 1 )b = [ 0 -1 1 ] ( 1 1 1 )
0 2 4 6 8 10 120
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
-4 Variação da Energia
D / ρ'
Eb
b = [ 1 0 1 ] (-1 1 1 )b = [ 0 -1 1 ] ( 1 1 1 )
Figura 5.34: Distribuição da força imagem ao longo da direção ξ.
Figura 5.35: Distribuição da energia elástica acumulada ao longo da direção ξ.
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 116
A comparação da energia elástica acumulada calculada para os dois vetores de Burgers
considerados indica que o segundo deles fornece mais energia ao material e, portanto,
necessita de menos energia externa para ser ativado, isto é, uma vez carregado o
sistema, o vetor b = [0 -1 1] deverá aparecer antes do vetor b = [1 0 1]. Este fato foi
comprovado por SCANDIAN (2000), o qual identificou que o aparecimento do primeiro
vetor de Burgers é estimulado, mesmo quando são criadas condições tais de ensaio que
de alguma forma favoreçam o aparecimento do segundo.
5.8.2 A ENERGIA ELÁSTICA ACUMULADA
Os exemplos seguintes mostram a variação da energia elástica acumulada quando se
varia o ângulo de emissão na faixa – π / 2 ≤ α ≤ + π / 2, mantendo-se o vetor de
Burgers b = [-1 -1 0] (-1 -1 1) e o raio do anel de discordância ρ’ = 50b constantes na
Configuração BETA.
A Figs. 5.36(a-j) mostram a evolução dos fatores de intensidade de tensão com a
variação do ângulo de emissão. A Fig. 5.37 traz as diversas curvas da energia de
relaxação para cada valor desse ângulo e a Fig. 5.38 apresenta a variação da máxima
energia de elástica com o ângulo de emissão. Variando-se o raio do anel de
discordância, as curvas da energia elástica variando ao longo da direção x são aquelas
apresentadas na Fig. 5.39.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 117
-6-4-202468-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06 Fatores de Intensidade de Tensão
Ζο
K I ,
K II
, K
III /
µ b
1/2
K I / µ b1/2 K
II / µ b1/2
K III/ µ b1/2
α = – π / 2
Figura 5.36: (a)
-6-4-20246-0.08
-0.07
-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02 Fatores de Intensidade de Tensão
Ζο
K I ,
K II
, K
III /
µ b
1/2
K I / µ b1/2 K II / µ b1/2 K
III/ µ b1/2
α = – 2π / 5
Figura 5.36: (b) INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 118
-6-4-20246-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02 Fatores de Intensidade de Tensão
Ζο
K I ,
K II
, K
III /
µ b
1/2
K I / µ b1/2 K II / µ b1/2 K
III/ µ b1/2
α = – 3π / 10
Figura 5.36: (c)
-6-4-20246-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02 Fatores de Intensidade de Tensão
Ζο
K I ,
K II
, K
III /
µ b
1/2
K I / µ b1/2
K II
/ µ b1/2
K III
/ µ b1/2
α = – π / 5
Figura 5.36: (d)
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 119
-4-3-2-10123456-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04 Fatores de Intensidade de Tensão
Ζο
K I ,
K II
, K
III /
µ b
1/2
K I / µ b1/2 K
II / µ b1/2
K III
/ µ b1/2
-3-2-10123456-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06 Fatores de Intensidade de Tensão
Ζο
K I ,
K II
, K
III /
µ b
1/2
K I / µ b1/2 K
II / µ b1/2
K III
/ µ b1/2
α = – π / 10
α = + π / 10
Figura 5.36: (e)
Figura 5.36: (f)
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 120
-3-2-10123456-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 Fatores de Intensidade de Tensão
Ζο
K I ,
K II
, K
III /
µ b
1/2
K I / µ b1/2 K
II / µ b1/2
K III
/ µ b1/2 α = π / 5
-3-2-10123456-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06 Fatores de Intensidade de Tensão
Ζο
K I ,
K II
, K
III /
µ b
1/2
K I / µ b1/2 K
II / µ b1/2
K III
/ µ b1/2
α = 3 π / 10
α = + π / 5
α = + 3π / 10
Figura 5.36: (g)
Figura 5.36: (h)
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 121
-4-3-2-10123456-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1 Fatores de Intensidade de Tensão
Ζο
K I ,
K II
, K
III /
µ b
1/2
K I / µ b1/2 K
II / µ b1/2
K III
/ µ b1/2 α = 2 π / 5
-4-3-2-10123456-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1 Fatores de Intensidade de Tensão
Ζο
K I ,
K II
, K
III /
µ b
1/2
K I / µ b1/2 K
II / µ b1/2
K III
/ µ b1/2 α = π / 2
α = + 2π / 5
α = + π / 2
Figura 5.36: (i)
Figura 5.36: (j)
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 122
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x 10-4 V ariaçao da Energia
D / ρ '
Eb
α = - π / 2α = - 2π / 5α = - 3π / 10α = - π / 5α = - π / 10α = 0α = π / 10α = - π / 5α = 3π / 10α = π / 2
Variação da Energia
D / ρ’
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5x 10
-3 Energia elástica reduzida vs. Ângulo de emissão
α (radianos)
E b
Eb = 4.7e-005*α
3 + 0.0003*α2 - 7.7e-005*α + 7.3e-005
valores calculadoscubic
Figura 5.37: Energia elástica para diferentes valores do ângulo de emissão α e para anéis em posições afastadas da aresta trinca.
Figura 5.38: Energia elástica para diferentes valores do ângulo de emissão α.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 123
E
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6x 10
-3 Variaçao da Energia
D / ρ'
b
N = 5N = 50N = 500N = 20N = 200
Figura 5.39: Variação da energia elástica para diferentes valores do raio do anel de discordância ao longo da direção ξ.
D / ρ’
Se o CP é considerado um meio infinito, a sua energia total, E∞, pode ser calculada por
E∞ = Eb + Er , (5.1)
onde Er é a energia de relaxação.
É possível obter-se a distância crítica a partir da energia de Gibbs, dada por
G = Wext – Eb . (5.2)
Na Eq. (5.2), Wext ë o trabalho das forças externas, para o Modo I expresso na forma
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CAPÍTULO 5 – RESULTADOS 124
Wext = η KI b ρ’(3/2) , (5.3)
sendo η um parâmetro definido por
η = +π
π
1 23 π −∫ H (χ) dχ , (5.4)
onde χ é o ângulo definido na Fig. 5.40.
χ Ξ
H
2ρ'
Figura 5.40: Ângulo variável usado na determinação do parâmetro η.
anel de discordância
Diferenciando-se a Eq. (5.2) em relação a α e igualando o resultado a zero, obtém-se
extW E 0α α α
rG ∂ ∂∂= +
∂ ∂ ∂= . (5.5)
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CAPÍTULO 6
CONCLUSÕES
O COMPORTAMENTO MICROMECÂNICO QUE INDUZ efeitos de blindagem ou anti-
blindagem devidos à presença de um anel de discordância é apresentado numa
formulação tridimensional. As equações de interação são descritas através de
parâmetros e equações adimensionais. Esta abordagem possibilitou o cálculo dos
fatores de intensidade de tensão, KI, KII e KIII, na forma adimensional para três
configurações cristalográficas diferentes de um material CFC. A interação da trinca e do
anel de discordância foi analisada para diversas posições do anel situadas sobre o plano
de deslizamento e ao longo da direção formada pela interseção desse plano com o plano
de propagação da trinca. A força-imagem foi calculada em cada uma dessas posições
arbitrárias. Admitiu-se que, ao assumir em seqüência tais posições, a discordância
percorre uma trajetória virtual, o que permite calcular o trabalho exercido por essa força
ao longo dessa trajetória virtual. Este trabalho foi igualado à energia elástica
armazenada no sistema pela presença do anel de discordância. Foi determinada uma
distância crítica entre trinca e anel além da qual a interação é fraca.
Observou-se que é possível estabelecer uma relação entre a energia elástica e o ângulo
de emissão, α. Nessa relação, | α | π/2 maximiza a relaxação, indicando que o anel
encontra-se praticamente perpendicular à superfície da trinca, ou seja, da superfície
livre.
CAPÍTULO 6 – CONCLUSÕES 126
Valores do raio do anel de discordância superiores a 500b, onde b é o comprimento do
vetor de Burgers, torna a relaxação desprezível, pois a maior parte do anel encontra-se
longe da aresta da trinca.
No desenvolvimento do modelo, mostrou-se que o domínio de integração das equações
que representam os fatores de intensidade de tensão pode ser drasticamente reduzido em
relação ao modelo tridimensional proposto anteriormente. Este fato é de extrema
importância para diminuir o tempo de computação necessário no cálculo dos fatores de
intensidade de tensão, uma vez que sua determinação envolve um número muito grande
de integrações, número esse diretamente proporcional ao número de pontos usados ao
longo da aresta da trinca para representar a distribuição daqueles fatores. Essa redução
foi possível pelo uso das propriedades da superfície iso-p.
Mostrou-se a importância do ângulo de emissão sobre as condições de nucleação de
discordâncias em anel nas vizinhanças da trinca. É possível verificar, também, que este
ângulo de emissão desempenha um papel importante na determinação dos fatores de
intensidade de tensão. O trabalho permitiu determinar uma distância crítica da posição
do anel de discordância a partir da variação da energia crítica de Gibbs. Finalmente,
foram melhorados os cálculos efetuados por MICHOT (1982).
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CAPÍTULO 7
SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
DURANTE O DESENVOLVIMENTO DESTE TRABALHO, algumas decisões foram tomadas visando aos objetivos imediatos a serem alcançados e, como conseqüência, muitos caminhos mantiveram-se inexplorados. Uma dessas outras opções seria a admissão de uma nova malha regular cartesiana associada à malha polar considerada. Nela, os valores das componentes de tensão poderiam ser interpolados a partir dos seus valores nodais. A vantagem direta advém durante o procedimento adotado para calcular os fatores de intensidade de tensão para posições do anel de discordância afastados da aresta da trinca. Uma malha regular certamente aumentaria a precisão dos cálculos quando do afastamento do anel da região próxima ao ponto de emissão, local onde as tensões variam muito rapidamente. O atual sistema apresenta aspectos nitidamente fracos com relação a esse aspecto, como se observa nas oscilações presentes nos gráficos dos FIT’s e nos da força-imagem.
CAPÍTULO 9 – SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 127
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ABRAMOWITZ, M. AND STEGUN, I.A. (1965). Handbook of Mathematical Functions, Dover Pub., NY, Sec. 17.
AZZOUZI, H. (1992). Tese de Doutorado apresentada ao INPL, Nancy, França.
BARENBLATT, G.I. (1962). The Mathematical Theory of Equilibrium Cracks in brittle fracture, in Advances in Applied Mechanics, vol. 7, Academic Press, NY, pp. 55-129.
BILBY, B.A., COTTRELL, A.H. AND SWINDEN, K.H. (1963). The spread of plastic yield from a notch, Proc. Roy. Soc., Series A, 272, pp. 304-314.
BURGERS, J.M. (1939). Proc. Kon. Ned. Akad. Wetenschap., 42, pp. 293-378.
BÜCKNER, H. (1970). A novel principle for the computation of stress intensity factors, ZAMM, 50, pp. 529-546.
BREDE, M (1993). Acta metall. mater., 41, pp. 221-228.
BREDE, M AND HAASEN, P. (1988). Acta metall. mater., 36, pp. 2003.
CHANG, S.J. AND OHR, M. (1981). J app Phys, 52, pp. 7174-7181.
DEVINCRE, B. AND ROBERTS, G. (1995). Three-dimensional simulation of dislocation-crack interactions in B.C.C. metals at the mesoscopic scale, Acta mat., 44, 7, pp. 2891-2900.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
129
DUGDALE, D.S. (1960). J App Mech Phys Sol, 8, pp. 100-104.
EBRAHIMI, F. AND SHRIVASTAVA, S. (1998). Acta Mater., 46, pp. 1493.
FETT, T. (1998). Stress intensity factors and weight functions for special crack problems, Report FZKA 6025, Institut für Materialforschung, Forschungszentrum Karlsruhe, Karlsruhe.
GEORGE, A. (1998). Introducing brittle-ductile transition and interfacial debonding, Solid State Phenomena, 59-60, pp. 251-272.
GEORGE, A. AND MICHOT, G. (1993). Dislocation loops at crack tips: nucleation and growth – An experimental study in Silicon, Mat. Sci. Eng., A164, pp. 118-134.
GEORGE, A. ET ALLI (2001). Viewpoint Set on: Dislocation mobility in Silicon, Scrip. Mat., 45, pp. 1233-1294.
GRIFFITH, A.A. (1921). The phenomena of rupture and flow in solids, Phil. Trans. Royal Soc., London, A221, pp. 163-197.
GUMBSCH, P., ET ALLI (1998). Science., 282.
HAASEN, P. (1983). Atomistic Fracture, NATO Conf. Series VI, Plenum Press, NY, pp. 707.
HIRSCH, P.B. AND ROBERTS, S.G. (1996). Acta metall. mater., 44, pp. 2361-2371.
HIRSCH, P.B., ROBERTS, S.G. AND SAMUELS, J. (1989). Proc. R. Soc. London, A421, pp. 25-53.
HIRTH, J.H. AND LOTHE, J. (1982). Theory of Dislocations, 2nd ed., Krieger Pub., Malabar, Florida.
INGLIS, C.E. (1913). Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp corners, Trans. Institute of Naval Arch., 55, pp. 219-241.
IRWIN, G.R. (1957). Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate, J App Mech, 24, June, pp. 361-364.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
130
IRWIN, G.R. (1958). Fracture, in Handbuch der Physik, Bd. 4, Springer, pp. 551-590.
IRWIN, G.R. (1964). App. Mater. Res., 3, pp. 65-…
KANNINEN, M. AND POPELAR, C.H. (1985). Advanced Fracture Mechanics, Oxford Engng. Science Series, vol. 15, Oxford U. Press, New York.
KIRCHNER, H.O.K. AND MICHOT, G. (1986). Mat Sci Eng, 79, pp. 169-…
KIRTIKAR, A.S. AND KING, A.H. (1991). Crack tip-dislocation loop interactions, Mat. Sci. and Engng. A, A148, pp. 155-162.
KOVÁCS, I. AND ZSOLDOS, L. (1967). Dislocation and Plastic Deformation, Int. Series in Natural Philosophy, Vol.60, Pergamon Press, Oxford.
KROUPA, F. (1966). Theory of Crystal Defects, Grüber Ed., Prague Academy.
KOIZUMI H. & MICHOT G., to be published.
KOSEVICH, A.M. (1979). Crystal dislocation and the Theory of Elasticity, in Dislocations in Solids, vol. 1, Ed. F. Nabarro, North-Holland, Amsterdam, pp. 33-141.
LANGHAAR, H.L. (1962). Energy Methods in Applied Mechanics, John Wiley & Sons, NY.
LIN, I.-H. AND THOMSON, R. (1986). Acta metall., 34, pp 187-…
LOUAT, N.P. AND RATH, B.B. (1987). Acta metall., 38, pp. 2921-2927.
LOUAT, N.P. AND SADANANDA, K. (1992). Acta metall. mater., 40, pp. 2677-2682.
MAEDA, K. (1989). Scripta Metall., 23, pp. 383-388.
MA J U M D A R , B.S. AND BURNS, S.J. (1981). Crack tip shielding – an elastic theory of dislocation and dislocation arrays near a sharp crack, Acta Metall., 29, pp. 579-588.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
131
MA J U M D A R , B.S. AND BURNS, S.J. (1983). Int J Fracture, 21, pp. 229-…
MA U G IN , G.A. (1992). The Thermomechanics and plastiicity of fracture, Cambridge Texts in Applied Mathematics, H. Aref and D.G. Crighton eds., Cambridge U. Press, Cambridge.
MICHOT, G. (1982). Tese de Doutorado de Estado apresentada ao INPL, Nancy, França.
MICHOT, G. (1989). Fundamentals of Silicon fracture, in Crystal Properties and Preparation, vols. 17 & 18, Trans. Tech Publications, Switzerland, pp. 55-98.
MICHOT, G., GEORGE, A. AND CHAMPIER, G. (1982). Dislocation developed around crack tips in silicon and their influence on fracture toughness, in Fracture and the role of microstructure, 4th European Conf. on Fracture, Loeben, Austria, 22-24 Sep., K.L.Maurer and F.E.Matzer (Eds), (EMAS Pub), pp. 30-35.
