Vol. 2, 1. 113-124 (2009)
Revue de
Mécanique
Appliquée et
Théorique
Revue de Mécanique Appliquée et Théorique, Vol. 2, 1. (2009) 9ème congrès de mécanique SMSM
Marrakech April 2009
Etude numérique du rendement propulsif d’une aile oscillante
placée dans un écoulement perturbé
M. Mekadem LMDF, École Militaire polytechnique, Alger Algérie
L. Menfoukh
LMDF, École Militaire polytechnique, Alger Algérie
H. Oualli
LMDF, École Militaire polytechnique, Alger Algérie
L. Keirsbulck
LME, UVHC, 59313 Valenciennes Cedex 9, France
S. Hanchi
LMDF, École Militaire polytechnique, Alger Algérie
L. Labraga LME, UVHC, 59313 Valenciennes Cedex 9, France
Résumé Dans la présente étude, nous étudions le rendement propulsif et la force de propulsion générée par une aile
oscillante placée dans écoulement localement perturbé et cela à un nombre de Reynolds, basé sur la corde du
profil, de l‟ordre de 3000. Une aile NACA0018 de corde est placée derrière un cylindre de diamètre =c/2
décalée horizontalement à des distances D=3 et 4. Il s‟agit d‟une étude numérique, élaborée en utilisant le
logiciel Fluent, de l‟influence de la fréquence du battement de l‟aile et de la distance D, sur l‟efficacité
propulsive d‟un tel mécanisme. Le battement du profil d‟aile est réalisé grâce à l‟utilisation du maillage
dynamique dans Fluent. Dans l‟ensemble de cette étude, l‟amplitude du mouvement de battement est fixée à
h0/c=0.125 et on s‟intéresse particulièrement à l‟étude de l‟évolution des structures tourbillonnaires émises
derrière l‟aile. Il ressort que les performances de l‟aile oscillante augmentent en fonction de la fréquence de
pilonnement et l‟ajout d‟un cylindre en amont de l‟aile semble avoir un effet bénéfique. Dans la plage des
distances choisies, la distance entre le cylindre et l‟aile n‟a pas d‟incidence sur le rendement propulsif et la force
de propulsion développée.
Abstract We present in this paper study of the reduction mechanism of drag and/or generation of propulsion force using a
flapping wing. Several authors, through observations, could make a correlation between the Strouhal number and
the wake nature. A flapping wing with a chord „c‟ is placed behind a cylinder with a diameter =c/2 placed
horizontally at a distance D=3 and 4. A numerical study elaborated on the Fluent software put in evidence the
existence of the vortices structures and its contribution in the propulsion force generation. The amplitude of the
movement is fixed to h0/c=0.125.
1. INTRODUCTION
114 M. Mekadem, L. Menfoukh, H. Oualli, L. Keirsbulck, S. Hanchi, L. Labraga
Revue de Mécanique Appliquée et Théorique, Vol. 2, 1. (2009)
L‟hydrodynamique de la nage des poissons suscite depuis longtemps l‟intérêt des chercheurs. Des
centaines de millions d‟années d‟évolution ont produit plus de 22 000 espèces de poissons considérés
comme les maîtres de l‟art de l‟interaction propulsive avec l‟eau [1]. Les scientifiques qui se sont mis
à observer les mouvements des poissons ont conclu que leur mode de propulsion résulte du battement
de la nageoire caudale. Ce mouvement oscillatoire est une combinaison d‟un mouvement de
pilonnement et d‟un mouvement de tangage dans le plan vertical pour les baleines et les dauphins.
On rencontre ce même mode de locomotion chez les oiseaux. Le vol de ces derniers est caractérisé par
de larges battements dans un plan presque vertical mais à des faibles fréquences. Par contre, les
insectes et le colibri (oiseau capable d‟effectuer un vol stationnaire) se déplacent en battant leurs ailes
dans le plan horizontal à des fréquences élevées. Le vol battu et le vol vibrant, sont regroupés sous
l‟appellation commune vol battu ou d‟aile battante [2].
