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Exercícios (Ian Foster’s Book)

1)  If today's workstations execute at operations per second, and performance increases at a rate of 25 percent per year, how long will it be before we have workstations capable of operations per second?

2)  A climate model requires floating point operations for a ten-year simulation. How long would this computation take at floating point operations per second (10 Mflops)?

3)  A climate model generates bytes of data in a ten-day simulation. How fast must data be transferred to secondary storage? What transfer rate is required if we are to search this data in ten minutes?

Aspectos Explorados pelo Modelo

O modelo deve ser capaz de oferecer facilidades tais que seja fácil:

  Decompor o programa em tarefas paralelas

  Mapear as tarefas nos processadores físicos

–  custo de comunicação

–  heterogeneidade dos processadores

  Sincronização entre tarefas: é preciso ter conhecimento do estado global da estrutura de execução do programa (quando é necessário sincronizar?)

Abstraindo para Programar

  Maior facilidade de programação: o esforço intelectual é reduzido quando nos concentrarmos em "uma coisa de cada vez”

  duas dimensões:

–  dimensão espacial

–  dimensão temporal

Dimensão Espacial

  A cada momento, conjuntos de tarefas independentes são implementadas –  cada tarefa ou processador não sabe o que acontecerá "a seguir"

  detalhamento de informações globais levam a uma programação difícil

Dimensão Temporal

  programas são composições de ações seqüenciais que preenchem o sistema computacional como um todo:

  pode-se definir com maior conhecimento o que vai acontecer a seguir

Níveis de Paralelismo

Dependendo do nível considerado, a exploração do paralelismo é diferente

  nível de aplicações ou fases de aplicações   a nível de tarefas   a nível de instruções - a execução da instrução necessita da busca, análise e

execução propriamente dita   dentro dos circuitos aritméticos

Algoritmos

  Quando queremos resolver um problema computacionalmente, temos que analisar a complexidade deste. No domínio seqüencial, se procura definir um algoritmo que resolva o problema em tempo mínimo.

  Mas quando se tratando de algoritmos paralelos, mais um parâmetro –  número de processadores –  operações independentes devem ser executadas em paralelo.

  qual o tamanho dos processos? noção de granulosidade (granularity) –  a razão entre o tempo de computação necessário para executar

uma tarefa e a sobrecarga de comunicação durante essa computação.

Modelos de Computação

Modelo de Computação Seqüencial: von Neumann   plataforma base para que usuários e projetistas

–  complexidade de tempo do pior caso: tempo máximo que o algoritmo pode levar para executar qualquer entrada com n elementos

–  complexidade de tempo esperado: complexidade média –  critério de custo uniforme: qualquer instrução RAM leva uma unidade

de tempo para ser executada e também o acesso a registradores Modelo de Computação Paralela   O desempenho do programa paralelo depende de certos fatores

dependentes da máquina: –  grau de concorrência; –  escalonamento e alocação de processadores; –  comunicação e sincronização.

Modelo PRAM – modelo ideal

  conjunto de p processadores operando sincronamente sob o controle de um único relógio, compartilhando um espaço global de memória

  algoritmos desenvolvidos para este modelo geralmente são do tipo SIMD –  todos os processadores executam o mesmo conjunto de instruções,

e ainda a cada unidade de tempo, todos os processadores estão executando a mesma instrução mas usando dados diferentes.

Modelo PRAM – modelo ideal

  propriedades chaves: –  execução síncrona sem nenhum custo adicional para a

sincronização –  comunicação realizada em uma unidade de tempo, qualquer que

seja a célula de memória acessada –  comunicação é feita usando a memória global

Passo do algoritmo PRAM

  fase de leitura: os processadores acessam simultaneamente locais de memória para leitura. Cada processador acessa no máximo uma posição de memória e armazena o dado lido em sua memória local

  fase de computação: os processadores executam operações aritméticas básicas com seus dados locais

  fase de gravação: os processadores acessam simultaneamente locais de memória global para escrita. Cada processador acessa no máximo uma posição de memória e grava um certo dado que está armazenado localmente

