2020/Sem_02
NOTAS DE AULA
Geometria Analítica e
Álgebra Linear
Vetores no Espaço
Professor: Luiz Fernando Nunes, Dr.
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Geometria Analítica e Álgebra Linear
ii
Índice 3 Vetores no Espaço Tridimensional .......................................................................... 1
3.1 Definição ........................................................................................................... 1 3.2 Operações com vetores ..................................................................................... 1
3.3 Projeção ortogonal de um vetor sobre outro ................................................... 13 3.4 Exercícios propostos sobre vetores ................................................................. 13 Referências Bibliográficas ........................................................................................ 15
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3 Vetores no Espaço Tridimensional
3.1 Definição Um vetor é uma classe de segmentos equipolentes.
Nas figuras, as flechas representam um mesmo vetor, o qual será indicado por AB− , ´´ AB − ,
ou ´́´́ AB − , de modo que AB− = ´´ AB − = ´́´́ AB − . Costuma-se indicar AB− também por
AB , ou então por uma letra latina minúscula com uma flecha em cima, como u
.
Desta forma temos que �⃗� = 𝐵 − 𝐴 = AB .
Observações:
a) O tamanho (intensidade ou comprimento) de um vetor �⃗� é indicado por ‖�⃗� ‖ e chama-se
norma de �⃗� . Se ‖�⃗� ‖ = 1 dizemos que o vetor é unitário. Alguns autores utilizam para a norma
de ‖�⃗� ‖ a notação |�⃗� |.
b) O vetor BA é chamado de vetor oposto do vetor AB . Assim, AB e BA só diferem entre si
no sentido (se BA ). O vetor oposto do vetor AB é indicado também por AB− ; o vetor
oposto de �⃗� é −�⃗� .
c) O vetor nulo pode ser representado por 0⃗ = 𝐴 − 𝐴 = 𝐴𝐴→
. Tem-se ainda que ‖0⃗ ‖ = 0 e
−0⃗ = 0⃗ .
d) Se �⃗� e 𝑣 tem mesma direção, dizemos que eles são vetores paralelos e indicamos por �⃗� // 𝑣 .
e) Dizemos que �⃗� e 𝑣 são ortogonais, se uma flecha que representa �⃗� faz ângulo reto com uma
flecha que representa 𝑣 . Notação �⃗� ⊥ 𝑣 .
3.2 Operações com vetores
3.2.1 Adição
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Propriedades da adição de vetores
(A1) Propriedade Associativa: (�⃗� + 𝑣 ) + �⃗⃗� = �⃗� + (𝑣 + �⃗⃗� ) (A2) Propriedade Comutativa:
�⃗� + 𝑣 = 𝑣 + �⃗� (A3) Elemento Neutro:
�⃗� + 0⃗ = 0⃗ + �⃗� = �⃗� (A4) Elemento Oposto:
�⃗� + (−�⃗� ) = 0⃗ Ilustração da propriedade associativa (A1):
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Observações: Podemos também definir a diferença entre vetores como: �⃗⃗� − �⃗⃗� = �⃗⃗� + (−�⃗⃗� )
Exemplo:
1) Dados os vetores �⃗� e 𝑣 destacados no paralelepípedo que segue, identifique na figura um
representante para o vetor �⃗� − 𝑣 :
3.2.2 Multiplicação de número real por vetor
Dado um vetor 𝑣 e um número real , definimos o vetor 𝛼 ⋅ 𝑣 , como:
Se 0= ou 𝑣 = 0⃗ , então 𝛼 ⋅ 𝑣 = 0⃗ ;
Se 0 e 𝑣 ≠ 0⃗ , então 𝛼 ⋅ 𝑣 é o vetor tal que:
(i) 𝛼 ⋅ 𝑣 é paralelo a 𝑣 ; (ii) 𝛼 ⋅ 𝑣 e 𝑣 tem mesmos sentidos se 0 ;
(iii) 𝛼 ⋅ 𝑣 e 𝑣 tem sentidos contrários se 0 ;
(iv) A norma de 𝛼 ⋅ 𝑣 é ‖𝛼 ⋅ 𝑣 ‖ = |𝛼| ⋅ ‖𝑣 ‖.
Exemplos:
1) Na sequência são apresentados alguns casos de produto de vetor por número real:
a) Para 02 = :
b) Para 02 −= :
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c) Para 03
1=
Proposição:
Se �⃗� e 𝑣 são paralelos e �⃗� ≠ 0⃗ , existe tal que 𝑣 = 𝛼 ⋅ �⃗� .
Definição:
Dado um vetor �⃗� ≠ 0⃗ , chama-se versor do vetor �⃗� , um vetor unitário, paralelo e de mesmo
sentido que �⃗� .
Exemplo:
1) Dado um vetor �⃗� ≠ 0⃗ , mostre que o versor de �⃗� é �⃗⃗�
‖�⃗⃗� ‖.
Resolução:
Chamando de 𝑣 ao versor de �⃗� , temos que 𝑣 = 𝛼 ⋅ �⃗� , com 0 .
𝑣 = 𝛼 ⋅ �⃗� ⇒ ‖𝑣 ‖ = ‖𝛼 ⋅ �⃗� ‖ = |𝛼| ⋅ ‖�⃗� ‖|𝛼| =‖�⃗� ‖
‖�⃗⃗� ‖=
1
‖�⃗⃗� ‖. Como 0 , temos que 𝛼 =
1
‖�⃗⃗� ‖.
