1
II. Comportamentul optim al agentului consumator - modelul dinamic
Aplicații
Se consideră că agenţii economici consumatori determină cantitatea pe care o vor
consuma dintr-un coş de bunuri atât în momentul prezent (notat cu 1) cât şi într-un
moment viitor (notat cu 2), precum şi economiile pe care le vor face în prezent. Funcţia
de utilitate are următoarea formă :
1 2 1 2
1,
1U C C U C U C
unde U(Ci) reprezintă utilitatea adusă de consumul agregat Ci din perioada i. Parametrul δ
reprezintă o rată de actualizare subiectivă a utilităţii viitoare şi are o valoare pozitivă. Cu
cât δ este mai mic, cu atât consumatorul acordă o importanţă mai mare consumului din a
doua perioadă.
Consumatorii ţin cont de veniturile pe care le obţin în fiecare moment de timp şi de
nivelul preţurilor asociat acelui coş de bunuri. Acestea sunt variabile pe care nu le poate
influenţa. Ca urmare, consumatorii au câte o restricţie bugetară pentru fiecare moment:
1 1 1 1
2 2 2 1 1
p C E V
p C V E r
unde E – economii; r – rata nominală a dobânzii.
Deoarece veniturile ca și prețurile sunt variabile exogene, în momentul prezent
consumatorii au de făcut următoarea alegere: să consume mai mult şi, ca urmare, să facă
economii mai mici ceea ce va determina reducerea consumului viitor sau să consume mai
mult şi, ca urmare, să facă economii mai mari ceea ce va determina creşterea consumului
viitor. Consumatorii pot folosi mai mult decât ceea ce le permite venitul curent dacă
aplează la credite, adică în prezent nu fac economii ci se împrumută 1 0E .
Aplicații:
1. Fie funcţia de utilitate: lnU C C .
Se cere:
a) Stabiliţi în ce condiţii consumul prezent este mai mare decât consumul viitor
( 1 2C C )?
b) Calculaţi 1C şi 2C .
c) Calculaţi economiile realizate şi stabiliţi condiţiile necesare pentru ca E1>0.
d) Ce efect are asupra consumului curent o creştere a ratei dobânzii nominale?
2. Considerăm că agenţii economici consumatori au un orizont de previziune de 2
perioade, iar funcţia de utilitate are următoarea formă :
2
1 1 2 2 1 1 2 2
1,1 , ,1 ,1 ,1
1U C l C l U C l U C l
unde l1 este timpul lucrat în prima perioadă, iar l2 este timpul lucrat în cea de-a doua
perioadă. Timpul lucrat este exprimat ca o fracţiune din timpul total (1 sau 100%). Ca
urmare, 1-li reprezintă timpul liber din perioada i.
Se observă că utilitatea consumatorului depinde atât de cantitatea consumată din coşul de
bunuri cât şi de timpul liber de care dispun consumatorii. Restricţia bugetară va evidenţia
faptul că, în această problemă, consumatorii nu au de ales numai între cât să consume în
prezent şi cât să consume în viitor, dar au de ales pentru fiecare perioadă timpul liber pe
care îl doresc. Cu cât timpul liber este mai mult, cu atât utilitatea lor creşte, dar muncind
mai puţin veniturile se diminuează şi au la dispoziţie o sumă mai mică destinată
consumului. Pe scurt, restricţiile bugetare se scriu astfel:
1 1 1 1 1
2 2 2 2 1 1
p C E w l
p C w l E r
w1 şi w2 reprezintă salariile pe care agenţii consumatori le-ar câştiga dacă ar munci întreg
timpul disponibil. Deoarece ei optează să muncească doar o fracţiune din timpul total (l1
şi, respectiv, l2) veniturile încasate de ei sunt 1 1w l şi respectiv
2 2w l .
Funcţia de utilitate a consumatorilor are forma:
, ln ln 1i i i iU C l C l
a) Determinaţi C1, C2.
b) Calculaţi E1 şi stabiliţi condiţiile necesare pentru ca E1>0.
3. Refaceţi problema 1 pentru cazul în care funcţia de utilitate este ( )C
U C
.
