8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
1/147
MECHANKA KWANTOWA
zacznij od tego
Jozef E. SienkiewiczSlawomir Telega
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
2/147
2
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
3/147
Spis Tresci
1 Wstep 5
2 Podstawy matematyczne 7
2.1 Przestrzen Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Operatory hermitowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Komutatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Stara teoria kwantow 15
3.1 Wzor Plancka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Wzor Einsteina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Zjawisko Comptona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Atom Bohra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Postulat Sommerfelda-Wilsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.6 Hipoteza de Brogliea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.7 Zasada nieoznaczonosci Heisenberga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Postulaty mechaniki kwantowej 23
5 Stany stacjonarne 25
5.1 Wartosc oczekiwana w stanie stacjonarnym . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2 Ewolucja czasowa wartosci oczekiwanej . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.3 Calki ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.4 Twierdzenie Ehrenfesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.5 Twierdzenie wirialne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Pakiety falowe 35
6.1 Fala. Predkosc fazowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2 Pakiet. Pre
dkosc grupowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3 Rozmywanie siepakietu falowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7 Zasada odpowiedniosci Bohra 41
8 Zasada zachowania prawdopodobienstwa 45
8.1 Rownanie ciaglosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
4/147
4 SPIS TRESCI
9 Rozpraszanie na potencjalach 479.1 Bariera potencjalu o skonczonej wysokosci i nieskonczonej szerokosci . 479.2 Bariera potencjalu o skonczonej wysokosci i skonczonej szerokosci. . . 509.3 Prostoka
tna studnia potencjalu o skonczonej gle
bokosci . . . . . . . . 55
10 Stany parzyste i nieparzyste 59
11 Liniowy oscylator harmoniczny 6111.1 Wartosci wlasne i funkcje wlasne. Wielomiany Hermitea. . . . . . . . 6111.2 Funkcje tworza
ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
12 Moment pedu 71
12.1 Moment pedu w mechanice kwantowej . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
12.2 Moment pedu jako generator obrotow infinityzymalnych . . . . . . . 73
12.3 Wartosci wlasne i funkcje wlasne (funkcje kuliste) . . . . . . . . . . . 7712.4 Sztywny rotator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8612.5 Widmo pasmowe cza
steczki dwuatomowej . . . . . . . . . . . . . . . 88
13 Atom wodoru 8913.1 Wartosci wlasne i funkcje wlasne. Wielomiany Laguerrea. . . . . . . 8913.2 Dyskusja otrzymanych wynikow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
14 Notacja Diraca 99
15 Funkcja uogolniona Delta Diraca. 101
16 Metody przyblizone 10516.1 Rachunek zaburzen dla stanow niezdegenerowanych . . . . . . . . . . 105
16.2 Rachunek zaburzen dla stanow zdegenerowanych . . . . . . . . . . . . 10916.3 Metoda wariacyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11216.4 Rachunek zaburzen zalezny od czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
17 Macierzowe ujecie mechaniki kwantowej 123
17.1 Macierzowa reprezentacja funkcji i operatorow . . . . . . . . . . . . . 12317.2 Oscylator harmoniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12517.3 Macierzowa postac operatorow N , H, a+ i a . . . . . . . . . . . . . . 133
18 Spinowy moment pedu 135
19 Ruch elektronu w ciele stalym 13919.1 Potencjal periodyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13919.2 Fale Blocha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14019.3 Pasma energetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
5/147
Rozdzial 1
Wstep
Celem podrecznika, ktory oddajemy do ra
k studentow jest ulatwienie studiowa-
nia mechaniki kwantowej. Wyklady z mechaniki kwantowej na Fizyce Technicznejtrwaja
przez jeden semestr i zajmuja
trzy godziny tygodniowo. Ten wlasnie material
zawarty w skrypcie nalezy potraktowac jako wstep do studiowania bardziej zaawan-
sowanych podrecznikow, ktorych spis znajduje sie na koncu.Poniewaz naszym celem jest osia
gnie
cie duzej jasnosci poszczegolnych wywodow,
czesto uzywamy w trakcie dodatkowych wyjasnien. Wtedy dowod przerywany jest
na znaku. . ., a naste
pnie od tego znaku kontynuowany.
Naszym zadaniem sadwa skrajne sposoby podejscia do studiowania mechaniki kwan-
towej, a jest to dziedzina dosc zaskakujaca i cia
gle wprawiaja
ca w zdumienie i
fascynacje wielu studentow. Pierwszy sposob to proba zrozumienia wszystkiego
od podstaw. Nie polecamy tej metody, a za poparcie niech nam posluzaslowa jed-
nego z tworcow mechaniki kwantowej, laureata nagrody Nobla Murraya Gell-Manna,,Wspolczesna
fizyka
rza
dzi imponuja
ca i balamutna dziedzina, zwana mechanika
kwantowa, ktora wynaleziono piecdziesiat lat temu. Przetrwala ona wzystkie proby iprzypuszczamy, ze jest ona koncepcja
prawidlowa
. Nikt jej nie rozumie, ale wszyscy
wiedza, jak ja
stosowac i jak odnosic do wszystkich zagadnien. Nauczylismy sie
wie
c
zyc ze swiadomoscia faktu, ze nikt jej nie rozumie.
Drugi sposob, praktyczny, polega na szczegolowym rozpracowaniu poszczegolnychzagadnien w ramach przyje
tych aksjomatow. Temu drugiemu podejsciu ma sluzyc
napisany przez nas skrypt.Chcielibysmy gora
co podzie
kowac prof. R. Szmytkowskiemu,
dr. inz. R. Signerskiemu oraz dr. inz. M. Krosnickiemu, dr inz. M. Gruchowskiemu,mgr inz. V. Konopinskiej i mgr inz. P. Kowalczykowi za przeczytanie manuskryptu
oraz za cenne uwagi i dyskusje przed oddaniem tekstu do wydawnictwa.
Jozef E. SienkiewiczSlawomir Telega
5
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
6/147
6 ROZDZIAL 1. WSTEP
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
7/147
Rozdzial 2
Podstawy matematyczne
2.1 Przestrzen Hilberta
Definicja Ciag wektorow1, 2, . . .nalezacy do danej przestrzeni wektorowej nazy-
wamy podstawowym (spelniajacym warunek Cauchyego) ze wzgle
du na norme
,
jezeli dla kazdego >0 istnieje liczba naturalna N, taka ze
||m n|| < (2.1.1)dla wszystkich m, n > N.Definicja Przestrzen wektorowa
nazywamy zupelna
ze wzgle
du na norme
, jezeli
kazdy ciag podstawowy wektorow 1, 2, . . . tej przestrzeni ma granice nalezaca
do tej przestrzeni, a wiec jezeli istnieje wektor naleza
cy do tej przestrzeni, taki ze
limn
||n || = 0. (2.1.2)
Definicja AbstrakcyjnaprzestrzeniaHilbertaHnazywamy przestrzen wektorowa, wktorej
1o zdefiniowany jest iloczyn skalarny| C (, H) spelniajacy ponizsze
warunki:
a| =a|, a C (2.1.3)| = | (2.1.4)
(1+ 2)| = 1| + 2| (2.1.5)| 0 (2.1.6)
2o zdefiniowana jest norma jako
|||| =
| (2.1.7)
7
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
8/147
8 ROZDZIAL 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE
3o zachodzi zupelnosc ze wzgledu na okreslona
w niej norme
.
Kazdy element przestrzeni Hilberta da siezapisac jako skonczona lub nieskonczona
kombinacja liniowa wektorow bazy
=i
aii, (2.1.8)
gdzie{i}i=1,2,... jest ukladem ortonormalnym, tzn. dla dowolnych i oraz ji|j =ij, (2.1.9)
gdzie ijoznacza delteKroneckera. Taki uklad bazowy nazywa siezupelny. Pomnozymywzor (2.1.8) lewostronnie skalarnie przez n ,
n| = n|i
aii,
n
|iaii
=
i
ai
n
|i
=
i
aini=an
ai= i|. (2.1.10)
Waznym dla nas przykladem przestrzeni Hilberta jest przestrzen oznaczana jakoL2.Jej elementami sa
funkcje, ktore sa
calkowalne z kwadratem modulu, tzn. np. w
przypadku jednowymiarowym:
+
|(x)|2 dx < . (2.1.11)
Iloczyn skalarny w przestrzeni L2, spelniajacy wymienione wyzej aksjomaty, dany
jest wzorem:
| = +
(x)(x) dx. (2.1.12)
2.2 Operatory hermitowskie
Definicja Operatorem sprzezonym hermitowsko do danego operatora Ajest taki ope-
rator B, ktory dla elementow, z dziedziny operatorow Ai Bspelnia nastepuja
ca
zaleznosc:|A = B|. (2.2.1)
Ostatnia zaleznosc w przestrzeni L2
ma postac: +
(x)A(x) dx= +
(B(x))(x) dx. (2.2.2)
Fakt, ze B jest sprzezony hermitowsko do Azapisujemy A+ = B.
Definicja Operatorem hermitowskim nazywamy operator, ktory jest samosprzezony,
tzn.A+ = A, (2.2.3)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
9/147
ROZDZIAL 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE 9
przy czym zakladamy, ze dziedziny operatorow Ai A+ satakie same.
Dla operatora hermitowskiego
|A = A|. (2.2.4)
W mechanice kwantowej uzywamy operatorow, ktore sa:
1o liniowe, tzn.
A(a1+ b2) =a A1+ bA2 (2.2.5)
dla dowolnych funkcji1, 2 H, przy czym stale ai b sa liczbami zespolonymi.2o hermitowskie czyli samosprze
zone.
Przyklad
Udowodnic, ze operator px =ih x jest operatorem hermitowskim na dziedziniefunkcji ktore znikaja
dla x .
Rozwiazanie
Musimy udowodnic, ze
|px = px|Mamy
|px = +
(x)px(x) dx= ih(x)(x)|++
+ih +
x(x)
(x) dx= ih
+
x(x)
(x) dx=
= +
ih
x(x)
(x) dx=
+
(px(x))(x) dx=
= px|.Teraz zajmiemy sie
wlasnosciami operatorow sprze
zonych. Latwo jest pokazac, ze
(A + B)+ = A+ + B+. (2.2.6)
Drugi ze wzorow jest nastepuja
cy
(AB)+ = B+A+. (2.2.7)
Przeprowadzmy dowod. Korzystajac z definicji sprze
zenia operatorow, mozemy
napisac
|
C =
C
+
|.Niech C= AB. Wowczas
|AB = (AB)+|.
Przeksztalcmy lewastrone
powyzszego rownania, korzystaja
c z definicji operatorow
sprzezonych
|AB = A+|B = B+A+|.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
10/147
10 ROZDZIAL 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE
To powinno byc rowne prawej stronie
L= P B+A+| = (AB)+| (AB)+ = B+A+, c.n.w.
W przypadku operatorow hermitowskich wiemy, ze A= A+ i B= B+, czyli
(AB)+ = BA.
Niech teraz B= A, stad
(AA)+ = (A2)+ = A2,
czyli kwadrat operatora Hermitowskiego jest tez operatorem Hermitowskim.Rozwazmy funkcje
f(x) L2 be
da
ca
nadto funkcja
rzeczywista
, to znaczy, ze
f(x) =f(x). Zdefinujmy operator F
F (x) =f(x)(x), (x) L2.
Wykazemy, ze F jest operatorem hermitowskim, czyli, ze
F+ = F .
Musimy wykazac, ze zachodzi ponizsza rownosc
|F = F |.
Zacznijmy od lewej strony
|F = +
(x)F (x) dx= +
(x)f(x)(x) dx=
= +
(f(x)(x))(x) dx= F | c.n.w.
Zajmijmy sie teraz wlasnosciami operatorow hermitowskich. W wyniku dzialania
operatora Ana jakas funkcje
dostajemy inna
funkcje
A= , , H. (2.2.8)
Czasami moze sie zdarzyc, ze
A= a,
/ 0, (2.2.9)
gdzie ajest liczba.
Jest to tak zwane rownanie wlasne operatora A, przy czyma jest wartosciawlasna
,
a jest odpowiadajaca
jej funkcja
wlasna
.
Twierdzenie 1 Wartosci wlasne operatorow hermitowskich sarzeczywiste.
Dowod Wezmy operator hermitowski A= A+ i odpowiadajace mu rownanie wlasne
A= a.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
11/147
ROZDZIAL 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE 11
Chcemy wykazac, ze a = a.Poniewaz operator Ajest hermitowski, wolno nam napisac, ze
|A = A|.Przeksztalcmy najpierw lewa
strone
powyzszej rownosci
L=
|A
=
|a
=a
|
.