Substituindo este valor de em 𝑣 = 𝛼 ⋅ �⃗� , obtemos:
𝑣 = 𝛼 ⋅ �⃗� ⇒ 𝑣 =1
‖�⃗⃗� ‖⋅ �⃗� =
�⃗⃗�
‖�⃗⃗� ‖. Logo 𝑣 =
�⃗⃗�
‖�⃗⃗� ‖.
Propriedades da multiplicação de número real por vetor
(M1) 𝛼 ⋅ (�⃗� + 𝑣 ) = 𝛼 ⋅ �⃗� + 𝛼 ⋅ 𝑣 (M2) (𝛼 + 𝛽) ⋅ 𝑣 = 𝛼 ⋅ 𝑣 + 𝛽 ⋅ 𝑣 (M3) 1 ⋅ 𝑣 = 𝑣 (M4) 𝛼 ⋅ (𝛽 ⋅ 𝑣 ) = (𝛼 ⋅ 𝛽) ⋅ 𝑣 = 𝛽 ⋅ (𝛼 ⋅ 𝑣 )
Definição:
Sejam 𝑣 1, 𝑣 2, 𝑣 3, . . . . . , 𝑣 𝑛 vetores do 3 , ( )1n e n ,.....,,, 321 . Chama-se
combinação linear dos vetores 𝑣 1, 𝑣 2, 𝑣 3, . . . . . , 𝑣 𝑛, com coeficientes n ,.....,,, 321 ,
ao vetor: 𝑣 = 𝛼1 ⋅ 𝑣 1 + 𝛼2 ⋅ 𝑣 2 + 𝛼3 ⋅ 𝑣 3+ . . . . . +𝛼𝑛 ⋅ 𝑣 𝑛.
Definição:
Uma base do 3 é uma tripla ordenada de vetores (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) do
3 , tais que não existe
nenhum plano paralelo simultaneamente aos vetores 𝑒 1, 𝑒 2 e 𝑒 3.
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Proposição:
Dado um vetor qualquer 𝑣 ∈ ℜ3, existe uma única tripla ordenada ( )321 ,, , tal que:
𝑣 = 𝛼1 ⋅ 𝑒 1 + 𝛼2 ⋅ 𝑒 2 + 𝛼3 ⋅ 𝑒 3.
Assim, na figura anterior temos:
𝑂𝑅→
= 𝛼1 ⋅ 𝑒 1, 𝑂𝑆→ = 𝛼2 ⋅ 𝑒 2 e 𝑂𝑇
→ = 𝛼3 ⋅ 𝑒 3
Sendo 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) uma base do 3 , escreve-se:
𝑣 = 𝑂𝑃→
= 𝛼1 ⋅ 𝑒 1 + 𝛼2 ⋅ 𝑒 2 + 𝛼3 ⋅ 𝑒 3= ( )E321 ,, .
Exemplos:
1) Sendo �⃗� = (1,1,4)𝐸 e 𝑣 = (−1,3,5)𝐸, calcule: 2 ⋅ �⃗� − 3 ⋅ 𝑣 , na base 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3).
Resolução:
2 ⋅ �⃗� − 3 ⋅ 𝑣 = 2 ⋅ (1,1,4)𝐸 − 3 ⋅ (−1,3,5)𝐸 = (2,2,8)𝐸 + (3,−9, −15)𝐸 = (5,−7,−7)𝐸
Ou seja, 2 ⋅ �⃗� − 3 ⋅ 𝑣 = 5 ⋅ 𝑒 1 − 7 ⋅ 𝑒 2 − 7 ⋅ 𝑒 3.
2) Sendo �⃗� = (−1,4, −1)𝐸 e 𝑣 = (𝑎, 𝑏,1
2)𝐸
e �⃗⃗� = (1, 𝑐, 2𝑎 + 𝑐)𝐸, e sabendo que 2 ⋅ 𝑣 + �⃗⃗� =
�⃗� , calcule os valores de a, b e c.
Resposta: 0e2,1 ==−= cba
Definição:
Uma base 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) é ortonormal se 𝑒 1, 𝑒 2 e 𝑒 3 são unitários (‖𝑒 1‖ = ‖𝑒 2‖ =‖𝑒 3‖ = 1) e ortogonais dois a dois.
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Proposição:
Seja 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) uma base ortonormal. Se 𝑣 = 𝛼1 ⋅ 𝑒 1 + 𝛼2 ⋅ 𝑒 2 + 𝛼3 ⋅ 𝑒 3, então:
‖𝑣 ‖ = √𝛼12 + 𝛼2
2 + 𝛼32.
Exemplos:
1) Seja 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) uma base ortonormal. Sendo �⃗� = (0,1,2)𝐸 e 𝑣 = (−2,4, −6)𝐸,
calcule:
a) ‖�⃗� ‖ Resposta: 5
b) ‖𝑣 ‖ Resposta: 56
c) ‖�⃗� + 𝑣 ‖ Resposta: 45
d) ‖�⃗� − 2 ⋅ 𝑣 ‖ Resposta: 261
e) ‖−�⃗� +1
2⋅ 𝑣 ‖ Resposta: 27
3.2.3 Produto escalar ou produto interno
Sendo �⃗� e 𝑣 vetores, definimos o número real �⃗� ⋅ 𝑣 , do seguinte modo:
i) Se �⃗� = 0⃗ ou 𝑣 = 0⃗ , então �⃗� ⋅ 𝑣 = 0 (zero)
ii) Se �⃗� ≠ 0⃗ e 𝑣 ≠ 0⃗ , então �⃗� ⋅ 𝑣 = ‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ cos θ, onde é o ângulo convexo entre os
vetores �⃗� e 𝑣 . ( 0 ).
