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8/9/2019 Fracciones y numeros decimales 5 docente

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MatemticaFracciones

y nmeros decimales

Apuntes para la enseanz

bierno de la Ciudad de Buenos Aires

c r e t a r a d e E d u c a c i n

reccin General de Planeamiento

r e c c i n d e C u r r c u l a


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Matemtica

Fr acciones y nmeros decimales. 5gradoApuntes para la enseanza

Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires . Ministerio de Educacin.

Direccin General de Planeamiento . Direccin de Currcula


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ISBN 987-549-281-7 Gobierno de la Ciudad de Buenos AiresMinisterio de EducacinDireccin General de PlaneamientoDireccin de Currcula. 2005

Hecho el depsito que marca la Ley n 11.723

Paseo Coln 255. 9 piso.CPAc1063aco. Buenos Aires

Correo electrnico: [email protected]

Permitida la transcripcin parcial de los textos incluidos en esta obra, hasta 1.000 palabras,segn Ley 11.723, art. 10, colocando el apartado consultado entre comillas y citando la fuente;

si ste excediera la extensin mencionada deber solicitarse autorizacin a la Direccin deCurrcula. Distribucin gratuita. Prohibida su venta.

Matemtica, fracciones y nmeros decimales 5to grado : apuntespara la enseanza / dirigido por Cecilia Parra - 1a ed. -Buenos Aires : Secretara de Educacin - Gobierno de laCiudad de Buenos Aires, 2005.64 p. ; 28x22 cm. (Plan plurianual para el mejoramiento de laenseanza 2004-2007)

ISBN 987-549-281-7

1. Educacin-Planes de Estudio. I. Parra, Cecilia, dir.CDD 372.011

Tapa: Laberinto de luz en la recova, de Miguel ngel Vidal, pintura acrlica, 1979 (fragmento).


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GOBIERNO DE LA CIUDAD DE BUENOS AIRES

Jefe de Gobierno

ANBAL IBARRA

Vicejefe de Gobierno

JORGE TELERMAN

Secretaria de Educacin

ROXANA PERAZZA

Subsecretaria de Educacin

FLAVIA TERIGI

Directora General

de Educacin

HAYDE CHIOCCHIO DE CAFFARENADirectora General

de Planeamiento

FLORENCIA FINNEGANDirectora General

de Educacin Superior

GRACIELA MORGADE

Directora

de Currcula

CECILIA PARRADirector de rea

de Educacin Primaria

CARLOS PRADO


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"Plan Plurianual para el Mejoramiento de la Enseanza 2004-2007"

Direccin de CurrculaDireccin: Cecilia Parra.Coordinacin de rea de Educacin Primaria: Susana Wolman.Colaboracin en rea de Educacin Primaria: Adriana Casamajor.Coordinacin del rea de Matemtica: Patricia Sadovsky.

MATEMTICA. FRACCIONES Y NMEROS DECIMALES. 5GRADO. APUNTES PARA LA ENSEANZACOORDINACIN AUTORAL: PATRICIA SADOVSKY.

ELABORACIN DEL MATERIAL: CECILIA LAMELA YDORA CARRASCO.

sobre la base de: Hctor Ponce y Mara Emilia Quaranta. Matemtica. Grado de Aceleracin 4- 7.Material para el alumno. Material para el docente. 2003/2004. (Programa de reorganizacin de lastrayectorias escolares de los alumnos con sobreedad en el nivel primario de la Ciudad de Buenos Aires,Proyecto conformacin de grados de aceleracin.)

EDICIN A CARGO DE LA DIRECCIN DE CURRCULA.

Coordinacin editorial: Virginia Piera.Coordinacin grfica: Patricia Leguizamn.Diseo grfico y supervisin de edicin: Mara Laura Cianciolo, Alejandra Mosconi, Patricia Peralta.Ilustraciones: Andy Crawley. Gustavo Damiani.

Apoyo administrativo y logstico: Gustavo Barja, Olga Loste, Jorge Louit, Miguel ngel Ruiz.


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Matemtica. Fracciones y nmeros decimales. 5 grado Apuntes para la enseanza 7

Presentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Primera parte: Fracciones

ACTIVIDAD 1. Las fracciones en los repartos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

ACTIVIDAD 2. Ms repartos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

ACTIVIDAD 3. Fracciones en el contexto de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ACTIVIDAD 4. Las fracciones como medida (longitud y rea) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

ACTIVIDAD 5. Algunas relaciones entre las fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

ACTIVIDAD 6. Sumas y restas con fracciones. Una primera vuelta . . . . . . . . . . . . .29

ACTIVIDAD 7. Fraccin de un nmero entero. Fraccin de una coleccin . . . . .30

ACTIVIDAD 8. Clculo mental con fracciones. Ubicacin entre enteros.Sumas y restas de enteros y fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

ACTIVIDAD 9. Relaciones de orden entre fracciones.Algunas equivalencias de fracciones. Comparacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

ACTIVIDAD 10. Fracciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

ACTIVIDAD 11. Las fracciones en la recta numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

ACTIVIDAD 12. Suma y resta de fracciones. Otra vuelta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Segunda parte: Nmeros decimales

ACTIVIDAD 1. Repartiendo dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

ACTIVIDAD 2. La divisin por 10, 100, 1.000 y los nmeros decimales . . . . . . . 49

ACTIVIDAD 3. Anlisis de las escrituras decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

ACTIVIDAD 4. Retomando las relaciones entre la divisinpor 10, 100 y 1.000 y los nmeros decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

ACTIVIDAD 5. Orden de los nmeros decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

ACTIVIDAD 6. Clculo mental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

ACTIVIDAD 7. Sumas y restas de nmeros decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

ACTIVIDAD 8. Multiplicacin y divisin de un nmero decimalpor un nmero natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

ndice


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La Secretara de Educacin del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires se propo-ne en el marco de su poltica educativa desplegar una serie de acciones paraimpulsar el mejoramiento de la enseanza en el nivel primario. En pos de esepropsito pone en marcha, para el perodo 2004-2007, el "Plan Plurianual parael Mejoramiento de la Enseanza en el Segundo Ciclo del Nivel Primario" en lasescuelas de la Ciudad con los siguientes objetivos generales:

Producir mejoras en la enseanza en el segundo ciclo de la escuela primariacolocando, sucesivamente, reas y ejes dentro de stas como motivo centralde los intercambios y de los esfuerzos compartidos.

Promover debates sobre cules son las condiciones pedaggicas adecuadaspara asegurar los aprendizajes buscados en las reas y los ejes seleccionados.

Construir una visin compartida sobre los aprendizajes centrales que laescuela primaria debe garantizar para todos los alumnos y alumnas, y sobrelas condiciones de enseanza que permiten su logro programacin, modali-dades, recursos, entre otros.

Instar a un trabajo institucional que permita articular un proyecto comn enel que se inserten las responsabilidades de cada docente supervisores, direc-tivos y maestros y cobren sentido las experiencias formativas de los alumnos.

Contribuir en la construccin y la difusin de herramientas conceptuales ymetodolgicas que permitan realizar, para cada rea, el seguimiento y losreajustes necesarios en funcin de la continuidad y la progresin de laenseanza a lo largo del segundo ciclo.

Asimismo, la Secretara de Educacin asume el compromiso de proveer

recursos de enseanza y materiales destinados a maestros y alumnos. Por tanto,se presentan a la comunidad educativa las siguientes publicaciones para el tra-bajo en el aula en las reas de Matemtica y Prcticas del Lenguaje.

Matemtica. Fracciones y nmeros decimales integra un conjunto de docu-mentos destinados a cada grado del segundo ciclo, en los que se aborda el tra-tamiento didctico de los nmeros racionales contemplando el complejo proble-ma de su continuidad y profundizacin a lo largo del ciclo. La serie se compone

Presentacin


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G.C.B.A. Secretara de Educacin Direccin General de Planeamiento Direccin de Currcula10

de Apuntes para la enseanza,* destinados a docentes de 4, 5, 6 y 7 grados, yde Pginas para el alumno. Cada documento de Apuntes para la enseanzaestorganizado en actividades que implican una secuencia de trabajo en relacin conun contenido. En cada actividad, los docentes encontrarn una introduccin altema, problemas para los alumnos, su anlisis y otros aportes que contribuyen ala gestin de la clase. En Pginas para el alumnose presentan esos problemas.

La eleccin de nmeros racionales obedece como puede leerse en la"Introduccin" de Matemtica. Fracciones y nmeros decimales. Apuntes para laenseanza a varias razones: es un campo de contenidos complejos, ocupa unlugar central en la enseanza en segundo ciclo, y la propuesta formulada en elDiseo Curricular para la Escuela Primaria 2004** plantea modificaciones almodo en el que se concibi su tratamiento didctico en la escuela durantemucho tiempo. Por ello, se requieren para su enseanza materiales ms cercanosal trabajo del aula y que puedan constituir un aporte para abordar su articula-cin y evolucin a lo largo del ciclo.

La presentacin de los documentos correspondientes al rea Prcticas del

Lenguaje tiene por objetivo alentar la lectura de novelas en el segundo ciclo. Laserie se inicia con Robin Hoody El diablo en la botella. Acompaando las nove-las que llegarn a las escuelas, los maestros dispondrn de Orientaciones para eldocentey los nios, de Pginas para el alumno, en los cuales se ofrece informa-cin sobre el tiempo histrico en el que ocurren los hechos narrados en cadanovela, las realidades de las regiones a las que alude el relato, su autor en el casode El diablo en la botella. La propuesta ofrece a los alumnos la oportunidad deenfrentarse simultneamente a un texto narrativo extenso y a diversos textosinformativos artculos de enciclopedia, esquemas con referencias, notas al piey varios epgrafes.

Los documentos son concebidos como recursos disponibles para el equipo

docente, que es quien decide su utilizacin. Los materiales de Prcticas delLenguaje se incorporan a la biblioteca de la escuela para facilitar que los docen-tes dispongan de ellos cuando lo prefieran. En el caso de Matemtica, todos losdocentes de segundo ciclo que trabajan esta rea recibirn Apuntes para la ense-anzay podrn solicitar los materiales para entregar a los alumnos.