4. Pentru modelul dinamic al consumatorului se cunoaşte funcţia de utilitate
intertemporală: )1,0(,,),( 1010 CCCCU , rata nominală a dobânzii este r, rata
inflaţiei este , iar rata de creştere a veniturilor este egală cu . Se cere:
a) Să se exprime indicele de creştere a consumului optim 0
1
C
C în funcţie de rata reală de
dobândă şi de elasticitatea funcţiei de utilitate.
b) Să se stabilească volumul optim al economiilor.
c) Să se discute semnul volumului optim al economiilor în funcţie de parametrii
modelului. Interpretare economică.
5. Se cunoaşte faptul că utilitatea agentului consumator este modelată prin funcţia de
utilitate: 1
( )1
CU C
, veniturile disponibile în cele două perioade sunt V0, respectiv V1.
Preţul bunurilor care fac obiectul consumului sunt p1, respectiv p2. Individul consumă
cantiatea C0 în momentul 0 şi C1 în momentul 1, iar în momentul 1 face economii în
3
valoare de E. Cunoscând faptul că aversiunea relativă la risc a individului consumator
este 1
2 :
a) Să se descrie problema de optimizare intertemporală şi să se deducă funcţiile de cerere
pentru bunuri şi servicii în momentele 0 şi 1.
b) Să se studieze semnul economiilor.
6. Agenţii consumatori din economie îşi fundamentează consumul de bunuri perisabile
(Cp) şi consumul de bunuri durabile (Cd) pentru momentul prezent (notat cu 1) şi
momentul viitor (notat cu 2). Funcţia de utilitate în fiecare moment este dată de:
1 1
, ln ln2 2
p d p dU C C C C
Restricţiile consumatorului în cele două perioade sunt:
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 1
p p d d
p p d d
p C p C E V
p C p C V E r
Unde pp este preţul bunurilor perisabile, iar dp este preţul bunurilor durabile. Restul
variabilelor au notaţiile consacrate. Să se determine:
a) Consumul de bunuri perisabile şi durabile din fiecare perioadă;
b) Economiile făcute de consumatori;
c) Care este efectul modificării ratei dobânzii asupra economiilor?
7. Considerăm un consumator care trăieşte două perioade, perioada 0 şi perioada 1.
Utilitatea lui este dată de funcţia:
2 2 2 2
0 0 0 1 1 1
1
2 2 1 2 2
b bU C C l C C l
Unde C este cantitatea consumată dintr-un coş de bunuri, iar l este munca depusă de
consumator. Restricţiile bugetare în cele două perioade sunt:
0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 0 1
p C E p w l
p C p w l E r
Unde p este indicele preţurilor pentru coşul de bunuri, w este salariul real, iar S
economiile.
a) În ce condiţii consumul şi munca sunt staţionare ( 1 0 1 0,C C l l )?
b) Se ştie că r . Să se determine consumul şi munca în cele două perioade şi
economiile.
8. Se consideră următorul model dinamic pentru consumator:
4
1 2 3
1 2 32, ,
1 1 1 1
2 2 2 2 1
3 3 3 2
1 1max ln ln ln
1 1
1
1
C C CC C C
p C E V
p C E V E r
p C V E r
Se consideră că inflaţia anticipată este constantă şi egală cu . De asemenea, rata de
creştere a venitului nominal este constantă şi egală cu , iar rata de creştere a venitului
real este constantă şi egală cu v.
a) Să se determine restricţia de buget intertemporală;
b) Să se determine condiţia de optim intertemporală. În ce condiţii consumul este
staţionar * * *
1 2 3C C C ?
c) În condiţiile în care consumul este staţionar să se determine *
1E şi *
2E . Discuţie.
d) Să se determine traiectoria optimă a consumului * * *
1 2 3, ,C C C .