Se �⃗� ⋅ 𝑣 = 0, pode-se concluir que �⃗� = 0⃗ ou 𝑣 = 0⃗ ?
Não! Pois, �⃗� ⊥ 𝑣 ⇒ �⃗� ⋅ 𝑣 = 0.
Proposição:
Se �⃗� = (𝛼1, 𝛼2, 𝛼3)𝐸 e 𝑣 = (𝛽1, 𝛽2, 𝛽3)𝐸 e 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) é uma base ortonormal, então:
�⃗� ⋅ 𝑣 = 𝛼1 ⋅ 𝛽1 + 𝛼2 ⋅ 𝛽2 + 𝛼3 ⋅ 𝛽3.
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Demonstração:
Da Lei dos Cossenos temos que:
‖𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗‖2= ‖�⃗� ‖2 + ‖�⃗� ‖2 − 2‖�⃗� ‖ ∙ ‖𝑣 ‖ ∙ cos 𝜃=
= (𝛼12 + 𝛼2
2 + 𝛼32) + (𝛽1
2 + 𝛽22 + 𝛽3
2) − 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 (I)
Mas temos também que:
‖𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗‖2= ‖�⃗� − 𝑣 ‖2 = ‖(𝛼1 − 𝛽1, 𝛼2 − 𝛽2, 𝛼3 − 𝛽3)‖
2 = (𝛼1 − 𝛽1)2 + (𝛼2 − 𝛽2)
2 + (𝛼3 −
𝛽3)2 = (𝛼1
2 + 𝛼22 + 𝛼3
2) + (𝛽12 + 𝛽2
2 + 𝛽32) − 2 ⋅ (𝛼1 ⋅ 𝛽1 + 𝛼2 ⋅ 𝛽2 + 𝛼3 ⋅ 𝛽3) (II)
Igualando (I) com (II), obtemos:
(𝛼12 + 𝛼2
2 + 𝛼32) + (𝛽1
2 + 𝛽22 + 𝛽3
2) − 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 =
( ) ( ) ( )33221123
22
21
23
22
21 2 ++−+++++
Logo concluímos que �⃗� ⋅ 𝑣 = 𝛼1 ⋅ 𝛽1 + 𝛼2 ⋅ 𝛽2 + 𝛼3 ⋅ 𝛽3.
Observação:
Seja 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) uma base ortonormal. Se �⃗� = 𝛼1 ⋅ 𝑒 1 + 𝛼2 ⋅ 𝑒 2 + 𝛼3 ⋅ 𝑒 3, então:
‖�⃗� ‖ = √𝛼12 + 𝛼2
2 + 𝛼32 = √�⃗� ⋅ �⃗� �⃗� ⋅ �⃗� = ‖�⃗� ‖2
Assim, ‖�⃗� ‖ = √�⃗� ⋅ �⃗� �⃗� ⋅ �⃗� = ‖�⃗� ‖2.
2) Seja 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) uma base ortonormal. Sendo �⃗� = (1,−1,5)𝐸 e 𝑣 = (2,4, −1)𝐸,
calcule:
a) �⃗� ⋅ 𝑣
�⃗� ⋅ 𝑣 = 1 ⋅ 2 + (−1) ⋅ 4 + 5 ⋅ (−1) = −7
b) ‖�⃗� ‖
‖�⃗� ‖ = √1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) + 5 ⋅ 5 = √27
c) ‖𝑣 ‖
‖𝑣 ‖ = √2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 4 + (−1) ⋅ (−1) = √21
d) o ângulo entre �⃗� e 𝑣
�⃗� ⋅ 𝑣 = ‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ cos θ cos21277 =−2127
7cos
−= arc
3) Seja 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) uma base ortonormal. Sendo �⃗� = (1,4,1)𝐸 e 𝑣 = (0,1, −8)𝐸,
calcule:
a) (2 ⋅ �⃗� + 𝑣 ) ⋅ �⃗� Resposta: 32
b) (�⃗� − 𝑣 ) ⋅ (�⃗� + 𝑣 ) Resposta: 47−
4) Seja 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) uma base ortonormal. Sendo �⃗� = (√3, 1,0)𝐸
e 𝑣 = (2,2√3, 0)𝐸
,
calcule o ângulo convexo entre os vetores �⃗� e 𝑣 . Resposta: 6
rad
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Propriedades do produto escalar
(PE1) �⃗� ⋅ (𝑣 + �⃗⃗� ) = �⃗� ⋅ 𝑣 + �⃗� ⋅ �⃗⃗� e (�⃗� + 𝑣 ) ⋅ �⃗⃗� = �⃗� ⋅ �⃗⃗� + 𝑣 ⋅ �⃗⃗� (PE2) (𝛼 ⋅ �⃗� ) ⋅ 𝑣 = 𝛼 ⋅ (�⃗� ⋅ 𝑣 ) = �⃗� ⋅ (𝛼 ⋅ 𝑣 ) (PE3) �⃗� ⋅ 𝑣 = 𝑣 ⋅ �⃗�
(PE4) �⃗� ⋅ �⃗� ≥ 0; �⃗� ⋅ �⃗� = 0 ⇔ �⃗� = 0⃗
1) Prove:
a) ‖�⃗� + 𝑣 ‖2 = ‖�⃗� ‖2 + 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 + ‖𝑣 ‖2
Resolução:
Lembrando que ‖�⃗� ‖ = √�⃗� ⋅ �⃗� �⃗� ⋅ �⃗� = ‖�⃗� ‖2, temos que:
||�⃗� + 𝑣 ||2= (�⃗� + 𝑣 ) ⋅ (�⃗� + 𝑣 ) = �⃗� ⋅ �⃗� + 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 + 𝑣 ⋅ 𝑣 = ‖�⃗� ‖2 + 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 + ‖𝑣 ‖2
b) ‖�⃗� − 𝑣 ‖2 = ‖�⃗� ‖2 − 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 + ‖𝑣 ‖2.
