Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno
2016
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES(Continuação)
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO
TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
étodos
uméricos
Eliminação de Gauss
Operações l-elementares:
Um SL poder ser transformado em um outro equivalente (quepossui a mesma solução) utilizando as 3 operações l-elementares(operações de linha):
▪ Trocar a ordem de duas equações:
O método de Eliminação de Gauss consiste em transformar o sistemadado num sistema triangular equivalente através de uma seqüência deoperações elementares sobre as linhas do sistema original.
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Eliminação de Gauss
▪ Somar uma equação à outra:
Então é possível transformar um SL em um outro de solução mais fácil.
▪ Multiplicar uma equação por constante não nula:
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Eliminação de Gauss Sistema triangular equivalente:
O método de eliminação de Gauss consiste em transformar um SLem um sistema triangular superior equivalente por meio dasoperações l-elementares.
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Eliminação de Gauss
▪ A transformação pode ser representada por: Ax = b Ux = d.
▪ A Solução do sistema triangular superior Ux = d é obtidapelas substituições retroativas.
▪ A exatidão pode ser verificada pelo cálculo do vetor resíduo.r = b - Ax.
▪ Exemplo: Resolver o sistema pelo método de eliminação deGauss e verificar a exatidão da solução:
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Eliminação de Gauss
▪ Eliminar elementos da primeira coluna:
Elemento pivô
Linha pivotável
▪ Eliminar elementos da segunda coluna:
Elemento pivô
Linha pivotável
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Eliminação de Gauss Cálculo do determinante:
▪ O determinante da matriz dos coeficientes pode ser obtidocomo um subproduto do método de Gauss.
▪ Deve-se conhecer as relações entre os determinantes dasvárias matrizes dos sistemas equivalentes intermediáriosobtidos pelas operações l-elementares durante o processo deeliminação de Gauss.
▪ a) Se duas linhas quaisquer de uma matriz A forem trocadas,então, o determinante da nova matriz B é:
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Eliminação de Gauss
▪ b) Se todos os elementos de uma linha de A foremmultiplicados por uma constante k, então, o determinante damatriz resultante B será:
▪ c) Se um múltiplo escalar de uma linha de A for somado à outralinha, então, o determinante da nova matriz B é:
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Eliminação de Gauss
▪ d) Se A for uma matriz triangular ou diagonal de ordem n,então, o seu determinante será igual ao produto dos elementosda diagonal principal:
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Eliminação de Gauss
▪ e) Se uma matriz A for multiplicada por uma matriz B, então, odeterminante da matriz resultante C é:
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Eliminação de Gauss
▪ Exemplo: calcular o determinante da matriz:
Sequência de matrizes obtidas pelas operações l-elementares:
Matrizes obtidas somente por combinações lineares das linhas,logo as três matrizes possuem o mesmo determinante que é igualao produto dos elementos da diagonal (produto dos pivôs):
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Eliminação de Gauss
▪ O método de Gauss falha quando o pivô é nulo (ou 0 ).
▪ O método de Gauss intensifica a propagação dos erros detruncamento do computador (Multiplicadores grandes),principalmente em sistemas grandes.
▪ Estes problemas podem ser evitados utilizando pivotaçãoparcial, que consiste em escolher como pivô o maior elementoem módulo da coluna, cujos elementos serão eliminados.
▪ A estratégia de pivotamento parcial é baseada na operaçãoelementar: Troca de duas equações.
▪ Todos os multiplicadores satisfazem -1 mij 1.
Pivotação Parcial:
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Eliminação de Gauss
▪ Exemplo: Seja o sistema e sua solução:
Solução pelo método de Eliminação de Gauss, com 3 dígitossignificativos em todas as operações:
Solução utilizando Pivotação Parcial :
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Decomposição LU
Uma matriz quadrada qualquer pode ser escrita como o produto deduas matrizes:
▪ A matriz A é fatorada tal que A = LU.
▪ L: matriz triangular inferior unitária.
▪ U: matriz triangular superior.
▪ Para resolver o sistema Ax = b, tem-se:
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Decomposição LU Calculo dos fatores:
▪ A matriz triangular superior U é a mesma do método de Gauss;
▪ Para a matriz triangular inferior unitária L
▪ lii=1;
▪ lij i>j = 0
▪ lij = - mij, i < j, sendo mij os multiplicadores utilizados noprocesso de eliminação de Gauss.
▪ Exemplo:
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Decomposição LUSolução do sistema Ux = y:
A vantagem deste método é a eficiência computacional, poispode-se escolher qualquer novo o vetor b que não é necessáriovoltar a fazer a eliminação de Gauss.
