Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik
GRUNDLAGEN MATHEMATIK
7. Lineare Algebra
Prof. Dr. Gunar Matthies
Wintersemester 2015/16
Motivation I
zu Beginn des Semesters:R2 und R3 als Menge der Vektoren in der Ebene bzw. im Raum
Rechenoperationen und Eigenschaften• Vektor-Addition: kommutativ und assoziativ• Nullvektor
#»0 mit #»v +
#»0 = #»v
• negativer Vektor − #»v mit − #»v + #»v =#»0
• Skalarmultiplikation λ #»v , λ ∈ R: distributiv• Neutralität der Eins: 1 #»v = #»v
ähnlich fürVektoren mit n reellen EinträgenVektoren mit n komplexen Einträgen und komplexen Skalaren
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Motivation II
Menge der stetigen Funktionen auf dem Intervall [a, b] ⊂ R
Rechenoperationen und Eigenschaften• Addition: kommutativ und assoziativ• Nullfunktion 0 mit f + 0 = f
• negative Funktion −f mit −f + f = 0• Skalarmultiplikation λf , λ ∈ R: distributiv• Neutralität der Eins: 1f = f
ähnlich fürPolynome vom Grad kleiner oder gleich k und Nullpolynom
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Verallgemeinerung
K: reelle Zahlen R oder komplexe Zahlen C
nicht-leere Menge V
Addition auf Vdefiniere für alle u, v ∈ V das Ergebnis u ⊕ v ∈ V
Skalar-Multiplikationdefiniere für alle λ ∈ K und alle v ∈ V das Ergebnis λ� v ∈ V
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Vektorraum
Definition
Wir nennen V einen K-Vektorraum, wenn die Bedingungen(V1) u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v)⊕ w (Assoziativität)(V2) u ⊕ v = v ⊕ u (Kommutativität)(V3) Es gibt ein neutrales Element 0∈V mit v ⊕ 0=v .(V4) Zu jedem Element v ∈V gibt es ein inverses Element
−v ∈ V mit v ⊕ (−v) = 0.
(S1) (λµ)v = λ(µv)
(S2) 1v = v (Neutralität der Eins)(S3) λ(u ⊕ v) = (λu)⊕ (λv)
(S4) (λ+ µ)v = (λv)⊕ (µv)
für alle u, v ,w ∈ V und alle λ, µ ∈ K erfüllt sind.
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Beispiele
Menge aller Vektoren mit n reellen Komponenten, n ∈ N
Rn :=
v1
...vn
: v1, . . . , vn ∈ R
• R-Vektorräume• keine C-Vektorräume, da ie1 6∈ Rn
Menge aller Vektoren mit n komplexen Komponenten, n ∈ N
Cn :=
z1
...zn
: z1, . . . , zn ∈ C
• C-Vektorräume• auch R-Vektorräume
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Linearkombination, lineare Unabhängigkeit
Definition
Seien V ein K-Vektorraum, r ∈N, v1, . . . , vr ∈V , λ1, . . . , λr ∈K.1. Der Ausdruck
r∑i=1
λivi = λ1v1 + · · ·+ λrvr
heißt Linearkombination von v1, . . . , vr mit den Koeffizientenλ1, . . . , λr .
2. Die Elemente v1, . . . , vr heißen linear unabhängig, wenn dieGleichung
r∑i=1
λivi = 0
nur durch λ1 = · · · = λr = 0 erfüllt werden kann. Anderen-falls nennen wir die Elemente linear abhängig.
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Bemerkungen
• Die Elemente v1, . . . , vr sind genau dann linear unabhängig,wenn sich das Nullelement nur durch die (triviale) Linearkom-bination mit λ1 = · · · = λr = 0 ergibt.
• Ist eines der Elemente v1, . . . , vr das Nullelement des Vek-torrraumes V , dann sind die Vektoren linear abhängig.
• Die Elemente v1, . . . , vr sind genau dann linear abhängig,wenn sich mindestens ein Element aus v1, . . . , vr als Line-arkombination der übrigen Elemente darstellen lässt.
• Zwei Vektoren des R2 sind genau dann linear abhängig, wennsie kollinear sind.
• Drei Vektoren des R3 sind genau dann linear abhängig, wennsie komplanar sind.
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Beispiele
Gegeben: v1, v2, v3, v4 ∈ R3 mit
v1 =
100
, v2 =
110
, v3 =
011
, v4 =
120
• Die Vektoren v1, v2, v3, v4 sind linear abhängig, da
v1 − 2v2 + 0v3 + v4 = 0erfüllt ist und hierbei nicht alle Koeffizienten 0 sind.
• Die Vektoren v1, v2, v3 sind linear unabhängig, da ausλ1v1 + λ2v2 + λ3v3 = 0
folgt, dassλ1 = λ2 = λ3 = 0
erfüllt sein muss.
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Unterraum
Definition
Eine nicht-leere Teilmenge U ⊂ V eines K-Vektorraumes V heißtUnterraum, wenn jede (endliche) Linearkombination von Elemen-ten aus U wieder zu U gehört.
Satz (Unterraum-Kriterium)
Die Menge U ⊂ V mit U 6= ∅ ist genau dann ein Unterraum vonV , wenn für alle a1, a2 ∈ U und alle λ ∈ K das Element a1 + λa2zu U gehört.
Folgerung
• Jeder Unterraum enthält das Nullelement.• Der „kleinste“ Unterraum ist {0}, der „größte“ ist V selbst.
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Erzeugendensystem, Basis
Definition
Gegeben seien m Elemente a1, . . . , am ∈ V .• Die Menge aller Linearkombinationen von a1, . . . , am gemäß
Span(a1, . . . , am) :=
{x ∈ V : x =
m∑i=1
λiai , λi ∈ K
}heißt Span der Elemente a1, . . . , am.
• Gilt Span(a1, . . . , am)=V, dann wird die Menge {a1, . . . , am}Erzeugendensystem von V genannt.
• Ein Erzeugendensystem, dessen Elemente linear unabhängigsind, nennen wir Basis.
Satz
Span(a1, . . . , am) ist ein Unterraum von V .
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Eigenschaften, Dimension
Satz
Alle Basen eines Vektorraumes V haben die gleiche Anzahl vonElementen.
Definition
Die Anzahl der Elemente einer Basis des Vektorraumes V wird alsDimension von V bezeichnet, kurz: dimV .
