GEOMETRIACIRCUNFERÊNCIA
VAI ENCARAR?• A Singapore Flyer (em Chinês: 新加坡摩天观景轮 ) é uma roda-gigante
de observação localizada em Singapura. A cápsula final foi instalada no dia 2 de Outubro de 2007e a roda de observação iniciou sua rotação em 11 de Fevereiro de 2008 e foi aberta oficialmente ao público no dia 1 de Março de 2008. O preço dos tickets para as 3 primeiras noites foram vendidos a S$ 8,888 dólares singapuranos (US$6,271). A grande abertura ocorreu no dia 15 de Abril de 2008.
• Atingindo 42 andares de altura, a Flyer compreende a um círculo de 150 metros de diâmetro, dando-lhe uma altura total de 165 metros. Ela é 5 metros mais alta que a The Star of Nanchang e 30 metros a mais que a London Eye. Cada uma das 28 cápsulas com ar-condicionado é capaz de transportar 28 passageiros cada, e uma rotação completa da roda demora aproximadamente 30 minutos.
GEOMETRIA PLANA CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
7.1. DEFINIÇÕES
Circunferência: Considerando-se um ponto C qualquer de um plano , e uma medida positiva qualquer r, chama-se circunferência de centro C e raio r o conjunto de pontos do plano que distam de C a medida r.
7.1. DEFINIÇÕES
Círculo: É a união de uma circunferência com os seus pontos interiores.
GEOMETRIA PLANA CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
7.2. ELEMENTOS
Arco: é qualquer uma das partes em que uma circunferência fica dividida por dois pontos A e B.
Corda: é um segmento de reta determinado por dois pontos da circunferência. A corda que passa pelo centro da circunferência se chama diâmetro.
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7.2. ELEMENTOS
Flecha: o menor dos dois segmentos em que fica dividido o diâmetro de uma circunferência, por uma corda perpendicular a ele.
.A BM
P
C
AB: Corda
MP: Flecha
PP’: DiâmetroP’
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7.3. REGIÕES DA CIRCUNFERÊNCIA E SUAS ÁREAS
a) Círculo
A = .r2
b) Coroa Circular
A = .R2 - .r2
c) Setor Circular
360o ------- .r2
o ------- A
2..r ------- .r2
C ------- A
Em função do ângulo : Em função do comprimento C:
2
.CrA2
or..
360A
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7.3. REGIÕES DA CIRCUNFERÊNCIA E SUAS ÁREAS
d) Segmento Circular
A = Asetor – Atriângulo
2. ---- .r2
--- Asetor
2
. 2rAsetor
h
senrhr
hsen
r
hsen o
.
)180(
2
.
2
..2
.
2
.
.
.
senrA
senrrA
hbA
tri
tri
tri
180 -
).(2
2
.
2
.
2
22
senr
A
senrrA
GEOMETRIA PLANA CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
7.4. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA
Tangente: um único ponto comum d = r
Secante: dois pontos distintos em comum
Exterior: não há ponto comum.d > r
d < r
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7.4. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA
OBSERVAÇÃO: PROPRIEDADES
a) Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
r
T
C.
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7.4. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA
OBSERVAÇÃO: PROPRIEDADES
b) Considere P um ponto exterior a uma circunferência e os pontos A e B pertencentes a ela, de modo que os segmentos PA e PB sejam tangentes à circunferência. Dessa forma, as medidas desses segmentos são iguais.
PA
B
.PA = PB
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7.4. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA
OBSERVAÇÃO: PROPRIEDADES
c) Uma conseqüência da observação anterior: as somas dos lados opostos de um quadrilátero circunscrito são iguais.
GEOMETRIA PLANA CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
7.4. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA
OBSERVAÇÃO: PROPRIEDADES
d) Arcos e cordas compreendidos entre cordas paralelas são geometricamente iguais.
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7.5. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Externas Uma interna à outra
GEOMETRIA PLANA CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
7.5. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Secantes Tangentes exteriormente
GEOMETRIA PLANA CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
7.5. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Tangentes interiormente Coincidentes
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)(ABmed
7.6. ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
Ângulo Central: o ângulo que tem como vértice o centro de uma circunferência é chamado ângulo central dessa circunferência. Ângulo Inscrito: é o ângulo cujo vértice pertence à circunferência e seus lados são secantes a ela.
2
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7.6. ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
Ângulo de segmento: é o ângulo cujo vértice pertence à circunferência, um lado é tangente e o outro é secante
2
GEOMETRIA PLANA CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
7.6. ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
Ângulo Excêntrico Interno: é o ângulo cujo vértice é um ponto qualquer interior à circunferência.
2
)CD(med)AB(med
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2
)CD(med)AB(med
7.6. ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
Ângulo Excêntrico Externo: é o ângulo cujo vértice é um ponto qualquer exterior à circunferência, e seus lados são secantes, ou tangentes, ou ainda um secante e um tangente à circunferência.
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7.7. POTÊNCIA DE UM PONTO
Ponto interior: Considere uma circunferência com duas cordas AB e CD concorrentes no ponto P, conforme a figura abaixo.
Chama-se Potência do ponto P a cada um dos produtos PA.PB ou PC.PD.
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7.7. POTÊNCIA DE UM PONTO
Ponto exterior: Considere duas retas secantes a uma circunferência, e que se interceptam num ponto P exterior à circunferência, conforme a figura abaixo:
Chama-se Potência do ponto P a cada um dos produtos PA.PB ou PC.PD.