Indicații și soluții
1. a)
2 1 1
relatia Fisher
1 1 1
1 1 1
r iC C C
, unde π este rata inflaţiei, i este rata reală a dobânzii
2
1
11
1
notatieC ic
C
Din relaţia de mai sus se pot trage următoarele concluzii:
dacă i>δ => rata dobânzii mai mare decât coeficientul de actualizare al utilităţii
conduce la o scădere a consumului în prima perioadă şi la translatarea acestuia în
a doua perioadă. Consumatorul preferă să economisească în prima perioadă o
parte din venitul V1 şi să o aloce consumului din a doua perioadă => C2>C1
dacă i=δ => C2=C1
dacă i<δ => C2<C1
b)
1 2*
1
1
1
11
11
V VrC
p
, * * 12 1
2
1
1
prC C
p
5
c) Introducând în prima restricţie de buget rezultatele anterioare se obţine valoarea
economiilor:
1 2
*
1 1 1 11 1
11
1
V V
rE V p C
E1>0 este echivalent cu:
21 2
1
1 11
1 1
notatieVV V
r r V
unde este ritmul
nominal de creştere al veniturilor. Trecem la valori reale:
1 1 1
/ 1 1 / 1 11 1 1
notatie
vr i
unde v este ritmul real de creştere al veniturilor.
Consumatorii fac economii dacă ritmul de creştere a consumului este mai mare decât
ritmul de creştere al veniturilor reale, adică fac economii pentru a-şi susţine consumul
viitor. Desigur E10, adică consumatorii aplează la credite dacă c v (ritmul de creştere
al consumului este mai mic decât ritmul de creştere al venitului).
d)
1 0C
r
,
adică relaţia dintre consumul curent şi rata dobânzii este negativă.
2. a) Matematic problema de optim se scrie:
1 2 1 2 1
1 1 2 2 1 1 2 2, ,1 ,1 ,
1 1 1 1 1
2 2 2 2 1
1max ,1 , ,1 ,1 ,1
1
1
C C l l EU C l C l U C l U C l
p C E w l
p C w l E r
Transformăm cele două restricţii bugetare în una singură:
1 1 1 1 1
1 1 2 2 1 1 2 2
2 2 2 2 1
1 1
1 : 1 1 1
p C E w lp C p C w l w l
p C w l E r r r r
În aceste condiţii problema de optim devine:
1 2 1 2
1 1 2 2 1 1 2 2, ,1 ,1
1 1 2 2 1 1 2 2
1max ,1 , ,1 ,1 ,1
1
1 1
1 1
C C l lU C l C l U C l U C l
p C p C w l w lr r
Se scrie Lagrangeanul:
6
221122112211
1
1
1
11lnln
1
11lnln lw
rlwCp
rCplClCL
Prin derivare se obţin condiţiile de optim:
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
0 (1)
10 (2)
1
0 (3)1 1
10 (4)
1 1 1
1 10
1 1
L
C p C
L r
C p C
L
l l w
L r
l l w
Lp C p C w l w l
r r
0 (5)
Împărţind (1) la (2), pe (1) la (3) şi pe (1) la (4) se obţin:
12 1
2
1
1
p rC C
p
(6)
1 11
1
1p C
lw
(7)
1 12
2
11
1
p Crl
w
(8)
Înlocuind relaţiile (6), (7) şi (8) în (5) se obţine: 1 2
*
1
1
1
11
1 11
w wrC
p
.
5.
21
*
0
1 2
1
11
1
VV
rCi
p
6.
7
2 21 1
* *
1 1
1 1
1 1,1 1
2 1 2 11 1
p d
p d
V VV V
r rC C
p p
8.
a)
3 3 32 2 21 1 12 2
1 11 1
p C Vp C Vp C V
r rr r
b)
2
1 1 2 2 3 3
1 1
1 1p C p C p C
r r
* * *
1 2 3C C C i
c)
2 2
321 2 2 2
* * * * 1 11 2 3 2
32 1 11 22
2
1 11 11 1
1 1 11 1 1
1 111 11 11 11 1 1
vVV vV
r r ir r iV VC C C C
pp p pp
ir ir r r
8
Extensii ale modelului dinamic al consumatorului – perioadă infinită
1. Se consideră următorul model al consumatorului pe orizont de timp infinit:
0
max ( ,1 )t
t t
t
U C l
Restricţia bugetară a consumatorului este următoarea:
1 1(1 )t t t t t t tPC B Wl r B
Unde tP este nivelul preţurilor,
tC este nivelul consumului, tB reprezintă volumul
economiilor realizate sub forma cumpărării de obligaţiuni, tW salariul nominal, tl este
munca depusă, tr este rata nominală a dobânzii, iar este un factor de discount
subiectiv ce se poate scrie şi sub forma 1
1 .