Beispiel
dimRn = n, dimCn = n
Bemerkung
Es gibt auch Vektorräume, die kein endliches Erzeugendensystembesitzen. Diese werden dann unendlich dimensional genannt.Beispiel: Menge der stetigen Funktionen auf [a, b]
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Koordinatendarstellung eines Vektorraum-Elements
Satz
Seien V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und {v1, . . . , vn} eineBasis von V . Dann existieren für jeden Vektor a ∈ V eindeutigbestimmte Zahlen α1, . . . , αn ∈ K derart, dass
a =n∑
i=1
αivi
erfüllt ist. Die Zahlen α1, . . . , αn heißen Koordinaten des Elementsa bezüglich des Basis {v1, . . . , vn}.
Bemerkung
Wird im Rn oder im Cn jeweils die kanonische Basis {e1, . . . , en}der Einheitsvektoren verwendet, dann entsprechen die Koordinateneines Vektors genau seinen Komponenten.
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Illustration zur Koordinatendarstellung I
0.5 1 1.5 2
0.5
1
e1
e2 a
a =
(21
)= 2
(10
)+ 1
(01
)= 2e1 + 1e2
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Illustration zur Koordinatendarstellung II
1 2 3 4
1
2
3
4
5
v1
v2
a
a =
(45
)= 1
(21
)+ 2
(12
)= 1v1 + 2v2
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Tensorprodukt von Vektorräumen
Definition
Seien V ,W zwei K-Vektorräume. Das TensorproduktV ×W =
{(v ,w) : v ∈ V , w ∈W
}ist die Menge aller geordneten Paare, wobei der erste Eintrag ausV und der zweite Eintrag aus W stammen.
Satz
Sind V ,W zwei endlich dimensionale K-Vektorräume. Dann gilt:dim(V ×W ) = dimV + dimW .
Definition
Sei V ein K-Vektorraum. Dann beschreibt V n=V × V × · · · × V︸ ︷︷ ︸n−mal
das n-fache Tensorprodukt von V mit sich selbst. Die Elemente inV n sind geordnete n-Tupel.
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Matrizen
Definition
Seien m, n ∈ N. Die Anordnung von m · n Zahlen aus K in einrechteckiges Schema ausm Zeilen und n Spalten nennen wirm×n-Matrix über K. Die Menge aller m× n-Matrizen über K wird mitKm×n bezeichnet.
Zur Bezeichnung von Matrizen werden meist Großbuchstaben ver-wendet. Die Komponenten oder Einträge der Matrix werden mitdem zugehörigen doppelt indizierten Kleinbuchstaben bezeichnet:
A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
Der erste Index entspricht stets der Zeile, der zweite Index derSpalte. Zur Vermeidung von Missverständnissen kann ein Kommazwischen Zeilen- und Spaltenindex gesetzt werden.G. Matthies Grundlagen Mathematik 17/97
Gleichheit von Matrizen
Ist A ∈ Rm×n, so sprechen wir von einer reellen Matrix. Im FallB ∈ Cm×n liegt eine komplexe Matrix vor. Jede reelle Matrix kannauch als komplexe Matrix aufgefasst werden.
Definition
Zwei Matrizen A ∈ Km×n und B ∈ Kr×s sind genau dann gleich,wenn ihre Formate übereinstimmen und korrespondierende Einträ-ge gleich sind, d. h., wenn die Bedingungen1. m = r , n = s,2. aij = bij für i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n,
erfüllt sind.
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Quadratische Matrizen
Definition
Eine Matrix vom Format n × n heißt quadratische Matrix.
Definition
Sei A eine quadratische n × n-Matrix.• Die Einträge a11, a22, . . . , ann bilden die Hauptdiagonale derMatrix A.
• Sind nur die Hauptdiagonalelemente der Matrix A ungleich 0,dann heißt A Diagonalmatrix.
• Sind die Einträge von A rechts oberhalb der Hauptdiagonalesämtlich 0, dann heißt A (linke) untere Dreiecksmatrix.
• Sind die Einträge von A links unterhalb der Hauptdiagonalesämtlich 0, dann heißt A (rechte) obere Dreiecksmatrix.
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Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen
Definition
Seien A,B zwei m × n-Matrizen über K und λ ∈ K ein Skalar.Dann setzen wir
A+ B =
a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n
......
. . ....
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn
∈ Km×n
als Summe der Matrizen A und B sowie
λA =
λa11 λa12 . . . λa1nλa21 λa22 . . . λa2n...
.... . .
...λam1 λam2 . . . λamn
∈ Km×n
als Produkt von λ mit A.
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Matrizen als Vektorraum
Satz
Die Menge der m×n-Matrizen über K bildet mit der Addition undder Skalarmultiplikation einen Vektorraum der Dimension m · n.
Die Bedingungen an einen Vektorraum lassen sich nachrechnen.Das neutrale Element ist die Nullmatrix
0 0 . . . 00 0 . . . 0...
.... . .
...0 0 . . . 0
Die Menge {E kl : k = 1, . . . ,m, l = 1, . . . , n} mit E kl ∈ Km×n
und
eklij =
{1, k = i und l = j ,
0, sonst,i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n
bildet eine Basis von Km×n.G. Matthies Grundlagen Mathematik 21/97
Spalten- und Zeilenvektoren von Matrizen
Definition
Eine Matrix von Format m × 1 heißt Spaltenvektor, eine Matrixvom Format 1× n wird Zeilenvektor genannt.
Die m × n-Matrix A besteht in natürlicher Weise aus n Spalten-vektoren mit je m Komponenten
A =(a1 a2 . . . an
), aj =
a1ja2j...
amj
, j = 1, . . . , n
und aus m Zeilenvektoren mit je n Komponenten
A =
a∗1a∗2...a∗m
, a∗i =(ai1 ai2 . . . ain
), i = 1, . . . ,m.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 22/97
Rang von Matrizen
Definition
Die maximale Anzahl von linear unabhängigen Spaltenvektoreneiner Matrix A heißt Rang der Matrix A, kurz RangA.
Satz
Die maximale Anzahl von linear unabhängigen Zeilenvektoren derMatrix A entspricht genau RangA.
Satz
Sei A ∈ Km×n. Dann giltRangA ≤ min(m, n).
