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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Factores que inciden en la media y la variabilidadde los puntajes en las pruebas de Saber 11
Luis Adrian Quintero Sarmiento
Icfes - Subdirección de Estadísticas
Seminario Internacional 2019, Noviembre 7
Modelamiento de la media y variabilidad en Saber 11 Seminario Internacional 2019, Bogotá
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Contenido
1 Saber 11
2 Regresión multivariada
3 Regresión con efectos aleatorios
4 Modelamiento de varianza
5 Estimación Bayesiana
6 Conclusiones
Modelamiento de la media y variabilidad en Saber 11 Seminario Internacional 2019, Bogotá
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Prueba Saber 11
Es una prueba estandarizada para estudiantes terminando educaciónmedia
523,084 estudiantes evaluados en 5 pruebas para 2018:→ Matemáticas → Sociales y ciudadanas→ Lectura crítica → Ciencias naturales→ Inglés
¿Cuáles factores inciden en el desempeño de los estudiantes?→ Edad → Género→ Sector → INSE
Modelamiento de la media y variabilidad en Saber 11 Seminario Internacional 2019, Bogotá
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Distribución de puntajes: Tunja - 2169 estudiantes
LC
Fre
cuen
cia
30 40 50 60 70 80
010
020
030
040
0
MA
Fre
cuen
cia
20 40 60 80 100
010
020
030
040
0
CN
Fre
cuen
cia
40 60 80 100
010
020
030
0
Puntajes en lectura crítica, matemáticas y ciencias naturales.
Modelamiento de la media y variabilidad en Saber 11 Seminario Internacional 2019, Bogotá
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Contenido
1 Saber 11
2 Regresión multivariada
3 Regresión con efectos aleatorios
4 Modelamiento de varianza
5 Estimación Bayesiana
6 Conclusiones
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Regresión multivariada
Se ajustó el siguiente modelo:
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣LCijMAijCNij
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣β01β02β03
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ +⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣β11 β12 β13 β14β21 β22 β23 β24β31 β32 β33 β34
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
EdadijGeneroijSectoriINSEij
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ +⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣εij1εij2εij3
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦para i = 1, . . . , 40 y j = 1, . . . , nj.[εij1, εij2, εij2]′ ∼ N3(0,Σ)La matriz de covarianza para la respuesta Yij = (LCij,MAij,CNij)′ es
Var(Yij) = Σ
Modelamiento de la media y variabilidad en Saber 11 Seminario Internacional 2019, Bogotá
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Resultados β’s
−4 −2 0 2 4 6
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●Privado−CN
Privado−MA
Privado−LC
INSE−CN
INSE−MA
INSE−LC
Hombre−CN
Hombre−MA
Hombre−LC
Edad−CN
Edad−MA
Edad−LC
Intervalo de confianza del 95% para los parámetros de regresión.
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Este modelo ...
Asume independencia para todas las observaciones
Normalmente hay correlación entre los estudiantes de la mismainstitución
Se debe tener en cuenta esta correlación
Modelos jerárquicos/Modelos con efectos aleatorios/Modelos mixtos
Modelamiento de la media y variabilidad en Saber 11 Seminario Internacional 2019, Bogotá
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Contenido
1 Saber 11
2 Regresión multivariada
3 Regresión con efectos aleatorios
4 Modelamiento de varianza
5 Estimación Bayesiana
6 Conclusiones
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Modelo con intercepto aleatorio
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0 20 40 60 80
020
4060
8010
0
INSE
Pun
taje
Representación de modelo con intercepto aleatorio.
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Regresión multivariada con efectos aleatorios
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣LCijMAijCNij
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣β01β02β03
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ +⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣Ci1Ci2Ci3
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ +⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣β11 β12 β13 β14β21 β22 β23 β24β31 β32 β33 β34
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
EdadijGeneroijSectoriINSCij
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ +⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣εij1εij2εij3
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Se asume [Ci1,Ci2,Ci3]′ ∼ N3(0,Σc).Cor(LCij, LCik) = σ
(1,1)c /(σ(1,1) + σ
(1,1)c )
La matriz de covarianza para la respuesta Yij = (LCij,MAij,CNij)′ es
Var(Yij) = Σ +Σc
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Comparación de estimaciones: β’s
−4 −2 0 2 4
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Edad−LC
Edad−MA
Edad−CN
Hombre−LC
Hombre−MA
Hombre−CN
INSE−LC
INSE−MA
INSE−CN
Privado−LC
Privado−MA
Privado−CN
Línea punteada: modelo sin efectos aleatorios, línea sólida: modelo mixto.
