EXAME DE QUALIFICACAO PARA O MESTRADO EM ESTATISTICA
PROVA DE PROBABILIDADE
6 de janeiro de 2009
• A prova e composta de 5 questoes.
• A duracao da prova e de 4 horas.
• Nao e permitido consulta.
• Inicie cada questao em uma nova folha. Use so um lado de folha. Escreva de maneira clara
e organizada. Numere e identifique cada folha utilizada.
• Tranquilidade e bom trabalho!
1. Um conjunto A se diz finito se #A e finito. Um conjunto A se diz co-finito se #Ac e finito.Seja Ω um conjunto tal que #Ω = ∞. Seja F a familia de subconjuntos A de Ωtais que A efinito ou cofinito. Demonstre que F e uma algebra mas nao e uma σ-algebra.
2. Sejam X e Y v.a.
(a) Suponha que X e Y so assumem valores 0 e 1. Mostre que neste caso se E(XY ) =EXEY , entao X e Y sao independentes.
(b) Suponha que X assume valores a e b, e Y assume valores c e d. Mostre que neste casose Cov(X, Y ) = 0, entao X e Y sao independentes.Dica: nao e necessario fazer muita conta.
3. Sejam X1, X2, . . . v.a. i.i.d. com EX1 = 0 e E(X2
1) = 2.
Ache o limite em distribuicao da sequencia Y1, Y2, . . ., onde
Yn =1
n(X1 + . . . + Xn)
√
X2
1+ . . . + X2
n.
4. Seja (Ω,F , P ) um espaco de probabilidade. Para An ∈ F , n = 1, 2, . . ., mostre que
P(lim infn→∞
An) ≤ lim infn→∞
P (An) ≤ lim supn→∞
P (An) ≤ P (lim supn→∞
An),
onde
lim supn→∞
An =∞⋂
n=1
∞⋃
k=n
Ak
lim infn→∞
An =∞⋃
n=1
∞⋂
k=n
Ak
Ajuda: Lembre que uma probabilidade e continua para uma sequencia de conjuntos crescentese decrescentes.
5. Seja (Xi)i∈N uma sequencia de variaveis aleatorias independentes identicamente distribuidascom P (X1 = 1) > 0. Qual e a probabilidade de observar (1, 1) infinitas vezes na sequencia?DEMONSTRE SUAS afirmacoes.
1
EXAME DE QUALIFICACAO PARA O MESTRADO EM ESTATISTICA
PROVA DE PROBABILIDADE
13 de fevereiro de 2009
• A prova e composta de 5 questoes.
• A duracao da prova e de 4 horas.
• Nao e permitido consulta.
• Inicie cada questao em uma nova folha. Use so um lado de folha. Escreva de maneira clara
e organizada. Numere e identifique cada folha utilizada.
• Tranquilidade e bom trabalho!
1. Seja A uma classe de subconjuntos de R que consiste de unioes finitas de intervalos disjuntos,onde os intervalos podem ser da forma (−∞, a], (b, c], (d, +∞). Mostre que A e uma algebra,mas nao uma σ-algebra.
2. Sejam Xi, i = 1 . . . .n uma sequencia de v.a. com media µ e variancia σ2. Suponha quelimn→∞ V ar(S2
n) = 0. Mostre que S2
nconverge em probabilidade para σ2, onde
S2
n=
1
n − 1
n∑
i=1
(Xi − Xn)2.
3. Sejam X1, X2, . . . v.a. i.i.d. com EX1 = µ e Var(X2
1) = σ2 < ∞. Suponha que P (Sn 6= 0) = 1
e que limn→∞ V ar(S2
n) = 0. Ache o limite em distribuicao da sequencia
√n(Xn − µ)
Sn
onde S2
ne a do exercıcio anterior.
4. Considere um espaco de probabilidade sobre os naturais N.
• Defina os conjuntos An = N\n + 1, . . . , 2n. Calcule lim infn→∞ An e lim supn→∞An.
Calcule lim infn→∞ P (An) e lim supn→∞P (An).
• Idem com An = N\1, . . . , n.
1
Nome
RA
Assinatura
EXAME DE QUALIFICACAO PARA O MESTRADO EM ESTATISTICA
EXAME de INFERENCIA
08 de Janeiro de 2009
Instrucoes
1. A duracao do exame e de 4 horas.
2. Nao e permitida consulta.
3. Resolva quatro (4) das cinco (5) questoes propostas. Indique na seguinte tabela quais
questoes foram escolhidas.
Questao 1 2 3 4 5
4. Cada questao tem a mesma pontuacao.
5. Inicie a resolucao de cada questao em uma nova folha. Use somente um lado de cada
folha.
6. Escreva de maneira clara e organizada.
7. Justifique suas respostas.
8. Numere e identifique cada folha utilizada.
Tranquilidade e Bom trabalho
1
Questao 1
Seja X1, . . . , Xn uma amostra aleatoria da densidade Beta(µ,1)
(a) (6 ptos) Encontre o ENVVUM para 1/µ.
(b) (7 ptos) Encontre um intervalo de confianca assintotico para µ2.
(c) (12 ptos) Adicionalmente, seja Y1, . . . , Ym uma amostra aleatoria da densidade
Beta(θ,1) onde Yj e independente de Xi para todo i, j. Encontre um teste exato
para H0 : µ = θ vs H1 : µ 6= θ.
Questao 2
(a) Seja X1, . . . , Xn uma amostra aleatoria da densidade
f(x) =1
λexp
−x
λ
, x ≥ 0, λ > 0.
Seja o estimador T = X(1).
(i) (6 ptos) Compare a variancia de T com o Limite Inferior de Cramer-Rao
(LICR).
(ii) (5 ptos) Verifique se T e consistente.
(iii) (3 ptos) No caso de tamanho amostral grande. Conforme os resultados obtidos
nos itens anteriores, voce sugere a utilizacao de T como estimador de λ? Em
caso contrario, proponha um estimador melhor.
(b) Seja X uma observacao da densidade,
f(x) =
(
θ
2
)|x|
(1 − θ)1−|x|, x = −1, 0, 1, θ ∈ [0, 1].
(i) (5 ptos) X e uma estatıstica completa?
(ii) (4 ptos) |X| e uma estatıstica suficiente e completa?
(iii) (2 ptos) f(x) pertence a famılia exponencial?
2
Questao 3
(a) (8 ptos) Seja X uma observacao gerada pela densidade,
f(x) =ν
λΓ(1/ν)21+1/νexp
−1
2λ−ν | x |ν
, λ > 0, ν > 0,
onde
λ2 = 2−2/ν Γ(1/ν)
Γ(3/ν).
Encontre o teste Mais Poderoso (MP) de tamanho α para H0 : ν = 2 vs H1 : ν = 1.
Lembrete: Γ(x) = xΓ(x − 1), Γ(1/2) =√
π.
(b) (8 ptos) Seja X1, . . . , Xn uma amostra aleatoria da densidade
f(x1) = θ(1 − θ)−1x(2θ−1)/(1−θ)1 , 0 < x1 < 1, θ ∈ (1/2, 1).
Encontre o estimador de maxima verossimilhanca para θ.
(c) (9 ptos) Seja X = (X1, . . . , Xn) uma amostra aleatoria da densidade Exponencial
com valor esperado λ. Encontre o intervalo unilateral para λ do tipo [0, T (X)]
que seja Uniformemente Mais Acurado (UMA) de confianca 1 − α.
Questao 4
(a) Seja X uma observacao da densidade,
f(x) = 2θx + 2(1 − θ)(1 − x), 0 < x < 1, θ ∈ [0, 1].
(i) (6 ptos) Existe um teste Mais Poderoso (MP) de nıvel 0.2 para
H0 : θ = 1/2 vs H1 : θ = 3/4 ?
