Estabilidade para Pequenas Perturbações eDimensionamento de Estabilizadores
Mestrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores_
Dinâmica e Estabilidade de Sistemas de Energia
J. A. Peças Lopes
Conceitos Teóricos
❚ Representação no espaço de estadosO comportamento dinâmico do sistema de energia é representado por n eq. Diferenciais
onde:X - vector de estadou - vector de controlot - tempo
Se considerarmos a existência de um vector de observação Y , teremosainda: Os pontos de equilíbrio do sistema são tais que
),,( tuXfX =
),( uXgY =0)( 0 =Xf
Conceitos Teóricos
❚ LinearizaçãoConsiderando um vector X0 e um vector de controlo u0 e estando o sistema em equilíbrio temos:
Ao perturbar o sistema com uma pequena perturbação
O novo estado X é conduz a
0),( 000 == uXfX
XXX ∆+= 0
uuu ∆+= 0
XXX ∆+= 0
( ) ( )[ ]uuXXf ∆+∆+= 00 ,
Conceitos Teóricos
Exprimindo a função f(X,u) através de um desenvolvimento em série de Taylor, temos
As variáveis de observação podem ser expressas da mesma forma:
( )[ ]uuXXfXXX iiii ∆+∆+=∆+= 000 (,
( )
rr
ii
nn
iii
uufu
uf
xxfx
xfuXf
∆∂∂++∆
∂∂+
+∆∂∂++∆
∂∂++=
...
...
11
11
00
rr
jj
nn
jjj
uug
uug
xxg
xxg
y
∆∂∂
++∆∂∂
+
+∆∂∂
++∆∂∂
=∆
...
...
11
11
Conceitos Teóricos
Numa forma compacta pode escrever-se:
ondeΔX - vector de estadoΔY - vector de observaçãoΔu - vector de controlo[A]- matriz de estado[B] - matriz de controlo[C] - matriz de saída[D] - matriz de realimentação
[ ] [ ][ ] [ ] uDXCY
uBXAX∆+∆=∆∆+∆=∆
( ) [ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( ) [ ] ( )suDsXCsY
suBsXAXXs∆+∆=∆
∆+∆=∆−∆ 0
Transformadade Laplace
Conceitos Teóricos
Representação do espaço de estados através de diagrama de blocos
Das equações anteriores pode-se ainda escrever:
[ ] [ ]( ) ( ) [ ] ( )[ ] [ ]( ) ( ) [ ] ( )[ ]
[ ] [ ]( )[ ] [ ]( ) ( ) [ ] ( )[ ]suBX
AIsAIsadjX
suBXAIsX
suBXAIsX
∆+∆−−=∆
∆+∆−=∆
∆+∆=−∆−
0det
0
01
Conceitos Teóricos
Os pólos de ΔX(s) são as raízes da equação característica da matriz A
As n soluções da equação característica são os valores próprios de Aλ1, λ2, ...λn que podem ser números reais ou complexos.
Temos ainda
com φi - vector próprio (à direita) correspondentePode-se ainda escrever
onde ψj - vector próprio à esquerda(Recordando: os dois vectores próprios são ortogonais)
[ ] [ ]( ) 0det =− AIs
[ ] iiiA Φ=Φ λ
[ ] jjj A Ψ=Ψ λ
Conceitos Teóricos
A partir de
Existem assim 2 matrizes modais:
iii C=ΦΨ
[ ] [ ]
[ ] [ ]TTn
TT
n
ΨΨΨ=Ψ
ΦΦΦ=Φ
,...,,
,...,,
21
21
[ ][ ][ ] [ ]Λ=ΦΨ A
Matriz diagonal dos valores próprios
Constante diferente 0
Conceitos Teóricos
❚ Comportamento livre de um sistema dinâmico
Por forma a eliminar relações cruzadas define-se um novo vector de estado Z
[ ] XAX ∆=∆Entrada nula
[ ]zX Φ=∆
Matriz modal
[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ]ZZ
ZAZ
ZAZ
Λ=ΦΦ=
Φ=Φ−1
Resposta livre do sistema
Conceitos Teóricos
Os valores próprios estão directamente ligados à estabilidade dosistema, sendo cada modo de oscilação dado por:
Um valor próprio real ---- modo não oscilatório;Um valor próprio real negativo ---- comportamento amortecido;Um valor próprio real positivo ---- comportamento instável
( ) tnin
tii neCeCtx λλ Φ++Φ=∆ ...111
Componente 1 do vector próprio 1 Produto escalar de ψi ∆X(0)
Conceitos Teóricos
Da equação pode-se avaliar a actividade de uma variável de estado quando um determinado modo de oscilação é excitado.
Por exemplo o grau de actividade da variável de estado xk é dado pelo componente φki para o modo i.
