Series de Fourier-Legendre
Coordenadas Esfricas(2)Franco Espejel Rodrigo AugustoMartnez Ruz PabloRodrguez Crdenas Jess GuillermoTovar Melecio Ricardo
EJEMPLO Temperaturas de estado estable en una esfera
Cmo?
Sabiendo que:
Derivando parcialmente y sustituyendo queda:
Separando se tiene:
Terminando de separar e igualando a :
Obtenemos las 2 ecuaciones:
Despus de sustituir x=cos():
Series de Fourier-LegendrePara la resolucin del ejemplo de coordenadas esfricasEcuacin de Bessel orden vEcuacin de Legendre orden n
En la ecuacin de Legendre sustituir la serie:
Quedara:
Si cada uno de los trminos lo igualamos a 0:
10Y despejando el coeficiente ms grande:
Necesitamos ms valores, entonces encontramos c4,c5,c6,c7:
Los pares estn en trminos de c0, y los impares de c1, agrupamos:
Para c: Si par, n=0,c0=1;n=2,4,6,:
Si no par, n=1,c1=1; n=3,5,7:
Ejemplo n=4, si es par, la serie termina:
Obteniendo el polinomio para n=4
Seis primeros polinomios:
Definicin de la serie de Fourier-Legendre
Ejemplo:
Forma alternativa:
Por lo tanto se concluye que
Solucin general
Solucin del ejemplo 1:
Polinomios de Legendre(0-5)
Usando la solucin general se sustituye en los valores de n el valor de subndice de la constante.
En la primera sustitucin, con n=0, se obtiene el siguiente resultado.
Se separa el 50 ya que al hacer la sumatoria de las soluciones se factorizar
Con n=1A partir de este clculo se omitir el 50 por razones previamente explicadas.
Con n=2Con n=3
Con n=4Con n=5
Sabiendo que la solucin general del problema se escribe de la siguiente manera:Sustituimos los resultados obtenidos, sin olvidar el 50 que se omiti en las operaciones.
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