Ştiind că funcţia de utilitate are următoarea formă:
( ,1 ) ln ln(1 )U C l C l
să se determine:
a) O relaţie de recurenţă pentru nivelul consumului. Să se stabilească în ce condiţii
consumul este crescător ( 1t tC C ), descrescător ( 1t tC C ), staţionar ( 1t tC C ).
b) O relaţie de recurenţă pentru timpul liber. Să se stabilească în ce condiţii timpul
liber este crescător ( 11 1t tl l ), descrescător ( 11 1t tl l ), staţionar
( 11 1t tl l ).
c) Dacă rata reală a dobânzii este constantă ( 1 ,t ti i t ), să se calculeze lim tt
C
.
d) Dacă rata de creştere a venitului real este constantă ( 1t tv v t ) şi rata reală a
dobânzii este constantă ( 1t ti i t ), să se calculeze lim(1 )tt
l
.
Rezolvare:
a) Problema consumatorului pe orizont infinit poate fi rezumată astfel:
0
1 1
max ( ,1 )
(1 )
t
t t
t
t t t t t t t
U C l
PC B W l r B
Înainte de a forma Lagrangean-ul şi de a pune condiţiile de ordinul I, vom transforma
restricţia astfel încât ea să fie exprimată în variabile reale – vom împărţi prin nivelul
preţurilor la momentul t:
9
1 11 1
1 1 11 1 1
1
1
(1 )(1 )
(1 ) 1(1 )
1
t t t t tt t t t t t t t
t t t
t t tt t t t t t t t t t t t t
tt t
t
B W l r BPC B W l r B C
P P P
B r rC b w l C b w l b w l b i
PP
P
În cele de mai sus am notat cu tb valoarea reală a economiilor, cu
tw salariul real, iar cu
ti rata reală a dobânzii.
Formăm Lagrangean-ul modificat pentru orizont infinit:
1 1
0
1 1
0
1 1
1
1 1 1
( , , , ) [ ( ,1 ) ( (1 ))]
[ ln ln(1 ) ( (1 ))]
... [ ln ln(1 ) ( (1 ))]
[ ln ln(1 ) (
t
t t t t t t t t t t t t t
t
t
t t t t t t t t t
t
t
t t t t t t t t t
t
t t t
L C b l U C l C b w l b i
C l C b w l b i
C l C b w l b i
C l
1 1 1 1 (1 ))] ...t t t t t tC b w l b i
Punem condiţiile de ordinul I derivând Lagrangean-ul în toate argumentele sale:
1
1
1 1
0 1
0 (1 ) (1 ) 2
0 (3)1
0 (1 ) 4
t
t t
tt t t t
t t
t t
t t
t t t t t t
t
L
C C
Li i
b
Lw
l l
LC b w l b i
b) Scriem relaţia (1) la momentul t şi la momentul t+1 şi împărţim cele 2 relaţii:
1 1
11
1
(1 ) 5
t
t t t tt
t t tt
t
C C Ci
C C
C
S-a folosit relaţia (2) de mai sus.
În aceste condiţii:
-consumul este staţionar 1t tC C dacă 1
(1 ) 1 1 constantt ti i t
10
-consumul este crescător 1t tC C dacă
1(1 ) 1 1t ti i t
-consumul este descrescător 1t tC C dacă
1(1 ) 1 1t ti i t
Pentru a determina relaţia de recurenţă scriem relaţia (5) pentru 0,t :
11
0
(1 )C
iC
; 22
1
(1 )C
iC
; ; 12
2
(1 )tt
t
Ci
C
; 1
1
(1 )tt
t
Ci
C
.
