INTEGRAL LIPAT
Integral BerulangKita dapat menginterprestasikan integral lipat dua
sebagai volume V dari benda padat dibawah permukaan (persegi panjang).
Cara lain:mengiris benda padat tersebut menjadi lempengan-
lempengan tipis sejajar dengan bidang xz.
R
dAyxfV ,
Sesuai dengan gambar di bawah ini maka:
Luas muka lempengan ini bergantung seberapa jauh lempengan tersebut dari bidang xz yaitu bergantung dari y , luas A (y) dimana:
b
a
dxyxfyA ,
Volume Δ V dari lempengan tersebut dapat dihampiri dengan
maka:
Cat: Apabila kita memulai proses diatas dengan mengiris benda padat tersebut dengan menggunakan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang yz (urutan yang berlawanan)
yyAV
d
c
d
c
b
a
dxdyyxfVdyyAV ,
R
d
c
b
a
dxdyyxfdAyxfV ,,
Maka persamaannya:
Contoh:1. Hitunglah
Peny:
R
b
a
d
c
dydxyxfdAyxfV ,,
3
0
2
1
32 dxdyyx
3
0
3
0
21
2 333 dyydyyxx
2/45233
3
0
2
yy
Hasil yang sama apabila kita tukarkan:
2. Tentukan Volume suatu benda padat dibawah permukaan dan diatas persegi panjang
2
1
3
0
2
1
3
0
2
23232 dxyxydydxyx
2
1
2
1
2
227
26
2276 xxdxx
2/45
yxz 24
20;10;, yxyxR
Bentuk grafiknya:
Integral Lipat dua atas daerah bukan persegi panjang Untuk menyelesaikan batas-batas
yang melengkung kita menggunakan himpunan sederhana x dan himpun- an sederhana y.
R
dxdyyxdAyxV2
0
1
0
22 44
3162
328
Grafik himpunan sederhana x dan himpunan y :
Himp. Sederhana x Himp. Sederhana y
Dimana:Himpunan sederhana x :Himpunan sederhana y:
0 a b
s
xy 2
xy 1
0
d
cs
yx 1 yx 2
dycyxyyxS ;;, 21 bxaxyxyxS ;;, 21
Kita melingkupi S di dalam sebuah persegipanjang R dan membuat di luar S. Maka untuk himpunan sederhana x :
Untuk himpunan sederhana y adalah:
0, yxf
s
d
c
dxdyyxfdAyxfV2
1
,,
s
b
a
dydxyxfdAyxfV2
1
,,
Contoh soal:1. Hitunglah integral berulang
Peny:1
0 0
2
2y
xdxdyye
1
00
1
0 0
22
22 dyyedxdyyeyx
yx
1
0
1
0
1
0
0 22222
ydydyyedyeey yy
1
0
1
0
10
2102 yeydydue uu
211 ee
2. Gunakan integral lipat dua untuk menetukan volume dari tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang Peny:Perpotongan sumbu x x=4Perpotongan sumbu y y= 2Perpotongan sumbu z z=3
Daerah segitiga bidang xy membentuk alas tetrahedron di lambangkan dengan S. Kita akan mencari volume dibawah permu-kaan :
012463 zyx
3
2
4
S
Dari pers:
dan diatas daerah S
Memotong bidang xy pada :
S dapat dipandang sebagai :Himpunan sederhana x :Himpunan sederhana y :
012463 zyxyxz 63124
yxz 2443
2231261263 xyxyyx
yxyx 246123
20;240;, yyxyxS
2
20;40;, xyyyxS
Jadi Volume dari benda padat adalah:
4
0
22
0
2443
x
dydxyxV
4
0
4
0
222
02 816
1634
43 dxxxdxyxyy
x
4
0
32
31416
163
xxx
43444
163 3
33
V
Integral Lipat Dua dalam Koordinat KutubKurva-kurva tertentu pada suatu bidang seperti lingkaran, kardioid, dan mawar lebih mudah dihitung dengan menggunakan koordinat kutub.
Maka volume V benda padat di bawah permukaan ini dandi atas
Rdinyatakan:
Dalam koordinat kutub, persegi panjang kutub R
R
dAyxfV ,
;;, brarR
dimana a ≥ 0 dan β – α ≤ 2π
Maka volume V dalam koordinat kutub:
sin,cos, rrfyxfz
,rf
R R
rdrdrrfdAyxfV sin,cos,
Contoh soal:Tentukan volume V dari benda padat diatas persegipanjang kutub:
dan dibawah permukaanPeny:Dik : maka
maka
4/0;31:, rrR22 yxez
222 ryx 2rez
V
4/
0
3
1
222
rdrdedAeV r
R
yx
4/
0
3
1
4/
0
312
121
dedude uu
Integral Kutub Himpunan Umum SUntuk integral kutub kita kenal himpunan sederhana r dan himpunan sederhana θ .
4/
0
4/0
1919
21
21
eedee
19
8ee
Maka:
Contoh soal:Hitunglah dimana S adalah daerah di kuadran pertama yang berada di luar lingkaran r = 2 serta di dalam kardioid Peny:
;:, 21 rrS
rrbrarS 21;:,
R
ydA
cos12 r
Berdasarkan gambar di bawah ini maka:S adalah himpunan sederhana r
sinry 2/0
cos122 rr
S
rdrdrydA2/
0
cos12
2
sin
2/
0
cos12
2
3
sin3
dr
2/
0
33 sin
32
3sincos12
d
2/
0
2/
0
3 sinsincos138
dd
2/
0
2/
0
3 sin38
dduu
2/
0
4 coscos141
38
322121
41
38 44
Top Related