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ALUMNA: ROCIO DEL PILAR ROBLES CASTRO
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INFORME SOBRE
ESTRUCTURAS II
GRADOS DE HIPERESTATICIDAD
DOCENTE: ING. EDWIN RODRIGUEZ
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INFORME SOBRE ESTRUCTURAS II
I. GRADOS DE HIPERESTATICIDAD
Se define como l nmero de fuerzas generalizadas o redundantes que hacen a laestructura hiperestatica externa e internamente.
En trminos generales, el grado de hiperestaticidad se obtiene a partir de la
comparacin entre el nmero de incgnitas de una estructura y el numero de
ecuaciones de equilibrio disponibles
Estructura isosttica (numero de ecuaciones = numero de incgnitas)
Estructura hiperesttica (numero de ecuaciones < numero de incgnitas)
Estructura en mecanismo (numero de ecuaciones > numero de incgnitas)
G.H. 0 Estructura Estable
G.H. < 0 Estructura Inestable
G.H. = 0 Estructura Isosttica
G.H. > 0 Estructura Hiperesttica
Una estructura es Isosttica cuando se puede resolver con solo aplicar las ecuaciones
de equilibrio esttico
Mz
Fy
Fx
Marco Plano 2D
z,y,Mx
z,y,FxM espacio 3D
Una estructura es hiperesttica cuando se requieren ecuaciones adicionales a las
ecuaciones de equilibrio esttico para poder resolverla, estas ecuaciones deben ser de
compatibilidad.
GHG = GHI X GHE
GHE = No. Reacciones No. E. E. E.
GHI = No. Fuerzas redundantes internas No. E. E. E. Int.
GHI = Grado de Hiperestatibilidad interna
GHE = Grado de Hiperestatibilidad externa
E. E. E. = Ecuaciones de equilibrio esttico
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2
El grado de hiperestaticidad determina el volumen del esfuerzo de clculo necesario
para hallar la solucin, de all su importancia operativa en el anlisis estructural.
Al margen de estas cuestiones computacionales, se insiste que las estructuras
isostticas tienen un nico mecanismo o esquema para equilibrar las cargas, mientras
que en las hiperestticas, si falla un mecanismo, pueden en ciertas condiciones
comenzar a trabajar de una manera distinta y an equilibrar las cargas a travs de un
mecanismo alternativo. Por ejemplo, si la viga continua de dos tramos de la Figura
llega a fluencia por el momento flector sobre el apoyo central, puede desarrollar una
rtula plstica y trabajar como dos vigas simplemente apoyadas hasta que comience a
plastificarse en el interior de los tramos. Para que sea posible esta distribucin de
esfuerzos es indispensable que la viga presente capacidad de deformacin plstica sin
que pierda su capacidad portante. Esto no ocurrira para una viga de material frgil, ya
que en ese caso al llegar al mximo momento se producira una falla frgil, y el
mecanismo de redistribucin de esfuerzos no alcanzara a desarrollarse.
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3
Ejemplo:
Determinar GH de la siguiente estructura
GHE = No. Reacciones No. E. E. E.
GHE = 6 3 = 3
GHI = No. Fuerzas redundantes internas No.
E.E.E. Int.
GHI = 6 3 = 300000
Armaduras GHI = -2N + B + 3
II. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL ANALISIS
ESTRUCTURAL
Clasificacin de Fuerzas en un Cuerpo
- Fuerzas externas (cargas y reacciones).
- Fuerzas de atraccin cohesin de cuerpo.
- Fuerzas internas o mecnicas.
6 caras generan 18 esfuerzos Esfuerzos normales
- 6 normales x, y, z
- 12 cortantes
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Esfuerzos cortantes
12 caras generan 9 esfuerzos xy, xz
- 3 normales yz, yx
- 6 cortantes zx, zy
FT
zTzyTzx
TyzyTyx
TxzTxyx
Tensor de Esfuerzos
DEFORMACIONES
dx, dy, dz Deformaciones Lineales (unidades longitud)
x, y, z, Deformaciones Angulares (radianes)
zyzx
yzyx
xzxy
Deformacin angular unitaria
Por lo tanto
ETDzzyzx
yzyyx
xzxyx
SISTEMA ESTRUCTURAL O ESTRUCTURA
Conjunto de elementos finitos unidos por nodos y sujetados en sus apoyos.