La compréhension de ces phénomènes aérodynamiques, contribue à l‟amélioration des performances
des appareils volants. L‟une des applications directes de cet axe de recherche est la conception des
micro-véhicules aériens (micro-air-vehicles) définis par (Defense Advanced Research Project Agency)
comme étant des machines volantes avec des dimensions ne dépassant pas 15 cm[2,3].
L‟aérodynamique classique, à elle seule, ne pouvait pas expliquer le surplus de portance généré par le
battement d‟aile. Appliquée au vol battu elle fournissait une portance inférieure au poids de l‟animal.
Ce phénomène est connu sous le paradoxe "bumblebees can't fly". Weis-Fogh est le premier à
proposer des mécanismes aérodynamiques instationnaires à partir d'observations, susceptibles
d'expliquer l'origine de la portance manquante [4, 5], . Dickinson [6,7], a trouvé, à faibles nombres de
Reynolds entre 75 et 225, que l‟augmentation de la portance est associée à l‟apparition des tourbillons
au bord d‟attaque LEV (leading-edge vortices). Les mécanismes de l‟aérodynamique instationnaire
sont largement commentés par Dragos Viieru [8].
Bien que la nageoire caudale soit l‟organe responsable de ce mode de propulsion, les poissons dans
leur majorité se servent également du reste de leur corps pour perturber l‟écoulement incident,
favorisant ainsi la formation des tourbillons. Partant de cette constatation, les premières expériences
menées par Gopalkrishnan [13] ont consisté à placer en amont du profil, un cylindre mobile générant
et dirigeant une allée tourbillonnaire vers une aile en battement. Le cylindre modélise le corps et l‟aile
constitue l‟organe propulsif.
Les expériences ont montré que le battement du profil d‟aile altère sensiblement la position et
l‟énergie des tourbillons émis par le cylindre, selon trois modes [13] :
1. Expansion du sillage : les tourbillons provenant du cylindre s‟apparient avec les tourbillons
détachés du profil, produisant des tourbillons plus intenses dans le sillage produit, disposés
sous la forme d‟une allée de Von Kármán inversée;
2. Interaction destructive :les tourbillons provenant du cylindre interagissent d‟une manière
destructive avec les tourbillons détachés du profil, produisant des tourbillons faibles dans le
sillage, disposés sous la forme d‟une allée de Von Kármán inversée;
3. Interaction constructive : ce mode se distingue par l‟apparition d‟un phénomène
d‟appariement tourbillonnaire, les tourbillons lâchés par le cylindre s‟apparient avec ceux
lâchés par le bord de fuite du profil qui lui sont de même signe et donne naissance à une allée
de Von Kármán plus intense : c‟est l‟inverse de l‟effet recherché car on augmente la traînée.
Par ailleurs, le théorème de Kelvin stipule que la variation totale de la circulation dans l‟écoulement
doit rester nulle ( 0 DtD )[20]. Si un tourbillon tournant dans le sens horaire est détaché du profil
d‟aile, il sera systématiquement suivi d‟un autre tourbillon tournant dans le sens antihoraire. Ainsi,
Jones [9] trouve que la nature du sillage change fondamentalement en fonction des paramètres de
contrôle.
Une allée de Von Kàrmàn directe, figure 1 a, observée à de faibles vitesses d‟oscillation, est
caractérisée par des tourbillons situés au-dessous de la ligne moyenne et tournent dans le sens horaire.
Le déficit de vitesse moyennée dans le sillage indique une augmentation de la traînée [9, 10].
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115
(a) (b)
Figure 1 : Allée de Von Karman directe (a) et inversée (b) [9]
L‟allée de Von Kàrmàn inversée est obtenue quand les tourbillons situés au-dessus de la ligne
moyenne tournent dans le sens antihoraire et ceux de la ligne d‟en dessous tournent dans le sens
horaire figure 1 a. Ici l‟interaction entre deux tourbillons successifs crée des entrées d‟air obliques,
dont la résultante est un jet sur la ligne moyenne donnant par réaction une force de poussée [9,10].