G. Matthies Grundlagen Mathematik 23/97
Produkt von Zeilen- und Spaltenvektoren
Definition
Seien u ∈ K1×n ein Zeilenvektor und v ∈ Kn×1 ein Spaltenvektormit jeweils n Komponenten, d. h.,
u =(u1 u2 . . . un
), v =
v1v2...vn
.
Dann wird das Produkt uv gemäß
uv =n∑
i=1
uivi
definiert.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 24/97
Multiplikation von Matrizen
Definition
Seien A ∈ Km×n eine Matrix mit den Zeilenvektoren a∗1, . . . , a∗m
und B ∈ Kn×p eine Matrix mit den Spaltenvektoren b1, . . . , bp.Dann setzen wir
AB = C =
c11 c12 . . . c1pc21 c22 . . . c2p...
.... . .
...cm1 cm2 . . . cmp
∈ Km×p
mitcij = a∗i bj , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , p,
als das Produkt der Matrizen A und B .
G. Matthies Grundlagen Mathematik 25/97
Falk-Schema zur Matrix-Multiplikation
c11 · · · c1j · · · c1p... · · ·
... · · ·...
ci1 · · · cij · · · cip... · · ·
... · · ·...
cm1 · · · cmj · · · cmp
b11 · · · b1j · · · b1p... · · ·
... · · ·...
bn1 · · · bnj · · · bnp
a11 · · · a1n... · · ·
...ai1 · · · ain... · · ·
...am1 · · · amn
cij =n∑
k=1
aikbkj , i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , p
G. Matthies Grundlagen Mathematik 26/97
Bemerkungen zur Matrix-Multiplikation
• Das Produkt AB der Matrizen A und B ist nur dann definiert,wenn die Spaltenanzahl von A mit der Zeilenanzahl von Bübereinstimmt.
• Die Zeilenanzahl im Produkt AB entspricht der Zeilenanzahlvon A, die Spaltenanzahl im Produkt ist gleich der Spalten-anzahl in B .
• Auch wenn die Produkte AB und BA definiert sind, müssendie Produkte nicht gleich sein. Die Matrixmultiplikation istnicht kommutativ.
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Rechengesetze für die Matrix-Multiplikation
Satz
Die Matrix-Multiplikation ist assoziativ: Sind für Matrizen A,B,Cdie Produkte AB und BC definiert, dann sind auch (AB)C undA(BC ) definiert und es gilt: (AB)C = A(BC ).
Satz
Es gelten die DistributivgesetzeA(B + C ) = AB + AC und (A+ B)C = AC + BC ,
vorausgesetzt, dass alle auftretenden Produkte und Summen defi-niert sind.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 28/97
Produkt von Matrix und Vektor
Folgerung
Seien A ∈ Km×n eine Matrix über K mit den Spaltenvektorena1, . . . , an ∈ Km und v ∈ Kn ein Vektor. Dann ist
Av =n∑
j=1
ajvj ∈ Km
die Linearkombination der Spaltenvektoren a1, . . . , an von A mitden Koeffizienten v1, . . . , vn aus dem Vektor v .
G. Matthies Grundlagen Mathematik 29/97
Einheitsmatrizen
Definition
Die Matrix En ∈ Kn×n mit
eij =
{1, für i = j ,
0, sonst,i , j = 1, . . . , n,
heißt Einheitsmatrix der Dimension n. Ist die Dimension n klar,wird meist statt En nur kurz E geschrieben.
Satz
Für alle x ∈ Kn und alle A ∈ Kn×n gelten:1. Enx = x ,2. AEn = EnA = A.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 30/97
Transponieren
Definition
Beim Transponieren einer m × n-Matrix A entsteht eine n × m-Matrix durch das Vertauschen der Rollen von Zeilen und Spalten inA. Die erste Zeile der transponierten Matrix entspricht der erstenSpalte der Matrix A, die zweite Zeile der zweiten Spalte und soweiter. Die transponierte Matrix zu A wird mit AT bezeichnet.
A =
a11 a12 . . . a1n...
.... . .
...am1 am2 . . . amn
, AT =
a11 . . . am1a12 . . . am2...
. . ....
a1n . . . amn
Anschaulich entsteht die transponierte Matrix durch Spiegelungder Ausgangsmatrix an Diagonale a11, . . . , akk mit k = min(m, n).Die Koeffizienten von AT werden durch die Koeffizienten von Abeschrieben.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 31/97
Eigenschaften von transponierten Matrizen
Satz
1. Für jede Matrix A gilt: (AT )T = A.2. Seien A,B zwei Matrizen, für die AB definiert ist. Dann ist
auch BTAT definiert und es gilt (AB)T = BTAT .3. Eine Diagonalmatrix stimmt mit ihrer transponierten Matrix
überein.4. Die transponierte Matrix einer rechten oberen Dreiecksmatrix
ist eine linke untere Dreiecksmatrix und umgekehrt.
Definition
Die n × n-Matrix A heißt symmetrisch, wenn AT = A gilt.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 32/97
Lineare Gleichungssysteme
Definition
Ein lineares Gleichungsystem (LGS) mit m Gleichungen und n Un-bekannten hat die Form
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,
...... =
...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm
mit den Koeffizienten aij und den Absolutgliedern bi .
Kommt eine Unbekannte in einer Gleichung nicht vor, hat sie dortden Koeffizienten 0.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 33/97
Matrix-Vektor-Schreibweise
Für ein LGS kann aucha11 . . . a1n...
. . ....
am1 . . . amn
x1
...xn
=
b1...bm
oder kurz
Ax = bgeschrieben werden.
Dabei sind• A die Koeffizientenmatrix mit den Koeffizienten aij ,i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n,
• x der Vektor mit den Unbekannten xj , j = 1, . . . , n,• b der Rechte-Seite-Vektor mit den Absolutgliedern bi ,i = 1, . . . ,m.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 34/97
Lösungsbegriff
Definition
Ein LGS heißt homogen, wenn b = 0 ist. Sonst nennen wir dasLGS inhomogen.
Definition
Ein Vektor y mit n Komponenten heißt Lösung des LGS, wennAy = b erfüllt ist.
