VetoresProduto internoProduto vetorial
Produto misto
Geometria Analıtica: Vetores e Aplicacoes
Prof. Angelo Aliano Filho
Universidade Tecnologica Federal do Parana
11 de Marco de 2019
Prof. Angelo Aliano Filho Geometria Analıtica
VetoresProduto internoProduto vetorial
Produto misto
Sumario
1 Vetores
2 Produto interno
3 Produto vetorial
4 Produto misto
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VetoresProduto internoProduto vetorial
Produto misto
Sumario
1 Vetores
2 Produto interno
3 Produto vetorial
4 Produto misto
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VetoresProduto internoProduto vetorial
Produto misto
Vetores
Definicao
Entes matematicos com modulo, direcao e sentido
Usados para descrever fenomenos fısicos que envolverdirecao e sentido, como forca e velocidade
Podem ser representados geometricamente por flechas emduas ou tres dimensoes
Representados por letras em negrito: u, v, w, etc...
Dois vetores sao iguais quando tem o mesmo modulo,direcao e sentido
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Produto misto
Vetores
Definicao
Se v e w sao vetores, entao a soma v + w e um novo vetor, deponto inicial em no inıcio de v e ponto final no ponto final emw.
Figura: Soma de vetores geometricamente
A propriedade v + w = w + v e valida aqui.Prof. Angelo Aliano Filho Geometria Analıtica
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Vetores
Definicao
Se v e um vetor e k um escalar, entao o multiplo escalar kv edefinido como um novo vetor cujo comprimento e |k| vezes ocomprimento de v e cuja direcao e a mesma de v se k > 0 eoposta se k < 0. Nos definimos kv = 0 se k = 0 ou v = 0
Figura: Vetores e seus multiplos escalares
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Vetores
Definicao
Subtracao de vetores e definida do seguinte modo. A diferencav −w pode ser calculada por
v −w = v + (−1)w
Figura: Calculo da diferenca de vetores
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Vetores
Representacao de vetores em coordenadas
Vetores podem estar tanto no espaco 2-D ou 3-D. Pararepresenta-los, usamos o conceito de coordenada isto e,
v = (v1, v2)T ∈ R2,
se v e bidimensional e
v = (v1, v2, v3)T ∈ R3,
se v e tridimensional. Os numeros v1, v2 e v3 sao ascoordenadas de v.
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Vetores
Figura: Coordenadas de vetores em duas e tres dimensoes
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Vetores
Alguns vetores e suas coordenadas. Observe bem a animacao:
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Vetores
Operacoes aritmeticas com vetores
Se v = (v1, v2)T ∈ R2 e w = (w1, w2)T ∈ R2, entao valem asseguintes propriedades:
1 v ±w = (v1 ± w1, v2 ± w2)T
2 kv = (kv1, kv2)T
Se v = (v1, v2, v3)T ∈ R3 e w = (w1, w2, w3)T ∈ R3, entao valemas seguintes propriedades:
1 v ±w = (v1 ± w1, v2 ± w2, v3 ± w3)T
2 kv = (kv1, kv2, kv3)T
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Vetores
Figura: Representacao geometrica das propriedades anteriores
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Vetores
Exemplo
Sendo v = (−2, 0)T e w = (3, 5)T , esboce-os, e calcule (i) v + we (ii) w − 2v, esbocando-os tambem.
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Vetores
Vetores com ponto inicial diferente da origem
Se P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) e um segmento orientado, para
calcular as coordenadas do vetor−−−→P1P2 e dada por:
−−−→P1P2 =
−−→OP2 −
−−→OP1 = (x2, y2)− (x1, y1) = (x2 − x1, y2 − y1).