MICHOT G. AND GEORGE, A. (1985). Proc. 7th Intl Conference on the Strength of Metals and Alloys, Eds. H.J.McQueen & J.P.Bailon), Montreal, 1985, Pergamon Press, NY, pp. 1187.
MICHOT, G., OLIVEIRA, M.A.L. AND GEORGE, A. (1994). Mater. Sci. Eng., A176, pp. 99-109.
MICHOT G., OLIVEIRA, M.A.L. AND KOIZUMI, H. (1998). J. Phys. IV France, 8, pp. 145-154.
MICHOT G., AZZOUZI H., MALOUFI N., LOYOLA DE OLIVERA M.A., SCANDIAN C. AND GEORGE A. (2000). Multiscale Phenomena in Plasticity, NATO Science Series E, Vol. 367, Lepinoux J. et al. (eds), Klüwer Acad. Publishers, pp. 117-125.
NABARRO, F.R.N. (1967). Theory of Crystal Dislocations, Oxford U. Press, Oxford.
NEUBER, H. (1961). Trans ASME, J App Mech, 28, pp. 544-550.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
132
OHR, S.M. ET ALLI (1986). Viewpoint set Nº 10 on: Dislocation emission from cracks, Scripta Met., 20, pp. 1465-1505
OLIVEIRA, M.A.L. (1994). Émission et development de dislocations en tête de fissure dans le Silicium: analyse tridimmensionelle de l’interaction dislocation/fissure, Tese de Doutorado apresentada ao INPL – Nancy, França.
OLIVEIRA, M.A.L., GEORGE, A. AND MICHOT, G. (1994). Dislocation emission at crack tips in Silicon under mixed mode loading, J. Phys., D: App. Phys., 28, pp. A38-A41.
OLIVEIRA, M.A. AND MICHOT, G. (1995). Czch J Phys., 45, pp. 947-964.
OLIVEIRA, M.A. AND MICHOT, G. (1998). Acta metall. mater., 46, pp. 1371-1383.
OLIVEIRA, M.A.L, RANGEL, A.G.P. AND MICHOT, G. (2001). Plastic Relaxation at crack tips: Micro-mechanical analysis, Mat. Trans. of the JIM, 42, pp. 20-27.
OROWAN, E. (1934a). Zur Kristallplastizität I: Tieftemperatur-plastizität und Beckersche Formel, Z. Phis., 89, pp. 605-613.
OROWAN, E. (1934b). Zur Kristallplastizität II: Die dynamische Auffassung der Kristallplasticität, Z. Phis., 89, pp. 614-633.
OROWAN, E. (1934c). Zur Kristallplastizität III: Über der Mechanismus des Gleitvorganges, Z. Phis., 89, pp. 634-659.
OROWAN, E. AND SYLWESTROWICZ, W. (1950). Experiments in the yield phenomenon in low carbon steels, The British Iron and Steel Research Association Report No. MW / B / 48, 8.
PASJIN, A. ET ALLI (1985). Acta metall., 33, pp. 1987.
RANGEL, A.G.P., GONZALEZ, B.M. AND HELMAN, H. (2001). The three-dimensional interaction of lattice defects and the propagation of cracks, XVI Congresso Brasileiro de Engenharia Mecânica, 25-30/nov, Uberlândia (MG) (publicação eletrônica em CD-ROM).
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
133
RICE, J.R. (1967). Mechanics of crack tip deformation and extension by fatigue, in Fatigue Crack Propagation, ASTM STP-415, American Society of Testing Materials, pp. 247-309.
RICE, J.R. (1992). Dislocation nucleation from a crack tip: an analysis based on the Peierls concept, J. Mech. Phys. Solids, 40, 2, pp. 239-271.
RICE, J.R. AND THOMSON, R. (1974). Ductile versus brittle behaviour of crystals, Phil. Mag., pp. 29-73.
ROSSMANITH, H.P. (1997). (Ed.), Fracture Research in Retrospect: An Anniversary Volume in Honor of G.R. Irwin’s 90th Birthday, Balkema, Rotterdam.
SCANDIAN, C. (2000). Conditions d’émission et de multiplication des dislocations à l’éxtremité d’une fissure: Application au cas du Silicium, Tese de doutorado apresentada ao INPL – Nancy, França.
SCANDIAN, C., AZZOUZI, H., MALOUFI, N. AND MICHOT, G. (1998). Dislocation nucleation and multiplication at crack tips in Silicon, Phys. Stat. Sol. (A), 171, pp. 67-81.
SCHOECK, G. (1991). Dislocation emission from crack tips, Phil. Mag., 63, pp. 111-120.
SCHOECK, G. AND PÜSCHL, W. (1991). The formation of dislocation loops at crack tips in three dimensions, Phil. Mag. A, 64, 4, pp. 931-949.
SCHOECK, G. (1995). The Peierls Model for dislocation rings, Czec. J. Phys., 45, 11, pp. 991-1002.
SCHOECK, G. (1996a). The formation of dislocation rings on a crack front, Phil. Mag. A, 74, 2, pp. 419-430.
SCHOECK, G. (1996b). Dislocation emission from crack tips as a variational problem of the crack energy, J. Mech. Phys. Solids, 44, 3, pp. 413-437.
SIH, G.C. AND LIEBOWITZ, H. (1968). Mathematical Theory of Brittle Fracture, in Fracture, vol. 2, Ed. H. Liebowitz, Academic Press, New York.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
134
ST.JOHN, G.C. (1975). Phil. Mag., 32, pp. 1193.
THOMSON, R. (1978). J Mater. Sci., 13, pp. 128-142.
WANG, T.C. (1998). Dislocation theory of the fracture criterion for anisotropic solids, Phil. Mag. A, 77, 1, pp. 31-53.
WARREN, P.D. (1989). Scripta Metall.. 23, pp. 637-642.
WASHIZU, K. (1982). Variational Methods in Elasticity and Plasticity, Pergamon Press, NY.
WEERTMAN, J. (1978). Acta metall., 26, pp. 1731-1738.
WEERTMAN, J. (1996). Dislocation Based Fracture Mechanics, World Scientific, Singapore.
WESTERGAARD, H.M. (1939)., Bearing pressures and cracks, Trans ASME, J App Mech, 6, pp. A49-A53.
WILLIAMS, M.L. (1957). On the stress distribution at the base of a stationary crack, J App Mech, 24, Mar, pp. 109-114.
XIN Y.B. AND HSIA K.J. (1997). Acta metall. mater., 45, pp. 1747-1759.
XU, G. AND ARGON, A. S. (1997). Critical configuration for dislocation nucleation from crack tips, Phil. Mag. A, 75, 2, pp. 341-367.
XU, G., ARGON, A.S. AND ORTIZ, M. (1995). Phil. Mag., B72, pp. 415.
XU, G., ARGON, A.S. AND ORTIZ, M. (1997). Phil. Mag., A, 75, pp. 341-367.
ZORAWSKI, M. (1967). Théorie Mathématique des Dislocations, Dunod, Paris.
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O AUTOR
ANGELO GIL PEZZINO RANGEL nasceu a 19 de janeiro de 1952, na cidade de São
Sebastião do Rio de Janeiro-RJ. Graduou-se em Engenharia Mecânica (1974) pela
Escola de Engenharia do Rio de Janeiro, da UGF-RJ. Possui os títulos de Mestre em
Engenharia Aeronáutica (1981), pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA), em
São José dos Campos-SP, e de Applied Mechanics Engineer (1985), pela University of
Michigan, Ann Arbor-MI (EEUU da A). Trabalhou na Empresa Brasileira de
Aeronáutica (EMBRAER) e no Centro Técnico Aeroespacial (CTA), em São José dos
Campos, na posição de engenheiro de estruturas e de pesquisador, respectivamente,
entre 1977 e 1988. Foi diretor de pesquisa e desenvolvimento da PROAD S.A., em
Vitória-ES, onde atuou como consultor entre 1988 e 1990. Atualmente, ocupa o cargo
de Professor Adjunto, em regime de DE, no Curso Superior de Tecnologia Mecânica
(CSTM), da Universidade Federal do Espírito Santo (UFES), em Vitória-ES, para a qual
foi admitido, por concurso público, em 1990. Leciona disciplinas nas áreas de
Resistência dos Materiais, Estruturas dos Materiais, Mecânica, Método dos Elementos
Finitos e Equipamentos de Movimentação e Armazenagem de Materiais, para alunos de
graduação do CSTM e do Departamento de Engenharia Mecânica (DEM). Na pós-
graduação, leciona as disciplinas de Mecânica do Contínuo, Mecânica Clássica,
Mecânica dos Sólidos, Materiais Compostos, Teoria de Cascas e Estabilidade
Estrutural, no Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica (PPGEM).
Desenvolveu e desenvolve pesquisa nas áreas de Teoria de Cascas, Dinâmica de
Máquinas e Estruturas, Mecânica Computacional, Mecânica da Fratura e
Comportamento Mecânico de Tubos Rígidos e Flexíveis. Participa, como professor e
pesquisador, do Programa Institucional da UFES em Recursos Humanos para o Setor
Petróleo e Gás (ANP/PRH-29), patrocinado pela Agência Nacional do Petróleo. Tem
diversos trabalhos técnicos e científicos publicados no Brasil e alguns no exterior. Está
implantando o Laboratório de Análise Experimental de Tensões, no PPGEM. Tem sido
o orientador de diversos projetos de Iniciação Científica de alunos da UFES e atua
como co-orientador de dissertações de alunos do mestrado do PPGEM, em assuntos
136
voltados para a análise do comportamento mecânico de tubos rígidos e flexíveis usados
nas indústrias upstream do Setor Petróleo e Gás. É também consultor do Instituto
Tecnológico da UFES (ITUFES). Membro do Conselho Municipal de Ciência e
Tecnologia da cidade de Vitória-ES, nos biênios 1999-2001 e 2001-2003, e é,
atualmente, o representante da UFES na Câmara Setorial de Petróleo do Município de
Vila Velha-ES.
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ANEXO
LISTAGEM DO PROGRAMA
A LISTAGEM DO PROGRAMA DIFRAC é apresentada nas páginas a seguir.
ANEXO 95
function difrac(config)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
% Function DIFRAC calculates and plots 3D stresses associated with the presence
% of a dislocation ring when it moves towards a crack frontline in a monocrys-
% talline material (e.g., Si or GaAs). The energy variation is also calculated
% at the crack frontline.
% The analysis is made under the assumptions of isotropic behavior and that the
% atoms are displayed in a continuum medium. Frames of reference are assigned
% as follows:
% 1. REFERENCE FRAME (Crystal)
% ---------------
% Eo = [Io Jo Ko]' : Unit base vectors attached to the midspan of the
% ~ ~ ~ ~ specimen, with directions Io, Jo and Ko parallel to
% ~ ~ ~
% crystal lattice; they are
%
% Io = [1 0 0]' ,
% ~
% Jo = [0 1 0]' ,
% ~
% Ko = [0 0 1]' .
% ~
% SPECIMEN
% ________
% /
% _ _ _ _ _ _ _ _/_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
% /| / /|
% / | / |
% / | Y / |
% / | J | / |
% / | ~ | / |
% /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _|_ _ _ _ _ __ _ _ / |
% | | | | |
% | |_____________|_ /_ _ _ _ _ _ | _ _ _|
% | / \ \ \ \ |\/ | /|
% | / \ crack \ \ |/ | / | I
% | / \\ surface \\\ /_E______________|__ /_______~_
% | / \\ \ \\ \ \\\ / | / | X
% | / \\ \ \ \\\ \\ /<- crack | / |
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 96
% |/________________/ _frontline _ _ _ _|/ |
% | |_ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _| _ _ _|
% | / / | /
% | / /K | /
% | / / ~ | /
% | / / | /
% | / Z | /
% |/_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _|/
%
% 2. CRYSTAL FRAME
% -------------
% E = [I J K ]' : Unit base vectors attached to the midspan of the
% ~ ~ ~ ~ crack, oriented relatively to the REFERENCE FRAME
% (crystal lattice) and, according to experimental
% determination, aligned as shown in the figure above,
% with its origin located at point E; they are given
% by
%
% I = [IXo IYo IZo]' ,
% ~
% J = [JXo JYo JZo]' ,
% ~
% K = [KXo KYo KZo]'
% ~
% and they transform to the REFERENCE FRAME by the
% orthogonal transformation
%
% E = Ao . Eo ,
% ~ ~ ~
%
% where Ao is the matrix containing the direction
% ~
% cossines of the angles between E and Eo.
%
% 3. SLIP PLANE FRAME
% ----------------
% e = [i j k ]' : Unit base vectors attached to the midspan of the
% ~ ~ ~ ~ crack, oriented relatively to the REFERENCE FRAME
% (crystal lattice) determining the dense plane within
% which the dislocation moves; they transform as
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 97
%
% e = B1 . E = B1 . Ao . Eo = A1 . Eo .
% ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
%
% One can observe that
%
% B1 = A1 . Ao' .
% ~ ~ ~
%
% 4. TRANSLATED SLIP PLANE FRAME
% ---------------------------
% ep = [ip jp kp]': Unit base vectors attached to the center O of the,
% ~ ~ ~ ~ dislocation ring and parallel to [i j k]; they
% ~ ~ ~
% transform as
% ep = e .
% ~ ~
% A vector defined in the translated slip plane frame
% as U = [up vp wp]' can be related to the REFERENCE
% ~
% FRAME as
% U = [uo vo wo] = A1 . ([up vp wp]' + D) ,
% ~ ~ ~
% where D = [DX DY DZ]' is the vector linking the
% ~
% center of the ring to the emission point.
%
% In the crack plane frame, the same vector can be
% represented as
% U = B1 . [up vp wp]' - D ,
% ~ ~ ~
% with D = [DX DY DZ]'.
% ~
% 5. ROTATED-TRANSLATED SLIP PLANE FRAME
% --------------------------------------
% epp = [ipp jpp kpp]': Unit base vectors attached to the center O of the,
% ~ ~ ~ ~ dislocation ring, rotated by an angle theta (angle
% of depart) measured on the slip plane starting from
% direction ip; transformation is given by
% ~
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ANEXO 98
% epp = B3 . ep = B3 . e = B3 . B1 . Ao . Eo = A3 . Eo ,
% ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
%
% where
% | cos(theta) sin(theta) 0 |
% | |
% B3 = | - sin(theta) cos(theta) 0 | .
% ~ | |
% | 0 0 1 |
% Dislocation rings show up in dense (slip) planes of the crystalline material.
% Their main geometrical parameters are given in a file which is loaded at the
% beginning of the solution. This file must contain the following information:
%
% IC : Vector indicating the direction of crack propagation on the cleavage
% ~ plan, e.g. (examples show data for alpha-configuration),
%
% | -1 |
% I = IC = | 1 | ;
% ~ | 0 |
%
% KG : Vector indicating the direction normal to the main crystal plane,
% ~ following the direction of the crack front, e.g.,
%
% | -1 |
% K = KC = | -1 | ;
% ~ | 2 |
%
% kp : Vector indicating the direction normal to the slip plane, e.g.,
% ~
% | -1 |
% k = ks = | 1 | ;
% ~ | 1 |
%
% b : Vector indicating the direction of the dislocation (also known as
% ~ Burger's vector), e.g.,
%
% | -1 |
% b = | 1 | ;
% ~ | 1 |
%
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ANEXO 99
% rhop : Radius of the dislocation ring, given as a function of the length of
% the Burger's vector, varying between
%
% 5 * | b | <= rhop <= 5000 * | b | ;
% ~ ~
%
% theta: Angle of depart indicating the slope of the dislocation ring relative
% to direction i.
% ~
%
% xp
% /
% Slip o C (center of ring)
% Plane /
% /
% /\ theta
% / \
% -----------o-------------- x
% / E (emission point)
%
% Structure of data files:
% Obs: All vectors are represented by their components in the crystallographic
% (reference) coordinate system.
% IC - column vector determining direction of crack propagation;
% KC - column vector determining direction normal to specimen's
% mid-plane;
% ks - column vector determining direction normal to sliding plane;
% b - column vector representinf the Burgers' vector;
% theta - angle of depart;
%
% I. CHOOSE SPECIMEN CONFIGURATION AND MATERIAL PROPERTIES
% I.1 Choice of the crystal lattice configuration
tic;
ntim = 0;
icount = 0;
while (icount < 5)
switch (config)
case 'alpha' ...