Bemerkung
Ein homogenes LGS besitzt stets mindestens eine Lösung, näm-lich den Nullvektor. Diese Lösung bezeichnet man auch als trivialeLösung.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 35/97
Lineare Gleichungssysteme mit 2 oder 3 Unbekannten
LGS mit 2 Unbekannten x und y
• jede Gleichung entspricht einer Geraden in der x-y -Ebene• mögliche Lösungsmenge
1. Gerade schneiden sich: eindeutige Lösung2. Geraden sind parallel, aber nicht identisch: keine Lösung3. Geraden sind identisch: unendlich viele Lösungen
LGS mit 3 Unbekannten x , y und z
• jede Gleichung entspricht einer Ebene im Raum• mögliche Lösungsmenge
1. die Ebenen schneiden sich in einem Punkt2. die Ebenen schneiden sich in einer Geraden3. die Ebenen sind identisch4. es gibt keinen Punkt, der zu allen Ebenen gehört:
parallele Ebenen oder je zwei Ebenen schneiden sich,wobei die Normalenvektoren linear abhängig sind
G. Matthies Grundlagen Mathematik 36/97
Lösungsstruktur
Satz
Für ein lineares Gleichungssystem tritt stets genau einer der fol-genden drei Fälle auf:• Das LGS besitzt keine Lösung.• Das LGS besitzt genau eine Lösung.• Das LGS besitzt unendlich viele Lösungen.
Definition
Die Matrix, die durch das Zusammenfassen der Koeffizientenma-trix A und des Rechte-Seite-Vektors b entsteht, wird als erweiterteKoeffizientenmatrix (A|b) bezeichnet, wobei b als (n+1)-te Spalteauftritt.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 37/97
Gaußsches Eliminationsverfahren
Grundoperatoren des Gaußschen Eliminationsverfahrens• Addition/Subtraktion eines Vielfachen einer Zeile von (A|b)zu/von einer anderen Zeile
• Multiplikation einer Zeile von (A|b) mit einer von 0 verschie-denen Zahl
• Vertauschen zweier Zeilen von (A|b)• Vertauschen zweier Spalten von A, wobei die entsprechendenKomponenten von x umnummeriert werden
Die Grundoperationen ändern die Lösungsmenge des LGS nicht,d. h., es entstehen keine neue Lösungen, noch gehen Lösungenverloren.
Zur Vermeidung von neuen Bezeichnungen wird die geänderte er-weiterte Koeffizientenmatrix wieder mit (A|b) bezeichnet.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 38/97
Eliminationsteil
1. Setze i = 1 und r = m.2. Pivotsuche:
2.1 Gilt aii 6= 0, gehe zu Schritt 3.2.2 Gibt es einen Index k mit i < k ≤ m und aki 6= 0, so
vertausche die Zeilen i und k von (A|b) und gehe zu 3.2.3 Gibt es Indizes k und ` mit i ≤ k ≤ m, i < ` ≤ n
und ak` 6= 0, dann vertausche die Zeilen i und k von(A|b), vertausche die Spalten i und ` von A und merkedie entsprechende Umnummerierung der Komponentendes Lösungsvektors. Gibt es solche Indizes k und ` nicht,setze r = i − 1 und gehe zum Lösbarkeitstest.
3. Elimination: subtrahiere für k = i + 1, . . . ,m jeweils dasakiaii
-
fache der i-ten Zeile von (A|b) von der k-ten Zeile von (A|b).4. Falls i < m, erhöhe i um 1 und gehe zu Schritt 2.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 39/97
Struktur nach Eliminationsteil
• ∗ ∗ . . . . . . . . . . . . ∗ ∗0 • ∗ . . . . . . . . . . . . ∗ ∗0 0 • . . . . . . . . . . . . ∗ ∗...
.... . .
......
......
......
... • ∗ ∗... ∗
0 0 . . . 0 ∗...
......
... ∗0 0 . . . 0 ∗
r
r
m − r
n
Bedeutung der Symbole:•: von 0 verschiedene Zahl∗: beliebige Zahl
G. Matthies Grundlagen Mathematik 40/97
Lösbarkeitstest und Rücklöseteil
LösbarkeitstestFalls r < m und mindestens eine der transformiertenZahlen br+1, . . . , bm von 0 verschieden ist, dann besitztdas LGS keine Lösung.
Rücklöseteil1. Falls r < n, setze für die Unbekannten xr+1, . . . , xn die frei
wählbaren Parameter t1, . . . , tn−r ein2. für i = r , . . . , 1
bestimme xi aus der i-ten Gleichung des LGS
xi =1aii
bi −n∑
j=i+1
aijxj
G. Matthies Grundlagen Mathematik 41/97
Rangkriterium
Satz
Sei Ax = b ein lineares Gleichungssystem. Dann gelten1. Ist RangA = Rang(A|b), dann hat das lineare Gleichungssys-
tem (mindestens) eine Lösung.2. Ist RangA < Rang(A|b), dann ist das lineare Gleichungssys-
tem nicht lösbar.3. Sei A nun eine n × n-Matrix mit RangA = n. Dann ist das
lineare Gleichungssystem Ax = b für jeden Vektor b ∈ Kn
eindeutig lösbar.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 42/97
Reguläre und inverse Matrizen
Definition
Sei A ∈ Kn×n.1. Die Matrix A heißt regulär, wenn sie den maximalen Rang n
hat. Sonst nennen wir A singulär.2. Die Matrix A heißt invertierbar, wenn eine Matrix B ∈ Kn×n
mit AB = E existiert. Die Matrix B heißt inverse Matrix zuA und wird mit A−1 bezeichnet.
Bemerkung
Gilt AA−1 = E , dann ist auch A−1A = E erfüllt, d. h., die inverseMatrix der inversen Matrix ist wieder die Ausgangsmatrix A.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 43/97
Eigenschaften regulärer Matrizen
Satz
Eine quadratische Matrix A ist genau dann regulär, wenn sie in-vertierbar ist.
Satz
Die Inverse A−1 einer regulären Matrix A ist eindeutig bestimmt.
Satz
Seien A,B ∈ Kn×n zwei quadratische Matrizen. Das Produkt ABist genau dann regulär, wenn A und B regulär sind. Weiterhin giltin diesem Fall: (AB)−1 = B−1A−1.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 44/97
Lineare Gleichungssysteme und inverse Matrizen
Satz
Seien A ∈ Kn×n regulär, B ∈ Kn×n beliebig und b ∈ Kn. Danngelten:1. Das lineare Gleichungsystem Ax = b hat die eindeutig be-
stimmte Lösung x = A−1b.2. Die Matrixgleichungen AX = B und YA = B haben die
eindeutig bestimmten Lösungen X = A−1B und Y = BA−1.Ist B zudem regulär, dann sind auch X und Y regulär.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 45/97
Skalarprodukt und Betrag im Rn
Definition
Auf dem Vektorraum Rn werden durch
〈x , y〉 = x · y := xT y =n∑
i=1
xiyi
das Skalarprodukt der Vektoren x , y ∈ Rn und durch
|x | =√〈x , x〉 =
√√√√ n∑i=1
x2i
der Betrag des Vektors x ∈ Rn definiert. Ein Vektor x ∈ Rn mit|x | = 1 heißt Einheitsvektor.
