Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires
73.06 Vibraciones de Estructuras
H. Varas J. Loyza
A. C. Ibañez
Agosto 2001
73.06 Vibraciones de Estructuras
Ibañez / Loyza / Varas FIUBA 2001
V I B R A C I O N E S d e E S T R U C T U R A S
1º parte del problema Motores Equipos Auxiliares
• La generación (causas) Hélice Mar (olas)
Las vibraciones pueden clasificarse en perturbaciones: § Armónicas § Periódicas § Aleatorias
Un caso particular es el ruido. Para poder controlarlo hay toda clase de normativas.
Frecuencias Perturbadoras Modificación del diseño estructural. Fn≠Fpert Resonancia Frecuencias Naturales Creación de compensadores dinámicos Eliminación o Disminución de la importancia disminución de la intensidad de la fuente
de las perturbaciones Aislamiento de la fuente de Vibraciones
Las frecuencias que componen la perturbación dependen de donde se generen las mismas. Por ejemplo, para frecuencias perturbadoras, en cuanto a motores dependemos de los datos que nos
pueden facilitar los fabricantes y también de algunas tablas. En cuanto a las frecuencias naturales, el cálculo nos lleva a los miembros estructurales. Esto se realizará
mediante las fórmulas entregadas por los registros. A la comparación de la frecuencia perturbadora frente a la natural lo llamamos “estudio de la
resonancia”. Primero iremos de la estructura global para luego caer en los detalles.
2º Parte del Problema
¿Cómo reaccionan las estructuras? Consiste en el cálculo de las frecuencias naturales de los miembros estructurales.
• Vigas • Paneles y paneles reforzados • Viga buque (cálculo aproximado)
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Oscilador Simple
Se puede representar como un sistema Masa-Resorte
∑∑
⋅=
=
xmFx
Fy
&&
0
Con un resorte ideal,
xkFr ⋅−=
Estructuralmente, la constante del resorte k es la rigidez
mF
xmk
x
xkFxm
t
t
=⋅+
⋅−=⋅
&&
&&
Ecuación diferencial típica
Cuya solución se puede considerar como:
Solución de la Homogénea: 0=⋅+ xmk
x&& HX
Solución Particular: )( tfx = PX
Solución General: PHG XXX +=
La solución propuesta por Euler:
rtH
rtH
rtH
ercX
ercX
ecX
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅=
21
1
1
&&
&
Entonces: 02 =
+
mk
re rt
Ecuación Característica
022 =+ nwr donde mk
wn =2
Entonces la pulsación natural:
Y
X
Ft
Fr
x
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nn fmk
w ⋅⋅== π2 donde :nf frecuencia natural
Las soluciones de la ecuación característica:
nn jwwr ±=−±= 22,1
De acuerdo al teorema del Brownskiano, la solución de la homogénea es:
twjtwjH
trtrH
trH
trH
HHH
nn eCeCX
eCeCX
eCX
eCX
XXX
⋅⋅−⋅⋅
⋅⋅
⋅
⋅
⋅+⋅=
⋅+⋅=
⋅=
⋅=
+=
21
21
22
11
21
21
2
1
con:
αα
ααα
α
senje
senjej
j
⋅−=
⋅+=− cos
cos
Entonces: ( ) ( )
( ) ( ) tsenwCCjtwCCX
tsenwjtwCtsenwjtwCX
nnH
nnnnH
⋅−⋅+⋅+=⋅−+⋅+=
2121
21
cos
coscos
Se propone como solución
22
22
2
1
Bj
AC
Bj
AC
⋅+=
⋅−=
tsenwBjtwAX nnH ⋅⋅+⋅= cos Haciendo un cambio de coordenadas:
ϕϕ
cos⋅=⋅=
RB
senRA
A
B
R
ϕ
C1+C2=A
C1-C2=-j B
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( )
( )ϕϕϕ
+⋅=⋅+⋅⋅=
twsenRX
tsenwtwsenRX
nH
nnH coscos
Amplitud Fase ¿De qué depende la amplitud de la fase?
En un movimiento libre, la amplitud y la fase dependen de las condiciones iniciales. Como se verá en el dibujo, la amplitud R depende de la posición inicial del carrito y la fase depende de la
posición del carrito en el instante considerado como tiempo inicial. ( )ϕ+⋅= twsenRX nH
En el oscilador simple, el resultado de la Ecuación Característica (la raiz) es la Pulsación Natural
n
n
wjr
wjr
⋅−=⋅=
2
1 :nw Pulsación Natural
nn fw ⋅⋅= π2
:nf depende del sistema
n
n
wjr
wjr
⋅−=⋅=
2
1 :nw Pulsación Natural
nn fw ⋅⋅= π2
:nf depende del sistema
Dicho en otra forma, sin perturbación la frecuencia natural depende del sistema, o sea, de la rigidez y de la masa.
Sin perturbación oscila según sus frecuencias naturales.
Cantidad de Grados de Libertad
Frecuencias Naturales
1 1
2 2
∞ (Sistema continuo, una viga)
∞
Y
X
R
t
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Entonces las más importantes son las de menor orden porque provocan las mayores amplitudes a igual nivel de energía.