% a. Load crystal lattice data with an alpha-configuration
load alph_config
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ANEXO 100
icount = 11;
case 'beta' ...
% b. Load crystal lattice data with a beta-configuration
load beta_config
icount = 12;
case 'gamma'
% c. Load crystal lattice data with a gamma-configuration
load gamm_config
icount = 13;
case 'test'
% d. Load crystal lattice used for testing
load test_config
icount = 14;
case 'ref0'
% e. Load crystal lattice data for special congiguration ref0, where
% normal to slip plane is parallel to vector K.
% ~
load ref0_config
icount = 15;
case 'ref1'
% f. Load crystal lattice data for special congiguration ref0, where
% normal to slip plane is parallel to vector K.
% ~
load ref1_config
icount = 16;
case 'sp00'
% g. Load crystal lattice data for special congiguration ss with theta = 0,
% used in the analysis of dislocation growth.
%
load sp0_config
icount = 17;
case 'ss00'
% g. Load crystal lattice data for special congiguration sp with theta = 0,
% used in the analysis of dislocation growth.
%
load ss0_config
icount = 18;
otherwise
disp('O nome do arquivo de dados fornecido é ') % português
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ANEXO 101
disp('desconhecido.') % português
disp('Alterar o nome do arquivo de dados.') % português
disp('(voce terá apenas 5 oportunidades).') % português
% disp('The given filename is uknown.') % english
% disp('Change data filename.') % english
% disp('(you''ll have only 5 attempts).') % english
% disp('Le nom du fichier donné n'est pas connu.') % français
% disp('Changer le nom du fichier de donnés.') % français
% disp('(vous avez que 5 tentatives).') % français
pause;
icount = 1 + icount;
if(icount == 5); break; end;
end;
end;
% I.2 Material Properties
% a) Shear Modulus
mu = 1/6.;
% mu = 1/12.;
% b) Poisson's Coefficent
nu = .25;
% II. INITIALIZATION OF MAIN VARIABLES
% Initial values given to the main parameters of the problem
% II.1 Initial value of d (ring's center off-distance), in # of rhop's
dist = 0;
idf = 0;
% II.2 Vector of N's (size of rhop, given in lengths of Burgers' vector)
% Nsz = [5];
Nsz = [50];
% Nsz = [500];
% Nsz = [5000];
% Nsz = [50000];
% Nsz = [500000];
% Nsz = [5000000];
% Nsz = [5 50 500 5000 50000 500000];
% Nsz = [5 50 500 5000 50000 500000 5000000];
% Nsz = [5 20 30 40 200 300 400 500 5000 50000 500000 5000000];
% III. FIND TRANSFORMATION MATRICES BETWEEN DIFFERENT FIXED FRAMES
% Transformation matrices are used to represent components of quantities
% in different frames.
% III.1 Matrices of Base Vectors
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ANEXO 102
% a. Reference Frame (Crystal Lattice)
Eo = [ 1 0 0
0 1 0
0 0 1 ];
% b. Crack Plane and Slip Plane Frames
[Ao,A1,B1] = trnsf_mat(IC,KC,ks);
% c. Translated Slip Plane Frame
A2 = A1;
B2 = B1;
% III.2 Other Transformation Matrices
% The transformation matrices are already calculated, since all
% vectors are given in terms of the reference system [Xo,Yo,Zo].
% a. From Translated to Rotated-Tranlated Frames ...
ct = cos(theta);
st = sin(theta);
B3 = [ ct st 0
-st ct 0
0 0 1 ];
% b. From Translated to Slip Plane Frame
% -x-x-x-
% IV. DRAW SPECIMEN AND OBTAIN DIMENSIONS OF THE CRACK SURFACE
% Draws a sketch of the specimen and the dislocation ring with
% dimensions given as functions of the Burger's vector for an initial
% c.o.d. (crack openning displacement) given by
cod = 10; % Size of COD
% Number of sections in lambda-direction
%
% |
% \ | /
% \ | /
% \ | / n_lamb = 4
% \ | /
% z \|/
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ANEXO 103
% -----------+------------
% |x
%
% n_lamb = 5; % for a half surface of p - Gerard's
% n_lamb = 6; % for a half surface of p - improved Gerard's
% n_lamb = 8; % for a half surface of p
% n_lamb = 12; % for a half surface of p
n_lamb = 24; % for a complete surface of p
% n_lamb = 48; % for a more complete surface of p
% n_lamb = 180; % for a onde degree increment for surface of p
N_len = length(Nsz);
blen = norm(b,2) ;
DMax = 500 ;
N_iter = 0 ;
% Number of stress intervals
% s_int = 10;
tim(ntim + 10) = toc; % Check CPU time up to here
% Parameters to build up the mesh:
% Values of p and angle phi (= (3*pi/2) - lambda)
% [p,phi] = initval(n_lamb);
[p,phi,r] = mesh_data(mu,nu,n_lamb,Nsz);
tim(ntim + 20) = toc; % Check CPU time up to here
lambda = phi ;
rc = r(1);
plen = length(p) ;
llen = length(lambda);
KIT = [];
KIIT = [];
KIIIT = [];
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ANEXO 104
KIE = [];
Im_ForT = [];
sum_d = 0 ;
id = 1 ;
d = [0 0 0]; % Used when dislocation is at crack tip only!
dl = 0 ;
l_dist = 1;
l_d = 0;
for iN = 1:1:N_len
N = Nsz(iN);
rhop = N * blen;
% III.1 Find the cut off region close to point E
% [rc,pmax] = cutoffr(N,mu,nu);
% Reduce vector p by taking pmax as its maximum value
% p = red_p(p,pmax,id);
hf = 1; % Current figure number
tim(ntim + 30) = toc; % Check CPU time up to here
while idf == 0
dsf = 0; % Flag to avoid drawing specimen
% Draw specimen (if iN = 1 and id = 1)
[mag_rhop,EC,CtrRng] = spec_drw(Ao,A1,B1,B3,rhop,theta,dl,cod,...
hf,DMax,iN,id,config);
idf = -1;
end;
% Draw ring
h_rng = ring(hf,mag_rhop,CtrRng,B1);
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ANEXO 105
tim(ntim + 40) = toc; % Check CPU time up to here
% if (iN == N_len) & (id == l_dist)
% write_data(config,IC,KC,ks,b,theta,N,hf); % Write data to
% % figure(1) if
% last N and last id.
% end;
% IV. DETERMINE ENERGY VARIATION DUE TO THE INCREASE OF THE RING's DIAMETER ON
% THE SLIP PLANE
% IV.1 Calculate effective geometry of the crack
% [LimX,LimZ] = crk_surf(LimSpec,rc);
% IV.2 Mesh crack surface
% Crack surface is meshed to obtain stresses
% a. Rectangular mesh
% b. Triangular mesh
% c. Iso-p coordinates
% c.1 Generate mesh coordinates
tim(ntim + 50) = toc; % Check CPU time up to here
[p,R,XM,ZM,X_step] = isop(Ao,A1,B1,p',lambda,dl,rhop,theta,rc,id,...
sum_d);
tim(ntim + 60) = toc; % Check CPU time up to here
[XN,ZN,l_vecX,l_vecZ,csiC,zetaC] = contour_points(XM,ZM,plen,llen);
tim(ntim + 70) = toc; % Check CPU time up to here
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ANEXO 106
% c.2 Draw mesh and find baricenter of each element
hf = 11; % Current figure number
%
% specimen(rhop,cod,hf) % This line to plot mesh on the crack plane
%
%
%
tim(ntim + 80) = toc; % Check CPU time up to here
[elm,elsurf,sumar,Xbar,Zbar,hmsh] = quadmesh(lambda,R,hf);
tim(ntim + 90) = toc; % Check CPU time up to here
% IV.4 Determine stresses at node points of the mesh
% a. Rectangular mesh
% b. Triangular mesh
% c. Iso-p coordinates
[eta,zeta,SIGMA,StVec] = stresses(Ao,A1,B1,b,p,lambda,R,XM,ZM,...
rhop,EC,CtrRng,elsurf,theta,rc,nu,mag_rhop,cod);
tim(ntim + 100) = toc; % Check CPU time up to here
[S12,S22,S23] = change_str(SIGMA,StVec,XM,ZM,p,lambda);
tim(ntim + 110) = toc; % Check CPU time up to here
% IV.5 Determine stresses at the baricenter of the elements
% a. Rectangular mesh
% b. Triangular mesh
% c. Iso-p coordinates
% [Sb12,Sb22,Sb23,dPb,dQb,dRb] = barstrs(p,lambda,S12,S22,S23,dP,dQ,dR);
%
%
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ANEXO 107
tim(ntim + 120) = toc; % Check CPU time up to here
%
% Using one Gaussian integration point in each element
[Sb12,Sb22,Sb23] = Gstrs(XM,ZM,Xbar,Zbar,S12,S22,S23,'cubic');
tim(ntim + 130) = toc; % Check CPU time up to here
% IV.6 Calculate KI, KII and KIII
% a. Rectangular mesh
% b. Triangular mesh
% c. Iso-p coordinates
tim(ntim + 140) = toc; % Check CPU time up to here
[KII,KI,KIII,Zsta,Zred,KIzer] = Kinteg(Xbar,Zbar,Sb12,Sb22,Sb23,...
elsurf,p,lambda,rhop,b,mu,nu);
tim(ntim + 150) = toc; % Check CPU time up to here
% d. Generate vector of increments in d and check its value
test_Energy = 0 ;
Work_done = 0 ;
Energy = 0 ;
last_Energy = 0 ;
ntim = 150 ;
while test_Energy == 0
ntim = ntim + 10;
tim(ntim) = toc; % Check CPU time up to here
KIIT = [ KIIT
KII ];
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ANEXO 108
KIT = [ KIT
KI ];
KIIIT = [ KIIIT
KIII ];
KIE = [ KIE KIzer ];
% IV.7 Calculate imaginary force acting on the crack's edge
% a. Rectangular mesh
% b. Triangular mesh
% c. Iso-p coordinates
Im_For = imagf(KII,KI,KIII,mu,nu,Xbar,Zbar,Zsta,Zred);
Im_ForT = [ Im_ForT
Im_For ];
del_Work = trapz( Zsta', Im_For ) * norm(d,2);
Work_done = Work_done + del_Work;
Energy = - Work_done;
if ( abs(Energy) - abs(last_Energy) ) >= 1.00e-2
test_Energy = 1;
else
% IV.8 Displace loop
N_iter = N_iter + 1;
[d,Xn,Zn,Xd,Zd,Xbp,Zbp,A] = displace(b,d,XN,ZN,l_vecX,...
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ANEXO 109
l_vecZ,B1,p,lambda,rhop,N_iter);
[NSb12,NSb22,NSb23] = Gstrs(XM,ZM,Xbp,Zbp,S12,S22,S23,'cubic');
[KII,KI,KIII] = neg_Kinteg(Xbp,Zbp,NSb12,NSb22,NSb23,KII,...
KI,KIII,Zsta,A,p,lambda,rhop,b,d,mu,nu);
XN = Xn;
ZN = Zn;
end;
end;
stp = 1;
tim(ntim) = toc; % Check CPU time up to here
end;
figure(90)
hold on
grid on
plot(1:1:ntim,tim,'ro');
% IV.8 Calculate work done during the ring dislocation's displacement
% a. Rectangular mesh
% b. Triangular mesh
% c. Iso-p coordinates
% WD = wrkdn(ImFor,d,Zsta);
% figure(60)
% semilogx(Nsz,KIE)
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ANEXO 110
% stp=1;
% END OF PROGRAM DIFRAC
-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-
function [Ao,A1,B1] = trnsf_mat(IC,KC,ks)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
% Function TRNSF_MAT(IC,KC,ks) finds matrix of transformation between systems
% defined by [IC,JC,KC] and [is,js,ks].
%
%
% Input variables are:
%
% IC - Vector indicating the direction of crack propagation on the
% cleavage plan;
% KC - Vector indicating the direction normal to the main crystal plane,
% following the direction of the crack front;
% ks - Vector indicating the direction normal to the slip plane.
%
% Notation uses sufixes ..C for capital and ..s for small in crystallographic
% and slip plane systems, respectively.
%
% FRAME X-Y-Z DEFINING THE CLEAVAGE PLANE SYSTEM (E)
% Vectors defining specimen's base system
unit_Xo = [1 0 0]';
unit_Yo = [0 1 0]';
unit_Zo = [0 0 1]';
% Vector defining the direction of fracture propagation (X)
% Ex.: IC = [ -1 1 0 ]';
length_IC = norm(IC,2);
nrm_IC = IC / length_IC;
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ANEXO 111
% Vector defining the direction normal to crystal plane XY (Z)
% Ex.: KC = [ -1 -1 2 ]';
length_KC = norm(KC,2);
nrm_KC = KC / length_KC;
% Vector defining the direction Y normal to plane XZ (Y)
JC = cross(nrm_KC,nrm_IC);
length_JC = norm(JC,2);
nrm_JC = JC / length_JC;
% Matrix of director cosines of system X-Y-Z relative to Xo-Yo-Zo
Ao = [nrm_IC nrm_JC nrm_KC]';
% FRAME x-y-z DEFING THE SLIP PLANE SYSTEM (e)
% Vector defining the direction normal to sliding plane (z)
% Ex.: ks = [ -1 1 1 ]';
length_ks = norm(ks,2);
nrm_ks = ks / length_ks;
if (nrm_ks' * nrm_KC) < 0
nrm_ks = -nrm_ks;
end;
% Vector defining the direction normal to plane x-z; it also defines the
% intersection of sliding plane-cleavage plane (plane where fracture
% propagates)
is = cross(nrm_JC,nrm_ks);
length_is = norm(is,2);
nrm_is = is / length_is;
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ANEXO 112
% Vector defining the direction normal to plane x-z (y)
js = cross(nrm_ks,nrm_is);
length_js = norm(js,2);
nrm_js = js / length_js;
% Matrix of director cossines of system x-y-z relative to Xo-Yo-Zo
A1 = [nrm_is nrm_js nrm_ks]';
% Transformation Matrix between the two systems defined above
B1 = A1 * Ao';
stp = 1;
% END OF FUNCTION TRNSF_MAT
function [p_val, phi, r] = mesh_data(mu,nu,n_lamb,N)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
% Function MESH_DATA(mu,nu,s_int,n_lamb,N) finds radii and angles of the polar
% mesh around the point of emission.
%
% It is based on the fact that stress component (sig23) cannot be grater than
% mu/10 (maximum theoretical stress and upper bound limit for sig23) and that
% values smaller than 1.E-4 are negligible.
%
% Input variables are:
%
% mu - shear's modulus of the material;
%
% nu - Poisson's coefficient of the material;
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ANEXO 113
%
% n_lamb - number of intervals in angular direction;
%
% N - size of loop radius in number of lengths of Burger's vector.
%
%
% The cut-off region is the minimum radius calculated based on the maximum
% value of sig23, which is the only stress component left when one considers
% the x-dir. as the line formed by the crossing of the slip plane with the
% plane of crack propagation. In this case, all variables are zero, except
% rhop, Ro and the distance of point M to point E, the last one given by rho.
% The cut-off radius is the distance of the closest point to the point of
% emission for which stresses (sig23 for that matter) are within the
% theoretical range. This is shown in the figure below.
%
%
% | sig23
% |
% * |
% + - - - (mu/10)
% * |
% * | |
% * | |
% * | |
% * | |
% * | |
% * | |
% * | |
% * | |
% * - - - - - - - - - - - - - - + - - + (mu/10^4)
% * | |
% _________________________|____________________|_____|_____ x
% M E
% -->| r C |<--
%
%
% When the above condition is reached, the matching value of p is set as pmax,
% while the stress upper bound is reduced by an amount calculated based on the
% number of desired stress intervals s_int. With this, a new rC is calculated,
% as well as p, with the same procedure. These last values represent the
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ANEXO 114
% position of the next p-line.
