Fungsi, Komposisi Fungsi, dan Invers Fungsi
Oleh:1.Ksanti Devi Ratnaningtyas
2.Teuku Aulia R.3. Yasin Haikal B.S4. Yufana J debby
Peta Konsep
FUNGSI, KOMPOSISI
FUNGSI, DAN INVERS
FUNGSI
PENGERTIAN FUNGSI
FUNGSI KHUSUS
JENIS FUNGSI
ALJABAR FUNGSI
CARA MENYATAKAN FUNGSI
INVERS FUNGSI
KOMPOSISI FUNGSI
DIAGRAM PANAH
HIMP. PASANGAN TERURUT
GRAFIK FUNGSI
FUNGSI SURJEKTIF
FUNGSI INJEKTIF
INVERS DARI KOMPOSISI FUNGSI
FUNGSI BIJEKTIF
PENGERTIAN FUNGSI
Fungsi = pemetaan semua elemen pada daerah asal (domain) ke daerah hasil (kodomain)
CARA MENYATAKAN FUNGSI
• DIAGRAM PANAH
Domain Kodomain
Fungsi
x f(x)
A B
yz
f(y)f(z)
• Himpunan pasangan terurut
{(0, 6), (1, 7),( 2, 8),( 3, 9)}
• Grafik fungsi
Jenis Fungsi
• Fungsi Surjektif (Onto dan Into)Definisi:1. fungsi f : A B disebut fungsi surjektif/ fungsi onto/fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = B. (a)2. fungsi f : A B disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himp. Bagian murni dari himp. B (b)
A B A B
(a) (b)
ABCD
XYZ
ABCD
XYZ
• Fungsi Injektif (satu-satu)Definisi :banyak himpunan A ≠ banyak himpunan B
A B
123
ABC
• Fungsi Bijektif (korespondensi satu-satu) definisi :
1. banyak himp. A = banyak himp. B2. range = himp. B
123
ABC
Aljabar Fungsi
Definisi aljabar: Operasi aljabar pada dua fungsi, yang meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian denganskalar, perkalian dan pembagian didefinisikan sebagai berikut.
Misalkan fungsi f dan g terdefinisi himpunan D.1. jumlah f dan g, ditulis f + g, adalah suatu fungsi didefinisikan oleh (f + g)= f(x) + g(x) x D2. selisih f dan g ditulis f-g, adalah fungsi didefinisikan oleh (f – g) (x) = f(x) – g(x) x D3. hasil kali f dengan skalar C ditulis cf, adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh (cf)(x) = cf(x) x D4. hasil kali f dan g ditulis f . g adalah suatu fungsi yang terdefinisikan oleh (f . g) (x) = f(x) . g (x) x D5. hasil bagi f dan g ditulis f/g adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh x D dan g(x) 0
g(x)
f(x)(x)
g
f
Fungsi Komposisi
Definisi : misalkan fungsi g : A B dan f : B C
komposisi fungsi f dan g dinotasikan dengan fog di definisikan sebagai (fog)(a) = f(g(a)).
Dengan perkataan lain: sifat: (fog) (x) ≠ (g o f)(x)
A C B
Fog(a) = c
G(a) = bF(b) = c
H(a) = c
Contoh
Diberikan f(x)= x2 dan tentukanlah :
• (f o g)(x) • (g o f)(x)• (f o g)(-2)• (g o f)(-2)
13)( xxg
Penyelesaian
• f(g(x)) = (3x + 1) 2
= 9x2 + 6x + 1• g(f(x)) =3(x) 2 + 1
= 3x2 + 1• f(g(x)) = (3(-2) +1) 2
= 25• g(f(x)) = 3(-2) 2 + 1
= 13
Fungsi InversDefinisi:
A
a b
f(a)=b
a(b)f 1
Misalkan f koresponden satu-satu dari himpunan A ke himpunan B. f memetakan a ke b; dan memetakan b ke a.Karena b=f(a) dan a= (b), maka:
1f1f
b)(fabf(a) -1 dimana
x f(x) ofx)(f o f
D R
R
1-1-
ff
f
1-
1-
fD
x f(x) ofx)(f o f
D R
R
1-1-
ff
f
1-
1-
fD
Lankgah-langkah menentukan invers suatu fungsi f(x)1. Misalkan y=f(x)2. Nyatakan x dalam y3. Ganti x menjadi (x) dan y ganti dengan x-1f
Fungsi Invers dari Komposisi
Dalam membahas invers suatu fungsi kita lebih memperhatikan fungsi-fungsi bijektif (domain dan kodomainya bekorespondensi satu-satu.),sehingga fungsi itu mempunyai fungsi invers atau fungsi terdefinisi.
Jika fungsi g : a b, f : b c, dan h=f o g: a C, sehingga h memetakan setiap a ke c, maka fungsi invers dari h(dilambangkan dengan ) memetakan setiap c tepat sekali ke a.
-1h
-1h
a b c
a(b)g -1 b(c)f -1
g(a)=b
h(a)=(fog)(a)
f(b)=c
(c) )f o )(g(c) (fog)(c)h -1-1-1-1 (c) )f o )(g(c) (fog)(c)h -1-1-1-1
Untuk memperoleh rumus fungsi invers dai hasil komposisi dua fungsi dapat digunakan cara:1. Langsung dari fungsi komposisinya,atau2. Memngomposisikan invers masing-masing
fungsi penyusunan dengan membalik urutanya, yaitu:
(x))of(g(x)(fog) -1-1-1
Jika dalam fungsi h = f o fungsi g dikerjakan baru kemudian f ( arah anak panah ke kanan maka dalam fungsi fungsi dikerjakan lebih dulu, baru kemudian (arah anak panah ke kiri).
-1g
-1-1 g) o f(h -1f-1g
CONTOH SOAL
• Tentukan invers dari fungsi • Tentukan invers dari fungsi• Dik:
53x
24xxf
15x
2xf(x)
....)8()(
:
42)(
1
1
gof
dit
xxg
x2
1f(x)
penyelesaian
43
25)(
43
25
25)43(
2543
245353
245
1
x
xxf
y
yx
yyx
yxxy
xyxyx
xy
3x
24xf(x)
25)(
25
)25(
25
2515
215
1
x
xxf
y
yx
yyx
yxxy
xyxyx
xy
x
2xf(x)
6
28
2)8(
..
2)(
2
2
2
4)1
1
x(gof)
xgof
yx
xy
x(gof)
2x
42x
x212(g(f(x))
1
1
Top Related