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Résumé
Le travail présenté dans ce mémoire traite de la modélisation, la commande vectorielle et
l’identification paramétrique de la machine asynchrone (à induction) triphasée. Une
commande vectorielle de la machine asynchrone devient performante du moment où les
paramètres du modèle mathématique sont connus. La modélisation tient en considération
les phénomènes de saturation magnétique et pelliculaires, la validation des modèles se fait
par superposition avec des essais réels. Avec les modèles conçus, nous procédons à l’étude
de la commande vectorielle à flux rotorique orienté. Une analyse concernant la sensibilité
des performances de commande face à la connaissance paramétrique de la machine étant le
but principal. Des techniques de commande adaptative ont été abordées, tout en évitant
l’identification en temps réel. Enfin, des méthodes d’identification paramétriques,
déterministes et statistiques (maximum de vraisemblance) non linéaires, sont abordées. La
validation des algorithmes conçus dans l’environnement MatLab / Simulink se fait par
l’identification basée sur essais réels.
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Avant-Propos
Ce travail de maîtrise a été accompli au Laboratoire d’Électrotechnique, d’Électronique de
Puissance et de Commande Industrielle (LEEPCI) du Département de génie électrique et de
génie informatique de l’Université Laval et au Laboratoire de Projets (LPR) de l’École
d’Ingénieurs et Architectes de Fribourg (EIA-FR) en Suisse. Je tiens donc à remercier
particulièrement les personnes suivantes :
Je remercie M. Hoang Le-Huy, pour avoir accepté la direction de ce mémoire. Je remercie
également mon co-directeur de recherche, M. René Wamkeue, pour son soutien financier et
technique, sa disponibilité et ses conseils professionnels, tout au long de ce travail, pour
m’avoir témoigné sa confiance en me proposant ce sujet.
Je suis reconnaissant à M. Mustapha Lakehal, Professeur au département de génie
électrique de l’EIA-FR, pour ses conseils judicieux et son soutien financier, et pour avoir
accepté d’être membre du jury de mémoire. Merci aussi à M. Innocent Kamwa pour son
soutien logistique et financier, et pour avoir aussi accepté de faire partie du jury.
Toute ma reconnaissance à ma mère Claire, à mon père Aldo, à mon frère Joël, à toute ma
chère famille, et à tous mes amis.
Davide Aguglia
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à Daniele Aguglia, Egidio et Palmira
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Table des matières
Résumé.................................................................................................................................... i
Avant-Propos........................................................................................................................ ii
Table des matières ............................................................................................................... iv
Liste des figures................................................................................................................. viii
Liste des tableaux................................................................................................................. xi
Introduction générale ........................................................................................................... 1
CHAPITRE I......................................................................................................................... 3
1 MODÉLISATION DE LA MACHINE ASYNCHRONE.........................................3 1.1 Introduction............................................................................................................. 3 1.2 Hypothèses simplificatrices .................................................................................... 4
1.2.1 Hypothèse du premier harmonique................................................................. 4 1.2.2 Circuit magnétique parfaitement feuilleté ......................................................4 1.2.3 Saturation magnétique négligée...................................................................... 4
1.3 Équations de la machine asynchrone triphasée....................................................... 5 1.3.1 Définition des enroulements de la machine asynchrone.................................5 1.3.2 Équations électriques et mécaniques en grandeur de phase ...........................6 1.3.3 Transformation de Park .................................................................................. 9 1.3.4 Mise en équations de la machine asynchrone en coordonnées de Park........11 1.3.5 Transformation des grandeurs en valeurs réduites (système en p.u.) ...........14 1.3.6 Généralisation au modèle à plusieurs enroulements rotoriques de la machineasynchrone .................................................................................................................... 16
1.4 Modélisation de la machine asynchrone par représentation d’état .......................19 1.4.1 Le système d’équation d’état ........................................................................ 19 1.4.2 Harmonisation des équations de tension et de flux.......................................20 1.4.3 Calcul des conditions initiales ...................................................................... 24 1.4.4 Prise en compte de la saturation magnétique dans le modèle d’état.............26
1.5 Mise en œuvre numérique du modèle d’état......................................................... 30 1.5.1 Outil numérique : Environnement MatLab...................................................30 1.5.2 Implantation dans l’environnement Simulink ...............................................32
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1.5.3 Prise en compte de la saturation magnétique dans les modèles Simulink .....34 1.5.4 Choix des variables d’état : flux versus courants .........................................35
1.6 Implantation de la saturation magnétique dans le modèle en courant ..................41 1.7 Simulations et validation des modèles conçus...................................................... 44
1.7.1 Différences entre simple cage, double cage, encoches profondes et effets de
saturation magnétique................................................................................................... 44 1.7.2 Simulations avec et sans saturation magnétique...........................................47 1.7.3 Validation des modèles par comparaisons entre les simulations et lesrésultats expérimentaux ................................................................................................ 57
1.8 Conclusion ............................................................................................................ 62
CHAPITRE II ..................................................................................................................... 63
2 COMMANDE VECTORIELLE DE LA MACHINE ASYNCHRONE................63 2.1 Introduction........................................................................................................... 63 2.2 Principes de la commande vectorielle par orientation de flux..............................64 2.3 Commande vectorielle à flux rotorique orienté ....................................................65
2.3.1 Contrôle vectoriel direct et indirect .............................................................. 69 2.3.2 Calcul des régulateurs de courant et de vitesse.............................................70
2.4 Simulations de la commande vectorielle à flux rotorique orienté ........................77 2.4.1 Contrôle vectoriel indirect en boucle ouverte...............................................77 2.4.2 Contrôle vectoriel indirect en boucle fermée................................................80
2.5 Sensibilité de la commande vectorielle aux variations des paramètres de lamachine asynchrone.......................................................................................................... 83
2.5.1 Dégradation générée par les effets thermiques .............................................83 2.5.2 Dégradation générée par les effets pelliculaires ...........................................84 2.5.3 Dégradation générée par la saturation magnétique.......................................88
2.6 Commande vectorielle adaptative......................................................................... 90
2.6.1 Estimation de la réactance magnétisante affectée par la saturationmagnétique.................................................................................................................... 90
2.7 Conclusion ............................................................................................................ 92
CHAPITRE III.................................................................................................................... 93
3 IDENTIFICATION DÉTERMINISTE.................................................................... 93 3.1 Introduction........................................................................................................... 93 3.2 Généralités sur l’identification paramétrique des systèmes..................................94
3.2.1 Identification paramétrique........................................................................... 94 3.2.2 Identification basée sur l’erreur de sortie .....................................................96
3.2.3 Identification basée sur l’erreur de prédiction ..............................................97 3.2.4 Le critère ou l’estimateur.............................................................................. 98 3.2.5 L’algorithme d’optimisation ......................................................................... 98 3.2.6 Identification en temps différé (off line).....................................................100 3.2.7 Identification en temps réel - méthodes récursives (on line) ......................101
3.3 Moindres carrés sur l’erreur de sortie ................................................................. 102 3.4 Moindres carrés pondérés................................................................................... 103 3.5 Méthode des moindres carrés simples ................................................................ 103
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3.6 Méthode des moindres carrées récursifs ............................................................. 105 3.6.1 Conditions initiales de l’algorithme des moindres carrés récursifs ............108 3.6.2 Paramètres variables dans le temps ............................................................ 108
3.7 Marche à suivre pour l’identification en temps différé.......................................109 3.8 Procédure d’identification par moindres carrées (MC) ......................................110
3.8.1 Les contraintes ............................................................................................ 110 3.9 Validation par essai simulé de l’algorithme basé sur les moindres carrés deserreurs de sortie............................................................................................................... 112
3.9.1 Construction d’essais simulés et validation ................................................112 3.9.2 Détermination des paramètres mécaniques.................................................117 3.9.3 Essai simulé bruité ...................................................................................... 120