A,N,EE
E = elemento
N = nodo
A = apoyo (condiciones de frontera)
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5
TIPOS DE ESTRUCTURA
Armaduras Armaduras
Espacio Marcos 2 Dimensiones Marcos
Vigas Vigas
Concreto Empotrados
Por el Material Acero Por el tipo Libres
Mampostera de Apoyo Articulados
Madera Elsticas
Toda Estructura se debe representar matemticamente para poder analizar
Problema del mal anlisis o mal diseo
- No saber cundo considerar una estructura en 2 en 3 dimensiones
- Cuando existen perfiles muy grandes no se toma en cuenta los efectos de
excentricidad.
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TIPOS DE APOYO
Rx Ry M dx dy
Empotrado0 0 0 = 0 = 0 = 0
Articulado0 0 = 0 = 0 = 0 0
Mvil= 0 0 = 0 0 = 0 0
Libre= 0 = 0 = 0 0 0 0
Elstico0 0 0 0 0 0
Apoyo.- Cualquier nodo o punto nodal con las siguientes restricciones (dx, dy, dz, z,
y, x).
III. METODOS ENERGETICOS
La relacin entre una carga aplicada a una estructura en las deformaciones resultantes
es una parte importante de la mecnica de materiales.
Un concepto de fundamental importancia en la solucin de estos problemas se basa
en el principio de la conservacin de la energa.
Energa se define como la capacidad de realizar un trabajo
W = Fd
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7
El trabajo se evala como el producto de una fuerza de la distancia recorrida en
direccin de la fuerza. La energa de deformacin se define como la energa absorbida
por la estructura durante un proceso de carga en muchos casos es llamada como
trabajo interno.
Existen muchas tcnicas que caen bajo la amplia clasificacin de mtodos energticos
entre ellos estn el trabajo real, trabajo virtual, teorema de clapeyron y teorema de
castigliano.
3.1 TRABAJO Y ENERGIA
En la siguiente figura el cuerpo se mueve del punto de posicin A1 al A2 separados a
una distancia d1, igual manera para F2 se mueve de B1 a B2 separados a una distancia
d2.
El trabajo efectuado por la fuerza f1 es F1 veces
S1, ya que la fuerza de la distancia debe tener la
misma lnea de accin. De manera similar ocurre
con F2.
Trabajo Externo = Trabajo Interno
Principio de observacin de la energa
El trabajo interno se refleja cuando aplicamos una carga a una estructura, esta cargagenera una deformacin de dicha estructura, pero si retiro la carga la estructura
regresa a su estado original (Estructura elstica), es decir el trabajo interno se ve
reflejado en la energa de deformacin y es la que esta almacenada en la estructura
adentro.
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En la figura se tiene una barra sujeta a una carga axial, al aplicar la carga
gradualmente, si la relacin carga deformacin es la que se presente en la figura B, si
en el momento que retiramos la carga esta regresa a su estado original se dice que la
estructura es de un material elstico lineal.
Cuando aplicamos la carga gradualmente, la relacin P - es la que se muestra en la
figura C y al retirar la carga esta no regresa a su estado original, la estructura se llama
elstica no linear.
Sin que importe si existen o linealidades debidas al material o la configuracin
geomtrica, consideremos siempre que el material de una estructura permanece
elstica.
Para ilustrar los conceptos de energa consideremos siempre que le material de una
estructura permanece elstico, para ilustrar los conceptos de energa consideremos la
barra de la figura anterior sometida a una carga axial B, el cual produce esfuerzo
De la grafica tenemos una relacin
Trabajo = W = Fd
Donde
W = Trabajo externoE = Deformacin unitaria Pddw
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A = Alargamiento
= Esfuerzo Integrando
dA = diferencial del alargamiento
1
Pdw
= Valor mximo de alargamientoU = Energa de deformacin
Cuando la relacin P es lineal el trabajo es2
PdW
El trabajo se puede interpretar geomtricamente por el rea bajo la curva P.
