30 .
Revista Colombiana de Estadística N- U , VlUembre de 19i6
ESTADÍSTICA DÉ PRUEBA PARA LOCALIZACIÓN
BASADA EN SECUENCIAS
Felipe FeAnández H.
Asistente de Docencia Universidad Nacional
Jorge Ortiz P. Profesor Asociado Universidad Nacional
Resuaen. El presente trabajo contiene algunos
de los principales resultados obtenidos de la
aplicación de la noción de secuencias al proble
jtcíi de comparación de la localización de dos po
blaciones con base en dos muestrss independien-
jtes. Se propone modificar una estadística estu
diada anteriormente, para explorar sus conse
cuencias, obteniéndose resultados que la hacen
más favorable con respecto a propiedades tales
como la convergencia, potencia y simetría.
31.
1. Introducción.
Uno de los conceptos más estudiados en es
tadística es el de Localización. Un caso cita
do corrientemente en la literatura disponible
es la comparación de los parámetros de locali
zación de dos poblaciones de igual varianza
distribuidas normalmente y varianza desconoci
da; si estos supuestos se satisfacen y se dis
pone de dos muestras aleatorias independientes,
la estadística más indicada para realizar ésta
comparación está dada por el cociente.
X-P-0
S (1/n+l/m)^
el cual sigue la distribución -t-student no cen
tral con n+m-2 grados de libertad y parámetros
de centralidad G, donde X, Y, son las medias 2
muéstrales y S la varianza ponderada. En mu-P
chas ocasiones se encuentra que los supuestos
antes mencionados no se satisfacen y entonces
surgen situaciones donde hay la necesidad de
aplicar procedimientos diferentes. Como caso
particular se encue^itran los procedimientos ba
sados en secuencias o rachas en la eatadíatica
no paramétrica donde pruebas tales como el nú
mero de secuencias o la longitud de la secuen-
32
cia más grande aon las más conocidas. Por otra
parte, pruebas no paramétricas tales como lea
de Wilcoxon y Van der Uaerden aunque son apli
cables en secuencias no fueran originalmente
diseñadas con este propósito.
Específicamente en este campo, Ortiz (1983),
propuso el estudio de la familia general de e¿
tadísticas de localización dadas por la expre
sión:
R l-é"^
^-1
donde R es el número de secuencias, S^ ea la
función indicadora del tipo de secuencia (de
tipo X o y) y Q_iltL .) es una función crecien
te en los parámetros I (posición de la secuen
cia) y L . (longitud) . Un caso considerado an-
teriormente es la eatadíatica
To - I (-1) ^ I L . / Í R ' I ) l ' l ^
la cual para muestras de igual tamaño mostró
por ejemplo tener igual potencia que la estadís
tica de Wilcoxon en los niveles de significa
ción donde fue posible establecer comparación.
Sin embargo la ampliación del estudio a mues
tras de diferente tamaño reveló algunas defi-
33
ciencias en lo que se refiere s au potencia,
desventajas en cuanto a su convergencia a la
distribución normal y falta de simetría.
En lo que sigue de este artículo sa presen
ta el cambio introducido sobre la estadística
y algunos de los principales resultados obteni^
dos.
2. Nodlficación Propuesta.
Teniendo en cuenta que sobre la estsdísti
ca Tg no había estudios anteriores para mues
tras de tamaños desiguales, se procedió a cal
cular su distribución encontrándose algunas
faltas de sensibilidad para captar diferencias
extremas. Por ejemplo cuando n"'7 y m"3» la es
tadística debería tomar sus valores máximo y
mínimo en las configuraciones extreaas, lo cual
no sa satisfizo. Para obaervar esto consideren
se las aiguientes secuenciaat
Uj : X X X X X X X K y y
a ^ s K X K X X X Y X Y Y
u ^ i X X X X X Y Y Y X X
denotando coa» TgCo^) a l v a l o r que t eaa T^
34
en la configuración u^ rápidamente se puede
verificar que
T^(aj) - 1, T^ iu^ ) - -1/3 y T^ iu^ ) - 5/2
y al ordenar estos valores tenemos que
T Q Í U 3 ) > T ^ i u i ) > T ^ í u j )
sin embargo obsérvese que U] es una configura
ción extrema. En realidad, el cálculo de la dis
tribución de probabilidad de TQ para estos ta
maños de muestras, indica que el cuantil TQÍUI)
corresponde a un percentil del 9.17%, lo cual
implica que T^ no detecta una diferencia máxi
ma en localización como la que se presenta en
la configuración Uj <sn niveles de significación
inferiores a este valor, lo cual necesariamente
conlleva a un empobrecimiento en la potencia de
la prueba. For otra parte se puede verificar
que el número de valores distintos que se pre
senta hasta el cuantil del 10%, es menor que el
número que se presenta por encima del 90%, por
lo cual se puede afirmar que T^ no es simétrica,
propiedad que sería deseable para una mejor con
vergencia hacia la distribución normal.
