Geometrie
Gymnázium, SOŠ a VOŠ
Ledeč nad Sázavou
Petra Drápelová
Gymnázium, SOŠ a VOŠ
Ledeč nad Sázavou
Trojúhelník - výšky a těžnice
VY_32_INOVACE_05_3_06_M2
1
ROZDĚLENÍ TROJÚHELNÍKŮ PODLE
ÚHLŮ
2
VÝŠKY V TROJÚHELNÍKU
Výška je kolmice spuštěná z vrcholu na
protější stranu.
V každém trojúhelníku lze sestrojit 3výšky.
Výšky se protínají v jednom bodě…průsečík
výšek…ortocentrum
3
4
Příklady
1. Sestrojte trojúhelník, ve kterém jsou všechny
výšky stejně dlouhé. O jaký typ trojúhelníku se
jedná?
2. Existuje trojúhelník, který má dvě na sebe
kolmé výšky?
3. Který trojúhelník má právě dvě stejně dlouhé
výšky?
5
TĚŢNICE V TROJÚHELNÍKU
Těţnice je spojnice vrcholu a středu protější
strany.
V každém trojúhelníku existují tři těžnice.
Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá
TĚŢIŠTĚ.
6
Těžiště dělí těžnici v poměru 2 : 1. (1 díl ke straně,
2 díly k vrcholu)
7
Příklady
1. Nachází se těžiště vždy uvnitř trojúhelníku?
2. Co platí pro těžnice a výšky v rovnostranném
trojúhelníku?
3. Co platí pro těžiště a těžnice
rovnoramenném trojúhelníku?
4. Jsou dány tři různé body A; B; T, které neleží
v přímce. Sestrojte trojúhelník ABC, kde bod
T bude těžiště.
8
STŘEDNÍ PŘÍČKY V TROJÚHELNÍKU
Střední příčky jsou spojnice středů stran
trojúhelníku.
V každém trojúhelníku lze sestrojit tři střední příčky.
Střední příčka je rovnoběžná se svojí protilehlou
stranou a její velikost je rovna polovině velikosti
této strany.
9
Střední příčky rozdělují trojúhelník na čtyři shodné
trojúhelníky.
10
Příklad
1. Narýsujte libovolný ostroúhlý trojúhelník
KLM. V tomto trojúhelníku sestrojte všechny
jeho výšky, těžnice a střední příčky.
Vyznačte těžiště a ortocentrum.
2. Narýsujte rovnostranný trojúhelník ABC o
straně 4 cm. Sestrojte všechny jeho výšky a
těžnice. Co pro ně platí?
11
KRUŢNICE OPSANÁ TROJÚHELNÍKU
Kružnice opsaná trojúhelníku prochází všemi vrcholy
trojúhelníku.
Střed kružnice opsané leží
v průsečíku os stran.
Poloměr kružnice opsané je
roven délce úsečky průsečík os
stran a vrcholu trojúhelníku.
12
Příklad
Sestrojte kružnici k, která je kružnicí opsaná
trojúhelníku XYZ.
Řešení:
1) sestrojíme trojúhelník XYZ;
2) sestrojíme osy stran trojúhelníka o1, o2, o3;
3) průsečík os označíme jako bod O;
13
4) sestrojíme opsanou kružnici k, která je
určena průsečíkem os stran a poloměrem OX (
OY; OZ).
14
Příklady
1. Bude ležet střed kružnice opsané S vždy
uvnitř trojúhelníku?
2. Kde leží střed kružnice opsané u pravoúhlých
trojúhelníků?
15
KRUŢNICE VEPSANÁ
Kružnice se dotýká všech tří stran trojúhelníku.
Strany jsou tečny této kružnice.
Střed kružnice vepsané leží v průsečíku os úhlů.
Poloměr kružnice vepsané je
kolmý ke stranám, jeho velikost
je rovna vzdálenosti průsečíku
od strany.
16
Příklady
1. Může se střed kružnice vepsané ležet vně
trojúhelníku?
2. Sestrojte libovolný pravoúhlý trojúhelník
ABC. Sestrojte kružnici opsanou a kružnici
vepsanou tomuto trojúhelníku.
17
3. Zvolte tři různé body A, B a C, které neleží v
přímce. Narýsujte kružnici m, která prochází
body A, B a C.
4. Zvolte tři různoběžné přímky p, q, r,
Narýsujte kružnici k, která se dotýká všech třech
přímek.
Top Related