(ii) (5 ptos) Compare o teste encontrado no item (i) com um outro teste cuja
regiao crıtica e: RC = x : 0.6 < x < 0.8. Qual desses testes e melhor?
(b) Seja X1, . . . Xn uma amostra aleatoria da densidade,
f(x) =1√2π
exp
−1
8(x − θ)2
, x ≥ θ, θ > 0.
(i) (9 ptos) Encontre um intervalo de confianca 1−α assintotico para θ. Sugestao:
pode ser util considerar, Γ(u) =∫ ∞0 e−ssu−1ds, Γ(1
2) =
√π.
(ii) (5 ptos) Proponha um teste para H0 : θ = 2 vs H1 : θ > 2, ao nıvel α = 0.02.
3
Questao 5
Suponha que dado µ, as variaveis aleatorias Xi sao independentes com densidade condi-
cional: Xi/µ ∼ N(µ, 1) para i = 1, . . . , n. Considere que µ e uma variavel aleatoria
com densidade a-priori N(0, τ 2).
(a) (5 ptos) Supondo τ conhecido, encontre o estimador de Bayes sob perda quadratica
para µ.
(b) (5 ptos) Supondo τ conhecido, encontre o intervalo de maxima probabilidade a-
posteriori (HPD) de 95% para µ.
(c) Nas aplicacoes, uma forma de asignar um valor ao hiperparametro τ 2 e atraves
do procedimento Bayes Empırico. Este metodo faz uso dos dados para asignar
valores aos hiperparametros. Siga os seguintes passos:
(i) (8 ptos) Encontre a densidade marginal de Xi e mostre que X1, . . . , Xn e uma
sequencia de variaveis aleatorias IID.
(ii) (7 ptos) Ja que a densidade de Xi em (i) depende de τ 2, use a amostra
X1, . . . , Xn para propor um estimador para τ 2. Justifique a escolha desse
estimador.
4
Nome
RA
Assinatura
EXAME DE QUALIFICACAO PARA O MESTRADO EM ESTATISTICA
EXAME de INFERENCIA
07 de Janeiro de 2010
Instrucoes
1. A duracao do exame e de 4 horas.
2. Nao e permitida consulta.
3. Resolva quatro (4) das cinco (5) questoes propostas. Indique na seguinte tabela quais
questoes foram escolhidas.
Questao 1 2 3 4 5
4. Cada questao tem a mesma pontuacao.
5. Inicie a resolucao de cada questao em uma nova folha. Use somente um lado de cada
folha.
6. Escreva de maneira clara e organizada.
7. Justifique suas respostas.
8. Numere e identifique cada folha utilizada.
Tranquilidade e Bom trabalho
1
Questao 1
Seja X uma unica observacao da densidade f(x, θ) = θxθ−1I(0,1)(x) onde θ > 0
(a) (8 ptos) Encontre uma quantidade pivotal e a use para construir um IC para θ.
(b) (9 ptos) Encontre um IC melhor do que (Y/2, Y ), dado que Y = − log(X)
(c) (8 ptos) Existe um teste UMP de tamanho α para testar
H0 : θ ≥ 2 vs Ha : θ < 2 ?
Se existir tal teste determine-o.
Questao 2
Suponha que n pecas de equipamentos sao submetidas a teste e que suas taxas de
falhas X1, . . . , Xn formam uma a.a. da densidade exponencial com valor esperado 1/θ.
Queremos estimar a probabilidade de falha anticipada, isto e, τ(θ) = P (X1 ≤ k) para
algum k fixo.
(a) (15 ptos) Encontre o ENVUMV para τ(θ).
(b) (10 ptos) Encontre um intervalo de confianca assintotico para τ(θ).
Obs. X1∑n
i=1Xi
∼ Beta(1, n − 1)
Questao 3
Sejam X1, . . . , Xn e Y1, . . . , Ym duas amostras aleatorias independentes das densidades
N(µx, σ2) e N(µy, σ
2), respectivamente.
(a) (8 ptos) Encontre o ENVUMV para µy − µx.
(b) (17 ptos) Deseja-se testar a seguinte hipotese:
H0 : µy = µx vs Ha : µy 6= µx.
Encontre o teste de Razao de Verossimilhanca Generalizado de tamanho α e sua
distribuicao.
2
Questao 4
Seja X1, . . . , Xn uma a.a. da densidade N(θ, θ2) com θ > 0. Para este modelo cS e um
estimador nao viciado para θ, onde
c =
√n − 1Γ((n − 1)/2)√
2Γ(n/2), S2 =
1
n − 1
n∑
i=1
(Xi − X)2.
(a) (6 ptos) Demonstre que para toda constante a, o estimador Ta = aX +(1−a)(cS)
e um estimador nao viciado para θ.
(b) (9 ptos) Encontre o valor de a que produz o estimador Ta com menor variancia.
(c) (10 ptos) A estatıstica (X, S2) e suficiente e completa?
Questao 5
Seja X1, . . . , Xn uma a.a. da densidade Gamma(p, 1/θ) com p conhecido, isto e,
f(x) =θ−p
Γ(p)xp−1e−x/θ
(a) (8 ptos) Seja p = 1. Encontre o teste mais poderoso de tamanho α para testar
H0 : θ = θ0 vs Ha : θ = θ1, com θ1 > θ0.
(b) (9 ptos) Encontre um teste UMP para testar H0 : θ ≤ θ0 vs Ha : θ > θ0
(c) (8 ptos) Encontre o estimador de Bayes, com p = 1, supondo perda quadratica
para θ e assumindo uma densidade a priori θ ∼ Gamma(α, β).
3
Nome
RA
Assinatura
EXAME DE QUALIFICACAO PARA O MESTRADO EM ESTATISTICA
EXAME de INFERENCIA
25 de Fevereiro de 2010
Instrucoes
1. A duracao do exame e de 4 horas.
2. Nao e permitida consulta.
3. Resolva quatro (4) das cinco (5) questoes propostas. Indique na seguinte tabela quais
questoes foram escolhidas.
Questao 1 2 3 4 5
4. Cada questao tem a mesma pontuacao.
5. Inicie a resolucao de cada questao em uma nova folha. Use somente um lado de cada
folha.
6. Escreva de maneira clara e organizada.
7. Justifique suas respostas.
8. Numere e identifique cada folha utilizada.
Tranquilidade e Bom trabalho
1
Questao 1
(a) (6 ptos) Seja X uma unica observacao da densidade
f(x, θ) =e(x−θ)
[1 + e(x−θ)]2, θ ∈ R, x ∈ R.
Encontre o teste mais poderoso de tamanho α para testar,
H0 : θ = 0 vs Ha : θ = 1.
(b) (7 ptos) O teste encontrado em (a) e UMP de tamanho α para testar
H0 : θ ≤ 0 vs Ha : θ > 0 ?
(c) (12 ptos) Seja X1, . . . , Xn uma amostra aleatoria da densidade f(x, θ) = 2x/θ2
onde 0 < x < θ. Encontre um intervalo de confianca (1 − α) exato para θ.
Questao 2
Assuma que (N1, N2, N3) tenha distribuicao multinomial com tamanho de amostra n
(≥ 2) e vetor de probabilidades (p1, p2, p3).
(a) (7 ptos) Encontre o estimador de maxima verossimilhanca de τ = p1p2.
(b) (8 ptos) O estimador encontrado em (a) e ENVUMV? Se nao, encontre-o.
(c) (7 ptos) Seja 0 < θ < 1. Encontre o teste de RVG para testar
H0 : p1 = θ, p2 = 2θ(1 − θ), p3 = (1 − θ)2
versus a hipotese alternativa Ha: nao se cumpre H0.
(d) (3 ptos) Qual e a distribuicao assintotica do teste encontrado em (c)?
Questao 3
Sejam Y1, . . . , Yn variaveis aleatorias independentes tais que Yi ∼ N(βxi, σ2), onde
β ∈ R e os xi sao numeros conhecidos.