Dans la présente étude une aile oscillante dans un écoulement ayant un nombre de Reynolds 3000Re
basé sur la corde du profil „c‟, est placée derrière un cylindre de diamètre =c/2 décalée
horizontalement d‟une distance D=3 et 4, figure 2. À 1500Re cyl la longueur de la bulle de
recirculation est de 2.3 [14]. Le profil placé à la distance „D‟ ne perturbe pas la formation et le
détachement des tourbillons du cylindre.
Il s‟agit d‟une étude numérique, réalisée sur le logiciel Fluent, pour la mise en évidence des
mécanismes de l‟aérodynamique instationnaire et de l‟évolution du rendement propulsif en fonction du
nombre de Strouhal. Dans l‟ensemble de cette étude, l‟amplitude du mouvement de battement est
constante h0/c=0.125. La fréquence de battement considérée pour contrôler l‟écoulement varie de
façon à garder le nombre de Strouhal dans la gamme optimale St[0.1,0.3]. Le nombre de Strouhal est
défini par UAfSt . . La largeur caractéristique du sillage A est prise égale au double de l‟amplitude
maximale (Anderson et al. [12] ): 02hA .
2. MATERIEL ET METHODE
2.1 Génération du maillage
La géométrie étant relativement simple, on a commencé par le maillage des arrêtes pour pouvoir
contrôler la qualité du maillage localement. Au voisinage du profil nous avons opté pour un maillage
dense, figure 2, respectant 1/ yUY . Où U est la vitesse tangentielle, „y‟ la distance par rapport
à la paroi et la viscosité cinématique.
Cette zone adjacente au profil ne subit aucune déformation. Cela va nous permettre de mieux capter
les gradients physiques présents à ces endroits.
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Figure 2 : Domaine de calcul et maillage choisi
Plus loin du profil d‟aile et en tenant compte des exigences du maillage dynamique, un maillage non
structuré s‟avère plus adéquat, figure 2. La jonction entre les deux zones est assurée par une interface,
figure 2, qui assure la continuité des entités physiques sans agir sur la qualité de l‟écoulement. Le
module du maillage dynamique existant dans FLUENT est utilisé pour modéliser et ajuster des
écoulements où la forme du domaine change dans le temps suite au mouvement des parois dans le
domaine.
La mise à jour de la maille est traitée automatiquement par FLUENT à chaque fois que l‟étape reçoit
les nouvelles positions des frontières mobiles. L‟utilisation du maillage dynamique dans FLUENT
exige l‟introduction de fonctions définies par l'utilisateur UDF (user defined function).
2.2 Cinématique du mouvement
Jones et al. [9], Anderson et al. [12] décomposent le mouvement de battement en :un mouvement de
pilonnement régi par :
)sin()( 0 thth (1)
et un mouvement de tangage :
)sin()( 0 tt (2)
Maillage
couche limite
Y+=1
c D
25c
20 c
Profil d‟aile
Cylindre
Entrée
R=12.5c
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Où h0 et 0 sont respectivement les amplitudes maximales du mouvement de pilonnement et de
tangage. f 2 est la fréquence du battement et est l‟angle de phase entre les deux mouvements.
Anderson et al. [12] démontrent qu‟un rendement propulsif optimal est obtenu si le tangage est en
avance par rapport au pilonnement d‟un angle proche de 90°. Dans cette étude et sauf dans la partie
validation du solveur, le mouvement de tangage n‟est pas considéré.
Le code de calcul FLUENT est utilisé pour la simulation numérique de l‟écoulement dans le domaine
de calcul considéré, figure 2. Le module du maillage dynamique existant dans FLUENT est utilisé
pour modéliser et ajuster des écoulements où la forme du domaine change dans le temps suite au
mouvement des parois dans le domaine.
Une grille type C est adoptée pour simuler l‟écoulement avec un maillage non-structuré, figure 2.