Înmulţind relaţiile de mai sus membru cu membru obţinem relaţia de recurenţă a
consumului:
1
0 1 2 1 0
0
(1 )(1 ) (1 ) (1 )t
t t
t t k
k
C C i i i C i
c) Scriem relaţia (3) la momentul t şi la momentul t+1 şi împărţim cele 2 relaţii:
1 1 1
11 1 11 1
1
1 1 1 (1 ) 1 (1 )6
1 1 1 1
1
t t
t t t t t t t t
tt t t t t tt t
tt
wl l w l i l i
wl w l l vw
wl
Am folosit relaţia (2) de mai sus şi am notat 1 1 ,tt t
t
wv v
w
rata de creştere a veniturilor
reale
Dar din relaţia (5) ştim că 1 1 1 1 1
1 1
1 1 11(1 ) 7
1 1 1 1
t t t t tt
t t t t t t
C l C l ci
C l v C l v
Am notat rata de creştere a consumului cu tc .
În aceste condiţii:
-timpul liber este staţionar 11 1t tl l dacă 11 1
1
11
1
tt t
t
cc v t
v
, adică rata de
creştere a consumului este aceeaşi cu rata de creştere a venitului real;
-timpul liber este crescător 11 1t tl l dacă 11 1
1
11
1
tt t
t
cc v t
v
-timpul liber este descrescător 11 1t tl l dacă 11 1
1
11
1
tt t
t
cc v t
v
Pentru a determina realaţia de recurenţă pentru timpul liber se foloseşte relaţia (6)
rescrisă astfel:
11
1
11
)1()1(1
t
ttt
v
ill
Pentru a determina relaţia de recurenţă scriem relaţia de mai sus pentru 0,t :
1
001
1
221
11
1
)1()1(1
1
)1()1(1
1
)1()1(1
v
ill
v
ill
v
ill
t
t
ttt
t
ttt
Înmulţim relaţiile membru cu membru şi obţinem:
0
0 1
(1 )1 1
1
tt k
t
k k
il l
v
(8)
În relaţia de recurenţă a consumului se înlocuieşte ki i şi se obţine
0 0(1 ) [ (1 )]t t t
tC C i C i . Putem calcula limita astfel:
0
0, (1 ) 1
lim , (1 ) 1
, (1 ) 1
tt
i
C C i
i
d) Dacă rata de creştere a venitului real este constantă ( 1t tv v t ) şi rata reală a
dobânzii este constantă ( 1t ti i t ) atunci relaţia (8) devine:
t
tv
ill
)1(
)1()1(1 0
. Putem calcula limita astfel:
1)1(
)1(,
1)1(
)1(,1
1)1(
)1(,0
)1(lim 0
v
iv
il
v
i
ltt
12
2. Se consideră următorul model al consumatorului pe orizont de timp infinit:
0
),1,(maxt
tttt mlCU
Restricţia bugetară a consumatorului este următoarea:
111)1( ttttttttt MBrlWMBCP
unde tM reprezintă cantitatea de avere păstrată sub forma numerarului, iar tm reprezintă
masa monetară exprimată în termeni reali, t
tt
P
Mm .
Ştiind că funcţia de utilitate are următoarea formă:
b
tmb
lCmlCU
111
1
1
1
1
1
1),1,(
Să se răspundă la următoarele cerinţe:
a) Să se scrie restricţia bugetară în termeni reali (se notează cu tb valoarea reală a
economiilor deţinute sub formă de obligaţiuni şi cu tw salariul real. În cazul în care prin
tP se măsoară indicele preţurilor de la începutul perioadei t, sfârşitul perioadei t-1,
1
1
1
t
t
t
P
P ).
b) Să se arate că elasticitatea utilităţii marginale a consumului este constantă şi să se
interpreteze rezultatul în raport cu atitudinea consumatorului faţă de risc.
c) Să se arate că elasticitatea funcţiei de utilitate în raport cu timpul lucrat şi respectiv cu
masa monetară reală depinde în mod direct de şi respectiv de .
d) Să se determine ecuaţia de dinamică pentru consum;
e) Ecuaţia de dinamică pentru timpul lucrat;
f) Să se arate că între oferta de muncă şi consum există o legătură directă, iar relaţia
dintre oferta de muncă şi masa monetară este, de asemenea, directă. Explicaţi.
Pentru cazul în care rata reală a dobânzii şi rata de creştere a venitului real sunt
constante:
g) Să se determine traiectoria de evoluţie a consumului ( tC în funcţie de 0C );
h) Să se determine traiectoria de evoluţie a timpului lucrat ( tl în funcţie de 0l );
i) În cazul în care singura destinaţie a PIB este consumul, să se determine şi să se
interpreteze în cheie keynesistă ecuaţia de cerere de monedă.
j) Să se verifice dacă regula de politică monetară este una de tip Friedman.