3.10 Conclusion .......................................................................................................... 124
CHAPITRE IV.................................................................................................................. 125
4 INTRODUCTION À L’IDENTIFICATION STATISTIQUE .............................125 4.1 Introduction......................................................................................................... 125
4.2 Caractéristiques probabilistes du bruit................................................................ 126 4.2.1 Hypothèses sur les bruits du système d’identification................................127
4.3 Les critères stochastiques.................................................................................... 130 4.4 Observateurs déterministes et stochastiques, le filtre de Kalman.......................131
4.4.1 Observateurs de Luenberger ....................................................................... 131 4.4.2 Filtre de Kalman linéaire ............................................................................ 132 4.4.3 Filtre de Kalman en régime permanent (ou statique) .................................137 4.4.4 Filtre de Kalman-Bucy................................................................................ 138
4.5 Filtre de Kalman combiné à un algorithme d’identification...............................139 4.6 Estimation au maximum de vraisemblance de la machine asynchrone..............140
4.6.1 Formule de Bayes et fonction de vraisemblance ........................................140
4.6.2 Critère du maximum de vraisemblance ......................................................141 4.6.3 Procédure numérique de l’identification au maximum de vraisemblance..1424.6.4 Mise en œuvre de l’algorithme du maximum de vraisemblance ................145
4.7 Conclusion ..........................................................................................................148
CHAPITRE V ...................................................................................................................149
5 APPLICATION AUX ESSAIS REELS DES ALGORITHMESD’IDENTIFICATION......................................................................................................149
5.1 Introduction.........................................................................................................1495.2 Identification appliquée aux essais réels.............................................................150
5.2.1 Identification des paramètres électriques....................................................1515.2.2 Identification des paramètres mécaniques ..................................................1545.3 Validation croisée ...............................................................................................1555.4 Conclusion ..........................................................................................................157
Conclusion générale..........................................................................................................158 Perspectives ....................................................................................................................160
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Bibliographie.....................................................................................................................161
Annexe A............................................................................................................................166 Listing des programmes Matlab et schémas Simulink pour la simulation de la machineasynchrone ......................................................................................................................166
Annexe B............................................................................................................................171 Listing des programmes Matlab et schémas Simulink pour la commande vectorielle de lamachine asynchrone........................................................................................................171
Annexe C............................................................................................................................175 Listing des programmes Matlab pour l’identification déterministe de la machineasynchrone ......................................................................................................................175
Annexe D............................................................................................................................179 Listing des programmes Matlab pour l’identification au maximum de vraisemblance dela machine asynchrone....................................................................................................179
Annexe E............................................................................................................................186 Photos installation de mesure pour l’identification de la machine asynchrone de Fribourg........................................................................................................................................186
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Liste des figures
Figure 1.1 : Représentation des enroulements d’une machine asynchrone ............................5Figure 1.2 : Représentation de la machine asynchrone de Park ...........................................11Figure 1.3 : Machine asynchrone de Park à plusieurs circuits rotoriques ............................16Figure 1.4 : Circuits équivalents généralisés de la machine asynchrone de Park ................17Figure 1.5 : Caractéristique d’une machine asynchrone entraînée au synchronisme ...........28Figure 1.6 : Facteur de saturation k ψ en fonction du flux de magnétisation.........................29
Figure 1.7 : Stabilité dans le lieu d’Evans ............................................................................32Figure 1.8 : Schéma de principe pour l’implantation dans l’environnement Simulink .........32Figure 1.9 : Schéma Simulink d’une machine asynchrone à double cage ............................33Figure 1.10 : Schéma Simulink d’une machine à double cage saturée .................................34Figure 1.11 : Schéma Simulink du calcul de k ψ , modèle en flux..........................................35
Figure 1.12 : Calcul du facteur de saturation pour le modèle en courant (modèle saturéapproximatif en négligeant la réactance dynamique) ...................................................36
Figure 1.13 : Courants statoriques au démarrage; étude en saturé des deux modèles..........37Figure 1.14 : Vitesse et couple au démarrage; étude en saturé des deux modèles ...............37Figure 1.15 : Calcul du facteur de saturation pour le modèle en courant (modèle exact) ....41Figure 1.16 : Schéma Simulink d’une machine saturée, modèle saturé en courant exact.....42
Figure 1.17 : Courants statoriques au démarrage; modèle en courant corrigé .....................43Figure 1.18 : Vitesse et couple au démarrage; étude en saturé, modèle en courant corrigé.43Figure 1.19 : Courants de démarrage simulés pour les trois types de rotor..........................45Figure 1.20 : Vitesses et couples de démarrage simulés pour les trois types de rotor..........45Figure 1.21 : Courant rotorique de la première cage dans un démarrage.............................46Figure 1.22 : Courant rotorique de la deuxième cage dans un démarrage............................47Figure 1.23 : Courants de démarrage et court-circuit triphasé symétrique...........................48Figure 1.24 : Zoom courant phase a: démarrage et c.c. triphasé symétrique .......................48Figure 1.25 : Vitesse et couple de démarrage et court-circuit triphasé symétrique..............49Figure 1.26 : Facteur de saturation, démarrage et court-circuit triphasé symétrique ...........49Figure 1.27 : Courants de court-circuit biphasé-terre...........................................................50
Figure 1.28 : Zoom courant phase a: c.c. biphasé contre terre.............................................50Figure 1.29 : Courants de court-circuit phase-terre ..............................................................51Figure 1.30 : Zoom courant phase a: c.c. monophasé contre terre.......................................51Figure 1.31 : Courants pendant l’échelon de couple mécanique (positif) ............................52Figure 1.32 : Zoom courant phase a: échelon positif de couple de charge...........................52Figure 1.33 : Vitesse et couple électromagnétique pendant l’échelon .................................53Figure 1.34 : Facteur de saturation pendant l’échelon de couple mécanique.......................53Figure 1.35 : Courants de démarrage et court-circuit triphasé symétrique – double cage ...54
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Figure 1.36 : Zoom courant phase a: démarrage et c.c. triphasé symétrique - double cage.54Figure 1.37 : Vitesse et couple de démarrage et court-circuit triphasé symétrique..............55Figure 1.38 : Facteur de saturation, démarrage et court-circuit triphasé symétrique – double
cage ...............................................................................................................................55Figure 1.39 : Schéma de mesure pour la validation des modèles.........................................57
Figure 1.40 : Tensions d’alimentation mesurées pendant le démarrage...............................58Figure 1.41 : Comparaison mesures-simulations des courants de démarrage ......................58Figure 1.42 : Zoom du courant de phase a pendant le démarrage ........................................59Figure 1.43 : Tensions d’alimentation mesurées pendant le c.c. triphasé symétrique..........60Figure 1.44 : Comparaison mesure-simulation entre les courants de c.c triphasé symétrique
......................................................................................................................................60Figure 1.45 : Tensions d’alimentation mesurées pendant le c.c. biphasé.............................61Figure 1.46 : Comparaison mesure-simulation entre les courants de c.c. biphasé ...............61Figure 2.1 : Relations entre flux-couple de consigne et courants de Park de consigne .......66Figure 2.2 : Schéma de principe de la commande vectorielle indirecte (boucle fermée).....68Figure 2.3 : Schématisation du régulateur PI de courant (réseau série) ...............................71Figure 2.4 : Principe de la compensation pour les régulateurs de courants..........................72Figure 2.5 : Schématisation de la régulation de vitesse........................................................74Figure 2.6 : Courbe typique de compensation PI pour un procédé intégrateur pur..............75Figure 2.7 : Schéma Simulink de la régulation de vitesse.....................................................76Figure 2.8 : Vitesse et couple pour un saut de consigne (0 à 1 p.u.) et régulation ...............76Figure 2.9 : Schéma Simulink de la commande à flux rotorique orienté en boucle ouverte.77Figure 2.10 : Allure du couple de consigne et simulé et vitesse mécanique – boucle ouverte