L‟entrée est localisée à "12c" en amont du cylindre, la sortie à "20c" en aval de l‟aile et les surfaces
latérales du domaine de calcul sont localisées à "12c" où c est la corde du profil. Le premier point de la
grille adjacente au profil d‟aile est situé de sorte à avoir une valeur de Y+ de l‟ordre de 1. Au voisinage
du profil et du cylindre nous avons opté pour un maillage non structuré dense, figure 2. Cette zone
adjacente au profil ne subit aucune déformation. Sans la modélisation de la turbulence, cela permet de
mieux capter les gradients physiques présents à ces endroits. Un solveur 2D instationnaire avec un
couplage Pression-Vitesse est utilisé. Pour la discrétisation spatiale on a utilisé un schéma de 3ème
ordre. Dans ces conditions, le temps de calcul moyen d‟une simulation est de 16 heures sur une station
de calcul (Intel Xeon E5405 2 GHz avec 4 Go de RAM).
La mise à jour de la maille est traitée automatiquement par FLUENT à chaque fois que l‟étape reçoit
les nouvelles positions des frontières mobiles. L‟utilisation du maillage dynamique dans FLUENT
exige l‟introduction de fonctions définies par l'utilisateur.
2.3 Effet du raffinage de maillage et de pas de temps
Pour vérifier l‟indépendance de la solution numérique vis-à-vis du raffinage du maillage une étude a
été réalisée à 4102.1Re avec un profil NACA0012 en mouvement de tangage par rapport à un point
situé à 4c . Plusieurs grilles ont été testées à une amplitude maximale de tangage 20 et une
fréquence Hzf 5 . Les grilles testées sont la grille 1 avec 11156 nœuds (dont 2x41 nœuds sur le
profil), grille 2 avec 15271 nœuds (dont 2x82 nœuds sur le profil), grille 3 avec 28138 nœuds (dont
2x163 nœuds sur le profil) et grille 4 avec 74777 nœuds (dont 2x326 nœuds sur le profil). Toutes ces
grilles ont été testées avec un pas de temps 100Tt ( fT 1 : la période d‟oscillation). A partir des
résultats obtenus pour le coefficient de trainée cd et le coefficient de portance cl, figure 3, il est claire
que la solution n‟est pas sensible au raffinage du maillage et qu‟une très bonne stabilité de la solution
est obtenue à partir de la grille 2.
Une autre étude est réalisée pour vérifier la stabilité de la solution par rapport au pas de temps t . Les
pas de temps considérés sont : 5
Tt ,
10
Tt ,
40
Tt ,
80
Tt ,
100
Tt et
125
Tt . Où T est la
période du mouvement considéré. De la Figure 4, on constate que la solution est très sensible au pas de
temps et qu‟elle se stabilise à partir de 40
Tt . Dans la présente étude, nous avons opté pour un pas
de temps100
Tt . Cela permet, aussi, d‟avoir une bonne convergence dans le calcul du maillage
dynamique.
118 M. Mekadem, L. Menfoukh, H. Oualli, L. Keirsbulck, S. Hanchi, L. Labraga
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Figure 3 : Variation temporelle de Coefficients aérodynamiques (Cd et Cl) pour différentes grilles
Figure 4 : Variation temporelle de Coefficients aérodynamiques (Cd et Cl) pour différents pas de temps
2.4 Validation des paramètres de calcul
Les simulations numériques ont été menées sur un espace de contrôle 2D avec une discrétisation
temporelle du premier ordre, limitée par l‟utilisation du maillage dynamique. Pour la validation, les
résultats du calcul, sont comparés avec le travail expérimental de Koochesfahani [16] pour le
mouvement de tangage pur et aux travaux de Tuncer [15] pour le mouvement de pilonnement seul.