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Decomposição LU Pivotação Parcial:
▪ Utilizada, assim como na eliminação de Gauss, para evitar pivônulo e multiplicadores com valores grandes.
▪ Neste caso a Decomposição é da forma: PA = LU.
▪ P: matriz de permutações (construída das linhas de uma matrizidentidade I, colocadas na mesma ordem das linhaspivotacionais que geram a matriz U).
▪ L: matriz triangular inferior unitária formada pelosmultiplicadores, com sinais contrários.
▪ U: matriz triangular superior.
▪ Para resolver o sistema Ax = b tem-se:
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Decomposição LU Cálculo do determinante:
Pelas propriedades dos determinantes:
(Propriedade e)
(Propriedade d)
(Propriedade a)
p: numero de trocas de linhas necessárias para transformar a matrizde permutações em identidade. Logo:
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Decomposição LU Sistema com matriz singular:
Para um SL Ax=b, onde det(A) = 0, o sistema pode ter infinitassoluções ou não ter soluções.
▪ Sistema com infinitas soluções. Resolver o sistema Ax = b:
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Decomposição de Cholesky
SE a matriz dos coeficientes, A, é simétrica e definidaPositiva:
A decomposição LU pode ser simplificada para:
e
L: matriz triangular inferior. LT : matriz triangular superior.
Teorema (Cholesky)
Se A for uma matriz simétrica e definida positiva, então existe uma única matriz triangular L com elementos da diagonal positivos tal
que A = LLT .
No caso em que a matriz do sistema linear é simétricapode-se simplificar os cálculos da decomposição LU significativamente, levando em conta a simetria.
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Decomposição de Cholesky Cálculo do fator:
▪ Obtenção do fator L da Decomposição LLT = A:
▪ O elemento l44 da diagonal é obtido por:
▪ Generalizando para qualquer elemento da diagonal:
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Decomposição de Cholesky
▪ O elemento l43 é obtido por:
▪ Elemento genérico abaixo da diagonal:
e
41Solução estável, não requer pivotação !!!
Decomposição de Cholesky Solução de Ax = b por Cholesky :
e
▪ Sistema triangular inferior Ly = b:
▪ Sistema triangular superior LTx = y :
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Decomposição de Cholesky Cálculo do determinante:
Por meio das propriedades d) e e) dos determinantes tem-se:
▪ Exemplo: Resolver o sistema:
Coluna 1:
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Decomposição de Espectral
▪ Uma matriz A de ordem n possui auto-valores i, i = 1, 2, ... , n.
▪ Cada auto-valor tem um auto-vetor correspondente.
▪ Generalizando a relação
▪ matriz diagonal contendo os auto-valores i.
▪ V : matriz cujas colunas são os auto-vetores vi.
▪ Pós-multiplicando por V-1
▪ Matriz A decomposta em termos de seus auto-valores e auto-vetores.
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Decomposição de Espectral Cálculo dos Auto-vetores:
▪ Da relação fundamental
▪ Como a matriz é singular:
▪ E o sistema é homogêneo.
▪ Ele apresenta infinitas soluções vi.
▪ Atribuir um valor arbitrário a um elemento de v, p.ex., vi1 = 1.
▪ Obter os demais elementos do auto-vetor vi pela solução dosistema resultante de ordem n -1.
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Decomposição de Espectral
▪ Exemplo: Fazer a decomposição espectral da matriz:
Polinômio Característico:
Os três zeros do polinômio característico são os trêsauto-valores de A:
e54
Decomposição de EspectralMatriz contendo os auto-valores:
Sistema homogêneo:
Auto-vetor v correspondente a 1 = 4
Eq. 1 e 2 são redundantes. Elimina-se a 2ª e faz-se v11 = 1
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Decomposição de Espectral
Sistema homogêneo:
Auto-vetor w correspondente a 2 = 1
Eq. 1 e 3 são redundantes. Elimina-se a 3ª e faz-se w 11 = 1
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Decomposição de Espectral
Sistema homogêneo:
Auto-vetor z correspondente a 3 = -3
Eq. 2 e 3 são redundantes. Elimina-se a 3ª e faz-se z11 = 1
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Decomposição de EspectralMatriz V contendo os auto-vetores de A:
Inversa de V:
Decomposição espectral
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Decomposição de Espectral Solução de sistema:
▪ Solução de Ax = b obtida por x = A-1b.
▪ Vetor solução x depende de i-1
▪ No caso de quase singularidade da matriz A (pelo menos umauto-valor com valor próximo de zero).
▪ Solução x tem elementos muito grandes.
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Decomposição de Espectral▪ Exemplo: Calcular a solução do sistema:
Sabendo que:
Solução exata:
Grande custo computacional. Normalmente, não é utilizada para a solução de SL.
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