Aspectos como los anteriormente mencionadas,
pueden ser atribuíbles sl desequilibrio que se
35
presenta en las ponderaciones asignadas por
las longitudes L¿ de las secuencias ante situa^
ciones, donde los tamaños de las muestras son
diferentes. Esta característica se hace más
evidente en la medida en que el tamaño de una
de las muestras es relativamente grande compa
rado con el de la otra. Por ejemplo en Uj don-
de Lj = 7 y L2 = 3 el peso que asigna L2 no es
suficiente para contrarrestar el efecto de L i .
Como las ponderaciones deberían ser equilibra
das indenendientemente del tamaño de las mues
tras, se consideró apropiado asignar los pesos
de las longitudes en términos relativos de
acuerdo con el tamaño de éstas. Por lo cual la
estadística considerada fue la siguiente:
h " J <- > ^ l-'SÍ IL j A,
itl ( TTTTT
donde n^ toma el valor n cuando la secuencia I
es de tipo X 6 m cuando es de tipo Y. Debe ob
servarse que si n " m las estadísticas TQ y Tj
son equivalentes en eí sentido de que cualquie
ra de ellas puede obtenerse como combinación li
neal de la otra. Por otra parte cuando la dife
rencia en el tamaño de las muestras va crecien
do, la correlación entre T^ y T^ va disminuyendo.
36
3. iesaltodos.
En esta sección se presentan y comentan a
continuación algunos de los resultados obteni
dos .
3.1 SlaetrU.
En general puede demostrarse ^ue para cual
quier estadística de la familia T¿ con función
de narámetros Q.i l ,L^) de la forma í¿*í-//' / don
de Qy "•• ÍR-^+t ®* constante oara todo I ' 1,2,...R
es simétrica.^ ^ En el caao de T i , obsérvese
que Q.íl,L^) - l ^ L i f n i y que
q^+qjj.^+1 " ^+(R--c+l) - R+1
por lo cual se satiaface la condición anterior.
3.2 Valores Extreaos.
La estadística Tj asume todoa sus valores
dentro del intervalo [-l,l] tomando los valores
1 ó -1 en las configuraciones extremas, propie
dad que la estadística TQ algunas veces no la
satisface con» escomentado en la sección anterior.
( ) üste resultado se encuentra demostrado en Fernández (1988)
37
3.3 Estudio de Convergoncla.
Laa grSficaa da la pigiaa aiguieate
laa diferenciaa alxiaaa ene ocurren para laa
diatribucionea de nrobabilidad de TQ y T| epo raapacto a la diatribueife aoraal para algmaoa
tamafioa de mueatraa. ^ Coao paade obaervaraa
la convergencia de la eatadísca Tj mejora en
comparación con el de la eatadíatica anterior.
Reaultados aimilarea ae obtuvieron en otroa ta*
mallos de mueatra estudiadoa.
3.4 Estudio de Poteacla en Poblaciones Noniol, Expononclel y V«1fof«o p»r9 Nuostpos Pocotes Je TaaaHos Diferentes.
Población RorBOl. Las grlficaa 1 a 9 auaa-
tran laa curvea da potencia da laa eatadíatieaa
de Uulcoxon y T^ calculadaa en nivelen de aig-
nifieaeión coaparablea, adieionalaeata la tabla
1 preeenta loa reaultadoa nuaCrieea. Se obaer
va en tirainoa geaeralaa quo la potaaeia da aa
baa eatadíatieaa aa igoal, ala aabargo T| lado
ce un aapoctro da valoreo aacbo ato aaplio qao
(a) El estudio ae realiaó hasta n y sr aatia^ciodo la condición HMI < 18.
38.
Estudio de convergencia
Máximo error de la aproximación normal de la función de distribución de T y T. para algunos tamafios de muestras.
Diferencia máxima 0.18-1 0.16> o . . . 0.14- \ *
O.I2J • P
o.ioJ X \ \ 0.08 i \ V O.OóJ Ov(MlJ 0.02^
o . p q ^ - , o 1 2 3
" I ' r * 5 6 7
Tamaños de m
Diferencia máxima
0.18 -i 0.16 J 0. u : 0.12 _
0 . 1 0 ,
0.08 -
0.06. .