3
2
1
n
n
n
w
w
w
3
2
1
n
n
n
f
f
f
Sistema de 1 grado de libertad Oscilatorio Amortiguado Caso A Con Ft=0 (sin fuerza amortiguadora) Sub-amortiguado
Oscilaciones libres Amortiguadas Amortiguamiento Crítico Sobre-Amortiguamiento
Caso B Caso A más una fuerza (A+Ft≠0) δt Ft Ht Sinusoides
Esquemáticamente un amortiguador se representa como: Amortiguamiento Viscoso: x&
Amplitudes mayores a igual nivel de energía
Aceite h : espesor de la chapa
Superficie plana movil
fija x
y
δθ
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Distribución real de velocidades De la geometría de la figura se ve que:
y
txtg
δδδθ ⋅= &
En el caso de variaciones infinitesimales:
dyxd
dtd &=θ
Como el esfuerzo es:
tδθτ ∂∝
dyxd
dtd &
⋅−=⋅−= µθµτ hx
x&
& ⋅−≅∇⋅−= µµτ
Donde µ es la constante de proporcionalidad, se llama coeficiente de viscosidad y tiene unidades de Masa
sobre longitud y tiempo.
[ ] segmkg
⋅=µ
xhSup
F
hx
Sup
F
avis
avis
r
r
&
&
⋅⋅−=
⋅−==
µ
µτ
cos
cos
Con BhSup =⋅µ
Se puede asimilar al comportamiento de un resorte, donde: xkFresorte ⋅−=
Como curiosidad, veamos el amortiguador de un automóvil x&
Gas Nitrógeno a presión
v
fuerza
El amortiguador de auto tiene un B1 para bajada y un B2 para subida del émbolo. La prueba se hace en un Ciclador.
F
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Físicamente, amortiguar es disipar energía.
En el caso de grandes motores apoyados en una estructura, la pata tiene un resorte y un amortiguador hecho de alambre de acero inoxidable. El acero inoxidable es un material de gran capacidad de absorción de energía. Es muy resiliente.
En el amortiguamiento, se reduce tanto la AMPLITUD como la FRECUENCIA de la onda. La energía es función de la amplitud en forma directa y del cuadrado de la frecuencia.
xmFx &&⋅=∑ xmxBxkFt &&& ⋅=⋅−⋅−
mF
xmk
xmB
x t=⋅+⋅− &&&
En el Caso A, la homogénea:
02
0
2 =⋅+⋅⋅⋅+
=⋅+⋅+
xwxwx
xmk
xmB
x
nn &&&
&&&
ζ
Para resolver la ecuación diferencial, usaremos Laplace.
( ) sFt F=l o lo que es lo mismos ( ) st FF ¬
( )( ) ( )
( )( ) ( ){
}dteF
dteF
v
ts
u
tF
tstF
t
t
⋅−∞
′
⋅−∞
⋅′=
⋅=
∫
∫
0
0
l
l
Oscilación Libre
Oscilación Amortiguada
Y
X m
Ft
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Integrando por partes:
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) dteFseFdteF
dtesFeFdteF
dvuvuduv
tst
tst
tst
tst
tst
tst
⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅′
⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅′
⋅−⋅=⋅
⋅−∞
∞⋅−⋅−∞
⋅−∞
⋅−⋅−∞
∫∫
∫∫
∫ ∫
00
0
00
Considerando condiciones iniciales nulas:
( )( )
( )( ) {nulasCI
sF
sF
Fs
Fs
t
t
⋅′′
′
+⋅=
⋅=
KKl
l
2
Entonces:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 02
02
02
22
22
2
=+⋅⋅⋅+
=⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅
=⋅+⋅⋅⋅+
⋅4444 34444 21
&&&
ticaCaracterísEcuación
nns
snsns
nn
wswsx
xwxswxs
xwxwx
ζ
ζ
ζ
En la resolución se simplifica el hecho de que B sea función de la velocidad. Esta forma de escribirlo es
para adimensionalizar, para parametrizar. El parámetro ζ se llama factor de amortiguamiento. Interpretamos al sistema con 1 grado de libertad: lineales y de coeficientes constantes
Gs: Transferencia en condiciones iniciales nulas Cuando :
( )
( )( )( )
( ) xmxBxkF
xmF
FF
F
t
x
st
t
⋅=⋅−⋅−
⋅=
=
≠
∑&
&&
l
0
Transformando:
( )
( )2
2
2
2
1
2
nns
s
nns
s
ss
wswsm
Fx
wswsmxF
mk
smB
sxmF
+⋅⋅⋅+=
+⋅⋅⋅+⋅=
+⋅+⋅⋅=
ζ
ζ
Gs Fs Xs
Modificación del grado de libertad
Fuerza aplicada
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Donde Xs es la transformada de Xt y Fs es la transformada de Ft en condiciones iniciales cero. La transferencia es entonces:
( )22
1
nn wswsm
+⋅⋅⋅+ ζ
Para encontrarlo en las tablas matemáticas multiplico por k.
( )
( )2
2
2
2
2
nn
n
s
s
nns
s
wswsw
kFx
wswsm
k
Fxk
+⋅⋅⋅+=
+⋅⋅⋅+=
⋅
ζ
ζ
22 1
segwn =
kFx
s
s
Se ve entonces que es un adimensional. O sea, es una fórmula matemática adimensionalizada. 1° Caso: ( )ttF δ= Impulso unitario
2° Caso: ( )tt AF δ⋅= Impulso de módulo A
( ) ( )
+⋅⋅⋅+⋅
⋅=¬ −−
2
211
2 nn
nss wswsk
wFxx
ζll
1° Caso:
( ) ( )
+⋅⋅⋅+
⋅= −
2
21
2 nn
nt wsws
wk
Ax
ζδ
l con: ( ) 11 =− δl
( ) ( )
+⋅⋅⋅+
= −2
21
2 nn
nt wsws
wkA
xζ
l
Longitud Fuerza Fuerza/longitud
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( ) ( )ϕ+⋅⋅= twsenkA
x t
La amplitud depende del impulso
Impulso: mv∆
}0
if vmvmA ⋅−⋅=⋅δ
[ ] [ ] [ ]
⋅=
⋅⋅=⋅=⋅∫ t
lmt
tlmtFdtF
2
δ⋅=mA
v f
2° Caso Si ξ =2, entonces es sobreamortiguado 3° Caso Si ξ =1, entonces es crítico
Por CI nulas
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Viga a la flexión
Solución discreta
Parámetros Concentrados
La viga no tiene masa, solo rigidez
Agregando un amortiguador fícticio se considera la viga en el 1º modo con un grado de libertad.
