Integral Definida
Interpretação Geométrica
Área de um figura plana
Interpretação Geométrica
Área de um figura plana
Seja f(x) contínua e não negativa em um intervalo [a,b]. Vamos calcular a área da região S.
Interpretação Geométrica
Dividimos o intervalo [a,b] em n sub-intervalos tal que a=x0<x1<x2<...<xn=b. Seja ∆xj=xj-xj-1 o comprimento do intervalo [xj-1,xj]. Seja cj∈[xj-1,xj].
Interpretação Geométrica
n=4 n=8
Interpretação Geométrica
A área de cada retângulo é: Aj=f(cj)∆xj.
A soma das áreas dos n retângulos é:
1
1
( )
n
n j
j
n
n j j
j
S A
S f c x
=
=
=
= ∆
∑
∑
Esta soma é chamada soma de Riemann da função f(x).
Interpretação Geométrica
A medida que n cresce muito e cada ∆xj, j=1,2,3,...,n
torna-se pequeno, a soma das áreas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos como a área de S.
Definição
Definição: Seja y=f(x) uma função contínua não negativa em [a,b]. A área sob a curva y=f(x), de a até b, é definida por:
max 01
lim ( )j
n
j jx
j
A f c x∆ →
=
= ∆∑
onde cj∈[xj-1,xj].
OBS: É possível mostrar que este limite existe e é um número não negativo.
Definição
max 01
( ) lim ( )j
nb
j ja x
j
f x dx f c x∆ →
=
= ∆∑∫
Definição: Seja f(x) uma função definida em um intervalo [a,b]. Suponha que este intervalo esteja dividido em n partes de largura ∆xj e seja xj-1≤cj≤xj para j=1,2,...,n. A integral definida de f em [a,b] é dada por:
se este limite existir.
Se existe, dizemos que f é integrável em [a,b].
( )b
af x dx∫
Teorema
Teorema: Se f(x) é contínua em [a,b] então ela é integrável em [a,b]
Observações
( )b
af x dx∫
1- Na notação os número a e b são chamados limites de integração (a é o limite inferior e b é o limite superior)
2- Se f(x) é contínua e não negativa em [a,b], a integral definida é a área da região sob o gráfico de f de a até b.
( )b
af x dx∫
Teorema Fundamental do Cálculo
O cálculo de uma integral definida através da sua definição pode ser complexo e inviável em algumas situações. Portanto não a utilizamos para calcular integrais, e sim um teorema que é considerado um dos mais importantes do cálculo:
Teorema: Se f(x) é uma função contínua no intervalo [a,b] e F’(x)=f(x) então:
( ) ( ) | ( ) ( )b
x b
x aa
f x dx F x F b F a=
== = −∫
Exemplos
32
1
22 3
0
1
20
1
0
1)
2) 2 1
3)1
4) x
x dx
x x dx
xdx
x
e xdx
+
+
∫
∫
∫
∫
Propriedades da Integral Definida
Seja f(x) e g(x) funções integráveis em [a,b] então:
[ ]
[ ]
[ ]
) ( ) ( ) , constante
) ( ) ( ) ( ) ( )
) ( ) ( ) ( ) ,
) ( ) 0 para todo , ( ) 0
) ( ) ( ) para todo , ( ) ( )
) ( )
b b
a a
b b b
a a a
c b b
a c a
b
a
b b
a a
a kf x dx k f x dx k
b f x g x dx f x dx g x dx
c f x dx f x dx f x dx a c b
d f x x a b f x dx
e f x g x x a b f x dx g x dx
f f x
=
± = ±
+ = < <
≥ ∈ ⇒ ≥
≥ ∈ ⇒ ≥
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫( ) ,
)Se ( ) existe entao ( ) 0
b a
a b
a
a
dx f x dx a b
g f a f x dx
= − >
=
∫ ∫
∫
Cálculo de áreas
Caso 1: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas x=a e x=b e o eixo dos x, onde f é contínua e f(x)≥0, para x∈[a,b].
( )b
aA f x dx= ∫
Cálculo de áreas
Caso 2: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico de f, pelas retas x=a e x=b e o eixo dos x, onde f é contínua e f(x)≤0, para x∈[a,b].
( ) ( )b b
a aA f x dx f x dx= = −∫ ∫
Exemplos
1) Calcule a área da região delimitada pelo eixo x e pela função f(x)=2x+1, no intervalo [1,3].
2) Calcule a área da região delimitada pelo eixo x e pela função f(x)=x²-4x, no intervalo [1,3].
3) Calcule a área da região delimitada por
f(x)=x³-2x²-5x+6 para x∈[-2,3]. E calcule 3
2( )f x dx
−∫
Cálculo de áreas
Caso 3: Área de regiões entre curvas
Cálculo da área da figura plana limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas x=a e x=b, onde f e g são funções contínuas em [a,b] e f(x)≥g(x), para x∈[a,b].
[ ]
[ ]
) ( ) 0, ( ) 0 e ( ) ( ), ,
( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a a
a f x g x f x g x x a b
A f x dx g x dx f x g x dx
≥ ≥ ≥ ∀ ∈
= − = −∫ ∫ ∫
Cálculo de áreas
[ ]
[ ]
) ( ) 0, ( ) 0 e ( ) ( ), ,
( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a a
b f x g x f x g x x a b
A f x dx g x dx f x g x dx
≥ ≤ ≥ ∀ ∈
= + − = − ∫ ∫ ∫
Cálculo de áreas
[ ]
[ ]
) ( ) 0, ( ) 0 e ( ) ( ), ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b b b
a a a a a
c f x g x f x g x x a b
A g x dx f x dx f x dx g x dx f x g x dx
≤ ≤ ≥ ∀ ∈
= − − − = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Exemplos
Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas:
1) f(x)=-x²+4x e g(x)=x²
2) y²=2x-2 e y=x-5
3) f(x)=x³ e g(x)=x
4) f(x)=senx e g(x)=cosx, 9
4 4x
π π≤ ≤
Teorema do Valor Médio para Integrais
( ) ( )( )b
af x dx f z b a= −∫
1( ) ( )
b
af z f x dx
b a=
− ∫
Teorema: Se f é uma função contínua em [a,b], então existe z∈(a,b) tal que
ou seja, existe z∈(a,b) tal que
1( )
b
aVM f x dx
b a=
− ∫
OBS: O valor médio de f em [a,b] é dado por:
Teorema do Valor Médio para Integrais
Interpretação Geométrica
Se f(x)≥0, para x∈[a,b], então a área sob o gráfico de f é igual a área do retângulo de lados b-a e f(z)
Exemplos
1) Um pesquisador estima que t horas depois da meia noite, em um período típico de 24 horas, a temperatura em certa cidade é dada por: T(t)=3-2/3(t-13)², 0≤t≤24 graus Celsius. Qual é a temperatura média na cidade entre 6 da manhã e 4 da tarde?
2) Encontre o valor médio de no intervalo [-1,8] e determine o valor de x que corresponde o valor médio de f.
( ) 3 1f x x= +
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