Bemerkung
Der Betrag eines Vektors entspricht seiner euklidischen Länge.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 46/97
Skalarprodukt und Betrag im Cn
Definition
Auf dem Vektorraum Cn werden durch
〈x , y〉 = x · y := xT y =n∑
i=1
x iyi , x =
x1...xn
,
das Skalarprodukt der Vektoren x , y ∈ Cn und durch
|x | =√〈x , x〉 =
√√√√ n∑i=1
x ixi =
√√√√ n∑i=1
|xi |2
der Betrag des Vektors x ∈ Cn definiert. Ein Vektor x ∈ Cn mit|x | = 1 heißt Einheitsvektor.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 47/97
Cauchy–Schwarz-Ungleichung
Satz
Für das reelle und das komplexe Skalarprodukt gilt zusammen mitdem zugehörigen Betrag die Cauchy–Schwarz-Ungleichung
|〈u, v〉| ≤ |u| |v |für alle u, v ∈ Rn bzw. u, v ∈ Cn.
Beispiel
Für x , y ∈ Rn führt die Cauchy–Schwarz-Ungleichung auf∣∣∣∣∣n∑
i=1
xiyi
∣∣∣∣∣ ≤(
n∑i=1
x2i
)1/2( n∑i=1
y2i
)1/2
.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 48/97
Winkel zwischen reellen Vektoren
Verallgemeinerung von R2 und R3 auf Rn
Definition
Für beliebige x , y ∈ Rn \ {0} ist der Winkel ^(x , y) zwischen xund y durch
^(x , y) = arccos〈x , y〉|x | |y |
= arccosxT y
|x | |y |definiert.
Nach der Cauchy–Schwarz-Ungleichung gilt:〈x , y〉|x | |y |
∈ [−1, 1].
Da arccos von [−1, 1] nach [0, π] abbildet, gilt ^(x , y) ∈ [0, π].
G. Matthies Grundlagen Mathematik 49/97
Orthogonal- und Orthonormalsysteme
Definition
Zwei Vektoren x , y ∈ Rn heißen orthogonal, wenn x · y = xT y =0 gilt. In diesem Fall sagen wir auch, dass x und y senkrechtaufeinander stehen.
Definition
Die k Vektoren v1, . . . , vk ∈ Rn\{0} bilden ein Orthogonalsystem,wenn sie paarweise orthogonal sind, d. h., wenn
vi · vj = vTi vj = 0 für i 6= j
gilt. Gilt zusätzlich|vi | = 1, i = 1, . . . , k ,
dann sprechen wir von einem Orthonormalsystem.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 50/97
Orthogonalisierungsverfahren
benannt nach Jørgen Pedersen Gram und Erhard Schmidt
Gegeben: Rn oder Cn mit Skalarprodukt 〈·, ·〉 und Betrag | · |k linear unabhängige Vektoren v1, . . . , vn
Algorithmus:
1. setze e1 =v1
|v1|2. für r = 2, . . . , k setze
er = vr −r−1∑i=1
〈vr , ei 〉ei
und normiereer =
er|er |
G. Matthies Grundlagen Mathematik 51/97
Eigenschaften des Orthogonalisierungsverfahrens
Satz
Die Vektoren e1, . . . , ek , die sich aus dem Orthogonalisierungsver-fahren ergeben, bilden ein Orthonormalsystem. Weiterhin gilt
Span(v1, . . . , vk) = Span(e1, . . . , ek).
Bemerkung
Wird das Orthogonalisierungsverfahren auf k linear abhängige Vek-toren angewendet, dann ergibt sich er = 0 für ein r und der Vektorvr ist als Linearkombination der Vektoren v1, . . . , vr−1 darstellbar.Lässt man alle Vektoren vi weg, bei denen sich ei = 0 ergibt, dannbilden die s entstehenden Vektoren w1, . . . ,ws eine Orthogonal-system mit
Span(v1, . . . , vk) = Span(w1, . . . ,ws).
G. Matthies Grundlagen Mathematik 52/97
Spezielle Matrizen
Definition
Eine reelle Matrix A ∈ Rn×n mit ATA = En heißt orthogonal.
Satz
Seien Q eine orthogonale n× n-Matrix und x , y ∈ Rn. Dann gilt:1. Q−1 = QT .2. Je zwei verschiedene Spalten von Q sind orthogonal.3. Der Betrag jedes Spaltenvektors von Q ist 1.4. |Qx | = |x | (Längentreue)5. ^(Qx ,Qy) = ^(x , y) (Winkeltreue)
G. Matthies Grundlagen Mathematik 53/97
Affine Abbildung
Definition
Seien A ∈ Rn×n eine Matrix und b ∈ Rn ein Vektor. Die AbbildungF : Rn → Rn, x 7→ Ax + b
wird affine Abbildung auf Rn genannt. Ist b = 0, dann heißt dieAbbildung F linear.
Bemerkung
Ist die Matrix A einer affinen Abbildung F invertierbar, dann exis-tiert die Umkehrabbildung F−1 : Rn → Rn. Die Abbildungsvor-schrift ist durch
F−1(x) = A−1(x − b) = A−1x − A−1b
gegeben. Somit ist auch die Umkehrabbildung affin. Im Falle einerlinearen Abbildung, ist auch die Umkehrabbildung linear.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 54/97
Anwendung von affinen Abbildungen
Voraussetzung: A ∈ Rn×n ist regulärFolgerung: Spalten von A bilden eine Basis des Rn
Abbildung F rechnet die Koordinaten x bezüglich der Spaltenvek-toren von A im Koordinatensystem mit Ursprung b in die Koordi-naten a bezüglich der kanonischen Basis e1, . . . , en um
2 4
2
4
6
b
v1
v2
a
x =
(12
), b =
(11
)A =
(v1 v2
)a = F (x)
= Ax + b
=(v1 v2
)(12
)+
(11
)G. Matthies Grundlagen Mathematik 55/97
Drehmatrizen
Definition
Sei ϕ ∈ R ein Winkel. Dann heißt die Matrix
Dϕ =
(cos(ϕ) − sin(ϕ)sin(ϕ) cos(ϕ)
)Drehmatrix mit Drehwinkel ϕ.