(a) (5 ptos) Encontre estatısticas conjuntamente suficientes para (β, σ2).
(b) (6 ptos) Encontre os ENVUMV para β e σ2.
(c) (6 ptos) Encontre os estimadores de maxima verossimilhanca de β e σ2.
2
(d) (8 ptos) Suponha σ2 conhecido. Encontre o teste mais poderoso de tamanho α
para testar
H0 : β = 0 vs Ha : β = β0
com β0 > 0 especificado.
Questao 4
Seja X1, . . . , Xn uma amostra aleatoria da densidade,
f(x, θ) = θ(θ + 1)xθ−1(1 − x), 0 ≤ x ≤ 1, θ > 0.
(a) (6 ptos) Encontre um estimador de momentos para θ.
(b) (6 ptos) Determine a distribuicao assintotica do estimador encontrado em (a)
especificando os parametros da distribuicao.
(c) (7 ptos) Determine a distribuicao assintotica do estimador de maxima verossimi-
lhanca de θ especificando os parametros da distribuicao.
(d) (6 ptos) Encontre o estimador de maxima verossimilhanca de (2θ + 1)/(1 + θ2).
Questao 5 Sejam X1, . . . , Xn uma a.a. de uma distribuicao geometrica com funcao de
probabilidade
f(x|θ) = (1 − θ)xθ, x = 0, 1, 2, ...
e θ ∈ (0, 1) desconhecido. Suponha que θ tenha distribuicao priori Beta(α, β)
a) (7 ptos). Encontre o estimador de Bayes de θ sob a perda quadratica.
b) (5 ptos). O estimador encontrado no item a) e viesado?
c) (5 ptos). O estimador encontrado no item a) e consistente?
d) (8 ptos). Encontre o estimador de Bayes de (1 − θ)/θ2 sob a perda quadratica.
3
Exame de quailificacao
Probabilidade, Janeiro 2010
• A prova e composta de 5 questoes.
• A duracao da prova e de 4 horas.
• Nao e permitido consulta.
• Inicie cada questao em uma nova folha. Use so um lado de folha. Escreva
de maneira clara e organizada. Numere e identifique cada folha utilizada.
• Tranquilidade e bom trabalho!
1. Seja (Ω,F ,P) um espaco de probabilidade. Para An ∈ F , n = 1, 2, . . ., mostreque se
lim infn→∞
An = lim supn→∞
An = A,
entao P(An) → P(A), onde
lim supn→∞
An =∞⋂
n=1
∞⋃
k=n
Ak, lim infn→∞
An =∞⋃
n=1
∞⋂
k=n
Ak
2. Seja (Ω,F ,P) um espaco de probabilidade e seja X uma v.a. positiva com0 < EPX < ∞. Mostre (enunciando sem demonstrar os resultados utilizados)que:
(a) se, para A ∈ F ,
Q(A) =EP(X1A)
EPX,
entao (Ω,F , Q) e um espaco de probabilidade;
(b) se Y : Ω → R e uma v.a. entao
EQY =EP(XY )
EPX.
3. Sejam X e Y v.a. em (Ω,F ,P) e A uma σ-algebra contida em F .
(a) De as definicoes de E(X | A) e E(X | Y ).
(b) Mostre que E[E(X | Y )] = EX.
4. (a) Enuncie e prove o lema de Borel-Cantelli.(b) De um exemplo de uma sequencia de v.a. i.i.d. que nao satisfaz lei forte dosgrandes numeros (justifique!).
5. Sejam X1, X2, . . . v.a. i.i.d. Uniformes (0, a). Mostre que para todo a > 0temos que n−Xn → 0 em probabilidade, mas nao quase certamente.
Exame de Qualificacao de Probabilidade
Mestrado em Estatıstica
25 de fevereiro de 2010.
1. A prova consiste de 5 questoes que devem ser respondidas de formamais completa possıvel.
2. Nao e permitido consulta
3. Inicie cada questao em uma folha separada. Escreva somente em umlado da folha.
4. Coloque no alto de cada folha o numero da questao sendo respondidae seu nome.
1
1. Sejam X1, . . . , Xn variaveis aleatorias independentes e identicamentedistribuıdas com distribuicao comum Cauchy, isto e, sua densidadecomum e dada por
f(x) =1
π(1 + x2), −∞ < x < ∞
e sua funcao caracterıstica
φ(t) = e−|t|, −∞ < t < ∞.
(i) Qual a distribuicao da media amostral Xn = (1/n)(X1 + . . . + Xn)?Defina as variaveis
Yn =
∑n
j=1Xj√
ne Zn =
∑n
j=1Xj
n2
(ii) Examine as convergencias em distribuicao e em probabilidade dassequencias (Yn)n>0 e (Zn)n>0.
2. Sejam X1, X2, . . . , Xn v.a.’s iid U(0, 1). Defina
Un = min1≤i≤n
Xi e Vn = max1≤i≤n
Xi.
(a) Mostre que o vetor (nUn, n(1−Vn)) converge em distribuicao e achea distribuicao limite.(b) Seja Rn = Vn − Un. Ache a distribuicao assintotica de n(1 − Rn) emostre que Rn → 1 em probabilidade.
3. Considere o triangulo com vertices (−1, 0), (1, 0), (0, 1) e seja (X, Y )um vetor aleatorio uniformemente distribuıdo neste triangulo. AcheE(X + Y ).
4. Se Bk, 1 ≤ k ≤ n sao eventos em um espaco de probabilidade(Ω,A, P) tais que
n∑
k=1
P(Bk) > n − 1
entaoP (∩n
k=1Bk) > 0.
5. Sejam U1, U2, . . . v.a’s independentes tais que Uk ∼ U(−ak, ak). Mostreque se existe M > 0 tal que |ak| ≤ M mas
∑a2
k = ∞ entao vale acondicao de Lindeberg.
2
Nome:
R.A.:
EXAME DE QUALIFICACAO PARA O MESTRADO EMESTATISTICA
Exame de Inferencia, Data: 12/01/2011
Leia atentamente as instrucoes abaixo:
• O exame tem duracao de quatro horas.
• Numere e identifique cada folha utilizada.
• Nao e permitido consulta.
• Leia atentamente cada uma das questoes.
• Resolva (4) das (5) questoes propostas. Indique na seguinte tabela quais
questoes foram escolhidas.
Questao 1 2 3 4 5
• Inicie a resolucao de cada questao em uma nova folha. Use somente um lado
de cada folha.
• Escreva de maneira clara e organizada.
• As questoes tem a mesma pontuacao.
• Enuncie, claramente, todos os resultados que voce utilizar.
• Justifique suas respostas.
• Todos os resultados vistos em classe ou desenvolvidos nas listas de exercıcios
podem ser utilizados, a menos que se mencione o contrario.
• Resolva o teste, preferencialmente, a caneta, e procure ser organizado(a). Se
fizer a lapis, destaque, a caneta, sua resposta.
Tranquilidade e faca uma excelente Prova!!
1
Questoes
1. Seja X1, ..., Xn uma amostra aleatoria de X, em que
fX(x; θ) = θ2xθ2−111(0,1)(x), θ > 0
Responda os itens:
a) Obtenha o estimador pelo metodo dos momentos de θ (3 pontos) .
b) Obtenha o estimador de maxima verossimilhanca de θ (7 pontos).
c) Calcule a esperanca e a variancia (exatas) do estimador obtido no item b) (10
pontos).
d) Obtenha a estatıstica do teste da razao de verossimilhancas para testar H0 : θ = θ0
vsH1 : θ 6= θ0 e, com base nela, proponha um teste exato, com nıvel de significancia
α, para as hipoteses em questao (10 pontos).