......................................................................................................................................78Figure 2.11 : Allures des flux rotoriques de Park – boucle ouverte ......................................78Figure 2.12 : Courants statoriques – boucle ouverte ............................................................79Figure 2.13 : Schéma Simulink de la commande à flux rotorique orienté en boucle fermée80Figure 2.14 : Allure de la vitesse et du couple (consigne et simulé) – boucle fermée .........81Figure 2.15 : Allures des flux rotoriques de Park (compensation présente)– boucle fermée
......................................................................................................................................81Figure 2.16 : Allures des flux rotoriques de Park (compensation absente)– boucle fermée82Figure 2.17 : Dégradations du couple et de la vitesse dues aux effets thermiques...............83Figure 2.18 : Dégradations des flux rotoriques de Park dues aux effets thermiques ...........84Figure 2.19 : Dégradations du couple électromagnétique dues aux effets pelliculaires.......85Figure 2.20 : Dégradations des flux rotoriques de Park dues aux effets pelliculaires .........85Figure 2.21 : Facteurs d’augmentation de r D et de diminution de x D dû à l’effet pelliculaire
......................................................................................................................................87Figure 2.22 : Dégradation du couple électromagnétique due à la saturation........................88Figure 2.23 : Dégradations des flux rotoriques dues à la saturation et facteur de saturation89Figure 2.24 : Schéma Simulink de l’estimateur du facteur de saturation..............................91Figure 3.1 : Structure de l’identification basée sur l’erreur de sortie ...................................96Figure 3.2 : Structure de l’identification basée sur l’erreur de prédiction............................97Figure 3.3 : Principe de la recherche d’un optimum...........................................................100Figure 3.4 : Séquence globale de l’identification par moindres carrés (MC).....................111Figure 3.5: Tensions d’alimentation de l’essai simulé (PPT) pour l’identification aux MC
....................................................................................................................................113Figure 3.6 : Courants de phase–identification MC sur essai (PPT)....................................114
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x
Figure 3.7 : Courants de Park – identification MC sur essai (PPT) ....................................114Figure 3.8 : Résidus sur les axes de Park - identification MC sur essai (PPT) ..................115Figure 3.9 : Courants de phase– identification MC sur essai de démarrage.......................118Figure 3.10 : Courants de Park – identification MC sur essai de démarrage ......................118Figure 3.11 : Résidus sur les axes de Park – identification MC sur essai de démarrage ...119
Figure 3.12 : Tensions d’alimentation de l’essai simulé (PPPT) pour identification MC - bruité ...........................................................................................................................120Figure 3.13 : Courants de phase–identification MC sur essai (PPPT) - bruité...................121Figure 3.14 : Courants de Park –identification MC sur essai (PPPT) - bruité ....................121Figure 3.15 : Résidus–identification MC sur essai (PPPT) - bruité....................................122Figure 4.1: Explication graphique de bruit blanc gaussien.................................................127Figure 4.2 : Schéma bloc d’un observateur de Luenberger ................................................131Figure 4.3 : Schéma de principe de la combinaison du filtre de Kalman à un algorithme
d’identification............................................................................................................139Figure 4.4 : Schéma de principe de l’identification au maximum de vraisemblance.........144Figure 4.5 : Schéma Simulink de principe pour l’identification au maximum de
vraisemblance .............................................................................................................147Figure 5.1 : Identification sur essai réel PPN – courants de phase.....................................151Figure 5.2 : Identification sur essai réel PPN – courants phase a (zoom) ..........................152Figure 5.3 : Identification sur essai réel PPN – résidus phase a .........................................152Figure 5.4 : Identification sur essai réel de démarrage – courants de phase.......................154Figure 5.5 : Identification sur essai réel de démarrage – courants de phase a....................155Figure 5.6 : Validation croisée sur essai de court-circuit triphasé symétrique...................156Figure 5.7 : Validation croisée sur essai de court-circuit phase-neutre..............................156
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Liste des tableaux
Tableau 1.1 : Grandeurs de référence pour la transformation en p.u....................................14Tableau 1.2 : Paramètres de la machine asynchrone du laboratoire LEEPCI ......................30Tableau 1.3 : Matrice A du modèle flux de la machine du laboratoire LEEPCI ..................30Tableau 1.4 : Matrice B du modèle flux de la machine du laboratoire LEEPCI ..................31Tableau 1.5 : Valeurs propres de la matrice A – pôles du système.......................................31Tableau 1.6 : Valeurs des paramètres de la même machine pour chaque type de rotor.......44Tableau 3.1: Paramètres de l’essai simulé et conditions initiales.......................................112
Tableau 3.2: Résultats de l’identification sur essai simulé (PPT) sans bruit......................115Tableau 3.3: Résultats de l’identification sur essai simulé sans bruit – PPPT et PT..........116Tableau 3.4: Résultats de l’identification sur essai simulé sans bruit – paramètres
mécaniques faux .........................................................................................................117Tableau 3.5 : Résultats de l’identification aux MC sur essai simulé de démarrage ...........119Tableau 3.6 : Résultats de l’identification MC sur essai simulé bruité PPPT - 6667 points
....................................................................................................................................122Tableau 3.7 : Résultats de l’identification MC sur essai simulé bruité PPPT - 20000 points
....................................................................................................................................123Tableau 4.1 : Résultats de l’identification avec critère MC et MV sur essai simulé PPPT146Tableau 5.1 : Machine asynchrone de l’EIA-FR – paramètres identifiés par méthode
classique......................................................................................................................150Tableau 5.2 : Résultats de l’identification aux moindres carrés sur essai réel (PPN) ........153Tableau 5.3 :Éléments caractéristiques de l’identification .................................................153Tableau 5.4 : Paramètres mécaniques identifiés par essai de démarrage ...........................154
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Introduction générale
Depuis une quinzaine d’années, la recherche dans le domaine des machines électriques,
continue à viser la machine asynchrone (ou à induction) de manière assidue. Ce phénomène
a été la conséquence des évolutions que l’électronique de puissance et de commande ont
connu pendant ces années. Avant cette évolution, la machine à courant continu était la reine
du domaine des entraînements à vitesse variable, avec tous les problèmes et désavantages
qu’un moteur de ce genre peut causer (coût de fabrication, coût d’entretien, faible couple
massique, etc.) Ensuite l’arrivée des nouveaux convertisseurs statiques de fréquence, ont
permis l’utilisation des machines synchrones dans un premier temps, plus tard, grâce à la
mise au point de nouvelles stratégies de commande implantables sur microprocesseur ou
DSP, les machines asynchrones. Un exemple de cette évolution est donné par les
changements de stratégie à bord du Train à Grande Vitesse (TGV) entre les débuts des
années ’80 et la moitié des années ’90. Ce train disposait d’abord des machines à courant
continu, puis synchrones et enfin asynchrones, en passant d’une puissance de 6450 kW à
12200 kW avec l’ Eurostar TGV tout en limitant l’encombrement des locomotives.
La technique de commande la plus utilisée dernièrement de la machine à induction
triphasée, est connue sous le nom de contrôle vectoriel. Elle est l’évolution du contrôle
scalaire mais maintien ses performances aussi en régime transitoire. De plus, les techniques
de régulation de la vitesse mécanique se voient simplifiées (dans le contrôle scalaire le
régulateur de vitesse doit être adaptatif à cause des phénomènes électromagnétiques
transitoires qui sont négligés). Cette simplification de réglage et l’augmentation des
performances en dynamique, se payent chères. En effet, la grande différence entre ces deux
stratégies de commande, réside dans le fait que pour un contrôle vectoriel les paramètres de
la machine doivent être connus assez précisément. Les difficultés se déplacent alors, vers
les méthodes d’identification des paramètres du moteur. La dynamique du contrôle devient
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de plus en plus efficace avec une bonne connaissance paramétrique. Pour ces raisons, nous
allons présenter des techniques d’identification paramétriques basées sur le modèle de
Park . Les effets de saturation magnétique seront pris en compte.
La partie modélisation occupe une phase importante du travail car c’est sur elle quel’identification et la commande s’appuient. La commande vectorielle est présentée dans
l’objectif de prendre conscience de l’importance de l’identification paramétrique.
L’identification s’articule en deux étapes, la première considère un environnement
déterministe et la deuxième stochastique. La structure du rapport est la suivante :
Le chapitre 1 est consacré entièrement à la modélisation de la machine asynchrone
triphasée, prenant en considération les effets pelliculaires et de la saturation magnétique, le
tout dans l’environnement MatLab / Simulink . Nous effectuons la superposition d’essais
réels avec les simulations pour valider les modèles conçus.
Dans le chapitre 2, nous développons les principes de la commande vectorielle à flux
rotorique orienté, et nous proposons une technique de contrôle adaptatif. Dans un deuxième
temps, les simulations dans Simulink de ce contrôle sur la machine modélisée au chapitre 1
sont proposées.
Le chapitre 3 traite de la technique de base utilisée dans ce travail concernantl’identification. Il présente les méthodes (déterministes) par moindres carrés basées sur
l’erreur de sortie. Les algorithmes bâtis sont validés par des essais simulés et l’influence du
bruit de mesure sur les résultats obtenus est exposée.
Le chapitre 4 est consacré à la théorie de l’identification par maximum de
vraisemblance qui fait face aux inconvénients des bruits de mesure. Le filtre de Kalman est
développé et utilisé dans l’algorithme d’identification pour prédire les états bruités du
modèle.