Resolução:
Analogamente, temos:
‖�⃗� − 𝑣 ‖2 = (�⃗� − 𝑣 ) ⋅ (�⃗� − 𝑣 ) = �⃗� ⋅ �⃗� − 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 + 𝑣 ⋅ 𝑣 = ‖�⃗� ‖2 − 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 + ‖𝑣 ‖2
c) |�⃗� ⋅ 𝑣 | ≤ ‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ (Desigualdade de Schwarz)
Resolução:
�⃗� ⋅ 𝑣 = ‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ cos θ|�⃗� ⋅ 𝑣 | = |‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝜃| = ‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ |𝑐𝑜𝑠 𝜃| ≤ ‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖
d) ‖�⃗� + 𝑣 ‖ ≤ ‖�⃗� ‖ + ‖𝑣 ‖ (Desigualdade Triangular)
Resolução:
‖�⃗� + 𝑣 ‖2 = ‖�⃗� ‖2 + 2 ⋅ �⃗� ⋅ 𝑣 + ‖𝑣 ‖2 ≤ ‖�⃗� ‖2 + 2 ⋅ |�⃗� ⋅ 𝑣 | + ‖𝑣 ‖2 ≤ ‖�⃗� ‖2 + 2 ⋅ ‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ + ‖𝑣 ‖2 = (‖�⃗� ‖ + ‖𝑣 ‖)2 ⇒ ‖�⃗� + 𝑣 ‖2 ≤ (‖�⃗� ‖ + ‖𝑣 ‖)2 ⇒
‖�⃗� + 𝑣 ‖ ≤ ‖�⃗� ‖ + ‖𝑣 ‖
3.2.4 Produto vetorial ou produto externo
Se �⃗� // 𝑣 , então, por definição o produto vetorial (ou produto externo) de �⃗� por 𝑣 é o vetor nulo.
Notação: �⃗� ∧ 𝑣 = 0⃗ ou �⃗� × 𝑣 = 0⃗ .
Se �⃗� e 𝑣 não são paralelos, então 𝑢⃗⃗⃗ ∧ 𝑣 é um vetor com as seguintes características:
a) ‖�⃗� ∧ 𝑣 ‖ = ‖�⃗� ‖ ⋅ ‖𝑣 ‖ ⋅ sen𝜃; onde é o ângulo entre os vetores �⃗� e 𝑣 .
b) �⃗� ∧ 𝑣 é ortogonal a �⃗� e a 𝑣 ;
c) o sentido de �⃗� ∧ 𝑣 pode ser dado pela regra da mão direita:
Assim, nas figuras que seguem tem-se: �⃗� ∧ 𝑣 = �⃗⃗� e 𝑣 ∧ �⃗� = −�⃗⃗�
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A regra da mão direita pode ser melhor observada nas figuras que seguem, onde o polegar indica
o sentido do vetor oriundo do produto vetorial:
Observação:
Se 𝐸 = (𝑒 1, 𝑒 2, 𝑒 3) é uma base ortonormal, então 𝑒 1 ∧ 𝑒 2 = 𝑒 3 ou 𝑒 1 ∧ 𝑒 2 = −𝑒 3.
Temos ainda que ‖𝑒 1 ∧ 𝑒 2‖ = ‖𝑒 1‖ ⋅ ‖𝑒 2‖ ⋅ sen𝜋
2= 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1
Definição:
Uma base ortonormal chama-se dextrógira se 𝑒 1 ∧ 𝑒 2 = 𝑒 3 e levógira se 𝑒 1 ∧ 𝑒 2 = −𝑒 3.
Observação:
Se 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) é uma base ortonormal dextrógira, então temos que:
𝑖 ∧ 𝑗 = �⃗� �⃗� ∧ 𝑖 = 𝑗
𝑗 ∧ �⃗� = 𝑖 𝑖 ∧ �⃗� = −𝑗
�⃗� ∧ 𝑗 = −𝑖 𝑖 ∧ 𝑖 = 0⃗ , etc.
Exemplo:
1) Apresente os vetores 𝑖 , 𝑗 𝑒 �⃗� na base 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ).