Planteando el equilibrio
f t B x'. k x. m x''
f t
mx''
B
mx'. k
mx.
con k
mω n
2
ω n2f t
.
kx'' 2 ζ. ω n
. x'. ω n2x.
¿Cuanto vale la rígidez k del resorte?k
esfuerzo
deformación
P
f
fP l
3.
3 E. J.
3 representa condiciones de vínculo E el material J geometría de la sección l geometría de la barra
k3 E J.
l3l
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ω n2 k
m
3 E J.
m l3.
entonces la frecuencia natural f n1
2 π
3 E J.
m l3.
.
m es la masa del sistema, que en el caso de un buque está definido por:
+ masa debida a la estructura+ volumen de carena+ masa de agua adicional
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Vibraciones
Son funciones de la geometría de la pieza. Cuando la pieza es complicada es más difícil.
Al aumentar el modo, aumenta también el número de nodos. Un nodo es un punto que no se mueve. En el buque, tenemos la viga buque (viga libre)
Cálculo en los registros En algunas chapas de la zona del codaste se cálcula hasta el 5to modo.
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Ahora vamos a analizar un sistema de 2 grados de libertad sin rozamiento de torsión.
Primero vamos a analizar la rigidez a la torsión.
γτ ⋅= G
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PT WlRGM
K torsión En ⋅⋅==θ
donde TK es la rigidez a la torsión
PT JlGR
lGR
lRG
K ⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=22
43 ππ
∫ ∫⋅ ⋅=⋅⋅=∂⋅∂⋅=π ππϕ
2
0 0
443
242
R
P
RRrrJ
A mayor longitud se hace menor el KT. El momento de inercia polar es el que mejor describe la rigidez Existen programas como el NISAN, NASTRAN, ALGOR.
Vamos a ver un sistema de 2 masas rotantes. En la primer etapa se analizará el problema sin rozamiento. Análisis de giros.
γ
θ
θγ ⋅=⋅ R l
ϑ
ϑ
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( )∑ −⋅−⋅−=⋅= 21211111 1θθθθ KKMJM
ElásticoMomento
t 321&&
( )∑ −⋅−=⋅= 122222 2θθθ KMJM t
&&
Viendo los dos términos de K2 en ambas ecuaciones, vemos que se cumple el principio de acción y reacción, siempre y cuando no se considere la masa. Es decir que se considere despreciable. Los ejes no consumen inercia. Acá es donde se aplica el teorema de la derivada, y transformamos estas dos ecuaciones. El motivo es que vamos a poder operar algebraicamente.
Sacando factor común θ1S
Entonces las ecuaciones quedan como:
θ2
θ
θ 1
SSSSS MtKKKsJ 122121112
1 =⋅−⋅+⋅+⋅⋅ θθθθ
( ) SSS MtKKKsJ 122212
11 =⋅−++⋅⋅ θθ
( )SSSS KMtsJ 122222
2 θθθ −⋅−=⋅⋅
( ) SSS MtKsJK 222
2221 =+⋅⋅+⋅− θθ
=⋅+⋅=⋅+⋅
SSS
SSS
Mtaa
Mtaa
2222121
1212111
θθθθ
( )
( )22
2
2
2
212
1
:
KsJa
Ka
Ka
KKsJa
con
22
21
12
11
+⋅=
−=−=
++⋅=
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Se ve que es una matriz simétrica.
Entonces
Una situación especial se presenta cuando los momentos Mt1 y Mt2 son nulos, entonces me queda un sistema homogéneo, con lo cual nos quedaría la ecuación característica del sistema.
Vemos que las raíces son las frecuencias naturales.
Ejercicio Datos
Con estos datos :
2221
2111
aa
aa=∆
2221
2111
222
211
1
aa
aa
aMt
aMt
S
S
S =θ
2221
2111
221
111
2
aa
aa
Mta
Mta
S
S
S =θ
natural. pulsación wjsss ii ⋅−==== ......21
( )
===
1
10
2
1
t
MtMt
S
S
δh
=
⋅===
2
12
1
000.800
5,0
500 50
cmKgf
G
LL
mmLmmφ
=
=
≅=
mmKgf
K
mmKgf
K
mmJJ
1963520
981760
360.61
2
1
421
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Entonces
Las raíces del determinante dan las frecuencias naturales cuando se iguala a cero.
+⋅=
−=
−=
+⋅=
mmKgf
smma
mmKgf
a
mmKgf
a
mmKgf
smma
22
21
12
11
196352061360
1963520
1963520
274528061360
24
24
2
122411489
2221
2111 104,5109,21076,3
×+×+×==∆
mmKgf
smmsmmaa
aa
mmKgf
aMt
aMt
S
S 1963520222
2111 ==∆
mmKgf
smmMta
Mta
S
S 274528061360 24
212
1112 +⋅==∆
2
122411489
1
104,5109,21076,3
1963520
×+×+×
=
mmKgf
smmsmm
mmKgf
Sθ
2
122411489
24
2
104,5109,21076,3
274528061360
×+×+×
+⋅=
mmKgf
smmsmm
mmKgf
smm
Sθ
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Sistema de dos masas rotativas__________________________________________________________________
TOL 1011
__________________________________________________________________
φ 50 mm M t1 0 kN mm.