Dans le chapitre 5, nous appliquons les méthodes d’identification proposées à l’aide
d’essais réels obtenus sur la machine asynchrone du laboratoire de machine électriques de
l’école d’ingénieurs de Fribourg.
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CHAPITRE I
1 MODÉLISATION DE LA MACHINE
ASYNCHRONE
1.1 Introduction
Un modèle est un outil mathématique qui permet de représenter ou de reproduire plus ou
moins bien un système réel donné. L’intérêt d’un modèle est l’analyse et la prédiction du
comportement en régime stationnaire ou dynamique du système physique, sans
nécessairement y inclure toutes les contraintes qu’il présente (limites d’isolation,
thermiques, mécaniques, etc.) Dans ce travail, une modélisation fiable et suffisamment
précise de la machine à induction triphasée est proposée. Elle présente une importanceessentielle car il lui sera associé une commande vectorielle répondant aux exigences
actuelles d’entraînement des moteurs asynchrones. Une grande précision étant
généralement requise dans les systèmes de commande, un modèle répondant également aux
exigences de précision devient un impératif. Il est important de rappeler que toutes les
structures de commande et de régulation s’appuient sur un modèle du système à
commander. Dans le cas de la machine asynchrone le type de modèle couramment utilisé
pour développer sa commande est le modèle de reconnaissance ou d’état, construit à partir
des équations différentielles qui régissent le comportement de la machine (Chatelain 1983,
Kundur et al 1986, Boldea et al 1986, Barret 1987, Krause et al 1995, Caron et al 1999,
etc.) La machine électrique étant un système très complexe pour tenir compte dans sa
modélisation complète de tous les phénomènes physiques qu’elle contient, il est essentiel
de poser quelques hypothèses simplificatrices.
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1.2 Hypothèses simplificatrices
1.2.1 Hypothèse du premier harmonique
La répartition spatiale de la densité de flux (ou induction) magnétique au travers de
l’entrefer sera supposée parfaitement sinusoïdale. Ce qui se traduit par une variation
sinusoïdale, en fonction de la position du rotor, des inductances mutuelles entre stator et
rotor. Cette hypothèse implique une variation nulle de la perméance magnétique due aux
encoches.
1.2.2 Circuit magnétique parfaitement feuilleté
Les courants induits dans le circuit magnétique (courants de Foucault) seront supposés
négligeables en raisons des isolements électriques présents sur les plans décrits par la
direction de circulation du flux magnétique.
1.2.3 Saturation magnétique négligée
La saturation magnétique ne sera pas prise en compte dans un premier temps afin d’écrire
les flux propres de la machine comme des fonctions linéaires des courants, les inductances
étant supposées constantes. Elle sera ultérieurement intégrée dans le modèle de Park.
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5
1.3 Équations de la machine asynchrone triphasée
1.3.1 Définition des enroulements de la machine asynchrone
Le stator de la machine est constitué de trois enroulements répartis dans l’espace et séparés
d’un angle électrique de2
3
π radians. Le rotor que ce soit à simple cage d’écureuil ou
bobiné, est aussi formé de trois enroulements, car un système de courants triphasés
symétriques s’établi lors d’un fonctionnement en régime permanent. La Figure 1.1 présente
la schématisation des enroulements du stator et du rotor :
a
c
b
C
A
B
θ
Figure 1.1 : Représentation des enroulements d’une machine asynchrone
Il est à noter que les grandeurs rotoriques ont des indices en majuscule et celles du stator
en minuscule. L’angle électrique θ indique la position du rotor par rapport au stator. Si θ
est nul, l’enroulement de phase « A » de la partie mobile se trouve aligné à l’enroulement
« a » de la partie fixe, d’un point de vue magnétique. Par les hypothèses posées, seules les
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6
inductances mutuelles entre stator et rotor sont fonction de l’angle θ (Chatelain 1983,
Ferfra 1993, Lakehal 2004), soit :
( ), , , , , , , ,
aa bb cc
AA BB CC
ab ac ba bc ca cb
AB AC BA BC CA CB
Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc
L L L cst
L L L cst L L L L L L cst
L L L L L L cst
L L L L L L L L L f θ
= = =
= = == = = = = =
= = = = = =
=
(1.1)
Comme dans toutes les machines électriques tournantes, la production d’un couple est la
conséquence de l’interaction entre deux forces magnétomotrices (en négligeant les couples
réluctants), l’une produite par le stator et l’autre par le rotor. Dans une machine à courant
continu ou synchrone ces deux forces magnétomotrices peuvent être indépendantes etréglables sans trop d’efforts mais la machine asynchrone à cage d’écureuil possède une
force magnétomotrice au rotor qui dépend de celle au stator et d’une grandeur qui exprime
la vitesse relative du rotor m
ω par rapport à la vitesse du champ tournant s
ω , le glissement
g :
s m
s
g ω ω
ω
−= (1.2)
Si le glissement est nul, alors le couple le sera aussi car aucun courant ne sera induit dans le
circuit rotorique et donc la force magnétomotrice de la partie mobile sera inexistante.
1.3.2 Équations électriques et mécaniques en grandeur de phase
1.3.2.1 Équations de tension en grandeur de phase
En appliquant la loi d’Ohm généralisée à chaque enroulement du système, nous obtenons
pour le stator:
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8
1.3.2.2 Équations de flux en grandeurs de phase
Directement sous forme matricielle :
[ ] [ ][ ] [ ]
, , , , , ,
, , , , , ,
a b c s a b c sr A B C
T
A B C sr a b c r A B C
L I M I
M I L I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ψ = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ψ = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(1.6)
Dans les équations en (1.6) nous devons définir les matrices d’inductances :
aa ab ac
s ba bb bc
ca ab cc
L L L
L L L L
L L L
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(1.7)
AA AB AC
r BA BB BC
CA CB CC
L L L
L L L L
L L L
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(1.8)
[ ] [ ]
( )
( )
( )
max
2 2cos cos cos
3 3
2 2cos cos cos
3 3
2 2cos cos cos3 3
T
sr rs sr M M M
π π θ θ θ
π π θ θ θ
π π θ θ θ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥
⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥
⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
(1.9)
aa L est l’inductance propre de la phase a,
ab L la mutuelle entre la phase a et b,
sr M la
mutuelle entre stator et rotor et maxsr M l’inductance mutuelle maximale entre stator et rotor,
par exemple phase A et phase a alignées sur le même axe magnétique,
1.3.2.3 Équation mécanique
Comme la somme des couples à l’arbre est équivalente au couple inertiel, il s’ensuit :
me frot m
p
d J T T T T
p dt
Ω= = − −∑ (1.10)
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9
Avec :
J Inertie de toutes masses tournantes ramenées au rotor de la machine
p
p Nombre de paires de pôles
eT Couple électromagnétique
frot T Couple dû aux frottements du système d’entraînement
mT Couple mécanique de charge
Le problème du traitement des équations en grandeur de phase est celui d’avoir un système
non linéaire à cause notamment des inductances mutuelles en fonction de l’angleθ (voir
équation(1.9)) Pour cette raison nous allons travailler par la suite avec un modèle
transformé dans un repère à trois axes orthogonaux qui va permettre de rendre toutes les
inductances constantes, la transformation est dite de Park (Park 1929), le système reste
néanmoins non linéaire.
1.3.3 Transformation de Park
La transformée de Park est une opération mathématique qui permet de passer d’un système
triphasé d’axes magnétiques décalés d’un angle électrique de cent vingt degrés, en un
système à trois axes orthogonaux. En fait ce n’est rien d’autre qu’un changement de base
pour les axes magnétiques du système (Park 1929, Chatelain 1983, Caron et al 1995,
Lakehal 2004). La transformation directe est la suivante :
( )
( )
0
2 2cos cos cos
3 32 2 2
sin sin sin3 3 3
1/ 2 1/ 2 1/ 2
da da da
d a a
q da da da b b
c c
f f f
f f P f
f f f
π π θ θ θ
π π θ θ θ
⎡ ⋅ ⋅ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − − + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(1.11)
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10
Où f peut représenter une tension, un courant ou un flux magnétique, daθ est l’angle entre
l’axe de la phase a et l’axe d (axe direct) du référentiel de Park (voir Figure 1.2). L’indice q
représente l’axe de quadrature et l’indice 0 l’axe homopolaire. Le facteur2
3est présent dans
ce type de transformée pour permettre de conserver les amplitudes des courants, tensions et
flux, par contre il faudra faire attention dans le calcul des puissances et des couples dont
leurs valeurs ne sont plus conservés, qui vont nécessiter d’un facteur 3
2 (Caron et al 1995).
