Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
Invers suatu fungsi dan turunannya
Fungsi logaritma asli
Fungsi eksponen asli
Fungsi eksponen dan logaritma umum
Pertumbuhan dan peluruhan eksponen
Fungsi Transenden
Fungsi satu-ke-satu
Fungsi dikatakan satu-ke-satu jika untuk setiap
u, v Є Df berlaku u ≠ v, f (u) ≠ f (v). (atau f (u) = f (v)
maka u = v, untuk setiap u,v Є )
: f ff D R
fD
Contoh:
fD
Fungsi f: , f (x) = x3 satu-ke-satu karena
Fungsi bukan satu-ke-satu
dengan 2 ≠ 2 tetapi f (-2) = f (2) = 4.
dengan demikian 3 3( ) ( ) maka f u f v u v 3 3 2 3-v 0 atau ( )( ) 0, maka u u v u uv v u v
2: [0, ), ( )f f x x
karena -2, 2
f
f -1
x
x
f (x)
Misalkan x berada pada suatu daerah asal dan f fungsi
satu-satu;
Kemudian x kita kenakan pada f, akan menghasilkan f(x)
pada daerah hasil;
Selanjutnya kita kenakan f(x) pada fungsi invers atau
balikannya; yang hasilnya adalah x itu sendiri.
Atau dengan kata lain dapat dinotasikan dengan
dan
xxff 1 yyff 1
Invers Fungsi & Turunannya
Fungsi Transenden
Notasi Fungsi Invers
Andaikan f memiliki balikan atau invers, maka
1x f y y f x
Akibatnya y=f(x) dan f invers y menentukan pasangan bilangan
(x,y) yang sama, sehingga memiliki grafik-grafik yang identik.
x
y
y=x
( 4, 2 )
( 2, 4 )
y = f(x)
y = f -1 (x)
Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
Jika f monoton murni pada daerah asalnya,
maka f memiliki fungsi invers
Teorema Eksistensi
Fungsi Invers
125 xxxf
025 4 xxf
Contoh Soal
f memiliki invers pada daerah asalnya, yaitu bilangan real.
Fungsi Transenden
Prosedur Menentukan Bentuk Invers Fungsi Langkah 1 : Selesaikan persamaan y = f(x) untuk x dalam bentuk y. Misalkan:
y
yxyyx
yxyxxxyy
xyxx
xy
11
11
Langkah 2 : Gunakan f-1 (y) untuk untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam y.
y
yyf
1
1
Langkah 3 : Gantilah y dengan x untuk mendapatkan rumus untuk f-1(x).
x
xxf
1
1
Fungsi Transenden
Teorema Turunan Fungsi Invers
Contoh
f(x)=2x+cos x, tentukan (f – 1)’(1). Perhatikan bahwa f’(x) = 2 – sin x > 0, akan dicari f – 1(1); f(0)=1 akibatnya f – 1(f(0)) =0= f – 1(1) Jadi (f – 1)’(1) =1/(f ’ (f – 1(1))) = 1/(f ’ (0)) = ½
Fungsi Transenden
Jika f adalah suatu fungsi yang memiliki invers, dengan
g = f - 1 dan f’(g(a)) ≠ 0,
maka g dapat diturunkan di a dan
g’ (a)=1/f ’(g(a)).
Fungsi Logaritma Asli Perhatikan turunan2 fungsi berikut ini.
12
2
2
22
2
xxD
xxD
xx
D
x
x
x
Kemudian adakah fungsi yang turunannya adalah 1/x?
x
Dx
1????
Fungsi Transenden
Definisi Logaritma Fungsi logaritma asli dinyatakan dalam ln, didefinisikan sebagai
0,1
ln1
xdtt
x
x
Daerah asalnya adalah himpunan real positip.
Secara Geometri y
3x
1
Luas = ln 3
3
1
1ln 3dt
t
y = 1/x
Fungsi Transenden
Turunan Fungsi Logaritma
.0,11
ln1
x
xdt
tDxD
x
xx
Dengan demikian bila kita akan mencari anti turunan dari fungsi 1/x kita dapatkan
Fungsi Transenden
.0,11
ln1
x
xdt
tDxD
x
xx
Penyelesaian Soal
0,1
ln
,1
????
xx
xD
xD
x
x
Fungsi Transenden
Dari rumusan ini kita dapat menjawab pertanyaan yang muncul pada awal sub bab ini
yakni ln(x)
Teorema A Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi logaritma asli adalah;
Jika a dab b bilangan-bilangan positif dan r sebarang bilangan rasional, maka
araiv
bab
aiii
baabii
i
r lnln)(
lnlnln)(
lnlnln)(
01ln).(
Fungsi Transenden
Contoh Soal Tentukan turunan dari 3ln x
Jawabannya :
.3
1
3
1.
1.
1ln 3
2
3
1
3
1
3
1
3
xx
x
xD
x
xD xx
Fungsi Transenden
Fungsi Eksponen Asli Invers dari fungsi logaritma asli disebut fungsi eksponen asli
dan dinyatakan oleh lambang e atau exp; yakni
xyyx lnexp
kata exp dikenal dengan lambang e,
yg menyatakan bilangan real positip
sedemikian rupa sehingga ln e = 1.