M t2 1000 kN mm.l 1 500 mm
l 2 0.5 l 1. mm
G 78.40kN
mm2
__________________________________________________________________
radio r
φ
2
Inercia Polar
J pπ r
4.
2J p 6.136 10
5=
Rígidez a la torsión
k t1G
l 1J p
. k t1 9.621 104=
k t2G
l 2J p
.k t2 1.924 10
5=
__________________________________________________________________
Definición de la matriz de solución
s x s x a 11 J p s x2. k t1 k t2s x a 12 k t2 B
M t1
M t2
a 21 k t2 a 22 J p s x2. k t2s x
Aa 11
a 21
a 12
a 22
a 11
a 22B
0
1 103
=
A
390625
2π. s x
2. 91875.0 π.
61250.0 π.
61250.0 π.
390625
2π. s x
2. 61250.0 π.
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solución al problema en función de Sx
A1B.
61250000.0
π152587890625
4s x
4. 29907226562.5 s x2. 1875781250.0.
1000195312.5 s x
2. 91875.
π 38146972656.25 s x4. 29907226562.5 s x
2. 1875781250...
Igualando el determinante de la matriz A a cero se obtiene la ecuación de compatibilidad, las raíces Sx de este polinomio serán las frecuencias naturales del sistema.
A152587890625
4π2. s x
4. 29907226562.5 π2. s x2. 1875781250.0 π2.
A collect s x, 38146972656.25 π2. s x4. 29907226562.5 π2. s x
2. 1875781250.0 π2.
pepe s x 38146972656.25 π2. s x4. 29907226562.5 π2. s x
2. 1875781250.0 π2.
create the coefficient vector
c4 38146972656.25 π2. c2 29907226562.5 π2. c0 1875781250.0 π2.
cT
1.851 1010
0 2.952 1011
0 3.765 1011=
and then call polyrootspolyroots
r polyroots c( )
r
0.846i
0.846i
0.262i
0.262i
=
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73.06 Vibraciones de Estructuras
Método de Rayleigh o Teorema de la Energía Mecánica
Ejemplo del ResorteEjemplo del Resorte Resorte considerado sin masa o con magnitud despreciable frente a la masa del móvil.
Se consideran PARÁMETROS CONCENTRADOS
T Energía Cínetica
V Energía Potencial
T V Cte
T1
2m δX( )
2.
V0
XxFd
0
Xxkxd k
X2
2.
Suponemos que no existe rozamiento ζ 0 µ 0
Luego no existen Pérdidas, por lo tanto el trabajo es conservativo y se puede asegurar: T V Cte
1
2m δX( )
2. kX
2
2. EM Total La energía mecánica total
Si δX 0 T es mínima y V máxima
V máx EM total 1.1
Cuando X 0 T es máxima y V es mínima
T máx EM total 1.2
Si ahora suponemos
X Χ sen ω t.( ).
δX ω Χ. cos ω t.( ).
δ2X ω2 Χ. sen ω t.( ).
entonces
cuando sen ω t.( ) 1 X máx t( ) Χ
cos ω t.( ) 1 δX máx t( ) ωΧ
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de 1.1 y 1.2 se tiene V máx T máx
V máx1
2k. Χ2. 1
2m. ω2. Χ2. T máx
simplificando se tiene
ω2 k
mPulsaciónPulsación NaturalNatural para un resorte de masa despreciable (frente a m) y sin rozamiento.
Se considera ahora la masa del resorte.
Se consideran PARÁMETROS DISTRIBUIDOS
La FORMA DE MODO, es decir la ley de deformación se considerará lineal
La energía cinética para la masa M es:
T M1
2M. δX t
2. y la máxima T M.máx1
2M. ω2. Χ2.
Si ahora analizamos el resorte
el diferencial de masa del resorte tiene en cuenta su longitud
T resorte0
lT resorte1d
dm resorteM r
ldc.
masa por unidad de longitud
conM r
lλ
dT resorte1
2dm resorte
. δX c2. 1
2dm resorte
. c2
l2
. δX2.
X c
X
c
lEs una función de c, la posición.
Es la coordenada interna del miembro elástico alrededor del cual se describe la deformación al vibrar.
X cc
lX.
χc
lδX cc
lδX.
Se le llama Forma de Modo
Fracción Modal en este caso particular
T resorte Td
l
m resorte1
2
c2
l2
. δX2. d
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resorte
0
resorte2 l2
T resorte
0
l
c1
2
M r
l3
. δX. c2. d T resorte
1
2
M r
3. X
2.
T resorte.máx1
2
M r
3. ω2. Χ2
como V máx T máx
1
2k. Χ2. 1
2M. ω2. Χ2. 1
2
M r
3. ω2. Χ2
simplificando se llega a la expresión de la frecuencia natural
ω2 k
MM r
3
MM r
3masa equivalente
EjercicioConsideramos la elástica de una viga empotrada con una fuerza concentrada en el extremo para el análisis del problema.
Se necesita una ecuación tal que cumpla con las siguientes condiciones de borde esenciales.
y c 0( ) 0
y c l( ) y máx Y Y y máxy máx
y' c 0( ) 0
Proponemos la siguiente ecuación y c c( ) 1 cosc
l
π
2. y máx
.
y c 0( ) 0
Cumple con las condiciones de bordey c l( ) y máx
cy c 0( )
d
d0
Definimos la forma de modo χy c c( )
Y
y c c( )y c cχ 1 cos
1
2
c
l. π.
y máx
Y.
