Exercitii si probleme rezolvate 1. Sa se stabileasca semnul functiilor ƒ: R R, daca: a) ƒ(x)=4x-12;
b) ƒ(x)=- 2 x+ 8 Solutie a) Avem ca ƒ(x)=0 4x-12=0 x=3.
Tabelul de semn al functiei ƒ este: X - 3 +
ƒ(x)=x-12 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + Rezulta ca ƒ(x)<0 pentru x (- ,3) si ƒ(x)>0 pentru x (3,+ ).
b) ƒ(x)=0 - 2 x+ 8 =0 x=2 Tabelul de semn pentru functia ƒ este: x - 2 +
ƒ(x)=0 - 2 x+ 8 + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - Asadar, ƒ(x)>0 pentru x (- ,2) si ƒ(x)<0 pentru x (2,+ ) 2.Sa se rezolve ecuatia: |x-2|+|2x+1|=7 Solutie Pentru explicitarea modulelor vom folosi un tabel de semn pentru functiile ƒ
1,
ƒ2: R R, ƒ
1(x)=x-2, ƒ
2(x)=2x+1.
X - -1/2 2 + ƒ
1(x)=x-2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + +
ƒ
2(x)=2x+1 - - - - - - - - - - - - - - 0+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Rezolvam ecuatia pe intervalele (- ,-2
1], (-
2
1,2), [2, + ).
Pentru x (- ,-2
1] ecuatia se scrie sub forma: -x+2+(-2x-1)=7. Se obtine solutia
x=-2 (- ,-2
1].
Pentru x (-2
1,2) ecuatia devine: -x+2+2x+1=7 si se obtine x=4 (-
2
1,2).
Pentru x [2, + ) ecuatia se scrie: x-2-2x+1=7 si se obtine solutia x=3
8[2, + ).
In concluzie, multimea solutiilor ecuatiei date este S={-2, 3
8}.
3. Sa se rezolve inecuatiile:
a) (1+ 3 )x- 12 -2 0; b) |2x-3|<x+1. Solutie
a) Consideram functia de gradul I ƒ: R R, ƒ(x)= (1+ 3 )x- 12 -2. Ecuatia ƒ(x)=0 are solutia x=2. Tabelul de semn pentru functia ƒ este: X - 2 +
ƒ(x)= (1+ 3 )x- 12 -2 - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + Lecturand tabelul, deducem ca solutia inecuatiei este multimea S=(- ,2]. b) Consideram functia g: R R, g(x)=2x-3 cu tabelul ei de semn: x - 3/2 + g(x)=2x-3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + +
Daca x (- ,2
3] inecuatia se scrie sub forma -2x+3<x+1 si are solutia
x (3
2,+ ) (- ,
2
3]. Se obtine multimea solutiilor S
1=(
3
2,
2
3].
Daca x (2
3,+ ) inecuatia se scrie sub forma 2x-3<x+1. Se obtine x (- ,4)
(2
3,+ ) si multimea solutiilor este S
2=(
2
3,4).
Solutia inecuatiei date este data de S1
S2=(
3
2,4).
4. Sa se rezolve inecuatiile:
a) 1
84
x
x0;
b) 2
1
1
1
)1(2
1
x
x
x.
Solutie
a) Pentru rezolvarea inecuatiei se face tabelul de semn pentru expresia
1
84
x
x folosind semnul numaratorului si numitorului:
X - -1 ½ + 4-8x + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - X+1 - - - - - - - - - - - - -0+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
1
84
x
x - - - - - - - - - - - - -|+ + + + + + + + + 0- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Solutia inecuatiei este intervalul (-1,2
1].
b) Se aduce inecuatia la forma simpla trecand toti termenii in membrul intai si efectuand aducerea la acelasi numitor. Se obtine succesiv:
02
1
1
1
)1(2
1
x
x
x.0
)1(2
20
)1(2
)1()1(21
x
x
x
xx Se alcatuieste
tabelul de semn pentru expresia din membrul intai.
x - -1 2 + x-2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0+ + + + + + + + + + 2(x+1) - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + ++ + + + + + +
)1(2
2
x
x + + + + + + + + + + +| - - - - - - - - - - 0+ + + + + + + + +
Solutia inecuatiei este intervalul (-1,2).