Fungsi Transenden
Sifat Fungsi Eksponensial Andaikan a dan b adalah sebarang bilangan real, maka
ba
b
a
baba
ee
eii
eeei
)(
).(
Fungsi Transenden
Turunan & Integral Fungsi Eksponen
Cedxe
eeD
xx
xx
x
Karena fungsi logaritma natural dan eksponensial asli adalah fungsi yang saling invers,
maka grafik dari kedua fungsi tersebut adalah sebagai berikut
y = ex
y = x
y = ln(x)
xy
exy
ey
ey
x
x
ln
lnln
lnln
Fungsi Transenden
Fungsi Eksponen & Logaritma Umum
Definisi
Fungsi eksponensial berbasis a didefinisikan sebagai berikut
Untuk a > 0 dan sebarang bilangan real x.
axx ea ln
Fungsi Transenden
Sifat Fungsi Eksponen & Logaritma Umum
Jika a > 0, b > 0, dan x,y adalah bilangan-bilangan real, maka
x
xx
xxx
xyyx
yx
y
x
yxyx
b
a
b
av
baabiv
aaiii
aa
aii
aaai
)(
)(
)(
)(
)(
dengan bentuk turunan dan integralnya adalah sebagai berikut;
ln
, 1ln
x xx
xx
D a a a
aa dx C a
a
Fungsi Transenden
Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen
1. Pertumbuhan Populasi dan Peluruhan Radioactive
Pertumbuhan & Peluruhan
EksponensialGreg Kelly, Hanford High School, Richland, Washington
Glacier National Park, MontanaPhoto by Vickie Kelly, 2004
Fungsi Transenden
Model Peluruhan & Pertumbuhan Eksponensial
Pertumbuhan suatu populasi dapat dinyatakan sebagai:
laju perubahan populasi relative terhadap populasi awalnya;
misalnya laju pertumbuhan tersebut konstan sebesar k;
maka dapat dinyatakan dalam formula berikut;
dyky
dt
Solusi Solusi
Fungsi Transenden
1 dy k dt
y
1 dy k dt
y
ln y kt C
ln y kt Ce e
C kty e e
C kty e e
kty Ae
0
0
ky Ae
Fungsi Transenden
Diperoleh:
0
kty y e
Bila k bernilai positif maka disebut sebagai pertumbuhan eksponensial;
dan bila k bernilai negatif disebut sebagai peluruhan eksponensial;
yang contohnya ada dalam peluruhan radioaktif.
Alpha
Beta -
+
Gamma
Peluruhan radioaktif dapat digambarkan dalam proses berikut :
Fungsi Transenden
2. Kegunaan pada bahan makanan adalah untuk pengawetan
Fungsi Transenden
Waktu Paruh Bahan Radioaktif
0 0
1
2
kty y e
1
ln ln2
kte
ln1 ln 2 kt 0
ln 2 kt
ln 2t
k
Fungsi Transenden
Pertumbuhan terbatas
Aplikasi: Penjualan produk
terbaru, depresiasi peralatan,
pertumbuhan perusahaan,
proses belajar, dan
sebagainya.
Laju pertumbuhan
sebanding dengan selisih
antara jumlah tertentu dan
populasinya.
Solusi:
Pertumbuhan logistik
Laju pertumbuhan sebanding
dengan perkalian populasinya
dengan selisih antara jumlah
tertentu dan populasinya.
Aplikasi: Pertumbuhan
populasi jangka panjang,
epidemi, penjualan produk baru,
penyebaran rumor (gosip),
pertumbuhan perusahaan, dan
sebagainya
1( ), , 0, (0) .
dy M
dt cky M y k t y
+= - > =
Solusi: 1 kM t
M
cey -+
=
( )dy
dtky M y= - ( )
M dy
y M ykM dt
-=
( )1 1
y M ydy kM dt
-+ =
( )1 1
y M ydy kM dt
-+ =ò ò
1lny
M ykMt c
-= +
12
kMt c kMty
M ye c e
+
-= =
23
1kM t
kMtM y
y c ec e--
= = 3kMtM y yc e-- =
3(1 )kMty c e M-+ =31 kM t
M
c ey -+
=
1(0)
M
cy
+=
31 1
M M
c c+ +=
1 kM t
M
cey -+
=
•Bukti: ubah menjadi
Membuat rasional sederhana:
sehingga c3 = c. Jadi solusinya adalah
Karena
atau
atau
atau
maka
Exercise (1)
Carbon 14, an isotope of carbon is
radioactive and decays at a rate proportional
to the amount present. Its half-life is 5730
years; that is, it takes 5730 years for a given
amount of carbon 14 to decay to one-half its
original size. If 10 grams was present
originally, how much will be left after 2000
years?
Fungsi Transenden
Answer The half-life of 5730 allows us to determine
k, since it implies that
(5730)11
2
ke
Or, after taking logarithms,
-0.000121t
ln 2 570
ln 20.000121
5730
Thus,
y=10e
k
k
At t = 2000, that gives
0.000121(2000)10 7.85gramsy e
Fungsi Transenden
Exercise (2)
The number of bacteria in a rapidly growing
culture was estimated to be 10,000 at noon
and 40,000 after 2 hours. Predict how many
bacteria there will be at 5 P.M.
Fungsi Transenden
Answer
We assume that the differential equation
dy/dt = ky is applicable, so
Now we have two conditions (y0=10,000 and y=40,000 at t=2), from which we conclude that
0
kty y e
Fungsi Transenden
(2)
2
(ln 2)
0.693(5)
40,000 10,000
4
Taking logarithms yields
ln 4 2
or
1ln 4 ln 4 ln 2
2
Thus,
10,000
and at t=5, this gives
10,000 320,000
k
k
t
e
e
k
k
y e
y e
Fungsi Transenden
Fungsi Transenden
Top Related