2. Responda os itens:
a) Seja X uma unica observacao de fX(x; θ) = θ110(x)+θ2111(x)+(1−θ−θ2)112(x),
θ ∈ (0, 1/2). A estatıstica X e completa? Justifique sua resposta (10 pontos).
b) Seja X uma unica observacao de fX(x; θ) = (2θx + 1 − θ)11(0,1)(x), θ ∈ [−1, 1].
Encontre o teste da razao de verossimilhancas para testar H0 : θ = 0 vs H1 : θ 6= 0,
a um nıvel de significancia de α (10 pontos).
c) Seja X1, ..., Xn uma amostra aleatoria de X, em que
fX(x; θ) = θ(1 + x)−(1+θ)11(0,∞)(x), θ > 0.
Obtenha um teste UMP para testar H0 : θ ≤ θ0 vs H1 : θ > θ0, θ0 > 0, com nıvel
de significancia α (10 pontos).
3. Seja X1, ..., Xn uma amostra aleatoria de X, em que
fX(x) =1
θe−x/θ11(0,∞)(x), θ > 0
e considere τ(θ) = P (X ≥ x), para algum x fixo. Responda os itens:
a) Encontre um intervalo de confianca assintotico para para τ(θ) (10 pontos).
2
b) Encontre o ENVUM de τ(θ) (20 pontos).
4. Seja X1, ..., Xn uma amostra aleatoria de X ∼ U(θ1, θ2), 0 < θ1 < θ2 < ∞. Denote
Y1 = min(X1, ..., Xn) e Yn = max(X1, ..., Xn). Responda os itens:
a) Considerando θ1 conhecido, encontre uma estatıstica suficiente e completa e obtenha
o ENVUM de θ2 (10 pontos).
b) Considerando θ2 conhecido, encontre uma estatıstica suficiente e completa e obtenha
o ENVUM de θ1 (10 pontos).
c) Considerando (θ1, θ2) desconhecidos, prove que T = (Y1, Yn) e uma estatıstica su-
ficiente e encontre os ENVUM’s de θ1 e θ2. OBS: Assuma que T e uma estatıstica
completa (10 pontos).
OBS: Lembre-se de que, neste caso (FW (w) denota a funcao de distribuicao da variavel
aleatoria W no ponto w),
FY1(y) = 1− [1− FX(y)]
n 11(θ1,θ2)(y) + 11[θ2,∞)(y)
FYn(y) = [FX(y)]n11(θ1,θ2)(y) + 11[θ2,∞)(y)
Alem disso
∂
∂θ
∫ θ
a
g(y)dy = g(θ) e∂
∂θ
∫ a
θ
g(y)dy = −g(θ) , em que a e uma constante
5. Seja X1, ..., Xn uma amostra aleatoria de X, tal que
fX(x|θ) =θr
Γ(r)xr−1e−θx11(0,∞)(x), θ > 0, r > 0
Assuma uma distribuicao a priori (π(θ)), θ ∼ Gama(α, 1/β), com r, α e β conhecidos.
Responda os itens.
a) Determine a distribuicao a posteriori de θ e obtenha o estimador de Bayes, sob
perda quadratica, de θ (10 pontos).
b) Obtenha o estimador de Bayes, sob perda quadratica, de τ(θ) = Var(X|θ) (5 pon-
tos).
3
c) Obtenha um intervalo de credibilidade de γ% para θ (5 pontos).
d) Para r = 1, obtenha o estimador de Bayes, sob perda quadratica de
τ(θ) = P (X ≤ x), para algum x fixado (10 pontos).
Formulario
1. Se X ∼ Beta(a, b), entao fX(x; a, b) =Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)
xa−1(1− x)b−111(0,1)(x), a > 0, b > 0. Alem
disso∫ 1
0xa−1(1− x)b−1dx = Γ(a)Γ(b)
Γ(a+b), Γ(y) = (y − 1)Γ(y − 1), y > 0.
2. Se X ∼ Gama(r, λ), r > 0, λ > 0, entao fX(x; r, λ) = 1Γ(r)λrx
r−1e−xλ11(0,∞)(x). Alem
disso∫∞
0xr−1e−xdx = Γ(r).
3. Se X ∼ χ2(r), entao fX(x; r) =
12r/2Γ(r/2)
xr/2−1e−x/211(0,∞)(x), r > 0.
4. Se∑∞
i=0 θici = 0, ∀ θ , entao ci = 0, ∀ i.
4
Nome:
R.A.:
EXAME DE QUALIFICACAO PARA O MESTRADO EMESTATISTICA
Exame de Inferencia, Data: 17/02/2011
Leia atentamente as instrucoes abaixo:
• O exame tem duracao de quatro horas.
• Numere e identifique cada folha utilizada.
• Nao e permitido consulta.
• Leia atentamente cada uma das questoes.
• Resolva (4) das (5) questoes propostas. Indique na seguinte tabela quais
questoes foram escolhidas.
Questao 1 2 3 4 5
• Inicie a resolucao de cada questao em uma nova folha. Use somente um lado
de cada folha.
• Escreva de maneira clara e organizada.
• As questoes tem a mesma pontuacao.
• Enuncie, claramente, todos os resultados que voce utilizar.
• Justifique suas respostas.
• Todos os resultados vistos em classe ou desenvolvidos nas listas de exercıcios
podem ser utilizados, a menos que se mencione o contrario.
• Resolva o teste, preferencialmente, a caneta, e procure ser organizado(a). Se
fizer a lapis, destaque, a caneta, sua resposta.
Tranquilidade e faca uma excelente Prova!!
1
Questoes
1. Seja X1, ..., Xn uma amostra aleatoria de X em que
f(x; θ) =2x
θ211(0,θ)(x), θ > 0
a) Encontre o estimador pelo metodo dos momentos de θ (3 pontos).
b) Encontre o estimador de maxima verossimilhanca de θ. Calcule sua esperanca e
variancia exatas (10 pontos).
c) Obtenha um intervalo de confianca exato de γ% para θ (7 pontos).
d) Obtenha um teste exato para testar H0 : θ = 1 vs H1 : θ > 1, ao nıvel de signi-
ficancia de α (10 pontos).
2. Responda os itens
a) Seja X uma unica observacao da seguinte f.d.p.
f(x; θ) =
(
θ
2
)|x|(1− θ)1−|x| 11−1,0,1(x), θ ∈ [0, 1].
X e uma estatıstica completa? Justifique adequadamente(5 pontos)
b) Seja X uma unica observacao da seguinte f.d.p
f(x; θ) =θ
λΓ(1/θ)21+1/θexp
−1
2λ−θ|x|θ
11(−∞,∞)(x), θ > 0
em que
λ2 = 2−2/θΓ(1/θ)
Γ(3/θ).
Encontre um teste mais poderoso para testar H0 : θ = 2 vs H1 : θ = 1, ao nıvel de
significancia de α (15 pontos).
2
c) Seja X1, ..., Xn uma amostra aleatoria de X, em que
fX(x; θ) =1
θx(1−θ)/θ11(0,1)(x), θ > 0
Obtenha um teste UMP para testar H0 : θ ≤ θ0 vs H1 : θ > θ0, θ0 > 0, ao nıvel de
significancia de α (10 pontos).
3. Sejam X1, ..., Xn e Y1, ..., Ym duas amostras aleatorias independentes, respectivamente
de X ∼ N(µ1, σ2) e Y ∼ N(µ2, σ
2), µi ∈ (−∞,∞), i = 1, 2, σ2 > 0 (conhecido).
a) Encontre o ENVUM de µ1 − µ2 (10 pontos) .
b) Encontre a estatıstica do teste da razao de verossimilhancas para testarH0 : µ1 = µ2
vs H1 : µ1 6= µ2 e, com base nela, proponha um teste exato para testar as referidas
hipoteses a um nıvel de significancia de α (20 pontos).