Les résultats expérimentaux reportés par Koochesfahani [16], pour un profil NACA0012 en
mouvement de tangage par rapport à un point situé à 4c La vitesse de l‟écoulement libre est
smU /15.0 donnant un nombre de Reynolds basé sur la corde de l‟ordre de 4102.1Re . La
fréquence réduite du contrôle est 67.12 Uck et l‟angle de tangage moyen est nul. Des profils de
vitesse sont mesurés à la position 2cX à partir du bord d‟attaque et ils sont utilisés pour estimer la
force moyenne produite parallèlement à l‟écoulement. En négligeant les termes de pression et la
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contribution des entités fluctuantes le coefficient de force moyen produite est calculé à partir de bilan
de la quantité de mouvement par [16] :
dyU
u
U
u
cC f
12
(3)
Les valeurs positives du f
C indiquent la production d‟une force de propulsion et inversement les
valeurs négatives correspondent à une traînée. La comparaison des résultats de la simulation
numérique avec ceux de la littérature (Jones [11], Koochesfahani [16] et Ramamurti [18]), est donnée
dans la figure 5. Les valeurs calculées par simulation numérique sont sous-estimées par rapport aux
valeurs expérimentales données par Koochesfahani [16]. Par contre, une bonne concordance est
constatée, entre nos résultats, obtenus par un solver nonvisqueux, et Jones [11]. Cela démontre que la
contribution des forces visqueuses dans la force de propulsion totale est faible (Ramamurti [18] et
Isogai [19]).
Figure 5 : comparaison de coefficients de poussées
Figure 6 : Comparaison des coefficients de traînée moyens
120 M. Mekadem, L. Menfoukh, H. Oualli, L. Keirsbulck, S. Hanchi, L. Labraga
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Le même Solveur est utilisé pour simuler l‟écoulement autour d‟un profil NACA0012 en mouvement
de pilonnement, à une fréquence réduite élevée (selon la définition de Jones [9]) 85.72* Uckk
et 4102.1Re , pour les amplitudes : 1.0075.0,05.0,025.0,0125.00
*
0 etchh . Le coefficient de traînée
moyen est calculé par :
T
dd tCT
C0
)(1
(4)
Les valeurs négatives de d
C correspondent à une force de propulsion et inversement les valeurs
positives indiquent une traînée. La comparaison des valeurs du coefficient de traînée moyen obtenues
numériquement pas Tuncer [15] et ceux de notre simulation numérique est donnée par la figure 6. Ici,
les valeurs données par la simulation numérique sont surestimées et l‟utilisation des modèles de
turbulence n‟influe pas sur les résultats obtenus [19].
Description du sillage
Pour décrire la structure tourbillonnaire de l‟écoulement on va s‟appuyer sur les séquences réalisées
lors des simulations numériques à un nombre de Reynolds basé sur la corde du profil 3000Re et un
nombre de Strouhal 21.0St . Derrière le cylindre, la zone de recirculation s‟établit pendant que le
profil d‟aile effectue son mouvement de pilonnement, figure 7.
Figure 7 : Configuration initiale de l‟écoulement
Figure 8 : Formation des tourbillons pendant la phase de descente
Tourbillon (a) Tourbillon(1)
Tourbillon (I)
Tourbillon(II)
Tourbillon (I)
Tourbillon(II)
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Les tourbillons qui se développent dans la zone de recirculation commencent à se détacher et
atteignent le bord d‟attaque du profil. Dès lors, les tourbillons qui s‟y forment ne s‟atténuent plus et
continuent à se développer en se déplaçant sur l‟intrados ou sur l‟extrados du profil jusqu‟au
détachement. On constate sur la figure 8, que deux tourbillons (I, II) se forment derrière le cylindre et
se détachent alternativement avec une circulation opposée. Le tourbillon (I) atteigne le bord d‟attaque
du profil, il va être placé sur l‟extrados par le mouvement du profil, à la rencontre du tourbillon (a) qui
se forme sur ce dernier, ils s‟apparient et forment le tourbillon (1). Sur la figure 9, deux autres
tourbillons (III, IV) provenant du cylindre vont être convectés cette fois ci vers l‟intrados où ils
rencontrent le tourbillon(b) et s‟apparient pour former (2).