Eigenschaften• Die Spalten von Dϕ sind orthogonal.• Es gilt D−1
ϕ = D−ϕ.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 56/97
Determinante I
ZielOrdne jeder quadratischen Matrix A ∈ Kn×n so eineZahl aus K zu, dass sich genau dann 0 ergibt, wenn dieMatrix nicht regulär ist.
Definition
Sei A ∈ K2×2 eine Matrix. Dann definieren wir
detA =
∣∣∣∣a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
als Determinante von A.
Bemerkung
Ist A ∈ K2×2 nicht regulär, dann ist eine Spalte von A das Vielfa-che der anderen. Somit ergibt sich detA = 0.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 57/97
Determinante II
Definition
Sei A ∈ K3×3. Dann setzen wir
detA =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = [a1, a2, a3]
als die Determinante von A, wobei[a1, a2, a3] = (a1 × a2) · a3
das Spatprodukt der Spaltenvektoren a1, a2 und a3 von A ist.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 58/97
Regel von Sarrus
Bemerkung
Die Determinante von A ∈ K3×3 kann mittels
detA =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
−(a31a22a13 + a32a23a11 + a33a21a12
)berechnet werden.
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
G. Matthies Grundlagen Mathematik 59/97
Entwicklungssatz
Satz
Sei A ∈ K3×3. Dann gilt
detA =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣= a11 det
(a22 a23a32 a33
)− a21 det
(a12 a13a32 a33
)+ a31 det
(a12 a13a22 a23
)
G. Matthies Grundlagen Mathematik 60/97
Streichungsmatrix
Definition
Sei A ∈ Kn×n eine n×n-Matrix. Die Matrix vom Format (n−1)×(n − 1), die durch das Streichen der i-ten Zeile und der j-Spaltevon A entsteht, wird als Streichungsmatrix Aij bezeichnet.
a11 · · · a1j · · · a1n... · · ·
... · · ·...
ai1 · · · aij · · · ain... · · ·
... · · ·...
an1 · · · anj · · · ann
Aij =
G. Matthies Grundlagen Mathematik 61/97
Determinante III
Definition
Sei A ∈ Kn×n, n ≥ 2, eine quadratische Matrix. Dann wird durch
detA =n∑
i=1
(−1)i+1ai1 detAi1
und die Definitionen für 2×2- und 3×3-Matrizen die Determinantevon A erklärt.
Bemerkung
Die obige Berechnungsvorschrift wird Entwickeln nach der erstenSpalte genannt.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 62/97
Entwicklungssatz nach Laplace
Satz
Sei A eine n × n-Matrix. Dann liefern• die Entwicklung nach der k-Spalte gemäß
n∑i=1
(−1)i+kaik detAik
• die Entwicklung nach der `-ten Zeile gemäßn∑
j=1
(−1)`+ja`j detA`j
jeweils die Determinante von A.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 63/97
Eigenschaften von Determinanten
Satz
Für jede quadratische Matrix A istdetAT = detA
erfüllt.
Satz
Die Determinanten von oberen und unteren Dreiecksmatrizen er-geben sich als Produkt der Hauptdiagonalelemente.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 64/97
Rechenregeln für Determinanten
Seien A ∈ Kn×n mit den Spaltenvektoren a1, . . . , an und λ ∈ Kgegeben. Dann gelten
• Ausklammern eines Skalarsdet(a1 · · ·λak · · · an
)= λ det
(a1 · · · ak · · · an
)• Nullspalte
det(a1 · · · ai−1 0 ai+1 · · · an
)= 0
• 2 gleiche Spaltendet(· · · a · · · a · · ·
)= 0
• Vertauschen von Spaltendet(a1 · · · ak · · · a` · · · an
)= − det
(a1 · · · a` · · · ak · · · an
)• Addition/Subtraktion von Vielfachen
det(· · · ak · · · a` + λak · · ·
)det(· · · ak · · · a` · · ·
)Analoge Rechenregeln gelten für Zeilen.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 65/97
Weitere Eigenschaften von Determinanten
Satz
Sei A eine n × n-Matrix. Dann gelten:• Alle n Spalten von A sind genau dann linear unabhängig, wenndetA 6= 0 gilt.
• Die Matrix A ist genau dann regulär, wenn detA 6= 0 erfülltist.
Satz
Seien A,B zwei n × n-Matrizen. Dann gilt:det(AB) = detA detB.
Ist A regulär, dann ist
detA−1 =1
detAerfüllt.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 66/97
Berechnung von inversen Matrizen I
Satz
Sei A eine reguläre n×n-Matrix. Dann lässt sich die inverse MatrixA−1 von A in der Form
A−1 =1
detA
(−1)1+1 detA11 · · · (−1)1+n detA1n
.... . .
...
(−1)n+1 detAn1 · · · (−1)n+n detAnn
T
darstellen, was aber nur für kleine n praktikabel ist.
Folgerung
Für eine reguläre 2× 2-Matrix ergibt sich
A−1=1
detA
(a22 −a12−a21 a11
)=
1a11a22 − a12a21
(a22 −a12−a21 a11
).
G. Matthies Grundlagen Mathematik 67/97
Berechnung von inversen Matrizen II
gegeben: reguläre Matrix A ∈ Rn×n
Gesucht: inverse Matrix A−1
Idee:• Bestimme die Lösungen der linearen Gleichungssysteme
Axi = ei , i = 1, . . . , n,mit den kanonischen Einheitsvektoren e1, . . . , en ∈ Rn.
• Die Matrix, die aus Spaltenvektoren x1, . . . , xn gebildet wird,ist die gesuchte inverse Matrix zu A.
Praxis:• Wende die Grundoperationen des Gaußschen Eliminationsver-fahrens auf die erweiterte Matrix (A|E ) so an, dass (E |X )entsteht, wobei E die n × n-Einheitsmatrix ist.
