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Universidad del PacíficoManual de imagenLogotipo institucional
EXAMEN PARCIAL
Matematicas I Miercoles 07 de octubre de 2015
Verifique que son cinco preguntas, 20 puntos. Duracion: 120 minutos.
Esta estrictamente prohibido el uso de cartucheras, calculadoras o notas y el prestamo
de materiales.
No hay consultas; si considera que alguna pregunta esta errada o mal propuesta corrija
el enunciado y justifique su proceder.
Justifique su respuesta.
Son importantes el orden y la claridad en la presentacion de su trabajo, caso contrario
se puede invalidar completamente la respuesta.
1 2 3 4 5 NOTA
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1. (4 pts.) Determine el conjunto solucion:
a) 3JxK2 � 6JxK = 5JxK � 10
Solucion:
3JxK2 � 11JxK + 10 = 0
(3JxK � 5) · (JxK � 2) = 0
(JxK = 5
3) _ (JxK = 2)
(?) _ (x 2 [2; 3[)
) C.S. = [2; 3[
b) |x� 2||x| > 3
Solucion:
|(x� 2) · (x)| > 3
|x2 � 2x| > 3
(x2 � 2x > 3) _ (x2 � 2x < �3)
(x2 � 2x� 3 > 0) _ (x2 � 2x+ 3 < 0)
((x� 3) · (x+ 1) > 0) _ ((x� 1)2+ 2 < 0)
(x 2]�1;�1[[]3; +1) _ (?)
x 2]�1;�1[[]3; +1[
) C.S. =]�1;�1[[]3; +1[
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2. (4 pts.) Responda.
a) Aplicando algebra de lımites, calcular:
Solucion:
lımn!1
⇣npe⇡+2n
⌘= lım
n!1
⇣e
⇡+2nn
⌘=
⇣e
lımn!1
(⇡n+ 2nn )⌘= e(0+2)
= e2
b) Las coordenadas de un triangulo son P = (1; 4), Q = (�16;�2) y R = (�1; 18).
Sea C la circunferencia con centro en P y sea l una recta tangente a C. Sabiendo
que el segmento QR ⇢ l:
Solucion:
Determinar el punto de tangencia.
pendQR =4
3^ (�1; 18) : y � 18 =
4
3(x+ 1)... (i)
pendP = �3
4^ (1; 4) : y � 4 = �3
4(x� 1)... (ii)
De (i) y (ii) obtenemos el punto de tangencia: T = (�7; 10)
Determinar la ecuacion de la circunferencia C.
r = d(T, P ) =
p(�7� 1)2 + (10� 4)2 =
p100 = 10
C : (x� 1)2+ (y � 4)
2= (10)
2
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3. (4 pts.) Las graficas de la Oferta y la Demanda de un bien z en el plano R+0 x R+
0 son
perpendiculares. Sabiendo que el punto de equilibrio es (pe, qe) = (25; 20); determinar:
pe
40
qe
Solucion:
a) La ecuacion general de la Oferta.
pend(Op) =5
4^ (25; 20) : q � 20 =
5
4(p� 25)... (i)
De (i) obtenemos la ecuacion general: 5p� 4q � 45 = 0
b) La ecuacion general de la Demanda.
pend(Dp) = �4
5^ (25; 20) : q � 20 =
4
5(p� 25)... (ii)
De (ii) obtenemos la ecuacion general: 4p+ 5q � 200 = 0
c) El Excedente del Consumidor.
En la ecuacion general Dp, si q = 0 obtenemos: 4p+ 5(0)� 200 = 0 ! p = 50
Dado el triangulo rectangulo de base b = 50�25 = 25 y altura h = 20. Calculamos
el area (Excedente del Consumidor): Ec =25 · 20
2= 250
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4. (4 pts.) Dada una Region cuya poblacion consta de n personas, sea xi el ingreso de la i-
esima persona; i 2 {1, 2, 3, ..., n}. Consideremos que los ingresos de las n personas estan
ordenados de manera creciente, esto es: 0 xi xi+1. Se considera pobre monetario
a toda persona cuyo ingreso es igual o menor a un valor pre-establecido, denominado
lınea de pobreza.
Solucion:
a) Sea z la lınea de pobreza y p la cantidad de personas pobres: xp z. Determine
la relacion entre xp+1 y z. Justifique.
Si existen p pobres, p 2 N, entonces (p+ 1) no es pobre.
En consecuencia: xp+1 > z.
b) La insuficiencia de ingreso de un pobre se definide como (z � xi), donde i p.En consecuencia, la insuficiencia de ingreso para todos los pobres de la Region es
H =
pX
i=1
(z � xi). ¿Cual es el valor maximo de H? Justifique.
H =
pX
i=1
(z � xi) = (z � x1) + (z � x2) + ...+ (z � xp) = pz �pX
i=1
(xi)
H asume su valor maximo haciendo mınimo el ingreso: xi = 0; 1 i p.
) H = pz � p(0) = pz
c) Se define la razon de insuficiencia de ingreso I por: I =1
pz
pX
i=1
(z � xi). Sea m el
ingreso promedio de los pobres; es decir: m =1
p
pX
i=1
xi. Demostrar que I = 1�m
z.
I =1
pz
pX
i=1
(z � xi) =1
pz[pz �
pX
i=1
(xi)] = 1� 1
z[1
p
pX
i=1
xi] = 1� 1
z[m] = 1� m
z
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5. Dada las graficas en el plano cartesiano, responda:
�8 �7 �6 �5 �4 �3 �2 �1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
�7
�6
�5
�4
�3
�2
�1
1
2
3
4
5
6
7
0
d
Solucion:
a) Determine la ecuacion de la elipse, de centro E = (�3; 2)
De la grafica, la longitud de a es 4 y la de b es 3.
) (x+ 3)2
42+
(y � 2)2
32= 1
b) Determine la ecuacion de la hiperbola, de centro H = (4; 0)
De la grafica, la longitud de b es 4 y la de a es 3.
) (y � 0)2
42� (x� 4)
2
32= 1
c) Determine las ecuaciones de las asıntotas.
La ecuacion de la asıntota de pendiente positiva es: y =4
3(x� 4).
La ecuacion de la asıntota de pendiente negativa es: y = �4
3(x� 4).