4. Responda os itens:
a) Seja X1, .., Xn uma amostra aleatoria de X, em que
fX(x; θ) = θ(1 + θ)xθ−1(1− x)11(0,1)(x), θ > 0
i) Encontre o estimador pelo metodo dos momentos de θ (6 pontos).
ii) Encontre a distribuicao assintotica do estimador de maxima verossimilhanca
de θ, especificando os parametros dessa distribuicao (9 pontos).
b) Seja X1, .., Xn uma amostra aleatoria de X, em que
fX(x; θ) =1√2π
exp
−1
8(x− θ)2
11(θ,∞)(x), θ > 0
i) Obtenha um intervalo de confianca assintotico para θ, com coeficiente de con-
fianca de aproximadamente γ% (6 pontos).
ii) Proponha um teste, com base na amostra aleatoria, para testar as hipoteses
H0 : θ = 2 vs H1 : θ > 2, a um nıvel de significancia de α (9 pontos).
3
5. Seja X1, ..., Xn uma amostra aleatoria de X|µ ∼ N(µ, 1), µ ∈ (−∞,∞). Considere uma
distribuicao a priori π(µ), µ ∼ N(0, τ), τ > 0, conhecido. Responda os itens
a) Encontre a distribuicao a posteriori de µ e o respectivo estimador de Bayes de µ,
sob perda quadratica (15 pontos).
b) Obtenha um intervalo de credibilidade de γ% para µ (5 pontos).
c) Obtenha o estimador de Bayes para µ2, sob perda quadratica (10 pontos).
Formulario
1. Se X ∼ Beta(a, b), entao fX(x; a, b) =Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)
xa−1(1− x)b−111(0,1)(x), a > 0, b > 0. Alem
disso∫ 1
0xa−1(1− x)b−1dx = Γ(a)Γ(b)
Γ(a+b), Γ(y) = (y − 1)Γ(y − 1), y > 0.
2. Se X ∼ Gama(r, λ), r > 0, λ > 0, entao fX(x; r, λ) = 1Γ(r)λrx
r−1e−x
λ11(0,∞)(x). Alem
disso∫∞0
xr−1e−xdx = Γ(r) e Γ(1/2) =√π.
3. Se X ∼ N(µ, σ2), µ ∈ (−∞,∞), σ2 > 0, entao
fX(x;µ, σ2) = 1√
2πσ2exp
− 12σ2 (x− µ)2
11(−∞,∞)(x).
4
Exame de Qualificacao de Probabilidade
Mestrado em Estatıstica
10 de janeiro de 2011.
• A prova consiste de 5 questoes que devem ser respondidas de formamais completa possıvel.
• Inicie cada questao em uma folha separada. Escreva somente em umlado da folha.
• Coloque no alto de cada folha o numero da questao sendo respondidae seu nome.
1
1. Sejam X1, X2, . . . variaveis aleatorias independentes tais que
P (Xk = 1) = P (Xk = −1) =1 − 2−k
2
P (Xk = 2k) = P (Xk = −2k) =1
2k+1.
Prove que vale o Teorema Central do Limite.
2
2. (a) Seja F uma funcao de distribuicao contınua, e sejam X e Y v.a.’sindependentes e identicamente distribuıdas com distribuicao F .Prove que E(F (X)) = 1/2. Prove que P[X ≤ Y ] = 1/2.
(b) Sejam F e G funcoes de distribuicoes contınuas e suponha que Xtem distribucao F e Z tem distribuicao G. Mostre que E(F (Z))+E(G(X)) = 1. Dica: Interprete as esperancas como probabili-dades de eventos.
3
3. Sejam Xn v.a.’s independentes com distribuicao de Poisson com mediaan e Sn = X1 + . . . + Xn. Prove que se an → ∞ entao Sn/E(Sn) → 1em probabilidade.
4
4. Sejam U1, U2, . . . v.a.’s independenes U(0, 1). Defina uma v.a. X por
X + 1 = minn :n∏
i=1
Ui < e−λ,
0∏
i=1
Ui = 1.
Mostre que X ∼ Poisson(λ).
5
5. Seja (Ω,A, P) um espaco de probabilidade.
(a) Dizemos que dois eventos A, B ∈ A sao equivalentes se P(A ∩Bc) + P(Ac ∩ B) = 0. Mostre que A e B sao equivalentes seP(A ∩ B) = minP(A), P(B).
(b) Sejam A, B e C tres eventos disjuntos tais que
P(A) = 0.6, P(B) = 0.3, P(C) = 0.1.
Calcule a probabilidade de todos os eventos de σ(A, B, C) = menorσ-algebra contendo os eventos A, B e C.
6
Exame de Qualificacao de Probabilidade
Mestrado em Estatıstica
15 de fevereiro de 2011.
1. A prova consiste de 5 questoes que devem ser respondidas de formamais completa possıvel.
2. Nao e permitido consulta
3. Inicie cada questao em uma folha separada. Escreva somente em umlado da folha.
4. Coloque no alto de cada folha o numero da questao sendo respondidae seu nome.
1
1. Seja o vetor aleatorio (X, Y ) uniformemente distribuıdo nos lados doquadrilatero com vertices (0,−1), (1, 0), (0, 1), (−1, 0).
(a) Seja A um boreliano em R2, escreva P((X, Y ) ∈ A).
(b) Calcule as distribuicoes marginais de X e Y .
(c) Calcule as distribuicoes condicionais de X dado Y = y e de Ydado X = x.
(d) Calcule E(XY ), E(X) e E(Y ). E verdade que X e Y sao indepen-dentes?
2. Seja U uma v.a. Uniforme (0, 1) e seja q ∈ (0, 1). Mostre que
X = 1 + ⌊ln U/ ln q⌋
tem distribuicao geometrica.Nota: ⌊x⌋ = maior inteiro contido em x.
3. (a) Seja Xn uma sequencia monotona de v.a.’s. Mostre que seXn → X em probabilidade quando n → ∞ entao Xn → X quasecertamente n → ∞ (Pense em subsequencias).
(b) Seja Zn uma sequencia de v.a’s iid com distribuicao comumF (z) tal que F (1) = 1 e F (z) < 1 para todo z < 1. Prove que
maxZ1, . . . , Zn → 1, quase certamente quando n → ∞.
4. Seja Xn uma sequencia de v.a’s iid com densidade comum
f(x) = |x|−3, |x| > 1.
(a) Mostre que nao vale o TCL de Lindeberg.
(b) Mostre que apesar de (a) ainda temos
Sn√n log n
D→ N(0, 1).
Dica: Aplique CLT para Yn = XnI|Xn|≤√
n (nao esqueca de veri-ficar as condicoes) e use Borel-Cantelli. Alguns resultados uteis:
limn→∞
∑n
j=1log(j)
n log n − n= 1, lim
n→∞
n log n − n
n log n= 1.
2
5. Suponha que Xn, n ≥ 1 sejam v.a’s independentes e suponha queXn ∼ N(0, σ2
n). Escolha σ2
n tal que
maxσ1, . . . , σ2
ns2
n
9 0 (nao converge a zero) quando n → ∞
onde s2
n =∑n
j=1σ2
j . Use funcoes caracterısticas para mostrar que
X1 + . . . + Xn
sn
∼ N(0, 1).
3
Exame de qualificacao (agosto/2011, mestrado)
Probabilidade
• A prova consiste de 5 questoes que devem ser respondidas de forma maiscompleta possıvel.
• Inicie cada questao em uma folha separada. Escreva somente em um ladoda folha.
• Coloque no alto de cada folha o numero da questao sendo respondida e seunome.
1. Seja An = m
n: m ∈ N para n = 1, 2, 3, . . .. Calcule lim infn→∞ An e
lim supn→∞An.
2. Sejam X,X ′, X1, . . . , Xn v.a. independentes com a distribuicao Exponencial,com parametros λ, λ′, λ1, . . . , λn, respetivamente.