Y y máx
se define el diferencial de masadm viga λ dc.λ dcλ
M v
l
M v
l
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T viga
0
l
c1
2λ. χ2. δY2. d
l
λ χ δY T viga1
43 π. 8( ). M v
. y máx2. δY2
π Y2.
.
Cuando la energía cinética del resorte sea máxima
con δY ω Χ.ω Χ T viga.máx1
43 π. 8( ). M v
. δY2
π.M vδY
T viga.máx3
4π. 2 M v
. ω2. Χ2
π.
como V máx T máx
EM1
2k. Χ2. 1
2M. ω2. Χ2. T viga.máxk Χ M ω Χ T viga.máx
simplificando1
2Χ2.
EM
1
2Χ2.
solve ω2, 2 k.π
2 M. π. 3 M v. π. 8 M v
..
el desplazamiento máx en el extremoy máx
P l3.
3 E i J..
P viga l3.
8 E i J.
P l
E i
P viga l
E i
y máx collect l, J, E i,
1
3P.
1
8P viga
.
E i J. l
3.
kP P viga
y máx
P P viga
y máxk collect l, E i, J,
P P viga
1
3P.
1
8P viga
.J.E i
l3
.
Frecuencia natural para el caso de la viga con una fuerza concentrada en el extremo
ω 2 k.π
3 π. 8( ) M v. 2 M. π.
.kM v M
ω2collect J, l, E i, M v, 2
P P viga
1
3P.
1
8P viga
.
. π
3 π. 8( ) M v. 2 M. π.
.E i
l3
. J.
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73.06 Vibraciones de Estructuras
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Método de Rayleigh También llamado teorema de la Energía Mecánica. En primer lugar vamos a tratar un ejemplo en el cual tenemos un resorte unido a una masa, con y sin masa del resorte. PARAMETROS CONCENTRADOS.
T + V = cte Siendo “T” la Energía Cinética, y “V” la energía Potencial.
( )2
21
2
00
2
xkdxxkdxFV
xmT
xx
⋅=⋅⋅−=⋅−=
⋅⋅=
∫∫
•
En principio vamos a suponer que ξ = 0, y el coeficiente de rozamiento µ = 0, es decir estamos en el caso que no hay pérdidas, entonces el campo es conservativo, entonces T + V = cte.
TOTALEMx
kxm ∆=⋅+⋅⋅•
221 22
Cuando 0=•x entonces T es mínima y V es máxima. Es decir que:
TOTALMAX EMV ∆= Cuando 0=x entonces T es máxima y V es mínima. Es decir que:
TOTALMAX EMT ∆= Supongamos:
( )
( )( )twsenXwx
twXwx
twsenXx
⋅⋅⋅−=
⋅⋅⋅=
⋅⋅=
••
•
2
cos
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Cuando ( ) 1sen =⋅ tw entonces ( ) Xx MAXt = y cuando ( ) 1cos =⋅ tw entonces ( ) Xwx MAXt ⋅=•
. Con lo cual VMAX = TMAX.
MAXMAX TXwmXkV =⋅⋅⋅=⋅⋅= 222
21
21
simplificando 2
21
X⋅
2wmk ⋅= luego despejando “w”, pulsación natural, se obtiene:
mk
w =2
Todo este cálculo se basó en que no había rozamiento y que la masa del resorte era muy chica comparada con la masa en el extremo, por eso se despreció. PARAMETROS DISTRIBUIDOS.
Ahora si se tendrá en cuenta la masa del resorte. La forma de Modo será función de la ley de deformación lineal. La Energía Cinética máxima de la carga concentrada será la misma que la de antes, la única diferencia es que la energía cinética del resorte no será cero, ya que ahora no despreciamos la masa. La Energía mecánica será la misma que la calculada antes.
∫=l
RESRES dTT0
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longitud de unidad por masa: siendo
dcl
Mdm RES
RES
λλ
⋅=321
Por igualdad triangular.
xxlc
xlx
cx
CCC ⋅=⋅=⇒= χ
lc
C =χ
Esta variable es función de “c”. Es la coordenada interna del miembro elástico alrededor de la cual describo la deformación al vibrar. Forma de Modo. En este caso “c / l” es la fracción modal.
dcxlc
l
Mx
lc
dmxdmdT RESRESCRESRES ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=
••• 2
2
22
2
22
21
21
21
∫ ∫∫ ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==••l l
RESRES
l
RESRES dcxlc
Mxlc
dmdTT0 0
2
3
22
2
2
0 21
21
Con lo cual
321
2•⋅
⋅=xM
T RESRES
Y la Energía Cinética del resorte máxima será:
22
321
XwM
T RESRES ⋅⋅⋅=
Ahora volviendo a calcular la TOTALEM∆
MAXMAXTOTAL VTEM ==∆
22222
321
21
21
xwM
xwmxk RES ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅
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simplificando 2
21
x⋅
2
3w
Mmk RES ⋅
+=
luego despejando “w”, pulsación natural, se obtiene:
eequivalent masa la:3
3
2
+
+
=
RES
RES
Mmsiendo
Mm
kw
Vamos a considerar ahora otro ejemplo, el de una viga empotrada con una masa en el extremo. Al igual que antes no se considerará el rozamiento. Primero se efectuarán los cálculos para una masa “m” muy grande con respecto a la masa de la viga, con lo cual podremos despreciar la masa de la viga “MV”. PARAMETROS CONCENTRADOS.
T + V = cte Siendo “T” la Energía Cinética, y “V” la energía Potencial.