Resposta: 𝑖 = (1,0,0)𝐸, 𝑗 = (0,1,0)𝐸 e �⃗� = (0,0,1)𝐸
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Propriedades do produto vetorial
(PV1) �⃗� ∧ (𝑣 + �⃗⃗� ) = �⃗� ∧ 𝑣 + �⃗� ∧ �⃗⃗� ou (�⃗� + 𝑣 ) ∧ �⃗⃗� = �⃗� ∧ �⃗⃗� + 𝑣 ∧ �⃗⃗� (PV2) (𝛼 ⋅ �⃗� ) ∧ 𝑣 = 𝛼 ⋅ (�⃗� ∧ 𝑣 ) = �⃗� ∧ (𝛼 ⋅ 𝑣 ) (PV3) �⃗� ∧ 𝑣 = −𝑣 ∧ �⃗�
Proposição:
Se 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) é uma base ortonormal dextrógira, e se �⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐)𝐸 e 𝑣 = (𝑚, 𝑛, 𝑝)𝐸, então:
�⃗� ∧ 𝑣 = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 �⃗�
𝑎 𝑏 𝑐𝑚 𝑛 𝑝
].
Demonstração:
�⃗� ∧ 𝑣 = (𝑎 ⋅ 𝑖 + 𝑏 ⋅ 𝑗 + 𝑐 ⋅ �⃗� ) ∧ (𝑚 ⋅ 𝑖 + 𝑛 ⋅ 𝑗 + 𝑝 ⋅ �⃗� ) =
𝑎𝑚 ⋅ 𝑖 ∧ 𝑖 + 𝑎𝑛 ⋅ 𝑖 ∧ 𝑗 + 𝑎𝑝 ⋅ 𝑖 ∧ �⃗� +
𝑏𝑚 ⋅ 𝑗 ∧ 𝑖 + 𝑏𝑛 ⋅ 𝑗 ∧ 𝑗 + 𝑏𝑝 ⋅ 𝑗 ∧ �⃗� +
𝑐𝑚 ⋅ �⃗� ∧ 𝑖 + 𝑐𝑛 ⋅ �⃗� ∧ 𝑗 + 𝑐𝑝 ⋅ �⃗� ∧ �⃗� =
𝑎𝑛 ⋅ �⃗� − 𝑎𝑝 ⋅ 𝑗 − 𝑏𝑚 ⋅ �⃗� + 𝑏𝑝 ⋅ 𝑖 + 𝑐𝑚 ⋅ 𝑗 − 𝑐𝑛 ⋅ 𝑖 =
(𝑏𝑝 − 𝑐𝑛) ⋅ 𝑖 − (𝑎𝑝 − 𝑐𝑚) ⋅ 𝑗 + (𝑎𝑛 − 𝑏𝑚) ⋅ �⃗� =
𝑑𝑒𝑡 [𝑏 𝑐𝑛 𝑝
] ⋅ 𝑖 − 𝑑𝑒𝑡 [𝑎 𝑐𝑚 𝑝] ⋅ 𝑗 + 𝑑𝑒𝑡 [
𝑎 𝑏𝑚 𝑛
] ⋅ �⃗� = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 �⃗�
𝑎 𝑏 𝑐𝑚 𝑛 𝑝
]
Exemplos:
1) Sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) uma base ortonormal dextrógira, �⃗� = (1,1,3)𝐸 e 𝑣 = (1,−1,−4)𝐸,
calcule �⃗� ∧ 𝑣 :
Resolução:
�⃗� ∧ 𝑣 = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 �⃗�
1 1 31 −1 −4
] = −𝑖 + 7𝑗 − 2�⃗� .
Resposta: �⃗� ∧ 𝑣 = −𝑖 + 7𝑗 − 2�⃗�
2) Sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) uma base ortonormal dextrógira, calcule �⃗� ∧ 𝑣 nos seguintes casos:
a) �⃗� = (−2,1,0)𝐸 e 𝑣 = (1,3, −2)𝐸 Resposta: ( )E7,4,2 −−−
b) �⃗� = (2,1, −1)𝐸 e 𝑣 = (2,5,4)𝐸 Resposta: ( )E8,10,9 −
3) Obtenha 𝑥 tal que 𝑥 ∧ 𝑗 = �⃗� e ‖𝑥 ‖ = √5, sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) uma base ortonormal
dextrógira.
Resolução:
𝑥 = 𝑎 ⋅ 𝑖 + 𝑏 ⋅ 𝑗 + 𝑐 ⋅ �⃗�
𝑥 ∧ 𝑗 = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 �⃗�
𝑎 𝑏 𝑐0 1 0
] = �⃗� 𝑎 ⋅ �⃗� − 𝑐 ⋅ 𝑖 = �⃗� a = 1 e c = 0.
Mas ‖𝑥 ‖ = √5 522 =+ba 51 22 =+b 51 22 =+ b 2=b
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Logo 𝑥 = 𝑖 ± 2 ⋅ 𝑗
Resposta: 𝑥 = 𝑖 ± 2 ⋅ 𝑗
4) Obtenha 𝑥 tal que 𝑥 ⋅ (𝑖 − 𝑗 ) = 0 e 𝑥 ∧ (𝑖 + 2�⃗� ) = 𝑖 −1
2�⃗� , sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) uma base
ortonormal dextrógira.