(a) Calcule P[X < X ′].
(b) Ache a distribuicao de v.a. Y = minX1, . . . , Xn.
(c) Calcule P[X1 = Y ] (sendo Y a v.a. do item (b)).
3. Escreva, o que significa que o Teorema Central de Limite vale para a sequencia(Xn, n ≥ 1). Quais condicoes suficientes para o TCL voce conhece (tem queformular estas condicoes, nao basta so nomear)?
Repita para as Leis Fraca e Forte de G.N. no lugar de TCL.
4. Sejam (Xn, n ≥ 1) v.a. independentes, tais que P[Xn = nα] = P[Xn = −nα] =1/2, onde α ∈ [0, 1/2) e um parametro. Seja Xn = (X1 + · · · + Xn)/n. O quepode ser dito sobre a convergencia Xn → 0 em probabilidade, q.c., em L2, emL1?
5. Entre as proposicoes a seguir, identifique as verdadeiras e as falsas. Prove asproposicoes verdadeiras, e de contra-exemplos para as proposicoes falsas.
(a) Xn ≥ 0 q.c., e Xn
q.c.−→ X. Entao EXn → EX.
(b) Se XnL3
−→ X, entao XnP
−→ X.
(c) Se XnP
−→ X entao Xn
q.c.−→ X.
(d) Xn
q.c.−→ X, Xn+1(ω) ≤ Xn(ω) q.c. para todo n, e EX5 < ∞. Entao,
EXn → EX.
(e) Xn
q.c.−→ X e |Xn| ≤ 3 q.c. para todo n. Entao, para qualquer parametro
a > 0, temos EXan → EXa.
(f) Se Xn, Yn sao independentes para cada n, XnD
−→ N(0, 1) e YnD
−→ N(0, 1),
entao Xn − YnD
−→ N(0, 2).
(g) Se XnL2
−→ 2, YnD
−→ N(0, 1), entao Yn
Xn
D−→ N(0, 1
4).
(h) Se (Xn, n ≥ 1) sao v.a. independentes e o Teorema Central de Limite valepara esta sequencia, entao a Lei Forte dos Grandes Numeros vale tambem.
Obs.: enuncie os teoremas utilizados (nao e preciso prova-los). Seja mais es-pecıfico na aplicacao destes teoremas (mau exemplo: esta proposicao vale por
causa do teorema de convergencia dominada; bom exemplo: esta proposicao vale
porque a sequencia de v.a. (|Xn|/2, n = 1, 2, 3, . . .) satisfaz as hipoteses do teo-
rema de convergencia dominada).
EXAME DE QUALIFICACAO PARA O MESTRADO EM ESTATISTICA
PROVA DE INFERENCIA
21 de dezembro de 2011
INSTRUCOES
1. A duracao da prova e de 4 horas.
2. Nao e permitido consulta.
3. Inicie cada questao em uma nova folha. Escreva de maneira clara e organizada. Numeree identifique com a sua senha cada folha utilizada.
4. Resolva 4 das questoes. Coloque um cırculo na questao nao resolvida. Os pesos de cadaıtem estao indicados entre colchetes no inıcio de cada ıtem.
5. E preciso devolver apenas esta pagina de rosto. Pode levar a outra folha.
6. Tranquilidade e Boa Sorte.
SENHA: · · · · · ·
Questao nao resolvida: 1 2 3 4 5
EXAME DE QUALIFICACAO PARA O MESTRADO EM ESTATISTICA - PROVA DEINFERENCIA - 21 de dezembro de 2011
1. Seja X1, · · · , Xn+2 uma amostra aleatoria de tamanho (n+2) de uma distribuicao de Poissonde parametro λ, λ > 0. Responda os itens seguintes baseando-se apenas nas informacoes dadaspelas primeiras n observacoes.[12] a. Encontre um estimador nao viciado uniformemente de variancia mınima (ENVUVM)para a probabilidade de que os valores amostrais da (n + 1)−esima e da (n + 2)−esima ob-servacoes sejam iguais.[5] b. Discuta se sua variancia atinge o limite inferior de Cramer-Rao e se existe outro EN-VUVM.[8] c. De o limite inferior de confianca do intervalo de confianca unilateral mais acurado de λ,tal que tenha coeficiente de confianca igual a 100(1− α)%.
2. Considere X1, ..., Xn e Y1, ..., Ym amostras aleatorias (mutuamente independentes) de X ∼gama(r, λ) e Y ∼ gama(r, α), com r conhecido, E(X) = rλ e E(Y ) = rα. Responda os itens.[8] a. Considerando apenas a primeira amostra, obtenha o estimador de maxima verossimi-lhanca de 1
λ.
[8] b. Considerando apenas a primeira amostra, obtenha um intervalo de confianca assintotico,de coeficiente de confianca γ, para λ2.[9] c. Encontre o teste da razao de verossimilhancas, de tamanho α, para testar H0 : λ = α vsH1 : λ 6= α.
3. Considere que a distribuicao do tempo de falha seja uma mistura de duas distribuicoesexponenciais com medias conhecidas e iguais a 1, 0 e 0, 5 e com taxa de mistura θ ∈ [0, 1], istoe, com densidade dada por:
f(x; θ) =[
θe−x + (1− θ)2e−2x]
I(0,∞)(x).
Para uma unica observacao.[10] a. Verifique se existe um teste uniformememente mais poderoso de nıvel α para as hipoteses:
H0 : θ = 1/2 vs Ha : θ > 1/2.
Se existir de o teste para um nıvel de significancia 0, 05, e de o valor-p do teste quando o valorobservado for igual a 2.[8] b. Verifique se existe um teste uniformememente mais poderoso de nıvel α para as hipoteses:
H0 : θ = 1/2 vs Ha : θ 6= 1/2.
Se existir de o teste para um nıvel de significancia 0, 05.[7] c. De o estimador de maxima verossimilhanca de θ.
4. Seja uma amostra de tamanho um da densidade:
f(x;λ) = λe−λxI(0,∞)(x),
onde λ > 0. Considere que a distribuicao a priori de λ seja a distribuicao Gama , com hyper-parametros α e β positivos, isto e com densidade:
f(λ;α, β) =βα
Γ(α)λ(α−1) e−βλ I(0,∞)(λ),
Considere a funcao perda dada por L(d, λ) = I(|d− λ| > 1).[9] a. Calcule a funcao risco quando utilizamos δ(X) = a/X, com a > 0, como estimador de λ.[9] b. De o valor esperado da funcao perda utilizando a distribuicao a posteriori de λ.[7] c. De um intervalo de credibilidade 100γ% de mais alta densidade de λ.
5. Considere (Xi, Yi), i = 1, · · · , n uma amostra aleatoria de tamanho n da distribuicao bi-variada definida por: Xi tem distribuicao exponencial com media θ, θ > 0, e a distribuicaocondicional da variavel aletoria Yi, dado que Xi = xi e uma exponencial com taxa de falha βxi,β > 0.[7] a. De uma estatıstica completa.[18] b. Utilize um dos tres testes, Wald, Razao de Verossimilhanca ou Escore, para dar a aregiao crıtica de um teste de tamanho α para testar a hipotese nula H0 : θ = β, contra ahipotese alternativa Ha : θ 6= β
Exame de Qualificacao (mestrado.2012.1) – Probabilidade
1. Considere dois eventos A,B. Seja (An)n∈N uma sequencia de eventos tais que,para todo k ∈ N se verifica A2k = A, A2k+1 = B.
• Calcule lim supn→∞ An.
• Calcule lim infn→∞ An.
• Em que caso lim supn→∞ An = lim infn→∞ An?
2. Sejam X1, X2, . . . , Xn v.a. i.i.d. Uniformes [0, 1]. Sejam
U = min1≤k≤n
Xk, V = max1≤k≤n
Xk.