( )2
21
2
00
2
ykdyykdyFV
ymT
yy
⋅=⋅⋅−=⋅−=
⋅⋅=
∫∫
•
En principio vamos a suponer que ξ = 0, con lo cual el coeficiente de rozamiento µ = 0, es decir estamos en el caso que no hay pérdidas, entonces el campo es conservativo, entonces T + V = cte.
TOTALEMy
kym ∆=⋅=⋅⋅•
221 22
Cuando 0=•y entonces T es mínima y V es máxima. Es decir que:
TOTALMAX EMV ∆= Cuando 0=y entonces T es máxima y V es mínima. Es decir que:
TOTALMAX EMT ∆=
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Supongamos:
( )( )
( )twYwy
twYwy
twYy
⋅⋅⋅−=
⋅⋅⋅=
⋅⋅=
••
•
sen
cos
sen
2
Cuando ( ) 1sen =⋅ tw entonces ( ) Yx MAXt = y cuando ( ) 1cos =⋅ tw entonces ( ) Ywx MAXt ⋅=•
. Con lo cual VMAX = TMAX.
MAXMAX TYwmYkV =⋅⋅⋅=⋅⋅= 222
21
21
simplificando 2
21
y⋅
2wmk ⋅= y sabiendo que el desplazamiento máximo es
JElP
Y⋅⋅
⋅=3
3
entonces
33
3
3l
JE
JElP
PY
Pk
MAX
⋅⋅=
⋅⋅⋅
==
luego despejando “w”, pulsación natural, se obtiene:
mlJE
w13
3
2 ⋅⋅⋅=
Todo este cálculo se basó en que no había rozamiento y que la masa de la viga era muy chica comparada con la masa en el extremo, por eso se despreció. PARAMETROS DISTRIBUIDOS.
Alternativa 1, aproximando la geometría de la deformación
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Ahora si se tendrá en cuenta la masa de la viga para el cálculo. Además se aplicará el principio de superposición para el cálculo de la flecha, y se cambiará la ecuación de la elástica por otra función parecida. La Energía Cinética máxima de la carga concentrada será la misma que la de antes, la única diferencia es que la energía cinética de la viga no será
cero, ya que ahora no despreciamos la masa. La Energía mecánica será la misma que la calculada antes.
∫=l
VIGAVIGA dTT0
dcl
Mdm VIGA
VIGA ⋅=321
λ
Se necesita una fórmula en la cual, para
viga. la de extremo el en flecha la a ientecorrespond valor el seríaque Yyy ly
nto.empotramie el en flecha la a ientecorrespond valor el seríaque y y
MAXC
C
==→==→= 00
Se propone la función, ( )αcos1− , entonces
YYlc
y CC ⋅=⋅
⋅−= χπ
2cos1
⋅−=
2cos1
πχlc
C
Entonces
dcYlc
l
MY
lc
dmYdmdT VIGAVIGACVIGAVIGA ⋅⋅
⋅−⋅⋅=⋅
⋅−⋅⋅=⋅=
••• 22222
2cos1
21
2cos1
21
21 ππ
∫∫∫ ⋅⋅
⋅−⋅⋅=⋅
⋅−⋅⋅==
•• lVIGA
l
VIGA
l
VIGAVIGA dcYlc
lM
Ylc
dmdTT0
22
0
22
0 2cos1
21
2cos1
21 ππ
∫∫ ⋅
⋅+
⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅
⋅−⋅⋅⋅=
•• lVIGA
lVIGA
VIGA dclc
lc
Yl
Mdc
lc
Yl
MT
0
22
0
22
2cos
2cos21
21
2cos1
21 πππ
( )
⋅⋅++
⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=
•
ll
lVIGAVIGA
lclc
lcl
cYl
MT
00
0
2
2
sen
22sen
22
21 π
ππ
π
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22 423
21
24
21 ••
⋅⋅
−⋅=
+⋅−⋅⋅⋅= YM
lllY
l
MT VIGA
VIGAVIGA ππ
Con lo cual
2423
21 •
⋅⋅
−⋅= YMT VIGAVIGA π
Y la Energía Cinética del resorte máxima será:
22423
21
YwMT VIGAVIGA ⋅⋅⋅
−⋅=
π
Ahora volviendo a calcular la TOTALEM∆
MAXMAXTOTAL VTEM ==∆
22222 423
21
21
21
YwMYwmYk VIGA ⋅⋅⋅
−⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅
π
simplificando 2
21
Y⋅
( ) 22 22676,04
23
wMmwMmk VIGAVIGA ⋅⋅+=⋅
⋅
−+=
π
luego despejando “w”, pulsación natural, se obtiene:
( )( ) eequivalent masa laMmsiendo
Mmk
w
VIGA
VIGA
:22676,0
22676,02
⋅+⋅+
=
pero la rigidez “k” no es la de antes y sabiendo que el desplazamiento máximo es
JElPP
JE
lP
JElP
Y VIGAVIGA
⋅⋅
+=
⋅⋅⋅
+⋅⋅
⋅=333
8383
entonces
( )( ) 33
2438
83l
JEPP
PP
JElPP
PPY
PPk
VIGA
VIGA
VIGA
VIGA
MAX
VIGA ⋅⋅⋅+⋅
+=
⋅⋅
+
+=
+=
luego despejando “w”, pulsación natural, se obtiene:
( )( ) ml
JEPP
PPw
VIGA
VIGA 12438 3
2 ⋅⋅⋅⋅+⋅
+=
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Alternativa 2, utilizando la ecuación de la elástica: Ecuación de la flecha para una viga empotrada con carga distribuida:
( )4322 4624 cccc xxlxl
IEq
y +⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅
−=
( )3236 ccc xxl
IEq
y −⋅⋅⋅⋅⋅
−=