La transformée inverse de Park , qui permet de revenir dans le référentiel classique des
phases triphasé est définie comme suit :
( ) ( )
1
0 0
cos sin 1
2 2cos sin 1
3 3
2 2cos sin 1
3 3
da da
a d d
b da da q q
c
da da
f f f
f f P f
f f f
θ θ
π π θ θ
π π θ θ
−
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − ⋅ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
(1.12)
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11
1.3.4 Mise en équations de la machine asynchrone en coordonnées de
Park
La représentation de Park de la machine asynchrone est schématisée à la Figure 1.2. Lesaxes magnétiques d et q sont perpendiculaires entre eux et l’axe 0 (ou homopolaire) l’est
par rapport au plan décrit par d et q, il est dessiné à côté pour des raisons de clarté visuelle.
axe phase a
axe phase A
q
d
Ud ωda
UQ
ωm
θda
UD
Uq
θ
θdA
0
U0
stator
rotor
Figure 1.2 : Représentation de la machine asynchrone de Park
Les angles da
θ et dA
θ se représentent respectivement l’angle électrique entre la phase a
statorique et l’axe d de Park et celui entre la phase A rotorique et l’axe d de Park .
L’enroulement homopolaire du rotor n’est pas représenté à cause de son influence
inexistante dans notre système.
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12
1.3.4.1 Équations de flux en coordonnées de Park
Nous appliquons la transformée de Park aux équations de flux en(1.6), nous obtenons :
0 0 0
d d d md D
q d q mq Q
D D D md d
Q D Q mq q
L I L I
L I L I
L I
L I L I
L I L I
Ψ = +Ψ = +
Ψ =
Ψ = +
Ψ = +
(1.13)
Avec :
0
max
2
3
2
d aa ab
D A AA AB
aa ab a
md mq m sr
L L L
L L L L
L L L L
L L L M
= −
= = −
= + =
= = =
(1.14)
Les équations en (1.13) et (1.14) se réfèrent aux enroulements de la Figure 1.2, md L est
l’inductance mutuelle cyclique entre stator et rotor sur l’axe d . Il est intéressant de
remarquer que cette inductance est constante car les enroulements du rotor et du stator dans
le référentiel de Park sont toujours alignés, de ce fait la résolution du problème est
facilitée. 0 L est l’inductance de l’enroulement homopolaire. L’équation de flux homopolaire
est manquante en (1.13), ceci est explicable par le fait qu’au rotor nous n’avons pas la
possibilité de connecter un neutre (pour un rotor à cage)
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13
1.3.4.2 Équation de tension dans le référentiel de Park
Comme nous l’avons fait pour les équations de flux, nous appliquons la transformé de Park
aux équations de tension décrites en (1.3) et (1.4) :
( )
( )
0 0 0 0
0
0
d a d d da q
q a q q da d
D D D da m Q
D Q Q da m D
U R I p
U R I p
U R I p
R I p
R I p
ω
ω
ω ω
ω ω
= + Ψ − Ψ
= + Ψ + Ψ
= + Ψ
= + Ψ − − Ψ
= + Ψ + − Ψ
(1.15)
La vitesse angulaire du système d’axes de Park daω peut prendre n’importe quelle valeur,
pour autant queda
θ varie en conséquence dans les matrices de transformation de Park P et
P-1. Généralement le choix de daω se fait en vue d’une simplification de calcul des
équations de tension (1.15) en fonction de la stratégie de commande. Pour des fins de
simulations nous choisissons entre trois référentiels, soient :
0daω = Système d’axes liés au stator
da mω ω = Système d’axes liés au rotor
da sω ω = Système d’axes liés au champ tournant
Le choix de la valeur de cette grandeur dépend du type de commande vectorielle envisagée.
1.3.4.3 Équation de couple dans le référentiel de Park
Le couple électromagnétique eT s’exprime de la manière suivante :
( )3
2e p d q q d T p i i= Ψ − Ψ (1.16)
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14
1.3.5 Transformation des grandeurs en valeurs réduites (système en p.u.)
La notion de valeur réduite « per units » repose sur le concept de grandeur de référence.
Ces grandeurs facilitent le calcul, la compréhension et l’évaluation des ordres de grandeurs
des variables par rapport à des grandeurs de référence (ou de base). L’utilisation des valeurs
réduites nous permet de simplifier l’élaboration des schémas équivalents. Les équations
suivantes (Chatelain 1983) représentent les valeurs de référence (ou de base) des machines
tournantes :
Tableau 1.1 : Grandeurs de référence pour la transformation en p.u.
Grandeur Calcul de la référence ou base UnitéTension 2réf N U U = [V]
Courant 2réf N I I = [A]
Puissance 33
2réf réf réf N N P U I U I = =
[VA]
Impédanceréf
réf
réf
U Z
I =
[ Ω ]
Inductanceréf
réf
réf
Z L
ω =
[H]
Flux réf réf réf réf réf
U L I ω
Ψ = = [Wb]
Pulsation 2réf n réf f ω ω π = = [rad/s]
Vitesse angulairedes axes
réf
mréf p
ω Ω =
[rad/s]
Coupleréf
réf
réf
PT =
Ω
[Nm]
Temps
réf réf
t ω
1=
[s]
Où N U et N I représentent la tension et le courant nominal de phase.
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15
1.3.5.1 Équations de flux, de tension et mouvement de la machine asynchrone dans le
référentiel de Park en valeurs réduites (p.u.)
En divisant toutes les grandeurs dans les équations en (1.13) et (1.15) par leur référence au
Tableau 1.1, nous obtenons pour les flux magnétiques :
0 0 0
d d d md D
q q q mq Q
D D D md d
Q Q Q mq q
l i l i
l i l i
l i
l i l i
l i l i
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
= +
= +
=
= +
= +
(1.17)
Et pour les tensions :
( )
( )
0 0 0 0
1
1
1
10
10
d a d d da q
réf
q a q q da d
réf
réf
A D D da m Q
réf
A Q Q da m D
réf
u r i p
u r i p
u r i p
r i p
r i p
ψ ω ψ ω
ψ ω ψ ω
ψ ω
ψ ω ω ψ
ω
ψ ω ω ψ ω
= + −
= + +
= +
= + − −
= + + −
(1.18)
Toutes les grandeurs sont exprimées en p.u. à l’exception de réf ω qui est exprimé en [rad/s]
afin de rendre sans dimension le terme de tension de transformation dans lequel dt est
exprimé en secondes (Chatelain 1983) L’équation de mouvement devient :
( ) ( )12m e m m
p t t D H
ω ω = − − (1.19)
Avec H la constante d’inertie (Chatelain 1983) qui vaut :
21
2 2réf méc
réf
J H
P
τ Ω= = (1.20)
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16
D est le coefficient de friction (frottement visqueux) et le couple électromagnétique en p.u.
s’obtient en divisant (1.16) par T réf :
e d q q d t i iψ ψ = − (1.21)
1.3.6 Généralisation au modèle à plusieurs enroulements rotoriques de la
machine asynchrone
Il existe plusieurs types de rotor à cage d’écureuil, simple cage, double cage et celle à
encoches profondes (Boldea et al 2001). Leur modélisation nécessite l’ajout de plusieurs
circuits rotoriques. Le courant dans une barre du rotor d’une machine asynchrone est
fonction des effets pelliculaires et de proximité. Pendant ce déplacement la section de la barre vue par le courant change, donc la résistance de la barre rotorique change aussi en
modifiant le couple électromagnétique. La forme des barres est déterminée en fonction de
la caractéristique couple-vitesse souhaitée, notamment le couple de démarrage. Si le
courant se déplace dans la barre rotorique en réalité, une solution est de simuler ce
déplacement aussi en simulation dans différents circuits rotoriques de résistance différente
(Ferfra 1993, Wamkeue 1998). La Figure 1.3 représente la machine asynchrone de Park à
plusieurs circuits rotoriques :
q
dD2 Dnd
Q1
Qnq
Q2
D1q
d
0
0
Figure 1.3 : Machine asynchrone de Park à plusieurs circuits rotoriques
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17
Dans cette représentation nous avons séparé le stator du rotor par l’intersection des axes d
et q de Park . Nous allons maintenant traduire le schéma de la Figure 1.3 en circuits
électriques classiques, (Figure 1.4) (Wamkeue 1998) :
Figure 1.4 : Circuits équivalents généralisés de la machine asynchrone de Park
Les axes de Park d , q et 0 sont représentés respectivement en (a), (b) et (c) de la Figure 1.4.En se servant du Tableau 1.1 il est possible de prouver que la valeur d’une inductance en
p.u. est équivalente à la valeur de sa réactance en p.u., de plus par symétrie et par les
hypothèses posées (effets d’encoches négligés), les relations suivantes peuvent s’écrire :
u0
+i0
r a
xa
(c)
(a)
xDnd
r Dnd
xDnd-1
r Dnd-1
xD1
r D1xmd
xar a
eq+ -
+id
ud
emQ+ -
(b)
xmq
xar a
ed- +
+iq
uq
eQ1+
-eQnd-1
+
-eQnd+
-
xQnd
r Qnd
xQnd-1
r Qnd-1
xQ1
r Q1
emD+-
eD1+-
eDnd-1+-
eDnd+
-
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18
; 1...
