1
1
Integral Definida
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 2
Problemas clássicos do Cálculo
Cálculo de retas tangentes e áreas
Subdivisão
Cálculo Diferencial
Determinação de tangentes e taxas de
variação
Cálculo Integral
Determinação de áreas e volumes
Introdução
2
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 3
Cálculo Integral – Grécia Antiga
Arquimedes / Eudoxo
Método da Exaustão
Esgotar a figura por outras de áreas ou
volumes conhecidos
Egípcios
Recalculavam áreas de suas terras por conta da
variação das águas do Rio Nilo
Um pouco de história
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 4
Considere a área da região limitada pelo gráfico de uma função y=f(x), não negativa, num intervalo [a,b], o eixo OX e as retas x = a e x = b.
Calculando Áreas
3
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 5
Divisão do intervalo [a,b] em n
subintervalos
Subintervalo: [xi-1, xi]
O retângulo que se estende desde o eixo OX
até algum ponto da curva y=f(x) terá por:
Base: comprimento do subintervalo
xi = xi – xi-1
Altura: f(i), onde i [xi-1, xi]
Área aproximada
S = 𝑓(𝜀𝑖)𝑛𝑖=1 ∙ ∆𝑥𝑖
Aproximação por retângulos
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 6
Generalizar conceito
para f(x) < 0
Esses somatórios são
chamados Somas de
Riemann e existem
muitas para cada
curva variando
comprimento dos
subintervalos e o
ponto da curva f(x)
Soma de Riemann
4
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 7
A norma de uma partição 𝑃, denotada por
𝑃 , é o maior de todos os comprimentos
dos subintervalos de [a,b]. Se 𝑃 é um
número pequeno, então os subintervalos de
𝑃 são ditos estreitos.
Uma partição de subintervalos estreitos
fornece uma melhor aproximação para a
área calculada pela soma de Riemann.
Norma de uma Partição
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 8
Aumentando o número n de subintervalos
Refinando a Área
0.5 1.0
0.5
1.0
y = x^2
n = 10 n = 20
0.5 1.0
0.5
1.0
y = x^2
20 sub-intervalos
5
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 9
Refinando a Área
n = 40 n = 80
0.5 1.0
0.5
1.0
y = x^2
40 sub-intervalos
1.0
1.0
x
y
y = x^2
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 10
“O conceito de Integral Definida baseia-se na ideia de que, para certas funções,
quando a norma das partições de [a,b] tende a zero, os valores das somas de Riemann correspondentes tendem a um valor limite I.” (Thomas)
𝑃 → 0 ou, analogamente, 𝑛 → ∞ S → I
É possível mostrar que, quando a convergência é satisfeita (limite existe), I é o mesmo, independente da partição e da altura f(i).
A Integral Definida
6
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 11
Definição
Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e seja 𝑃 uma
partição qualquer de [a,b]. A integral definida de f de a
até b, denotada por 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎 é dada por:
𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎= lim
𝑃 →0 𝑓(𝜀𝑖)∆𝑥𝑖
𝑛𝑖=1
Desde que esse limite exista
Se 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎 existe, dizemos que f é integrável em
[a,b].
a e b são os limites de integração (inferior e
superior, respectivamente)
A Integral Definida
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 12
Quando cada partição tem n subintervalos iguais onde ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛, é correto afirmar
𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎= lim
𝑛→∞ 𝑓(𝜀𝑖)∆𝑥𝑛
𝑖=1
Desde que esse limite exista
A função f é chamada integrando
Teorema
Uma função contínua em [a,b] é integrável em
[a,b].
Ideia da prova: Soma Inferior < I < Soma Superior
(teorema do confronto - sanduíche)
A Integral Definida
7
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 13
Funções contínuas
Algumas funções não contínuas
Basta que seja possível aproximar a área por
retângulos estreitos
Alguns pontos de descontinuidade
Exemplo de função não integrável
Função característica dos números racionais
𝑓 𝑥 = 1, 𝑠𝑒 𝑥 é 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
0, 𝑠𝑒 𝑥 é 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
Funções Integráveis
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 14
Calcular, baseado em Somas de Riemann, os valores (aproximados) das integrais abaixo.
2𝑥𝑑𝑥4
0
𝑥2𝑑𝑥1
0
Exemplos
8
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 15
Se a = b, então 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0𝑏
𝑎
Se a > b, então 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏
𝑎− 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
Se f é uma função contínua e não negativa em [a,b], então
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏
𝑎 Área sob o gráfico de f até o eixo OX
de a até b.
Consequências Imediatas
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 16
Supondo que f e g sejam funções integráveis
𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
(𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
f(x) g(x) x [a,b] 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
Propriedades
9
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 17
Se f é integrável em [a,b], [a,c] e [c,b],
então
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏
𝑐
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
Repartir a área
Se M e m são respectivamente os valores
máximo e mínimo de f em [a,b] (mf(x)M),
então
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)𝑏
𝑎
Preparação para Valor Médio
Propriedades
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 18
Retomando: se M e m são respectivamente
os valores máximo e mínimo de f em [a,b]
(mf(x)M), então 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)𝑏
𝑎
Entre m e M, então deve haver um ‘meio
termo’ que, multiplicado por (b – a) seja
igual à integral
Área sob a curva comparada à área de um
retângulo
(b – a) é a base
M e m são alturas
Comparação de Áreas
10
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 19
Seja f contínua em [a,b], então existe
c[a,b], tal que 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐) ∙ (𝑏 − 𝑎)𝑏
𝑎
Teorema do Valor Médio
O Teorema diz que a área sob a curva é igual à área de um retângulo de base em [a,b] e altura em algum ponto de f(x) em [a,b]
Observações:
f(c) é chamado de valor médio de f em [a,b]
c pode não ser único
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 20
Calcule o valor médio das funções abaixo nos intervalos determinados
f(x) = 2x, em [0,4]
f(x) = 1 – x, em [0,1]
Exemplos
11
Prof. Gustavo Costa http://sites.google.com/site/excelenteonline 21
Cálculo – Um Novo Horizonte – H. Anton –
vol. 1
Cálculo A – Diva Fleming
Cálculo com Geo. Analítica – Swokowski –
vol. 1
Cálculo – George B. Thomas – vol. 1
História da Matemática – C. Boyer
Wikipedia (imagens)
Referências
Top Related