Modelo PRAM

  análise e estudo de algoritmos paralelos

  definição de paradigma de programação paralela

  avaliação do desempenho desses algoritmos independentemente das máquinas paralelas

  se o desempenho de um algoritmo paralelo para o modelo PRAM não é satisfatório, então não tem sentido implementá-lo em qualquer que seja a máquina paralela

  se eficiente, no entanto, podemos simulá-lo em uma máquina real : simulação deve ser eficiente

Padrões de Acesso no Modelo PRAM

  Exclusive Read (ER): vários processadores não podem ler ao mesmo tempo no mesmo local

  Exclusive Write (EW): vários processadores não pode escrever no mesmo local de memória

  Concurrent Read (CR): vários processadores podem ler ao mesmo tempo o mesmo local de memória

  Concurrent Write (CW): vários processadores podem escrever no mesmo local de memória ao mesmo tempo

Combinações são usadas para formar as variantes do PRAM: EREW, CREW, ERCW e CRCW

Prioridades do CRCW

Para resolver conflitos no caso de vários processadores tentarem escrever ao mesmo tempo no mesmo local de memória global:

Comum - vários processadores concorrem a escrita no mesmo local de memória global durante o mesmo instante de relógio - todos devem escrever o mesmo valor;

Arbitrário - dentre os vários processadores, um é selecionado arbitrariamente e seu valor armazenado no local de memória disputado;

Prioridade - dentre os vários processadores, aquele com o menor índice é escolhido para escrever o seu valor no local concorrido.

Memória Global

P1 P2 P3 P4 Pn

Comunicação em uma máquina PRAM

  Comunicação através da memória global: Pi quer passar x para Pj

–  Pi escreve x em um local de memória global em um determinado passo

–  Pj pode acessar o dado naquele local no próximo passo

d1 d1

Memória compartilhada

P1 P2

d2

P3

d3

Pn

dn

Passo 1: cada processador realiza sua computação

d1 d1


P1 P2

d2

P3

d3

Pn

dn

Passo 1: P1 escreve na memória

d1

Observações

  os processadores operam sincronamente: a cada passo, todas os processadores executam a mesma instrução sobre dados distintos

  uma instrução pode ser simplesmente uma operação aritmética ou uma comparação de dois números

  processadores ativos: somente um subconjunto de processadores executem uma instrução e processadores restantes ficam ociosos/inativos

Exemplo V ⇒ vetor com n elementos. x ⇒ um dado valor

Problema: x ∈ V ? Ambiente: P processadores tipo EREW PRAM

Analisando o problema:

  todos os processadores tem que saber o valor de x   não podem acessar a célula de x simultaneamente   depois, cada processador tem que olhar os elementos de V   sinalização da localização do valor x no vetor V

Solução

  todos os processadores devem saber sobre x: broadcasting ou difusão

  Pior caso deste procedimento log2 P passos –  P1 acessa a memória global: –  P2 comunica com P1 ou seja, de alguma forma, P1 informa x para

P2 –  P1 e P2 informam x para P3 e P4 –  assim por diante

  processadores não têm permissão de acesso simultâneo ⇒ gravam x em lugares distintos: Mi é um dos P locais de memória global

  Um vetor M auxiliar é utilizado

Solução do broadcasting (leitura)

  P1 lê x   P1 escreve x em M1

  P2 lê M1   P2 escreve em M2

  P3 e P4 lêem M1 e M2

  P3 e P4 escrevem em M3 e M4

  P5, P6, P7 e P8 lêem M1, M2, M3 e M4

  P5, P6, P7 e P8 escrevem M5, M6, M7 e M8

  e assim por diante

a cada passo: duas vezes o número de processadores ativos do passo anterior podem ler e escrever ⇒ log P passos

broadcasting

P1 lê de x;

P1 escreve em M[1]; Para h:= 1 até log P faça {

se 2h-1 < i ≤ 2h então {

Pi lê de M[i - 2h-1]; Pi escreve em M[i];

}

}

x x x


P1

x

PASSO 1

x

P2

x

x

x

x

x

P3

x

P4

x x

P5 P6 P7 P8

x x

x x

PASSO 2 PASSO 3 PASSO 4

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8

A Procura

  o vetor V é divido em P pedaços: S1, S2, …, SP –  Pi procura por x em Si –  pior caso: n/P passos

Total: log P + n/P passos, no pior caso

  Como o algoritmo poderia ser melhorado?? –  Definição de uma variável Achou

  Com computador mais poderoso ⇒ algoritmo mais rápido.