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Análisis de residuales: Matemáticas
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Modelamiento de la media y variabilidad en Saber 11 Seminario Internacional 2019, Bogotá
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Análisis de residuales
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5060
7080
90
Varianza
Edad
LCMACN
Varianza de los residuales en función de los grupos de edad.
Modelamiento de la media y variabilidad en Saber 11 Seminario Internacional 2019, Bogotá
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Contenido
1 Saber 11
2 Regresión multivariada
3 Regresión con efectos aleatorios
4 Modelamiento de varianza
5 Estimación Bayesiana
6 Conclusiones
Modelamiento de la media y variabilidad en Saber 11 Seminario Internacional 2019, Bogotá
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Modelo de regresión para la varianza
Para una respuesta multivariada Yi ∈ Rp y un vector de covariables xi ∈Rq, el modelo propuesto por Hoff & Niu (2012) es
Yi = βxi + γiFxi + εi, i = 1, . . . , n,
donde γi ∼ N (0, 1) y el error εi ∼ Np(0,Σ) son independientes. F es unamatriz de cargas factoriales de tamaño p × q.
La matriz de varianza para Yi es
Var(Yij) = Σ + FxixTi FT
Modelamiento de la media y variabilidad en Saber 11 Seminario Internacional 2019, Bogotá
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Ejemplo: Y = (Y1,Y2)T y una covariable
Yi = βxi + γiFxi + εi
F = (1 −22 −3) x = (1
x)−2 −1 0 1 2
−5
05
10
Variance−Covariance
x
σ12
σ22
σ12
Modelamiento de la media y variabilidad en Saber 11 Seminario Internacional 2019, Bogotá
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Modelo para Saber 11
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣LCijMAijCNij
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣β01β02β03
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦+⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣β11 β12 β13 β14β21 β22 β23 β24β31 β32 β33 β34
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
EdadijGeneroijSectoriINSCij
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ +⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣εij1εij2εij3
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ +⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣Ci1Ci2Ci3
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦+ γij
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f11 f12 f13 f14f21 f22 f23 f24f31 f32 f33 f34
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
EdadijGeneroijSectoriINSCij
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦[εij1, εij2, εij2]′ ∼ N3(0,Σ)[Ci1,Ci2,Ci3]′ ∼ N3(0,Σc)γij ∼ N (0, 1)
Modelamiento de la media y variabilidad en Saber 11 Seminario Internacional 2019, Bogotá
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Contenido
1 Saber 11
2 Regresión multivariada
3 Regresión con efectos aleatorios
4 Modelamiento de varianza
5 Estimación Bayesiana
6 Conclusiones
Modelamiento de la media y variabilidad en Saber 11 Seminario Internacional 2019, Bogotá
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Estimación Bayesiana
Yij = βxij + Ci + γijFxij + εij
Inferencia para vector de parámetros θ = (β,F,Σ,Σc)Conclusiones dado los datos observados, distribución a posteriori
p(θ∣y) = p(θ)p(y∣θ)p(y)
p(θ) es la distribución a priorip(y∣θ) es la verosimilitudp(y) es una constante de normalización
Modelamiento de la media y variabilidad en Saber 11 Seminario Internacional 2019, Bogotá
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Estimación Bayesiana
Yij = βxij + Ci + γijFxij + εij
A prioris vagasβ’s, f’s ∼ N (0, 106)Σ,Σc ∼ IW(diag(0.1), 3)
La función de verosimilitud es
Yij ∼ N3(βxij + Ci + γijFxij,Σ)Inferencias basadas en
p(θ∣y) = p(θ)p(y∣θ)p(y)
Modelamiento de la media y variabilidad en Saber 11 Seminario Internacional 2019, Bogotá
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Saber 11 Regresión multivariada Regresión con efectos aleatorios Modelamiento de varianza Estimación Bayesiana Conclusiones
Muestreador de Gibbs
Dada una posición inicial θ0 = (θ01, θ
02, . . . , θ
0d), el método muestrea de
las distribuciones condicionales en la iteración (k + 1) en d pasos:Muestra θ
(k+1)1 de p(θ1∣θk
2, θk3, . . . , θ
kd, y)
Muestra θ(k+1)2 de p(θ2∣θ(k+1)
1 , θk3, . . . , θ
kd, y)
⋮
Muestra θ(k+1)d de p(θd∣θ(k+1)
1 , θ(k+1)2 , . . . , θ
(k+1)(d−1), y)Se genera secuencia θ
1,θ
2, . . . ,θ
n de la distribución a posteriori p(θ∣y).Software: JAGS, WinBugs, Stan, R
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Traceplots JAGS: 10000 burn-in, 10000 muestra
10000 14000 18000
1.5
2.0
2.5
3.0
beta.inse[LC]
Iterations
10000 14000 18000
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
f.edad[MA]
Iterations
10000 14000 18000
5560
65
sigma2[CN]
Iterations
10000 14000 18000
2040
6080
sigma2.e[CN]
Iterations
Muestra posterior para 4 de los parámetros en el modelo.