i).- Análisis de la viga Cuando:
( ) ( )44 3324
00
lAlIE
qYlx
Yx
c
c
⋅⋅=⋅⋅⋅⋅
−=⇒=
=⇒=
( )( )4
4322
3
46
lA
xxlxlA
Y
y
x
x ccccc
⋅⋅/+⋅⋅−⋅⋅⋅/
==
YYxx
y cc
c ⋅ℵ⇒⋅=
donde ( )
( )4
4322
3
46
l
xxlxl cccc ⋅
+⋅⋅−⋅⋅=ℵ
Entonces
( )( ) dxY
lxxlxl
lM
dxYl
MYdMdT cccv
cv
vviga ⋅⋅
⋅
+⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=⋅⋅ℵ⋅⋅=⋅⋅= 2
2
4
4322222
346
21
21
21 &&&
( )( ) dxY
lxlxlxlxlx
lM
dT cccccvviga ⋅
⋅
⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅= 2
8
44536278
9362448
21 &
dxxlxlxlxlxYl
MdTT
l
cccccvl
vigaviga ⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅
⋅== ∫∫ 0
445362782
90362448
921 &
92
9
0
546372892
9 315908
921
536
624
74
88
9921 lY
lMxlxlxlxlx
Yl
MT v
l
cccccvviga ⋅⋅⋅
⋅⋅=
⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅
⋅= &&
22
2835908
21 YwMT vviga ⋅⋅⋅⋅=
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ii).- Análisis de la carga Cuando:
( ) ( )33 226
00
lAlIE
qYlx
Yx
c
c
⋅⋅=⋅⋅⋅⋅
−=⇒=
=⇒=
( )( )3
32
2
3
lA
xxlA
Y
y
x
x cccc
⋅⋅/−⋅⋅⋅/
==
YYxx
y cc
c ⋅ℵ⇒⋅=
donde 3
32
2
3
l
xxl ccc ⋅
−⋅⋅=ℵ
Entonces 1=ℵl
22
21 YwmTM ⋅⋅⋅=
De acuerdo al Teorema de Raleigh
22222
21
21
2835908
21 YKYwmYwM v ⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅
Simplificando 2
21 Y⋅
22
2835908
wMwmK v ⋅+⋅=
2
2835908
wMmK v ⋅
⋅+=
luego despegando “w”, pulsación natural, se obtiene:
( )vMmK
w⋅+
=32028,0
2
siendo ( )vMm ⋅+ 32028,0 : la masa equivalente. La discusión sobre el valor de la constante de rigidez es igual que en la alternativa 1. Dividiendo en décimos la luz de viga, podemos establecer la siguiente comparación entre el χc aproximado y el χc calculado a partir de la elástica.
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COMPARACIÓN ENTRE LA APROXIMACIÓN Y LA ESLÁSTICA
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Decimas de Luz de Viga
Xc Aprox
Elastica
Dos grados de libertad
)( 1222222 xxkfxmf −⋅−=⋅=∑ &&
)( 212111111 xxkxkfxmf −⋅−⋅−=⋅=∑ &&
Si sacamos las transformadas.
SSSS fxkxkxsm 2122222
2 =⋅−⋅+⋅⋅ &&
SSSSS fxkxkxkxsm 122121112
1 =⋅−⋅+⋅+⋅⋅ &&
Esto es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de la forma:
1212111 fxaxa =⋅+⋅
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2222121 fxaxa =⋅+⋅ El cual se puede resolver por cualquier método, por ejemplo Cramer. Los problemas en cuales tenemos masas girando se resuelven de la misma manera. Donde antes teníamos masa ahora tenemos inercia, donde antes teníamos fuerza, ahora tenemos momentos y donde antes era aceleración ahora es aceleración angular.
∑ ⋅= 222 θ&&JM
∑ ⋅= 111 θ&&JM
Este se resolverá igual que antes y también tendremos que resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Amplificación o respuesta en frecuencia
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xBxkfxmf tX &&& ⋅−⋅−=⋅=∑
Transformando por Laplace.
SSSSS xsmxBxkf ⋅⋅=⋅−⋅− 2 Entonces
{ ksbsmfx
FUERZALADE
POSICIONLADE
CIATRANSFEREN
S
S
+⋅+⋅= 2
1
En realidad muchas veces lo vamos a ver de esta manera.
mksm
Bsm
fx
S
S
+⋅+=
2
1 con {
SISTEMADEL
NATURALFRECUENCIA
nwmk 2=
y llamaremos nwmB ⋅⋅= ς2
siendo B el coeficiente de amortiguamiento, y ζ el factor de amortiguamiento.
Para dimensionar la transferencia en vez de comparar longitudes con fuerzas.
En un resorte la constante del resorte es xFk = .
Si definimos a ( )twff t ⋅⋅= sen0 siendo w la pulsación de la perturbación.
y ESTxkf
=0 es lo que se desplazaria la masa si le aplico una fuerza pico.
ESTx no es el maximo. entonces queda adimensionado
mksm
Bsm
k
kfx
S
S
+⋅+=
2
Gwsws
w
kfx
nn
n
S
S =+⋅⋅⋅+
=22
2
2 ς
Segundo orden
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Desfasaje.
amplitud. la deón Modificaci 2 fenómenos
ϕ en atraso.
Transferencia sinusoidal
wj
GGs wj
⋅+↓
→ ⋅
σ
)(
Se usa cuando las entradas y las salidas son sinusoidales.