Como la barra es elstica se desprecia cualesquiera perdidas durante la carga y
descarga todo el trabajo efectuado durante la carga se almacenara en la barra en
forma de energa de deformacin unitaria, que puede recuperarse durante la descargapor lo tanto la energa de deformacin es igual al trabajo
PdWM1
0
De la relacin esfuerzo deformacin en la figura B tenemos que la energa de
deformacin unitaria, tenemos que la Mpor unidad de volumen de material se obtiene
considerando un elemento diferencial del volumen de dimensiones unitarias sometido
al esfuerzo y que sufre una deformacin (E).
LE
M= Energa de deformacin unitaria
E1
0EdM
Energa de deformacin complementaria
1
0PdU
1P
udPUW
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1
0EdWU
1
0dEU
Sea la siguiente barra sujeta a una fuerza axial P, la barra se deforma segn la figura.
Energa de deformacin debidas a cargas axiales.
Por la ley de Hooke EE
A
P
L
AE
EA
PL
L
AE
A
P Deformacin total de una barra sujeta a cargas axiales
donde E = Modulo de elasticidad o Modul de Young
A = rea de la seccin transversal
La deformacin interna de un segmento de la barra de longitud dx es igual a la fuerza
promedio por el cambio de longitud de energa es decir:
EA
Pdxd
Supongamos que la relacin P - es lineal la deformacin de energa es:
P2
1U
Pd2
1Ud
E
dx
A
P
2
1Ud
2
Integrando
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E
dx
A
P
2
1Ud
2l
0 dxEAP
2
1U
2L
0
dxEA
P
2
1U
L
0
2
Energa de deformacin para cargas axiales
ENERGIA DE DEFORMACIN DE ELEMENTOS A FLEXION
Sea la siguiente viga con una carga concentrada P actuando en el punto B, el trabajo
externo involucra el movimiento de la fuerza P a travs de la deflexin A de la viga.
Partiendo de:
E
L
EA
PL
EE
El esfuerzo por flexin
I
Mc
E
Lx
I
Mc Para un segmento de
E
dxx
I
Mcd
Si la relacin P - es lineal
Pd2
1U
si dAPAP
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dAP
dAI
McP
I
Mc
E
dAdx
I
Mc
2
1U
E
dxx
I
McdAx
I
Mc
2
1U
2
La energa de deformacin para un segmento dx es la suma de la energa de
deformacin de todas las fibras de ese segmento.
Integrando
2
0
2
EI
dxM
2
1U
Por lo tanto la Utotal es
PLANO
dxEI
Mz
2
1dx
AG
Vg
2
Kdx
AE
Px
2
1U
L
0
2L
0
2l
0
2
T
ESPACIO
dxEI
Mz
2
1DX
EI
My
2
1dx
GJ
T
2
1dx
AG
Vz
2
Kdx
AG
Vg
2
K
AE
dxPx
2
1U
L
0
2L
0
2L
0
L
0
2L
0
L
0
2
T
Donde:
J = Modulo de Inercia polar
G = Modulo de elasticidad al corte
Ejemplo:
Determinar la deflexin de la estructura de dos barras con la carga concentrada P =
40 KN. El rea de la seccin transversal de cada barra es igual A = 6 x 10-4
m2
y E =200 G Pa.
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P2
1W
Por equilibrio 0M0Fy
0Fx
A = 6 x 10-4 m2
E = 200 G Pa
PAC = 32 KN L
0
2
AE
dxP
2
1U
PBC = 24 KNAE2
LPU
2
T
LAE
P
AE
LPU
2BC
2AC
T
m.N66.18)10x200)(10x6(2
)33.3()24000(
)10x200)(10x6(2
)5.2()32000(U
94
2
44
2
T
Ejemplo:
Calcular la deflexin en el punto B de la viga, el cual esta sujeta a una carga P de 24 K
lb. El momento de Inercia I = 360 Plg2, l modulo de Young E = 30 000 Klb/plg2.