%
%
%
%
%
% Angular coordinates
%lamb = 0:(2*pi/n_lamb):2*pi; % use this line to draw a complete surface of p
lamb = 0:(pi/n_lamb):pi; % angle measured from +Zo around Yo
phi = (3*pi/2) - lamb; % angle used in the calculations
%phi = (pi/2) - lamb;
% Stress limits and decrement
s_upper = mu ;
s_lower = mu * 1.E-4;
% Calculate stress factor Fo
Fo = 1 / (2 * pi * N);
po = .9;
p = po;
sig23 = 0. ;
while (abs(sig23) < s_upper)
p = 1 - (.1 * (1 - p));
[sig23] = shearst(mu,nu,Fo,p);
end;
pmax = p;
p_val = [];
r = [];
s23 = sig23;
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ANEXO 115
nw_s_upper = s_upper;
while (abs(s23) >= s_lower)
while (abs(sig23) > nw_s_upper)
p = pmax - (.01 * (1 - pmax));
[sig23] = shearst(mu,nu,Fo,p);
pmax = p;
end;
% nw_s_upper = nw_s_upper - del_s;
nw_s_upper = nw_s_upper * .9;
p_val = [ p_val pmax ];
ppmin = sqrt(1 - pmax * pmax);
rC = N * 2 * ppmin / (1 - ppmin);
r = [ r rC ];
s23 = sig23;
end;
tr = 1;
% END OF FUNCTION MESH_DATA
function [s23] = shearst(mu,nu,Fo,p)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
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ANEXO 116
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
% Function SHEARST(mu,nu,p) calculates the shear stress on the crack plane in
% the x-direction due to the presence of the dislocation. This stress component
% is used to find the cut-off radius.
p2 = p * p;
pp2 = 1 - p2;
pp = sqrt(pp2);
[K,E] = ellipke(p2);
Q1 = 2 * E / pp2;
Q3 = (Q1 - (2 * K)) / p2;
Q5 = (Q1 - Q3 * (1 + pp2)) / p2;
sp23 = ((Q1 - (1+pp)*Q3)/(1 - nu)) - ((1 - pp)/(1 - nu)) * Q5 * 2 * nu;
s23 = Fo * (1 - pp)^2 * (sp23)/4;
% END OF FUNCTION SHEARST
function [mag_rhop,EC_red,CtrRng] = spec_drw(Ao,A1,B1,B3,rhop,theta,d,cod,...
hf,NMax,iN,id,cnfg)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
% Function SPEC_DRW(Ao,A1,B1,B3,rhop,theta,cod,hf,NMax,iN,id) draws
% dislocation ring over the cracked specimen, indicating main directions.
%
% Input variables are:
%
% Ao - transformation matrix defining direction cossines of the crack
% frame [X,Y,Z] with respect to reference frame [Xo,Yo,Zo];
% A1 - transformation matrix defining direction cossines of slip plane
% [x,y,z] w.r.t. [Xo,Yo,Zo];
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ANEXO 117
% B1 - transformation matrix from the crack frame to the slip frame, i.e.,
% from [x,y,z] to [X,Y,Z];
% B3 - transformation matrix defining direction cossines of translated
% frame [xp,yp,zp] w.r.t. [xpp,ypp,zpp];
% rhop - radius of dislocation ring (in terms of Burgers' vector length);
% theta - angle of depart between x-dir and the line passing thru the
% point of the ring touching the crack frontline (point of emission,
% E) and the ring center;
% d - distance between center of ring and point of emission;
% cod - initial crack openning displacement;
% hf - figure number;
% NMax - max value of N for scaling specimen;
% iN - index of current size of loop radius;
% id - iteration number for the distance (d >= 0);
% cnfg - configuration.
%
% N O T E:
% Due to MATLAB's convention for axes directions, it is necessary to reverse
% the sense of y-dir and label YDir as 'Z' and ZDir as 'Y'. This reverses
% only the plotting of variables in y-dir (renamed 'Y'), but does not affect
% plotting in z-dir.
%
% Coordinate systems are defined as follows:
%
% 1) Crystallographic (reference/base) system: Xo,Yo,Zo
% Global reference system to which all other systems are related; its
% base vectors are given by
%
% Notation Components in Ref.System
% Io = [1 0 0]' ,
% ~
% Jo = [0 1 0]' ,
% ~
% Ko = [0 0 1]' .
% ~
%
% 2) Crack plane system: X,Y,Z
% Basic frame defining crack plane with respect to the REFERENCE FRAME,
% having its origin at the point of emission E (point where dislocation
% ring touches the crack frontline); its base vectors are given by
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ANEXO 118
%
% Notation Local Global
% I = [1 0 0]' = [IXo IYo IZo]' ,
% ~
% J = [0 1 0]' = [JXo JYo JZo]' ,
% ~
% K = [0 0 1]' = [KXo KYo KZo]' .
% ~
%
% 3) Slip plane system: x,y,z
% Frame attached to the slip plane (dense plane) of the crystal, with
% origin at E; base vectors are
%
% Notation Local Crack Global
% i = [1 0 0]' = [iX iY iZ]' = [iXo iYo iZo]' ,
% ~
% j = [0 1 0]' = [jX jY jZ]' = [jXo jYo jZo]' ,
% ~
% k = [0 0 1]' = [kX kY kZ]' = [kXo kYo kZo]' .
% ~
%
% 4) Ring centered sytem: x',y',z'
% Frame parallel to slip plane system but with its origin displaced
% to point C (center of dislocation ring), which lies on the slip plane,
% with coordinates given by
%
% x' = - rhop * cos(theta) ,
% y' = - rhop * sin(theta) ,
% z' = 0 ,
%
% where theta is the angle of depart; its base vectors are the same as
% in previous system (3), i.e., i'=i, j'=j and k'=k.
% ~ ~ ~ ~ ~ ~
%
% 5) Rotated ring centered system: x",y",z"
% Frame centered in C rotated about z' of an angle equal to theta, such
% that its x"-dir is colinear wit the straight line passing thru E and C;
% its base vectors are given by
%
% Not. Local Slip Plane Crack Global
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ANEXO 119
% i" = [1 0 0]' = [ cst snt 0]' = [i"X i"Y i"Z]' = [i"Xo i"Yo i"Zo]' ,
% ~
% j" = [0 1 0]' = [-snt cst 0]' = [j"X j"Y j"Z]' = [j"Xo j"Yo j"Zo]' ,
% ~
% k" = [0 0 1]' = [ 0 0 1]' = [k"X k"Y k"Z]' = [k"Xo k"Yo k"Zo]' ,
% ~
%
% with cst and snt being the cosine and the sine of theta.
%
% 6) Rotated ring centered system: x"',y"',z"'
% Frame rotated such that point M (on the cleavage plan) have coordinates
% M(x"',0,z"') = M(Xo,0,Zo); its base vectors are i"',j"' and k"'.
% ~ ~ ~
%
% Transformation from one system to the other are obtained by applying vector
% transformation rules
%
% x = A . X ,
% ~ ~ ~
%
% where
% x = [xi xj xk]' ,
% ~
% X = [XI XJ XK]'
% ~
%
% and A being the transformation matrix with the director cosines of the angles
% ~
% between each base vector defining x and the base vectors for X. Its inverse
% ~ ~
% is A_1 = inv(A) = (A)^(-1) = (A)'.
% ~ ~ ~ ~
%
% The notation used in the program assumes
%
% Type for System
% o global reference (crystal)
% caps ltrs. crack plane
% small ltrs. slip plane
% p prime
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ANEXO 120
% pp double prime
% ppp triple prime
%
%
%
% Plot specimen rotated by 90 deg around x-dir with YDir reversed
% and notation in YDir and ZDir switched to z- an y-dir, respectively.
figure(hf)
if (iN == 1) & (id == 1)
ho = specimen(rhop,cod,hf,NMax);
rotate3d;
end;
hold on
%
% IMPORTANT NOTES:
% a) From this point on, all plots show functions with YDir
% reversed, as well as YDir and ZDir switched to z- and
% y-dir, respectively;
%
% b) Specimen is drawn by taking the crack plane frame as the
% main directions (sides of the specimen are parallel to
% vectors [1 0 0], [0 1 0] and [0 0 1], respectively), with
% its crystallographic reference being oriented elsewhere
% (see picture below).
%
% SPECIMEN
% ________
% /
% _ _ _ _ _ _ _ _/_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __
% /| / /|
% / | / |
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ANEXO 121
% / | Y / |
% / | J | / |
% / | ~ | / |
% /_ _ _ _ _ _ _ _ _ _|_ _ _ _ _ __ _ _ / |
% | | | | |
% | |_____________|_ /_ _ _ _ _ _ | _ _ _|
% | / \ \ \ \ |\/ | /|
% | / \ crack \ \ |/ | / | I
% | / \\ surface \\\ /_E______________|__ /_______~_
% | / \\ \ \\ \ \\\ / | / | X
% | / \\ \ \ \\\ \\ /<- crack | / |
% |/________________/ _frontline _ _ _ _|/ |
% | |_ _ _ _ / _ _ _ _ _ _ _ _ _ _| _ _ _|
% | / / | /
% | / /K | /
% | / / ~ | /
% | / / | /
% | / Z | /
% |/_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _|/
%
% PLOT MAIN COORDINATE SYSTEMS ON SPECIMEN
ct = cos(theta);
st = sin(theta);
% Reference system definition (X0,Y0,Z0)
Eo = [ 1 0 0
0 1 0
0 0 1 ];
% Coordinate transformation matrix from theta-rotated system (prime-prime)
% to sliding plane system (prime) - [ x' = [B_3].x" ]
B_3 = B3';
% Adequate magnitude of base vectors for plotting
magfac = 5;
mag_rhop = magfac * rhop;
mag_Eo = mag_rhop * Eo;
mag_B1 = mag_rhop * B1;
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ANEXO 122
dmag = magfac/5 * d * rhop;
% Origin of crack plane frame in global coordinates
Orig = [ 0 0 0 ]';
% Center of dislocation ring on the theta-rotated sliding plane frame in
% local coordinates ...
CEpp = mag_rhop * [-1 0 0 ]';
% ... in displaced slip plane ...
CEp = B_3 * CEpp;
% ... in sliding plane frame ...
EC = - CEp + [dmag 0 0]';
EC_red = EC / mag_rhop;
% ... and in crack plane coordinates
CtrRng = B1' * EC;
% Extract base vectors from system definition in global reference frame
% Crack plane system:
X = mag_Eo(1,:)';
Y = mag_Eo(2,:)';
Z = mag_Eo(3,:)';
% Slip plane system:
x = mag_B1(1,:)';
y = mag_B1(2,:)';
z = mag_B1(3,:)';
figure(hf);
% Find coordinates of rotated sliding plane base vectors
% in global reference frame
%B_2 = B_3 * Ao' * Eo;
%if (iN == 1)
% Plot crack plane coordinate system (X,Y,Z) in global reference frame ...
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ANEXO 123
% ... in X-direction (actual XDir)
line([Orig(1) X(1)],...
[Orig(2) X(2)],...
[Orig(3) X(3)],'Color','k');
% ... in modified Y-direction (actual ZDir)
line([Orig(1) Z(1)],...
[Orig(2) Z(2)],...
[Orig(3) Z(3)],'Color','k');
% ... and in modified Z-direction (actual -YDir)
line([Orig(1) Y(1)],...
[Orig(2) Y(2)],...
[Orig(3) Y(3)],'Color','k');
% Plot slip plane system...
% ... in x-direction
line([Orig(1) x(1)],...
[Orig(3) x(3)],...
[Orig(2) x(2)],'Color','k','LineStyle',':');
% ... in modified y-direction
line([Orig(1) y(1)],...
[Orig(3) y(3)],...
[Orig(2) y(2)],'Color','k','LineStyle',':');
% ... and in modified z-direction
line([Orig(1) z(1)],...
[Orig(3) z(3)],...
[Orig(2) z(2)],'Color','k','LineStyle',':');
% Draw radius of dislocation ring from center to point of emission
line([CtrRng(1) Orig(1)],...
[CtrRng(3) Orig(3)],...
[CtrRng(2) Orig(2)],'Color','r');
% Plot sliding plane coordinate system (x,y,z) in global reference frame
% ... x-direction
line([CtrRng(1) (CtrRng(1)+x(1))],...
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ANEXO 124
[CtrRng(3) (CtrRng(3)+x(3))],...
[CtrRng(2) (CtrRng(2)+x(2))],'Color','g');
% ... y-direction
line([CtrRng(1) (CtrRng(1)+z(1))],...
[CtrRng(3) (CtrRng(3)+z(3))],...
[CtrRng(2) (CtrRng(2)+z(2))],'Color','g');
% ... and z-direction
line([CtrRng(1) (CtrRng(1)+y(1))],...
[CtrRng(3) (CtrRng(3)+y(3))],...
[CtrRng(2) (CtrRng(2)+y(2))],'Color','g');
cg = strcat('Configuração ',upper(cnfg)); % Português
%cg = strcat('Configuration ',upper(cnfg)); % English
%cg = strcat('Configuration ',upper(cnfg)); % Français
title(cg,'FontSize',14);
%end;
% END OF FUNCTION SPEC_DRW
function h = specimen(rhop,cod,hf,DMax)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
% Generates a picture of the specimen with its main coordinate systems
%
% Input data are:
%
% rhop - radius of dislocation ring
% cod - crack opening distance
%
% Main variables are:
%
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ANEXO 125
% max_dim - maximum value used as parameter to calculate lengths in specimen
% h_cod - half cod
%
max_dim = DMax;
h_cod = DMax / 50 / 2 ;
view([1 -1 1]);
spec_xmin = -max_dim;
spec_xmax = 0;
spec_ymin = -max_dim;
spec_ymax = max_dim;
spec_zmin = -max_dim;
spec_zmax = max_dim;
%LimSpec = [spec_xmax spec_xmin spec_zmax spec_zmin];
% Lower base surface of specimen
base_surf_x = [spec_xmin spec_xmax spec_xmax spec_xmin spec_xmin];
base_surf_y = [spec_ymin spec_ymin spec_ymin spec_ymin spec_ymin];
base_surf_z = [spec_zmax spec_zmax spec_zmin spec_zmin spec_zmax];
% Crack lower surface
crk_lsurf_x = [spec_xmin spec_xmax spec_xmax spec_xmin spec_xmin];
crk_lsurf_y = [ -h_cod 0 0 -h_cod -h_cod ];
crk_lsurf_z = [spec_zmax spec_zmax spec_zmin spec_zmin spec_zmax];
% Crack upper surface
crk_usurf_x1 = [spec_xmin spec_xmax];
crk_usurf_y1 = [ h_cod 0 ];
crk_usurf_z1 = [spec_zmax spec_zmax];
crk_usurf_x2 = [spec_xmax spec_xmin spec_xmin];
crk_usurf_y2 = [ 0 h_cod h_cod ];
crk_usurf_z2 = [spec_zmin spec_zmin spec_zmax];
% Upper base surface of specimen
uppr_surf_x = [spec_xmin spec_xmax spec_xmax spec_xmin spec_xmin];
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ANEXO 126
uppr_surf_y = [spec_ymax spec_ymax spec_ymax spec_ymax spec_ymax];
uppr_surf_z = [spec_zmax spec_zmax spec_zmin spec_zmin spec_zmax];
% Vertical edges
vert_edge_x1 = [spec_xmin spec_xmin];
vert_edge_y1 = [spec_ymin -h_cod ];
vert_edge_z1 = [spec_zmax spec_zmax];
vert_edge_x2 = [spec_xmin spec_xmin];
vert_edge_y2 = [ h_cod spec_ymax];
vert_edge_z2 = [spec_zmax spec_zmax];
vert_edge_x3 = [spec_xmin spec_xmin];
vert_edge_y3 = [spec_ymin -h_cod ];
vert_edge_z3 = [spec_zmin spec_zmin];
vert_edge_x4 = [spec_xmin spec_xmin];
vert_edge_y4 = [ h_cod spec_ymax];
vert_edge_z4 = [spec_zmin spec_zmin];
vert_edge_x5 = [spec_xmax spec_xmax spec_xmax];
vert_edge_y5 = [spec_ymin 0 spec_ymax];
vert_edge_z5 = [spec_zmax spec_zmax spec_zmax];
vert_edge_x6 = [spec_xmax spec_xmax spec_xmax];
vert_edge_y6 = [spec_ymin 0 spec_ymax];
vert_edge_z6 = [spec_zmin spec_zmin spec_zmin];
figure(hf)
% Draw lower base surface of specimen
h1 = line(base_surf_x,base_surf_y,base_surf_z,'Color', 'blue');
% Draw crack lower surface
h2 = line(crk_lsurf_x,crk_lsurf_y,crk_lsurf_z,'Color', 'blue');
% Draw crack upper surface
h3 = line(crk_usurf_x1,crk_usurf_y1,crk_usurf_z1, 'Color', 'blue');
h4 = line(crk_usurf_x2,crk_usurf_y2,crk_usurf_z2, 'Color', 'blue');
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ANEXO 127
% Draw upper base surface of specimen
h5 = line(uppr_surf_x,uppr_surf_y,uppr_surf_z,'Color', 'blue');
% Draw vertical edges
h6 = line(vert_edge_x1,vert_edge_y1,vert_edge_z1,'Color', 'blue');
h7 = line(vert_edge_x2,vert_edge_y2,vert_edge_z2,'Color', 'blue');
h8 = line(vert_edge_x3,vert_edge_y3,vert_edge_z3,'Color', 'blue');
h9 = line(vert_edge_x4,vert_edge_y4,vert_edge_z4,'Color', 'blue');
h10 = line(vert_edge_x5,vert_edge_y5,vert_edge_z5,'Color', 'blue');
h11 = line(vert_edge_x6,vert_edge_y6,vert_edge_z6,'Color', 'blue');
h = [h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7 h8 h9 h10 h11];
x_dir = [1 0 0];
y_dir = [0 1 0];
z_dir = [0 0 1];
rotate(h,x_dir,90);
set(gca,'YDir','reverse');
% Next line prevents displaying tick-marks
%set(gca,'YDir','reverse','Visible','off');
xlabel('\fontsize14x');
ylabel('\fontsize14z');
zlabel('\fontsize14y');
grid off
hidden on
axis equal
% END OF FUNCTION SPECIMEN
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ANEXO 128
function h_rng = ring(hf,mag_rhop,CtrRng,B)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
%
% Function RING(hf,mag_rhop,CtrRng,B) draws the loop relatively to the
% specimen.