Teraz zajmijmy sieprawa
strona
P = A| = a| =a|.Poniewaz lewa strona musi rownac sie
prawej sta
d mamy, ze
L= P a| =a| a= a, c.n.w.Twierdzenie 2 Funkcje wlasne operatora hermitowskiego naleza
ce do roznych wartosci
wlasnych sado siebie wzajemnie ortogonalne.
Dowod Wezmy operator hermitowski A = A+. Zapiszmy rownania wlasne tego
operatora dla dwoch roznych wartosci wartosci wlasnych
Al =all,
An= ann.
Musimy wykazac, zel|n = 0.
Wyjdzmy z definicji hermitowskosci operatora A
l|An = Al|n.
Przeksztalcmy lewa
strone
L= l|An = l|ann =anl|n,a teraz prawa
strone
P = Al|n = all|n =al l|n.Poniewaz, jak to wczesniej wykazalismy, wartosci wlasne operatora hermitowskiego,sa
rzeczywiste, to
P =all|n.Przyrownuja
c do siebie obie strony mamy
L= P anl|n =all|n.Przenosza
c wszystko na lewa
strone
otrzymujemy
(an al)l|n = 0.Z zalozenia wiemy, ze an=al, skad
l|n = 0, c.n.w.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
12/147
12 ROZDZIAL 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE
2.3 Komutatory
Definicja Komutatorem dwoch operatorow Ai B nazywamy operator:
[A, B] = AB BA. (2.3.1)W ogolnosci
[A, B] = 0. (2.3.2)Gdy
[A, B] = 0, (2.3.3)
czyliAB= BA. (2.3.4)
to mowimy, ze operatory Ai B komutujaze soba
(sa
przemienne).
Wprowadzmy po jecie sredniego odchylenia standardowego zdefiniowane dla pewnej
wartosci a jako
a= (a a)2. (2.5)
Jezeli [A, B] = 0 , to wtedy obserwable zwiazane z tymi operatorami sa
zgodne.
Na przyklad:[x,py] = 0 xpy 0.
Jezeli [A, B] = 0 , to mamy na przyklad:
[x,px] =ih xpx h2
.
Przyklad Obliczyc komutator
[x,px].Rozwia
zanie:
px= ih x
x= x
[x,px](x) = (xpx pxx)(x) = xpx(x) pxx(x) =x(ih x
(x))
+ih
x(x(x)) = ihx
x(x) + ih(x) + ihx
x(x) =ih(x)
[x,px] =ih.
Twierdzenie Jezeli operatory A i B komutuja ze soba
to istnieja
funkcje, ktore
sa jednoczesnymi funkcjami wlasnymi obu operatorow (w przypadku degeneracji
nie kazda funkcja wlasna operatora B jest funkcjawlasna
operatora A!).
Dowod (sluszny w przypadku, gdy a jest niezdegenerowana wartoscia
wlasna
) Z
zalozenia mamy:AB= BA
A= a.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
13/147
ROZDZIAL 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE 13
Zadzialajmy na obie strony powyzszego rownania lewostronnie operatorem B.
BA= Ba
A(B) =a(B) B = b, a, b C c.n.w.
Ostatnie przejscie polega na zauwazeniu, ze B jest funkcja wlasna operatora Aprzy tej samej wartosci wlasnej a, co w przypadku funkcji wlasnej. Sta
d wniosek,
ze B imogajedynie roznic sie
o pewien czynnik liczbowy. W przestrzeni Hilberta
oznacza to, ze B i posiadajaten sam ,,kierunek, choc moga
miec rozne dlugosci.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
14/147
14 ROZDZIAL 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
15/147
Rozdzial 3
Stara teoria kwantow
3.1 Wzor Plancka
Zdefiniujmy cialo doskonale czarne jako cialo pochlaniajace cale padaja
ce na nie
promieniowanie. Fizyczna realizacja
ciala doskonale czarnego jest zamknie
te nie-
przezroczyste pudelko z malym otworkiem, beda
ce oslona
dla promieniowania. Jezeli
promieniowanie wewnatrz pudelka jest w rownowadze to jest to promieniowanie ciala
doskonale czarnego. Gestosc energii u wypromieniowanej w jednostce czasu przez
cialo doskonale czarne okreslona jest prawem Stefana-Boltzmana
u= T4, (3.1.1)
przy czym T oznacza temperature bezwzgle
dna
ciala, a jest pewna
stala
. Z
doswiadczenia wiadomo, ze gestosc energii wypromieniowanej w jednostce czasu
w przedziale czestosci oddo+ djest proporcjonalna do di zalezy od cze
stosci
i od temperatury promieniowania, a zatem mozna zapisac ja
w postaciu(, T)d. (3.2)
Wystepuja
ca w powyzszym wzorze funkcjau(, T) nosi nazwe
funkcji rozkladu. Pier-
wszym wzorem otrzymanym w oparciu o klasyczna elektrodynamike
i klasyczna
fizykestatystyczna
byl wzor Rayleigha-Jeansa
u(, T) =82
c3 kT , (3.1.3)
gdzie oznacza czestosc promieniowania, c oznacza pre
dkosc swiatla, a k to stala
Boltzmana. Jednak wzor ten nie jest prawdziwy gdyz dla duzych czestosci mamytak zwana
katastrofe
w nadfiolecie( u ).
Osobaktora rozwia
zala ten problem byl Max Planck (Max Planck, ,,Berliner Be-
richte, Dezember 14, 1900) wprowadzajac poje
ciekwantu energii. Wtedy to po raz
pierwszy pojawilo sieokreslenie kwant, czyli porcja, ke
s. W swoich rozwazaniach
Planck przyjal dziwna
na owe czasy hipoteze
, ze energia moze byc pochlaniana i
wysylana tylko w sposob nieciagly, w kwantach wielkosci h, gdziehjest stala
zwana
dzis stala Plancka. Niemniej jednak uwazal on, ze pole elektromagnetyczne jest
15
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
16/147
16 ROZDZIAL 3. STARA TEORIA KWANTOW
ciagle i ze przeplyw energii przez pole odbywa sie
w sposob cia
gly. Zaproponowany
przez niego wzor na gestosc energii promieniowania jest postaci
u(, T) =82
c3h
ehkT 1
. (3.1.4)
Dla malych czestosci mozna wykazac, korzystaja
c z rozwinie
cia w szereg funkcji
ex, ze wzor Plancka przechodzi we wzor Rayleigha-Jeansa. Na ponizszym wykre-sie widac katastrofe
w nadfiolecie wzoru Rayleigha-Jeansa (krzywa R--J), oraz dwie
krzywe odpowiadajace wzorowi Plancka dla dwoch roznych temperaturT1 i T2, przy
czym T1< T2.
u(, T)
T2
T1
R J
Rys. 1 Promienowanie ciala doskonale czarnego.
3.2 Wzor Einsteina
W roku 1888 Hertz odkryl zjawisko fotoelektryczne. Polega ono na wybijaniu elek-tronow z metalu przez promieniowanie. Nieco pozniej Lenard na drodze doswiad-czenia wykazal, ze liczba fotoelektronow (elektronow wybijanych z metalu przezswiatlo) jest proporcjonalna do nate
zenia swiatla, i ze maksymalna pre
dkosc fo-
toelektronow (a wiec i energia) nie zalezy od nate
zenia padaja
cego swiatla, a tylko
od jego czestosci. Drugi z powyzszych faktow byl niemozliwy do wykazania meto-
dami klasycznymi, a takze przy pomocy hipotezy Plancka. Powyzszy problem zostalrozwia
zany w 1905 roku przez Alberta Einsteina (Albert Einstein, ,,Annalen der
Physik 17, 132 (1905)), ktory zapostulowal, ze przenoszenie energii w polu elek-tromagnetycznym rowniez jest niecia
gle i odbywa sie
w porcjach zwanych fotonami
(kwantami swietlnymi). Einstein zalozyl, ze foton, padajac na powierzchnie meta-lu, zderza sie
z jednym z elektronow, przekazuja
c mu cala swoja
energie
. Dzie
ki
uzyskanej energii elektron jest w stanie uwolnic siez metalu (czyli wykonac prace
wyjscia W) i otrzymac pewnapre
dkosc. Progowa
energia
jest energia rowna pracy
wyjscia, ktora pozwala na uwolnienie elektronu z metalu bez nadania mu predkosci.
Proces ten opisywany jest wzorem Einsteina
h=mv2
2 + W, (3.2.1)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
17/147
ROZDZIAL 3. STARA TEORIA KWANTOW 17
gdzie moznacza maseelektronu, a v jego pre
dkosc.
3.3 Zjawisko Comptona
Zjawiskiem Comptona nazywamy rozpraszanie promieniowania elektromagnetycz-
nego (fotonow) na swobodnych (lub slabo zwiazanych) elektronach. W roku 1921
Arthur Compton zaobserwowal, ze w promieniowaniu rozproszonym oprocz oczeki-wanego promieniowania o niezmienionej dlugosci fali wyste
puje tez cze
sc o zmienionej
dlugosci fali. W swoich rozwazaniach Compton potraktowal to zjawisko jako zderze-nie cza
stki (fotonu) z elektronem, przyjmuja
c, ze oprocz zasady zachowania
energii spelniona jest rowniez zasada zachowania pedu, i ze fotonowi przypisany jest
ped, ktorego wartosc bezwzgle
dna wynosi
p=E
c =
h
c . (3.3.1)
Zmianedlugosci fali mozna opisac wzorem (niezaleznym od materialu tarczy)
= C(1 cos ) (3.3.2)
gdzie Coznacza tzw. comptonowskadlugosc fali i wynosi 0, 024 Angstrema, nato-miast oznacza ka
t rozpraszania. Waznym faktem jest to, ze wartosc nie zalezy
od pierwotnej dlugosci fali promieniowania.
3.4 Atom Bohra
Jakkolwiek obecnie stosuje siekwantowe podejscie oparte na rownaniach Schrodin-
gera lub Diraca, to model atomu Nielsa Bohra byl pierwszym modelem atomu(lub jonu) jednoelektronowego, ktory w miare
satysfakcjonuja
cy sposob tlumaczyl
budoweatomu. W swojej pracy Bohr wyszedl z planetarnego modelu atomu Ruther-
forda, w ktorym elektron krazyl po kolowej lub eliptycznej orbicie wokol cie
zkiego
jadra, jednak zaproponowal kilka bardzo dziwnych jak na owe czasy postulatow.
Cytujac za Cooperem [Leon N. Cooper, Istota i struktura fizyki, PWN, Warszawa
1975, str. 519] ,,w wyglaszaniu stwierdzen sprzecznych z elektrodynamikaMaxwella
i mechanikaNewtona kryla sie
pewna zarozumialosc, ale Bohr byl mlody. Zacytu-
jmy te postulaty.1) W atomie wodoru elektron kra
zy wokol ja
dra ruchem kolowym spowodowanym
sila coulombowskazgodnie z prawami ruch Newtona.
2) Dozwolone sa jedynie te orbity, dla ktorych moment pe
du L jest calkowita
wielokrotnosciah= h
2
L= nh, n= 1, 2, 3, . . .
