Funktionale Abhängigkeiten verstehen
Gestaltung eines Längsschnittsvon der 1. bis zur 8. Klasse
Franz Embacher
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/
Fakultät für Physikder Universität Wien
Vortrag auf der Lehrerfortbildungstagung der ÖMGFakultät für Mathematik der Universität Wien, 13. April 2007
Inhalt
• Werkzeuge und Medien, Lernkultur, Lernpfade und langfristige Planung
• Funktionale Abhängigkeiten im Mathematikstoff• Kompetenzen• Darstellungsformen und Prototypen• Die Rolle des Werkzeugs• Fächerübergreifende Bezüge• Nachhaltigkeit und Evaluation• Ausblick
Werkzeuge, Medien und Lernkultur
• mathe onlinehttp://www.mathe-online.at/
• ACDCAhttp://www.acdca.ac.at/
• GeoGebrahttp://www.geogebra.org/
• Medienvielfalt im Mathematikunterrichthttp://www.austromath.at/medienvielfalt/
Gemeinsames Projekt:
Verschiedene Ansätze:
Lernpfade
• http://www.mathe-online.at/lernpfade/• Ursprüngliches Konzept:
Lernpfad = Abfolge von Hinweisen auf und Anmerkungen zu digitalen Ressourcen
• Lernpfad-Tool, in didaktischer und technischer Hinsicht offen, steht allen NutzerInnen zur Verfügung
• Organisierung von Lernprozessen• Derzeit etwa 50 Lernpfade zu den
verschiedensten Themen, erprobt in einigen Projekten
Lernpfade in mathe online:
Lernpfade
Medienvielfalts-Lernpfade:
• http://www.austromath.at/medienvielfalt/ • schülerInnenzentrierte Lernformen,
methodisch-didaktische Vorschläge• Derzeit 14 Lernpfade (online und auf CD)• Umfangreiche Praxistests und Evaluationen
Wiki-basierte-Lernpfade („Pentagramm-Gruppe“, BRD):
• http://www.zum.de/wiki/index.php/Pentagramm-Projekt• Ressourcen unter http://www.mathematik-digital.de/
Lernpfade
• "Projektartige" Unterrichtsphase von einigen Stunden (maximal Wochen)
• Vertrautheit mit eingesetzten Werkzeugen und den angewandten Methoden
• Einzelne Themen, Techniken und Ressourcen können in Lernpfade eingebettet werden.
• Langfristige Verfügbarkeit der Inhalte• Langfristige Verfügbarkeit SchülerInnen-Dokumentation
Basis für langfristige Unterrichtsplanung:
Lernpfade
• Von Zeit zu Zeit stattfindende Lernpfad-Phasen werdenzu einem langfristigen Bestandteil des Unterrichts.
• Anschlusspunkte, die an früher Gelerntes anschließen bzw. zu einer späteren Zeit wieder aufgenommen werden können (z.B. durch eine geeignete Planung der schriftlichen Fixierung des Gelernten, etwa in Form von Ausarbeitungen, Reflexionen und Formelsammlungen)
Möglichkeiten:
Lernpfade
• Weil (Mathematik-)Lernen ein langfristiger Prozess ist.• Digitale Medien und Neue Lernkultur sind weder
notwendig noch hinreichend für das Gelingen, bieten aber eine Reihe neuer Möglichkeiten.
• Fachdidaktische Prinzipien ausschöpfen!
Warum?
Tools
• Lernplattformen• Content-Management-Systeme• ePortfolios• Individuelle oder schulspezifische Lösungen
Unterstützung durch zusätzliche Tools:
Mathematikstoff
• Mathematische Ideen, Themenstellungen und Methoden werden des Öfteren wiederaufgenommen, aber jedes mal mit einem Lernziel auf einer höheren Stufe verbunden.
Spiralprinzip:
Beispiel: Unterstufenlehrplan
• Zahlen und Maße• Variable• Figuren und Körper• Modelle und Statistik
Unterstufe
Zahlenund Maße
VariableFigurenund Körper
Modelle,Statistik
Rechenoperationen
Formeln,Abhängigkeiten
Umfangs-,Flächen- undVolumsformeln
Maßstab
Grafische Darstellung von Datenmengen
DirekteProportionalitäten
Tabellen
Rechenoperationenmit Brüchen
Formeln, Gleichungen,Abhängigkeiten
Flächen- undVolumsformeln
Direkte und indirekteProportionalitäten
Grafische Darstellung von Datenmengen Tabellen
Rechenoperationenmit rationalen Zahlen
Formeln, Gleichungen,Abhängigkeiten
Vergrößern undverkleinern, ähnliche Figuren
Formelmäßige undgrafische Darstellung vonAbhängigkeiten
Lineare Wachstums- undAbnahmeprozesse
Rechenoperationenmit reellen Zahlen,Wurzelziehen
Formeln, Gleichungen,Abhängigkeiten
Längen, Flächen,Oberflächen,Volumina
IntuitiverFunktionsbegriff
Wachstums- undAbnahmeprozesse
Untersuchen u. darstellen v.Datenmengen u. Abhängigk.