%
% Input variables are:
%
% hf - figure number;
% mag_rhop - magnification of loop radius for drawing;
% CtrRng - coordinates of the loop's center;
% B - transformation matrix from the crack plane to the slip plane.
%
%
%
% Set current figure
figure(hf);
% Draws dislocation ring with n equally spaced arcs
mag_rhop = mag_rhop(:); % Make sure r is a vector.
n = 40;
theta = ((0:n)/n*2*pi)';
sintheta = sin(theta); sintheta(n+1) = 0;
x_rhop = mag_rhop * cos(theta);
y_rhop = mag_rhop * sintheta;
z_rhop = (length(x_rhop) * zeros(1,n+1))';
s_coords = [ x_rhop'
y_rhop'
z_rhop' ];
Ext_CR = repmat(CtrRng,1,length(x_rhop'));
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ANEXO 129
Rng_coords = (B' * s_coords) + Ext_CR;
X_rhop = Rng_coords(1,:);
Y_rhop = Rng_coords(2,:);
Z_rhop = Rng_coords(3,:);
EX = X_rhop';
EY = Y_rhop';
EZ = Z_rhop';
h_rng = line(EX,EZ,EY,'Color','m','LineWidth',1);
axis equal
% END OF FUNCTION H_RING
function [p,R,Xrl,Zrl,X_step] = isop(Ao,A1,B1,p,phi,d,rhop,theta,rc,id,sum_d)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
% Function ISOP(Ao,A1,B1,p,phi,d,rhop,pmax,theta, rc) determines the polar
% coordinate pair (R,lambda) for which parameter p has the same value.
%
% Input data are:
%
% Ao - transformation matrix from the crack to the reference system;
% A1 - " " " " slip plane to the ref. system;
% B1 - " " " " crack plane to slip plane;
% p - p-values for build up the mesh;
% phi - angle phi is equal to ((3*pi/2) - lambda);
% d - distance from the current center of ring, point C', to the
% center of ring when its circle touches the point of emission;
% rhop - radius of the dislocation ring;
% theta - angle of depart;
% rc - cut-off radius;
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ANEXO 130
% id - iteration number for the distance (d >= 0)
%
% p is a parameter used in the evaluation of the elliptic functions of the
% first (K(p)) and the second (E(p)) kinds. For a point M of coordiantes
% (XoM,0,ZoM) = (EM, lambda) = (xM,0,zM), it is related to the slip plane
% coordinate system through equation
%
%
%
%
% p² = (4 * xM * rhop) / [zM² + (xM + rhop)²] . (1)
%
%
%
%
% Based on this relation and keeping p constant, coordinates (xM,zM) are
% expressed as functions of p and vector EM, linking the point of emission to
% the desired point M, having its components given in terms of the slip plane
% system (x,y,z), is transformed to the components in the reference system by
% transformation matrix B1 * A1, where B1 is the transformation matrix from
% the theta-rotated transformation system to the slip plane system and e is
% the transformation matrix from the slip plane system to the reference
% system. Em is also expressed in terms of vectors CE (from the center of the
% ring to the emission point) and CM (from the center of the ring to the
% desired point M.
%
%
%
%
% Xo
% /
% -->| xM |<--
% ---------------------------------o----- x
% | /|E
% | / |
% | / |
% | / |
% | R / |
% zM | ~/ |
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ANEXO 131
% | / |
% | / |
% | / |
% |/ |
% o ---------|
% / M |
% / |
% |
% | z
% ->
% Vector CM is defined by
% -> -> ->
% CM = CE + EM , (2)
%
% where
% ->
% CM = 0 i" + yM" j" + zM" k" , (3)
% ~ ~ ~
% ->
% CE = -(d + rhop * cos(theta)) i - rhop sin(theta) j (4)
% ~ ~
% ->
% EM = XM I + 0 J + ZM K . (5)
% ~ ~ ~
%
% When combined and transformed to system E, these equations lead to
% ~
%
% | 0 | | -[d+rhop*cos(theta)] | | XM |
% | | | | | |
% B1'. B3'. | yM" | = B1 . | - rhop * sin(theta) | + | 0 | . (6)
% ~ ~ | | ~ | | | |
% | zM" | | 0 | | ZM |
%
%
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ANEXO 132
% Taking
%
% etaM" = yM" / rhop , (7.a)
%
% zetaM" = zM" / rhop , (7.b)
%
% CSIM = XM / rhop , (8.a)
%
% ZETAM = ZM / rhop , (8.b)
%
%
% eq.(1) can be rewritten as
%
%
% p² = 4 * eta" / [zeta"² + (1 + eta")²] = const. (9)
%
%
% and eq.(6) becomes
%
% | 0 | | -[delta + cos(theta)] | | CSIM |
% | | | | | |
% B1'. B3'. | etaM" | = B1 . | - sin(theta) | + | 0 | , (10)
% ~ ~ | | ~ | | | |
% | zetaM" | | 0 | | ZETAM |
%
% or
%
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ANEXO 133
% -> -> ->
% B1' . B3' . CM" = B1 . CE + EM . (11)
% ~ ~ ~
%
% where
%
% delta = d / rhop , CSIM = XM / rhop , ZETAM = ZM / rhop . (12)
%
% Subsitution of eqs.(7-8) into eq.(11) and, later, this result into eq.(9),
% it follows that
%
% RHO^4 + C[2] * RHO^3 + C[3] * RHO^2 + C[4] * RHO + C[5] = 0 , (13)
%
% where
%
% RHO = RM / rhop ,
%
% C[5] = 4 * g ,
%
% C[4] = 4 * g^2 + 2 * del_o + 2 - s * (1 - f^2) ,
%
% C[3] = 2 * (2 * g * (del_o + 1) - g * s) , (14)
%
% C[2] = (del_o + 1)^2 - del_o * s ,
%
% C[1] = 1
%
% s = [4/(p^2) - 2]² , (15)
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ANEXO 134
%
% del_o = delta^2 + 2 * delta * cos(theta) + 1 . (16)
%
% The pair (R,lambda) is calculated in n_lamb sections following the descrip-
% tion bellow.
%
%
% x *
% \ / * |
% \ / * |XM
% o M ---------+
% * /.\ |
% p=cnst. * / . \ |
% ___ * / . \ |
% \ * / . \ |
% * / . \ |
% * / . \ R |
% * / . \~ |
% / . \ |
% / . \ |
% / . .\ | TOP VIEW
% / .lambda. \.-|- . === ====
% / . . \-|-. \ phi
% / . . \| \ \
% Z <--+-------------+-------------o--------------
% ZM |E / /
% |-\ .
% |- \
% | \
% X \C
% o
%
% |Y
% | .o
% | .. /C
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ANEXO 135
% ..| /
% .. | / SIDE VIEW
% .. | / ==== ====
% .. |E
% -------------------o-------------o-------------->X
% M |
% |
% |
% |
% |
% |
%
% One observes that
%
%
% XM = - RM sin(lambda) = RM cos(phi) and
% (17)
% ZM = RM cos(lambda) = - RM sin(phi) .
%
%
Xrl = [];
Zrl = [];
X_step = [];
plen = length(p); % length of vector p
llen = length(phi); % length of vector lambda (phi)
dlen = norm(d,2);
% Separate maximum value of p
pmax = p(plen);
%p = p';
p2 = p.^2;
ct = cos(theta);
st = sin(theta);
a1 = B1(:,1);
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ANEXO 136
a2 = B1(:,2);
a3 = B1(:,3);
Dm = [d + ct st 0]';
s = a1' * Dm;
q = a3' * Dm;
R = [];
rr = [];
Coeff = [];
xrl_max = [];
del_o = d^2 + 2 * d * ct + 1;
C(1) = 1;
% Calculate coefficients of the 4th-order polynomial [Eq.(13) above]
for il = 1:1:llen % loop over lambda from (3*pi)/2 to pi/2
clmb = - sin(phi(il)); % a positive angle phi is used instead of
slmb = cos(phi(il)); % the negative angle lambda
% almb = slmb * a3(1) + clmb * a3(3); % Gerard's notation
% blmb = - s * slmb - q * clmb ; % Gerard's notation
almb = slmb * a1(3) + clmb * a3(3);
blmb = - s * slmb - q * clmb ;
% almb = - slmb * a3(1) + clmb * a3(3); % OLD NOTATION!!!
% blmb = s * slmb - q * clmb ; % OLD NOTATION!!!
C(2) = 4 * blmb;
pred = [];
for ip = 1:1:plen
lp = (4 / p2(ip) - 2)^2;
C(3) = 4 * blmb^2 + 2 * del_o + 2 - lp + lp * almb^2;
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ANEXO 137
C(4) = 2 * (2 * blmb * (del_o + 1) - blmb * lp);
C(5) = (del_o + 1)^2 - del_o * lp;
% disp('p = ')
% p(ip)
% C
% disp('roots')
% roots(C)
posrt = real_roots(C,0,10^8);
rtmax = max(posrt);
rtmin = min(posrt);
if (~isempty(posrt))
pred = [ pred
p(ip) ];
rr = [rr rtmin];
else
pred = [ pred ];
rr = [rr];
end;
end;
if (id > 1)
rr = [rr 0];
end;
phi1 = phi(il) * ones(1,length(rr));
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 138
[xrl,zrl] = pol2cart(phi1,rr); % angle phi is used instead of lambda
% disp(' xrl''');
% disp(xrl');
Xrl = [ Xrl
xrl ];
Zrl = [ Zrl
-zrl ];
R = [ R
rr ];
rr = [];
end;
if id == 1
X_step = [ X_step
max(abs(Xrl)) ];
else
p = [ pred
pmax ];
end;
%p = [ pred
% pmax ];
P = repmat(p,1,length(phi));
figure(10);
%specimen(rhop,10);
hold on
axis image
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ANEXO 139
contour3(Xrl,Zrl,20*P',60);
set(gca,'YDir','reverse');
rotate3d;
grid on;
xlabel('\fontsize12\rm\xi');
ylabel('\fontsize12\rm\zeta');
title('\fontsize14\bfA Superfície Iso-\itp') % Português
%title('\fontsize14\bfThe Iso-\itp Surface') % English
%title('\fontsize14\bfLa Surface Iso-\itp') % Français
% END OF FUNCTION ISOP
function [x] = real_roots(C,Xmin,Xmax)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
% Function REAL_ROOTS(C,Xmin,Xmax) determines the real roots of a polynomial,
% with coefficients given by a vector C, within the range (XMin <= x <= Xmax).
% Vector C contains the coefficients of the polynomial in descending order
% of power, i.e.,
%
% C(1)X^(n) + C(2)X^(n-1) + C(3)X^(n-2) + ... + C(n)X + C(n+1) .
%
% First, roots are found thru MATLAB's function ROOTS(C). In a second step,
% only the real roots are taken. Finally, roots are filtered within the
% interval (XMin <= x <= Xmax).
%
% Column vector x contains all real roots of the polynomial in the given
% interval.
%
% Find all roots of the polynomial
allrts = roots(C);
% Initialize variables
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 140
realrts = [];
cmplxrts = [];
bndrts = [];
ubndrts = [];
alrtslen = length(allrts);
% Select real roots only
for ir = 1:1:alrtslen
if (imag(allrts(ir)) == 0)
realrts = [realrts allrts(ir)]; % vector of real roots
else
cmplxrts = [cmplxrts allrts(ir)]; % vector of complex roots
end;
end;
rrtslen = length(realrts);
% Select roots within bounded interval [Xmin,Xmax] only
for ir = 1:1:rrtslen
if ((realrts(ir) >= Xmin) & (realrts(ir) <= Xmax))
bndrts = [bndrts realrts(ir)]; % vector of bounded roots
elseif ((realrts(ir) >= Xmin) | (realrts(ir) <= Xmax))
ubndrts = [ubndrts realrts(ir)]; % vector of unbounded roots
end;
end;
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 141
x = bndrts;
% END OF FUNCTION REAL_ROOTS
function [XN,ZN,l_vecX,l_vecZ,csiC,zetaC] = contour_points(X,Z,plen,llen)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
% Function CONTOUR_POINTS(X,Z,PLEN,LLEN) extracts the coordinates of the points
% on the mesh contour lines.
%
%
%
%
%
% Extract coordinates of contour points
%
% - along lambda = 0:
Xl0 = X(1,:)';
Zl0 = Z(1,:)';
l_Xl0 = length(Xl0);
l_Zl0 = length(Zl0);
% - along R = R(pmin):
XRpi = X(2:llen-1,plen);
ZRpi = Z(2:llen-1,plen);
l_XRpi = length(XRpi);
l_ZRpi = length(ZRpi);
% - along lambda = pi/2:
XPi_2 = fliplr( X(llen,1:plen) )'; % invert order of
ZPi_2 = fliplr( Z(llen,1:plen) )'; % vectors
l_XPi_2 = length(XPi_2);
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 142
l_ZPi_2 = length(ZPi_2);
% - along R = R(pmax):
XRpa = flipud( X(2:llen-1,1) );
ZRpa = flipud( Z(2:llen-1,1) );
l_XRpa = length(XRpa);
l_ZRpa = length(ZRpa);
csiC = [ XPi_2
XRpa
Xl0
XRpi ];
zetaC = [ ZPi_2
ZRpa
Zl0
ZRpi ];
figure(7)
plot (csiC,zetaC,'+')
set(gca,'YDir','reverse')
axis equal
grid on
hold on
l_vecX = [ l_XPi_2
l_Xl0 ];
l_vecZ = [ l_ZPi_2
l_Zl0 ];
XN = [ csiC(1:l_XPi_2)
csiC((l_XPi_2 + l_XRpa + 1):(l_XPi_2 + l_XRpa + l_Xl0)) ];
ZN = [ zetaC(1:l_ZPi_2)
zetaC((l_ZPi_2 + l_ZRpa + 1):(l_ZPi_2 + l_ZRpa + l_Zl0)) ];
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 143
% END OF COUNTOUR_POINTS
function [elnum,elsurf,sum_area,Xbar,Zbar,hpt] = quadmesh(lambda,R,hf)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
% Function QUADMESH(lambda,R) draws the mesh over the crack surface, assigns
% element numbers and calculates the surface of each element.
%
% Input are:
%
% R,lambda - vectors of node coordinates in polar form;
% hf - figure number.
%
%
%
%
llen = length(lambda);
chklen = min(size(R));
if (llen > chklen)
Rlen = chklen;
else
Rlen = length(R);
end;
% Mesh is created by first incrementing along lambda and then along R, so the
% numbering of the element will become optimized.