Nos vamos a limitar al régimen permanente, es decir no consideramos el transitorio.
Tengo un sistema y le aplico una señal sinusoidal. Después 4 o 5 τ estamos en régimen permanente.
siendo nw⋅
=ς
τ 1
ϕ
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Propiedades de la transferencia sinusoidal
( )
{
ONAMPLFICACIDE
ECOEFICIENT
GDE
MODULO
wj xy
G
wj
µ==
⋅
⋅321
)(
El módulo es la relación de Amplitudes. El ángulo de ( )wjG ⋅ es el desfasaje.
( )ϕρ ⋅
⋅ ⋅= iwj eG
Ejemplo:
4 2
πϕρ ==
42π⋅
⋅=j
ez
42
4
2π
πϕ⋅−⋅=
−=
=j
ezz
( )
( )ϕ
ϕ
ρ
ρ⋅−
⋅−
⋅⋅
⋅=
⋅=i
wj
iwj
eG
eG
Ecuación de segundo grado.
)()( 21 ssssN
G+⋅+
=
21 ss ≠ raices de la ecuación característica.
22
2
2 nn
n
wsws
wG
+⋅⋅⋅+=
ς
21; ss complejos conjugados.
( )1ssN
G+
=
21 ss = raices coincidentes.
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Transferencia Sinusoidal
X sX w.
s2
w22 2
X w
wSinusoidal
Amplitud X
Entradax t X sen w t.( ).X sen
Amplitud Y
SalidaPropiedades
El módulo de G(jw) es la relación de amplitudes
G jw( )Y
XG jw( )
Y
X
Y
Xµ
Y
Xµ Coeficiente de amplificación
El ángulo del complejo es el desfasaje
G jw( ) ρ eiϕ.ρ iϕ
G jw( ) ρ eiϕ.jw
Y s( ) G s( ) X s( ).G s( )G
Y s( )k s z 1
. s z 2. ....
s s 1 s s 2 .....X w.
s2
w2
.....k z 1 z 2
s2
w2
s j w.( ) s jw( ).s wj w
Y s( )A
s s 1
B
s s 2
C
s s 3.....
M
s j w.( )
M
s j w.( ).....
s 1
B
s 2 s 3
A
s s 1
B
s s 2
C
s s 3tiende a cero cuando t tiende al infinito
Y s( )M
s j w.M
s j w.( )G s( ) X s( ).M
j w
M
j wX M
s j w.M
s j w.( )G s( )
X w.
s2
w2
.
Para determinar M y M multiplicamos por s2
w2
M s j w.( ). M s j w.( ). G s( ) X. w.
Evaluando en s=jw
M jw j w.( ). G jw( ) X. w. MG jw( ) X. w.
2 jw.G jw( )G jw
G jw( ) es la transferencia sinusoidal
G jw( ) G jw( ) ej G jw( ).. j
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Evaluando en s=-jw
M jw j w.( ). G jw( ) X. w. MG jw( ) X. w.
2 jw.jw X w
jwG jw( ) es la transferencia sinusoidal
G jw( ) G jw( ) ej G jw( )..jw
y tG jw( ) X.
2 j.ej ϕ.
s jw
ej ϕ.
s jw.G jw( )G jw
G jw( ) ϕϕ
y t G jw( ) X.ej wt.
ej ϕ.. e
j wt.e
j ϕ..
2 j..jw X
j wt j ϕ j wt j ϕ
j
ej ϕ.
ej ϕ.
2 j.sen α( )sen
y t G jw( ) X. sen w t. ϕ( ).G jw( )G jw
x t X sen w t.( ).X sen
G jw( ) X. YG jw( ) X. Y ϕ desfasajedesfasaje
Y
XG jw( )
Y
Xjw
m masak rigidezc amortiguamientof(t) fuerza
x t X sen w t.( ).X sen
X s
F s( )
k
w n2
s2
2 ξ. w n. s. w n
2Gs
2s
w n
ξ w n
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F t F o sen wt( ).F o sen F s( )F 0 w.
s2
w2
F 0 w
w
X est
Deformación del miembro elástico.
Se aplicará la fuerza pico en forma estática
F s( )
k
F 0
k
w
s2
w2
.2 2
F 0
k
w
w
F 0
kX est
F 0
kX est
µX
x est
X
x estamplificación
reemplazando s j w.j w
G j w.( )w n
2
w2
j 2. ξ. w n. w. w n
2j w.
multíplico por el conjugado y aplico el módulo
G j w.( )w n
2w n
2w
2j 2. w n
. w..
w n2
w2
j 2. ξ. w n. w. w n
2w
2j 2. ξ. w n
. w.j w.
G j w.( )w n
2w n
2w
2j 2. w n
. w..
w n2
w2 2
4 ξ2. w n2. w
2.j w.
G j w.( ) µ1
1w
2
w n2
2
4 ξ2. w2
w n2
.
X
x est
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Para hallar los máximos
w
w nv
w
w nv µ
1
1 v2 2
4 ξ2. v2.v ξ v
vµd
d
1
2 1 2 v2. v
44 ξ2. v
2.
3
2.
4 v. 4 v3. 8 ξ2. v..
igualando a cero se tiene una raiz en v=0, el origen (ver figura)
queda además otro polinomio, cuyas raices se muestran
given
1 v2
2 ξ20
find v( ) 1 2 ξ2. 1 2 ξ2.
given
1 2 ξ2. 0
find ξ( )1
22. 1
22.
si ξ1
22.> entonces las raíces de v serán números complejos, ya que
serán raíces de números negativos
Ibañez / Loyza / Varas FIUBA 2001
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