Resolução:
𝑥 = 𝑎 ⋅ 𝑖 + 𝑏 ⋅ 𝑗 + 𝑐 ⋅ �⃗� 𝑥 ⋅ (𝑖 − 𝑗 ) = 0𝑎 ⋅ 1 + 𝑏 ⋅ (−1) + 𝑐 ⋅ (0) = 0 ⇒ 𝑎 = 𝑏
𝑥 ∧ (𝑖 + 2�⃗� ) = 𝑖 −1
2�⃗� 𝑑𝑒𝑡 [
𝑖 𝑗 �⃗�
𝑎 𝑎 𝑐1 0 2
] = 𝑖 −1
2�⃗�
2𝑎 ⋅ 𝑖 + (𝑐 − 2𝑎) ⋅ 𝑗 − 𝑎 ⋅ �⃗� = 𝑖 −1
2�⃗�
2
112 == aa
102
1202 ==−=− ccac Logo 𝑥 =
1
2⋅ 𝑖 +
1
2⋅ 𝑗 + �⃗�
Resposta: 𝑥 =1
2⋅ 𝑖 +
1
2⋅ 𝑗 + �⃗�
5) Obtenha 𝑥 tal que 𝑥 ⊥ �⃗� , 𝑥 ⊥ 𝑣 e ‖𝑥 ‖ = 10, sabendo que �⃗� ∧ 𝑣 = 𝑖 + 4 ⋅ 𝑗 + 2√2 ⋅ �⃗� , sendo
𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) uma base ortonormal dextrógira.
Resolução:
‖�⃗� ∧ 𝑣 ‖ = √12 + 42 + (2√2)2= 5
Sabemos que 𝑥 = 𝛼 ⋅ (�⃗� ∧ 𝑣 ) ‖𝑥 ‖ = |𝛼| ⋅ ‖�⃗� ∧ 𝑣 ‖ 2510 ==
Logo 𝑥 = ±2 ⋅ (�⃗� ∧ 𝑣 ) = ±2 ⋅ (𝑖 + 4 ⋅ 𝑗 + 2√2 ⋅ �⃗� )= ( )E24,8,2
Resposta: 𝑥 = ±(2,8,4√2)𝐸
6) Obtenha 𝑥 tal que 𝑥 ⊥ (1,1,1)𝐸, 𝑥 ⊥ (2,1,3)𝐸 e ‖𝑥 ‖ = √6, sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) uma base
ortonormal dextrógira. Resposta: ( )E1,1,2 −−
Interpretação geométrica do produto vetorial
Assim, a área do paralelogramo que tem �⃗� e 𝑣 como lados, é a norma do produto vetorial destes
vetores, isto é 𝑆 = ‖�⃗� ∧ 𝑣 ‖.
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3.2.5 Produto misto
Dados os vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� , o produto misto destes 3 vetores é um número real representado por
�⃗� ∧ 𝑣 ⋅ �⃗⃗� ou [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ]. (Efetua-se primeiro o produto vetorial)
Nulidade do produto misto
Dados os vetores �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� , o produto misto destes 3 vetores �⃗� ∧ 𝑣 ⋅ �⃗⃗� = 0 se:
i) Pelo menos um destes vetores for nulo; ou
ii) �⃗� // 𝑣 (pois neste caso �⃗� ∧ 𝑣 = 0⃗ ), ou
iii) Os três vetores são coplanares.
Proposição:
Se 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) é uma base ortonormal dextrógira, e se �⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐)𝐸 , 𝑣 = (𝑚, 𝑛, 𝑝)𝐸 e �⃗⃗� =
(𝑟, 𝑠, 𝑡)𝐸, então: �⃗� ∧ 𝑣 ⋅ �⃗⃗� = 𝑑𝑒𝑡 [𝑎 𝑏 𝑐𝑚 𝑛 𝑝𝑟 𝑠 𝑡
].
Demonstração:
Sabemos que �⃗� ∧ 𝑣 = 𝑑𝑒𝑡 [𝑖 𝑗 �⃗�
𝑎 𝑏 𝑐𝑚 𝑛 𝑝
]=𝑑𝑒𝑡 [𝑏 𝑐𝑛 𝑝
] ⋅ 𝑖 − 𝑑𝑒𝑡 [𝑎 𝑐𝑚 𝑝] ⋅ 𝑗 + 𝑑𝑒𝑡 [
𝑎 𝑏𝑚 𝑛
] ⋅ �⃗�
Logo �⃗� ∧ 𝑣 =
Enm
ba
pm
ca
pn
cb
−
det,det,det . Então
�⃗� ∧ 𝑣 ⋅ �⃗⃗� = =
+
−
t
nm
bas
pm
car
pn
cbdetdetdet
tsr
pnm
cba
det
Exemplo:
1) Calcule o produto misto dos vetores �⃗� = (1,2,1)𝐸 , 𝑣 = (1,0,1)𝐸 e �⃗⃗� = (1,2,3)𝐸, sendo 𝐸 =
(𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) é uma base ortonormal dextrógira.