Las decisiones que los docentes tomen sobre el uso de estos materiales y elanlisis de sus efectos sern insumos para reflexionar acerca de la enseanza.Deseamos reiterar la importancia de que hagan llegar, por los diversos medioshabilitados (reuniones, correo electrnico), todos sus comentarios y sugerenciassobre los materiales. Esto permitir su mejoramiento, a favor de su efectiva uti-lidad en las escuelas y las aulas, y puede representar tambin oportunidades de

dilogo en torno a las preocupaciones y los proyectos compartidos.

* En la introduccin de estos documentos se explicitan posibilidades de opcin en cuanto a la solicitud y lasecuenciacin de los materiales para los alumnos, ordenados por complejidad ms que por su determinacinestricta para un grado. Por ejemplo, lo propuesto para 4 puede ser utilizado a inicios de 5 o lo propuestopara 6 extendido a 7 grado.** G.C.B.A., Secretara de Educacin, Subsecretara de Educacin, Direccin General de Planeamiento, Direccinde Currcula. Diseo Curricular para la Escuela Primaria. Primer ciclo de la Escuela Primaria / Educacin GeneralBsica, 2004 y Diseo Curricular para la Escuela Primaria. Segundo ciclo de la Escuela Primaria / EducacinGeneral Bsica, 2004, tomos 1 y 2.


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Introduccin

1 G.C.B.A., Secretara deEducacin, Direccin Ge-neral de Planeamiento, Di-reccin de Currcula, Pre

Diseo Curricular para laEducacin General Bsica

(Educacin Primaria y Me-

dia, segn denominacin

vigente), 1999.2 G.C.B.A., Secretara deEducacin, Direccin Ge-neral de Planeamiento, Di-reccin de Currcula, Dise-o Curricular para la Es-

cuela Primaria, primero ysegundo ciclo, 2004.

Desde que el Pre Diseo Curricular1 para el segundo ciclo comenz a difundirse,muchos docentes han planteado la necesidad de contar con materiales ms di-rectamente vinculados al trabajo del aula que los ayuden a interpretar los linea-mientos curriculares. Dichos lineamientos tienen actualmente plena vigencia a

raz de la aprobacin del Diseo Curricular para la Escuela Primaria,2

primero ysegundo ciclo.Muchos docentes reconocen que las propuestas de cambio curricular en la

Ciudad de Buenos Aires apuntan a enriquecer la experiencia educativa de losalumnos, al tiempo que solicitan "mediaciones" entre esas formulaciones y lasprcticas del aula.

Por otro lado, en el marco del Plan Plurianual para el Mejoramiento de la en-seanza en el Segundo Ciclo del Nivel Primario, se ha identificado la dificultadde elaborar proyectos de enseanza que articulen el trabajo matemtico de unao a otro y hagan crecer la complejidad de contenidos que atraviesan el ciclo.

La serie de documentos "Matemtica. Fracciones y nmeros decimales en el

segundo ciclo" responde tanto a la voluntad de desplegar la propuesta del Dise-o Curricularcomo a la de ofrecer herramientas para abordar la planificacin yel desarrollo de la enseanza en el segundo ciclo en orden a una complejizacincreciente.

Entre las diversas maneras en que se busca fortalecer a los equipos docen-tes, se opt, en este caso, por la elaboracin de Apuntes para la enseanzaconpropuestas analizadas y acompaarlas con Pginas para el alumnoen las que seincluyen los problemas seleccionados.

Al presentar estas secuencias, la intencin es contribuir a mostrar cmopueden los maestros hacer evolucionar la complejidad de los contenidos que seproponen, ayudando a los alumnos a tejer una historia en la que puedan trans-

formar su pasado escolar lo ya realizado en una referencia para abordarnuevas cuestiones, al tiempo que cobran conciencia de que progresan y de queson capaces de enfrentar cada vez asuntos ms difciles (esto antes no lo sabay ahora lo s).

Disponer de secuencias de enseanza en las que se encara tanto el tratamien-to didctico de uno de los sentidos de un concepto para los distintos grados delciclo como de distintos sentidos de un concepto para un mismo grado, puedeconstituir un aporte para enfrentar el complejo problema de la articulacin y laevolucin de los contenidos a lo largo del ciclo.


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Por otro lado, los docentes encontrarn en estos materiales situaciones derepaso en las que se invita a los alumnos a revisar un tramo del recorrido esco-lar, proponindoles una reflexin sobre el mismo que ponga a punto su entra-da en un nuevo tema. Tambin son numerosas las apelaciones a hacer sntesis ya plantear conclusiones a propsito de un conjunto de problemas. Tal vez al prin-cipio estas conclusiones estn muy contextualizadas en los problemas que les

dieron origen, ser tarea del maestro hacer que se les atribuya un carcter cadavez ms general. El alumno debe intervenir en el trabajo de articulacin de lasdiferentes zonas del estudio de los nmeros racionales; para que pueda hacerlo,el maestro debe convocarlo explcitamente a esa tarea y contribuir con l en surealizacin.

El material est organizado en actividades, cada una es una secuencia detrabajo que apunta a un contenido y que incluye varios problemas. En general sepresenta una introduccin sobre los asuntos en juego en la actividad, se propo-nen problemas para los alumnos y se efecta un anlisis de los mismos donde seofrecen elementos para la gestin del docente. Muchas veces se sugieren, comoparte del anlisis de las secuencias, cuestiones nuevas para plantear a los alum-

nos. Es decir, el trabajo realizado por los alumnos en un cierto tramo ofrece uncontexto para abordar cuestiones ms generales que no tendran sentido si di-chas actividades no se llevaran a cabo. Tomar como objeto de trabajo una se-rie de problemas ya realizados, analizarlos y hacerse preguntas al respecto da lu-gar a aprendizajes diferentes de los que estn en juego cuando el alumno resuel-ve un problema puntual.

A continuacin se informa sobre la disponibilidad de los materiales para lue-go fundamentar por qu se ha elegido el campo de los nmeros racionales parainiciar esta modalidad de produccin.

Matemtica. Fracciones y nmeros decimales se compone de Apuntes pa-ra la enseanza(4, 5, 6 y 7 grado) destinado a los docentes y Pginas para el

alumno(4, 5 y 6 grado). Apuntes para la enseanzase entrega a los maestrosde acuerdo con el grado en que se desempean; una vez que el equipo docentedecide desarrollar las propuestas, solicita la cantidad de ejemplares necesariosde Pginas para el alumno. Este material, que se presenta con el formato de ho-

ja de carpeta, ser entregado a cada alumno para que trabaje en l.El docente habr advertido que los materiales estn organizados por grado,

sin embargo no necesariamente deben ser empleados segn dicha corresponden-cia. Se sugiere que el equipo docente analice todo el material y decida su utili-zacin ya sea tal como se presenta o bien segn sus criterios y la historia de en-seanza que se viene desplegando. En este sentido, pueden elegir materiales co-rrespondientes a dos aos para ser empleados por el mismo grupo de alumnos.

Por ejemplo, para los alumnos de 6 grado se podrn solicitar tanto Pginas pa-ra el alumnocorrespondientes a 5 como a 6 grado; o bien, las actividades quese presentan en Pginas para el alumnocorrespondiente a 6 pueden ser inclui-das o retomadas en 7. Es decir, no habr inconveniente en que los maestros so-liciten materiales correspondientes a dos grados para sus alumnos.

En Apuntes para la enseanza, 7 grado, se incluyen actividades a realizarpor los alumnos. Sin embargo, stas no han sido impresas en forma independien-te sino que constituyen opciones posibles cuya inclusin depende de la planifi-cacin y del balance que los docentes de 7 hagan entre los muchos temas im-portantes del ao.


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3 Para ampliar los diferen-tes sentidos de las fraccio-nes, vase Matemtica,Documento de trabajo n 4,Actualizacin curricular,G.C.B.A., Secretara de Edu-cacin, Direccin Generalde Planeamiento, Direccinde Currculum, 1997.

POR QU UNA PROPUESTA SOBRE NMEROS RACIONALES?

En primer lugar, se trata de un campo de contenidos complejo, cuya elaboracincomienza en cuarto grado y contina ms all de la escuela primaria, que supo-ne rupturas importantes con las prcticas ms familiares que los alumnos des-plegaron a propsito de los nmeros naturales.

Como se explicita en el Diseo Curricular para la Escuela Primaria, segundociclo:

El estudio de los nmeros racionales escritos en forma decimal o fracciona-

ria ocupa un lugar central en los aprendizajes del segundo ciclo. Se trata tanto

para los nios como para los maestros de un trabajo exigente que deber desem-

bocar en un cambio fundamental con respecto a la representacin de nmero que

tienen los nios hasta el momento. Efectivamente, el funcionamiento de los n-

meros racionales supone una ruptura esencial con relacin a los conocimientos

acerca de los nmeros naturales: para representar un nmero (la fraccin) se uti-

lizan dos nmeros naturales, la multiplicacin no puede salvo cuando se multi-

plica un natural por una fraccin ser interpretada como una adicin reiterada,en muchos casos el producto de dos nmeros es menor que cada uno de los fac-

tores, el resultado de una divisin puede ser mayor que el dividendo, los nmeros

ya no tienen siguiente...

Por otra parte, como ocurre con cualquier concepto matemtico, usos dife-

rentes muestran aspectos diferentes.3 Un nmero racional puede:

ser el resultado de un reparto y quedar, en consecuencia, ligado al co-

ciente entre naturales;

ser el resultado de una medicin y, por tanto, remitirnos a establecer una

relacin con la unidad;

expresar una constante de proporcionalidad; en particular esa constantepuede tener un significado preciso en funcin del contexto (escala, porcentaje,

velocidad, densidad...);

ser la manera de indicar la relacin entre las partes que forman un todo;

etctera.

Se considera entonces necesario contribuir con los docentes en la organiza-cin de esta complejidad, proponiendo un desarrollo posible.

En segundo lugar, el Diseo Curricular plantea modificaciones al modo enque por aos se concibi el tratamiento de los nmeros racionales en la escue-

la. A qu tipo de cambios respecto de lo tradicionalmente instituido nos esta-mos refiriendo?