PRAM mais poderoso: CREW PRAM   para achar x, o algoritmo executa n/P passos   leituras concorrentes são permitidas

–  todos os processadores podem acessar x em um passo –  todos os processadores podem consultar Achou em um passo –  mas ao encontrar, o processador tem que atualizar Achou

  Quantos passos nas seguintes situações? –  somente um dos elementos tem valor x –  x pode ser um valor repetido em V

•  mais de um processador pode atualizar Achou simultaneamente.

Relações entre Modelos

  EREW PRAM ⇒ mais fraco

  CREW PRAM ⇒ pode executar EREW na mesma quantidade de tempo –  simplesmente leituras concorrentes não são feitas

  CRCW PRAM ⇒ pode executar EREW na mesma quantidade de tempo –  simplesmente leituras concorrentes não são feitas

Simulando Múltiplos Acessos em EREW

  um só processador pode acessar a um local de memória a em um determinado instante

  o modelo é bastante flexível –  pode ser executado em qualquer outra PRAM –  permite a simulação de múltiplos acessos mesmo que o espaço de

armazenamento aumente ou o tempo de execução aumente

Simulando Múltiplos Acessos em EREW

  Por que a simulação? O simulação pode ser necessária caso uma das razões aconteça: –  se os computadores paralelos disponíveis são do tipo EREW -

então executar algoritmos tipo: CREW e CRCW através de simulação

–  para computadores paralelos com um grande número de processadores:

•  o número de processadores que podem acessar a um mesmo local de memória simultaneamente é limitado

Simulando CW comum em um EREW

  N acessos simultâneos por um EREW PRAM por N processos no mesmo local –  leituras simultâneas: valor difundido, conforme já descrito: log N

passos –  escritas simultâneas: procedimento simétrico à difusão

CW comum:   todos processadores podem escrever no mesmo local de memória global

se o valor for o mesmo.   Suponha que Pi queira escrever o valor ai (1≤ i ≤ N)   variável auxiliar para cada processador Pi : bi

Simulando CW comum em um EREW

!  ???? !  É que vamos chamar de redução: comparamos vários para chegar a

uma resposta !  Precisamos de uma variável auxiliar?

Modelos Fortes e Fracos   O que quer dizer mais forte? Se um algoritmo é simulado em um modelo

mais fraco, o número de passos pode aumentar

CR ⇒ N leituras podem ser feitas concorrentemente ER ⇒ uma leitura é feita por mais de uma passo

  [EcKstein,1979][Vishkin,1983] p processadores CRCW com prioridade, é simulado por um EREW PRAM com complexidade de tempo aumentado por um fator Θ (log p).

  em um CRCW com prioridade, os acessos simultâneos seria imediatos, mas não no EREW

Algoritmos PRAM

  para um problema: se um algoritmo PRAM tem complexidade de tempo menor que a do algoritmo seqüencial ótimo, então o paralelismo pode ser usado

  Como iniciar um algoritmo PRAM: ativar os P processadores que farão parte da computação –  os processadores serem ativados um a um –  através do algoritmo de difusão: log P passos

  depois da ativação, o algoritmo paralelo pode ser executado

Identificando Paralelismo

  paradigmas de computação paralela

  algoritmos aqui falados consideram o modelo PRAM. Exemplos:

Árvore Binária: o fluxo de dados (e controle) se dá da raiz até as folhas –  Difusão: a partir de um processador, o fluxo (controle ou dados)

passa para dois processadores e assim, dobrando a cada iteração. –  Divisão e Conquista: um problema é subdividido em subproblemas

cada vez menores

ou contrário, das folhas até a raíz: –  Redução: dado n valores, a operação X é uma binária associativa

Redução: Soma

soma de n elementos: A = < 4, 3, 8, 2, 9, 1, 0, 5, 6, 3, 10, 2, 4, 7, 11, 3>

Soma_PRAM_Pi (){

Para ( 1≤ h ≤ log n ⎤ ) faça

se ( i ≤ ⎡n/2h ⎤ ) faça

A[i] := A[2i] + A[2i -1];