Rezolvare:
a) Se împarte restricţia bugetară la indicele preţurilor tP ,
111)1( ttttttttt MBrlWMBCP şi se obţine:
13
t
t
t
ttttttt
P
M
P
BrlwmbC 111)1(
.
Dar 11,
1
111
111
1
1111 )1(1
1)1()1(
)1()1(
ttreal
t
tt
t
ttt
t
t
t
tt
t
tt brbrP
Pbr
P
P
P
Br
P
Br
Analog, 1
11
1
t
t
t
t m
P
M
Restricţia este deci următoarea: 1
111,
1)1(
t
tttrealttttt
mbrlwmbC
.
b) Utilitatea marginală a consumului la momentul t este:
t
t
mg CC
UU .
Elasticitatea unei funcţii în raport cu x are următoarea formulă:
f
x
x
ffEx
.
Elasticitatea utilităţii marginale la momentul t în raport cu consumul este:
t
tt
t
t
t
t
mg
t
t
mg
mgCC
CC
C
C
C
C
U
C
C
UUE
t
1 şi este constantă, t .
Interpretarea acestei elasticităţi este următoarea: mgC UEt
este egală cu aversiunea relativă
la risc. Faptul că aceasta este constantă ne arată că indiferent de cantitatea consumată,
agentul are aceeaşi atitudine faţă de risc.
c) U
l
U
ll
U
l
l
UUE tt
tt
t
lt
1
, unde 0
1
U
lt
.
U
m
U
mm
U
m
m
UUE
b
ttb
tt
t
mt
1
, unde 0
1
U
mb
t .
d) Există două posibilităţi de a rezolva următoarele subpuncte ale problemei: pentru a
forma Lagrangeanul, se poate obţine din toate restricţiile una singură, sau se poate
introduce în Lagrangean fiecare restricţie de la fiecare moment în mod separat, cu un
multiplicator ataşat. Vom prezenta în continuare a doua metodă, întrucât prima a fost
discutată la seminar.
.....),1,(),1,(...),1,(),1,( 1111
1111
0000
tttt
tttt mlCUmlCUmlCUmlCUL
(0 )0000 lwmbC t - (10
000,11111
1)1(
mbrlwmbC real )-…-
14
2
222,111111
1)1((
t
tttrealtttttt
mbrlwmbC
) -
)1
)1((1
111,
t
tttrealtttttt
mbrlwmbC
-.....
Sau, altfel scris:
0 1
111,
1)1(),1,(
t t
tttrealttttttttt
t mbrlwmbCmlCUL
Mai trebuie menţionat că 0lim
tt
b .
Condiţiile de optim:
ttt
t
t
t
t
CC
U
C
L
0 )1( 0
111
1
1
1
1
tt
tt
t
t
t
CC
U
C
L
)2( 0
1
1
1
11
00 1)2(:)1(
t
ttt
t
t
t
t CCC
C.
Dar este o necunoscută în această problemă, deci traiectoria consumului nu este
identificată prin ecuaţia de mai sus.
Pentru a afla raportul 1t
t
folosim următoarea ecuaţie: 0
1
tb
L.
1,1
1,11,1
1 1
1)1(0)1(0
trealt
ttrealtttrealtt
t rrr
b
L
Prin urmare,
1
1,
11
11
treal
ttr
CC
e) tttt
tt
t
t
t
wlwl
U
l
L
0
)1( 0
1111
11
1
1
1
ttt
ttt
t
t
t
wlwl
U
l
L
)2( 0
Funcţia
obiectiv de la
momentul t
Restricţia de la
momentul t
15
1
11,
1
1
11
1
111
00
1
111)2(:)1(
t
t
treal
t
t
t
t
ttt
tt
tt
t
t
w
w
rl
w
wll
w
w
l
l
f) Pentru a evidenţia relaţia dintre tl şi tC vom folosi următoarele două ecuaţii: 0
tl
Lşi
0
tC
L.
tttt
tt
t
t
t
wlwl
U
l
L
0
)1( 0
ttt
t
t
t
t
CC
U
C
L
0
)2( 0
1
00 )2(:)1(
t
ttt
t
t wClw
C
lunde 0
1
tw
.