• Die Matrix X ist dann gerade A−1.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 68/97
Motivation
lineare Abbildung F : Rn → Rn mit F (x) = Ax
Welche Vektoren x ∈ Rn werden auf Vielfache von sich angebildet,d. h., für welche Vektoren x ∈ Rn gibt es ein λ ∈ R derart, dass
Ax = λx
gilt?
offensichtlich: F (0) = A0 = λ0 für alle λ ∈ R
Für die Matrix
A =
(0 −11 0
)gibt es außer dem Nullvektor keinen weiteren Vektor, der Ax = λxmit λ ∈ R erfüllt.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 69/97
Eigenwert
Definition
Sei A ∈ Kn×n eine reelle oder komplexe Matrix. Eine komplexeZahl λ heißt Eigenwert der Matrix A, wenn es einen reellen oderkomplexen Vektor x 6= 0 mit
Ax = λx
gibt. In diesem Fall wird x Eigenvektor von A zum Eigenwert λgenannt.
Satz
Sei A eine n×n-Matrix. Die Zahl λ ∈ C ist genau dann Eigenwertvon A, wenn
det(A− λEn) = 0gilt.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 70/97
Charakteristisches Polynom
Definition
Sei A ∈ Kn×n. Die Funktion χA : K→ K mitχA(λ) = det(A− λEn)
heißt charakteristisches Polynom von A.
Satz
Das charakteristische Polynom χA der Matrix A ∈ Kn×n besitztstets den Grad n.
Bemerkung
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms χA sind die Eigen-werte von A.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 71/97
Vielfachheit von Eigenwerten
Bemerkung
Da reelle Polynome auch komplexe Nullstellen haben können, be-trachten wir ab jetzt K = C.
Definition
Die Vielfachheit der Nullstelle wird als algebraische Vielfachheitdes Eigenwerts bezeichnet.Die maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren für einenEigenwert nennen wir geometrische Vielfachheit des Eigenwerts.
Satz
Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts ist immer größeroder gleich der geometrischen Vielfachheit.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 72/97
Eigenschaften
Bemerkung
Unter Berücksichtigung der algebraischen Vielfachheit hat jede re-ellen oder komplexe n × n-Matrix genau n komplexe Eigenwerte.
Satz
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind stets linear un-abhängig.
Satz
Die Matrix A ist genau dann singulär, wenn λ = 0 Eigenwert vonA ist.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 73/97
Eigenschaften der Eigenwerte
Definition
Sei A eine n × n-Matrix. Die Summe der Hauptdiagonalelementewird Spur der Matrix A genannt. Wir schreiben kurz
SpurA =n∑
k=1
akk
Satz
Sei A eine n × n-Matrix. Die Summe alle Eigenwerte unter Be-rücksichtigung der algebraischen Vielfachheit ist gleich der Spurder Matrix A.Das Produkt aller Eigenwerte unter Berücksichtigung der algebrai-schen Vielfachheit entspricht der Determinante von A.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 74/97
Eigenwerte spezieller Matrizen
• Bei Dreiecksmatrizen entsprechen die Hauptdiagonalelementeden Eigenwerten.
• Ist λ ein Eigenwert von A mit der algebraischen Vielfachheitm, so ist λ+µ ein Eigenwert von A+µE mit der algebraischenVielfachheit m, wobei E die Einheitsmatrix ist.
• Ist λ Eigenwert von A, so ist λm Eigenwert von Am, wobeiAm = A · · ·A︸ ︷︷ ︸
m-malist.
• Die Matrizen A und AT besitzen das gleiche charakteristischePolynom und damit gleiche Eigenwerte.
• Seien A eine reguläre Matrix und λ ein Eigenwert von A. Dannist 1/λ Eigenwert von A−1.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 75/97
Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
Gegeben: n × n-Matrix A
1. charakteristisches Polynom χ aufstellen
2. Nullstellen von χ bestimmen
3. algebraische Vielfachheit der Eigenwerte ablesen
4. Eigenvektoren zum Eigenwert λ als Lösung von(A− λE )x = 0
ermitteln
5. geometrische Vielfachheit ablesen
G. Matthies Grundlagen Mathematik 76/97
Ähnlichkeit
Definition
Seien A ∈ Kn×n eine beliebige Matrix und C ∈ Kn×n eine reguläreMatrix. Dann heißen die Matrizen C−1AC und A zueinander ähn-lich oder durch eine Ähnlichkeitstransformation auseinander her-vorgegangen. Eine Matrix heißt diagonalisierbar, wenn sie zu einerDiagonalmatrix ähnlich ist.
Satz
Seien A und B = C−1AC zwei zueinander ähnliche Matrizen.Dann stimmen die charakteristischen Polynome χA und χB über-ein. Ist v Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, dann ist C−1vEigenvektor von B = C−1AC zum Eigenwert λ.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 77/97
Eigenschaften symmetrischer Matrizen
reelle symmetrische Matrix A ∈ Rn×n
• A hat nur reelle Eigenwerte.• Für jeden Eigenwert stimmen algebraische und geometrischeVielfachheit überein.
• Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.• Es gibt eine orthogonale Matrix Q mit
QTAQ = diag(λ1, . . . , λn),
wobei λ1, . . . , λn die Eigenwerte von A sind und die i-te Spal-te von Q einem normierten Eigenvektor zu λi entspricht. Da-mit ist jede reelle symmetrische Matrix diagonalisierbar.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 78/97
Definitheit von symmetrischen Matrizen
Definition
Die reelle symmetrische n × n-Matrix A heißt• positiv definit, wenn alle Eigenwerte positiv sind,• positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte positiv oder 0 sind,• negativ definit, wenn alle Eigenwerte negativ sind,• negativ semidefinit, wenn alle Eigenwerte negativ oder 0 sind,• indefinit, wenn A positive und negative Eigenwerte hat.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 79/97
Kegelschnitte
gegeben: Doppelkegel z2 = x2 + y2
Ebene ax + by + cz = d
Gesucht: Schnittkurve von Doppelkegel und Ebene
G. Matthies Grundlagen Mathematik 80/97
Ellipse als Kegelschnitt
G. Matthies Grundlagen Mathematik 81/97
Parabel als Kegelschnitt
G. Matthies Grundlagen Mathematik 82/97
Hyperbel als Kegelschnitt
G. Matthies Grundlagen Mathematik 83/97
Ellipse
Definition
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P der Ebene, für die dieSumme der Abstände zu zwei gegebenen Brennpunkten F1 und F2konstant ist.