O.Wt -
0.02 ..
-r °-
^.
\
n - 7
V T I • ' I
? 3 O 1
Tamaños de m
5 ' " T ' >
i 7
Diferencia máxima
39 .
0.20-. O. tS-0.16_ 0.14 J 0.12
o.io o.osJ 0.06-0.04-0.02
u
n - 6
o <
•• 1 • i ' 1 ! 1 ' 1 1 1
1 2 3 ^ 5 6
Tamaños de m
Diferencia máxima
9 0.221 0.20-0.18J 0.16. O. IV 0.12_ 0.10_ 0.081
0.06-0.04:
Ta
\
n - 5
I I ' I ' I
O 1 2 3
Tamaños de m
• ^ ^ t í - ,
•-• i 1 . ' I • I •
40
el de TQ y por lo tanto con T^ pueden realizar^
se prueves de hipótesis sobre una mayor varie
dad de niveles de significación.
Para el cálculo de estas potenciaa se uti
lizaron las tablas de Milton (1970), con las
cuales se obtiene exactitud en los resultados
hasta el orden del octavo decimal.
For otra parte debe mencionarse que la pxue_
be .t-student señalada en la introducción, es
uniformemente más potente en estas poblaciones,
razón por lo cual su potencia no puede ser su
perada.
Población Exponencial. Lea gráficas 10 a
14 junto con la tabla 2 presenta los resultados
de los tamaños de muestra estudiados. Como pa
trón general se observa un comportamiento simi
lar en las estadísticas W y Ti con un desempeño moderado mejor respecto a la ;t-student.
Los cálculos fueron obtenidos utilizando
métodos de simulación para lo cual se generaron
8000 muestras para cada uno de los tamaños indi
cados, este tamaño garantiza que las estimacio
nes de las potencias cercanas a 0.5 tienen un
margen de error de 0.012 mientras que las cerc£
ñas a 0.05 ó 0.95 tienen un error máximo de
0.002, ambas con un coeficiente de confianza del
41
95% (Burstein, 1971).
Población Uniforme. La tabla 3 junto con
^es gráficos 15 a 19, muestran que en general la
patencia de la ^-student es sensiblemente mejef
^me las de Tj y b/ con excepción del reaultado 0^
tañido para n " ! y m»6 (gráfica 15) donde se ob-
fUrva un comportamiento favorable de estas dos
ultimas con respecto a la ;£-student. Como en el
eUfo anterior, los resultados se obtuvieron uti
^|,(«ndo métodos de simulación bajo las mismas
(Ippdiciones de error.
»V2.
TABLA 1
Comparación de algunas potencias exactas de (tf y T. en poblaciones normales.
Prueba unilateral contra alternativas d en localización.
r ' ' i
TJ
I
^'
1 ^l
1 ^ ^r
•""I
/
| i r7«-6
|if7n-S
¡mlm-*
t ^ T w i
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••.«•1-3
II-5M-4
« 4 1 ^ 3
> 0 . 0
0.069
0,06»
0,07«
0,07*
i 0,062
0,062
0,0M
0.058
0.041
0,0«1
0.0S7
0.0S7
O.OU
0,0*«
O.OM
0,096
O.OM
0,036
cl-0.2
0,133
0.132
0,129
0.129
0,136
0,135
0,095
0.09S
0,075
0,074
0.097
0.096
0.076
0,076
0.092
0.092
0.092
0.092
«t-0,4
0.20S
0,204
0,207
0,203
0.209
0,208
0,146
0,147
0,126
0,124
0,153
0.1S2
0.121
0.121
0.144
0,144
0,144
0,144
dH),6
0,311
0.308
0.307
0,303
0,303
0.300
0,213
0.214
0.196
0,193
0,227
0.223
0,178
0.178
0,212
0.212
0,212
0,212
¡<i>0,8
0,439
0.430
0,424
0,418
0,410
0.403
0.294
0,296
0,287
0.281
0,318
0,315
0.249
0.249
0,299
0.293
0.295
0.295
d-l.O
0.965
0,959
0.547
1 0.939
0,924
0.918
0,387
0.390
0,393
0,384
0,421
0,416
0.332
0,332l
0,391!