Calcule a densidade conjunta de U e V .
3. Sejam X1, X2, . . . v.a. i.i.d., EX1 = 0, EX21 = 1. Seja Sn = X1 + · · · + Xn e
seja Fn a σ-algebra gerada por X1, X2, . . . , Xn. Calcule E(S2n+1 − S2
n | Fn).
4. Verifique se as seguintes afirmacoes sao verdadeiras ou falsas (prove ou de umcontra-exemplo):
(a) se Xn → X em probabilidade, entao Xn −X → 0 em probabilidade;
(b) se Xn → X em distribuicao, entao Xn −X → 0 em distribuicao.
(c) se Xn → X em Lp, entao Xn → X em probabilidade.
(d) se Xn → X em probabilidade, entao Xn → X q.c.
5. Sejam X1, X2, . . . v.a. independentes, Xn e uniforme no intervalo [− 3√n, 3
√n].
O que podemos dizer com relacao a Lei Forte dos Grandes Numeros e o TeoremaCentral de Limite para esta sequencia? Caso algum destes fatos se verifique, o for-mule explicitamente para a sequencia em questao (especificando os parametros).
Exame de Qualificacao (mestrado.2012.2) – Probabilidade
1. Calcule a densidade de v.a. Z = X + Y , onde X, Y sao v.a. independentes,X ∼ U [−1, 1], Y ∼ Exp(1).
2. Seja (Xn, n ≥ 1) uma sequencia de v.a. nao negativas, e tal que Xn → 1 q.c.quando n → ∞. O que podemos dizer sobre a sequencia (EXn, n ≥ 1)? E setivermos a informacao adicional que (considere (a), (b), (c) separadamente)
(a) Xn+1 ≥ Xn q.c. para todo n ≥ 1?
(b) Xn+1 ≤ Xn q.c. para todo n ≥ 1?
(c) (Xn, n ≥ 1) e uniformemente untegravel?
(Obs.: enuncia os teoremas utilizados.)
3. Seja (Ω,F ,P) um espaco de probabilidade, A ⊂ F uma sigma-algebra, e X
uma v.a. integravel.
(i) De a definicao da esperanca condicional E(X | A). Enuncie o resultado quenos permite provar a existencia da esperanca condicional.
(ii) Prove que, se X e A-mensuravel e E(X1A) = 0 para qualquer A ∈ A, entaoX = 0 q.c.
4. Seja p0 > 0 um parametro. De um exemplo de uma sequencia de variaveisaleatorias (Xn, n ≥ 1) tal que Xn → 0 em Lp para p ≤ p0, mas Xn nao convergepara 0 q.c. e em Lp para p > p0.
5. Sejam X1, X2, . . . v.a. independentes, Xn e uniforme no intervalo [− 3√n, 3
√n].
O que podemos dizer sobre as Leis Fraca e Forte dos Grandes Numeros para estasequencia (caso o respetivo resultado valha, o formule explicitamente)?
①♠ çã♦ Pr♦
str♦ ♠ sttíst
♦st♦
♥strçõs
♣r♦ é ♦♠♣♦st qstõs q ♠ sr rs♣♦♥s ♦r♠ r
♦♠♣t
rçã♦ ♣r♦ é ♦rs
ã♦ é ♣r♠t♦ ♦♥st
♥ qstã♦ ♠ ♠ ♦ s♣r ♦♦q ♦ s ♥♦♠ ♦♠♣t♦ ♠
♦
♦r♠ár♦
∞∑
n=0
xn =
(1− x)−1 s 0 ≤ x < 1,
∞ s x ≥ 1.
∞∑
n=0
xn
n!= ex ♣r t♦♦ x ∈ R.
Pr p ∈ (0, 1), t♠♦s q∞∑
n=1
n p (1− p)n−1 =1
p
∞∑
n=1
n2 p (1− p)n−1 =2− p
p2.
Pr λ > 0, t♠♦s qn
∑
k=1
kλ ∼ nλ+1
λ+ 1q♥♦ n → ∞.
Pr α > 0 λ > 0,
∫ ∞
0
xα−1 e−λx dx =Γ(α)
λα.
Γ(n+ 1) = n! ♣r n ≥ 0 ♥tr♦.
♠ A1, A2, . . . ♥t♦s ♠ ♠ s♣ç♦ ♣r♦ ts q An ↑ A q♥♦
n → ∞ ♦ s
An ⊂ An+1 ♣r t♦♦ n ≥ 1 A =∞⋃
n=1
An.
♣♦♥ q B é ♠ ♥t♦ ♥♣♥♥t An ♣r t♦♦ n ≥ 1 Pr♦ q A
B sã♦ ♥♣♥♥ts
(X, Y ) ♠ ♣♦♥t♦ s♦♦ t♦r♠♥t ♥♦ qr♦ (0, 1) × (0, 1) ♥
Z = XY
♦str q ♥s Z é ♣♦r
fZ(z) =
− log z s 0 < z < 1,
0 s♦ ♦♥trár♦.
tr♠♥ E(X |Z = z) ♣r 0 < z < 1
♠ X1, X2, . . . rás tórs ♥♣♥♥ts ♥t♠♥t strís
♦♠
P (X1 = 0) = P (X1 = 1) =1
2.
♣r♦ q s ❵ s ♦sr ♥♥ts ③s ♥
sqê♥
N ♦ ♥ú♠r♦ s s té q ♣rç s ❵ ♣ ♣r♠r ③
tr♠♥ ♦ ♦r s♣r♦ N
♠ X1, X2, . . . rás tórs ♥♣♥♥ts ♥t♠♥t strís
♦♠ ♠é µ râ♥ σ2 ♥t ♣♦st Pr n ≥ 1 ♥
Yn =2
n(n+ 1)
n∑
k=1
k Xk.
♦str q Yn → µ ♠ ♣r♦ q♥♦ n → ∞
Unn≥1 ♠ sqê♥ rás tórs ♥♣♥♥ts ♥t♠♥t
strís ♦♠ strçã♦ ♥♦r♠ ♠ (0, 1) ♥
Yn =(
n∏
i=1
Ui
)−1/n.
♦str q sqê♥ Ynn≥1 ♦♥r qs rt♠♥t ♣r ♠ ♦♥s
t♥t c ♥♦♥tr ♦ ♦r c
Pr♦ q√n (Yn − c) ♦♥r ♠ strçã♦ ♣rs♥t♥♦ strçã♦
♠t
EXAMEN GENERAL DE PROBABILIDAD
FEBRERO DEL 2013
Duracion: 6 horasInstrucciones:
(1) La calificacion aprobatoria mınima es 5.(2) Cada problema vale 1 punto.(3) Los incisos de cada problema se califican independientemente y tienen el mismo
valor.(4) Pueden asumir cierto el inciso anterior, aun sin resolverlo, para responder a los
que siguen.
1. Probabilidad
Problema 1. Sea (Xn)n una sucesion de variables aleatorias independientes. Estudie la con-vergencia (en distribucion, en probabilidad y casi segura) de Xn y de Sn = X1 + · · · +Xn sipara cada n 2 N:
(1) Xn tiene distribucion de Bernoulli de parametro 1n2 ,
(2) Xn tiene distribucion de Poisson de parametro 1n2 y
(3) Xn tiene distribucion de Poisson de parametro 1n.
Problema 2. Sean X1, X2, . . . variables aleatorias independientes tales que Xi tiene dis-tribucion exponencial de parametro 1 para i par y distribucion Poisson de parametro 2 para iimpar.
(1) Enuncie una ley fuerte de los grandes numeros para la sucesion de sumas parcialesasociada a (Xi) y desmuestre si se cumple o no.
(2) Encuentre α tal queX1 + · · ·+Xn − αnp
n
tenga un lımite en distribucion no-trivial e identifıquelo. (Sea muy preciso en la pruebade sus afirmaciones).