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 144
% Draw each element, calculate its baricenter coordinates and area
figure(hf)
%specimen(50,10);
%subplot(1,2,1)
hold on
axis image
set(gca,'YDir','reverse');
elnum = 0; % element numbering initialized
sum_area = 0; % total area initialized
hpt = [];
elsurf = [];
iel = [];
Xbar = [];
Zbar = [];
Are = [];
for il=1:1:llen-1
rad_coord = [];
xl = [];
zl = [];
iae = [];
for iR = 1:1:Rlen-1
elnum = elnum + 1; %element counting
ielI = [R(il ,iR ) lambda(il) ];
ielJ = [R(il+1,iR ) lambda(il+1)];
ielK = [R(il+1,iR+1) lambda(il+1)];
ielL = [R(il ,iR+1) lambda(il) ];
iel = [ ielI ielJ ielK ielL ];
[h,ae,xbar,zbar] = quadri(iel);
hpt = [ hpt h ];
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 145
elsurf = [ elsurf ae ];
iae = [ iae ae ];
sum_area = sum_area + ae;
% plot(xbar,zbar,'+')
xl = [ xl xbar ];
zl = [ zl zbar ];
end;
Xbar = [ Xbar
xl ];
Zbar = [ Zbar
zl ];
Are = [ Are
iae ];
end;
grid on;
xlabel('\fontsize12\rm\xi');
ylabel('\fontsize12\rm\zeta');
title('\fontsize14\bfA Malha de Elementos') % Português
%title('\fontsize14\bfThe Element Mesh') % English
%title('\fontsize14\bfLa Maillage') % Français
%title('\fontsize14\bfA Malha de Elementos e os Baricentros') % Português
%title('\fontsize14\bfThe Element Mesh and the Baricenters') % English
%title('\fontsize14\bfLa Maillage et les Baricentres') % Français
%figure(7);
%surf(Xbar,Zbar,Are);
%rotate3d;
stp = 1;
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 146
%subplot(1,2,2)
%refresh(hpt)
%hold on
%plot(Xbar,Zbar,'+')
%zoom
% END OF FUNCTION QUADMESH
function [eta,zeta,SIGMA,StVec] = stresses(Ao,A1,B1,b,p,lamb,R,XM,ZM,rhop,...
EC,CtrRng,elsurf,theta,rc,nu,mag,cod)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
% Function STRESSES(Ao,A1,B1,b,d,p,lamb,R,XM,ZM,rhop,EC,CtrRng,theta,rc,nu,mag,
% cod) calculates stress components at point M(XM,ZM)lying on the (virtual)
% crack plane comprised by the intervals
%
% -Inf < XM < rc and -Inf < ZM < +Inf ,
%
% where rc is the cut-off radius.
%
% Input are:
%
% Ao - transformation matrix from the cleavage plan coordinate system
% to the crystallographic coordinate system;
% A1 - transformation matrix from the slip plane coordinate system
% to the crystallographic coordinate system;
% B1 - transformation matrix from the slip plane coordinate system
% to the crack plane coordinate system;
% b - Burger's vector;
% d - center-off distance;
% p - vector of parameter p;
% (lamb,R)- polar coordinates of several M points over the crack plane;
% (XM,ZM) - cartesian coordinates of several M points over the crack
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 147
% plane;
% rhop - radius of the dislocation ring;
% EC - vector of center of ring coordinates in slip plane system;
% CtrRng - vector of center of ring coordinates in crystall.coord.system;
% elsurf - area of each element;
% theta - angle of depart;
% rc - cut-off radius;
% mu - shear modulus of the material; and
% nu - Poisson's coefficient;
% mag - magnification factor for rhop;
% cod - crack opening displacement.
%
%
% Each stress component is obtained by the analytical integration of the
% expression found in HIRTH & LOTHE [1] and according to OLIVEIRA [2].
% The general expression of these components is
%
%
% [sig(i,j)/mu] = Fo . f(i,j) ,
%
% where
%
% Fo = 1 / [2 * N * pi * (1 - nu)]
% ~
% f(i,j) = f(b,Q,x'M,z'M,nu) ,
% ~ ~
% mu is the shear's modulus of the material,
% N is the number of Burger's vectors in rho'(radius of boucle),
% ~
% Q = Q(p) is a matrix containing functions of p,
% ~ ~
% (x'M,z'M) are the coordinates of point M in the slip plane coordinate
% system rotated such that y'M = 0, and
%
% nu is the Poisson's coefficient of the material being analysed.
%
%
%
%
%
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 148
%
% [1] HIRTHE,J.P. & J.LOTHE, "Theory of Dislocations", 2nd ed., J.Wiley&Sons,
% Inc., New York, 1982, rep. by Krieger Pub.Co., Malabar, FL, 1992.
%
% [2] OLIVEIRA,M.A.L., Emission et Develppement de Dislocations en Tete de
% Fissure dans le Silicium: Analyse Tridimensionnelle de l'Interaction
% Dislocation/Fissure, doctoral thesis presented at the Inst. Nat.
% Polytech. de Lorraine, Ecole des Mines de Nancy, Nancy, jun, 1994.
%
%
% Find position of points M in slip plane coordinates
YM = zeros(size(XM));
c = - EC;
ct = cos(theta);
st = sin(theta);
len_b = norm(b,2);
nrm_b = b / len_b;
N = rhop / len_b;
llen = length(lamb);
plen = length(p);
p2 = p.^2;
len_EtaMpp = [];
len_ZetaMpp = [];
Nrm_sjpp = [];
Nrm_sipp = [];
rhoM = [];
bpp = [];
BB = [];
Comg = [];
Somg = [];
for il=1:1:llen
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 149
% Coordinates of point M in the crack plane system ...
% Note: Cartesian coordinates of point M in the cleavage plane (YM=0), XM and
% ZM, are given by matrices of orders (llen x plen), each line represent-
% ing the respective coordinates for a given value of p. To find the the
% pair [XM,ZM] one must identify which is the order of p (ip) and lambda
% (il) corresponding to that point; the pair is, then, given by
%
% [XM,ZM] = [XM(il,ip),ZM(il,ip)]
%
CSIMX = [ XM(il,:)
YM(il,:)
ZM(il,:) ]; % this gives all coordinates along lamda for different
% values of p.
% Find the position of point M in the slip plane coordinate system to orient
% ypp (in terms of the crystallographic coordinate system):
%
% zetaM" k = [CSIM 0 ZETAM] * E = [CSIM 0 ZETAM] * Ao * Eo
% ~ ~ ~ ~
%
% etaM" j" = cid' * e + CSIMX' * E - zetaM" k
% ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
%
% etaM" = [cid' - transp(zetaM")] * A1 + [CSIM 0 ZETAM] * Ao * Eo
% ~ ~ ~ ~ ~ ~
%
% etaM"
% ~
% j"(M) = ---------
% ~ |etaM"|
% ~
%
% i" = j" x k = j" x ( A1 * Eo )
% ~ ~ ~ ~ ~ ~
%
zetaM = CSIMX' * B1(3,:)';
zer = zeros(length(zetaM),1);
zetaMpp = [zer zer zetaM];
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 150
cid = repmat(c,1,length(CSIMX));
etaMpp = (cid' - zetaMpp) * A1 + CSIMX' * Ao;
letapp = length(etaMpp);
p_ver = [];
B_pwise = [];
nrm_sipp = [];
nrm_sjpp = [];
comg = [];
somg = [];
len_etaMpp = [];
len_zetaMpp = [];
for ip = 1:1:plen
loc_etaMpp = norm(etaMpp(ip,:),2);
len_etaMpp = [ len_etaMpp loc_etaMpp ]; % = xM / rhop (= rho / rhop)
loc_nrm_sjpp = etaMpp(ip,:) / loc_etaMpp;
nrm_sjpp = [ nrm_sjpp loc_nrm_sjpp' ];
loc_nrm_sipp = cross(loc_nrm_sjpp,A1(3,:));
nrm_sipp = [ nrm_sipp loc_nrm_sipp' ];
% Transformation matrix from local pp-coordinates to slip plane coordinates
loc_B = [ loc_nrm_sipp' loc_nrm_sjpp' A1(3,:)' ];
B_pwise = [ B_pwise loc_B ];
loc_zetaMpp = zetaMpp(ip,3);
len_zetaMpp = [ len_zetaMpp loc_zetaMpp ]; % = zM / rhop (= h / rhop)
% Vector CM in the slip plane coordinate system
loc_rhoM = [ 0
loc_etaMpp
loc_zetaMpp ];
rhoM = [ rhoM loc_rhoM ];
% Next three lines used for verification only
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ANEXO 151
loc_p_ver = sqrt(4 * loc_etaMpp / (loc_zetaMpp^2 + (1+loc_etaMpp)^2));
p_ver = [ p_ver
loc_p_ver ];
% Burger's vector components in the omega-rotated slip plane coordinate system
comg = [comg nrm_b' * loc_nrm_sipp'];
somg = [somg nrm_b' * loc_nrm_sjpp'];
end;
BB = [ BB
B_pwise ]; % transformation matrices from the local
% coordinate system of each point to the slip
% plane system.
Mrm_sipp = [ Nrm_sipp
nrm_sipp ];
Nrm_sjpp = [ Nrm_sjpp
nrm_sjpp ];
len_EtaMpp = [ len_EtaMpp
len_etaMpp ];
len_ZetaMpp = [ len_ZetaMpp
len_zetaMpp ];
Comg = [ Comg
comg ];
Somg = [ Somg
somg ];
end;
eta = len_EtaMpp;
zeta = len_ZetaMpp;
% Calculate elliptic functions of first [K(p)] and second [E(p)] kinds
[Kp,Ep] = ellipke(p2);
% Calculate matrix Q of stress coefficients
Q = stcoef(Kp,Ep,p);
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 152
Fo = 1 / (2 * N * pi * (1-nu));
sigma = [];
for ip=1:1:plen
s = [];
for il=1:1:llen
RHO = sqrt(zeta(il,ip)^2 + (1 + eta(il,ip))^2);
RHO2 = RHO * RHO;
RHO3 = RHO * RHO * RHO;
% Calculate the weighted distribution of stress coefficients
W = wgtdis(p(ip),nu,RHO,eta(il,ip),zeta(il,ip));
omga = omega(eta(il,ip),zeta(il,ip),Comg(il,ip),Somg(il,ip),RHO);
ss = omga * W * Q(:,ip);
Fss = Fo * ss;
% transformation of the (6x1) stress vector in a (3x3) symmetric matrix
sig = [ Fss(1) Fss(2) Fss(3)
Fss(2) Fss(4) Fss(5)
Fss(3) Fss(5) Fss(6) ];
s = [ s sig ];
end;
sigma = [ sigma
s ];
end;
% Transformation of stresses from the slip plane coordinate system to the
% cleavage plane coordinate system (the stress vector acting on each node
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 153
% is also calculated)
%
% Notes: a) Stresses are stored in the following fashion:
%
% | sig(1) sig(2) ... sig(n_l) |
% | ~ ~ ~ |
% | sig(n_l+1) sig(n_l+2) ... sig(n_l+n_l) |
% sigma = | ~ ~ ~ | ,
% | : : ... : |
% | : : ... : |
% |sig((n_p-1)*n_l+1) sig((n_p-1)*n_l+2) ... sig((n_p-1)*n_l+n_l)|
% | ~ ~ ~ |
%
% where, for a given element e, stresses are
%
% | sigxx sigxy sigxz |
% | |
% sig(e) = | sigxy sigyy sigyz | ;
% ~ | |
% | sigxz sigyz sigzz |
%
%
% b) The stress transformation is given by
%
% SIGMA(e) = B1 . sigma(e) . B1' ,
%
% while the stress vector in Y-dir can also be found by
%
% FORCE(e) = sigma(e) . loc_B(:,1)'.
%
%
SIGMA = [];
StVec = [];
for ip=1:1:plen
inc_p = 3 * (ip-1);
StF = [];
SIG = [];
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 154
for il=1:1:llen
inc_l = 3 * (il-1);
B_rot = Ao * BB((1+inc_l):(3+inc_l),(1+inc_p):(3+inc_p));
sf = B_rot * sigma(1+inc_p:3+inc_p,1+inc_l:3+inc_l);
SF = sf * B_rot';
sg = B_rot * sigma(1+inc_p:3+inc_p,1+inc_l:3+inc_l);
SG = sg * B_rot';
StF = [ StF SF ];
SIG = [ SIG SG ];
end;
StVec = [ StVec
StF ];
SIGMA = [ SIGMA
SIG ];
end;
stp = 1;
% END OF FUNCTION STRESSES
function [Q] = stcoef(K,E,p)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
% Function STCOEF(K,E,p) calculates Qi coefficients of stress components.
%
% Input are:
%
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 155
% (K,E) - First and second kind elliptic functions, respectively;
% p - parameter associated with the coordinates of a point M.
%
p2 = p.^2;
m = (ones(size(p2)) - p2);
plen = length(p);
for ip=1:1:plen
Q(1,ip) = 2 * E(ip) / m(ip);
Q(2,ip) = 2 * ((1 + m(ip)) * Q(1,ip) - K(ip)) / (3 * m(ip));
Q(3,ip) = (Q(1,ip) - 2*K(ip)) / p2(ip);
Q(4,ip) = (Q(1,ip) + Q(3,ip)) / (3 * m(ip));
Q(5,ip) = (Q(1,ip) - (Q(3,ip) * (1 + m(ip)))) / p2(ip);
Q(6,ip) = ((2*Q(3,ip) - Q(1,ip))) / (3 * p2(ip));
end;
stp =-1;
% END OF SUBROUTINE STCOEF
function [S12,S22,S23] = change_str(SIGMA,StVec,X,Z,p,lamb)
% Reads files with coordinates and stresses generated by DiFrac
S11 = [];
S12 = [];
S13 = [];
S22 = [];
S23 = [];
S33 = [];
%dP = [];
%dQ = [];
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ANEXO 156
%dR = [];
l_X = length(p);
l_Z = length(lamb);
for ii = 1:1:l_X
inc_X = 3 * (ii-1);
s11 = [];
s12 = [];
s13 = [];
s22 = [];
s23 = [];
s33 = [];
% dp = [];
% dq = [];
% dr = [];
for jj = 1:1:l_Z
inc_Z = 3*(jj-1);
mac11 = SIGMA(1+inc_X,1+inc_Z);
mac12 = SIGMA(1+inc_X,2+inc_Z);
mac13 = SIGMA(1+inc_X,3+inc_Z);
mac22 = SIGMA(2+inc_X,2+inc_Z);
mac23 = SIGMA(2+inc_X,3+inc_Z);
mac33 = SIGMA(3+inc_X,3+inc_Z);
s11 = [ s11 mac11 ];
s12 = [ s12 mac12 ];
s13 = [ s13 mac13 ];
s22 = [ s22 mac22 ];
s23 = [ s23 mac23 ];
s33 = [ s33 mac33 ];
f12 = StVec(1+inc_X,2+inc_Z);
f22 = StVec(2+inc_X,2+inc_Z);
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ANEXO 157
f23 = StVec(2+inc_X,3+inc_Z);
% dp = [ dp f22 ];
% dq = [ dq f12 ];
% dr = [ dr f23 ];
end;
S11 = [ S11
s11 ];
S12 = [ S12
s12 ];
S13 = [ S13
s13 ];
S22 = [ S22
s22 ];
S23 = [ S23
s23 ];
S33 = [ S33
s33 ];
% dP = [ dP
% dp ];
% dQ = [ dQ
% dq ];
% dR = [ dR
% dr ];
end;
stp = 1;
rts=40; % magnifying ratio for stresses
rtf=9000; % magnifying ratio for forces
% Draw stresses
figure(21)
hold on
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 158
axis image
surf(X,Z,rts*S22')
%contour3(Xbar,Zbar,rts*Sb22',60)
set(gca,'YDir','reverse');
rotate3d
%axis square
shading interp
grid on;
xlabel('\fontsize12\rm\xi');
ylabel('\fontsize12\rm\zeta');
title ('\fontsize14\tau_\eta_\eta nos Nos dos Elementos') % Português
%title ('\fontsize14\tau_\eta_\eta at the Elements Nodes' ) % English
%title ('\fontsize14\tau_\eta_\eta aux Noeuds des Elements') % Français
%pause;
figure(22)
hold on
axis image
surf(X,Z,rts*S12')
%contour3(Xbar,Zbar,rts*Sb12',60)
set(gca,'YDir','reverse');
rotate3d
%axis square
shading interp
grid on;
xlabel('\fontsize12\rm\xi');
ylabel('\fontsize12\rm\zeta');
title ('\fontsize14\tau_\xi_\eta nos Nos dos Elementos') % Português
%title ('\fontsize14\tau_\xi_\eta at the Elements Nodes' ) % English
%title ('\fontsize14\tau_\xi_\eta aux Noeuds des Elements') % Français
%pause;
figure(23)
hold on
axis image
surf(X,Z,rts*S23')
%contour3(Xbar,Zbar,rts*Sb23',60)
set(gca,'YDir','reverse');
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 159
rotate3d
%axis square
shading interp
grid on;
xlabel('\fontsize12\rm\xi');
ylabel('\fontsize12\rm\zeta');
title ('\fontsize14\tau_\zeta_\eta nos Nos dos Elementos') % Português
%title ('\fontsize14\tau_\zeta_\eta at the Elements Nodes' ) % English
%title ('\fontsize14\tau_\zeta_\eta aux Noeuds des Elements') % Français
%pause;
%s11 = 1000*s11;
%s12 = 1000*s12;
%s13 = 1000*s13;
%s22 = 1000*s22;
%s23 = 1000*s23;
%s33 = 1000*s33;
function [Si12,Si22,Si23] = Gstrs(X,Z,Xi,Zi,S12,S22,S23,meth)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
% Function GSTRS(X,Z,S12,S22,S23,meth) interpolates the stress distributions
% S12, S22 and S23, defined at each coordinate pair (X,Z), over the X-Z (Y = 0)
% plane (xi,zeta,0), such that result shows the interpolated values at
% each coordinate pair (Xi,Zi), which are the interpolation points.