Sensibilidade do valor próprioConsiderando a equação e derivando de ambos os lados teremos:
[ ]zX Φ=∆
[ ] iiiA Φ=Φ λ
[ ] [ ]kj
iii
kj
i
kj
ii
kj aaaA
aA
∂Φ∂+Φ
∂∂=
∂Φ∂+Φ
∂∂ λλ
Conceitos Teóricos
Pré-multiplicando a equação anterior por Ψi teremos
A sensibilidade do valor próprio ao elemento akj da matriz de estado
[ ]kj
ii
kji aa
A∂∂=Φ
∂∂Ψ λ
Todos os elementos são nulos com excepção do elemento kj
jiikkj
ia
ΦΨ=∂∂λ
1=ΦΨ iiNormalização
Conceitos Teóricos
❚ Factor de participação
A matriz [P] definida como
sendo pji= φji ψij - factor de participação
Este factor mede a participação relativa da varável de estado j no modo de oscilação i.
[ ] [ ][ ]Tiiii
n
PPPP
PPPP
,,...,
,,...,,
111
21
=
=
kk
iki a
p∂∂= λ
Conceitos Teóricos
❚ Relação entre valores próprios e a função de transferência
❚ com a forma geral
❚ Decompondo esta função
( ))()(
susYsG
∆∆=
[ ] [ ] [ ]( ) [ ]BAIsC 1−−=
( )( ) ( )( ) ( )n
lpspspszszszsksG
−−−−−−=
)...(...)(
21
21
)(...
)()()(
2
2
1
1
n
nps
Rps
Rps
RsG−
++−
+−
=
Resíduos
[ ] [ ]BCR iii ΨΦ=
Conceitos Teóricos -Representação dos Resíduos (Fasor)
Rj
λλλλj
)(Re)(
1
φωξω +→−
−−
tsenps
Rd
tL
id
Aplicação a um SEE
❚ Máquina ligada a um barramento de potência infinita
~ ~
Aplicação a um SEE
❚ Modelo de estado
( )
δδ
ωωω
ωωδ
senxeusen
xxxeup
DppdtdH
dtd
eqltse
em
=++
=
−−−=
−=
'
0
0
)(2
1
ωδ
ωδδω
ωωδ
∆−∆−∆=
∆∆−−∆+=∆
∆=∆
DKp
Dxeuppp
dtdH
dtd
m
eemm 000
0
cos2
Aplicação a um SEE
❚ Na forma matricial
[ ] ubXAX
pHH
DHK m
∆+∆=∆
∆
+
∆∆
−−=
∆∆
210
22
0 0
ωδω
ωδ
1.,.25.6,6.0
95.0cos
cos
0
0
====
=
=
euupDsHx
xeuK
e
eδ
δ
Hzfj n 96.0%,27.1,0536.60769.02,1 ==±−= ξλ
nξωModo local de oscilação
Tipos de modos de oscilação num SEE
❚ Modos de oscilação intra-central;❚ Modos de oscilação locais:
❙ gerador contra o sistema;❙ gerador contra geradores vizinhos;
❚ Modos de oscilação inter-área;
❚ Modos de oscilação pouco amortecidos: Amortecimentos < 5%❚ Modos de oscilação bem amortecidos: Amortecimento > 15%
Exemplos (amortecimentos)
-1
-0.5
0
0.5
1
1 13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
1 13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145
f=3 Hzξ=4%
f=3 Hzξ=15%
Modelos dos geradores
[ ] [ ]( ) 0det =− AIs
HDHKjD
48 2
02,1
−±−=
ωλ
Mais modos de oscilaçãoassociados à máquina e sistema de regulação G(s)
Exemplo (Valores próprios)
Nº Valor próprio Amortecimento (%) Frequência (Hz)1,2 -0.243+/-j5.97 4.068 0.95073,4 -0.602+/-j0.76 61.98 0.1213
Factores de participaçãoNº Rotor Máquina Elec. Regul. Veloc Regul. Tensão
1,2 1.006 0.027 0.022 0.0013,4 0.006 0.059 - 0.589
Resposta temporal a um degrau em Vref
Velocidade Tensão
Análise de valores próprios num sistema multimáquina
Factores de participação dos modos electromecânicos
Valores próprios G1 G2 G3 G4
-0.627+/-j7.419 0.0093 0.0209 0.469 0.506 A)-0.632+/-j7.217 0.4667 0.5065 0.024 0.008 B)-0.030+/-j3.981 0.2639 0.1793 0.305 0.254 C)
A) - modo de oscilação local G3 contra G4B) - modo de oscilação local G1 contra G2C) - modo de oscilação inter-área
A avaliação de como as máquinas oscilam é feitaatravés das componentes do vector próprio correspondentesao modo de oscilação sob análise.