Figura: Coordenada de vetores com ponto inicial fora da origem
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Vetores
Propriedades (versao 3-D)
Valem as seguintes propriedades para vetores:
1 u + v = v + u
2 (u + v) + w = u + (v + w)
3 u + 0 = 0 + u
4 u + (−u) = 0
5 k(lu) = (lk)u
6 k(u + v) = ku + kv
7 (k + l)u = ku + lu
8 1u = u
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Vetores
Norma de um vetor
E a distancia entre o ponto inicial e final do vetor. Suponha quev = (v1, · · · , vn)T ∈ Rn, entao sua norma e calculada por:
‖v‖ =
√√√√ n∑i=1
v2i
Figura: Norma de um vetor 3-D
Atencao: A propriedade
‖kv‖ = |k|‖v‖
e sempre valida.
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Vetores
Vetores unitarios
Por definicao:i = (1, 0), j = (0, 1)
no espaco R2 e
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)
no espaco R3
Qualquer vetor v = (v1, v2, v3) pode ser representado em termosdos vetores unitarios, i.e.,
v = v1i + v2j + v3k
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Vetores
Normalizando um vetor
E comum em aplicacoes querermos um vetor u com norma 1, namesma direcao e sentido de v. Isto pode ser feito da seguinteforma:
u =1
‖v‖v.
Exemplo
Normalize o vetor v = 2i + 2j− k.
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Sumario
1 Vetores
2 Produto interno
3 Produto vetorial
4 Produto misto
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VetoresProduto internoProduto vetorial
Produto misto
Produto interno
Definicao
Sejam u = (u1, · · · , un) e v = (v1, · · · , vn) vetores do Rn. Oproduto interno de u e v e definido como:
u · v =
n∑i=1
ui · vi = u1 · v1 + · · ·+ un · vn.
O resultado do produto interno e um escalar.
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Produto misto
Produto interno
Propriedades
Valem as seguintes propriedades para o produto interno:
1 u · v = v · u2 u · (v + w) = u · v + u ·w3 k(u · v) = (ku) · v = u · (kv)
4 u · u = ‖u‖25 u · 0 = 0
Observacao:
‖u‖ =√
u · u
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Produto misto
Produto interno
O proximo teorema ensina-nos a como calcular angulo devetores.
Teorema
Se u e v sao nao nulos e θ o angulo entre eles, entao:
cos θ =u · v‖u‖ · ‖v‖
Exemplo
Determine o angulo entre u = i− 2j + 2k e v1 = −3i + 6j + 2k eentre v2 = 2i + 7j + 6k.
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Produto misto
Produto interno
O proximo teorema ensina-nos a como calcular angulo devetores.
Teorema
Se u e v sao nao nulos e θ o angulo entre eles, entao:
cos θ =u · v‖u‖ · ‖v‖
Exemplo
Determine o angulo entre u = i− 2j + 2k e v1 = −3i + 6j + 2k eentre v2 = 2i + 7j + 6k.
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Produto interno
Propriedade
Se u · v = 0, entao u e perpendicular a v
Figura: Sinal do produto interno
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Angulos diretores
Angulos diretores
Sao angulos que determinam as direcoes de um vetor. Veja afigura abaixo. Sendo v = (v1, v2, v3), tais angulos satisfazem asrelacoes:
cosα =v1
‖v‖ , cosβ =v2
‖v‖ , cos γ =v3
‖v‖
Figura: Cossenos diretores de um vetor
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Angulos diretores
Exercıcio
Mostre que os cossenos diretores de um vetor satisfazem
cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1
Exemplo
Determine os angulos entre adiagonal e os lados de um cubode lado a.
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Decomposicao de vetores
Decomposicao de vetores
Seja v um vetor, e1 e e2 vetores unitario ortogonais. Queremosescrever v = w1 + w2 onde w1 e w2 tem a mesma direcao de e1
e e2.
Figura: Decomposicao ortogonal de um vetor
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Decomposicao de vetores
Formulas de decomposicao
Qualquer vetor v pode ser decomposto em uma soma demultiplos de vetores unitarios e ortogonais e1 e e2 do seguintemodo:
v = (v · e1)e1 + (v · e2)e2.