3) Elektron kraza
cy po dozwolonej orbicie, w niezgodzie z elektrodynamika
klasyczna
,
nie promieniuje energii.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
18/147
18 ROZDZIAL 3. STARA TEORIA KWANTOW
4) Elektron przy przejsciu z orbity o wyzszej energi Ea na orbite o nizszej energiiEb emituje foton o energii
Eab= hab=Ea Eb. (3.4.1)
Energia elektronu znajdujacego sie
na n-tej orbicie wynosi
En =mv2n
2 Ze2
rn= RZ2
n2 , (3.4.2)
przy czymvnoznacza predkosc elektronu na n-tej orbicie,rnjej promien, natomiastR oznacza stala
Rydberga
R=me4
2h2 13, 6 eV. (3.4.3)
3.5 Postulat Sommerfelda-Wilsona
Model atomu Bohra zostal uogolniony na przypadek torow eliptycznych przez urod-zonego w Krolewcu Arnolda Sommerfelda. Zamienil on warunek kwantowy BohraL= nh na bardziej ogolny zwany dzis warunkiem kwantowym Sommerfelda-Wilsona.Zalozmy, ze mamy uklad o f stopniach swobody opisywany przez wspolrze
dne
uogolnione q1, q2, . . . , q f i pedy uogolnione p1, p2, . . . , pf. Sommerfeld zapostulowal,ze dla kazdego stopnia swobody na torze stacjonarnym
pldql =nh, l= 1, . . . , f (3.5.1)
przy czymnjest liczbacalkowita
, a symbol oznacza calkepo konturze zamknietym
(tu po orbicie).Wykazemy, ze w przypadku orbity kolowej warunek kwantowy Sommerfelda-Wilsonaprzechdzi w warunek kwantowy Bohra. Wiemy, ze energia ukladu dana jest wzorem
E=mv2
2 Z e
2
r (3.5.2)
Predkosc punktu poruszaja
cego sie
po okre
gu o promieniu r dana jest wzorem
v= r , (3.5.3)
przy czym oznacza predkosc katowa. Podstawiajac to do wzoru na energiemamy
E=mr22
2 Ze
2
r . (3.5.4)
Z mechaniki teoretycznej wiemy, ze ped uogolniony dany jest wzorem
pl =L
. (3.5.5)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
19/147
ROZDZIAL 3. STARA TEORIA KWANTOW 19
W naszym przypadku l= 1, poniewaz mamy jeden stopien swobody. Wystepuja
ce
we wzorzeL oznacza lagrangian zdefiniowany jako roznica energii kinetycznej i en-ergii potencjalnej
L =Ek V = mr22
2
Ze
2
r
=
mr22
2 +
Ze2
r . (3.5.6)
W naszym przypadku wspolrzedna uogolniona q1 = , stad q1 = . Czyli peduogolniony dany jest wzorem
pl=L
=
mr22
2 +
Ze2
r
=
mr22
2 =
=mr2.
Wstawiamy to do warunku kwantowania Sommerfelda-Wilsona i mamy
2
0
mr2 d= nh.
Stad dostajemy
mr2 20
d= nh,
co jest rowne2mr2= nh.
Wiemy jednak, zemr2= mvr= L
oraz
h2 = h.
Po podstawieniu dostajemy warunek kwantowy Bohra
L= nh, n= 1, 2, . . . .
3.6 Hipoteza de Brogliea
Do poczatkow XIX wieku swiatlo bylo uwazane za szybko poruszaja
ce sie
cza
stki
(korpuskuly). W roku 1801 doswiadczalne badanie interferencji zmienilo ten poglad
i sugerowalo falowa nature swiatla. Hipoteza czastkowej natury swiatla zostalazarzucona do roku 1923, kiedy to Arthur Compton odkryl, ze kwanty promieniowa-nia X maja
pe
d i energie
. W sumie pokazano, ze swiatlo posiada zarowno cechy
falowe, jak i cechy czasteczkowe. W roku 1924 ksia
ze
Louis de Broglie opublikowal
swojaprace
doktorska
pod tytulem ,,Badania nad teoria
kwantow, w ktorej postu-
lowal, ze poniewaz swiatlo wykazuje wiele wlasciwosci korpuskularnych, to czastki
(elektrony), ze wzgledu na symetrie
w przyrodzie, powinny wykazywac wlasciwosci
falowe. Te idee zostaly udowodnione doswiadczalnie juz w roku 1924, gdy wykazano,
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
20/147
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
21/147
ROZDZIAL 3. STARA TEORIA KWANTOW 21
parami komplementarnymi sana przyklad (y, py), (z, pz), energia i czas (E, t) oraz
skladowe momentu pedu (Lx, Ly). Natomiast do par niekomplementarnych, czyli
zgodnych zaliczamy (L2, Lx), wspolrzedne polozenia (x, y), lub tez (px, z).Zajmijmy sie
teraz nierownoscia
, ktora w szczegolnym przypadku przechodzi w
zasade nieoznaczonosci Heisenberga. Niech Ai B be
da
operatorami hermitowskimi
spelniajacymi zwia
zek komutacyjny
[A, B] =iC. (3.7.2)
Z analizy funkcjonalnej wiemy, ze norma jest zawsze wieksza lub rowna zeru, czyli
wolno nam napisac, ze
||(A + iB)||2 = (A + iB)|(A + iB) 0, (3.7.3)
przy czym jest pewnastala
rzeczywista
.
Rozpisujac lewa
strone
powyzszej nierownosci, mamy
A
|A
+
A
|iB
+
iB
|A
+
iB
|iB
0,
co jest rownowazne
A|A + i(A|B B|A) +2B|B 0.
Uporzadkujmy to wyrazenie wzgle
dem pote
g
2B|B + i(A|B B|A) + A|A 0.
Aby ta nierownosc byla prawdziwa, to wyroznik odpowiadajacego jej rownania
kwadratowego powinien byc mniejszy badz rowny zeru. Mamy
[i(A|B B|A)]2 4B|BA|A 0.
Korzystajac z hermitowskosci operatorow A i B, mozemy przeksztalcic pierwszy
czlon w powyzszym wzorze
A|B B|A = |AB |BA = |(AB BA) = |[A, B].
Natomiast drugi z czlonow mozemy zapisac, korzystajac rowniez z hermitowskosci,
jako
B
|B
A
|A
=
|B2
|A2
.
Korzystajac z tych obliczen, mozemy zapisac nasza
nierownosc jako
[i|[A, B]]2 4|B2|A2 0.
Pamietamy, ze dla danego operatora O wyrazenie|O opisuje jego wartosc
sredniaO, czyli dostajemy
[i[A, B]]2 4B2A2 0.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
22/147
22 ROZDZIAL 3. STARA TEORIA KWANTOW
Stad po prostych przeksztalceniach dochodzimy do wzoru
B2A2 14
[i[A, B]]2
Podnosimy obie strony do potegi 1
2
B2A2 12[i[A, B]]2.Zasta
pmy teraz Ai B przez A i B
(B)2(A)2 1
2
[i[A, B]]2.
Komutator wystepuja
cy po prawej stronie powyzszej nierownosci mozemy zapisac
jako
[A, B] = [A
A
, B
B
] = [A, B]
[A,
B
]
[
A
, B] + [
A
,
B
].
PoniewazA iB sa liczbami, to trzy ostatnie komutatory sa
rowne zeru i w
rezultacie dostajemy[A, B] = [A, B] =iC. (3.7.4)
Po wstawieniu otrzymanego wyniku do rozwazanej przez nas nierownosci dochodzi-my do wyrazenia
(B)2(A)2 12|C|. (3.7.5)
W praktyce czesto oznaczamy
(O)2
przez O, stad wolno nam napisac, ze
AB 12|C|.
Wstawmy teraz zamiast operatorow A i B operatory xi p. Wiemy, ze
[x,p] =ih.
Wstawiajac to do otrzymanej przez nas postacinierownosci dostajemy
xp 12
h,
czyli jednaz postaci zasady nieoznaczonosci Heisenberga.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
23/147
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
24/147
24 ROZDZIAL 4. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ
Interpretacja funkcji falowej zostala podana przez Maxa Borna. Dla przypadku jed-nowymiarowego|(x)|2 okresla ge
stosc prawdopodobienstwa znalezienia cza
steczki
w przedziale [x, x + dx], natomiast |(x)|2 dxjest prawdopodobienstwem znalezieniacza
steczki w przedziale [x, x+ dx]. Poniewaz cza
stka na pewno jest gdzies zlokali-
zowana, to z powyzszej interpretacji otrzymujemy warunek normalizacyjny
+
||2 dx= 1, L2. (4.0.4)
Rownanie Schrodingera jest rownaniem liniowym, tzn. jezeli i sarozwia
zaniami
rownania (4.0.3), to + , gdzie , C, rowniez, jest rozwiazaniem tego
rownania.
Niech rozwiazanie rownania Schrodingera be
dzie rowne = i = ||ei,
gdzie ei jest czynnikiem fazowym. Wspolczynnik normalizacyjny jest okreslonyz dokladnoscia
do czynnika fazowego.
DowodKorzystaja
c z warunku normalizacyjnego
+
||2 dx= 1,
mozemy napisac
1 = +
||2 dx= +
||2 dx= +
()() dx=
= +
dx=
|
|ei
|
|ei
+
|
|2 dx=
= ||2 +
||2 dx || = 1+||2 dx
.
Zwykle wybieramyei = 1 i wtedy|| = .
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
25/147
Rozdzial 5
Stany stacjonarne
5.1 Wartosc oczekiwana w stanie stacjonarnym
Zalozmy, ze operator Hamiltona H jest niezalezny od czasu, tzn.
Ht
= 0. (5.1.1)
Rozwiazmy rownanie Schrodingera z czasem
H =ih
t,
gdzie
H= h2
2m
2
x2+ V(x) (5.1.2)
Zalozmy, ze rozwiazanie tego rownania jest postaci
(x, t) = (x)T(t). (5.1.3)
Wstawiajac je do rownania, otrzymujemy
H((x)T(t)) =ih
t((x)T(t)),
co jest rownowazne
T(t)H(x) =ih(x)
tT(t).
Dzielimy lewostronnie obie strony przez (x)T(t)
1(x)
H(x) =ih 1T(t)
t
T(t).
Poniewaz obie strony rownania sa funkcjami roznych zmiennych i stoi pomie
dzy
nimi znak rownosci, wnioskujemy, ze muszabyc one rowne pewnej stalej, zwanej
stalaseparacji. Oznaczmy ja
przez E,
1
(x)H(x) =ih
1
T(t)
tT(t) =E.
25
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
26/147
26 ROZDZIAL 5. STANY STACJONARNE
Dostajemy stad dwa rownania, z ktorych pierwsze mozna przepisac w postaci
E= 1
(x)H(x)
H(x) =E(x). (5.1.4)
Jest to rownanie wlasne dla niezaleznego od czasu operatora Hamiltona H, znanejako niezalezne od czasu rownanie Schrodingera. W wyniku jego rozwia
zania dosta-
jemy wartosci wlasne En i odpowiadajace im funkcje wlasne n(x), czyli
Hn(x) =Enn(x), n= 1, 2, . . . (5.1.5)
Teraz zajmijmy siedrugim rownaniem
E=ih 1
T(t)
tT(t)
t T(t) = iEh T(t). (5.1.6)Korzystaja
c z teorii rownan rozniczkowych zwyczajnych wiemy, ze rozwia
zniem tego
rownania jest funkcja postaci
T(t) =AeiEht. (5.1.7)
Z rozwiazania niezaleznego od czasu rownania Schrodingera mamy wartosci wlasne
energii En, czyli
T(t) =AeiEnh t. (5.1.8)
Wiemy, ze
En=nh n =E
nh . (5.1.9)
Ostatecznie mamyT(t) =Aeint. (5.1.10)
Tak wiec rozwia
zanie rownania Schrodingera z czasem wynosi
n(x, t) =An(x)eint. (5.1.11)
Funkcja ta opisuje uklad w stanie stacjonarnym.
5.2 Ewolucja czasowa wartosci oczekiwanej
Niech nasz uklad znajduje siew stanie stacjonarnym opisywanym funkcja
n(x, t) =An(x)eint. (5.2.1)
Dla chwilit= 0 mamyn(x, t= 0) =An(x). (5.2.2)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
27/147
ROZDZIAL 5. STANY STACJONARNE 27
Wprowadzmy operator postaci
eithH (5.2.3)
i zadzialajmy nim na funkcjen(x, 0)
eithHn(x, 0) =Ae
ithHn(x) =
. . .
Z definicji funkcji ex
wiemy, ze
ex =+n=0
xn
n! = 1 + x+
1
2x2 + . . . . (5.2.4)
Skorzystajmy z tego rozwiniecia
. . .=A
1 +
it
hH
+
1
2
it
hH
2+ . . .
n(x) =
=An(x) + A it
h Hn(x) +
1
2
it
h2
H2n(x) + . . .=. . .
Korzystajac z niezaleznego od czasu rownania Schrodingera mamy
H2n(x) = H(Hn(x)) = H(Enn(x)) =EnHn(x) =E2nn(x).
Wstawiamy to do naszych przeksztalcen
. . .=A
1 +
it
hEn
+
1
2
it
hEn
2+ . . .
n(x) =Ae
ithEnn(x) =
=Aeintn(x) = n(x, t).
Zatem mozemy napisace
ithHn(x, 0) = n(x, t). (5.2.5)
Stad e
ithH zwany jest operatorem ewolucji czasowej.