}

A[i] := A[2i] + A[2i -1]; ⇒ leitura: A[2i] e A[2i -1]; computa: A[2i] + A[2i -1];

escreve: A[i]

3 4

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

4 3 8 2 9 1 0 5 6 3 10 2 4 7 11 3


8 2 9 1 0 5

7 7 10 10

6 3 10 2 4 7 11 3 9

10 10 5 5 9 9 12 12 11 11 14 14

7 10 10 5

25

12 11 14

17 15 21 17 15 21 25

17 15 21 25

32 46 32 46

32 46

78 78

Redução: Soma

  primeiro loop: não há necessidade de mais do que ⎡n/2 ⎤ processadores

  processadores acessam dois locais de memória simultaneamente, mas distintos

  processadores escrevem em um local de memória (cada) simultaneamente, mas distintos

  para somar, log n iterações são necessárias, cada uma tem tempo constante

Complexidade do Algoritmo: O ( log n) com O ( ⎡n/2 ⎤ ) processadores

Exercícios

  Capitulo I do Jájá   exercícios 1.5 e 1.8

Noções de Complexidade

  Existem algoritmos PRAM cuja complexidade de tempo é menor do que o algoritmo correspondente seqüencial ótimo, mas podem desempenhar mais operações do que o seqüencial

  Complexidade de tempo do pior caso em função do tamanho da entrada. Cada passo corresponde: –  uma fase de computação –  uma fase de comunicação

  é importante especificar –  o número máximo de processadores usados, como função da

entrada –  o modelo arquitetural sendo usado

Noções de Complexidade

Paralelismo Limitado

  algoritmo p-paralelo se implementado em um modelo com p processadores, fixo

  T(n) e P(n): o tempo de execução e a quantidade de processadores do algoritmo paralelo

  se o número de passos é T(n) considerando p processadores, então esse algoritmo é p computável neste tempo

  se T(n) é polinomial e p é limitado superiormente por polinômio, então o número de processadores é limitado polinomialmente, senão, ilimitado

Algumas Definições

Custo do Algoritmo Paralelo   produto tempo-processador T(n) × P(n)

–  ignora ociosidade de processador

  Algoritmo paralelo de custo ótimo: Ts = T(n) × P(n)

–  Ts o tempo de execução do melhor algoritmo seqüencial

  p < P(n) processadores: cada processador executa sequencialmente o que P(n)/ p processadores executam –  T(n) × P(n)/p unidades de tempo

A - algoritmo paralelo n - o tamanho da entrada


Speedup , dado o número de processadores p

  Se o S(A(n),p) é linear então todos os processadores são efetivamente utilizados –  difícil de ser alcançado devido a natureza dos algoritmos e do

ambiente computacional paralelo

–  difícil decompor o algoritmo em tarefas completamente independentes, onde cada tarefa leva Ts /p unidades de tempo para ser executada


Eficiência do algoritmo paralelo

  razão entre S(A(n),p) e o número de processadores p E(A(n),p) = S(A(n),p)/p

–  mostra como os processadores são efetivamente utilizados: quanto maior, melhor a utilização de cada processador

  se E(A(n),p) = 1 o algoritmo paralelo é de custo ótimo (por que?)


Eficiência do algoritmo paralelo

  razão entre S(A(n),p) e o número de processadores p E(A(n),p) = S(A(n),p)/p

–  mostra como os processadores são efetivamente utilizados: quanto maior, melhor a utilização de cada processador

  se E(A(n),p) = 1 o algoritmo paralelo é de custo ótimo (por que?)   E(A(n),p) = S(A(n),p)/p   E(A(n),p) = (Ts/Tp)/p " sendo de custo ótimo, Ts = Tp × p , então:   E(A(n),p) = (Tp × p /Tp)/p = 1


Trabalho de um Algoritmo Paralelo

  um algoritmo é descrito como uma seqüência de unidades de tempo, onde em cada unidade um conjunto de instruções concorrentes

  trabalho de um algoritmo paralelo é o número total de operações executadas, não incluindo os tempos ociosos de certos processadores

  são somadas, a cada unidade de tempo, o número de operações concorrentes podem estar sendo executadas

Exemplo: soma de n elementos   T(n) e P(n): n/2 processadores executam em O(log n) unidades de

tempo   Custo de O(n log n) em O(log n) unidades de tempo

  Usando p < P(n) processadores: O(n log n/p)

•  1a unidade de tempo - n/2 operações (somas em paralelo)



•  j-ésima unidade de tempo - n/2j operações

  Total de operações: ∑O(log n) n/2j = O(n)

..............