P
F1 F2
G. Matthies Grundlagen Mathematik 84/97
Parabel
Definition
Eine Parabel ist die Menge aller Punkte P der Ebene, deren Ab-stand zum Brennpunkt F gleich dem Abstand zur Leitlinie g ist.
F
g
G. Matthies Grundlagen Mathematik 85/97
Hyperbel
Definition
Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte P der Ebene, für die derBetrag der Differenz der Abstände zu den Brennpunkten F1 undF2 konstant ist.
F2F1
P
G. Matthies Grundlagen Mathematik 86/97
Normalformen der Kegelschnitte
Ellipsex2
a2 +y2
b2 = 1
Parabelx2 = 2py oder y2 = 2px
Hyperbelx2
a2 −y2
b2 = 1 odery2
b2 −x2
a2 = 1
G. Matthies Grundlagen Mathematik 87/97
Quadratische Form
Definition
Ein Ausdruck der Form
q(x) =n∑
i ,j=1
αijxixj
mit x ∈ Rn und αij ∈ R, i , j = 1, . . . , n, heißt quadratische Form.
Bemerkung
Wenn die Matrix A = (aij) gemäß
aij =αij + αji
2, i , j = 1, . . . , n,
definiert wird, dann lässt sich die quadratische Form alsq(x) = xTAx
schreiben, wobei A symmetrisch ist.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 88/97
Hauptachsentransformation
Seien A ∈ Rn×n eine symmetrische Matrix undq(x) = xTAx
die zugehörige quadratische Form.
Da A reell und symmetrisch ist, gibt es eine orthogonale Matrix Qmit
QTAQ = D = diag(λ1, . . . , λn),wobei λ1, . . . , λn die Eigenwerte von A sind und die i-te Spaltevon Q aus dem normierten Eigenvektor von A zum Eigenwert λibesteht.
Mit der Substitution x = Qy lässt sich eine neue quadratischeForm q durch
q(y)=q(Qy)=(Qy)TA(Qy)=yTQTAQy=yTDy=n∑i=1
λiy2i
definieren.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 89/97
Hauptachsen
Definition
Seien A eine reelle symmetrische Matrix und Q eine orthogonaleMatrix mit QTAQ = diag(λ1, . . . , λn). Die orthonormalen Spaltenvon Q werden als Hauptachsen der quadratischen Form q(x) =xTAx bezeichnet.
Bemerkung
Die Hauptachsentransformation transformiert die kanonischen Ein-heitsvektoren e1, . . . , en auf die Hauptachsen der quadratischenForm.
Bemerkung
Bis auf Reihenfolge und Orientierung sind die Hauptachsen einerquadratischen Form eindeutig bestimmt.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 90/97
Quadrik
Definition
Seien A ∈ Rn×n eine reelle symmetrische Matrix, b ∈ Rn einreeller Vektor und c ∈ R eine reelle Zahl. Dann wird{
x ∈ Rn : q(x) = xTAx + bT x + c = 0}
als Quadrik im Rn bezeichnet.
Die Normalformen der Kegelschnitte lassen sich als Quadriken imR2 auffassen. Für die Ellipse
x2
a2 +y2
b2 = 1
gilt
(x y
) 1a2 0
01b2
(xy
)+(0 0
)(xy
)+ (−1) = 0.
G. Matthies Grundlagen Mathematik 91/97
Transformation einer Quadrik auf Normalform I
1. Hauptachsentransformation• Bestimme eine orthogonale Matrix Q mit
QTAQ = D = diag(λ1, . . . , λn).
• Setze Substitution x = Qy in die Quadrik q ein. Es entstehtdie neue Quadrik
q(y) = q(Qy) = yTDy + dT y + c = 0mit
d = QTb oder dT = bTQ.
Im Folgenden seien die Eigenwerte von A stets so nummeriert,dass λ1, . . . , λr von 0 verschieden sind und λr+1 = · · · = λn = 0gilt. Dann hat q die ausführliche Form
q(y) =r∑
i=1
λiy2i +
n∑i=1
diyi + c
G. Matthies Grundlagen Mathematik 92/97
Transformation einer Quadrik auf Normalform II
2. Quadratische Ergänzung• neue Variablen z1, . . . , zn gemäß
zj =
yj , falls λj = 0,
yj +dj2λj
, falls λj 6= 0,j = 1, . . . , n,
festlegen.• Einsetzen in Quadrik q liefert
r∑i=1
λiz2i +
n∑i=r+1
dizi + e = 0, e = c −r∑
i=1
d2i
4λi
G. Matthies Grundlagen Mathematik 93/97
Transformation einer Quadrik auf Normalform III
3. Behandlung des Absolutterms• Ist einer der Koeffizienten dr+1, . . . , dn von 0 verschieden,sagen wir ds , dann führt die Substitution
ws = zs +e
ds, wj = zj , j 6= s
auf die Formr∑
i=1
λiw2i +
n∑i=r+1
diwi = 0
• Gilt dr+1 = · · · = dn = 0, dann verbleibtr∑
i=1
λiz2i + e = 0
Bemerkung
Die Transformation einer Quadrik auf Normalform entspricht eineraffinen Koordinatentransformation von x auf z bzw w .G. Matthies Grundlagen Mathematik 94/97
Quadriken im R2: Normalformen I
beide Eigenwerte λ1, λ2 von A sind von 0 verschieden:
λ1, λ2 haben gleiches Vorzeichen• Ellipse mit den Halbachsen a und b
x2
a2 +y2
b2 − 1 = 0
• leere Mengex2
a2 +y2
b2 + 1 = 0
• Punkt (0, 0)x2 + a2y2 = 0
G. Matthies Grundlagen Mathematik 95/97
Quadriken im R2: Normalformen II
beide Eigenwerte λ1, λ2 von A sind von 0 verschieden:
λ1, λ2 haben unterschiedliches Vorzeichen• Hyperbel
x2
a2 −y2
b2 − 1 = 0
• Geradenpaar y = ±x
ax2 − a2y2 = 0
G. Matthies Grundlagen Mathematik 96/97
Quadriken im R2: Normalformen III
ein Eigenwert von A ist ungleich 0, der andere ist 0• Parabel
x2 − 2py = 0, p 6= 0,• Paar paralleler Geraden x = ±a
x2 − a2 = 0, a 6= 0,• leere Menge
x2 + a2 = 0, a 6= 0,• Gerade x = 0
x2 = 0
G. Matthies Grundlagen Mathematik 97/97
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