Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016
Flow in a cilindrical pipeLecture 9
Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016
• Aplicação directa dos princípios fundamentais da mecânica a um volume de control
• Permitir uma compreensão dos fenómenos físicos e a sua ligação aos princípios fundamentais
• Qualquer hipótese simplificativa introduzida para a obtenção de uma solução, terá que ser pesada nas suas consequências sobre o resultado final
• Objectivo é o conhecimento do campo da velocidades
Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016
• Escolher um volume de control • Exprimir matemáticamente as implicações impostas
pelos princípios de conservação da massa e da quantidade de movimento (2ª lei de Newton)
• Na generalidade:• o princípio de conservação da massa leva à confirmação da
independência do campo das velocidades numa das direcções
• O princípio da conservação da quantidade de movimento estabelecerá o balanço de forças que actuam no volume de control, irá fornecer uma relação de dependência entre as forças associadas ao campo da velocidade e as outras forças actuantes
Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016
• Forças podem classificar-se em dois tipos distintos:• Forças de superfície – podem ter componentes normais à
superfície (i.e. Forças de pressão) e/ou componentes tangenciais (i.e. Forças de corte)
• Forças de volume (forças mássicas) - representam acçõe sà distância, as forças derivadas de potenciais (gravítico, eléctrico, magnético). No nosso caso interessará a acção do campo gravítico, i.e., o peso
Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016
Flow in cilindrical pipe
• Suponha-se um escoamento estacionário, no interior de um tubo cilindrico, de um fluido viscoso.
• Suponha-se um tubo horizontal de raio R.• Considere-se a região central do tubo,
suficientemente afastada das secções de entrada e saída do tubo.
• Seja X1 o eixo do tubo e r a distância radial ao eixo.
• A configuração simétrica ao longo de x1 ou ao longo da direcção tangencial
• Na região vizinha à parede do tubo a velocidade é paralela à parede do tubo alinhada com x1, leva a supor que o campo da vcelocidade é do tipo:
Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016
Mass budget• Um volume de control que terá que ter uma
dimensão suficientemente pequena segundo a direcção radial:• Coroa cilíndrica de raio r , espessura r e complimento l1
terá a vantagem de ter duas faces paralelas ao vector velocidade.
• Escoamento simétrico o elemento de área tranversal pode ser tomado como uma anel circular de área dA=2r r
Mass Budget
rrdArrudAnum 22. 1
Regime estacionário, não há variação de massa m no interior do volume dm/dt=0.
Massa que entra na unidade de tempo:
11211 xA
rrudAu
Massa que sai na unidade de tempo:
112211 lxA
rrudAu
Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016
Mass Budget
A aplicação do princípio de conservação da massa implica:
022111 11 lxx rrurru
Referindo esta equação à unidade de massa, i.e. Dividindo ambos os membros por :rru 21
001
1
1
11 111
xu
luu lxx
Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016
Momentum budget
• Aplicando o princípio da quantidade de movimento, que estabelece que, para escoamentos estacionários, a diferença entre o momento que abandona o volume e o que entra no volume na unidade de tempo é igual à soma das forças aplicadas ao volume.
• Dado que só uma das componentes da velocidade é não nula bastará escrever a equação do balanço de forças para esta componente.
Momentum Budget
The budget is null because the velocity is not changing, i.e. there is no acceleration.
Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016
Applied forces
• Forças aplicadas:• Forças de pressão: a existência de uma fronteira lateral
sólida permite que a pressão possa variar de montante para jusante do escoamento
• Forças aplicadas:• Forças de de corte de origem viscosa: estas forças só se
vão fazer sentir nas paredes A3 e A4. Representando por o valor absoluto da tensão de corte, e notando que u1 decresce quando r aumenta, conclui-se qua a tensão de corte A3 é positiva e em A4 é negativa
• Peso: no presente caso, tubo horizontal, a componente g segundo x1 é nula
Applied forces
dxdz
xz
cos
x
z
Δz
Δx
Θ
coscos rLrgALgPeso
xgz
xzgPeso
Peso (plano não horizontal)
Mecânica de Fluidos Ambiental 2015/2016
Applied forces
xgz
xzgPeso
rrLzg
Lp rr
0
rrx
gzp rr
0
A aplicação à direcção x1 do principio da conservação da quantidade de movimento fornece o seguinte resultado:
Weight or pressure gradient promote the flow on the same way.
•Passando o limite quando , r, tende para zero:
rrx
gzp
0
rrrr
r
*1
rr
rxgzp
*10
rCr
xgzp
Crxgzpr
2
2*
2
No eixo de simetria, r=0 e é finito, logo C=0.
E reparando que :
Substituindo:
Crxgzpu
rxgzp
ru
rur
xgzp
4
2
2
2 C pode ser determinado atendendo que a velocidade é nula na fronteira sólida em r=R , u=0
22
2
2
141
4
4
RrR
xgzpu
RxgzpC
CRxgzpo
Análise dos Resultados
Velocity is proportional to r2, i.e. the velocity profile is a parabola.
Shear stress is the derivative of the velocity and is a linear profile.
Shear on the wall balances the pressure force:
22
22
RxPR
LP
RLRP
w
w
r
2
2 141
RrR
xgzpu
2r
xgzp
2R
xgzp
w
Discharge and average velocity
22
02
422
2
32
22
81
4242
42
2141
2..
RRxgzpQ
RrrR
xgzpQ
drRrrR
xgzpQ
rdrRrR
xgzpQ
rdrnudAnuQ
RR
R
RA
281 R
xgzp
AQU
22
2
8
8
RQ
Rxgzp
URx
gzp
Friction coefficient
eRUDURU
f 1616
21
4
2
RURU
RR
xP
w4
28
2 2
Tensão de corte na parede:
Top Related