; , 1... ;
; , 1... ;
i
i i i i
i i i j j i
i i i j j i
md mq m
dd qq a m
DiDi md D
D D Q Q
dD D d D D D D m
qQ Q q Q Q Q Q m
x x x
x x x x
x x x i n
x x
x x x x x i j n i j
x x x x x i j n i j
= =
= = +
= + =
=
= = = = = ≠
= = = = = ≠
(1.22)
Oùd q
n n n= = est le nombre de circuits rotoriques qui ne dépasse généralement pas
trois(Ferfra 1993) car ce nombre suffit pour la modélisation d’une cage à encoches
profondes (théoriquement il faudrait un nombre infini de circuits rotoriques pour que le
modèle soit exact pour toutes fréquences). Les équations de flux peuvent être généralisées :
1 1 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 1
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 1
...
...
...
...
...
d dd d dD D dD D dDn Dn
D D d d D D D D D D D Dn Dn
Dn Dnd d DnD D DnD D DnDn Dn
q qq q dQ Q dQ Q dQn Qn
Q Q q q Q Q Q Q Q Q Q Qn Qn
Qn
x i x i x i x i
x i x i x i x i
x i x i x i x i
x i x i x i x i
x i x i x i x i
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
= + + + +
= + + + +
= + + + +
= + + + +
= + + + +
M
M
1 1 2 2
0 0 0
...Qnq q QnQ Q QnQ Q QnQn Qn
x i x i x i x i
x iψ
= + + + +
=
(1.23)
De même pour les équations de tension :
( )
( )1
0 0 0 0
1 1
1 1
1
1 10 ; 1,...,
10
l l l l l l l
l l l l l
d a d d da q a d d q
réf réf
q a q q da d a q q d
réf réf
réf
D D D D da m Ql D D D Ql mQ
réf réf
Q Q Q Q da m Dl Q Q
réf
u r i p r i p e
u r i p r i p e
u r i p
u r i p r i p e e l n
u r i p r i
ψ ω ψ ψ ω ω
ψ ω ψ ψ ω ω
ψ ω
ψ ω ω ψ ψ ω ω
ψ ω ω ψ ω
= + − = + −
= + + = + +
= +
= = + − − = + − − =
= = + + − =1
; 1,...,lQ Dl mD
réf
p e e l nψ ω
+ + + =
(1.24)
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1.4 Modélisation de la machine asynchrone par représentation
d’état
La représentation d’état est un outil utile à la description des systèmes, à leur analyse, et à
la synthèse de lois de commande sophistiquées. C’est une vision élargie de la théorie des
systèmes reposant sur le concept d’énergie. En fait, à partir d’un instant donné, les systèmes
dépendent non seulement des entrées extérieures mais également de son état énergétique à
cet instant (Caron et al 1995, Grellet et al 2000).
1.4.1 Le système d’équation d’état
Les grandeurs, fonction du temps, représentant les états énergétiques du système sont les
composantes du vecteur d’état X . Les équations qui régissent le système sont :
U B X A X ⋅+⋅=& Équation d’état
U D X C Y ⋅+⋅= Équation d’observation
Avec :
A matrice d’évolution
X vecteur des variables d’état
B matrice d’application de commande
U vecteur des entrées
C matrice d’observation
Y vecteur des sorties
D matrice de transmission directe
Ce formalisme est beaucoup utilisé dans le domaine de l’automatique et de l’identification.
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20
1.4.2 Harmonisation des équations de tension et de flux
Le formalisme que nous allons décrire ici pour le développement du modèle d’état a été
introduit par (Wamkeue 1998, Wamkeue et al 2002) pour la machine synchrone. Il permet
l’analyse de la machine en écrivant ses équations sous forme de matrices partionnées et
compactes. Les équations de flux de la machine deviennent donc :
0
1 1
1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0... ... ... ... ... ... ... ... ......
0 0 0 0 0 0 0 0
d a
q a
h
D D
Dn Dn
Q D
QnQn
u r
u r
u r
u r
u r
u r
r u
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢=⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
( )
( )
( )
( )
0 0
11 1
11 1
0
... ... ...
...... ...
da qd d
da d q q
da m Q D D
réf Dn Dn da m Qn
QQ da m D
QnQn da m Dn
i
i
i
i p
i
i
i
ω ψ ψ
ω ψ ψ
ψ
ω ω ψ ψ
ω ψ ω ω ψ
ψ ω ω ψ
ψ ω ω ψ
−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ − −⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ + + ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥− −⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥
⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ −⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
(1.25)
Oùd
pdt
= . De même les équations de flux de façon matricielle deviennent :
0
1 1
1 1
0 0 ... 0 ... 0
0 0 0 ... 0 ...
0 0 0 ... 0 0 ... 0
0 0 ... 0 0 ... 0... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 ... 0 ... 0
0 0 0 ... 0 ... 0
... ... ... ... ... .....
d d md md
qd md md
h
D md D
Dn md Dn
Q md D
Qn
x x x
x x x
x
x x
x x
x x
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
0
1
1
...
. ... ... ... ...
0 0 0 ... 0 0 ...
d
q
D
Dn
Q
md Dn Qn
i
i
i
i
i
i
x x i
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(1.26)
Pour la simplification nous allons utiliser les sous matrices suivantes :
2 3nréf
p I
ω +Π = (1.27)
8/17/2019 Identification Des Parametres de La Machin Asynchr
33/199
21
3,2
2 ,3
0
0da n
n W
ω Ξ⎡ ⎤Ω = ⎢ ⎥
⎣ ⎦ (1.28)
0 1 0
1 0 00 0 0
−⎡ ⎤
⎢ ⎥Ξ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(1.29)
( ),
,
0
0n n n
da m
n n n
I W
I ω ω
−⎡ ⎤= − ⎢ ⎥
⎣ ⎦ (1.30)
Dans cette formulation la matrice Ω est appelée, matrice de couplage des axes. n I est la
matrice identité de rang n. À l’aide des sous-matrices, les équations de tension et de flux se
résument de la manière suivante :
[ ]3,2
2 ,3
0
0s ns s s
n r r r r
Ru i
Ru i
Ψ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + Π + Ω⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ψ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
(1.31)
s sr s s
T
sr r r r
X X i Xi
X X i
Ψ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= → Ψ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ψ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
(1.32)
Avec :
0 0
( , , ) 0 0
0 0
a
s a a h a
h
r
R diag r r r r
r
⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(1.33)
1 2, 1 2,( , ... , , ... )r D D Dn D D Dn R diag r r r r r r = (1.34)
0 0( , , ) 0 0
0 0
d
s d d h d
h
x X diag x x x x
x
⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(1.35)
,
,
0
0 D n n
r
n n D
X X
X
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦ (1.36)
8/17/2019 Identification Des Parametres de La Machin Asynchr
34/199
22
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
D D D D D Dn
D D D D D Dn
D
DnD DnD DnDN
x x x
x x x X
x x x
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(1.37)
[ ]1, 1,
1, 1, 1,
1, 1,
0
0 : 1......1
0 0
n n
sr m n n n n
n n
J
X x J avec J
⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(1.38)
Nous avons la possibilité de choisir les variables d’états flux ou courant dans l’équation
(1.31) grâce à la relation(1.32). Nous avons maintenant la possibilité d’écrire ces équations
sous forme d’état. Choisissons d’abord les courants comme variables d’état avec (1.32)
dans (1.31) et en mettant en évidence les dérivées des courants :
( )1 1s s sréf m m m réf mr r r
i i u p X R X X
i i uω ω − −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + Ω +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.39)
Avec :
3,2
2,3
0
0s s sr
m m T
r sr r
R X X R et X
R X X
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦
(1.40)
Nous sommes dans la condition d’extrapoler les matrices d’états correspondantes (l’indice i
sert à préciser les matrices avec les courants comme variables d’états) :
( )1
1
3 3,2
2 ,3 2 ,2
3 2 ,3 2
0
0 0
0
i réf m m m
i réf m
n
i
n n n
i n n
a X R X
b X
I c
d
ω
ω
−
−
+ +
= − + Ω
=
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦=
(1.41)
Le passage aux variables d’état flux est simple, il suffit de modifier les matrices d’état de
(1.41) comme suit :
8/17/2019 Identification Des Parametres de La Machin Asynchr
35/199
23
1
1
i
i
i
i
a Xa X
b Xb
c c X
d d
ψ
ψ
ψ
ψ
−
−
=
=
=
=
(1.42)
Évidemment la grandeur qui met en relation un flux avec un courant est une inductance (en
p.u. la réactance a la même valeur) Le système décrit en (1.42) a des variables d’états flux
et comme sortie les courants. Il reste encore l’introduction de l’équation de mouvement
pour rendre notre modèle électromécanique.