I = 360 Plg2
E = 30 000 Klb/Plg2
Trabajo
P2
1W
Energa de deformacin (flexin)
dxEI
M
2
1U
L
0
2
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Calculo de reacciones
0)20)(Cy()8)(24(MA
Klb6.920
92.1Cy
0Klb246.9A Klb4.14Ay
"6.9
01X
"44.1
02X
Calculo de U
dxx36.207EI2
1dx
EI
)x4.14(
2
1U
6.9
0
26.9
0
2
AB
6.9036.9
0
3AB x12.69
EI2
1x
3
36.207
EI2
1U
EI16.30576476
)0(12.69)6.9(12.69EI2
1U 33
AB
EI
24.45864714dx
EI
)x6.9(
2
1U
4.14
0
22
BC
07.7UUU CBABT
Pero W = U
07.7P2
1
24)07.7(2
P)07.7(2
lgP59.0
LIMITACIONES DEL METODO DE TRABAJO Y ENERGIA
En las secciones anteriores se describieron mtodos para calcular la U en miembros
sujetos a los principales tipos de carga.
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Las ecuaciones de energa de deformacin U son generales y pueden usarse en
cualquiera de los mtodos energticos.
El trabajo es la fuerza por una distancia, o un par por un ngulo de rotacin. Por
consiguiente, este mtodo es solamente valido para encontrar una deflexin o una
rotacin en la direccin de la fuerza o el par. Sin embargo, si queremos la deformacin
en un lugar diferente de donde se aplica la carga, el mtodo no es valido. Adems si
se aplican simultneamente mas de una carga externa sobre el miembro. Aparecer
mas de una incgnita o en la expresin para el trabajo externo y la solucin es
imposible calcular.
Las limitaciones de la tcnica del trabajo real nos impulsan a adaptar los conceptos de
otros mtodos energticos relacionados que no sean tan limitados en su aplicacin.
PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES
El trmino virtual implica que las cantidades son puramente hipotticas y que no
existen en un sentido real o material.
Por lo tanto, un desplazamiento virtual es un imaginario que se le impone
arbitrariamente a una estructura, de esa manera el trabajo efectuado por las fuerzas
reales durante un desplazamiento virtual se llama trabajo virtual.
Este principio establece que una estructura elstica que esta en equilibrio bajo un
sistema de cargas generalizadas permanece en estado de equilibrio, si para pequeas
variaciones en los desplazamientos generalizados a partir de un estado compatible de
deformaciones se satisface la siguiente condicin:
dve dWdWdW
dWc = Diferencial del trabajo total
dWv = Diferencial del trabajo virtual, realizado durante un desplazamiento del mismo
como cuerpo rgido y por consiguiente debe ser cero.
DWd = Es el trabajo relacionado con la deformacin del elemento.
Por lo tanto
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dc dWdW
De la misma forma:
dUdW
Variacin del trabajo = variacin de la energa
3.2 EL TEOREMA DE CLAPEYRON
Considere un material elstico:
De las graficas se obtiene:
cdWdW por lo tanto ''
PF
Anlogamente
cWW Por lo tanto P2
1P
2
1 '
Finalmente 'P2
1W
Ahora:
cdUdU Por lo tanto dvdv ''
Anlogamente
cUU Por lo tanto dv21
dv2
1 ''
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Finalmente dv21
U'
Estas dos ecuaciones son conocidas como el teorema de Clapeyron.
PRINCIPIO ESTACIONARIO DE ENERGIA POTENCIAL
Este principio tiene una gran importancia para calcular los desplazamientos
generalizados de las estructuras, partiendo del principio de los desplazamientos
virtuales:
ie WW
Donde:
We = Diferencial del trabajo externo
Wi = Diferencial de la energa
Por lo tanto:
0WW ie
Por la primera ley de la termodinmica:
ee UW
Sustituyendo el valor de We
Por lo tanto:0UU ie o 0UU ie
Por lo tanto:
ie dUdU Que es la energa potencial total
0
Cuando tenemos un sistema conservativo con un numero finito de grados de libertad,
la energa potencial es funcin de las coordenadas generalizadas.
