Funciones y ecuaciones
exponenciales y logarítmicasAmanda Lucia Medrano Gutiérrez
Ángel Jiménez Camargo
Funciones Exponenciales
Tiene la forma f(x)= 𝑎𝑥
a > 0
a ≠ 1
La ”x” o variableindependiente seencuentra en el exponente
donde
f(x)= 1𝑥 es una función constante
que forma una línea recta
horizontal, ya que cualquier valor
que tome en ”x” , dará y =1, por lo
que no es exponencial.
Forma gráfica de una función exponencial.
La gráfica de una función
exponencial de la forma básica
f(x)= 𝑎𝑥 tiene esta forma
La gráfica pasa por el
punto (0,1)
La recta y=0 o eje x
forma una asíntota
horizontalYa que ”b” o su ordenada al
origen es 1 porque al evaluar
f(0)=𝑎0, dará como resultado 1.
¿Creciente o decreciente?
Si a<1 entonces
la gráfica será
decreciente
Si a>1 entonces
la gráfica será
creciente
¿Cómo calcular a?
• Hasta ahora hemos hablado que una función exponencial tiene la forma f(x)= 𝑎𝑥 ,
pero ¿Cómo se calcula a?
• ”a” es el factor de cambio
• Si se tienen los siguientes datos
• a= Al segundo valor de y / el primer valor de y
• a= 4/1=4
• a= 16/4=4 Por lo que a=4
• Se debe repetir esta acción cuantos valores en y existan y ”a” siempre debe tener el
mismo resultado.
x (variable
independiente)
0 1 2
y (variable
dependiente)
1 4 16
Por lo que la
funciones seria
f(x)= 4𝑥 ,
cambiando a por el
valor resultante
¿Qué pasa cuando x no
incrementa en una unidad?
• Como podemos ver en el ejemplo anterior los valores en
”x” incrementan uno en uno.
• ¿Qué pasa cuando tiene otro incremento como en el
siguiente ejemplo?
X 0 1 2
y 1 4 16
X 0 4 8
y 1 4 16
• Para obtener el incremento de x vamos a restarle
al segundo el primer valor:
• Incremento= 4-0 = 4
• Incremento = 8-4= 4 En ambos casos tiene que
darnos el mismo resultado en este caso 4.
• Por lo que nuestra función quedaría: f(x)= 4 𝑥 4
• En donde ya habíamos obtenido a y ahora
dividimos ”x” entre el incremento.
¿Cómo obtener b?
• En los ejemplos anteriores nos han dado el valor de b, ya que nosindican cuando x=0, y =1. ¿Cómo obtener b?
• Tenemos los siguientes datos:
• Para obtener b vamos a despejarla, la función tiene la forma f(x)=b𝑎𝑥
• Primero sustituimos los valores que conocemos en este caso a, f(x)=b4𝑥
• Ahora tomamos un par de valores es decir, un valor en x y surespectivo valor en y y los sustituimos en nuestra función, 4=b41
X 1 2
y 4 16
• Ahora despejamos b
• b= 4/41
• Realizamos operaciones
• b= 1 Obtenemos el valor de b y ahora lo sustituimos en lafunción.
• f(x)= 1*4𝑥
• Esto nos da la función que ya habíamos encontradoanteriormente.
• f(x)=4𝑥 Ya que todo número multiplicado por uno da elmismo número
¿Cómo obtener b?
Deformaciones
• Hasta el momento hemos utilizado la forma básica de una
función exponencial, pero existen ciertas deformaciones
que se le pueden hacer a la función, primero las que se
hacen con respecto al eje ”x”
Desplazamiento hacia la izquierda y derecha
La función f(x)= 𝑎𝑥+3
tiene un desplazamiento
de 3 unidades hacia la
izquierda, en donde la
función original es la
línea negra
El desplazamiento es hacia la izquierda
cuando el número que se le aumenta a x es
positivo por ejemplo f(x)=𝑎𝑥+3 y es hacia
la derecha cuando el número que se le
aumenta a x es negativo por ejemplo
f(x)=𝑎𝑥−3
Desplazamientos verticales
El desplazamiento es hacia arriba cuando el
numero que se le aumenta a toda la función
es positivo por ejemplo f(x)=𝑎𝑥 + 3y el desplazamiento es hacia abajo cuando el
número que se le aumenta a toda la función
es negativo por ejemplo f(x)= 𝑎𝑥 − 3
La función fue
desplazada tres
unidades hacia
arriba.
Reflexiones
Las reflexiones son con respecto al
eje x cuando toda la función es
negativa como se muestra en la
imagen.
Compresiones
• Una gráfica se comprime en y cuando el factor es menor
que la unidad por ejemplo f(x)=1
2(𝑎𝑥), este factor debe
afectar a toda la función, ya que cuando solo afecta a x,
entonces la gráfica se elonga, por ejemplo f(x)= 𝑎1
2𝑥
,
cunado el factor es mayor que la unidad y afecta a x la
grafica se comprime.
Definición
• Una función logarítmica se define como la inversa de una
exponencial.
• Por lo que la función logarítmica base (a) de (x) será la
misma base (a) elevada al exponente (x).
• Esta función tiene la característica de no poder tomar
valores menores o igual a “0”.
Leyes de los logaritmos
• Los logaritmos siguen una serie de leyes, considerando
que X y Y son números positivos.
• Si la base es mayor a 1 continuará creciente en todo su
dominio.
• Si la base es mayor a 0 pero menor a 1 continuará
decreciente en todo su dominio.
• Su dominio serán todos los números reales positivos.
• Su imagen serán todos los números reales.
• Es una función continua.
• Debe pasar por el punto (1,0) y (a,1).
No existen logaritmos de bases negativas y no existen logaritmos de
números negativos ni de “0
Existe un logaritmo base (e) mayormente conocido como
logaritmo natural (ln).
Análisis de una función
logarítmica
Su dominio estarádefinido por todoslos númerosmayores a “x”
La intersección en“y” se encuentraevaluando lafunción en “0”.
La intersección en“x” se encuentraigualando lafunción a “0”.
Si el coeficiente dentrodel logaritmo es mayor a1 se sufrirá unaelongación en el eje x
Si el coeficiente dentrodel logaritmo es mayor a0 y menor a 1 se sufriráuna compresión en el ejex
Cualquier númerosumado o restado dentrodel logaritmo, significaráun desplazamiento en eleje x
Si el coeficiente fuera dellogaritmo es mayor a 1se sufrirá una elongaciónen el eje y.
Si el coeficiente fuera dellogaritmo es mayor a 0 ymenor a 1 se sufrirá unacompresión en el eje y.
Cualquier númerosumado o restado fueradel logaritmo, significaráun desplazamiento en eleje y.
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