1.4.2.1 Prise en considération de l’équation de mouvement dans le modèle d’état
Nous reprenons l’équation (1.19) :
( ) ( )1
2m e m m p t t D
H ω ω = − − (1.43)
Le couple électromagnétique peut être développé comme suit :
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1t
t t t t
e d q q d i i iT i i i G i X G X X G X Gψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ − − − −= − = = = = (1.44)
Avec :
1, 1,
1, 1,
1, 1,
2 ,1 2 ,1 2 ,1 2 , 2 ,
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
d n m n
d m n n
i
n n
n n n n n n n
x x J
x x J G
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(1.45)
1t
i
G X G X ψ
− −= (1.46)
Dans l’équation (1.44) nous observons que la matrice G est multipliée par le carré des
variables d’états, ceci implique que le modèle électromécanique n’est pas linéaire par
rapport aux variables d’états (équations différentielles non-linéaires). La matrice G peut
être introduite dans la formulation d’état comme suit :
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36/199
24
2 3,1 2 3,1
1,2 3
0 0( ) 1 1
02 2 2
z n z n
t
m m z n
a b z u
p X Dt z G
H H H
+ +
+
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ω− ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(1.47)
2 3,1
1,2 3
00 1
z n
n
c y z+
+⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
(1.48)
Soit :
2 3,10
1
2 2
z n
z t
z
a
A D z G
H H
+⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎣ ⎦
(1.49)
2 3,1
1,2 3
01
02
z n
z
n
b B
H
+
+
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣ ⎦
(1.50)
2 3,1
1,2 3
0
0 1 z n
z
n
cC
+
+
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦ (1.51)
2 3,2 30 , z n n D avec z i ψ + += = (1.52)
Cette méthode permet une programmation plus simple et moins lourde car il suffit de
construire une sous-matrice après l’autre de grandeur limitée.
1.4.3 Calcul des conditions initiales
Lors des simulations numériques, l’objectif est de simuler des phénomènes transitoires en
partant d’un régime permanent. Il est donc important de calculer au préalable les conditions
initiales des variables d’états. Pour ce faire, nous considérons le régime établi à l’instant précédant, et donc que les dérivées des variables d’états étaient nulles. Il suffit de connaître
les valeurs des tensions et de la vitesse pour pouvoir calculer les courants ou les flux, le
couple électromagnétique et de charge initiale :
8/17/2019 Identification Des Parametres de La Machin Asynchr
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25
( ) ( ) ( )1 10 0 0s sréf m m m réf mr r
i u X R X X
i uω ω − −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + Ω +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.53)
( ) ( ) ( ) ( )
1
10 0 0réf ms s si
r r r réf m m m i
X i u ub
i u u X R X a
ω
ω
−
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ Ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.54)
iinit
i
bi u
a= − (1.55)
Deux façons de calculer les flux magnétiques initiaux sont envisageables :
init init
init
Xi
bua
ψ
ψ
ψ
ψ
=
= − (1.56)
À noter que le glissement g est présent dans les matrices a et b. Nous appliquons la même
procédure à l’équation de mouvement :
( )
0
10
2 einit m m
m einit m
t t D H
t t D
ω
ω
= − −
= − (1.57)
mt est donc le couple mécanique de charge en p.u. qui peut être déterminé si nous
connaissons la vitesse et le couple électromécanique initiaux :
init init init init einit d q q d t i iψ ψ = − (1.58)
Le coefficient de frottement D doit être connu comme tous les autres paramètres de la
machine (résistances, inductances et inertie)
8/17/2019 Identification Des Parametres de La Machin Asynchr
38/199
26
1.4.4 Prise en compte de la saturation magnétique dans le modèle d’état
1.4.4.1 Saturation des flux de fuites
On assumera que les flux de fuites ne sont pas influencés par la saturation magnétique.
Cette supposition est acceptable car une bonne partie du trajet du flux de fuite se fait dans
l’air qui possède une perméabilité beaucoup plus faible que celle du fer.
La technique que nous allons utiliser dite technique de saturation croisée a été introduite par
(Krause 1986, Boldea et al 1987) et développée pour l’adapter aux modèles d’état par
(Wamkeue et al 2002). Dans la caractéristique B=f(H) d’un matériau ferromagnétique, la
pente de la droite qui passe au point de fonctionnement et à l’origine correspond à la perméabilité instantanée. Si la perméabilité varie dans le temps, alors l’inductance associée
varie aussi, dans notre cas cette inductance est celle du flux communm m
l x= . Ce que nous
allons faire est donc de modifier à chaque incrément de simulation cette inductance. Nous
partons des équations suivantes :
md md md
mq md mq
x i
x i
ψ
ψ
=
= (1.59)
Grâce à la perpendicularité des axes de Park , nous avons la possibilité de retrouver les
amplitudes des courants et des flux de la machine de manière quadratique comme suit :
2 2
2 2
m md mq
m md mq
i i i
ψ ψ ψ
= +
= + (1.60)
Et du fait de la géométrie du circuit magnétique de la machine asynchrone :
m md mq x x x= = (1.61)
8/17/2019 Identification Des Parametres de La Machin Asynchr
39/199
27
Ce que nous faisons est donc de transformer le système à deux axes (d et q) en un système à
un axe. Nous pouvons exprimer la valeur de la réactance saturée en fonction de celle qui ne
l’est pas :
( ) 0m m m x k xψ ψ = (1.62)
Avec
( ) 0 0m m
m
m m m
xk
x x iψ
ψ ψ = = (1.63)
Où k ψ
est le facteur de saturation et 0m x la réactance magnétisante non saturée, évaluée
dans la zone linéaire de la courbe de saturation. La caractéristique à vide )( t t i f u = , doncla tension terminale (ou statorique) en fonction du courant terminal, s’obtient en régime
permanent lorsque la machine tourne à vide. Nous obtenons la relation en grandeurs
complexes suivante, en négligeant la chute de tension statorique:
( ) ,t a t t a a t m m m m m videu r i j r jx i jx i jx i jψ ψ = + = + + ≈ = (1.64)
Les grandeurs terminales sont définies comme suit :
1 1 1 2 2 2; ; ;t d q D Q D Q n Dn Qn
t d q
t d q
i i ji i i ji i i ji i i ji
u u ju
jψ ψ ψ
= + = + = + = +
= +
= +
(1.65)
Et vu qu’à vide les courants rotoriques sont pratiquement nuls (si possible nous entraînons
la machine au synchronisme) :
1 2 ,m md mq t n t videi i ji i i i i i= + = − + + + + = −L
(1.66)
En charge, la machine sature identiquement qu’à vide (dans le sens que la caractéristique à
vide est toujours valable). Le facteur de saturation est exprimé comme suit :
8/17/2019 Identification Des Parametres de La Machin Asynchr
40/199
28
( ) ,0 0 0,
m videm t m
m m m t vide m t
uK
x i x i x iψ
ψ ψ ψ = = = (1.67)
La Figure 1.5 présente l’allure de la courbe à vide d’une machine asynchrone.