Teraz zajmijmy siewartoscia
oczekiwana
w stanie stacjonarnym. Niech nasz uklad
znajduje siew stanie opisywanym funkcja
(x, t) = (x)eit. (5.2.6)
Chcemy znalezc wartosc sredniaobserwabliA, zakladaja
c ze
odpowiadajacy jej operator hermitowski Anie zalezy od czasu (tzn. A = A(t)). Dla
dowolnej chwili czasu t mozemy napisac:
At= |A = +
(x, t)A(x, t) dx=
= +
(x)eit A(x)eit dx= +
(x)A(x) dx=
= +
(x, 0)A(x, 0) dx= |At=0 = At=0.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
28/147
28 ROZDZIAL 5. STANY STACJONARNE
Tak wiec wykazalismy, ze wartosc oczekiwana obserwabli A, opisywanej przez oper-
ator A = A(t), w stanie stacjonarnym jest stala i zawsze rowna wartosci oczekiwanejw chwili t = 0, czyli
At=0 = At. (5.2.7)Teraz zajmiemy sie
ewolucja
czasowa
wartosci oczekiwanej w dowolnym stanie,
niekoniecznie stacjonarnym. Wiemy, ze w przestrzeniL2 wartosc srednia obserwabli
A opisywanej przez operator hermitowski A dana jest wzorem
A = +
A dx,
i ze moze to byc jedynie funkcja czasu. Zrozniczkujmy to wyrazenie po czasie.
d
dtA =
t
+
A dx=
= +
(
tA +
A
t + A
t) dx=
. . .
Z zaleznego od czasu rownania Schrodingera
ih
t = H
i z tego, ze
H= h2
2m
2
x2+ V(x)
H= Hmozemy napisac
t = i
h
H,
t =
i
hH.
Wstawiamy powyzszy wynik do naszych przeksztalcen i mamy
. . .= +
(i
hHA +
A
t A i
hH) dx=
= +
A
t dx +
i
h
+
HA dx ih
+
AH dx=. . .
Pierwsza calka jest z definicji wartoscia sredniaoperatora At , czyli mamy
. . .= A
t + i
hH|A i
h|AH =. . .
Korzystamy z hermitowskosci operatora Hamiltona H
. . .= A
t + i
h|HA i
h|AH =. . .
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
29/147
ROZDZIAL 5. STANY STACJONARNE 29
A teraz wykorzystujemy liniowosc iloczynu skalarnego
. . .= A
t + i
h|HA AH =
A
t + i
h|(HA AH) =
= A
t + i
h|[H, A] =. . .
Ale|[H, A] jest wartosciaoczekiwana
(srednia
) operatora [H, A], czyli
. . .= A
t + i
h[H, A].
Ostatecznie wolno nam napisac, ze
d
dtA =
A
t + i
h[H, A]. (5.2.8)
5.3 Calki ruchuW dalszym cia
gu zakladamy, ze
A = A(t)czyli
A
t = 0. (5.3.1)
Wowczas dostajemy rownanie ruchu postaci
d
A
dt = i
h[H,
A]. (5.3.2)
Zalozmy ponadto, ze mamy stany stacjonarne. Wtedy
tA = 0, (5.3.3)
skad
[H, A] = 0. (5.3.4)Zajmijmy sie
teraz dowolnym stanem (niekoniecznie stacjonarnym), przy czym wcia
z
niech obowiazuje zalozenie, ze
A = A(t)czyli
A
t = 0
i zalozmy, ze operator hermitowski Aopisujacy obserwable
A komutuje z operatorem
Hamiltona H, czyli[A, H] = 0. (5.3.5)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
30/147
30 ROZDZIAL 5. STANY STACJONARNE
Napiszmy wzor opisujacy ewolucje
czasowa
wartosci sredniej (oczekiwanej)
d
dtA =
A
t + i
h[H, A]. (5.3.6)
Jezelid
dtA
= 0,
to wartosc srednia (oczekiwana) obserwabli jest stala w czasie. Nazywamy jawowczas
stalaruchu lub calka
ruchu.
Dla przykladu rozpatrzmy operator Hamiltona H niezalezny w sposob jawny odczasu (
tH= 0). Poniewaz
[H, H] = 0,
todH
dt = 0.
Poniewaz obserwabla
opisywana
przez operator Hamiltona Hjest energia Eto
dE
dt = 0.
co oznacza, ze energia ukladu, ktorego hamiltonian nie zalezy jawnie od czasu, jestcalka
ruchu.
5.4 Twierdzenie Ehrenfesta
W mysl twierdzenia Ehrenfesta rownania mechaniki kwantowej redukuja sie
do
rownan mechaniki klasycznej po podstawieniu wartosci srednich. Inaczej mowiac,rownania mechaniki kwantowej dla wartosci srednich maja
postac odpowiednich
rownan mechaniki klasycznej. Przedstawmy dzialanie tej zasady rozwazajac przyk-
ladowe zagadnienie. Wezmy niezalezny od czasu operator x, czyli
x
t = 0. (5.4.1)
Wypiszmy raz jeszcze wzor opisujacy ewolucje
czasowa
wartosci oczekiwanej (sred-
niej) obserwabliAodpowiadajacej operatorowi A
ddt
A = At
+ ih[H, A].
Wstawmy za A operator xd
dtx = i
h[H,x].
Wiemy ponadto, ze[ px,x] = ih.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
31/147
ROZDZIAL 5. STANY STACJONARNE 31
Korzystajac z tego obliczmy komutator
[H,x] = [p2x2m
+ V(x),x] = 1
2m[p2x,x] + [V(x),x] =
. . .
Drugi czlon wynosi zero, gdyz dowolna funkcja zalezna odx komutuje z x= x. Takwie
c mamy
. . .= 12m
(pxpxx xpxpx) =. . .Dodajemy i odejmujemy od wyrazenia w nawiasie pxxpx.
. . .= 1
2m(pxpxx pxxpx+ pxxpx xpxpx) =
= 1
2m(px(pxx xpx) + (pxx xpx)px) =
= 1
2m(px[px,x] + [px,x]px) =
= 1
2m(ihpx ihpx) = ih
mpx.
Wracamy do rownania opisujacego ewolucje
czasowa
wartosci oczekiwanej i wsta-
wiamy otrzymany wynik
d
dtx = i
h[H,x] = i
h
(i)hm
px.
Po uproszczeniu otrzymujemy wzor
px =mddt
x (5.4.2)
beda
cy kwantowym odpowiednikiem znanego z mechaniki klasycznej wyrazenia na
wartosc pedu
px=mdx
dt. (5.4.3)
5.5 Twierdzenie wirialne
Klasyczne, znane z mechaniki teoretycznej, twierdzenie o wiriale ma postac
nV = 2T, (5.5.1)
gdzie n oznacza stopien jednorodnosci potencjalu,V wartosc sredniapotencjalu,
aT wartosc srednia energii kinetycznej.
Wrocmy do mechaniki kwantowej i wprowadzmy niezalezny od czasu operator
A=r p. (5.5.2)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
32/147
32 ROZDZIAL 5. STANY STACJONARNE
Zalozmy ponadto, ze mamy stany stacjonarne. Wtedy, zgodnie z udowodniona
wczesniej wlasnoscia, wartosc srednia operatora jest stala w czasie. Napiszmy wzor
opisujacy ewolucje
czasowa
wartosci sredniej (oczekiwanej) operatora A
d
dtA =
A
t + i
h[H, A].
Korzystajac z wczesniejszych wnioskow, mozemy napisac powyzszy wzor w prostszejpostaci
i
h[H, A] = 0. (5.5.3)
Obliczmy komutator[H, A] = [H, r p ]. (5.5.4)
Operator H jest postaci
H=p2
2m+ V , V =V(r), (5.5.5)
czyli
[H, A] = [p2
2m+V , r p ] = [ p
2
2m, r p ] + [V , r p ]
gdzie operatorpjest postacip= ih. (5.5.6)
Obliczmy najpierw komutator [V , r p]. Dzialajac nim na funkcje
probna
(r) i
kladac V =V, mamy
[V, r p ](r) = (Vr p r p V)(r) =
=Vr p(r) r p(V (r)) =Vr p(r) +ihr (V (r)) ==Vr p(r) + ihr (V)(r) + ihr V (r) =
=r V p(r) r (p V)(r) r V p(r) = r (p V)(r)czyli mamy
[V , r p ] = r (pV) =ihr V (5.5.7)Aby obliczyc komutator [ p
2
2m, r p ], wygodnie jest najpierw obliczyc pomocniczy
komutator [ px2,x px], pamietajac przy tym o obliczonym przy rozpatrywaniu twier-
dzenia Ehrenfesta komutatorze
[p2x,x] = 2ihpx.[ px
2,x px] = px2xpx xpxp2x= (p2xx xp2x)px=
= [p2x,x]px = 2ihpxpx = 2ihp2xPamie
taja
c ponadto o tym, ze
[k,pm] =ihkm k, m= x, y,z,
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
33/147
ROZDZIAL 5. STANY STACJONARNE 33
mozemy przystapic do obliczen
[p2
2m, r p] = 1
2m[p
2, r p] = 1
2m[p2x+ p
2y+ p
2z,xpx+ y py+ zpz] =
= 1
2m([p2x,xpx] + [p
2y,y py] + [p
2z,zpz]) =
= 1
2m(2ihp2x 2ihp2y 2ihp2z) =
ih
m(p2x+ p
2y+ p
2z) =
ih
mp2.
W sumie mamy
[H, r p ] = ihm
p2
+ ihr V. (5.5.8)Ze wzoru na ewolucje
czasowa
wartosci oczekiwanej (sredniej) otrzymalismy
i
h[H, r p ] = 0.
Po podstawieniu obliczonego powyzej komutatora dostajemyi
h ih
mp2 + ihr V = 0. (5.5.9)
Po uproszczeniu dochodzimy do wzoru
p2
m+r V = 0 (5.5.10)
skad
p2
m+
r
V
= 0. (5.5.11)
Wprowadzmy operator energii kinetycznej
T = p2
2m (5.5.12)
Wowczas mamy 2T + r V = 0 (5.5.13)
czyli2T = r V = 0. (5.5.14)
Dla V =V(r) mozemy napisac, ze
V(r) = rr
d
drV(r). (5.5.15)
Teraz zajmijmy sie szczegolnym przypadkiem, a mianowicie potencjalem kulom-
bowskim postaci
V(r) = Ze2
r . (5.5.16)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
34/147
34 ROZDZIAL 5. STANY STACJONARNE
Wowczas
r V(r) =r rr
d
drV(r) =
r2
r
d
drV(r) =r
d
dr
Ze
2
r
= r
Ze2
r2 =
=Ze2
r = V(r).
Dla potencjalu kulombowskiego mamy zatem
2T = V, (5.5.17)
skad latwo dostajemy, ze
T = 12V. (5.5.18)
Otrzymany wzor, identyczny ze wzorem otrzymanym w mechanice klasycznej, czesto
sluzy do sprawdzania skomplikowanych obliczen numerycznych.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
35/147
Rozdzial 6
Pakiety falowe
6.1 Fala. Predkosc fazowa
Zapiszmy rownanie wlasne dla operatora momentu pedu p
p(r) =p(r). (6.1.1)
Zapisujac je w jawnej postaci, otrzymujemy
ih(r) =p(r). (6.1.2)W przypadku jednowymiarowym nasze rownanie przechodzi w
ih ddx
(x) =px(x), (6.1.3)
gdzie (x) jest funkcja wlasna
, a px wartoscia wlasna. Rozwiazujac to rownanie
(np. przez separacje zmiennych lub przez rownanie charakterystyczne) dochodzimydo funkcji wlasnej postaci
(x) =Aeipxhx. (6.1.4)
Korzystajac ze wzoru Eulera
ei = cos + i sin , (6.1.5)
mozemy przepisac to rozwiazanie w innej postaci
(x) =A
cos
pxh
x
+ i sin
pxh
x
. (6.1.6)
Z fizyki fal wiemy, ze wzor ten opisuje czesc przestrzenna
stacjonarnej fali monochro-
matycznej. Jesli x (, +) to funkcja ta nie nalezy do przestrzeniL2. Mozemyto prosto wykazac. Jak pamie
tamy, przestrzenL2 jest to przestrzen funkcji calkowal-
nych z kwadratem, tzn. calka z kwadratu funkcji po calej przestrzeni jest mniejszaod nieskonczonosci. Zapiszmy ta
calke
+
|(x)|2dx= +
(x)(x)dx=
35
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
36/147
36 ROZDZIAL 6. PAKIETY FALOWE
= +
Aei
pxhx
Aeipxhxdx=
+
AeipxhxAei
pxhxdx=
= |A|2 +
dx +.
Niech bedzie dlugoscia
fali cza
stki opisywanej przez rozwia
zanie naszego rownania
wlasnego. Przejdzmy teraz z xdo x+ (x
x+ ).
