ESTADÍSTICA Y ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADESPROBABILIDADES
UNHEVAL- 2009UNHEVAL- 2009
Mg. VARGAS RONCAL, RosarioMg. VARGAS RONCAL, Rosario
CAPÍTULO III. MEDIDAS DE CAPÍTULO III. MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA POSICIÓN Y DE TENDENCIA
CENTRALCENTRAL
3.1 MEDIA ARITMÉTICA3.1 MEDIA ARITMÉTICA
• La media aritmética de una variable estadística es la suma de todos sus posibles valores dividido por el total de las observaciones.
MEDIAARITMÉTICA
Datos no agrupados
Datos Agrupados
Población
Muestra
Fórmulas para la mediaFórmulas para la media
N
xN
ii∑
== 1µN
nx i
K
ii∑
== 1µ
n
xx
n
ii∑
== 1
n
nxx
i
k
ii∑
== 1
K: número de intervalos
EjemploEjemplo. Calcular la media aritmética de la siguiente . Calcular la media aritmética de la siguiente distribución de frecuencia del número de meses de distribución de frecuencia del número de meses de duración de una muestra de 40 baterías para coche.duración de una muestra de 40 baterías para coche.
duración de las baterías (meses) Número de baterías
15 - 19 2
20 - 24 1
25 - 29 4
30 - 34 15
35 - 39 10
40 - 44 5
45 - 49 3
Li-1 Li x ni xini
15 19 17 2 34
20 24 22 1 22
25 29 27 4 108
30 34 32 15 480
35 39 37 10 370
40 44 42 5 210
45 49 47 3 141
n =40 1365=∑ iinx
125.3440
13651 ===∑
=
n
nxx
i
k
ii
3.2 MEDIANA.3.2 MEDIANA.
Es el punto medio de los valores de una serie Es el punto medio de los valores de una serie de datos después de haber sido ordenados de de datos después de haber sido ordenados de acuerdo a su magnitud. acuerdo a su magnitud. La mediana divide al total de los datos en dos La mediana divide al total de los datos en dos partes iguales (50% para cada lado).partes iguales (50% para cada lado).
Datos no agrupados Datos Agrupados
MEDIANA
Con datos ordenándosSi n es impar
Si n es par
Con intervalo
Sin intervalo
)2
1
2( +
= nxMe
2
)12
()2
( ++
=nn xx
Me
1−= je LM
jj
j
je an
Nn
LM1
12 −
−
−+=
21 jj
e
LLM
+= −
je yM =
Nj-1: frecuencia acumulada mediana; nj: frecuencia simple medianaaj: amplitud de clase mediana ; lj-1: limite inferior del intervalo medianon: numero total de observaciones
12 −= jNn
Si
jj Nn
NSi <<− 21
12 −= jNn
Si
jj Nn
NSi <<− 21
Fórmulas de la mediana
Ejemplo.Ejemplo. Calcular la mediana de la siguiente Calcular la mediana de la siguiente distribución de frecuencia del número de meses de distribución de frecuencia del número de meses de duración de una muestra de 40 baterías para coche. duración de una muestra de 40 baterías para coche.
Duración de las baterías (meses) Número de baterías
15 - 19 2
20 - 24 1
25 - 29 4
30 - 34 15
35 – 39 10
40 – 44 5
45 – 49 3
Ni
2
3
7
22
32
37
40
Li-1- Li ni
15 - 19 2
20 - 24 1
25 - 29 4
30 - 34 15
35 - 39 10
40 - 44 5
45 - 49 3
40
Nj-1
lj-1
jajn
jNn
jleM12
1−−
+−= 47.33)4(15
1330)4(
15
72
40
30 =+=−
+=
30 - 34 15 2220
240
2==n
Nj
nj
3.3 MODA3.3 MODA
La moda se define como aquel valor de la variable al que corresponde máxima frecuencia (absoluta o
relativa). La moda puede no existir, e incluso no ser única en
el caso de existir.