Resolução:
�⃗� ∧ 𝑣 ⋅ �⃗⃗�
=
tsr
pnm
cba
det 4
321
101
121
det −=
=
Resposta: �⃗� ∧ 𝑣 ⋅ �⃗⃗� = −4
Propriedades do produto misto
(PM1) [�⃗� 1 + �⃗� 2, 𝑣 , �⃗⃗� ] = [�⃗� 1, 𝑣 , �⃗⃗� ] + [�⃗� 2, 𝑣 , �⃗⃗� ]
[�⃗� , 𝑣 1 + 𝑣 2, �⃗⃗� ] = [�⃗� , 𝑣 1, �⃗⃗� ] + [�⃗� , 𝑣 2, �⃗⃗� ]
[�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� 1 + �⃗⃗� 2] = [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� 1] + [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� 2]
(PM2) [𝛼 ⋅ �⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = [�⃗� , 𝛼 ⋅ 𝑣 , �⃗⃗� ] = [�⃗� , 𝑣 , 𝛼 ⋅ �⃗⃗� ] = 𝛼 ⋅ [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ]
(PM3) O produto misto [�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] muda de sinal permutando-se dois vetores:
[�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = −[𝑣 , �⃗� , �⃗⃗� ] = [𝑣 , �⃗⃗� , �⃗� ]
[�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = −[�⃗⃗� , 𝑣 , �⃗� ] = [�⃗⃗� , �⃗� , 𝑣 ]
[�⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� ] = −[�⃗� , �⃗⃗� , 𝑣 ] = [�⃗⃗� , �⃗� , 𝑣 ]
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(PM4) O produto misto não se altera se permutarmos os símbolos e
�⃗� ∧ 𝑣 ⋅ �⃗⃗� =�⃗� ⋅ 𝑣 ∧ �⃗⃗�
Interpretação geométrica do produto misto
Assim, o volume do paralelepípedo da figura anterior é:
𝑉 = ‖�⃗� ∧ 𝑣 ‖ ⋅ ‖�⃗⃗� ‖ ⋅ |cos 𝜃|=|�⃗� ∧ 𝑣 ⋅ �⃗⃗� |
Exemplo:
1) Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores �⃗� = (2,1,4)𝐸 , 𝑣 =
(2,−1,3)𝐸 e �⃗⃗� = (5,4,1)𝐸, sendo 𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) é uma base ortonormal dextrógira.
Resposta: 39=V
3.3 Projeção ortogonal de um vetor sobre outro
Expresse vetorialmente a projeção ortogonal de um vetor v
sobre um vetor u
.
Resolução:
𝑎 = 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗� 𝑣 = 𝛼 ⋅ �⃗�
�⃗� = 𝑣 − 𝑎 (𝑣 − 𝑎 ) ⋅ �⃗� = 0
(𝑣 − 𝛼 ⋅ 𝑎 ) ⋅ �⃗� = 0 → 𝑣 ⋅ �⃗� − 𝛼‖�⃗� ‖2 = 0 → 𝛼 =𝑣 ⋅ �⃗�
‖�⃗� ‖2
Logo, 𝑎 = 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗� 𝑣 = 𝛼 ⋅ �⃗� = (�⃗� ⋅�⃗⃗�
‖�⃗⃗� ‖2) ⋅ �⃗�
Resposta: 𝑝𝑟𝑜𝑗�⃗⃗� 𝑣 = (�⃗� ⋅�⃗⃗�
‖�⃗⃗� ‖2) ⋅ �⃗�
3.4 Exercícios propostos sobre vetores
Considere em todos estes exercícios𝐸 = (𝑖 , 𝑗 , �⃗� ) uma base ortonormal dextrógira.
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1) Determine x, sabendo que os vetores são paralelos, nos casos:
a) �⃗� = (1,3,10)𝐸, 𝑣 = (−2, 𝑥, −20)𝐸 Resposta: 6−=x
b) �⃗� = (0,2, 𝑥)𝐸, 𝑣 = (0,3,6)𝐸 Resposta: 4=x
c) �⃗� = 2 ⋅ 𝑖 − 3 ⋅ 𝑗 − �⃗� e 𝑣 = 𝑥 ⋅ 𝑖 − 9 ⋅ 𝑗 − 3 ⋅ �⃗� Resposta: 6=x
2) Calcular a para que os vetores sejam coplanares, nos casos:
a) �⃗� = (1,3,0)𝐸, 𝑣 = (2,1,14)𝐸 e �⃗⃗� = (3,4, 𝑎)𝐸 Resposta: a = 14
b) �⃗� = 𝑎 ⋅ 𝑖 − 3 ⋅ 𝑗 , 𝑣 = 𝑎 ⋅ 𝑗 + �⃗� e �⃗⃗� = 𝑖 + 𝑗 + �⃗� Resposta: 2
131=a
3) Dados �⃗� = 2 ⋅ 𝑖 , 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 + �⃗� e �⃗⃗� = −2 ⋅ 𝑖 + 6 ⋅ 𝑗 + 6 ⋅ �⃗� , escrever, se possível, �⃗⃗� como
combinação linear de �⃗� e 𝑣 . Resposta: �⃗⃗� = −4 ⋅ �⃗� + 6 ⋅ 𝑣
4) Dados �⃗� = (2,0,0)𝐸, 𝑣 = (1,1,1)𝐸 e �⃗⃗� = (−2,6,2)𝐸, escrever, se possível, �⃗⃗� como
combinação linear de �⃗� e 𝑣 .
Resposta: É impossível, pois estes três vetores não são coplanares.