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)x...,x,x,x( n321
Donde
xi = Son las coordenadas generalizadas o grados de libertad.
La diferencial total de la energa potencial se expresa:
0xx
xx
xx
xx
nn
33
22
11
0xxi
n
1i i
O simplemente
0x1
donde n,...,3,2,1i
Esta ultima ecuacin es la que se conoce como el principio estacionario de la energa.
De igual forma, el principio estacionario para la energa potencial complementaria
ser:
0)uu( IEC
0
fI
C
Donde: )F,,F,F,F( N321CC
F1 = Son las fuerzas generalizadas o grados de hiperestaticidad.
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Ejemplo:
Calcular la energa de deformacin de una barra articulada de seccin transversal
constante A, y un modulo de elasticidad E, en el cual se aplica una carga axial N.
Usando el teorema de Clapeyron, la energa potencial se expresa como:
dv21
U
Pero:
Adydv E L
d
Entonces:
dyL
dEA
2
1dyEA
2
1U
2
22
L
0
2
2
dyL
dEA
2
1U
Finalmente:
2
dL2
EA
U Energa potencial interna de cada barra para una estructura articulada.
Ahora la energa de deformacin complementaria, tenemos que:
dv21
Uc
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De donde:
A
N
E
dy
Adv
Sustituyendo:
dyAE
N
2
1dy
E
A
2
1U
22
c
L
0
2
c dyAE
N
2
1U
Finalmente
AE
N
2
LU
2
c por lo tanto se concluye que
cUU
PROCEDIMIENTO PARA APLICAR EL PRINCIPIO ESTACIONARIO DE ENERGIA
POTENCIAL
1. Determinacin del grado de libertad, definir el nmero de coordenadas
generalizadas (x1, x2, x3, ... , xn).
2. Establecer las expresiones de los desplazamientos de cada barra en funcin de
las coordenadas generalizadas.
3. Clculo de energa potencial interna de cada barra.
2i
ii d
L2
)EA(U
4. Clculo de la energa potencial externa debido a las cargas.
iie XPU
5. Obtencin del potencial de energa.
ie UU
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21
6. Aplicacin del principio estacionario de energa potencial total.
0Xi
7. Solucin del sistema de ecuaciones algebraicas obteniendo el vector Xi.
8. Calculo de los desplazamientos lineales de cada barra.
9. Determinacin de las fuerzas axiales de cada barra
ii
ii d
L
)EA(N
Analizar la estructura utilizando el Principio Estacionario de Energa Potencial.
1. GL = (6) 5 = 1
2. i1 x5
4dicosxdi
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5
4cos
3. Energa Potencial Interna
2i
ii d
L2
)EA(U
250
EAX16
)5(2
x5
4)EA(
U2i
2
i
1i
21
2i
2i x
8
EA
)4(2
)x(EAU
2i
2iiT X
8
EAx
250
EA16U
2iiT x1000
EA189U
4. Energa Externa
ie
ie
x6U
PxU
5. Energa Potencial Total
12iT
eiT
x6)x(EA1000
189U
UUU
6. Aplicando P.E.E.P.
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23
06EAx1000
378
xi
i
7. Solucin del Sistema de ecuaciones
06x1000
EA378i
EA378
)1000(6x i
EA
87.15x i
8. Desplazamiento de cada barra
EA
87.15xd
EA
70.12
EA
87.15
5
4x
5
4d
12
11
9. Fuerzas Axiales
Ton97.3EA
87.15
4
)EA(
N
Ton54.2EA
70.12
5
EAd
L
EAN
22
ii
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Equilibrio
Nodo 1
Fx = Rx1 + 3.97 = 0
Rx1 = 3.87 Ton
Nodo 2
Fx = Rx2 2.54 (5
4 )= 0
Rx2 2.54 (
5
4 )
Nodo 3
Fy = Ry3 2.54 (5
3 )= 0
Ryx 2.54 (5
3 )
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Analizar la siguiente estructura por el mtodo de P.E.E.P.