Al organizar los contenidos por tipos de problemas que abarcan distintossentidos del concepto (reparto, medicin, proporcionalidad, etc.), el Diseo Cu-rricularpropone que se aborden en simultneo asuntos que usualmente apare-can segmentados en el tiempo o, incluso, distribuidos en aos diferentes de laescolaridad.

Por ejemplo, se inicia el estudio de los nmeros racionales (las fracciones)a partir del concepto de divisin entera, proponiendo que los alumnos sigan


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repartiendo los restos de una divisin y cuantifiquen dicho reparto. Al dejarabierta la posibilidad de que el reparto se realice de distintas maneras, muchosalumnos fraccionan lo ya fraccionado y luego enfrentan el problema de cuanti-ficar esa accin. Adems, los diversos modos de hacer los repartos que surgen enla clase, dan sentido a plantear la necesidad de establecer la equivalencia entrelos nmeros que representan esos repartos. Fraccin de fraccin y equivalencia

aparecen entonces de entrada, aunque esos asuntos no se traten de manera for-mal sino en el contexto en el que emergen. De modo que podramos decir: queel problema de hacer repartos y establecer su equivalencia problema que, co-mo antes se seal, se propone para abordar el estudio de las fracciones pone

juntos los contenidos de divisin entera, fraccin, fraccin de fraccin, equiva-lencia y orden, al tiempo que el mismo problema ofrece un contexto que da pis-tas para que los alumnos puedan tratarlos. En este ltimo sentido, no diramos,por ejemplo, que la nocin fraccin de fraccin que surge de esta manera esexactamente la misma que la que se trata cuando el tema se propone aislada-mente. Aclaremos el alcance de lo que sealamos: de es, en cualquiercontexto, ; lo que estamos subrayando es que el modo en que se plantea la

necesidad de realizar dicha operacin a partir de qu problemas, conociendo qucuestiones otorgar diferentes sentidos a la misma, incluyendo en la idea desentido los elementos que tienen los alumnos para resolverla. Por otro lado, aun-que del problema del reparto equitativo surja la nocin de fraccin de fraccin,sta deber ser retomada en otros contextos, retrabajada, descontextualizada yformalizada. Esto demandar, sin duda, mucho tiempo: como todos sabemos, lasnociones no se aprenden de una vez y para siempre sino que necesitan ser trata-das una y otra vez en distintos mbitos y estableciendo relaciones entre ellas.

Sera legtimo preguntarse muchos maestros lo preguntan: por qucomplicar las cosas, si el trabajo paso a paso da resultado? La pregunta remi-te nuevamente a la cuestin del sentido que estamos atribuyendo a la matem-

tica en la escuela: desde nuestro punto vista, las nociones que estuvimos men-cionando (fraccin de fraccin, equivalencia, reparto equitativo) estn imbrica-das unas con otras; por eso, tratarlas juntas en un contexto particular permitearrancar el estudio de las fracciones con un conjunto ms amplio y ms slidode relaciones que se irn retomando con el tiempo. Tratar cada una de estas no-ciones de manera aislada puede ser en el momento ms fcil para los alumnos,pero, al ser tambin ms superficial, se torna menos duradera. Menos durade-ra porque olvidan fcilmente aquello que no aparece entramado en una organi-zacin donde las distintas nociones que componen un campo de conceptos serelacionan unas con otras. Detrs de la idea de lo fcil y lo difcil hay cues-tiones importantes para discutir respecto de la experiencia formativa que se pre-

tende impulsar.Sintetizando: al organizar el trabajo sobre los nmeros racionales tomando

como criterio los mbitos de funcionamiento del concepto (reparto, medicin,etc.), se modifica el orden de presentacin que siempre tuvieron las nociones queconforman el concepto. Aprovechemos para sealar que el paso del tiempo tor-na naturales ciertos ordenamientos de los contenidos escolares que en reali-dad fueron producto de decisiones que respondan a cierto proyecto educativo.Cuando se revisa el proyecto, lo natural es revisar tambin los rdenes y relacio-nes entre los contenidos.

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Otro asunto que plantea el Diseo Curricularrespecto del tratamiento delos nmeros racionales y que se intenta plasmar en esta serie se refiere alpapel que se le otorga a las relaciones de proporcionalidad como contexto enla elaboracin de criterios para operar con fracciones y decimales. Efectiva-mente, en las Pginas para el alumno de sexto grado que integran esta seriese presentan situaciones de proporcionalidad directa donde hay que operar

con fracciones y decimales antes de haber formalizado y sistematizado los al-goritmos correspondientes a dichas operaciones. La idea es que los alumnosresuelvan esas situaciones usando a veces de manera implcita las propie-dades de la proporcionalidad y que, una vez resueltas, puedan analizar lo he-cho y tomar conciencia de que en dicha resolucin estn involucrados clcu-los con fracciones y decimales. Disponer del resultado de un clculo sin co-nocer el algoritmo obliga a pensar cmo debe funcionar el algoritmo para ob-tener un resultado que ya se conoce. En algn sentido, se est invitando al si-guiente mecanismo productor de conocimiento: si este problema involucra elclculo x y yo ya resolv el problema y s que el resultado es , aho-ra me las tengo que arreglar para entender cmo funciona la multiplicacin

de fracciones para que x sea . Obviamente no estamos esperan-do que los nios repitan frases de este tipo, s queremos comunicar que esemecanismo est presente en el tratamiento de las operaciones multiplicativascon fracciones y decimales; tenerlo en cuenta conlleva el doble propsito:ofrecer a los alumnos un camino para que elaboren estrategias y operen; y,de manera ms transversal, mostrar un mecanismo a travs del cual se pro-duce conocimiento matemtico.

En tercer lugar, otra razn por las que se proponen materiales sobre los n-meros racionales: quisimos mostrar la potencia de este contenido para poner en

juego aspectos del trabajo matemtico a los que les atribuimos un alto nivel for-

mativo. Formular leyes para comparar nmeros, establecer la verdad o la false-dad de enunciados, analizar la equivalencia de expresiones numricas sin apelaral clculo efectivo, comparar diferentes procedimientos realizados por otros,delimitar el alcance de diferentes propiedades (esta regla vale en tales casos)son tareas que, al ubicar al alumno en un plano de reflexin sobre el trabajo lle-vado a cabo, le permiten comprender aspectos de la organizacin terica de ladisciplina, le posibilitan acceder a las razones por las cuales algo funciona de unacierta manera. Lograr que los alumnos adquieran cierto nivel de fundamentacinpara los conceptos y propiedades con los que tratan, es un propsito de la edu-cacin matemtica que la escuela tiene que brindar.

CARACTERSTICAS DE LAS PROPUESTAS

Las secuencias que se presentan no estn en general pensadas para que losalumnos resuelvan de manera inmediata la tarea que se les propone. S se espe-ra -cada vez- que puedan empezar a abordar, explorar, ensayar. En algunos ca-sos, podrn arribar a conclusiones de manera bastante autnoma y en otros re-querirn de la ayuda del docente. Alentamos la tarea de exploracin como un

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modo de formar a un alumno autnomo, que acepta el desafo intelectual, queelabora criterios para validar su propio trabajo.

A propsito de algunos de los problemas, es probable que los alumnos evi-dencien cierta dificultad para entender con precisin qu es lo que se les pide.Puede ser que el docente interprete que el alumno no comprende la consigna.Sin embargo, la falta de comprensin de la consigna se vincula en general con

el hecho de que la tarea en danza es conceptualmente nueva; por eso, entenderlo que se pide supone para los alumnos ampliar su perspectiva respecto de losconceptos involucrados en el problema. En esos casos seguramente sern nece-sarias explicaciones del docente que completen la formulacin escrita del pro-blema. Estas explicaciones son un modo de empezar a comunicar las nuevasideas que estn en juego.

Se suele atribuir la falta de comprensin de las consignas a un tema extramatemtico (ms ligado al rea de Prcticas del Lenguaje). Sin embargo, estafalta de comprensin es, en general, matemtica: los alumnos no entiendenqu hay que hacer porque todava no conciben claramente en qu consiste la ta-rea en cuestin. Comprenderlo es parte del aprendizaje.

Mucho se ha discutido si el docente debe o no intervenir en la tarea que rea-liza el alumno. Es claro que el docente debe ayudar al alumno que se encuentrabloqueado eso hace a la definicin del trabajo docente. Tal vez sea bueno ana-lizar que entre decir cmo es y no decir nada hay una gama importante deintervenciones que podran dar pistas a los alumnos para seguir sosteniendo sutarea. Conocer diferentes modos de abordar la tarea puede ayudar al docente aelaborar posibles intervenciones. sa es la razn por la cual, al analizar las se-cuencias propuestas en Apuntes para la enseanza, se incluyen posibles estrate-gias de los alumnos. La discusin de algunas de estas estrategias con el conjun-to de la clase podr enriquecer el contenido que se est tratando, aunque lasmismas no hayan sido propuestas por los nios.

Lograr que los alumnos entren en un trabajo matemtico ms profundoms enriquecedor, pero tambin ms difcil no es tarea de un da, es produc-to de una historia que se va construyendo lentamente en la clase. Los alumnosdeben sentir que se confa en ellos, que tienen permiso para equivocarse, que supalabra es tomada en cuenta. A la vez deben aprender: a pedir ayuda identifi-cando de la manera ms precisa posible la dificultad que tienen y no slo dicien-do no me sale, a respetar la opinin de los otros, a sostener un debate... Elmaestro juega un rol fundamental en estos aprendizajes.

A diferencia de lo que suele pensarse, la experiencia nos muestra que mu-chos alumnos se posicionan mejor frente a un problema desafiante que frente auna tarea fcil. Lograr que el alumno experimente el placer de dominar lo que

en un principio se mostraba incomprensible, ayuda a que construya una imagenvalorizada de s mismo. Obviamente, esto es bueno para l, pero tambin es al-tamente satisfactorio para el docente.

Es nuestro deseo que en alguna medida estos Apuntes para la enseanza, ytambin las Pginas para el alumno, contribuyan a que el docente pueda enfren-tar la difcil tarea de ensear, gratificndose con el despliegue de una prcticams rica y ms plena.