Projecto de estabilizadores
❚ O objectivo:Amortecer oscilações de carácter electromecânico
❚ Soluções:❙ PSS (Power system stabilizers) - estabilizadores;❙ FACTS (static VAR compensators, Thyristors controlled series
capacitors, Unified power flow controllers)❙ Ligações em corrente contínua;
❚ Os PSS❙ Amorteceras oscilações rotóricas de velocidade, modulando a excitação
da máquina síncrona ou a potência mecânica em fase com o desvio de velocidade.
Projecto de estabilizadores
❚ PSS em Pmec:❙ Os atrasos introduzidos pelo regulador de velocidade e máquina
primária (função de transferência Pmec(s)/w(s)) são elevados;
❚ PSS em Pe:❙ Os atrasos introduzidos pelo regulador de tensão e gerador (função de
transferência Pe(s)/w(s)) são reduzidos;❙ O estabilizador tem que conter uma regulação proporcional diferencial
(a componente diferencial destina-se a compensar o atraso introduzido pela máquina e sistema de excitação)
pmKdt
dKKDdt
dH
DKKKpmdt
dH
Se
Se
∆=∆+∆++∆
∆−∆−∆−∆=∆
δδω
δω
ωωδδω
02
2
0
2
2
0
2
2
Projecto de estabilizadores(Exemplo)
isS
iS K
Kλ
λλ=∂
∂=∆
iSS
PSSi
S
iK
sGRK
λ
λ
=∂∂=
∂∂ )(
Função de transferência do PSS
❚ Função de transferência
❚ Elementos da função de transferência❙ Filtro de alta frequência (evitar modos torsionais)
❙ Rede de avanço de fase
❙ Ganho Ks
5
5
4
3
2
111
111)()(
sTsTK
sTsT
sTsTsFILTRsG SPSS ++
+++=
4
3
2
111
11
sTsT
sTsT
++
++
)1)(1()1()( 2
432
21
265
sAsAsAsAsAsAsFILTR
++++++=
Wash-out(Filtro passa alto -Elimina var. lentas das Var. entrada)
Tipos de PSS
❚ Variáveis de entrada:❙ Velocidade ∆ω(s)/Vref(s)❙ Potência eléctrica ∆Pe(s)/Vref(s)❙ Potência aceleradora ∆Pac(s)/Vref(s)
❚ Combinações de variáveis de entrada (2 entradas: velocidade e Pe)
Procedimento de Projecto de PSS
Amortecimento de um só modo de oscilação❚ Cálculo dos valores próprios dos sistema;❚ Identificação dos modos de oscilação de velocidade de baixo
amortecimento;❚ Identificação dos geradores com maior factor de participação no
modo de oscilação seleccionado;❚ Projecto do PSS de cada gerador seleccionado:
❙ Projecto da componente de avanço de fase;❙ Determinação do ganho.
Procedimento de Projecto de PSS
Projecto da componente de avanço de fase❚ Determinar a fase a compensar φm a partir da fase do resíduo φr do
correspondente pólo e do tipo de PSS:❙ Velocidade ∆ω(s)/Vref(s)❙ Potência eléctrica ∆Pe(s)/Vref(s)❙ Potência aceleradora ∆Pac(s)/Vref(s)
φm=1800- φr
❚ Selecionar o número de etapas da rede de compensação de avanço de fase (geralmente n=2 φm= φm/2);
❚ Determinação dos parâmetros dos compensadores de avanço de fase:
αωφφα
mm
m Tsensen 1;
11 =
−+=
sTsT
++
11 α
Procedimento de Projecto de PSS
Determinação do ganho❚ O módulo do resíduo da função de transferência
isS
iS K
Kλ
λλ=∂
∂=∆i
sS
iS K
Kλ
λλ=∂
∂∆=
)1
1(TTnRK
i
iiS λ
αλλ+
+∆=i
SS
PSSi
S
iK
sGRK
λ
λ
=∂∂=
∂∂ )(
Procedimento de Projecto de PSS
❚ Exemplo de cálculo de um PSS em velocidade
λ=0.0391+j6.845 (ξ=-0.057 e ωn=6.8398)Ri =0.079∠ 95.20
φm=1800- 95.20 =84.8 0 2 andares de compensação φm=42.4
Amortecimento desejado 20%
0643.01;165.511 ===
−+=
αωφφα
mm
m Tsensen
3948.1;3557.1' =∆−= λωξ n
4184.3408.0
3948.1)1
1( ==+
+∆=TTnRK
i
iiS λ
αλλ
Resultado da aplicação do PSS
Projecto de PSS em sistemas multimáquina
❚ Principais problemas:❙ A dimensão muito elevada da matriz de estado coloca problemas
numéricos ao cálculo dos modos de oscilação;❙ Seleccionar apenas os modos de interesse Matriz de menor
dimensão;❙ Métodos de análise:
❘ MAM - Modified Arnoldi Method;❘ Rayleigh Quotient Iteration;❘ Selectivo Modal Analysis.
❚ Localização dos PSS;❚ Projecto coordenado (um problema de optimização resolvido por
programação linear)❚ Robustez.
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