Solucin:
1. Determinacin de los grados de libertad.
G.L = NDP NDR
G.L = 8 3
G.L = 5
Implica cinco coordenadas generalizadas (x1, x2, x3, x4, x5)
2. Clculo de las expresiones de los desplazamientos en funcin de lascoordenadas generalizadas.
Regla:
Aislar la barra, anotando en los extremos las coordenadas generalizadascorrespondientes para representar su deformacin.
Jalar la barra en el extremo inferior y expresar ese desplazamiento en trminos de lascoordenadas generalizadas, repetir ste paso con el otro extremo.
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26
En los nodos donde hay apoyos los desplazamientos son nulos segn el tipo deapoyo.
d1 = x2
d2 = x5
d3 = 4353
4543 xxsenxcosx
d4 = 5452
351
45521 xxxcosxsenxcosx
d5 = 31 xx
d6 = x4
3. Clculo de Energa Potencial Interna en cada barra.
2i
ii d
L2
)EA(U
2
443
2
33
252
252
221
221
x25
9
xx25
24
x25
16
20
EA
U
x8
)EA(U)x(
)4(2
)EA(U
x6
)EA(U)x(
)3(2
)EA(U
54321T
246
2331
215
51522125
22
214
UUUUUU
x6
EAU
xxx2x8
EAU
xx25
32xx
25
24xx
25
24x
25
16x
25
9x
25
16
20
EAU
4. Clculo de la Energa Externa.
i43ie
iie
)senx6cosx6x4(U
XPU
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27
5. Clculo del Potencial de Energa.
43i
4352513121
25
24
32
22
21 x3x196.5x4
xx048.0xx048.0xx064.0xx25.0xx048.0
x157.0x185.0x157.0x185.0x157.0EA
UiUe
6. Aplicando P.E.E.P.
0x i
03)x048.0x369.0(EAx
0196.5)x048.0x250.0x314.0(EAx
0)x048.0x048.0x369.0(EAx
04)x064.0x25.0x048.0x314.0(EAx
344
4133
5122
53211
0)x048.0x064.0x314.0(EAx 2155
Resolviendo el sistema de ecuaciones.
03
196.5
0
4
EA
1
5x
4x
3x
2x1x
314.000048.0064.00369.0369.000
0048.0048.0025.0
048.000369.0048.0
064.0025.0048.0314.0
08.17
11.20
05.92
62.9
99.90
EA
1
5x
4x
3x
2x
1x
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28
7. Clculo de los desplazamientos lineales de cada barra.
EA
61.58d
EA
17.08xd
EA
9.62
xd
3
52
21
EA
20.10-
d
EA
1.06d
EA
53.36-d
6
5
4
8. Clculo de las fuerzas axiales.
ton-6.70N
ton0.27N
ton5.33-N
ton.366N
ton4.27EA)(17.08/4
(EA)N
ton3.250EA)/(9.6153
)EA(N
dL
)EA(N
6
5
4
3
2
1
ii
ii
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29
Finalmente por el mtodo de los nodos se calculan las reacciones en losapoyos.
3.3 TEOREMA DE CASTIGLIANO
Sea una estructura la cual est sometida a un sistema de cargas cualesquiera, lascuales generan una deformacin a la estructura misma, el valor de la carga puntualaplicada a un punto dado estar definido por la derivada parcial de la energa conrespecto a la deformacin en el mismo punto dado de la estructura.
1i
Pd
U
Primer teorema de Castigliano
La deformacin en el punto i de la estructura citada arriba es igual a la derivada parcialde la energa con respecto a la carga puntual P aplicada en el mismo punto i.
1i
dP
U
Segundo teorema de Castigliano
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30
Ejemplo:
Calcular la deformacin en el punto B de la siguiente barra.
Aplicando el segundo Teorema idP
U
dxEI
M
2
1dx
GL
V
2
1K
EA
dxP
2
1U
L
0
2L
0
L
0
22x
Fx = 0 V = 0EA
PL
P
EA
L2P
2
1
P
U
Fy = -N + P = 0
Mflex = 0
0LEA
P
2
1dx
EA
P
2
1U
L
0
2
Calcular el desplazamiento en el punto B de la siguiente viga.