Reduzindo o número de processadores

Princípio de Brent

“  Qualquer algoritmo paralelo com complexidade de tempo T(n) usando um número suficientemente grande de processadores e que ainda consistindo de O(e) operações elementares, pode ser implementado em p processadores com complexidade de tempo

O( ⎡e/p⎤ + T(n))

Prova??

P2 Pp P1

. . . . . .

Total de Operações: e Total de Processadores: p

Unidade de

Tempo

1

2

3

4

.

.

.

T(n)

Número de

Operações

e1

e2

e3

e4

.

.

.

eT

Pk

Tempo Total

Fixando o número de processadores: soma de n elementos

Seja um modelo PRAM com p = 2q ≤ n = 2k processadores: P1,..., Pp

  proponha um algoritmo paralelo para p processadores

Fixando o número de processadores: soma de n elementos

Seja um modelo PRAM com p = 2q ≤ n = 2k processadores: P1,..., Pp   Seja l = n/p = 2s é responsável por A[l(s - 1) + 1] , …. , A[ls]   cada elemento é um vértice de uma árvore binária   o número de computações concorrentes corresponde ao número de

vértices em cada nível dividido pelos processadores disponíveis

Análise do Algoritmo   Seja o algoritmo em que n elementos são somados usando p

processadores (Obs.: O algoritmo só considera o trabalho de um dado processador Ps:

  primeiro passo: O(n/p) unidades de tempo   segundo passo?

Soma de n Elementos (JáJá) – algoritmo do processador Ps Soma_Paralela_Ps ( A, p ){

for j =1 to l do /* l = n/p */

B(l(s - 1) + j): =A(l(s - 1) + j);

for h = 1 to log n do

if (k - h - q ≥ 0) then

for j = 2k-h-q(s - 1) + 1 to 2k-h-q s do

B(j): = B(2j - 1) + B(2j);

else if (s ≤ 2k-h) then

B(s): = B(2s - 1) + B(2s);

if (s = l) then S: = B(1);

}

O que acontece com N = 8 e p = 2? (passo a passo) Soma_Paralela_Ps ( A, p ){

for j =1 to l do /* l = n/p */

B(l(s - 1) + j): =A(l(s - 1) + j);

for h = 1 to log n do

if (k - h - q ≥ 0) then

for j = 2k-h-q(s - 1) + 1 to 2k-h-q s do

B(j): = B(2j - 1) + B(2j);

else if (s ≤ 2k-h) then

B(s): = B(2s - 1) + B(2s);

if (s = l) then S: = B(1);

}

P3 P2

0

P4

0 11

11

P1


3 2 1 5 3 2 7 3 8 10 11 9 4 4 6 4 3 8 2 9 1 5 6 3 10 2 4 7 11 3

7

10

10

5

9

12

11

14

7

10

10

5

9

12 14

7 10 10 5 9 12 14

17 15 21 25 17 15 21 25

17 15 21 25

32 46

32 46

32 46

78 78

Modelando soma paralela de n números

+

+ + + + + + + +

+ + + +

+ +

Perguntas:

  qual o número de operações?   qual o trabalho?   qual o custo   complexidade?   tipo do PRAM?   teria alguma outra versão com um menor de trabalho ou custo?   qual o número de comunicações?

1  Responda as perguntas considerando as duas versões discutidas na sala de aula

2  especificar o pseudo-algoritmo da segunda versão discutida.

Implementação I – soma de n números

  através de threads, implementar a soma de n números   - em um número qualquer de processadores   - em um número fixo de processadores

  vantagens e desvantagens?