(x + ) =Aeipxh (x+). (6.1.7)
To powinno byc rowne (x), czyli
(x) =Aeipxhx =(x+ ) =Aei
pxh (x+). (6.1.8)
Stad mamy
Aeipxhx =Aei
pxh (x+) (6.1.9)
czyli
1 =eipx
h = cospx
h
+ i sinpx
h
. (6.1.10)
Aby powyzszy warunek byl spelniony, to
pxh
= 2n (6.1.11)
px=2nh
=2nh
2 =
nh
=n
h
. (6.1.12)
Pamietaja
c o postulacie de Brogliea
= hp (6.1.13)
mozemy stwierdzic, ze wartosc wlasna skladowej operatora pedu jest wielokrotnoscia
fali de Brogliea.W naszych dalszych rozwazaniach be
dziemy korzystali z postaci funkcji wlasnej
skladowej operatora pedu
(x) =Aeikx, (6.1.14)
gdzie ped pmozemy wyrazic jako
p= hk, (6.1.15)
a liczbe falowa
k jako
k=2
. (6.1.16)
Rozwazmy teraz czastke
swobodna
opisywana
zaleznym od czasu rownaniem Schro-
dingera
ih
t= H. (6.1.17)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
37/147
ROZDZIAL 6. PAKIETY FALOWE 37
Jak wiemy z poprzednich rozdzialow, funkcje mozemy zapisac jako
(x, t) =(x)eit, (6.1.18)
gdzie (x) jest rozwiazaniem niezaleznego od czasu rownania Schrodingera
H(x) =E(x). (6.1.19)
Postaramy sie teraz znalezc postac funkcji (x). Poniewaz cza
stka jest cza
stka
swobodna, to nie znajduje sie
w polu zadnego potencjalu. Dlatego nasz hamiltonian
jest postaci
H= p2x2m
= h2
2m
d2
dx2. (6.1.20)
Wstawiamy go do rownania Schrodingera niezaleznego od czasu
h2
2m
d2
dx2(x) =E(x), (6.1.21)
skad
d2
dx2(x) +
2mE
h2 (x) = 0. (6.1.22)
Rozwiazuja
c to rownanie rozniczkowe, dostajemy
(x) =Aei
2mEh
x + Bei
2mEh
x (6.1.23)
Dla czastki swobodnej calkowita energia jest rowna samej energii kinetycznej, czyli
E=
p2x2m 2mE=p
2
x. (6.1.24)
Wstawiamy to do rozwiazania rownania Schrodingera niezaleznego od czasu i mamy
(x) =Aeipxhx + Bei
pxhx. (6.1.25)
Korzystamy z tego, ze
px= hk (6.1.26)
i dostajemy
(x) =Aeikx + Beikx. (6.1.27)
Jezeli A= 0, lub B = 0 to funkcja ta jest taka sama jak funkcje wlasne skladowejoperatora pe
du.
Pelna funkcje
falowa
uzyskamy, mnoza
c funkcje
(x) przez eit, w wyniku czego
dostajemy
(x, t) =Aei(kxt) + Bei(kx+t) (6.1.28)
gdzie pierwszy czlon opisuje fale rozchodza
ca
sie
w kierunku x, a drugi w kierunku
x.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
38/147
38 ROZDZIAL 6. PAKIETY FALOWE
Wezmy teraz dowolna funkcje
falowa
f = f(x, t), ale zalozmy, ze jej zaleznosc od
argumentu jest nastepuja
ca:
f(x, t) =f(x Vft), (6.1.29)
gdzie
Vf=
x
t (6.1.30)be
dziemy nazywac pre
dkosc fazowa
. Niech teraz
t t + t (6.1.31)
x x + x (6.1.32)Wowczas
f(x+ x, t + t) =f[(x+ x) Vf(t + t)] =
=f(x + x Vft Vft) =f(x+ x Vft xt
t) =
f(x + x Vft x) =f(x Vft) =f(x, t).Zatem
f(x+ x, t + t) =f(x, t). (6.1.33)
Niech funkcja falowa bedzie postaci
(x, t) =Aei(kxt) =Aeik(xkt),
czyli predkosc fazowa Vf bedzie rowna
Vf=
k . (6.1.34)
W wyniku przeksztalcen dostajemy
Vf=
k =
h
hk =
E
p =
p2
2m
p =
p
2m=
Vklasyczna2
.
Predkosc fazowa Vf jest rowna polowie predkosci klasycznej Vklasyczna
Vf=Vklasyczna
2 . (6.1.35)
Poniewaz ped jest dobrze okreslony
p=h
, (6.1.36)
to w mysl zasady nieoznaczonosci Heisenberga
xp h2
. (6.1.37)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
39/147
ROZDZIAL 6. PAKIETY FALOWE 39
nie mozemy nic powiedziec o polozeniu czastki, czyli moze ona zna jdowac sie
wsze
dzie.
Mozemy to latwo wykazac wprost z definicji gestosci prawdopodobie
nstwa napotka-
nia czastki. Zalozmy funkcje
falowa
postaci
(x, t) =Aei(kxt).
Gestosc prawdopodobienstwa jest zdefiniowana jako
P(x, t) = |(x, t)|2. (6.1.38)Obliczmy te
wartosc
P(x, t) = |(x, t)|2 = ((x, t))(x, t) = (Aei(kxt))Aei(kxt) ==Aei(kxt)Aei(kxt) = |A|2,
czyli gestosc prawdopodobienstwa napotkania cza
stki jest stala i taka sama na calej
osi xP(x, t) = |A|2. (6.1.39)
6.2 Pakiet. Predkosc grupowa
Funkcja opisujaca pakiet falowy w przypadku jednowymiarowym jest postaci
(x, t) = 1
2
+
ei(kx(k)t)(k)dk (6.2.1)
Jak nam wiadomo z matematyki jest to transformata Fouriera funkcji (k)ei(k)t.Cze
sc przestrzenna pakietu okreslana jest przez (x, 0).
(x, 0) = 12
+
eikx(k)dk. (6.2.2)
Jest to klasyczna transformata Fouriera. W przypadku trojwymiarowym funkcjaopisuja
ca pakiet falowy jest postaci
(r, t) = 1
(2)32
ei(
kr(k)t)(k)d3k, (6.2.3)
przy czym calkowanie odbywa siepo calej przestrzeni pe
dow.
Zwiazki pomie
dzy pe
dem p, a energia
E sa
postaci
=(k). (6.2.4)Sa
to tzw. zwia
zki dyspersyjne (pamie
tamy, ze p= hk, a E= h).
Pakiet falowy porusza siez pre
dkoscia
grupowa
Vg zdefiniowana jako
Vg =(k)
k =
h(k)
hk =
E(p)
p =
p2
2m
p =
p
m=Vklasyczna.
Vg =Vklasyczna. (6.2.5)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
40/147
40 ROZDZIAL 6. PAKIETY FALOWE
6.3 Rozmywanie siepakietu falowego
Najpierw rozwinmy szereg z dokladnosciawyrazu pierwszego rze
du
(k) =(k0) +(k)
k |k=k0 + . . . 0+ Vg (6.3.1)
gdzie 0 =(k0) i= k
k0. Wstawiamy to rozwiniecie do wzoru
(x, t) = 1
2
+
ei(kx(k)t)(k)dk
i dostajemy
(x, t) = 1
2
+
ei((+k0)x0t)Vgt(k0+ )d, (6.3.2)
czyli
(x, t) = 1
2ei(k0x0t)
+
ei(xVgt)(k0+ )d. (6.3.3)
Czyli caly pakiet falowy porusza sie z pre
dkoscia
grupowa
Vg (wnioskujemy to z
postaci funkcji podcalkowej). Po przejsciu x i czasie t postac pakietu sie nie
zmieni. Rozwinmy teraz(k) w szereg Taylora z dokladnosciado wyrazow drugiego
rzedu
(k) =0+ Vg +1
2
2
k2|k=k0 2 + . . . 0+
Vg+
1
2
2
k2|k=k0
(6.3.4)
czyli w porownaniu ze wzorem (6.3.1)
Vg Vg+1
2
2
k2 |k=k0 . (6.3.5)Wstawiamy to rozwinie
cie do wzoru opisuja
cego pakiet falowy
(x, t) = 1
2
+
ei(kx(k)t)(k)dk
i dostajemy
(x, t) = 1
2ei(k0x0t)
+
ei(x(Vg+122k2
|k=k0)t)(k0+ )d, (6.3.6)
czyli
(x, t) = 1
2ei(k0x0t)
+
ei(xVgt)122k2
|k=k0t(k0+ )d. (6.3.7)
Pod calkamamy dodatkowy czlon w stosunku do poprzedniego wzoru, ktory ewolu-
uje ze zmianati . Poniewaz dodatkowy czlon zalezy od , to rozne cze
sci pakietu
falowego beda
sie
poruszaly z nieco roznymi pre
dkosciami, wie
c pakiet falowy ulega
stopniowemu rozmyciu w czasie.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
41/147
Rozdzial 7
Zasada odpowiedniosci Bohra
W mysl zasady odpowiedniosci Bohra przejscie z mechaniki kwantowej do mechanikiklasycznej dokonuje sie
przy przejsciu z h do zera (h 0). Praktycznie te
granice
osiaga sie
przy przejsciu z liczbami kwantowymi do nieskonczonosci (n +), o
ile wynik nie zalezy od h. Dla przykladu rozpatrzmy czastke
w jednowymiarowej,
nieskonczonej studni potencjalu
V(x) =
0 x (0, L)+ x / (0, L). (7.1)
Najpierw przeprowadzmy rozwazania zgodne z mechanika klasyczna
. Wewna
trz
przedzialu (0, L) na czastke
nie dziala zadna sila (poza momentami, gdy naste
puje
odbicie od scianek), czyli jej polozenie opisywane jest wzorem opisujacym ruch jed-
nostajny po lini prostej z predkoscia
V
x(t) =x0+ V t, x0 = x(t0), (7.2)
gdzie x0 oznacza polozenie poczatkowe.Prawdopodobienstwo znalezienia cza
stki w przedziale (x, x+dx) jest wprost propor-
cjonalne do czasu przelotu drogi dxoznaczonego przez dti odwrotnie proporcjonalnedo okresu w ktorym cza
stka przebywa droge
od 0 do L, ktory oznaczamy przez T.
Zapiszmy to w jawnej postaci
Pdx=dt
T. (7.3)
Po prawej stronie rownania mnozymy licznik i mianownik przez V i korzystamy ztego, ze
Vdt= dx, (7.4)V T =L. (7.5)
Stad mamy
Pdx=dt
T =
Vdt
V T =
dx
L,
czyli w koncu
Pdx=dx
L. (7.6)
41
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
42/147
42 ROZDZIAL 7. ZASADA ODPOWIEDNIOSCI BOHRA
Upraszczajac dxmamy wzor na ge
stosc prawdopodobienstwa
P = 1
L. (7.7)
W ogolnosciP =P(x), tu jednak mamy szczegolny przypadek P =const.Teraz rozpatrzymy to zagadnienie przy pomocy mechaniki kwantowej. Poniewaz
V = V(t) to mamy problem stacjonarny, tak wiec musimy rozwiazac rownanieSchrodingera bez czasuH(x) =E(x).
Podzielmy przestrzen na trzy obszary
obszar I x 0obszar II x (0, L)obszar III x L.
(7.8)
Pomiedzy obszarami I i II oraz pomie
dzy II i III musimy narzucic tak zwane warunki
zszyciaI(0) =II(0),II(L) =II I(L).
(7.9)
Dodatkowo mamy jeszcze dwa warunki na pochodne funkcji falowych
I(0) =II(0),
II(L) =II I(L).
(7.10)
Poniewaz studnia potencjalu ma nieskonczonagle
bokosc, to
I(x) 0,II I(x) 0.
(7.11)
Zatem wolno nam pominac indeks i zamiastIIpisac. Z warunkow zszycia mamy,
ze(0) = 0,(L) = 0.
(7.12)
W obszarze II potencjal jest zerowy, czyli rozwiazanie be
dzie tutaj takie samo jak
dla czastki swobodnej. Obliczylismy je wczesniej i jest ono postaci
(x) =Aeikx + Beikx.
Korzystajac ze wzoru Eulera
ei = cos + i sin
mozemy rozwiazanie rownania Schrodingera zapisac w nieco innej postaci
(x) =Aeikx + Beikx =A(cos(kx) +i sin(kx)) + B(cos(kx) i sin(kx)) =
= (A + B) cos(kx) + (A B)i sin(kx) =Ccos(kx) + D sin(kx),
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
43/147
ROZDZIAL 7. ZASADA ODPOWIEDNIOSCI BOHRA 43
czyli(x) =Ccos(kx) + D sin(kx), (7.13)
gdzieC=A + B, (7.14)
D= (A B)i. (7.15)
W tym przypadku warunki brzegowe daja nam dyskretne rozwiaznia. Aby towykazac skorzysta jmy z warunku brzegowego.
