Beweis : Definiere At := A . e A > I,
I : :B - EB > I.
Danu ist < An s = e I > = 0,
var ( A) = < 12 > - < Is'
= < A2
- 2< As'
# + e A 51 > = var ( A ),
var ( B ) : var ( B )
und [ At, I ] = [ A
, B ] .
Angeuommen 5=14×41 ist rein.
Mit Cauchy - Schwarz & Humitezitat
gilt dann var ( A) var ( B ) = < 4.An 't > it
,I '
4 )
= hit1121154112
>. leant
, BY > 12=1 < t,
EBY > 1
'
= 1 Re et,
I By > It llmet ,IBY > 12
= ÷, let ,
1 II + Biiltsptt, let .[ I. I ]t > 1
'
>. ty / it
,[ A. B ]Y > 12
.
Dies bewist die Aussage fir alle reinen Zustaude . Das dies dann
antomahsch anch fer akc gemischhn Zustaude gilt , folgt aus
" Purifzierung"
( → naiohsk Woche ).
D
° Dies gilt anch wenn A dB die Observable fir Ort und lmpwls sind.
In dem
Fall gilt [ A. B) =i1 ( in Einhciten von A ~ 10.343 's ),
so class
var ( A)"
var ( B)" 2
t I (, Heisenberg's che Uuscharferelakon
"
)
Def .:
Zwei POVMS M;
:25"
→ BLH )
,ietl ? }
,he pen " gemeinsam
messbar"
.
wenu es ein POVM M : 251×5 ' → BIH ) gibt ,so dass
M ( Ix S,
) = M.LI ) ¥I c- S,
M ( S, × ] ) = M
,( ] ) V. 3 c- S
,
Interpretation : M beschreibt line Messing dwen Messergebnisse Pane sind,
so dap
die zuytnorigeu Marginal rvtuluugen idenlisch sind unit den Uvtilnuyn ,
die M,
btw.
M, tefvn ( bei gleiuw Preparation )
.
11 11
2- . B.
s
S > M = s → M,
→
v
Umgemeinsame Messbwkiit und kommntntivitat in Beziehungzn setzen
,
benotigen wir :
Lemma : Sind A. B.CEBCH) so
,
class OEA :B,
dann giltBC : 0 ⇒ AC :O
.
Beweis : BC :O ⇒ C+ Bc =0
Mit o= (it Bc 7 C
+
A C ' . 0 gilt dann
0 : C*
AC : ( A c)+
( AC ) and damit AC = 0.
Folglich anch AC :O . 17
Thin.
: Zwei PVMS M;
: 2£' → BCH )
, it 17,2 },
sind gemeinsam messbwg.
d. w . :
[ M,
( I,
).
17,
( I. ) ] : 0 V. I; e zs:
.
Beweis :
"
⇐"
MCI ) := [ M.
" ' this ) vfillt die gewiuschten Ggenschaften
,( i. JIEI
da M, II. 117 ,lIz ) ' . 0 Winn die Opvntoren kommutrwm
.
I,
:=S,\I,
"
⇒
"
M ,( I,
)M,
( I, ) : M ( I. xs
.) M( 5
, xi,
)
- ( 171 I. ×I, ) + MII .×I ,
) ) ( MII .×I ,It Ml ¥XI
,) )
= M ( I, XI
,
)2
Die drei inbrigeu Twine vuschwinden in Folgedes uorigen Lemmas.
Z. B. : M.LI
,)M
,( I
,)=O => MII
,
× I,) M.LI
,) : 0
⇒ M ( I ,×I ,)M( E. × I
,) :O
.
Dasselbc Argument wit 1 ⇒ 2 vvtanscht fuihrt daun zu
M,
LI,
) M,
( I.
) = Ml I. XI,)
"
: M.LI.
) MZLIZ ). a
Bem . : • Sind die Puts durch Observable it;£BtH ) chwaktuisiwt,
ist obige Bedinguny equivalent zu [ A. ,
15, ]= 0
.
• Ort ol lwpwls sind demnaohgnomsowenig gemeinsam messbw
wie Spin - ( adv Polarisations - ) komponentru,
da [ on ,T ] = 2 :c ucmrm .
• Approximate gemlinsame Messbwkeit ist dagegen nicht ansgeschlossen .
Da hi,
does wir ghiuh 1 sittin,
sew Klein ist,
Kann die Approximationrelaliv gut sein
.
I. Zusammeugesetzte System
Def . : Sind 74,
H,
Hilbvtraume,
so istdveu"
direkte Summe"
der Hilbwtraum
71,0+71 ,:= { ( 4. 4) E 74×74 } mit Skalwprodnkt
< ( f,
.t , ),
( f ,,Y ,) > := < f. f .
> + e 14,4 ,>
.
Fir ( f. 4) E 71,0+71 ,schreibt man anch fat .
Bem . : • Die koustrukkon ist assoziakv : 71
,0+(712+0713) :(71,0712 ) 071
,
• dim ( GH :) : ? dimltl :)
. [email protected] dem Fall ist far f : ( k , . . .
, fd ,
),
4= ( 4.. ...
,Ya
,)
.
704 = ( 1 , ..., fd
, ,K
, . . . .
Yd,) .
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