5) Sendo ‖�⃗� ‖ = 2, ‖𝑣 ‖ = 3, e o ângulo entre os vetores �⃗� e 𝑣 é de 2
radianos, ache:
a) ‖�⃗� + 𝑣 ‖ Resposta: 13
b) o versor de (�⃗� + 𝑣 ) Resposta: �⃗⃗� +�⃗�
√13
c) (�⃗� + 𝑣 ) ⋅ (�⃗� − 𝑣 ) Resposta: 5−
6) Determinar o ângulo entre os vetores �⃗� e 𝑣 , sabendo-se que:
�⃗� + 𝑣 + �⃗⃗� = 0⃗ , ‖�⃗� ‖ = 2 , ‖𝑣 ‖ = 3, ‖�⃗⃗� ‖ = 4. Resposta: 4
1cosarc=
7) Seja um paralelogramo construído sobre os vetores �⃗� e 𝑣 . Determinar o ângulo entre as
diagonais deste paralelogramo, sabendo-se que: ‖�⃗� ‖ = √3, ‖𝑣 ‖ = 1 e o ângulo entre os
vetores �⃗� e 𝑣 é de 6
radianos. Resposta:
7
72cosarc=
8) Sabendo que 𝑣 = (1,−1,1)𝐸, calcular o(s) vetor(es) �⃗� = (𝛼, 𝛽, 𝛾)𝐸, que satisfaçam
simultaneamente as 3 condições abaixo:
a) �⃗� ⊥ 𝑖 b) �⃗� ⋅ 𝑣 = 0
c) ‖�⃗� ∧ 𝑣 ‖ = 3√6 Resposta: �⃗� = ±(0,3,3)𝐸
9) Determinar a área do paralelogramo construído sobre �⃗� e 𝑣 , cujas diagonais são:
�⃗� + 𝑣 = (0,3,5)𝐸 e �⃗� − 𝑣 = (2,1,1)𝐸. Resposta: 35
10) Determinar vetorialmente o ângulo formado por duas diagonais de um cubo.
Resposta: = 703
1cosarc
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11) Calcule ‖2�⃗� + 4𝑣 ‖2, sabendo que ‖�⃗� ‖ = 1 e ‖𝑣 ‖ = 2, e a medida em radianos do ângulo
entre 𝑣 e �⃗� é 2
3
. Resposta: 52
12) Ache 𝑣 tal que ||𝑣 || = 3 3 , e seja ortogonal a �⃗� = (2, 3, − 1)𝐸 e a �⃗⃗� = (2,−4,6)𝐸 .
Resposta: 𝑣 = ±3( 𝑖 − 𝑗 − �⃗� )
13) Ache um vetor unitário ortogonal a �⃗� = (1,−3,1) E e a 𝑣 = (−3,3,3) E .
Resposta: 𝑣 = ±1
√6( −2𝑖 − 𝑗 − �⃗� )
14) Dados �⃗� = 3𝑖 −2𝑗 +6�⃗� ; 𝑣 = − 3𝑖 −5𝑗 + 8�⃗� e �⃗⃗� = 𝑖 +�⃗� , calcule:
a) a área do paralelogramo construído sobre �⃗� e 𝑣 ; Resposta: 49
b) o volume do paralelepípedo construído sobre �⃗� , 𝑣 e �⃗⃗� ; Resposta: 7
c) a altura do paralelepípedo. Resposta: 7
1
15) Calcular os valores de m para que o vetor �⃗� +𝑣 seja ortogonal a �⃗⃗� − �⃗� onde:
�⃗� = (2, 1, m) E ; 𝑣 = (m+2, −5, 2) E e �⃗⃗� = (2m, 8, m) E . Resposta: 6−=m ou 3=m
16) Encontre a área do triângulo cujos vértices são os pontos 𝐴 = (3, 3, 2), 𝐵 = (−2, 1, 2)
e 𝐶 = (2, 2, 1). Resposta: √38
2 𝑢. 𝑎.
17) Dados os pontos 𝐴 = (1,−2,3), 𝐵 = (2,−1,−4), 𝐶 = (0,2,0) e 𝐷 = (−1,𝑚, 1), determinar todos os valores de m para que seja de 50 unidades o volume do paralelepípedo
determinado pelos vetores 𝐴𝐵→
, 𝐴𝐶→
e 𝐴𝐷→
. Resposta: 9 ou 1−
18) Determinar o ângulo entre os vetores 𝑢→ e 𝑣→
, sabendo que ‖𝑢→‖ = 3, ‖𝑣
→‖ = 7 e ‖𝑢
→+ 𝑣→‖ =
4√5. Resposta: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠11
21
19) Dada a base ortonormal B = ( 𝑖→
, 𝑗→
, 𝑘→
), sejam 𝑢→= 2𝑖
→
− 2𝑗→
+ 𝑘→
e 𝑣→= 3𝑖
→
− 6𝑗→
.
a) Obtenha a projeção ortogonal de 𝑣→
sobre 𝑢→.
Resposta: (4, −4,2)
b) Determine 𝑝→
e 𝑞→, tais que 𝑣
→ = 𝑝→
+ 𝑞→
, sendo 𝑝→
paralelo e 𝑞→
ortogonal a 𝑢→
.
Resposta: (−1,−2, −2)
20) Em relação a uma base ortonormal, sabe-se que 𝐴𝐵→
= (2, √3, 1) e 𝐴𝐶→
= (−1, √3, 1). a) Verifique se A, B e C são vértices de um triângulo. Resposta: Sim.
b) Ache o comprimento da altura do triângulo relativa ao vértice A. Resposta: 2
c) Ache a área do triângulo ABC. Resposta: 3
Referências Bibliográficas
1. BARSOTTI, Leo. Geometria Analítica e Vetores. 3.a Edição. Curitiba: Artes Gráficas e
Editora Unificado, 1984.
2. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica – Um tratamento Vetorial.
São Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1987.
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Geometria Analítica e Álgebra Linear
3. BOULOS, Paulo, CAMARGO, Ivan de. Introdução à Geometria Analítica no Espaço. São
Paulo: Makron Books do Brasil Editora Ltda, 1997.
4. VENTURI, Jacir J. Sistemas de Coordenadas e Álgebra Vetorial. Curitiba: Artes Gráficas
e Editora Unificado, 1987.
5. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear. 2.a Edição. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 2010.
6. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. 2.a Edição. São
Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.
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