Pentru a evidenţia relaţia dintre tl şi tm vom folosi următoarele două ecuaţii: 0
tl
Lşi
0
tm
L.
tttt
tt
t
t
t
wlwl
U
l
L
0
)1( 0
ttreal
tt
b
tt
t
tt
t
t
t rm
m
U
m
L
1
1
10
1
1
,
1
)2( 0
1
,
1
,
00
1
1
1
11
1
1
1
11
)2(:)1(
ttreal
tb
tt
ttreal
t
b
t
t
r
wml
r
w
m
lunde
tt
t
tttreal rrr
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
.
treal
tt
trealt
t
rr ,
1
,
1
11
1
16
1
1
1
11
t
tbtt
r
wml .
01
111
1
111
tt
trr
r .0
1
11
1
1
t
t
r
w
g) Știm că
1
1,
11
11
treal
ttr
CC .
În acest caz,
1
11
11
real
ttr
CC
1
011
11
realrCC
2
0
11
0
1
121
11
1
11
1
11
1
11
realrealrealreal rC
rrC
rCC .
.
.
.
Prin inducţie:
t
real
tr
CC
1
110
h) Știm că
1
11,
11
11
t
t
treal
ttw
w
rll .
Dacă rata de creştere a venitului real (o putem nota cu realw ), este constantă.
)1(1 realtt www .
t
real
real
treal
real
tt wr
llwr
ll
)1(
1
11)1(
1
110
1
1 .
i) În cazul extrem în care consumul este singura destinaţie a PIB, tt YC .
17
Vom utiliza următoarele ecuaţii: 0
tm
L şi 0
tC
L
rm t
b
tt
1
11 )1( 0
ttt
t
t
t
t
CC
U
C
L
0
)2( 0
bbtt
t
b
t
rYm
rC
m1
00
1
11
1
1
11)2(:)1(
)3( 0
Se observă că oferta reală de monedă depinde pozitiv de nivelul venitului şi negativ de
rata dobânzii. În cazul în care nu se observă imediat realţia inversă între oferta reală de
monedă şi rata dobânzii, trebuie verificat semnul următoarei derivate:
01
1
1
11
1121
1
rrbY
r
m bbt
t
Relaţia )3( 0 confirmă teoria keynesistă conform căreia cererea de monedă (egală la
echilibru cu oferta reală de monedă) este o funcţie crescătoare în raport cu venitul şi
descrescătoare în raport cu rata dobânzii.
j) Milton Friedman a propus ca regulă de politică monetară alegerea unei rate constante
pentru creşterea masei monetare, ceea ce implica o atitudine pasivă a băncii centrale.
Rata de creştere a masei monetare se poate nota cu
)1(1 Mtt MM
Regula Friedman constant M constant1
t
t
M
M
constant1
t
t
M
M
)1(111
1
1
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
m
m
P
P
M
P
P
M
M
M
constant1
t
t
M
Mconstant)1(
1
t
t
m
m, constant constant
1
t
t
m
m.
Pentru a analiza raportul 1t
t
m
m vom folosi următoarele ecuaţii 0
tm
L şi 0
1
tm
L:
1
1
10
1
11
real
tt
b
tt
tt
t
t
t rm
m
U
m
L
1
1
10
1
11
real
tt
b
tt
tt
t
t
t rm
m
U
m
L
M
18
tconrm
m
rm
m b
realt
t
real
b
t
t tan1
11
1
1
1
11-t
t
1
Regula de politică monetară este de tip Friedman.
Întrebare: În cazul în care rata inflaţiei este 5%, rata nominală este 7%, b=0.5, iar factorul
de actualizare 0.97, cât este rata de creştere a masei monetare?
019.1%51
%711
realr
97699.0019.1
1
97.0
1 5.0
1
1
t
t
m
m
0258.105.197699.0)1(11
t
t
t
t
m
m
M
M
Rata de creştere a masei monetare este 2.58%.
1
1
10
1
1 111
11
1
1
1 real
tt
b
tt
tt
t
t
t rm
m
U
m
L