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
um (p.u.)
i m (
p . u . )
Droite d'entrefer
Figure 1.5 : Caractéristique d’une machine asynchrone entraînée au synchronisme
De cette courbe nous pouvons obtenir celle de K ψ en faisant une approximation
polynomiale de l’équation (1.67) :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2
0 1 10
... N
z N
m z m m m m N m
z
K ψ ψ β ψ β ψ β ψ β ψ β ψ =
= = + + +∑ (1.68)
Les coefficients z β sont identifiés par ajustement aux moindres carrés à la caractéristique à
vide sous la contrainte suivante :
( )0
1max 1
t
t m
m t i
duK x di
ψ ψ =
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠ (1.69)
La relation (1.69) impose simplement à la courbe de saturation une inclinaison maximale
de 4/π [rad ] pour s’assurer qu’en tout temps nous n’amplifions pas le flux commun. La
Figure 1.6 présente l’allure du facteur de saturation :
8/17/2019 Identification Des Parametres de La Machin Asynchr
41/199
29
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
ψm (pu)
k ψ
Figure 1.6 : Facteur de saturation k ψ en fonction du flux de magnétisation
En ayant à disposition ce facteur nous pouvons connaître à chaque moment la valeur de
l’inductance magnétisante :
0m m x k xψ = (1.70)
Comme nous allons le voir dans les sections suivantes, cette façon de tenir en compte les
effets de saturation permet une implantation aisée de la commande adaptative, surtout dans
un environnement comme Simulink .
8/17/2019 Identification Des Parametres de La Machin Asynchr
42/199
30
1.5 Mise en œuvre numérique du modèle d’état
1.5.1 Outil numérique : Environnement MatLab
En un premier temps nous avons bâti un programme numérique en Matlab (fichier *.m en
annexe A) qui permet de calculer les matrices d’état numériquement. Avant de passer aux
simulations et à la validation par comparaison avec les mesures, un premier test consiste à
vérifier la stabilité du système. Dans la modélisation par représentation d’état, les valeurs
propres de la matrice A sont les pôles du système (Caron et al 1995). Pour effectuer cette
vérification il est nécessaire d’avoir des paramètres d’une machine asynchrone réelle et de
choisir une vitesse (le glissement est présent dans les matrices d’état). Pour cela, nousavons utilisé les paramètres de la machine asynchrone du laboratoire LEEPCI de
l’Université Laval qui ont été identifiés par des méthodes fréquentielles par (Ferfra 1993) :
Tableau 1.2 : Paramètres de la machine asynchrone du laboratoire LEEPCI
r a xa r D1 r D2 x D1 x D2 xm H D
0.03961 0.046 0.02097 0.96706 0.1321 0.14093 1.77187 0.41 0.001
Cette machine a été modélisée par deux cages rotoriques pour prendre en compte les effets pelliculaires. Ses valeurs nominales sont : 5-KVA, 220-V 13.1-A, 60-Hz et deux paires de
pôles, couplée en étoile. Les matrices d’états correspondantes pour un modèle avec les flux
comme variables d’états et un glissement de 50% sont les suivantes :
Tableau 1.3 : Matrice A du modèle flux de la machine du laboratoire LEEPCI
-133.73 376.99 0 62.307 66.471 7.39E-12 9.09E-13 0
-376.99 -133.73 0 -7.39E-12 -9.09E-13 62.307 66.471 0
0 0 -1885 0 0 0 0 0
1521.2 -1.11E-11 0 -2090.4 529.71 188.5 2.96E-12 0
35.191 -9.32E-12 0 11.486 -47.591 9.78E-12 188.5 0
1.11E-11 1521.2 0 -188.5 -2.96E-12 -2090.4 529.71 0
9.32E-12 35.191 0 -9.78E-12 -188.5 11.486 -47.591 0
0 0 0 0 0 0 0 -0.0012195
8/17/2019 Identification Des Parametres de La Machin Asynchr
43/199
31
Tableau 1.4 : Matrice B du modèle flux de la machine du laboratoire LEEPCI
376.99 0 0 -3.41E-13 -4.55E-13 0 0 0
0 376.99 0 0 0 -3.41E-13 -4.55E-13 0
0 0 376.99 0 0 0 0 0
-4.55E-13 0 0 376.99 -4.55E-13 0 0 0
0 0 0 2.27E-13 376.99 0 0 00 -4.55E-13 0 0 0 376.99 -4.55E-13 0
0 0 0 0 0 2.27E-13 376.99 0
0 0 0 0 0 0 0 -1.2195
Tableau 1.5 : Valeurs propres de la matrice A – pôles du système
-2139.6 + 192.75i
-2139.6 - 192.75i
-93.256 + 353.01i
-93.256 - 353.01i-38.827 + 208.23i
-38.827 - 208.23i
-1885
-0.0012195
C et D sont respectivement une matrice identité et une matrice nulle, pour un modèle en
courant. Les pôles du système ont un caractère oscillatoire qui peut varier selon la vitesse
mécanique, la vitesse du repère de Park et les flux. Les parties réelles restent négatives ce
qui vérifie la stabilité du modèle. De plus il est intéressant de remarquer le dernier pôle du
Tableau 1.5, c’est le plus lent et donc le dominant, effectivement il correspond à l’inverse
de la constante de temps mécanique, si nous négligeons la dynamique électromagnétique. À
la Figure 1.7 nous avons un rappel sur le lieu d’Evans :
8/17/2019 Identification Des Parametres de La Machin Asynchr
44/199
32
Re
Imy
x
y
x
y
x
y
x
InstableStable
Figure 1.7 : Stabilité dans le lieu d’Evans
1.5.2 Implantation dans l’environnement Simulink
Les matrices calculées précédemment permettent de simuler le modèle par programmation
classique . Pourtant il est intéressant de concevoir un block Simulink complètement
indépendant de fichiers *.m pour des questions visuelles et de compréhension. De plus,
comme nous allons le montrer, l’implantation de la saturation magnétique est plus simple
dans l’environnement Simulink . Le problème d’une modélisation de la machine asynchrone
par représentation d’état, est que la non linéarité du modèle rend la matrice A variable dans
le temps. Pour expliquer cela, considérons le schéma suivant :
Figure 1.8 : Schéma de principe pour l’implantation dans l’environnement Simulink
B 1s
A
C+( ) y k ( ) x t ( ) x t & ( )u t
8/17/2019 Identification Des Parametres de La Machin Asynchr
45/199
33
Dans le schéma de la Figure 1.8 le vecteur x(t) est composé de courants ou flux et de la
vitesse, dans l’équation mécanique il y a des carrées des variables d’états, ce qui veut dire
que la matrice A est fonction des variables d’états. La solution proposée dans Simulink , est
présentée à la figure suivante :
Ax
x
X'=AX+BuY=CX+Du
1
y
-C-
conditions initiales
1
sxo
C* u
B* u
f(u)
f(u)
f(u)
f(u)
f(u)
f(u)
f(u)
f(u)
1
uBU
X'
X
Figure 1.9 : Schéma Simulink d’une machine asynchrone à double cage
Où les matrices sont calculées de façon symboliques (Annexe A). La solution est
« d’ouvrir » la matrice A ligne par ligne à l’aide du bloc d’expressions générales. Avec ce
type de block de Simulink nous pouvons effectuer la multiplication de la variable d’état par
elle-même.
8/17/2019 Identification Des Parametres de La Machin Asynchr
46/199
34
1.5.3 Prise en compte de la saturation magnétique dans les modèles
Simulink
Comme nous l’avons annoncé précédemment, pour prendre en considération les effets desaturation magnétique, il est nécessaire de changer la valeur de la réactance de flux
commun xm à chaque instant. Pour cette raison il est nécessaire d’avoir accès aux matrices
avec le multiplicateur k ψ . Le schéma de la Figure 1.10 permet d’illustrer l’implantation de
k ψ :
Ax x
X'=AX+BuY=CX+Du
matrice Ap si matri ce Cpsi
1
y
In1
Saturation
B* u1
sxo
[kpsi]
f(u)
f(u)
f(u)
f(u)
f(u)
f(u)
f(u)
f(u)
f(u)f(u)
f(
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