16/65


Las fracciones en los repartos

A

ctividad

1

PROBLEMAS

1) Analiz si, para repartir en partes iguales 3 cho-colates entre 4 chicos, son o no equivalentes lossiguientes procesos:

a) repartir cada uno de los 3 chocolates en 4partes iguales y dar a cada chico una partede cada chocolate;

b) partir por la mitad 2 de los 3 chocolates y daruna mitad a cada chico, y partir el tercerchocolate en 4.

Expres, usando fracciones, cada uno de los

repartos anteriores. Despus analiz y argu-ment si son o no equivalentes las expresio-nes que surgen en cada caso.

2) Para repartir 23 chocolates entre 5 chicos, Vane-

sa pens lo siguiente:23 chocolates entre 5 me da 4 chocolates paracada uno, pues 4 x 5 = 20 y me sobran 3 choco-lates, que los corto cada uno en cinco partes, yentrego una parte de cada chocolate a cada uno.En cambio, Joaqun pens as: Le doy 4 chocola-

tes a cada uno igual que Vanesa pero corto cadauno de los 3 chocolates restantes por la mitad yle doy una mitad a cada chico; luego divido el l-timo medio en 5 y entrego una parte a cada uno.Analiz si son o no equivalentes los repartos deVanesa y de Joaqun. Luego anot las expresio-

nes fraccionarias que surgen de cada reparto,analiz y argument si son o no equivalentes. Si

penss que las expresiones fraccionarias sonequivalentes, encontr un modo de pasar deuna a otra.

3) Para repartir 8 chocolates entre 3 chicos se hanpartido por la mitad 6 chocolates y se entregaron4 mitades a cada uno. Luego, los 2 chocolates res-tantes se cortaron en 3 partes cada uno y se en-tregaron 2 de esas partes a cada chico.Busc otros repartos que sean equivalentes a s-

te. Anot las expresiones fraccionarias que surgeny pens cmo podras explicar que son todas ex-

presiones equivalentes representativas de la mis-ma cantidad.

4) Martn tena 1 kg de caramelos de cada uno delos siguientes sabores: frutilla, menta, limn,

manzana y naranja. Reparti los caramelos decada sabor en bolsitas de kg, kg kg.En la siguiente planilla se anot cmo se hizoel reparto, pero faltan algunos datos. Comple-talos.

LAS FRACCIONES EN LOS REPARTOS

Bolsas de kg

1

1

1

0

0

Bolsas de kg

1

0

3

Bolsas de kg

2

0

4

12

14

18

12

14

18

4 En Matemtica.Fracciones y nmeros

decimales. 4 grado.Apuntes para la

enseanza, se realizaun trabajo exhaustivocon fraccionesen el contextode reparto.

PRIMERA PARTE: FRACCIONES

Esta primera actividad servir para hacer un repaso de la fraccin, en tanto re-

sultado de un reparto en el que el dividendo es el numerador y el divisor es eldenominador.4

Se proponen a continuacin algunos problemas en los que se ofrecen dife-rentes alternativas para realizar un reparto. La discusin con los alumnos sobrela equivalencia de dichas alternativas ser un modo de poner en escena algunasideas sobre fracciones que ellos pudieron haber trabajado en 4 o grado.

Caramelos de

distintos sabores(1 kg de cada sabor)

Frutilla

Menta

Limn

Manzana

Naranja


17/65


ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1, 2, 3, 4 Y5

Las actividades aqu presentadas son, en parte, repaso del trabajo realizado encuarto grado.5 Antes de proponer a los nios las actividades que se detallan enlas que se trata de repartir una cantidad entera en partes iguales, sera conve-niente que el docente recuerde en forma oral y colectiva algunas situaciones de re-parto sencillas; por ejemplo: distribuir un chocolate entre 5 chicos de modo tal queno sobre nada y a todos les toque la misma cantidad. Cunto le corresponder acada uno? Este y otros ejemplos similares que el maestro pueda mencionar permi-

ten recordar o establecer una definicin de fraccin en la que los nios se apoya-rn para encarar los diferentes problemas. Para el caso planteado, los alumnos se-guramente dirn que hay que partir el chocolate en 5 partes iguales y el maestrorecordar que cada porcin es de chocolate. Se define entonces que es unacantidad tal que 5 veces esa cantidad equivale a 1 .

De manera general, en trminos para los docentes y no para los nios, sedefine que si n veces una cierta cantidad equivale a un entero, esa cantidadse llama .

En primer lugar, para el problema 1, los nios deben decidir cmo expresar,usando fracciones, los resultados de los dos procesos. Luego, debern analizar silas expresiones que surgen son o no equivalentes.

Es probable que los alumnos acepten con mayor o menor facilidad anali-zar los diferentes modos de repartir, pero no es tan claro que entiendan qu seles pide cuando se les solicita que expresen los repartos usando fracciones yque analicen la equivalencia de las expresiones surgidas. Seguramente el do-cente deber explicar esta consigna. Al hacerlo, estar al mismo tiempo comu-nicando ideas que conciernen al concepto de fraccin; por ejemplo, que sepuede transformar una expresin fraccionaria para obtener otra equivalente. Asu vez, los nios irn entendiendo qu se les pide, a medida que avancen en eltrabajo y no necesariamente comprendern de manera acabada el alcance de latarea, antes de realizarla. Resulta claro en esta instancia que la falta de com-prensin de la consigna asunto que muchos docentes ubican como dificul-

tad se vincula con el hecho de que la tarea es conceptualmente nueva; poreso, entender lo que se pide supone para los alumnos ampliar su perspectivarespecto de las fracciones.

Volviendo ms concretamente al anlisis del problema 1, los nios puedenexpresar estas cantidades de diferentes maneras: 3 de para el primer repar-to, y y para el segundo. Esta es una buena oportunidad para recordarque 3 de se nombra tambin . En general, a medida que vayan surgiendoexpresiones del tipo m veces , el maestro podra introducir la notacin . (Que-da claro que el uso de letras se utiliza ac para la comunicacin con el docente.)

5) Para una fiesta patria los chicos tenan quecortar trozos de m de cinta argentina parahacer moos. Con su rollo, Luciana pudo cor-

tar exactamente 8, Javier pudo cortar 6 con el

suyo y Cristian, 5. A ninguno de los chicos le

sobr cinta. Cul era la longitud del rollo decada uno?

14

15

15

1n

5 Si el docentelo considera pertinente,

podra realizarla secuencia de reparto

que se encuentra enMatemtica. Fracciones

y nmeros decimales. 4

grado. Apuntes para laenseanza.

14

12

14

mn

14 1

n

34


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La cuestin central de esta discusin es analizar si 3 de es equivalente ono a y . Es importante tener presente que los alumnos se enfrentan conel hecho de que la misma cantidad puede expresarse con nmeros diferentes.Se trata en realidad del mismo nmero que admite diferentes representaciones.

Posiblemente en un primer momento los nios intenten explicar las equiva-lencias acomodando los pedacitos unos debajo de otros. Si bien estos procedi-

mientos se aceptarn en principio, se tender a que los alumnos se basen en re-laciones para argumentar sobre la equivalencia. Se espera que propongan, porejemplo, lo siguiente: es lo mismo que , entonces es lo mismo que

ms .Para contribuir a que los alumnos entren en un trabajo matemtico, sera

bueno alentar que los procedimientos de tipo emprico (por ejemplo, acomodarpedacitos) vayan sustituyndose por la construccin de argumentos y la elabo-racin de criterios para estar seguro.

El segundo reparto nos permite poner en escena un conjunto de conexionesentre quintos y dcimos. Se esperan argumentos del siguiente tipo: Al dividiruna mitad en cinco partes iguales, se obtienen pedacitos de un tamao tal, que

se necesitan diez de esos pedacitos para completar el chocolate entero; o sea,de es igual a . Sealemos que, aunque no se haya enseado formal-

mente fraccin de fraccin, estamos esperando que los nios, apoyados en susconocimientos, puedan elaborar este tipo de argumentos.

En el problema 3, surge del reparto que a cada chico le corresponde 4 vecesms 2 veces . Se espera que los alumnos comprendan que esto se puede

expresar ms sintticamente como 2 y . Esta ltima expresin ser compara-da con otras que surjan de otros modos de repartir equitativamente; por ejem-plo, partir los 8 chocolates en 3 partes iguales y entregar un pedacito de cadachocolate a cada chico. En este ltimo caso, la expresin que se utilizara pararepresentar numricamente la porcin de cada nio sera 8 veces u . Pues-

tos en comn estos dos modos de repartir los 8 chocolates entre 3 nios, habracondiciones para comparar 2 y con . No presuponemos que los alumnospodrn hacer esto completamente solos ni tampoco que el docente deba expli-carlo sin algn aporte de los nios. Ms bien, la escena que vislumbramos es quese realice esta comparacin de manera colectiva, con aportes de los nios y conorientaciones del docente. Al finalizar el trabajo, debera establecerse que

1 es lo mismo que ; 2 es lo mismo que y, por tanto,y es lo mismo que .

Al mismo tiempo que se analiza esta comparacin en particular, estn en

juego dos conocimientos ms generales:

hay expresiones numricas equivalentes (modos de expresar la misma can-tidad);

un modo de establecer la equivalencia es transformar una de las expresionesen otras equivalentes hasta obtener la que se quiere alcanzar.

141

214

24

12

341

214

15

12

110

12

13

23

13

83

23

83

33

636

323

83


19/65


Sealemos finalmente dos cuestiones que surgen de los tres primeros pro-blemas:

a) los alumnos son invitados a reflexionar sobre repartos que han hecho otros(otros hipotticos, claro), y esta tarea resulta ms compleja que hacer un re-parto porque supone tomar como objeto un procedimiento ya realizado e

intentar captar las relaciones que se han puesto en juego en dicho procedi-miento; adems,b) la propuesta de analizar y argumentar apunta a producir relaciones que no

se establecen si el trabajo queda solo en el terreno de la accin (producir unreparto). De manera transversal los alumnos van entendiendo qu quiere de-cir producir un argumento.

Los problemas 4 y 5 ponen a los alumnos en la necesidad de componer unacantidad como suma de otras. Si bien se los est invitando a expresar una frac-cin como suma de otras, ser interesante relacionar estos problemas con las si-tuaciones de reparto. Efectivamente, por ejemplo, para el problema 5, se pueden

establecer las siguientes relaciones:

4 de es 1 y 8 de es 2. Resulta entonces que

8 x = 2

2 : = 8

2 : 8 = .