%
%
% Input variables are:
%
% (X,Z) - coordinates where stresses are calculated analitically;
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ANEXO 160
% (Xi,Zi) - coordinates of points where stresses are interpolated;
% S12,S22,S23 - stresses at (X,Z);
% meth - method for interpolation:
% = 'linear' for linear interpolation (default);
% = 'nearest' for nearest neighbor interpolation;
% = 'cubic' for bicubic interpolation;
% = 'v4' for bicubic spline interpolation.
icount = 0;
while (icount == 0);
switch(meth)
case 'linear'
Si12 = griddata(X,Z,S12',Xi',Zi');
Si22 = griddata(X,Z,S22',Xi',Zi');
Si23 = griddata(X,Z,S23',Xi',Zi');
icount = 1;
case 'nearest'
Si12 = griddata(X,Z,S12',Xi',Zi','nearest');
Si22 = griddata(X,Z,S22',Xi',Zi','nearest');
Si23 = griddata(X,Z,S23',Xi',Zi','nearest');
icount = 1;
case 'v4'
Si12 = griddata(X,Z,S12',Xi',Zi','v4');
Si22 = griddata(X,Z,S22',Xi',Zi','v4');
Si23 = griddata(X,Z,S23',Xi',Zi','v4');
icount = 1;
case 'cubic'
Si12 = griddata(X,Z,S12',Xi',Zi','cubic');
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ANEXO 161
Si22 = griddata(X,Z,S22',Xi',Zi','cubic');
Si23 = griddata(X,Z,S23',Xi',Zi','cubic');
icount = 1;
end;
end;
sstp = 1;
%
function [KII,KI,KIII,Zsta,Zred,KIzer] = Kinteg(Xbar,Zbar,Sb12,Sb22,Sb23,...
elsurf,p,lamb,rhop,b,mu,nu)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
% Function KINTEG(XBAR,ZBAR,SB12,SB22,SB23,dPb,dQb,dRb,rhop,b,mu,nu) calculates
% the distribution of KI, KII and KIII along z-coordinate direction by using
% stresses in [s12,s22,s23].
%
% Input variables are:
%
% (Xbar,0,Zbar) - coordinates (cleavage plan) of elements' baricenter;
% [Sb12,Sb11,Sb23] - stresses at the elements' baricenter in the cleavage
% plan coordinate system (= [Sxx Sxy Syz]);
% elsurf - vector of the area of each element;
% p, lamb - parameters;
% rhop - loop radius;
% b - Burgers' vector;
% mu - shear modulus;
% nu - Poisson's coefficient.
%
% Output variables are the stress intensity factors KI, KII and KIII, as well
% as the graphics of Syy, Sxy and Syz at the baricenter of each element.
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ANEXO 162
%
%
% Function KINTEG calculates SIF by summation rather performing a formal
% integration.
% Over the crack plane, stress component distributions are assumed as a linear
% variations of the exact values calculated at each node of the mesh elements.
% Over each element, stresses are assumed as constants and acting on their
% baricenters. Their values are the arithmetic averages calculated using the
% exact values at the four nodes of each element.
%
% Points along z-axis for which SIF are to be calculated are assumed to be
% coincident with the elements' z-coordinate baricenter, Zbar. Elements in the
% mesh are considered as regular quadrilaterals.
%
% Intermediate variables are as follows:
%
% .For an element e, delimited by nodes I,J,K,L and sides IJ,JK,KL,LI:
%
% - Baricenter coordinates:
%
% Xbar = (1/4) * (xI + xJ + xK + xL)
%
% Zbar = (1/4) * (zI + zJ + zK + zL)
%
% - Stresses (Syy,Sxy,Syz) at the baricenter:
%
% sige = (1/4)* (sigI + sigJ + sigK + sigL)
%
% with sig = [Syy Sxy Syz]
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ANEXO 163
%
%
%
% For each station N(0,0,zzer), integration is assumed as a summation over the
% entire crack surface, which is semi-infinite in x-direction (-Inf < x < 0)
% and infinite in z-direction (-Inf < z < +Inf), as follows:
%
%
% | K II |
% | | e=E
% SIF = | K I | = sp2 * sum A(e) * m * F(e) * sig(e) ,
% | | e=1 ~ ~ ~
% | K III |
%
% where
%
% sp2 = sqrt(2 * N)/pi² ,
%
% | 1 0 0 f 0 |
% m = | 0 1 0 0 0 | ,
% ~ | 0 0 1 0 f |
%
%
% f = 2 * nu / (2 - nu) ,
%
%
% | F1 0 0 |
% | 0 F1 0 | 1
% F = | 0 0 F1 | = - * [ F(Zzer) + F(ZZer-1) ]
% ~ | F2 0 F3 | 2 ~ ~
% | F2 0 -F2 |
%
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ANEXO 164
%
% F1 = sqrt(Xbar) / [Xbar² + (Zzer - Zbar)²] ,
%
%
% F2 = sqrt(Xbar) * [Xbar² - (Zzer - Zbar)²] / [Xbar² + (Zzer - Zbar)²]² ,
%
%
% F3 = 2 * (Zzer-Zbar) * sqrt(Zbar³) / [Xbar² + (Zzer - Zbar)²]² ,
%
%
% sig(e) = [ Sxybar(e) Syybar(e) Syzbar(e) ]' .
% ~
%
%
% Note: Since Xbar is always negative (-Inf < Xbar < 0), its value has been
% assumed as
%
%
% Xbar = abs(Xbar)
%
% for calculating its square root.
%
%
%
% Basic parameters for calculations
% Number of coordinates
Ae = elsurf;
plen = length(p);
llen = length(lamb);
%si_x = max(size(Xbar));
%si_z = min(size(Zbar));
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ANEXO 165
% Calculate stress vector components at each baricenter
for ip=1:1:plen-1
for il=1:1:llen-1
Se = Ae((il-1)*(plen-1)+ip);
dPb(ip,il) = Sb22(ip,il) * Se;
dQb(ip,il) = Sb12(ip,il) * Se;
dRb(ip,il) = Sb23(ip,il) * Se;
end;
end;
%% Draw forces
%figure(31)
%hold on
%axis image
%surf(X,Z,rts*dP')
%%contour3(Xbar,Zbar,rts*dP',60)
%set(gca,'YDir','reverse');
%rotate3d
%%axis square
%shading interp
%grid on;
%xlabel('\fontsize12\rm\xi');
%ylabel('\fontsize12\rm\zeta');
%title ('\fontsize14Forca dP nos Nos dos Elementos') % Português
%%title ('\fontsize14Force dP at the Elements Nodes' ) % English
%%title ('\fontsize14Force dP aux Noeuds des Elements') % Français
%%pause;
%figure(32)
%hold on
%axis image
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 166
%surf(X,Z,rts*dQ')
%%contour3(Xbar,Zbar,rts*dQ',60)
%set(gca,'YDir','reverse');
%rotate3d
%%axis square
%shading interp
%grid on;
%xlabel('\fontsize12\rm\xi');
%ylabel('\fontsize12\rm\zeta');
%title ('\fontsize14Forca dQ nos Nos dos Elementos') % Português
%%title ('\fontsize14Force dQ at the Elements Nodes' ) % English
%%title ('\fontsize14Force dQ aux Noeuds des Elements') % Français
%%pause;
%figure(33)
%hold on
%axis image
%surf(X,Z,rts*dR')
%%contour3(Xbar,Zbar,rts*dR',60)
%set(gca,'YDir','reverse');
%rotate3d
%%axis square
%shading interp
%grid on;
%xlabel('\fontsize12\rm\xi');
%ylabel('\fontsize12\rm\zeta');
%title ('\fontsize14Forca dR nos Nos dos Elementos') % Português
%%title ('\fontsize14Force dR at the Elements Nodes' ) % English
%%title ('\fontsize14Force dR aux Noeuds des Elements') % Français
%%pause;
a = 1;
blen = norm(b,2);
mlenb = mu * blen;
msqb = mu * sqrt(blen);
N = rhop / blen;
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ANEXO 167
sp2 = sqrt(2 * N) / (pi * pi);
f = 2 * nu / (2 - nu);
m = [ 1 0 0 f 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 f ];
% Calculates KI, KII and KIII as vectors to be plotted
% Find Zmin and Zmax
ndiv = 5.000e002; % This section establishes the number of
% stations where SIF's are to be
% calculated; the domain of integration
Zmax = max( max(Zbar) );
Zmin = min( min(Zbar) );
Zinc = abs(Zmax-Zmin)/ndiv; % points along Zeta-dir is given by
Zsta = Zmin:abs(Zmax-Zmin)/ndiv:Zmax; % [Zmin = - 10 < zeta < Zmax = + 10];
Zsta = fliplr(Zsta); % Zsta is the vector of stations along
% zeta where SIF's are calculated.
%
Zround = adround(Zsta,Zinc); % Round-off of Zo values to obtain
Zsta = Zround; % exact increments in Z-dir.
nz = length(Zsta);
% Establish coordinates of points along Z-dir where SIF's will be calculated
dK = [];
% Loop over points on z-axis
for iK=1:1:nz
Zzer = Zsta(iK); % Z-coord of Station iK
elpl_K = zeros(3,1);
% Loop over p
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 168
for jK=1:1:plen-1
S1 = [ Sb12(jK,:)
Sb22(jK,:)
Sb23(jK,:) ];
ell_K = zeros(3,1);
% Loop over lambda
for kK=1:1:llen-1
Se = Ae((kK-1)*(plen-1)+jK);
xb2 = Xbar(kK,jK)^2;
sqxb3 = sqrt(abs(Xbar(kK,jK))*xb2);
sqxb = sqrt(abs(Xbar(kK,jK)));
% zdif = abs(Zzer - Zbar(kK,jK));
zdif = (Zzer - Zbar(kK,jK));
zdif2 = zdif * zdif;
u = xb2 + zdif2;
u2 = u * u;
v = xb2 - zdif2;
F1 = sqxb / u ;
F2 = sqxb * v / u2 ;
F3 = 2 * zdif * sqxb3 / u2 ;
F = [ F1 0 0
0 F1 0
0 0 F1
F2 0 F3
F2 0 -F2 ];
ell_K = ell_K + Se * m * F * S1(:,kK);
%
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ANEXO 169
end;
elpl_K = elpl_K + ell_K;
end;
dK = [ dK elpl_K ];
if iK == nz
stp = 1;
end;
end;
KIzer = 0.;
for iK=1:1:nz
% Zzer = Zsta(iK); % Z-coord of Station iK
% Zzerl1 = Zsta(iK-1); % Z-coord of Station iK-1
% Zzerd = abs(Zzer - Zzerl1); % Integration step
% dKmed = (1/2) * (dK(:,iK) + dK(:,iK-1));
% SIF = SIF + Zzerd * dKmed;
KII(iK) = dK(1,iK) * sp2; % Reduced values of
KI(iK) = dK(2,iK) * sp2; % the stress intensity
KIII(iK) = dK(3,iK) * sp2; % factors
%
% Choose KI max
%
if (iK > 1)
if(abs(KI(iK)) > abs(KIzer))
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 170
KIzer = KI(iK);
end;
end;
end;
%sqsqN = N^(.25);
sqsqN = 1.;
Zred = Zsta * sqsqN; % Reduced z-coordinates
figure(6)
%hold on
plot(Zred,KI,'r',Zred,KII,'b-.',Zred,KIII,'m:')
grid on
set(gca,'XDir','reverse')
title('\fontsize14\bfFatores de Intensidade de Tensão'); % Português
%title('\fontsize14\bfStress Intensity Factors'); % English
%title('\fontsize14\bfFacteurs d''Intensité de Contraintes'); % Français
xlabel('\fontsize12\rm\zeta_o');
%xlabel('\fontsize12\rmz_o\fontsize12(\rho''/b)^1/4 ');
ylabel('\fontsize12\rmK _I , K _II , K _III / \mu b^1/2');
legend(' \fontsize12\rm K _I / \mu b^1^/^2 ' ,...
' \fontsize12\rm K _II / \mu b^1^/^2 ' ,...
' \fontsize12\rm K _III/ \mu b^1^/^2 ')
stp = 1;
% END OF KINTEG
function [image_force] = imagf(kII,kI,kIII,mu,nu,Xbar,Zbar,Zsta,Zred)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 171
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
% Function IMAGF(kII,kI,kIII, mu,nu,Xbar,Zbar,Zsta,Zred) calculates and plots
% the reduced image force acting on the emmission point based on the stress
% intensity factors.
%
%
% Input variables are:
%
%
% kI - vector of KI /[mu * sqrt(b)] distribuition along Zsta;
% kII - vector of KII /[mu * sqrt(b)] distribuition along Zsta;
% kIII - vector of KIII/[mu * sqrt(b)] distribuition along Zsta;
% mu - shear's modulus;
% nu - Poisson's coefficient;
% Xbar -
% Zbar -
% Zsta - adimensional coordinates along zeta-dir.
%
%
% Output variables is the image force acting on the emission point
% image_force.
%
% Image force is obtained by expression:
%
% image_force / mu * b = (kI^2/hI) + (kII^2/hII) + (kIII^2/hIII)
%
% where hI, hII & hIII are constants HI, HII & HIII normalized by mu.
%
%
% Image force must be computed for each and every point along Z-dir., hence
% a loop must be carried on.
%
%
%
% Calculate hI, hII, & hIII constants:
%
% - for plane strain:
%
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ANEXO 172
% HI = HII = 2 * (1 + nu) * mu => hI = hII = 2 * (1 + nu);
%
% and
%
% HIII = 2 * (1 - nu^2) * mu => hIII = hI * (1 - nu);
%
hI = 2 * (1 + nu);
hII = hI ;
hIII = hI * (1 - nu);
state = 'Estado plano de deformacao'; % Português
%state = 'Plane strain' ; % English
%state = 'Deformations planes' ; % Français
%
% - for plane stress:
%
% HI = HII = 2 * mu / (1 - nu) => hI = 2 / (1 - nu);
%
% and
%
% HIII = 2 * mu => hIII = 2.
%
%hIII = 2 ;
%hI = hIII / (1 - nu);
%hII = hI ;
%state = 'Estado plano de tensoes'; % Português
%%state = 'Plane stress' ; % English
%%state = 'Contraintes planes' ; % Français
% Find squares of SIF's:
nz = length(Zsta);
kI2 = kI.^2;
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ANEXO 173
kII2 = kII.^2;
kIII2 = kIII.^2;
image_force = [];
for iK = 1:1:nz
i_f(iK) = kI2(iK) / hI + kII2(iK) / hII + kIII2(iK) / hIII;
end;
image_force = i_f;
figure (30)
plot(Zred,image_force)
grid on
set(gca,'XDir','reverse')
title('\fontsize14\bfForça Imagem Reduzida'); % Português
%title('\fontsize14\bf Reduced Image Force'); % English
%title('\fontsize14\bf Force Image Réduite'); % Français
xlabel('\fontsize12\rm\zeta_o');
%xlabel('\fontsize12\rmz_o\fontsize14(\rho''/b)^1/4 ');
ylabel('\fontsize12\rmf / \mu b')
%legend(' \fontsize12\rm K _I / \mu b^1^/^2 ' ,...