Problema 3.
(1) Sea X 2 L2. Pruebe que:
E
[X − E(X |G )]2
E
[X − E(X)]2
.
(2) Sean X,Y 2 L2 pruebe que
E(XY |G )2 E(
X2∣
∣G)
E(
Y 2∣
∣G)
< 1.
Problema 4. Sean U1, U2, . . . variables independientes uniformes en (0, 1) y defina
Spn =
nX
i=1
1Ui≤p.
(1) Sea f : [0, 1] ! R continua y M una cota para |f | en [0, 1]. Pruebe que E(f(Spn/n)) es
un polinomio.1
EXAMEN GENERAL DE PROBABILIDAD FEBRERO DEL 2013 2
(2) Dada ε > 0, sea δ > 0 tal que si x, y 2 [0, 1] y |y − x| δ entonces |f(y)− f(x)| ε.Pruebe que
∣
∣
∣
∣
E
f
Spn
n
− f(p)
∣
∣
∣
∣
ε+2M
δ2E
Spn
n− p
]2!
.
(3) Al utilizar el inciso anterior, demuestre el teorema de aproximacion polinomial deWeierstrass: existe una sucesion de polinomios f1, f2, . . . tal que
limn→∞
supp∈[0,1]
|fn(p)− f(p)| = 0.
2. Procesos Estocasticos
Problema 5. Sea (Fn, n 2 N) una filtracion y M = (Mn,2 N) una (Fn)-martingala. SeaC = (Ci, i ≥ 1) un proceso acotado, digamos por K. Asuma que Cn es Fn−1-medible.
(1) Defina al proceso estocastico C ·M mediante
(C ·M)0 = 0 y (C ·M)n =
nX
i=1
Ci (Mi −Mi−1) para n ≥ 1.
Pruebe cuidadosamente que C ·M es una (Fn)-martingala.(2) Encuentre una cota para el segundo momento de C ·M en terminos del segundo mo-
mento de M y de K. Escriba la desigualdad L2 de Doob para C ·M y reexpresela conla cota que obtuvo.
Problema 6. Sean S = (Si, i ≥ 1) una sucesion variables exponenciales independientes deparametro λ, T0 = 0, Tn = S1 + · · ·+ Sn para n ≥ 1 y
Nt =X
n
n1Tn≤t<Tn+1
el proceso de conteo asociado a S. Para t > 0, sean St1, S
t2, . . . los tiempos que transcurren
entre los saltos sucesivos sucesivos del proceso (Nt+s, s ≥ 0). Pruebe que las variables St1, S
t2
son exponenciales de parametro λ e independientes (entre si y de Nt).
Problema 7.
(1) Sea (Sn)n∈N una cadena de Markov con espacio de estados Z y matriz de transicion
Pi,i+1 = p Pi,i−1 = 1− p
donde p 2 [0, 1]. De una condicion necesaria y suficiente para que (|Sn| , n 2 N) seauna cadena de Markov.
(2) Sea (Xt, t ≥ 0) una cadena de Markov a tiempo continuo cuyas tasas de transicion son
λi,i+1 = α λi,i−1 = β λi,j = 0 si j 6= i+ 1, i− 1.
Encuentre una condicion necesaria y suficiente para que (|Xt| , t ≥ 0) sea una cadena deMarkov a tiempo continuo y verifique con cuidado su afirmacion. Cuando (|Xt| , t ≥ 0)sea una cadena de Markov a tiempo continuo, calcule las tasas de transicion.
Problema 8.
(1) De la definicion de proceso gaussiano y de movimiento browniano.(2) Sea B un movimiento browniano y bt = Bt− tB1, t 2 [0, 1]. Pruebe que b es un proceso
gaussiano en [0, 1] y calcule sus funciones de media y covarianza.(3) Pruebe que b es independiente de B1.
EXAMEN GENERAL DE PROBABILIDAD 2013-II
30 JULIO DEL 2013
Duracion: 6 horasInstrucciones:
(1) La calificacion aprobatoria mınima es 5.(2) Cada problema vale 1 punto.(3) Los incisos de cada problema se califican independientemente y tienen
el mismo valor.(4) Pueden asumir cierto el inciso anterior, aun sin resolverlo, para res-
ponder a los que siguen.
1. Probabilidad
Problema 1. Sean (Ω,F ,P) un espacio de probabilidad y (Fi, i ∈ N) una coleccionde subσ-algebras de F .
(1) Defina que significa que las σ-algebras (Fi, i ∈ N) sean independientes.(2) Pruebe que si I1, I2, . . . es una particion de N y definimos
Gj = σ
⋃
i∈Ij
Fi
,
entonces las σ-algebras (Gj, j ∈ N) son independientes.
Problema 2. Sean X1, X2, . . . variables aleatorias independientes e identicamentedistribuidas. Sea
Yi = Xi1 |Xi|≤i.
Pruebe que
P(Xi 6= Yi para una infinidad de ındices i) ∈ 0, 1y encuentre un criterio en terminos de X1 para discernir entre ambos casos.
Problema 3. Pruebe que si las variables aleatorias cuadrado integrables X y Y
satisfacen E(Y 2 |X) = X2 y E(Y |X) = X entonces X = Y casi seguramente.
Problema 4. SeanX1, X2, . . . variables independientes e identicamente distribuidascon varianza 1 y media 0. Pruebe que la sucesion de variables aleatorias
X1 + · · ·+Xn√n
converge en distribucion a una variable no-degenerada pero que no lo hace en prob-abilidad. Sugerencia: razone por contradiccion y utilice la ley 0-1 de Kolmogorov.
1
EXAMEN GENERAL DE PROBABILIDAD 2013-II 30 JULIO DEL 2013 2
2. Procesos Estocasticos
Problema 5.
(1) Sea M = (Mn, n ∈ N) una martingala. Pruebe que si G es una subσ-algebra independiente de M entonces M es una martingala respecto de lafiltracion Fn = σ(G ,M0, . . . ,Mn).
(2) SeanM = (Mn, n ∈ N) y N = (Nn, n ∈ N) dos martingalas independientes.Pruebe que MN = (MnNn, n ≥ 0) es una martingala.
Problema 6. Sea S = (Si, i ≥ 1) una sucesion iid con valores en Z+ = 1, 2, . . .y media finita µ. Sea R el proceso de tiempos residuales del proceso de renovacioncon tiempos interarribo S.
(1) Pruebe que R es una cadena de Markov.(2) Especifique su matriz de transicion, y pruebe que la distribucion inicial
πi =P(S1 ≥ i)
µ
es invariante.
Problema 7. Cada bacteria en una colonia se divide en dos copias identicasdespues de un tiempo exponencial de parametro λ, que a su vez siguen la mismadinamica de subdivision de manera independiente. Sea Xt el tamano de la coloniaal tiempo t y suponga que X0 = 1.
(1) Muestre que la funcion generadora ϕ(t) = E(
zXt)
satisface
ϕ(t) = ze−λt +
∫ t
0
λe−λsϕ(t− s)2 ds
y que por lo tanto (al hacer el cambio de variables u = t− s)
∂ϕ(t)
∂t= λϕ(t) [ϕ(t)− 1] .
(2) Deduzca que si q = 1− e−λt y n = 1, 2, . . . entonces
P(Xt = n) = qn−1 (1− q) .
Problema 8.
(1) De la definicion de proceso gaussiano y de movimiento browniano.(2) Sea B un movimiento browniano y Xt = e−t/2B(et) , t ∈ R. Pruebe que X
es un proceso gaussiano en R y calcule sus funciones de media y covarianza.(3) Pruebe que X es estacionario, es decir, que para cualquier s ∈ R el proceso
(Xt+s, t ∈ R) tiene las mismas distribuciones finito-dimensionales que X.
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