Como siempre, recomendamos que se establezcan conclusiones (ms o me-

nos generales) como sntesis de una secuencia de actividades. En este caso, po-dran quedar registradas afirmaciones del tipo:

, , , , etc. es la parte de una unidad tal que 2, 3, 4, 5, etc.,partes iguales a esa, equivalen a la unidad.

puede pensarse como 9 veces y como el resultado de 9 dividido7.

de es una parte tal que se necesitan 5 de esos para completar unmedio, entonces se necesitan 10 de esos para completar el entero; resul-ta entonces que de es igual a .

Una misma cantidad se puede representar con nmeros diferentes; 1 se

puede armar con 6 de , entonces 1 es lo mismo que . Se puede interpretar la fraccin como el resultado de un reparto en el queel dividendo es el numerador y el divisor, el denominador.

14

14

14

14

28

14

14

13

12

15

17

15

12

97

15

12

110 1

214

12

64


20/65


Los siguientes problemas tambin comprenden situaciones de reparto, pero se avan-za respecto del trabajo anterior en este sentido: se propone una situacin y variosjuegos de datos para dicha situacin. Esto permitir analizar ms globalmente cadatipo de problema y, por ese motivo, hay una mayor exigencia de generalizacin. Al

tratar de manera ms general la relacin entre el entero a repartir, la cantidad depersonas entre las que se hace el reparto y el tamao de cada parte, se pondrn enjuego tal vez de manera implcita relaciones de proporcionalidad, aunque no es unpropsito de esta secuencia tratarlas especficamente. Sucede que el tema propor-cionalidad est entrelazado con el de fracciones, y las relaciones que se establecencuando se estudia uno de estos temas abonan el trabajo con el otro. De ah que mu-chas de las cuestiones que surgen en estos problemas podrn ser retomadas cuandoel docente aborde explcitamente la enseanza de la proporcionalidad.

ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1, 2 Y3

Completar los casilleros en cada una de las tablas equivale a un tpico problemade enunciado. El hecho de poner varios juegos de datos permite que los alumnosse apoyen en unos para completar otros.

Por ejemplo, para la tabla del problema 1, el primer casillero se puede comple-tar considerando que 5 veces es 1 . Esto da una pista para completar la se-gunda columna: efectivamente, 1 es ms que 1 , por tanto, si se necesi-ta 1 kg de helado es porque hay 6 invitados. De todos modos, este resultado

PROBLEMAS

1) Quiero comprar la suficiente cantidad dehelado como para dar kg a cada invi-tado a una fiesta. Complet la siguientetabla en la que se relaciona la cantidadde invitados con la cantidad de kilogra-mos de helado necesaria si se quiere darsiempre kg a cada invitado:

2) Tengo 3 kg de helado para repartir entrelos invitados a una fiesta. Complet la si-guiente tabla en la que se relaciona lacantidad de invitados con la porcin dehelado para cada uno.

3) Quiero repartir los kilogramos de heladoen partes iguales entre los 5 invitados a lafiesta. Complet la siguiente tabla que re-laciona la cantidad de kilogramos de hela-

do disponibles con la porcin que le toca-r a cada invitado.

MS REPARTOS

Cantidadde invitados

Cantidadde heladonecesaria(en kg)

5

1

3

12

1 34

Invitadosa la

fiesta

Cantidadde heladoque le tocaa cada invi-tado (en kg)

2 3 4

12

Cantidadde helado

(en kg)

Cantidadde heladoque le toca

a cada invita-do (en kg)

3 1 6 6 12

12

35

12

13

Ms repartos

Actividad

2

14

14

14

18

14

141

214

141

2


21/65


tambin se puede pensar de manera independiente del primer casillero: en-tra 6 veces en 1 . Una vez completada la tabla, se puede analizar que

cada cuadrito de la segunda fila se obtiene multiplicando el correspon-diente de la primera fila por ,

cada cuadrito de la segunda fila dividido da como resultado el corres-

pondiente cuadrito de la primera.

Si bien en este momento no se est tratando el tema divisin, estas relacio-nes parciales que se establecen slo en este contexto van preparando una tramade relaciones que sostendr los aprendizajes futuros.

Para la tabla del problema 2, se puede completar el primer casillero conside-rando que si hay 3 kg de helado para 2 invitados, cada invitado comer 1 (o

) kg de helado. El segundo casillero es obvio: 3 kg para 3 invitados da 1 kgpor invitado. Para completar el tercer casillero se puede pensar en repartir los 3kg entre 4 pero tambin se puede pensar que 4 invitados (doble de 2) comerncada uno la mitad de lo que comen 2 invitados (porque la cantidad total de kg

de helado es siempre la misma). Obviamente, en ambos casos el resultado es ,pero pensado de dos maneras distintas, es decir, 3 : 4 la mitad de .

Para saber cuntos invitados haba si cada uno comi kg, nuevamente sepueden establecer diversas relaciones:

por cada kilo de helado, comen dos invitados; como hay 3 kilos, hubo 6 in-vitados;

es la tercera parte de , entonces si cada invitado come kg, esporque se tiene el triple de invitados que los que hay cuando la porcin es

, o sea, 6 invitados.

Si a cada invitado le toca kg de helado (mitad de ), alcanza para el doble deinvitados que los que comen cuando la porcin es kg, o sea, 12. Del mismo mo-do, si la porcin es kg (mitad de ), los invitados son 24 (doble de 12).

Una vez completada esta tabla, se puede analizar que, en todos los casos, la can-tidad de invitados, multiplicada por la porcin para cada invitado, debe dar 3.

La tabla del problema 3 ofrece la posibilidad de conectar quintos y dcimos:si hay 1 kilo la porcin es ; si hay kilo la porcin es , relacin que seha establecido en la actividad 1. Tambin se pueden jugar en esta tabla algunasrelaciones aditivas: si se ha establecido la porcin para cada invitado cuando hay6 kilos y cuando hay kilo, se pueden sumar esos resultados para calcular la por-cin cuando hay 6 kg.

Al tener la tabla completa es posible analizar que cualquier nmero de la se-gunda fila, multiplicado por 5, debe dar el correspondiente nmero de la prime-ra fila.

Ofrecer un contexto en el cual los resultados pueden pensarse de diferentesmaneras y relacionarse entre s enriquece las relaciones que se estableceran sicada juego de nmeros se considerara aisladamente. Este es el valor que le atri-buimos a esta situacin.

Una vez completadas las tablas, se puede reflexionar sobre ellas e identificar lasrelaciones generales que estn presentes. Por ejemplo, si se tiene fija la cantidad

141

2

14 1

4

34

12

12

12

14 12121

4

12

121

2

123

2

32

32

32

18

15

110


22/65

6 Un trabajo exhaustivocon fracciones en el contexto demedida se propone en Matemtica.Documento de trabajo no 4,

Actualizacin curricular, G.C.B.A.,Secretara de Educacin, DireccinGeneral de Planeamiento,Direccin de Currcula, 1997.


de kg de helado que hay que repartir, a doble cantidad de invitados correspondemitad de porcin. En cambio, si la porcin de helado que le toca a cada invitadopermanece fija, a doble cantidad de invitados corresponde doble porcin. Estomismo ocurre si se mantiene fija la cantidad de invitados. En trminos para eldocente, se tiene la relacin

cantidad de kilogramos de helado = cantidad de invitados x porcin para ca-da invitado.

Segn cul de estas variables se mantenga fija, se obtiene una relacin direc-tamente proporcional o inversamente proporcional. Esto se puede poner en eviden-cia con los chicos, como dijimos antes, pero sin recurrir a estas denominaciones.

El anlisis de esta actividad permite tomar conciencia de que la reflexin so-bre las actividades ya resueltas posibilita identificar nuevas relaciones y no sloponer en comn las que se produjeron en el momento de resolver los problemas.En otros trminos, el anlisis de los problemas ya resueltos da lugar a que se pro-duzca en la clase un conocimiento diferente del que se juega en la resolucin.

Este anlisis difcilmente surja de manera espontnea por parte de los alumnosy, si se elige ponerlo en la escena del aula, ser el docente quien deber propo-nerlo y coordinar la discusin que a partir de all se pueda desplegar.

Esta secuencia servir para repasar el concepto de fraccin en el contexto de lamedida y la determinacin de diferentes medidas con relacin a una unidad.6

PROBLEMAS

1) Este pedacito de soga es de la soga entera.Cul es el largo de la soga completa?

2) En una construccin, los obreros llegaron a le-vantar del total de la pared, pods dibujarcmo quedar cuando la terminen? (Vase P-ginas para el alumno.)

3) Se borr parte del segmento que estaba dibu- jado. Se sabe que la parte que qued corres-ponde a los del segmento completo. Cmoera el segmento entero?

4) Si el siguiente segmento representa la unidad(en Pginas para el alumno, se presenta un seg-mento de 8 cm), dibuj segmentos que sean:1 de la unidad, de la unidad, 2 dela unidad.

5) Si el segmento representa 1 de la unidad, di-buj la unidad. Explic cmo lo pensaste.

6) Qu parte del total del rectngulo se pint?

7) Es cierto que en el siguiente rectngulo se pin-t ? Cmo lo explicaras?

Fracciones en el contexto de la medida

Actividad

3

FRACCIONES EN EL CONTEXTO DE LA MEDIDA

34

24

15

23

36

14

12

34


23/65


ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Y8

Se vuelve a poner en juego una idea central del concepto de fraccin: es unacantidad tal que n veces es igual a 1.

Los problemas 1, 2, 3, 5 y 8 enfrentan a los alumnos con la necesidad de re-construir el entero a partir de una fraccin. Obviamente, esto es ms fcil cuan-do la fraccin que se da tiene numerador 1; es el caso de los problemas 1 y 8.

En el problema 2, se espera que los alumnos puedan pensar a 1 como ;por tanto, si se tiene , falta . Tener es tener 3 veces ; vale decir quela tercera parte de lo que se tiene es . Esta es la relacin que los alumnos de-bern establecer. A partir de ah es ms fcil que reparen en que 2 hileras de la-drillos equivalen a de pared, y eso es lo que falta agregar.