(0) = 0 C= 0, (7.16)
czyli nasza funkcja falowa jest postaci
(x) =D sin(kx). (7.17)
Mamy jeszcze jeden warunek brzegowy
(L) = 0
D sin(kL) = 0
(7.18)
sin(kL) = 0 (7.19) kL = n, n= 0, 1, 2, . . . (7.20)
co prowadzi do dyskretnego rozwiazania na liczbe
falowa
k
kn=n
L. (7.21)
Z drugiej strony liczba falowa k zdefiniowana jest jako
kn =
2
n . (7.22)
Porownujac dwa ostatnie wzory, dostajemy
2
n=
n
L, (7.23)
czyli
L=nn
2 . (7.24)
Jest to tak zwany warunek fal stojacych, oznaczaja
cy ze na odcinku od 0 do L musi
byc calkowita wielokrotnosc polowek dlugosci fali . Liczbe n nazywamy liczbakwantowa
. Nasze rozwia
zanie jest postaci
n(x) =D sin(knx) =D sin
n
Lx
. (7.25)
Dlandodatnich i ujemnych funkcje falowe satakie same (z dokladnoscia
do czynnika
fazowego) poniewazsin(x) = sin(x).
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
44/147
44 ROZDZIAL 7. ZASADA ODPOWIEDNIOSCI BOHRA
Zatem mozemy bracn = 0, 1, 2, . . .nie tracac zadnych rozwia
zan. Jednak dlan = 0
funkcja falowa(x) tozsamosciowo rowna siezeru, czyli wolno nam pomina
cn = 0.
Ostatecznie
n(x) =D sin
n
Lx
, n= 1, 2, . . . (7.26)
Majac dane rozwia
zania naknmamy rowniez rozwiazania na wartosci wlasne energii
En (energia bedzie rowna tylko energi kinetycznej, gdyz potencjal rowny jest zeru).
En= p2n2m
=(hkn)
2
2m =
1
2m
n22h2
L2 =n2
2h2
2mL2 =n2E1,
czyliEn = n
2E1, (7.27)
gdzie
E1= 2h2
2mL2 (7.28)
jest najnizszadozwolona
energia
(energia
stanu podstawowego).
StalaD mozemy znalezc, korzystaja
c z warunku normalizacyjnego
1 = +
|n(x)|2dx= L0
|D|2 sin2( nL
x)dx. (7.29)
Po obliczeniu powyzszej calki dochodzimy do wyrazenia
|D|2 L2
= 1 |D| =
2
L. (7.30)
Poniewaz z dokladnosciado czynnika fazowego
|D| =D (7.31)
toD=
2
L. (7.32)
Nasze rozwiazanie wygla
da teraz naste
puja
co
n(x) =
2
Lsin(knx) =
2
Lsin(
n
Lx), n= 1, 2, . . . (7.33)
W celu otrzymania pelnej funkcji falowej otrzymany wynik nalezy pomnozyc przezeint, gdzien=
Enh
. Gestosc prawdopodobienstwa wn-tym stanie energetycznym
dana jest wzorem
Pn(x) = |n(x)|2
. (7.34)Usredniaja
c powyzszy wzor, dla duzych liczb kwantowych, po pewnym, niwielkim,
ale makroskopowym przedziale przedzialu (0, L) dostajemy wzor na gestosc praw-
dopodobienstwa
P = 1
L.
Zgodnie z zasadaodpowiedniosci Bohra otrzymalismy taki sam wzor, jak w mecha-
nice klasycznej.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
45/147
Rozdzial 8
Zasada zachowaniaprawdopodobienstwa
8.1 Rownanie ciaglosci
Jak wiemy, gestosc prawdopodobienstwa znalezienia cza
stki dana jest wyrazeniem
P(r, t) = |(r, t)|2 = (r, t)(r, t), (8.1.1)
Poniewaz to, ze czastka znajduje sie
gdziekolwiek jest pewne, to
Vc
P(r, t)d3r= 1, d3r= dxdydz, (8.1.2)
gdzie Vc oznacza cala przestrzen (pomijamy stany z widma ciaglego). Jest tooczywiscie warunek normalizacyjny. Zrozniczkujmy go po czasie i dostajemy
t
Vc
P(r, t)d3r= 0 (8.1.3)
czyli warunek normalizacyjny jest zachowany (staly w czasie). Niech V bedzie
dowolnapodprzestrzenia przestrzeni Vc
t
V
P(r, t)d3r=V
t((r, t)(r, t))d3r=
V
t
+
t d3r= . . .
Korzystajac z rownania Schrodingera zaleznego od czasu
H =ih
t,
mozemy napisac, ze
t = i
hH, (8.1.4)
45
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
46/147
46 ROZDZIAL 8. ZASADA ZACHOWANIA PRAWDOPODOBIENSTWA
t =
i
hH. (8.1.5)
Podstawiamy to do naszej calki
. . .= ih
V
[(H) + H] d3r= . . .
Teraz wstawiamy jawnapostac operatora Hamiltona
H= p2
2m+ V(r) = h
2
2m2 + V(r) (8.1.6)
i dostajemy. . .= i
h
V
h2
2m2 V(r)
+
+ h
2
2m2 + V(r)
d3r=
. . .
Wyrazy V(r) i V(r) upraszczajasie
i mamy
. . .= ihV
h
2
2m2
h2
2m 2 d3r=
= ih2m
V
(2 2)d3r= . . .Dodajemy i odejmujemy i mamy
. . .= ih2m
V
[(2 + )
(2 + )]d3r==
ih
2mV
[
(
)
(
)]d3r=
= ih2m
V
[( )]d3r= . . .Oznaczmy
j= ih
2m( ), (8.1.7)
i otrzymujemy w koncu V
tP(r, t)d3r=
V
jd3r, (8.1.8)lub
V
t
P(r, t) + j d3r= 0. (8.1.9)Poniewaz V jest dowolna
obje
toscia
, sta
d wynika, ze
tP(r, t) + j = 0. (8.1.10)
Jest to tak zwane rownanie ciaglosci, przy czym P(r, t) oznacza ge
stosc praw-
dopodobienstwa, aj gestosc strumienia pra
du prawdopodobienstwa.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
47/147
Rozdzial 9
Rozpraszanie na potencjalach
9.1 Bariera potencjalu o skonczonej wysokosci i
nieskonczonej szerokosci
Rozwazmy czastke o pedzie p = hk poruszajaca sie w kierunku osi x padajaca nabariere
potencjalu V(x) okreslona
w ponizszy sposob
V(x) =
0 dla x 0,V0 dla x >0.
(9.1.1)
Caly obszar dzielimy na dwie czesci i rozwia
zujemy w nich niezalezne od czasu
rownanie Schrodingera
h2
2m
d2
dx2(x) + V(x)(x) =E(x).
Dla x 0 (obszar I) niezalezne od czasu rownanie Schrodingera przyjmuje postac
h2
2m
d2
dx2(x) =E(x), (9.1.2)
natomiast dla x >0 (obszar II) mamy
h2
2m
d2
dx2(x) = (E V0)(x). (9.1.3)
W obszarze I rozwiazanie jest takie samo, jak dla cza
stki swobodnej, czyli
I(x) =Aeikx + Beikx, A, B=const, (9.1.4)
gdzie
k=
2mE
h2 . (9.1.5)
Aby rozwiazac rownanie w obszarze II wystarczy oznaczyc
E =E V0, (9.1.6)
47
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
48/147
48 ROZDZIAL 9. ROZPRASZANIE NA POTENCJALACH
i dostajemy rownanie podobne do poprzedniego
h2
2m
d2
dx2(x) =E(x). (9.1.7)
Stosujac analogiczne rozwazania dostajemy rozwia
zanie postaci
II
(x) =C eix + Deix, C, D= const, (9.1.8)
przy czym
=
2mE
h2 =
2m(E V0)
h2 . (9.1.9)
Wiemy, ze czastka pada z lewej strony, czyli w obszarze II nie moze byc fali ida
cej
w lewo, tak wiec D= 0 (poza przypadkiem czysto urojonego). Sta
d mamy
II(x) =C eix, (9.1.10)
co prowadzi do
(x) =
Aeikx + Beikx =I(x) dlax 0,Ceix =II(x) dlax >0.
(9.1.11)
Skorzystajmy z warunkow zszycia
I(0) =II(0) (9.1.12)
id
dxI(x)|x=0= d
dxII(x)|x=0, (9.1.13)
skad dostajemy
A + B=C, k(A B) =C. (9.1.14)Z tych dwoch rownan w prosty sposob wyznaczamy, ze
C= 2k
k+ A, (9.1.15)
B=k
2k C=
k 2k
2k
k+ A=
k k+
A. (9.1.16)
Podstawiajac jawne postacie k i, dostajemy
C= 2
E
E+
E V0 A, (9.1.17)
B=
E E V0E+
E V0
A. (9.1.18)
Czesc funkcji falowej poruszaja
ca
sie
w kierunku osi x w obszarze I mozemy inter-
pretowac jako falepadaja
ca
, cze
sc poruszaja
ca
sie
w tym samym obszarze w druga
strone jako fale
odbita
, natomiast funkcje
falowa
poruszaja
ca
sie
w kierunku x w
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
49/147
ROZDZIAL 9. ROZPRASZANIE NA POTENCJALACH 49
obszarze II jako fale przepuszczona
przez bariere
. Korzystaja
c z tej interpretacji
mozemy obliczyc gestosc pra
du prawdopodobienstwa dla cza
stek padaja
cych jA,
odbitych jBi przepuszczonych jC. Pamietamy, ze gestosc pradu prawdopodobienstwadefiniujemy jako
j= ih
2m( ). (9.1.19)
Obliczmy ge
stosc pra
du prawdopodobienstwa dla cza
stek padaja
cych jA, korzystaja
cz powyzszej definicji.
jA = ih
2m(Aeikx(Aeikx) (Aeikx)Aeikx) =
= ih
2m(AeikxAeikx AeikxAeikx) =
= ih
2m(|A|2eikx(ik)eikx |A|2eikxikeikx) =
= ih
2m(
2ik|A
|2) =
hk
m |A
|2,
czyli mamy
jA=hk
m|A|2. (9.1.20)
W analogiczny sposob obliczamy gestosc pra
du prawdopodobienstwa dla cza
stek
odbitychjB i przepuszczonychjC i mamy:
jB = hk
m|B|2 (9.1.21)
oraz
jC=
h
m |C|2
(9.1.22)
(tylko dla rzeczywistego, dla czysto urojonego jC= 0). Zdefiniujmy wspolczynnikodbiciaR i wspolczynnik przenikania T
R=
jBjA
(9.1.23)
T =
jCjA
. (9.1.24)
Wspolczynniki te sa
miara
prawdopodobienstwa odpowiednio odbicia i przeniknie
ciaczastki. W naszym przypadku wspolczynniki te wyrazac sie
be
da
wzorami
R=BA
2
=
E E V0E+
E V0
2
(9.1.25)
oraz
T =CA
2 k
= 2
E
E+
E V0
2
E V0
E
. (9.1.26)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
50/147
50 ROZDZIAL 9. ROZPRASZANIE NA POTENCJALACH
Przeprowadzmy dyskusjeotrzymanych przez nas wynikow w zaleznosci od wysokosci
bariery potencjalu V0 i od energii padajacej czastki E.
1. Jezeli V0 = 0, to latwo wykazac, ze R = 0 i T = 1, czyli odbicie nie jestmozliwe i wszystkie cza
stki przechodza
przez bariere
.
2. Jezeli E > V0 to czastka moze zostac odbita lub przepuszczona, przy czym
II(x) = 2A
E
E+
E V0eih
2m(EV0)x (9.1.27)
gdzie E V0 jest liczbarzeczywista.
3. Jezeli E=V0 to mozliwe jest tylko odbicie, gdyz R= 1, a T = 0.
4. Jezeli E < V0 to niemozliwe jest odbicie i przepuszczenie czastki, co wynika
nie ze wzoru (9.1.26), ale z definicji wektora gestosci pradu, przy czym
II(x) = 2A
E(
E E V0)
(
E+
E V0)2e
1h
2m(V0E)x, (9.1.28)
gdzie V0 Ejest liczbarzeczywistadodatnia.