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7.7. POTÊNCIA DE UM PONTO
OBSERVAÇÕES:
a) A potência de um ponto P exterior à circunferência também pode ser calculado em relação a um segmento PT, tangente à circunferência em T. Observe na figura a seguir:
PA.PB = PT2
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7.7. POTÊNCIA DE UM PONTO
OBSERVAÇÕES:
b) Pontos que pertencem à circunferência têm potência zero.
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Questão 4
Calcule a área da coroa circular limitada pelas circunferências inscritas e circunscritas a um triângulo eqüilátero de lado 4dm.
a) dm2
b) 2dm2
c) 3dm2
d) 4dm2
e) 5dm2
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Solução:
r
2
R
).(
..22
22
rRA
rRA
4
222
222
rR
rR
2.4 dmA
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Questão 6
Uma placa retangular de aço tem 60cm de comprimento por 30cm de largura. Dessa placa será retirado o maior número possível de arruelas com 1,5cm de raio externo e 0,5 cm de raio interno. O aço que sobrar será fundido e transformado em uma placa circular, com a mesma espessura da placa original. A medida do raio dessa nova placa, em cm, será:
7
61800)e
)d
6)c
41800)b
4001800)a
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Solução:
2
22
22
.2
.25,0.25,2
5,0.5,1.
..
cmA
A
A
rRA
coroa
coroa
coroa
coroa
60 cm
30 cm 200 arruelas2
2
.4002200
800.13060
cmxA
cmxA
arruelas
placa
2).400800.1( cmAsobra
2
2
.400800.1
.400800.1.
cmr
rA placanova
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Questão 8
Sendo 18 cm2 a área da coroa circular, e AB, uma corda da circunferência externa, tangente à circunferência interna, calcule a área do quadrado ABCD.a) 68b) 70c) 72d) 74e) 76
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Solução:
R
r
x222
222
xrR
xrR
).(
..22
22
rRA
rRA
coroa
coroa
18)(
.18).(22
22
rR
rR
2
2
72
18
cmA
x
quadrado
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Questão 9
Com centro no ponto médio de cada lado e com raio igual à metade de cada um, descrevem-se quatro semicírculos que passam pelo centro do quadrado, conforme a figura abaixo. A área da rosácea de quatro folhas assim formada, em m2, é igual a:
2
1)e
3
2)d
2
2)c
4)b
2)a
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Solução:
quadradocírculosemirosácea AAA .4
2
2
2
.8
1
)2
1.(.
2
1
..2
1
mA
A
rA
círculosemi
círculosemi
círculosemi
2
2
2
1
1
mA
A
lA
quadrado
quadrado
quadrado
2
2
2
1.2
1
1.8
1.4
:
mA
A
A
Então
rosácea
rosácea
rosácea
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Questão 10
Na figura a seguir, as quatro circunferências têm o mesmo centro, e seus raios são 2, 3, 4 e 5. A área do maior anel sombreado é p% maior do que a área do menor anel sombreado. Indique p.a) 40b) 50c) 60d) 70e) 80
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Solução:
.9
4.5. 22
COROA
COROA
A
A
.5
2.3. 22
coroa
coroa
A
A
8,1.5
.9
coroa
COROA
A
A
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Questão 11
Na figura, calcule a medida em graus do ângulo x.
a) 10b) 15c) 20d) 25e) 30
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Solução:
25o
x = 25º
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Questão 14
(UFPR-adaptada) Uma circunferência de raio 5cm tangencia um lado de uma quadrado e passa pelos vértices que não pertencem a esse lado, conforme a figura. Calcule a área desse quadrado.a) 25 cm2
b) 40cm2
c) 50cm2
d) 64cm2
e) 36cm2
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Solução:
x
10 – x
(10 – x)/2 (10 – x)/2
)(10''2'
020.12
)5(0100.60.5
.4.40.20100
4
.20100.10
)2
10().10(
2
2
22
22
2
nãoconvémxex
xx
xx
xxxx
xxxx
xxx
264
8
:
cmA
cmlado
Então
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Questão 17
(Fuvest) O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo central medindo radianos é igual ao perímetro de um quadrado de lado R. A medida de é:
a) /3b) 2c) 1d) 2/3e) /2
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Solução:
RRP
RC
setor .2.
.
RPquadrado .4
2
.2.
.4.2.
RR
RRR
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Questão 19Traçam-se retas tangentes exteriores comuns a duas circunferências de raios 2cm e 4cm. Sabendo-se que as circunferências são tangentes exteriormente, calcule o perímetro do quadrilátero cujos vértices são o ponto de interseção das tangentes, o centro da circunferência maior e os pontos de contato das tangentes com a circunferência maior.
cm)228()e
cm)221.(8)d
cm)328()c
cm)32.(2)b
cm)221()a
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Solução:
4 cm2 cm
12 cm
x
cmx
x
x
x
2.8
128
16144
124
2
2
222
cmP
P
P
)2.21.(8
2.168
2.82.844
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Questão 20
(Mackenzie) Na figura, a medida de MN, tangente ao círculo, é variável. O perímetro do triângulo AMN é:a) 15b) 16c) 17d) 18e) 19
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Solução:
a b
c
15
71012
10127
cba
cba
bac
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Só o Filé!
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