En el problema 3, tambin es conveniente pensar a 1 como , para analizarcmo completar el entero. De ese modo, se tiene que dividir el segmento en 2,porque as se obtiene del total que es lo que falta para completar.

En el problema 8, se espera analizar que el entero puede completarse de di-ferentes maneras, siempre que se cumpla la condicin de que el entero equivalea 3 veces la cantidad dada. Separar la cantidad de la forma es un asunto quepuede tratarse cuando se trabaja con superficies y que no se ve cuando slo setrata con longitudes. Por esta razn, este problema aporta un aspecto diferente,respecto de los problemas anteriores.

A la hora de establecer conclusiones sobre la actividad, podran quedar re-gistradas afirmaciones como las siguientes:

Si se tiene del total y se divide en 2 partes iguales, cada una de esaspartes es del total y con 3 de esas partes se arma el entero.

Se puede pensar la unidad, 1, como o bien o bien , segn cmose necesite.

Las partes pueden tener cualquier forma con la condicin de que para queuna parte represente, por ejemplo , es necesario disponer de 3 de esaspartes a fin de obtener una superficie equivalente a la unidad.

Y otras que surjan en la etapa colectiva.

8) Carlos us del papel que tena para envolver un regalo. El papel que us era igual a ste.

a) Dibuj el papel tal como era cuando estaba entero.b) Compar tu dibujo con el de un compaero. Dibujaron los dos lo mismo?

c) Comparen la cantidad de papel que cada uno piensa que corresponde al entero.

1n

44

34

14

34

141

4

14 3

3

13

13

23

13

33 44 55

13

1n


24/65


Con esta actividad se aborda la utilizacin de fracciones para medir longitudes yreas. Se analizarn situaciones de medicin en las que la unidad no entra unacantidad entera de veces en el objeto que se mide, de modo de provocar la ne-

cesidad de que se fraccione la unidad. Por otro lado, tambin se busca la deter-minacin de diferentes medidas con relacin a una unidad. Se analizarn situa-ciones en las que distintas partes de un entero tienen diferente forma entre ellasy, sin embargo, representan la misma cantidad.

ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1 Y2

sta es una oportunidad para volver a analizar que las partes pueden tener cual-quier forma; aun en el mismo entero pueden tener distinta forma entre s. La ni-ca condicin para que una parte represente, por ejemplo, es que ser nece-sario utilizar 4 de las partes que se ofrecen para tener una cantidad equivalenteal entero. Este es el punto central que debe analizarse con los nios y una de lasconclusiones que pueden registrar en sus cuadernos.

En el problema 1 no alcanza con mirar y ver el entero partido en 4 partesiguales sino que hace falta comparar cada parte con la unidad para observar quecada una de las partes sombreadas representa .

En el problema 2, como el rectngulo se encuentra dividido en 2 rectngu-los iguales, y cada uno de esos rectngulos est dividido a su vez en 4 partes que

equivalen cada una a del rectngulo chico, se tiene el rectngulo original di-vidido en partes que representan cada una . Para marcar basta con utili-zar 5 de las partes en las que se encuentra dividido.

PROBLEMAS

1) Es verdad que el rectngulo y el tringulo pin-tado representan ambos del entero? Cmopodras hacer para estar seguro de tu res-

puesta?

2) Sin que hagas ms divisiones, pint, si es posi-ble, del rectngulo.

LAS FRACCIONES COMO MEDIDA (LONGITUD Y REA)

Las fracciones como medida (longitud y rea)

Actividad

4

14

14

14

58

14

58

18


25/65


ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 3, 4Y5

Para estas actividades, los alumnos pueden contar con regla graduada.

Posiblemente en el problema 3 averiguar qu parte del entero representa el

segmento de 6 cm no sea un problema demasiado complejo, ya que es posible

trasladar ese segmento 2 veces a lo largo de la unidad. Lo mismo sucede con el

segmento de 2 cm que puede trasladarse 6 veces sobre la unidad y, por lo tan-

to, representa de la unidad.

En cambio, cuando se enfrentan con el segmento de 10 cm, ya no se puede

hacer entrar ese segmento una cantidad entera de veces. Una forma posible de

calcular esa fraccin ser apoyndose en el valor obtenido para 2 cm y tener en

cuenta que el nuevo segmento es cinco veces el anterior, por tanto, representaruna fraccin que es cinco veces la anterior, es decir, 5 veces , aunque no

pueda trasladarse sobre el original.

Para 9 cm, el razonamiento se podra apoyar en que si 6 cm es de la uni-

dad y 3 cm es la cuarta parte, porque 3 cm entra 4 veces en 12 cm, entonces,

como el segmento de 9 cm es la suma del segmento de 6 cm y el de 3 cm, re-

presenta y que es igual a .

Este problema pone de manifiesto un doble juego:

el segmento que mide 6 cm es de la unidad porque se puede trasla-

dar 2 veces ese segmento y da la unidad;

o bien, el segmento de 6 cm es del segmento de 12 cm pues 6 x 2 = 12.

En los problemas 4 y 5, la longitud de los segmentos elegidos provoca ya sea

que la unidad no entre una cantidad entera de veces en el segmento cuando ste

es mayor que la unidad o que el segmento por medir sea menor que la unidad. En

ambos casos, se podr recurrir al plegado de la unidad.

Nuevamente aqu y para todos los problemas de esta actividad la informacin

de la medida en cm del segmento unidad es un dato slo para los docentes que no de-

be ser ofrecido a los nios. A ellos se les comunica que el segmento mide 1.

PROBLEMAS

3) Usando este segmento como unidad (en Pgi-nas para el alumno, el segmento mide 12 cm),

indic la medida de los siguientes segmentos

(en Pginas para el alumno, se presentan seg-

mentos que miden, respectivamente, 6 cm, 2

cm, 3 cm, 10 cm y 9 cm).

4) Con esta tira que te entregamos, calcul culser la longitud de otra tira que sea de la

unidad. (Se entrega a los chicos una tira de pa-

pel de 18 cm de largo.)

Y una que sea de esta unidad?

Y ? ? ?

5) La tira que tens ahora mide 2 . De a dos,discutan cmo podra hacerse para saber cul

ha sido la unidad de medida que se utiliz. (Se

entrega a los chicos una tira de papel de 5 cm

de largo.)

FRACCIONES EN LA RECTA NUMRICA

12

12

12

14

34

12

12

13

4346

96

53

16

16


26/65


Esto no significa que los alumnos no puedan medir el segmento unidad y va-

lerse de las relaciones entre la medida del segmento unidad y el segmento que

se quiere establecer, pero no hay que perder de vista que la unidad de referen-

cia es el segmento que se les est dando en cada caso.

Con esta actividad se podr trabajar el clculo de la mitad, la tercera parte, el

doble, el triple de una fraccin.

ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1, 2, 3, 4, 5 Y6

Se espera arribar con los chicos a estrategias apoyadas en la definicin de fraccin;

por ejemplo, si se tiene y se comi la mitad, se sabe que 2 veces esa cantidad

tiene que dar y si entra 4 veces en el entero, la mitad de tiene que en-

trar 8 veces en el entero, entonces es . Algunos chicos podran decir que la mi-

tad de es , haciendo 4 dividido 2; en ese caso, se puede proponer a los

alumnos compararlas: es ms que , por tanto, esto no sera posible.

En los primeros problemas se ponen en juego fracciones del tipo . En es-

te punto se podra comenzar a generalizar con los alumnos que para calcular lamitad de una fraccin se puede multiplicar por 2 el denominador.

En cambio, en el problema 4, se tiene que repartir entre 2. Aqu sera in-

teresante que surgieran varias estrategias, por ejemplo: si los alumnos slo con-

tinan utilizando la estrategia de los problemas anteriores que es totalmente

vlida se les puede proponer pensar otra forma de calcular por supuesto, no

se pretende invalidar la regla general que establecieron hasta el momento esto

es, se podra pensar como se tiene que repartir entre 2, le toca a cada

uno. Y ver que esas dos maneras de hacer la mitad de son equivalentes. Es

PROBLEMAS

1) Anoche comimos pizza y sobr . Hoy comla mitad de lo que sobr. Qu parte del total

de la pizza com?2) En un recipiente se tiene de lo que inicial-

mente contena. Si, ahora, de lo que qued se

saca la mitad, con qu nueva fraccin se pue-

de escribir esa parte?

3) Catalina hizo una torta y llev la quinta partea la casa de su ta. Comieron la mitad cada

una. Qu porcin del total de la torta se co-

mi cada una?

4) Joaqun tiene una bolsa de caramelos y le da a

su hermano del total. Su hermano le regala

a un amigo la mitad de lo que le toc. Qu

parte de la bolsa recibi el amigo del hermanode Joaqun?

5) Lorena da de los chocolates que tena a susamigos y de lo que le queda le da la mitad a su

hermana. Qu parte del total de los chocolates

le dio a su hermana?

6) Indic la respuesta correcta:

a) La mitad de es: ; ;

b) El doble de es: ; ;

ALGUNAS RELACIONES ENTRE LAS FRACCIONES

Algunas relaciones entre las fracciones

Actividad5

14

14

14

14

14

18

12

12

14

1n

23

23

58

14

13

248248

244

124

128

488

4816

2416

23

23

13


27/65


decir, es equivalente a . En este problema, en vez de multiplicar por 2 el

denominador, se puede dividir por 2 el numerador.

En cambio, esta ltima estrategia de dividir el numerador no sirve para ha-

cer entre 2. Plantear la pregunta por qu sucede esto? es interesante pa-

ra calcular, con distintas estrategias, la mitad de una fraccin; por ejemplo, te-

ner en cuenta si el numerador es mltiplo de 2.

Para finalizar, ser necesario sistematizar ambas estrategias teniendo encuenta que la primera estrategia, de multiplicar por 2 el denominador, sirve

siempre para calcular la mitad; en cambio, la segunda estrategia sirve slo si

el numerador es mltiplo de 2.

ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 7 Y8

Para el problema 7, las opciones propuestas en cada caso recogen los errores msfrecuentes que los alumnos suelen cometer en relacin con las fracciones, cuando

extienden a este dominio numrico ideas construidas a propsito de los nmeros

naturales. Por ejemplo, pensar que para calcular el doble o la tercera parte de una

fraccin es necesario operar simultneamente sobre el numerador y el denomina-

dor. A partir del trabajo, se podran redactar reglas para establecer con toda la cla-

se cmo calcular la mitad, la tercera parte, el doble, el triple, etctera.

Ser interesante registrar afirmaciones del tipo:

3 es la mitad de 6, pero no es la mitad de , etctera.

El doble de una fraccin es 2 veces esa fraccin, as el doble de es 2

veces que es 2 x = . Para calcular la mitad de una fraccin puedo multiplicar el denominador

por 2 o, si el numerador es mltiplo de 2, puedo dividir el numerador por

2. Una sirve siempre, la otra no.

Para calcular la tercera parte de una fraccin puedo multiplicar el deno-

minador por 3.

Y otras afirmaciones que surjan de las discusiones sobre el trabajo de los

alumnos en las puestas en comn.

PROBLEMAS

7) Respond:a) es la mitad de o es al revs?

b) Cunto es la tercera parte de ?

c) Cunto es la mitad de ? Y la mitad de?

d) Cunto es el doble de ? Y de ?

8) Seal cul es la respuesta correcta y explic c-mo lo pensaste:

El doble de es: ; ;

La mitad de es: ; ;

El triple de es: ; ; ;

La tercera parte de es: ; ; ;

ALGUNAS RELACIONES ENTRE LAS FRACCIONES

1245

34

13

16

23

65

210

25

110

15

315

115

945

915

15

315

35

115

945

915

23

43

46

26

13

16

35 35 65

35

13

26

38


28/65


Entendemos las puestas en comn no slo como un espacio donde se corri-

gen las resoluciones, sino como verdaderos espacios de produccin matemtica

en los que los alumnos formulan hiptesis, argumentan sus producciones, inter-

cambian y en ese intercambio abonan ideas con otros, es decir, hacen mate-

mtica.

En esta actividad an no se apunta a trabajar el algoritmo para la suma y la resta de

fracciones. Se pretende abordar algunas sumas y restas contextualizadas.

ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1, 2, 3, Y 4

Como se mencion anteriormente, ms adelante se presentar el algoritmo tra-

dicional para sumar y restar fracciones. Pero en una primera vuelta se puede co-

menzar a realizar algunas sumas y restas con denominadores fciles, ya sea

porque uno es mltiplo del otro, ya sea porque es fcil encontrar relaciones en-

tre ellos.

Se sugiere alentar a los alumnos a que arriesguen resultados y que se discu-

ta colectivamente cmo estar seguros de dichos resultados. Se trata de ir gene-

rando relaciones que se sistematizarn ms adelante.

En ese sentido es importante explicitar las relaciones establecidas: Esta su-

ma es fcil porque es lo mismo que . Se trata de identificar las condicio-

nes que hacen que la cuenta sea fcil.Inclusive, se puede proponer que los alumnos piensen cuentas fciles y

cuentas que no lo son, y expliquen qu criterio utilizaron.

Sumas y restas con fracciones. Una primera vuelta

Actividad

6

PROBLEMAS

1) Los albailes han pintado de la pared de

rosa, de gris y el resto no est pintada to-dava.

a) Qu porcin de la pared est pintada?

b) Qu parte no est pintada?

2) Natalia comi de un chocolate y Juana comidel chocolate. Cunto chocolate qued?

3) De una bolsa de caramelos, Oscar sac y

Mara sac . Qu parte de los caramelosqued en la bolsa?

4) Jorge y Laura estn haciendo un viaje. Salen ellunes y recorren del recorrido. El martes

recorren la mitad de lo que les faltaba. Qu

parte les falta recorrer?

SUMAS Y RESTAS CON FRACCIONES. UNA PRIMERA VUELTA

58

1

4

231

6

1

2

15

14

14

28


29/65

Hasta el momento se trabaj el fraccionamiento de magnitudes continuas y ser

necesario detenerse explcitamente en el cambio que la nueva tarea supone. Pasar

a fraccionar colecciones de elementos requiere tanto usar las viejas relaciones co-

mo elaborar otras nuevas. En estos problemas hay una exigencia de cambio de uni-

dades. Se pueden reconocer dos unidades de medida: considerar un objeto de la co-leccin como unidad o considerar la coleccin como un todo.

Esto no suceda cuando se repartan chocolates o se fraccionaba una cierta

longitud o un rea.

En los enunciados que siguen se trabaja el clculo de fracciones de coleccio-

nes de elementos y, para darle significado, se utilizan diferentes contextos. Lue-

go se har un trabajo de descontextualizacin.

PROBLEMAS

1) En el ltimo examen, de los 40 alumnos ob-tuvo un puntaje superior a 6. Qu cantidad de

alumnos tuvo esas notas?

2) Mara complet de su lbum de figuritas.El lbum tiene 90 figuritas. Cuntas figuritas

tiene pegadas?

3) La parte de un ramo de 24 flores son cla-veles blancos. Cuntos claveles blancos tiene

el ramo?

4) Juan ya complet de su lbum de 42 figu-

ritas. Cuntas tiene pegadas?5) La mitad de primer grado son nias. Son 14

nias. Cuntos alumnos tiene el grado?

6) de todo 6 grado son 5 alumnos. Cuntosalumnos tiene el grado?

7) de los alumnos de 7 grado son 15 alum-

nos. Cuntos alumnos tiene el grado?

8) Marcia fue a Mar del Plata y trajo de regalo

una caja con 24 alfajores. En la caja de los

alfajores son de chocolate, son de dulce de

leche y el resto es de fruta.

a) Cuntos alfajores trajo de cada tipo?

b) Si a su pap slo le gustan los alfajores de

chocolate y de dulce de leche, qu parte

del total de alfajores puede comer?

c) Adems, como Marcia sabe que a su her-

mana le gustan los caramelos, trajo una

bolsa de 40 caramelos, de la que son de

menta, son de anan, son de naran-

ja y el resto son de frutilla. La hermana de

Marcia se enoj mucho, porque dice que

puede asegurar sin contarlos que en la bol-

sa no hay caramelos de frutilla, que son los

que ms le gustan a ella. Es cierto lo que

dice la hermana de Marcia? Por qu?

9) Cuando Luis lleg de la escuela, su mam le di-jo que no prendiera la tele hasta las 7 de la tar-

de. Luis lleg de la escuela a las 5. Tard de

hora en tomar la leche y le dedic 1 hora a ha-

cer la tarea. Esper media hora ms y prendi la

tele. Te parece que le hizo caso a su mam?

Por qu? Si penss que no le hizo caso, cun-

to tiempo ms tendra que haber esperado?

10) Un avin tiene que recorrer 540 km. Hizo suprimera escala a los 180 km. Qu parte del

recorrido le falta realizar?

11) Laura tiene 25 caramelos y Liliana tiene 10 ca-ramelos. Laura come de sus caramelos y Li-

liana come la mitad. Quin te parece que co-

mi ms caramelos? Cuntos caramelos co-

mi cada una?

12) Dos amigos se fueron de vacaciones. Uno gas-t la mitad del dinero que llevaba y el otro

gast la cuarta parte de su dinero. Es posible

que el que gast un cuarto de su dinero haya

gastado ms que el que gast la mitad? Fun-

dament tu respuesta.

FRACCIN DE UN NMERO ENTERO. FRACCIN DE UNA COLECCIN


Fraccin de un nmero entero. Fraccin de una coleccin

Actividad

7

14

16

34

56

14

34

135

12

12

14

14

14

15


30/65


ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 Y 13

A lo largo de este trabajo, se identificar, por ejemplo, que de... significa

hallar la cuarta parte, es decir, considerar una de las partes que resulta de divi-

dir la cantidad total por 4. Tambin ser necesario reconocer la posibilidad de

apoyarse en el clculo de de... para extenderlo a fracciones con cualquier

numerador. Si se quisiera obtener de ..., ser necesario hacer 3 veces .En los problemas 5, 6 y 7, a partir de una fraccin de una coleccin, se soli-

cita el total de ella. Al principio, se ofrece como dato la cantidad correspondien-

te a fracciones de forma del total. Se espera que los alumnos reconozcan que

n veces esa cantidad permite hallar la totalidad. Luego, se proponen fracciones

cualesquiera; por ejemplo, dar como dato que del total son 15 alumnos. Los

alumnos podrn apoyarse en la bsqueda de la cantidad correspondiente a ,

para luego reconstruir el total. Esta tarea se vincula sera interesante explicitarlo

con toda la clase con tareas resueltas previamente, en las que, dada una parte del

entero, los alumnos deban reconstruir la unidad. Por ejemplo, en actividades del

tipo: Estos son del segmento unidad. Dibuj el segmento unidad.

Los problemas 8 y 10 plantean, tambin, saber qu parte del total es unacantidad.

Analicemos el problema 8 b). Se trata de calcular qu parte del total de al-

fajores son de chocolate y dulce de leche. Ser interesante analizar con los alum-

nos que esto se puede pensar tanto si se considera como unidad cada alfajor co-

mo tomando el total como unidad. Efectivamente:

de los alfajores son de chocolate

de 24 es 8

de los alfajores son de dulce de leche

de 24 es 10

Son de chocolate y dulce de leche

+ = ; y tambin 8 + 10 = 18

Qu parte del total es 18? Una posible estrategia sera analizar que como

faltan 6 para llegar a 24 y 6 entra 4 veces en 24, entonces 6 alfajores es de

24 alfajores y 18 es de 24. Tambin se puede pensar que se tienen 18 partes

de 24, entonces tengo 18 veinticuatroavos, o sea, . Y de esta manera se

13) Cunto es:

de 100 de 270

de 72 de 150

de 49

En cada caso, explic por qu.

151657

2345

14

1n

34 14

1n

34 1

4

23

13

13512

512

13

512

912

34

14

1824


31/65


establece que es equivalente a , pues de 24 es 18 y 18 es la par-

te de 24.

Se puede sistematizar: qu parte es una cantidad A de otra cantidad B?

Se representa con la fraccin . En este caso usamos letras; con los alum-

nos se pueden utilizar de manera general varios ejemplos para establecer una

regla.