Datos no agrupados
Datos Agrupados
MODA
Puede ser mono, bi, tri modal
Mo= x (mayor frecuencia)
nj-1: frecuencia pre modal ; nj+1: frecuencia simple post modalnj: frecuencia simple modal ; aj: amplitud de clase modallj-1: limite inferior del intervalo modal ; n: numero de observaciones
jjjjj
jjjO a
nnnn
nnlM
)()( 11
11
+−
−− −+−
−+=
Fórmulas de la moda
Ejemplo. Observados los alquileres de un conjunto de despachos se ha obtenido:
Alquileres enciento de soles
ni
[0,15) 17
[15,30) 130
[30,45) 180
[45,60) 30
[60,75) 10
[75,90) 5
Calcula la moda y la mediana.
Alquileres enciento de soles
ni
[0,15) 17
[15,30) 130
[30,45) 180
[45,60) 30
[60,75) 10
[75,90) 5
[30,45) 180 nj= 180
nj-1= 130
nj+1= 30
jjjjj
jjjO a
nnnn
nnlM
)()( 11
11
+−
−− −+−
−+= 75.33)15(
)30180()130180(
13018030 =
−+−−+=
Lj-1
3.4 CUANTILES: DECILES, CUARTILES Y PERCENTILES
Son medidas de posición, basadas en la ordenación de los datos.
Dividen al conjunto de datos ordenado en partes iguales.
Según el número de partes, hablamos de:
3.4.1 CUARTILES.Dividen al conjunto de datos en 4 partes iguales, cada una de las cuales engloba un 25% de datos. Hay por tanto 3 cuartiles, Q1, Q2, Q3
3.4.2 DECILES. Dividen al conjunto de datos en 10 partes iguales, cada una de las cuales engloba un 10% de datos. Hay por tanto 9 deciles, D1, ..., D9.3.4.3 PERCENTILES.Dividen al conjunto de datos en 100 partes iguales, cada una de las cuales engloba un 1% de datos. Hay por tanto 99 percentiles, P1, ..., P99.La mediana, al dejar por debajo a un 50% de los datos, coincide con el D5, Q2 y P50. La forma de cálculo es similar a la de la mediana.Una franja de interés es [P25- P75], que contiene al 50% de los datos centrales.Por debajo del P25 quedan el 25% de los datos más pequeños, y por encima del P75 quedan el 25% de los datos más grandes.
Datos no agrupados
Datos Agrupados
CUANTILES:CuartilesDecilespercentiles
Fórmulas de cuantiles
ii
i
ikr an
Nk
rn
lC1
1/
−
−
−+=
Ni-1: frecuencia acumulada cuantílicani: frecuencia simple cuantílicaai: amplitud de clase cuantílicali-1: limite inferior del intervalo cuantílicon: numero total de observacionesr: número del cuantilk: cuartil k=4; decil k=10, percentil k=100
EjemploEjemplo. . 20 alumnos de la asignatura de Estadística presentan 20 alumnos de la asignatura de Estadística presentan las siguientes edades:18 18 21 19 20 19 19 18 18 22 19 21 21 19 las siguientes edades:18 18 21 19 20 19 19 18 18 22 19 21 21 19 19 19 18 19 19 21, determine los cuartiles 1 y 3, y los percentiles 19 19 18 19 19 21, determine los cuartiles 1 y 3, y los percentiles 25 , 75, 9025 , 75, 90
Ordenamos los datos18, 18, 18, 18, 18 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20 21, 21, 21, 21, 22Cuartil 1 (q1)
18, 18, 18, 18, 18 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20 21, 21, 21, 21, 221 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
q1=18+0.25 (19-18)=18.25 Cuartil 3 (q3)
q3=20+0.75 (21-20)=20.75
25.5)120(4
1)1( =+=+= n
k
rPosición
5.25
75.15)120(4
3)1( =+=+= n
k
rPosición
15.75
15 16
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