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Distribución posterior
beta.inse[LC]
Fre
quen
cy
1.5 2.0 2.5 3.0
010
030
050
0
f.edad[MA]
Fre
quen
cy
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
010
030
050
0
sigma2[CN]
Fre
quen
cy
55 60 65
010
030
050
0
sigma2.e[CN]
Fre
quen
cy
20 40 60 80
020
040
060
0
Distribución posterior para 4 de los parámetros en el modelo.
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Coeficientes de regresión y cargas factoriales
Yij = βxij + Ci + γijFxij + εij
Media posterior e intervalo de credibilidad del 95%
Parámetro Media 2.5% 97.5% Parámetro Media 2.5% 97.5%βEdad[LC] -2,16 -3,12 -1,29 βPrivado[LC] 0,09 -2,85 3,29βEdad[MA] -4,10 -5,35 -2,87 βPrivado[MA] 0,92 -3,61 5,67βEdad[CN] -2,51 -3,53 -1,52 βPrivado[CN] 0,83 -3,09 5,14βHombre[LC] 1,04 0,31 1,75 f0[LC] 0,50 -1,09 1,91βHombre[MA] 3,47 2,71 4,26 f0[MA] 1,42 0,10 2,68βHombre[CN] 2,88 2,18 3,55 f0[CN] -0,08 -1,48 1,40βINSE[LC] 2,19 1,74 2,67 fEdad[LC] 1,22 0,73 1,82βINSE[MA] 1,49 0,99 2,01 fEdad[MA] 2,27 1,55 3,09βINSE[CN] 1,62 1,15 2,12 fEdad[CN] 1,47 0,90 2,09
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Varianza de los puntajes
10 15 20 25
4060
8010
0
Var(LC)
Edad
10 15 20 25
100
150
200
250
300
350
Var(MA)
Edad
10 15 20 25
4060
8010
012
014
0
Var(CN)
Edad
Función de varianza dado el modelo
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Comparación de estimaciones: β’s
−4 −2 0 2 4 6
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Edad−LC
Edad−MA
Edad−CN
Hombre−LC
Hombre−MA
Hombre−CN
INSE−LC
INSE−MA
INSE−CN
Privado−LC
Privado−MA
Privado−CN
Línea punteada: modelo efectos aleatorios, línea sólida: modelo varianza.
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Contenido
1 Saber 11
2 Regresión multivariada
3 Regresión con efectos aleatorios
4 Modelamiento de varianza
5 Estimación Bayesiana
6 Conclusiones
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Conclusiones
Es importante tener en cuenta la naturaleza jerárquica de los datos.
La variabilidad de los puntajes depende de la edad.
Existen modelos para explicar la varianza de los datos.
Es importante ajustar un modelo adecuado para los datos.
La edad, género e índice socioeconómico tienen efecto en los puntajesde Saber 11.
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Referencias
Hoff, P.D. & Niu, X. (2012). A covariance regression model. Statis-tica Sinica 22, 729-753.Quintero, A. & Lesaffre, E. (2017). Multilevel covariance regressionwith correlated random effects in the mean and variance structure.Biometrical Journal 59, 1047-1066.
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