9.2 Bariera potencjalu o skonczonej wysokosci iskonczonej szerokosci.
Niech czastka o pe
dzie p = hk pada na bariere
potencjalu okreslona
w ponizszy
sposob
V(x) =
0 dla x a.
(9.2.1)
Rownanie Schrodingera dla tego zagadnienia jest postaci
h22m
d2dx2
(x) = E(x) dlax a. (9.2.2)
1. Niech 0< E < V0. Wowczas rozwiazanie rownanie Schrodingera jest postaci
(x) =
Aeikx + Beikx dla x a,
(9.2.3)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
51/147
ROZDZIAL 9. ROZPRASZANIE NA POTENCJALACH 51
przy czym A, B,C,D,F,G sastalymi, natomiast
k=1
h
2mE, (9.2.4)
=1
h
2m(V0 E), (9.2.5)
oraz obie liczby k i sa
liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Zalozmy, ze naszaczastka, znajduja
c sie
w obszarze x a moze przebywac tylko fala przepusz-czona, natomiast nie ma zadnej fali, w tym obszarze, w kierunkux. Sta
d funkcja
falowa jest postaci
(x) =
Aeikx + Beikx dla x a.
(9.2.6)
Korzystajac z cia
glosci funkcji falowej i jej pierwszej pochodnej w punktach 0 i a
(czyli z warunkow zszycia)dostajemy uklad czterech rownan na staleA, B,C,F iG:
A + B=F+ G,ik(A B) =(F G),Ceika =F ea + Gea,
ikCeika =(F ea Gea).(9.2.7)
Postaramy sieteraz wyznaczycA w funkcjiC. Wymnozmy pierwsze rownanie przez
i dodajmy je oraz odejmijmy od rownania drugiego, a nastepnie wymnozmy trzecie
rownanie rowniez przez i dodajmy je oraz odejmijmy od rownania czwartego. Todaje nam cztery ponizsze rownania
ik(A B) + (A + B) = 2F,ik(A B) (A + B) = 2G,
ikCeika + Ceika = 2F ea,ikCeika Ceika = 2Gea.
(9.2.8)
Po wymnozeniu obustronnie rownania trzeciego przez ea i czwartego przez ea
dostajemy uklad postaci
ik(A B) + (A + B) = 2F,ik(A B) (A + B) = 2G,
(ik+ )Ce(ik)a
= 2F,(ik )Ce(ik+)a = 2G.(9.2.9)
Poniewaz prawe strony rownan odpowiednio pierwszego i trzeciego, oraz drugiego iczwartego sa
sobie rowne, to ich lewe strony rowniez powinny byc sobie rowne. Sta
d
dostajemy uklad dwoch rownan.
ik(A B) + (A + B) = (ik+ )Ce(ik)a,ik(A B) (A + B) = (ik )Ce(ik+)a. (9.2.10)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
52/147
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
53/147
ROZDZIAL 9. ROZPRASZANIE NA POTENCJALACH 53
i w ten sposob mamy oba szukane wspolczynniki.Bardzo waznym wnioskiem jest to, ze dla cza
stki o energii nizszej od energii ba-
riery potencjalnej istnieje niezerowe prawdopodobienstwo przejscia przez tabariere
.
Zjawisko to, niemozliwe w mysl praw opisujacych fizyke
klasyczna
, nazywane jest
zjawiskiem tunelowym. Powyzsze rozwazania pozwalaja, choc w sposob bardzo up-
roszczony, zrozumiec rozpad promieniotworczy , czy tez zjawiska wystepuja
ce w
polprzewodnikach.2. Niech E=V0. Wowczas rownanie Schrodingera jest postaci
h2
2m
d2
dx2(x) =
E(x) dlax a.
(9.2.20)
Funkcja falowa beda
ca jego rozwia
zaniem dana jest wzorem
(x) =
Aeikx + Beikx dla x a,
(9.2.21)
przy czym A, B,C,D,F iG sastalymi, a
k= 1
h
2mE (9.2.22)
jest liczbarzeczywista
, wie
ksza
od zera.
Tak jak w poprzednim przypadku wiemy, ze D= 0 i korzystamy z ciaglosci funkcji
i jej pierwszej pochodnej w 0 i w a, skad dostajemy uklad czterech rownan
A + B=G,ik(A
B) =F,
Ceika =F a + G,ikCeika =F.
(9.2.23)
Wstawmy rownanie pierwsze i drugie do rownania trzeciego, skad mamy
ika(A B) + A + B =C eika. (9.2.24)Po uporza
dkowaniu mamy
(1 + ika)A + (1 ika)B=C eika. (9.2.25)Przyrownuja
c do siebie lewe strony rownania drugiego i czwartego, dostajemy nowe
rownanieik(A B) =ikCeika, (9.2.26)
skad mamy
B=A Ceika. (9.2.27)Wstawiamy to do zmodyfikowanego poprzednio rownania trzeciego
(1 + ika)A + (1 ika)(A Ceika) =C eika. (9.2.28)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
54/147
54 ROZDZIAL 9. ROZPRASZANIE NA POTENCJALACH
Upraszczajac powyzsza
rownosc, dochodzimy do postaci
C= 2A
2 ika eika. (9.2.29)
Korzystajac z obliczonego juz wczesniej wyrazenia opisuja
cego wspolczynnik przejscia,
dostajemy
T =CA2
= 22 ika e
ika2
=
4
4 + (ka)2 . (9.2.30)Wnioskuja
c z wartosci tych wspolczynnikow mozemy stwierdzic, ze, inaczej niz dla
bariery o nieskonczonej szerokosci, czastka o energii rownej wysokosci bariery po-
tencjalu moze zostac przepuszczona lub odbita.3. Niech E > V0. Wowczas rownanie Schrodingera przyjmuje postac
h2
2m
d2
dx2(x) =
E(x) dlax a.
(9.2.31)
Funkcja falowa beda
ca jego rozwia
zaniem jest postaci
(x) =
Aeikx + Beikx dla x a,
(9.2.32)
przy czym
k=1
h
2mE, (9.2.33)
= 1
h
2m(E V0) (9.2.34)
i oba te wspolczynniki sa liczbami rzeczywistymi, wie
kszymi od zera.
Analogicznie, jak w poprzednich przypadkach, wolno nam przyjac, ze D = 0.
Korzystajac z warunkow zszycia, dostajemy uklad rownan
A + B=F+ G,ik(A B) =i(F G),F eia + Geia =C eika,
i(F eia Geia) =ikCeika.(9.2.35)
Dodajemy i odejmujemy pierwsze rownanie pomnozone przez od drugiego, anaste
pnie trzecie pomnozone przez od czwartego, ska
d dostajemy
(k+ )A (k )B= 2F,(k
)A
(k+ )B=
2G,
2F eia = (k+ )Ceika,2Geia = (k )Ceika.
(9.2.36)
Nastepnie mnozymy obustronnie rownanie trzecie przez eia i czwarte przez eia
(k+ )A (k )B= 2F,(k )A (k+ )B= 2G,
2F = (k+ )Cei(k)a,2G= (k )Cei(k+)a.
(9.2.37)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
55/147
ROZDZIAL 9. ROZPRASZANIE NA POTENCJALACH 55
Przyrownujemy do siebie lewastrone
rownania pierwszego z prawa
strona
rownania
trzeciego, a potem postepujemy analogicznie z rownaniem drugim i czwartym
(k+ )A (k )B= (k+ )Cei(k)a, (9.2.38)(k )A (k+ )B= (k )Cei(k+)a. (9.2.39)
Teraz wyznaczamy z obu rownan B
k+
k (A Cei(k)a) =B, (9.2.40)
k k+
(A Cei(k+)a) =B. (9.2.41)Przyrownuja
c do siebie lewe strony, dostajemy rownosc ponizszej postaci
k+
k (A Cei(k)a) =
k k+
(A Cei(k+)a). (9.2.42)
Upraszczajac powyzsze wyrazenie, dostajemy
4k
k2 2 A=
k+
k ei(k)a k
k+ ei(k+)a
C, (9.2.43)
czyli
C= 4k
k2 2
k+
k ei(k)a k
k+ ei(k+)a
1A. (9.2.44)
Korzystajac z wczesniejszych rozwazan mozemy napisac, ze
T = |C
A |2 = | 4k
k2 2k+
k ei(k)a k
k+ ei(k+)a1 |2 (9.2.45)
i zeR= 1 T. (9.2.46)
Mozna wykazac, ze wartosc wspolczynnika przejscia Tnie zawsze jest rowna jednosci,a wie
c cza
stki o energii wie
kszej od wysokosci bariery potencjalu moze zostac jednak
przez niaodbita. Cza
stka na pewno przejdzie przez bariere
tylko wtedy, gdyT = 1.
Energie odpowiadajace temu przypadkowi to tak zwane energie rezonansowe.
9.3 Prostokatna studnia potencjalu o skonczonejgle
bokosci
Niech dana bedzie studnia potencjalu zdefiniowana wzorem
V(x) =
0 dla x < a,V0 dla a 0 a,0 dla x > a.
(9.3.1)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
56/147
56 ROZDZIAL 9. ROZPRASZANIE NA POTENCJALACH
Rozwazmy czastke
o energii mniejszej od zera, ale wie
kszej odV0,V0 < E < 0
(rozpatrujemy stany zwiazane). Rownanie Schrodingera opisuja
ce ta
cza
stke
jest
postaci
h2
2m
d2
dx2(x) =
E(x) dlax < a,(E+ V0)(x) dla a x a,E(x) dlax > a.
(9.3.2)
Rozwia
zaniem tego rownania jest funkcja falowa
(x) =
Aekx + Bekx dla x < a,Fcos(x) + G sin(x) dla a x a,Cekx + Dekx dla x > a,
(9.3.3)
przy czymA, B,C,D,F i Gsastalymi, a
k= 1
h
2mE (9.3.4)
i
= 1
h2m(E+ V0) (9.3.5)
sa liczbami rzeczywistymi wie
kszymi od zera.
Poniewaz dla x < a i x > a istnieje skonczone prawdopodobienstwo znalezieniacza
stki, to czlony da
zace do nieskonczonosci musza
znikac. Sta
d wolno nam przyja
c,
ze B= 0 i C= 0. Zatem funkcja falowa przyjmuje postac
(x) =
Aekx dla x < aFcos(x) + G sin(x) dla a x aDekx dla x > a.
(9.3.6)
Korzystajac z warunkow zszycia dla x = a i x =a, dostajemy uklad czterech
rownan Aeka =Fcos(a) G sin(a)kAeka =(Fsin(a) + G cos(a))
Deka =Fcos(a) + G sin(a)kDeka = (Fsin(a) G cos(a)).
(9.3.7)
Dodajmy i odejmijmy rownanie pierwsze od trzeciego, a nastepnie posta
pmy ana-
logicznie z rownaniami drugim i czwartym.
2Fcos(a) = (A + D)eka
2G sin(a) = (D A)eka2Fsin(a) =k(A + D)eka
2G cos(a) = k(D A)eka.
(9.3.8)
Z matematyki wiadomo, ze wolno nam obrac jednaze stalych dowolnie. Wobec tego
niech na poczatek G= 0. Wowczas mamy uklad rownan postaci
2Fcos(a) = (A + D)eka,0 = (D A)eka,
2Fsin(a) =k(A + D)eka,0 = k(D A)eka.
(9.3.9)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
57/147
ROZDZIAL 9. ROZPRASZANIE NA POTENCJALACH 57
Z rownania drugiego (lub czwartego) w prosty sposob dostajemy, ze:
A= D. (9.3.10)
Podstawiamy to pierwszego rownania i mamy
F =A 1
cos(a)
eka. (9.3.11)
Z kolei to podstawiamy do rownania trzeciego skad dostajemy
k= tg(a). (9.3.12)
Funkcja falowa jest postaci
(x) =
Aekx dla x < a,A e
kacos(a)
cos(x) dla a x a,Aekx dla x > a.
(9.3.13)
Funkcja ta jest parzysta.Teraz przyjmijmy, ze F= 0. Wykonuja
c analogiczne rachunki jak powyzej, dosta-
jemyk= ctg(a) (9.3.14)
A= D (9.3.15)G= A
1
sin(a)eka. (9.3.16)
Stad funkcja falowa jest postaci
(x) =
Aekx dla x a.
(9.3.17)
Ta funkcja jest nieparzysta.Pamie
taja
c, ze
k= 1
h
2mE >0,i ze
=1
h
2m(E+ V0)> 0,
mozemy napisack2 + 2 =
2m
h2V0. (9.3.18)
Pamietamy rowniez, ze dla parzystej funkcji falowej mamy
k= tg(a),
a dla nieparzystejk= ctg(a).