0.391'
0.391
0.391
<i-l.3
0.837
0,830
0.814
0,809
0,810
0.802
0,633
0,637
0,933
0,919
0,684
0,677
0.967
0,567'
O.643I
0,6431
0,6431
0,643
d-2,0
0.969
0.965
0.951
0.946
0,931
0.925
0.831
0.834
0.877
0.899
0,874
0.868
0,746
0.7*6
0,842
0,842
0,842
0,B*2<
<i-3.0
1.000
0.9991
0,999
0,999
0,9961
0.9971
0.98*1
0,989
0,999
0.990
0.993
0,991
0,972
0,972
0.967
O.NTI
0.9671
0,9671
«*3
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u e e «i o a
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Diferencia de medias
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D i f e r e n c i a de medias
íf8.
TAM.A 2.
Coaparación de algunas poblaciones simuladas V« T.. y -student en poblaciones exponenciales con parámetro lamda - 1. Prueba unilateral contra alternativas den localización.
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0,0679
0.0762
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0.1442
0.1336
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¡0.2061
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0,1692
0.2369
0.2390
0,1839
0,1730
0,1629
0,1360
0.2969
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0.2239
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0.6293
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0.9277
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Gráfica 12
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Difaraaeia da aadiaa
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G r á f i c * 13 « • * m-5 (Earp.)
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0.0 0.5" 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Di fe renc ia de medias
Gráficas 14
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1.00.n 0.90: 0.80^ 0.70-
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Dl f wr aac4ai.. da., mad 1 aa>
51.
TABLA 3
Comparación de algunas potencias simuladas de W, T y í-student en poblaciones unifor mes (0,1). Prueba unilateral contra alterna tivas den localización.
— I —
d-O.O d'O.ll d - a . i (l-0,3|d-0,4 d.0,5|d'0,6 Fru.b. TsaaSoa
«.7 m.6 0,1145 0,2636 0.4748 0,6853 0,8483 O,9430 0,9843
0.1091 0.2515 0.4555 0.6714 0.8381 0.93821 0.9836
{-stud.nt 0.1042 0.2403 0.4516 0.6890 0.874S 0 .96M 0.9949
« • 7 iii"5 0.1104 0.230S 0.4120 0.6172 0,796010. I 0.9720
0.1084 0,234C 0.4206 0.6228 0.7981 0.920810.9766
. ( -« tudao t 0.1001 0.224« 0.4224 0,6604 0.8388 0.95601 0.9906
i i"7 m"4 0.0523 0.1312 0,2592 0,4300 0.6093 ,8995 I n
U_ 0,0567 0.1530 0.2940 0,4713 0.6450 0.80771 0,9160
¿-•tndaac O.O510 0.1227 0.2498 0.4268 0,6360 0,814t( 0.9415
Ka6 in>5 0.0922 0.2039 0.3642 0.5980 0.7423 0.670^ 0.9482
0,0923 0,1991 0,3651 0.5622 0.7487 0.8763| 0.9536
^¡-•tttdaBt 0,0933 0,2004 0,3891 0,6003 0.6007 0.922*1 0.9798
11.6 11.4
•'1
. t - a tudan t
0.0691
0,0652
0.0863
0,1963
0,190!
0,1948
0.3453
0,3417
0,3427
0,5163
0,5142
0.5453
0,6667
0,692i
0,729C
0,8333 0,9287
0,8323 0,9336
I 0.9620
52.
G r á f i c a 15 n - 7 m«6
u « o o.
I ' I ' í ' I ' I ' I f ' I
0.0 02.0.Í» 0.6 0.81.0 1.2 I.V 1.6
Diferencia de medias
cm student
EEl i
o c a>
o O.
1.00-0.90.
0.8G.
0.70-
0.60-
0.50-
O.liO-
0.30.
1»--20J
0.10
Grá f i ca 16 n-7 m-5
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T T T aOOO.10 0.20 0.30a40 o.so 0.6p
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BTi
Diferencia de Medias
53.
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l .OO
0.90 Oi8lÍ
0.7Q
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0.4CÍ
0.30
0.20 0.10 O.OO
Grá f i ca 17 n-7 m-4 (Unif.)
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^
•••y . . ' J l '
' I • I ' I ' I ' I • i 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0;60
Diferencia de medias
QX-stttdent
ElTi
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1.00.^ 0.90-0.80.
0.70. 0.60. 0.5a: 0.4
0.304 0.2a 0.104^
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Grá f i ca 18 K«6 mas (unif)
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' i ' I ' I • I ' I ' I Q.OO O.IÓ 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60
Diferencia de medias
CTÜ -t-studant
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Gráfica 19 n-6 m-4 (Unif)
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coa 0.00o.io 0.20 0.30 0.4o 0.50 0.60
P .¿-student
BTI
Bw
Diferencia de medias
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