(v · e1)e1 e (v · e2)e2 sao vetores componentes e v · e1 e v · e2
sao as componentes escalares
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Decomposicao de vetores
Exemplo
Seja v = (2, 3), e1 = (1/√
2, 1/√
2) e e2 = (1/√
2,−1/√
2).Determine as componentes de v ao longo de e1 e e2.
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Projecoes
Definicao
O vetor de componentes ao longo de e1 e e2 e chamado de projecaoortogonal de v em e1 e e2, denotado por
proje1v = (v · e1)e1 e proje2
v = (v · e2)e2.
Em geral, projetar v em um vetor nao unitario b e utilizar asformulas anteriores normalizando-se b, i.e.,
projbv =
(v · b
‖b‖
)(b
‖b‖
),
ou, alternativamente,
projbv =(v · b)
‖b‖2 b.
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Projecoes
Figura: Projecoes ortogonais
O vetor
v − projbv
e a componente ortogonal de v em b
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Projecoes
Exemplo
Determine a projecao ortogonal de v = i + j + k em b = 2i + 2j.Em seguida, determine a componente ortogonal de v em b.
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Sumario
1 Vetores
2 Produto interno
3 Produto vetorial
4 Produto misto
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Produto misto
Produto vetorial
Definicao
Se u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) sao ambos do R3, entao oproduto vetorial entre eles e definido por:
u× v =
∣∣∣∣∣∣i j ku1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣= (u2v3 − u3v2)i− (u1v3 − u3v1)j + (u1v2 − u2v1)k
Repare que o resultado e um novo vetor!
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Produto vetorial
Exemplo
Sejam u = (1, 2,−2) e v = (3, 0, 1), calcule (a) u×v e (b) v×u.
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Produto vetorial
Propriedade algebricas
1 u× v = −(v × u)
2 u× (v + w) = u× v + u×w
3 (u + v)×w = (u×w) + (v ×w)
4 k(u× v) = (ku)× v = u× (kv)
5 u× 0 = 0
6 u× u = 0
7 i× j = k, etc...
Vale a propriedade comutativa
(u× v)×w = u× (v ×w)?
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Produto vetorial
Teorema - importante propriedade
Se u e v sao vetores do R3 entao:
u · (u× v) = 0 (u× v e ortogonal a u)
v · (u× v) = 0 (u× v e ortogonal a v)
Exemplo
Determine um vetor que e ortogonal a u = (2,−1, 3) ev = (−7, 2,−1).
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Produto vetorial
Teorema - importante propriedade
Se u e v sao vetores do R3 entao:
u · (u× v) = 0 (u× v e ortogonal a u)
v · (u× v) = 0 (u× v e ortogonal a v)
Exemplo
Determine um vetor que e ortogonal a u = (2,−1, 3) ev = (−7, 2,−1).
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Teorema - outra importante propriedade
Sejam u e v sao vetores do R3 e θ o angulo entre eles. Entao:
1 ‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ.
2 ‖u× v‖ e a area do paralelogramo cujos os lados sao u e v.
3 u× v = 0 se, e somente se, u e multiplo escalar de v.
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Exemplo
Determine a area do triangulo de vertices P1 = (2, 2, 0),P2 = (−1, 0, 2) e P3 = (0, 4, 3).
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Sumario
1 Vetores
2 Produto interno
3 Produto vetorial
4 Produto misto
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Produto misto
Definicao
Sendo u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) do R3,entao o numero
u · (v ×w)
e chamado de produto misto. Ele e equivalente ao calculo:
u · (v ×w) =
∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣ .
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Produto misto
Interpretacao geometrica
Sendo u, v e w nao nulos do R3.
O volume do paralelepıpedo cujas arestas sao u, v e w ecalculado por:
V = |u · (v ×w)|u · (v ×w) = 0 se, e somente se, u, v e w estao no mesmoplano.
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Propriedades algebricas
1 u · (v ×w) = w · (u× v) = v · (w × u)
2 u · (v ×w) = (u× v) ·w(isto e, o produto escalar e vetorial, sao, aqui, comutativos)
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