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
58/147
58 ROZDZIAL 9. ROZPRASZANIE NA POTENCJALACH
Wprowadzmy nowe zmienne
= ka, =a. (9.3.19)
Wowczas dostajemy dwa uklady rownan przestepnych (jeden dla parzystej funkcji
falowej, a drugi dla nieparzystej)
= tg(),2 + 2 = 2ma
2
h2 V0,
(9.3.20)
i= ctg(),
2 + 2 = 2ma2
h2 V0.
(9.3.21)
Korzystajac z drugiego rownania w dowolnym z powyzszych ukladow rownan, mozemy
wyznaczyc wartosci wlasne energii
2 + 2 =2ma2
h2 V0
2 =
2ma2
h2 V0
2 =
2ma2
h2 V0
a22 =
=2ma2
h2 V0 a2 1
h22m(E+ V0) = 2ma
2
h2 E
En = h2
2ma22. (9.3.22)
Powyzsze uklady rownan w najprostszy sposob mozna rozwiazc graficznie i uzyskac
w ten sposob kolejne wartosci , ktore umozliwiajanam wyznaczenie wartosci wlas-
nych.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
59/147
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
60/147
60 ROZDZIAL 10. STANY PARZYSTE I NIEPARZYSTE
Natomiast kiedy= 1, to dostajemy rownanie wlasne postaci
P (x) = (x) (10.10)
skad
(x) = (x) (10.11)
Czyli funkcja wlasna operatora parzystosci P jest parzysta dla wartosci wlasnej = 1 i nieparzysta dla wartosci wlasnej =1 (sa
to jedyne wartosci wlasne
tego operatora). Teraz musimy udowodnic, ze przy parzystym potencjale (tzn.V(x) = V(x)) hamiltonian Hkomutuje z operatorem parzystosci P. Wowczasbe
da
one mialy te same funkcje wlasne, czyli tylko parzyste lub nieparzyste. Oper-
ator Hamiltona H jest postaci
H= p2
2m+ V(x), V(x) =V(x). (10.12)
Obliczmy komutator [H, P], dzialajac nim na dowolna
funkcje
probna
(x) z przes-
trzeniL2
.[H, P](x) = HP (x) PH(x) =
= h2
2m
d2
dx2(P (x)) + V(x)P (x) P
h2
2m
d2
dx2(x) + V(x)(x)
=
= h2
2m
d2
dx2(x) + V(x)(x) + h
2
2m
d2
dx2(x) V(x)(x) =
=V(x)(x) V(x)(x).Potencjal z zalozenia jest parzysty, czyli V(x) =V(x), ska
d
V(x)(x) V(x)(x) = 0. (10.13)Dlatego
[H, P] = 0, (10.14)
czyli funkcje wlasne Hamiltonianu Hbeda
rowniez parzyste, ba
dz nieparzyste.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
61/147
Rozdzial 11
Liniowy oscylator harmoniczny
11.1 Wartosci wlasne i funkcje wlasne. Wielomia-ny Hermitea.
Rozwazmy czastke poruszajacasie pod wplywem sily
F = kx. (11.1.1)
Korzystajac z faktu, ze
F = ddx
V(x), (11.1.2)
mozemy wyznaczyc potencjal pochodzacy od sily F
V(x) =kx2
2
(11.1.3)
Potencjal jest parzysty, czyli, korzystajac z wiadomosci zawartych w poprzednim
rozdziale, wiemy, ze funkcje wlasne hamiltonianu H mogabyc tylko parzyste lub
nieparzyste. Zapiszmy hamiltonian H
H= h2
2m
d2
dx2+
kx2
2 . (11.1.4)
Wprowadzmy oznaczenie
= k
m
, (11.1.5)
wowczas
H= h2
2m
d2
dx2+
1
2m2x2. (11.1.6)
Poniewaz potencjal nie zalezy od czasu, wiec mamy zagadnienie stacjonarne, czyli
musimy rozwiazac niezalezne od czasu rownanie Schrodingera
H(x) =E(x).
61
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
62/147
62 ROZDZIAL 11. LINIOWY OSCYLATOR HARMONICZNY
Po podstawieniu jawnej postaci hamiltonianu mamy
h2
2m
d2
dx2(x) +
1
2m2x2(x) =E(x). (11.1.7)
Mnozymy obie strony przez 2h
i dostajemy
hm d2
dx2 (x) + mh x2(x) =2Eh (x). (11.1.8)
Wprowadzajac oznaczenia
=
m
h , (11.1.9)
=2E
h, (11.1.10)
dostajemy
12
d2
dx2(x) + 2x2(x) =(x). (11.1.11)
Wprowadzmy nowazmienna=x, (11.1.12)
wtedyd
dx=
d
dx
d
d =
d
d, (11.1.13)
d2
dx2 =
d
dx
d
dx=2
d2
d2. (11.1.14)
Po zamianie zmiennych w rownaniu mamy
d2
d2 () + 2
() =(), (11.1.15)
przy czym(x) =(). Po uporzadkowaniu rownanie przyjmuje postac
d2
d2() + ( 2)() = 0. (11.1.16)
Rozpatrzmy teraz przypadek dla bardzo duzych( +). Wowczas w rownaniumozemy pomina
c , co prowadzi do rownania
d2
d2
()
2() = 0. (11.1.17)
Zgadujemy rozwiazanie (z dokladnoscia
do stalej)
() =e2
2 . (11.1.18)
Sprawdzmy czy jest ono rzeczywiscie rozwiazaniem naszego rownania
() =e2
2 ,
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
63/147
ROZDZIAL 11. LINIOWY OSCYLATOR HARMONICZNY 63
() = e 2
2 ,
() = e 2
2 + ()22e 2
2 ,
() = (1 + 2)e 2
2 .
Pamietamy, ze +, czyli wolno nam pomina
c1. Ostatecznie mamy
() =2e 22 .
Po podstawieniu obliczonych powyzej wyrazen (tzn.(x) i (x)) do rownania (11.1.17)mamy
2e2
2 () 2e 2
2 () = 0,
a wiec funkcja () postaci
() =e2
2 ,
jest rozwiazaniem bezczasowego rownania Schrodingra dla naszego zagadnienia dla
bardzo duzych (
+
). Musimy zwrocic uwagena fakt, ze () = e+
2
2 przy + da
zy do nieskonczonosci, a nas interesuja
tylko takie rozwia
zania, ktore
daza
do zera (czyli takie, ktore mozna unormowac). Dlatego ze wzgle
dow fizycznych
odrzucamy rozwiazanie () =e+
2
2 i mamy rozwiaznie () =e
2
2.Wezmy teraz dowolne . Postulujemy, ze rozwia
zanie be
dzie postaci
() =e2
2 H(), (11.1.19)
gdzie H() oznacza jakas funkcje
. Obliczmy pierwsza
i druga
pochodna
()
() = e 2
2 H() +e2
2 H() = (H() + H())e 2
2 ,
() = (H() H() + H())e 2
2 (H() + H())e 2
2 =
= (H() 2H() + (2 1)H())e 2
2 .
Wstawiamy to do rownania i dostajemy
(H() 2H() + (2 1)H())e 2
2 + ( 2)e 2
2 H() = 0. (11.1.20)
Dzielimy obustronnie przeze2
2
H()
2H() + (2
1)H() + (
2)H() = 0. (11.1.21)
Przeksztalcajac, mamy
H() 2H() + ( 1)H() = 0. (11.1.22)Rozpatrzymy to rownanie oddzielnie dla przypadku funkcji parzystych i funkcjinieparzystych. Poniewaz rozwia
zanie jest postaci
() =e2
2 H(),
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
64/147
64 ROZDZIAL 11. LINIOWY OSCYLATOR HARMONICZNY
a wyraz e2
2 jest zawsze parzysty, to funkcja H() musi byc parzysta, badz niepa-
rzysta. Zacznijmy od funkcji wlasnej parzystej, czyli parzystego H(). Mozemy gozapisac jako
H() =+k=0
ck2k. (11.1.23)
Naszym zadaniem jest znalezienie wzoru okreslajacego wspolczynniki ck. Obliczmy
pierwszai drugapochodnaH():
H() =+k=0
2kck2k1, (11.1.24)
H() =+k=0
2k(2k 1)ck2k2 (11.1.25)
i wstawmy je do rownania Hermitea
+
k=0 2k(2k 1)ck
2k2
+
k=0 4kck
2k
+
+
k=0( 1)ck
2k
= 0. (11.1.26)
W pierwszym czlonie wolno nam sumowac od 1, gdyz dla k = 0 cale wyrazenie sie
zeruje, czyli ten czlon mozemy przepisac jako
+k=0
2k(2k 1)ck2k2 =+k=1
2k(2k 1)ck2k2 =. . .
Teraz zamieniamy indeksy z k na k + 1
. . .=
+
k=0 2(k+ 1)(2k+ 1)ck+1
2k
.
Wstawiamy to do rownania
+k=0
2(k+ 1)(2k+ 1)ck+12k
+k=0
4kck2k +
+k=0
( 1)ck2k = 0.
Wciagamy wszystko pod wspolna
sume
+
k=0(2(k+ 1)(2k+ 1)ck+1+ ( 1 4k)ck)2k = 0. (11.1.27)
Korzystajac z niezaleznosci liniowej funkcji 2k wnioskujemy, ze
2(k+ 1)(2k+ 1)ck+1+ ( 1 4k)ck = 0, k = 0, 1, 2, . . . (11.1.28)ska
d mozemy wyznaczyc rekurencyjny wzor na ck+1
ck+1= 4k+ 1
2(k+ 1)(2k+ 1)ck. (11.1.29)
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
65/147
ROZDZIAL 11. LINIOWY OSCYLATOR HARMONICZNY 65
Stad, jesli c0jest rozne od zera i jesli je znamy, to znamy tez wszystkie wspolczynniki
ck. Wielomian H() ma byc skonczonego stopnia, czyli musimy urwac sume naktoryms z wyrazow. Na przyklad niech to be
dzie wyrazcN (k= N), czylicN+1= 0
(i wszystkie pozostale tez).
cN+1 = 0 4N+ 1 2(N+ 1)(2N+ 1)
cN= 0 (11.1.30)
4N+ 1 = 0 = 4N+ 1, N= 0, 1, 2, . . . (11.1.31)czyli
= 1, 5, 9, . . . (11.1.32)
Kwantowanie energii wynika bezposrednio ze wzoru (11.1.10).Zajmijmy sie
teraz przypadkiem funkcji wlasnych nieparzystych. Postulujemy,
ze saone postaci
H() =+
k=0dk
2k+1. (11.1.33)
Pierwsza i druga pochodna wynoszaodpowiednio
H() =+k=0
(2k+ 1)dk2k, (11.1.34)
H() =+k=0
2k(2k+ 1)dk2k1. (11.1.35)
Podstawiamy to do rownania
+k=0
2k(2k+ 1)dk2k1 +
k=0
2(2k+ 1)dk2k+1 +
+k=0
( 1)dk2k+1 = 0,
skad
+k=0
2k(2k+ 1)dk2k1 +
+k=0
( 1 4k 2)dk2k+1 = 0. (11.1.36)
Analogicznie jak dla funkcji parzystych w pierwszej sumie przechodzimy z k do k +1
+
k=0 2k(2k+ 1)dk2k1
+
k=1 2(k+ 1)(2k+ 3)dk+12k+1
+k=0
2(k+ 1)(2k+ 3)dk+12k+1.
Stad mamy
+k=0
2(k+ 1)(2k+ 3)dk+12k+1 +
+k=0
( 1 4k 2)dk2k+1 = 0.
8/13/2019 Fizyka Kwantowa Dla Studentw
66/147
66 ROZDZIAL 11. LINIOWY OSCYLATOR HARMONICZNY
Po uporzadkowaniu wyrazenia i wcia
gnie
ciu wszystkich wyrazow pod wspolna
sume
mamy
+k=0
(2(k+ 1)(2k+ 3)dk+1+ ( 1 4k 2)dk)2k+1 = 0. (11.1.37)
Korzystajac z niezaleznosci liniowej funkcji 2k+1, mozemy napisac, ze
2(k+ 1)(2k+ 3)dk+1+ ( 4k 3)dk = 0, k= 0, 1, 2, . . . (11.1.38)ska
d
dk+1= 4k 3
2(k+ 1)(2k+ 3)dk. (11.1.39)
Korzystajac z tego, ze H() jest wielomianem skonczonego rze
du, urywam
Top Related