% ' \fontsize12\rm K _II / \mu b^1^/^2 ' ,...
% ' \fontsize12\rm K _III/ \mu b^1^/^2 ')
% END OF IMAGF
function [d,Xn,Zn,Xd,Zd,Xbp,Zbp,A] = displace(b,d,XN,ZN,l_vecX,l_vecZ,B1,...
p,lambda,rhop,ni)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 174
% Function DISPLACE(B,D,XN,ZN,L_VECX,L_VECZ,B1,P,LAMBDA,RHOP,NI) calculates the
% distance achieved by the dislocation loop relative to its last position. It
% also calculates the baricenter coordinates for the elements ahead of the
% crack's edge.
%
%
%
% Input variables are:
%
%
% b - Burgers' vector;
% d = dislocation loop position relative to point of emission, E;
% XN - adimensional coordinates of contour points in csi-direction;
% ZN - adimensional coordinates of contour points in zeta-direction;
% l_vecX -
% l_vecZ -
% B1 - transformation matrix between slip plane coordinates and crack
% propagation coordinates;
% p - vector p;
% lambda - vector lambda;
% rhop - loop radius;
% ni - power for iteration.
%
%
% area of loop influence to be
% omitted from calculations
% at each step
% |
% \|/
% | + | x
% B'o---------.A"\|A' /
% | | | \ | /
% | x | .\ \| / <-loop
% B o-------------|A / - -- -- --- --| \ | / path
% | | / | | .\ \| /
% | | / <-loop | | | \ |/ X
% | | / path -------+---------.---o-------
% | | / | | |d /|E' dx
% | |/ X | | . / |
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 175
% -----+-------------o------- -- -+- -|- -- -- -+- -+- -- --
% | |E | | | dy|
% | | . | .\ \|
% | | | C'o---------+D"-|D'
% | | . . |
% | | | | |
% C o-------------|D - -- -- -- --. |
% |Z | |Z
%
% Initial position Displaced position
%
%
%
% Distance d is measured in the x-direction (intersection od sli plane and
% crack propagation plane. Its length is the Burgers vector length.
%
%
%
%
%
plen = length(p) ;
llen = length(lambda);
len_b = norm(b,2) ;
l_Xl0 = l_vecX(1);
l_XPi_2 = l_vecX(2);
l_Zl0 = l_vecZ(1);
l_ZPi_2 = l_vecZ(2);
l_vecX = [ l_XPi_2
l_Xl0 ];
l_vecZ = [ l_ZPi_2
l_Zl0 ];
if (ni >= 2)
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 176
XN = -XN;
end;
XPi_2 = XN (1:l_XPi_2);
Xl0 = XN((l_XPi_2 + 1):(l_XPi_2 + l_Xl0));
ZPi_2 = ZN (1:l_ZPi_2);
Zl0 = ZN((l_ZPi_2 + 1):(l_ZPi_2 + l_Zl0));
Xbp = [];
Zbp = [];
Zap = [];
Zrp = [];
dx = d(1);
dy = d(2);
dz = d(3);
% Make displacement equal to length of Burgers' vector
ndx = B1(1,1) * (len_b * (2 ^ (ni - 1)) / rhop) ;
ndz = B1(1,3) * (len_b * (2 ^ (ni - 1)) / rhop) ;
nd = [ ndx 0 ndz ];
d = [ dx + ndx 0 dz + ndz ];
% Coordinates of contour points shifted from their original place
csiCp = XN + ndx * ones( size(XN) );
zetaCp = ZN + ndz * ones( size(ZN) );
XPi_2p = csiCp(1:l_XPi_2);
Xl0p = csiCp((l_XPi_2 + 1):(l_XPi_2 + l_Xl0));
ZPi_2p = zetaCp(1:l_ZPi_2);
Zl0p = zetaCp((l_ZPi_2 + 1):(l_ZPi_2 + l_Zl0));
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ANEXO 177
figure(7)
set(gca,'YDir','reverse')
axis equal
grid on
hold on
plot (XPi_2p,ZPi_2p,'rx')
plot (Xl0p ,Zl0p ,'bx')
% Determine mesh to be subtracted from original area
% i. Get Z extrema
% zeta_min = min(ZPi_2);
% zeta_max = max(Zl0) ;
% zetap_min = min(ZPi_2p);
% zetap_max = max(Zl0p) ;
% zeta_MIN = .5 * (zeta_min + zetap_min);
% zeta_MAX = .5 * (zeta_max + zetap_max);
% ZPi_2p(1) = zeta_MIN;
% Zl0p(l_ZPi_2 + l_ZRpa + l_Zl0) = zeta_MAX;
% ii. Find coordinates of vertices of the subtracted elements, their
% baricenters and element areas:
Xp = [ -XPi_2p
- Xl0p ];
Xpp = [ -XPi_2
- Xl0 ];
Zp = [ ZPi_2
Zl0 ];
Zpp = Zp ;
stp = 1;
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ANEXO 178
Xn = Xp;
Zn = Zp;
Xd = -XN;
Zd = ZN;
for iB = 1:1:(length(Xp)-1)
Xbp(iB) = .25 * (Xn(iB) + Xd(iB) + Xn(iB+1) + Xd(iB+1));
Zbp(iB) = .25 * (Zn(iB) + Zd(iB) + Zn(iB+1) + Zd(iB+1));
A(iB) = abs(Xn(iB) - Xd(iB)) * abs(Zn(iB+1) - Zn(iB));
end;
figure(80)
set(gca,'YDir','reverse')
axis equal
grid on
hold on
plot(Xn,Zn,'rx')
plot(Xd,Zd,'b+')
plot(Xbp,Zbp,'ko')
% END OF DISPLACE
function [KII,KI,KIII] = neg_Kinteg(Xbar,Zbar,Sb12,Sb22,Sb23,KII,KI,KIII,...
Zsta,elsurf,p,lamb,rhop,b,d,mu,nu)
% 1 2 3 4 5 6 7 8
%2345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
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ANEXO 179
% Function NEG_KINTEG(XBAR,ZBAR,SB12,SB22,SB23,dPb,dQb,dRb,rhop,b,mu,nu) cal-
% culates the distribution of KI, KII and KIII along z-coordinate direction by
% using stresses in [s12,s22,s23] and due to the negative area where these
% stress actuate.
%
% Input variables are:
%
% (Xbar,0,Zbar) - coordinates (cleavage plan) of elements' baricenter;
% [Sb12,Sb11,Sb23] - stresses at the elements' baricenter in the cleavage
% plan coordinate system (= [Sxx Sxy Syz]);
% elsurf - vector of the area of each element;
% p, lamb - parameters;
% rhop - loop radius;
% b - Burgers' vector;
% d - loop displacement;
% mu - shear modulus;
% nu - Poisson's coefficient.
%
% Output variables are the stress intensity factors KI, KII and KIII, as well
% as the graphics of Syy, Sxy and Syz at the baricenter of each element.
%
%
% Function KINTEG calculates SIF by summation rather performing a formal
% integration.
% Over the crack plane, stress component distributions are assumed as a linear
% variations of the exact values calculated at each node of the mesh elements.
% Over each element, stresses are assumed as constants and acting on their
% baricenters. Their values are the arithmetic averages calculated using the
% exact values at the four nodes of each element.
%
% Points along z-axis for which SIF are to be calculated are assumed to be
% coincident with the elements' z-coordinate baricenter, Zbar. Elements in the
% mesh are considered as regular quadrilaterals.
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ANEXO 180
%
% Intermediate variables are as follows:
%
% .For an element e, delimited by nodes I,J,K,L and sides IJ,JK,KL,LI:
%
% - Baricenter coordinates:
%
% Xbar = (1/4) * (xI + xJ + xK + xL)
%
% Zbar = (1/4) * (zI + zJ + zK + zL)
%
% - Stresses (Syy,Sxy,Syz) at the baricenter:
%
% sige = (1/4)* (sigI + sigJ + sigK + sigL)
%
% with sig = [Syy Sxy Syz]
%
%
%
% For each station N(0,0,zzer), integration is assumed as a summation over the
% entire crack surface, which is semi-infinite in x-direction (-Inf < x < 0)
% and infinite in z-direction (-Inf < z < +Inf), as follows:
%
%
% | K II |
% | | e=E
% SIF = | K I | = sp2 * sum A(e) * m * F(e) * sig(e) ,
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 181
% | | e=1 ~ ~ ~
% | K III |
%
% where
%
% sp2 = sqrt(2 * N)/pi² ,
%
% | 1 0 0 f 0 |
% m = | 0 1 0 0 0 | ,
% ~ | 0 0 1 0 f |
%
%
% f = 2 * nu / (2 - nu) ,
%
%
% | F1 0 0 |
% | 0 F1 0 | 1
% F = | 0 0 F1 | = - * [ F(Zzer) + F(ZZer-1) ]
% ~ | F2 0 F3 | 2 ~ ~
% | F2 0 -F2 |
%
%
% F1 = sqrt(Xbar) / [Xbar² + (Zzer - Zbar)²] ,
%
%
% F2 = sqrt(Xbar) * [Xbar² - (Zzer - Zbar)²] / [Xbar² + (Zzer - Zbar)²]² ,
%
%
% F3 = 2 * (Zzer-Zbar) * sqrt(Zbar³) / [Xbar² + (Zzer - Zbar)²]² ,
%
%
% sig(e) = [ Sxybar(e) Syybar(e) Syzbar(e) ]' .
% ~
%
%
% Note: Since Xbar is always negative (-Inf < Xbar < 0), its value has been
% assumed as
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 182
%
%
% Xbar = abs(Xbar)
%
% for calculating its square root.
%
%
%
% Basic parameters for calculations
% Number of coordinates
Ae = elsurf;
plen = length(p);
%llen = length(lamb);
lelem = length(Ae);
dz = d(3);
% Calculate stress vector components at each baricenter
for iE = 1:1:lelem
% for il=1:1:llen-1
Se = Ae(iE);
dPb(iE) = Sb22(iE) * Se;
dQb(iE) = Sb12(iE) * Se;
dRb(iE) = Sb23(iE) * Se;
% end;
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 183
end;
%% Draw forces
%figure(31)
%hold on
%axis image
%surf(X,Z,rts*dP')
%%contour3(Xbar,Zbar,rts*dP',60)
%set(gca,'YDir','reverse');
%rotate3d
%%axis square
%shading interp
%grid on;
%xlabel('\fontsize12\rm\xi');
%ylabel('\fontsize12\rm\zeta');
%title ('\fontsize14Forca dP nos Nos dos Elementos') % Português
%%title ('\fontsize14Force dP at the Elements Nodes' ) % English
%%title ('\fontsize14Force dP aux Noeuds des Elements') % Français
%%pause;
%figure(32)
%hold on
%axis image
%surf(X,Z,rts*dQ')
%%contour3(Xbar,Zbar,rts*dQ',60)
%set(gca,'YDir','reverse');
%rotate3d
%%axis square
%shading interp
%grid on;
%xlabel('\fontsize12\rm\xi');
%ylabel('\fontsize12\rm\zeta');
%title ('\fontsize14Forca dQ nos Nos dos Elementos') % Português
%%title ('\fontsize14Force dQ at the Elements Nodes' ) % English
%%title ('\fontsize14Force dQ aux Noeuds des Elements') % Français
%%pause;
%figure(33)
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 184
%hold on
%axis image
%surf(X,Z,rts*dR')
%%contour3(Xbar,Zbar,rts*dR',60)
%set(gca,'YDir','reverse');
%rotate3d
%%axis square
%shading interp
%grid on;
%xlabel('\fontsize12\rm\xi');
%ylabel('\fontsize12\rm\zeta');
%title ('\fontsize14Forca dR nos Nos dos Elementos') % Português
%%title ('\fontsize14Force dR at the Elements Nodes' ) % English
%%title ('\fontsize14Force dR aux Noeuds des Elements') % Français
%%pause;
a = 1;
blen = norm(b,2);
mlenb = mu * blen;
msqb = mu * sqrt(blen);
N = rhop / blen;
sp2 = sqrt(2 * N) / (pi * pi);
f = 2 * nu / (2 - nu);
m = [ 1 0 0 f 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 f ];
% Calculates KI, KII and KIII as vectors to be plotted
% Find Zmin and Zmax
ndiv = 5.000e002; % This section establishes the number of
% stations where SIF's are to be
% calculated; the domain of integration
%Zmax = max( max(Zbar) );
%Zmin = min( min(Zbar) );
%Zinc = abs(Zmax-Zmin)/ndiv; % points along Zeta-dir is given by
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ANEXO 185
%Zsta = Zmin:abs(Zmax-Zmin)/ndiv:Zmax; % [Zmin = - 10 < zeta < Zmax = + 10];
%Zsta = fliplr(Zsta); % Zsta is the vector of stations along
% zeta where SIF's are calculated.
%
%Zround = adround(Zsta,Zinc); % Round-off of Zo values to obtain
%Zsta = Zround; % exact increments in Z-dir.
nz = length(Zsta);
% Establish coordinates of points along Z-dir where SIF's will be calculated
dK = [];
% Loop over points on z-axis
for iK=1:1:nz
Zzer = Zsta(iK) + dz; % Z-coord of Station iK
elpl_K = zeros(3,1);
% Loop over p
for jE = 1:1:lelem
S1 = [ Sb12(jE)
Sb22(jE)
Sb23(jE) ];
ell_K = zeros(3,1);
% Loop over lambda
% for kK=1:1:llen-1
Se = Ae(jE);
xb2 = Xbar(jE)^2;
sqxb3 = sqrt(abs(Xbar(jE))*xb2);
sqxb = sqrt(abs(Xbar(jE)));
% zdif = abs(Zzer - Zbar(kK,jK));
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ANEXO 186
zdif = (Zzer - Zbar(jE));
zdif2 = zdif * zdif;
u = xb2 + zdif2;
u2 = u * u;
v = xb2 - zdif2;
F1 = sqxb / u ;
F2 = sqxb * v / u2 ;
F3 = 2 * zdif * sqxb3 / u2 ;
F = [ F1 0 0
0 F1 0
0 0 F1
F2 0 F3
F2 0 -F2 ];
ell_K = ell_K + (Se * m * F * S1);
%
% end;
end;
dK = [ dK ell_K ];
if iK == nz
stp = 1;
end;
end;
KIzer = 0.;
for iK=1:1:nz
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO 187
% Zzer = Zsta(iK); % Z-coord of Station iK
% Zzerl1 = Zsta(iK-1); % Z-coord of Station iK-1
% Zzerd = abs(Zzer - Zzerl1); % Integration step
% dKmed = (1/2) * (dK(:,iK) + dK(:,iK-1));
% SIF = SIF + Zzerd * dKmed;
KII(iK) = KII(iK) - dK(1,iK) * sp2; % Reduced values of
KI(iK) = KI(iK) - dK(2,iK) * sp2; % the stress intensity
KIII(iK) = KIII(iK) - dK(3,iK) * sp2; % factors
%
% Choose KI max
%
if (iK > 1)
if(abs(KI(iK)) > abs(KIzer))
KIzer = KI(iK);
end;
end;
end;
%sqsqN = N^(.25);
sqsqN = 1.;
Zred = Zsta * sqsqN; % Reduced z-coordinates
figure(6)
hold on
plot(Zred,KI,'r',Zred,KII,'b-.',Zred,KIII,'m:')
%grid on
%set(gca,'XDir','reverse')
%title('\fontsize14\bfFatores de Intensidade de Tensão'); % Português
%%title('\fontsize14\bfStress Intensity Factors'); % English
%%title('\fontsize14\bfFacteurs d''Intensité de Contraintes'); % Français
%xlabel('\fontsize12\rm\zeta_o');
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
ANEXO
INFLUÊNCIA DA VIZINHANÇA DE UMA TRINCA SOBRE A ENERGIA ELÁSTICA DE UMA DISCORDÂNCIA EM ANEL ANGELO GIL P. RANGEL DEMET / UFMG
188
%%xlabel('\fontsize12\rmz_o\fontsize12(\rho''/b)^1/4 ');
%ylabel('\fontsize12\rmK _I , K _II , K _III / \mu b^1/2');
%legend(' \fontsize12\rm K _I / \mu b^1^/^2 ' ,...
% ' \fontsize12\rm K _II / \mu b^1^/^2 ' ,...
% ' \fontsize12\rm K _III/ \mu b^1^/^2 ')
stp = 1;
% END OF NEG_KINTEG
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