4. Klasse
3. Klasse
2. Klasse
1. Klasse
Themen/Lernziele
Mathematikstoff
• Arbeiten mit Funktionen in anwendungsorientierten Bereichen (5. Klasse)
• Anwenden von Funktionen zur Beschreibung kontinuierlicher Prozesse, Vergleichen von Modellen, Erkennen der Grenzen von Modellbildungen (6. Klasse)
• Kennenlernen von Verallgemeinerungen des Funktionsbegriffs (6. Klasse)
• umfassendes Wiederholen, Vertiefen und Vernetzen von Stoffgebieten (8. Klasse)
Oberstufenlehrplan:
Kompetenzen
• Allgemeine kognitive Leistungsfähigkeit• Reproduzieren, Anwenden• Modellieren, Argumentieren, Interpretieren, Argumentieren• Zusammenhänge herstellen, Vertiefen (z.B. das Öffnen
von Black-Boxes), Verallgemeinern, Exaktifizieren• Sprachkompetenz• Umgang mit Texten (lesen, schreiben)• Werkzeugkompetenz
Spiralprinzip auch anwendbar auf
sowie auf Lern- und Sozialformen.
Darstellungsformen und Prototypen
• Tabelle• Wortformel• Graph• Zuordnungsdiagramm• Formel (Term, „Funktionsgleichung“)• (Computer-)Programm• Rekursives Modell• DynaGraph
Prototypen des Funktionsbegriffs:
Darstellungsformen und Prototypen
Der Zahlenstrahl
http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/zahlenstrahl/zahlenstrahl.html
Zahlen und die Zahlengerade
http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/zahlen/zahlen.html
Rechenoperationen mit ganzen Zahlen
http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/rechenoperationenG/rechenoperationenG.html
Rechenoperationen
http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/rechenoperationen/rechenoperationen.html
Potenzen
http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/potenzen/potenzen.html
Der Mittelwert am Zahlenstrahl
http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/mittelwertZstr/mittelwertZstr.html
Was ist der Mittelwert?
http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/mittelwert/mittelwert.html
Zum DynaGraph-Prototyp:
Darstellungsformen und Prototypen
Lineare Gleichung
http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/lineareGleichung/lineareGleichung.html
Funktionale Abhängigkeiten verstehen (DynaGraph)
http://www.mathe-online.at/galerie/fun1/fun1.html#FunktAbh
Ableitungen messen
http://www.mathe-online.at/galerie/diff1/diff1.html#ablMess
Partielle Ableitungen messen
http://www.mathe-online.at/galerie/partdiff/partdiff.html#partAblMess
Lineare Abbildung
http://www.mathe-online.at/galerie/linalg/linalg.html#lineareAbbildung
Zum DynaGraph-Prototyp:
Themen von der 1. bis zur 8. Klasse:
„Konstanz der Darstellungsform“ (neben anderen)unterstützt die Begriffsbildung und die Problemlösekompetenz.
Die Rolle des Werkzeugs
• Computeralgebra• Spezialisierte Werkzeuge
„Konstanz des Werkzeugs“
Beispiel: Abhängigkeit von einem Parameter
• Excel-Plotterhttp://www.mathe-online.at/ (Link auf der Welcome Page)
• Einsatz ab der 4. Klasse
Fächerübergreifende Bezüge
• Die harmonische Schwingunghttp://www.mathe-online.at/lernpfade/harmonischeSchwingung/
• Beschreibung von Bewegungenhttp://www.mathe-online.at/lernpfade/Bewegungen/
Beispiele (Bezüge zum Physikunterricht):
Stehen permanent zur Verfügung, erleichtern Planung
und Koordinierung.
Nachhaltigkeit und Evaluation
• Langfristige Überprüfung des Lernertrags(„Evaluation“, nicht „Test“!) einige Monate danach
• Vorschlag: Mit Lernpfaden Vorlagen für einespätere Evaluation mitliefern?
• Interaktive Tests, z.B.http://www.mathe-online.at/tests.html
Ausblick
• Fortsetzung des Projekts
Medienvielfalt im Mathematikunterricht ?
• Systematische Erarbeitung von Vorschlägen für planerische „Längsschnitte“ durch den Mathematikunterricht
• Rückmeldesystem
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Diese Präsentation (und das zugehörige Paper)finden Sie am WWW unter
http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/MatheDidaktik/OeMG13.4.2007/
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