Figure 9 : formation des tourbillons pendant la phase de montée
Évaluation du rendement propulsif
Le profil est sujet à des forces de traînée X(t), de portance Y(t) et à un moment de tangage Q(t). Si T
est la période d‟oscillation, on définit la poussée moyenne F et la puissance moyenne par cycle P,
nécessaire pour maintenir le mouvement du profil :
dttXT
F
T
0
)(1
(5)
dtdt
tdhtY
TP
T
0
)()(
1 (6)
On définit le coefficient de puissance et le coefficient de poussée par :
dtftCostCUT
fh
SU
PC
T
lP )2()(2
2
10
0
3
(7)
dttCT
SU
FC
T
dt )(1
2
10
2
(8)
Tourbillon(2)
Tourbillon (I)
Tourbillon (II)
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où : ρ est la densité du fluide, S est la surface portante, Cd et Cl sont respectivement le coefficient de
traînée et le coefficient de portance et U la vitesse de l‟écoulement libre.
Le rendement propulsif est défini comme étant le rapport de la puissance utilisée à la puissance
fournie :
dtftCostC
dttC
fh
U
C
C
P
FUT
l
T
d
p
t
)2()(
)(
2
0
0
0
(9)
La figure 10 donne la variation instantanée des coefficients de portance et de traînée. On constate que
cette variation est quasi-périodique. On calcule la moyenne de F et de P sur un nombre n de cycle pour
obtenir plus de précision.
dttXnT
F
nT
0
)(1
et dtdt
tdhtY
nTP
nT
0
)()(
1 (10)
t /T6 8 10 12 14 16 18 20
Cd
-2
-1
0
1
t /T6 8 10 12 14 16 18 20
Cl
-10
-5
0
5
10
Figure 10 : coefficients aérodynamiques à St=0.21
Pour les différentes configurations étudiées, la variation du coefficient de poussée est donnée par la
figure 11 et du rendement propulsif par la figure 12.
3. DISCUSSION ET CONCLUSION
En plaçant le profil dans le sillage d‟un cylindre, les tourbillons lâchés par ce dernier s‟associent avec
ceux qui se forment au bord d‟attaque du profil en augmentant de ce fait, la poussée générée et le
rendement propulsif. A des fréquences de battement voisines de la fréquence d‟émission naturelle du
cylindre, il semblerait que les tourbillons lâchés du cylindre interagissent avec ceux lâchés du profil
d‟aile d‟une manière destructive, produisant ainsi une force propulsive plus importante.
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On constate que l‟ensemble en mouvement génère une poussée qui augmente en fonction du nombre
de Strouhal. Le rendement propulsif évolue inversement en fonction de l‟augmentation du nombre de
Strouhal.
St0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40
Ct
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Ct profil avec cylindre ・d=3D Ct profil avec cylindre ・d=4D Ct profil seul
Figure 11 : Évolution des coefficients de poussée en fonction de St pour les différentes configurations
St
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
profil avec cylindre à d=3D
profil avec cylindre à d=4D
profil seul
Figure 12 : Évolution du rendement propulsif en fonction de St pour les différentes configurations
Il est établi, également, que le coefficient de poussée augmente en fonction du nombre de Strouhal et
l‟interaction du profil avec le cylindre a un effet bénéfique sur le coefficient de poussée et le
rendement propulsif. Contrairement à la configuration profil seul en battement, en présence du
cylindre, le rendement propulsif a une allure décroissante en fonction du nombre de Strouhal, figure
12. Par ailleurs, il s‟avère que la distance entre le cylindre et le profil d‟aile n‟a pas une grande
influence sur l‟évolution du coefficient de poussée et le rendement propulsif.
124 M. Mekadem, L. Menfoukh, H. Oualli, L. Keirsbulck, S. Hanchi, L. Labraga
Revue de Mécanique Appliquée et Théorique, Vol. 2, 1. (2009)
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