Para la parte c) del problema 8 se tendra que analizar que + + ya dael total, por tanto, no es posible que haya otro sabor de caramelos. Al igual que el

problema 9, en el que de hora, ms 1 hora, ms hora da 1 hora y , y de

5 de la tarde a 7 de la tarde hay 2 horas.

Para estos problemas sera interesante que los alumnos pongan en juego

algunas cuentas que deberan tener disponibles; por ejemplo, + ,

+ + , 1 + + , etc. Y en ese sentido, al tener estas cuentas dispo-

nibles, resulta ser ms econmico trabajar la fraccin en relacin con el entero

que calcular la fraccin de la cantidad. Ms econmico siempre y cuando estas

cuentas realmente estn disponibles.

La economa en general depende de los conocimientos con los que cuentan

los chicos. Si estas cuentas no estn disponibles para el total de la clase, es pro-bable que sea ms econmico calcular la fraccin de la cantidad. La economa es

relativa al conocimiento.

Todava no se espera introducir el algoritmo de la suma de fracciones, pero

se pueden establecer relaciones locales con respecto a la suma y a la resta de

fracciones; por ejemplo, sumas y restas en las que slo hay que transformar una

de las fracciones como realizar la suma de + apoyndose en que es

equivalente a , entonces

+ = + = .

Ms adelante se recogern estas estrategias y sern punto de apoyo con elfin de establecer un algoritmo para sumar y restar fracciones.

Los dos ltimos problemas ponen en juego que, si bien es mayor que ,

cuando nos referimos a una misma unidad, de una cantidad puede ser ms

chico que de otra cantidad, y eso es porque la unidad a la que se hace refe-

rencia cambia.

Se podra identificar que siguen en juego las relaciones aprendidas a raz del

concepto de fraccin: por ejemplo, la quinta parte de 40 es 8 porque 5 veces esa

parte 5 veces 8- forman la totalidad, 40. Ser interesante poner en relacin las

operaciones que tienen lugar al resolver estos problemas con las reconocidas en

situaciones de repartos o mediciones. En aquellas oportunidades, a partir de la

vinculacin de las fracciones con la divisin, sabamos, por ejemplo, que al re-partir 5 chocolates entre 4 chicos, le correspondan a cada uno. Dicho de otro

modo, la cuarta parte de 5 chocolates ( de 5) es de chocolate.

En este contexto de particin de colecciones, es necesario tener en cuenta

que no es posible hallar cualquier fraccin de un nmero natural si los elemen-

tos de la coleccin no se pueden subdividir. Por ejemplo, si se tratara de deter-

minar la cantidad de lpices correspondientes a de 20 lpices. El docente de-

cidir si somete o no esto a discusin con sus alumnos.

En el problema 13 se propone una descontextualizacin de los conocimientos

34

34

1824

AB

12

14

14

14

12

34

14

14

12

14

14

14

12

13

512

13

412

13

512

412

512

912

12

14

14

54

14

54

13

1824

12


32/65


utilizados en los problemas anteriores planteando el clculo de la fraccin de unnmero natural.

Ser una ocasin propicia para retomar, analizar y sistematizar el algoritmobasado en la divisin del nmero natural por el denominador y la multiplica-

cin por el numerador.Al respecto, es importante reconocer que el mismo procedimiento puede se-

guirse si primero se realiza la multiplicacin y luego la divisin.Se recomienda detenerse a analizar por qu necesariamente en cualquier or-den en que se realicen estas dos operaciones se obtiene el resultado buscado.

Por ejemplo, de 270 se puede calcular como 2 veces de 270; es decir,2 x . O bien, como es el doble de , se puede pensar que hacer de 270es lo mismo que hacer del doble de 270, pues si se duplica la cantidad, se tieneque tomar la mitad para que siga siendo lo mismo, entonces se tiene x 2 x 270.

En esta actividad se trabaja el clculo mental con fracciones. Se proponen situa-ciones que permitan a los alumnos progresar en el conjunto de relaciones que seestablecen entre determinados grupos de fracciones y entre ciertas fracciones ylos enteros. Se busca tener un bagaje de estrategias de clculo mental para com-parar fracciones, analizar equivalencias, sumas de medios, cuartos y octavos, detercios y novenos, etctera.

PROBLEMAS

1) Complet las siguientes cuentas:

a) + ............. = 2

b) + ............. = 1

c) + ............. = 2

d) + ............. = 2

e) - ............. = 1

f) + ............. = 2

g) - ............ = 1

2) Entre qu enteros se encuentran las siguientesfracciones?

3) Calcul mentalmente. Consider que no se pue-de escribir la respuesta como nmero mixto.

a) + 1 =

b) + 1 =

c) + 2 =

d) + 3 =

e) - 1 =

f) - 2 =

g) - 2 =

4) Anot los siguientes nmeros como una solafraccin:

a) 2 + = d) 10 - =

b) 5 + = e) 11 + =

c) 4 + = f) 8 + =

CLCULO MENTAL CON FRACCIONES. UBICACIN ENTRE ENTEROS. SUMAS Y RESTAS DE ENTEROS Y FRACCIONES

Clculo mental con fracciones. Ubicacin entre enteros.Sumas y restas de enteros y fracciones

Actividad

8

23

13 2

323

13

270

13

13

1435567474479

7

76

94

32

45

781933587174215

187

342335

4637

410


33/65

ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1, 2, 3 Y4

En el problema 1 se vuelve a poner en juego la definicin de fracciones: es unafraccin tal que 4 veces da el entero, entonces 8 veces da 2 enteros; esdecir, = 2. Por tanto, a le falta para llegar a 2.

As se puede retomar que el entero es igual a , o a , etc. Y que 2 es igual

a , , etctera.Apoyados en esto, para el problema 2 se puede establecer que est entre1 y 2, pues 1= y 2= , y est entre y .

Relaciones similares se reinvierten nuevamente en el problema 3 ya que + 1se puede pensar como + = . Lo mismo para las restas, por ejemplo,

-1 = - = .En el problema 4, ser necesario establecer, por ejemplo, que 5 es equivalen-

te a , pues si por cada entero se tiene 3 de , en 5 enteros se tiene 5 x 3de que es igual a .

Con esta actividad se espera trabajar la bsqueda de estrategias para comparary ordenar fracciones. Tambin se apunta a la seleccin de la estrategia de com-paracin ms adecuada a las fracciones que se quieren comparar.


PROBLEMAS

1) Tengo dos cintas iguales, una azul y una roja. Ala cinta azul le cortar de su longitud, y ala roja, de su longitud. Cul de las dos que-dar ms larga?

2) Varios chicos abrieron una caja de chocolati-nes, los partieron y comieron algunos.

En la tabla se indica cunto comi cada unoa) Quines comieron la misma cantidad?

b) Quin comi ms?

c) Al da siguiente, repartieron alfajores. Orde-nalos desde el que comi menos hasta elque comi ms.

RELACIONES DE ORDEN ENTRE FRACCIONES. ALGUNAS EQUIVALENCIAS DE FRACCIONES. COMPARACIN

Relaciones de orden entre fracciones.Algunas equivalencias de fracciones. Comparacin

Actividad9

Cantidad de alfajoresNombre

Joaqun

Laura

Ins

Daniela

14

14

14

84

14

74 5

566

105 126

66

126

76

66

126 7

878

88

158

174

174

44

134

153

131

3153

48

35

12

54

12

Cantidad de chocolatinesNombre

Juan

Joaqun

Laura

Ins

Daniela

Camila

Martn

Victoria

Diego

12

14

14

14

+

+ 14+

2436

68

48

510

34

1

76

35

38


34/65


ANLISIS DE LOS PROBLEMAS 1, 2 Y3

En estos problemas se busca que comiencen a elaborar estrategias para compararfracciones. Es importante que todos los alumnos tomen posicin y sean capaces deexplicar en qu se basan. Ese es el sentido fundamental de invitarlos a producir re-sultados antes de que hayan sistematizado las estrategias para lograrlos.

Para el problema 1 una estrategia posible es comparar cunto falta en cadacaso para llegar al entero. En este caso, si se corta , quedan ; y si se cortan,queda . Es ms fcil comparar y , pues es ms grande que y esms chico que . Esto permite concluir que es menor que : se saca me-nos porque queda ms.

En el problema 2 se vuelve sobre relaciones movilizadas en el problema an-terior para resolver un problema de equivalencias y orden de fracciones. Estas re-

laciones estn referidas en este problema a un reparto.Se busca reutilizar aqu la referencia al entero, cunto ms o menos que un

entero constituye una fraccin, las equivalencias en trminos de cuntas vecesuna fraccin determinada forma otra, etctera.

A continuacin, mencionamos algunas relaciones posibles de ser considera-das por los alumnos en la resolucin del problema 3. Para a) podrn tener encuenta que ambas fracciones tienen el mismo numerador, es decir, se toma lamisma cantidad de partes, pero las partes de la primera son ms pequeas. Parab), la primera fraccin equivale a y la segunda, a . Para c), la primera frac-cin equivale a y la segunda es mayor que porque equivale a . Pa-ra d), es conveniente considerar la distancia con el entero: para la primera

fraccin y para la segunda; por tanto, es mayor porque le falta menospara completar el entero. En e), se trata de comparar una fraccin mayor que 1con otra menor que 1. La fraccin menor que 1, en este caso, tiene nmeros msgrandes que la fraccin mayor que 1. Nuevamente, se podr recordar que el ta-mao de la fraccin no depende del valor de los numeradores o denominadoresconsiderados de forma aislada.

Las conclusiones que se fueron elaborando pueden ser recuperadas por el do-cente apelando a la memoria de la clase.

d) Estos chicos se sirvieron jugo en sus vasos (al-gunos lo hicieron ms de una vez) y lo toma-ron. Ordenalos desde el que tom menos jugohasta el que tom ms jugo.

3) Indic >; < =

a)

b)

c)

d)

e)

13

Vasos de jugo

Nombre

Camila

Martn

Victoria

Diego

14

34

45

1

1

2

2518

1545

936

4748

7590

2510

816

1240

3435

2815

38

582

515

58

13

58

12

15

12

12

38

25

14

14

1