Fy = N-P = 0; N = P
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Fx = 0; Axial = 0
MA= P X = P L
ndeformaciEI
PL
3
1
GA
KPL
P
U
EI
LP
6
1
GA
PL
2
KU
dxEI
2)XP(
2
1dx
GA
P
2
K0U
3
32
L
0
L
0
2
Calcular la deflexin en el punto B.
E = 200 GPa
I = 0.945 x10-3m4
MA = P(3) + 30(B) + 30(9) (4.5)Cg(9) = 0
1353
PCg
TRAMO AB
x301353
P2 Cortante
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0x15x1353
Px2dxVM 2
3
03324222
22
dxx2025Px10Px90x)15(x)135(9xP4
EI21V
75.133953P5.607P4V 2
TRAMO BC
x301353
P Cortante
2x15x1353
PxVdxM
3224222L
0
22
x2025Px5Px45x15x1359xP
EI21U
1006020P1620P8U 2
5.2227P24EI2
11620P165.607P8
EI
I
P
U
m0200.0
)m10x945.0)(m/N10x200(2
5.2227)30(6135(2410004329
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IV. SISTEMA DE COORDENADAS
Mx = Momento torsionante
x = Fuerzas normales
y, z = Fuerzas cortantes
My, Mz = Momentos flexionantes
Cada elemento finito tendr un sistema de ejes donde el eje x coincide con el ejeneutro de un elemento y los ejes y y z formaran las direcciones de los ejesprincipales.
FUERZAS GENERALIZADAS
Cargas Carga Viva, Carga Muerta
Fuerzas Externas Equipo, Accidentales
Reacciones en los Apoyos
Fuerzas Internas
Elementos
Mecnicos
Marcos N, V, F
Armaduras N
N = Fza. Normal
V = Fza. Cortante
F = Momento
Elementos Mecnicos Internos
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34
COORDENADAS GENERALIZADAS
Es l numero mnimo de coordenadas necesarias para expresar la configuracindeformada de un sistema estructural
Continuas Maneja un nmero infinito de coordenadasgeneralizadas
Coordenadas
Discretas Manejan un numero finito de coordenadas
Coordenadas Generalizadas
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BIBLIOGRAFIA
Hibbeler.- Anlisis Estructural, Editorial PRENTICE-HALL
http://www.emagister.com/sistema-estructural-altura-activa-construccion-3_h
http://www.construaprende.com/foros/libros-para-analisis-estructural-vt5075.html
http://www.gandhi.com.mx/index.cfm/id/Producto/dept/Libros/pid/488969
http://www.emagister.com/sistema-estructural-altura-activa-construccion-3_hhttp://click.infospace.com/ClickHandler.ashx?du=http%3a%2f%2fwww.construaprende.com%2fforos%2flibros-para-analisis-estructural-vt5075.html&ru=http%3a%2f%2fwww.construaprende.com%2fforos%2flibros-para-analisis-estructural-vt5075.html&ld=20121124&ap=5&app=1&c=srchresrow3&s=srchresrow3&coi=239137&cop=main-title&euip=190.42.238.125&npp=5&p=0&pp=0&pvaid=c55258a2bdf44db7937695aa215a4aaa&ep=2&mid=9&hash=B1EACBA13A33FAB148F6ACC995FB77C2http://click.infospace.com/ClickHandler.ashx?du=http%3a%2f%2fwww.construaprende.com%2fforos%2flibros-para-analisis-estructural-vt5075.html&ru=http%3a%2f%2fwww.construaprende.com%2fforos%2flibros-para-analisis-estructural-vt5075.html&ld=20121124&ap=5&app=1&c=srchresrow3&s=srchresrow3&coi=239137&cop=main-title&euip=190.42.238.125&npp=5&p=0&pp=0&pvaid=c55258a2bdf44db7937695aa215a4aaa&ep=2&mid=9&hash=B1EACBA13A33FAB148F6ACC995FB77C2http://www.emagister.com/sistema-estructural-altura-activa-construccion-3_hTop Related