7/25/2019 Esercizi Spazi L^p
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Esercizi sugli spazi Lp
1 ) Studiare la convergenza in Lp((0, 1), m), 1 p +, della successione difunzioni
fn(x) =cos(nx) enx
3
x .
2 ) Per quali valori di 1 p + appartiene ad Lp((1, +), m) la funzione
f(x) =+k=0
1
2k[3k,3k+2)(x) ?
3
) Per quali valori di 1
p
+
appartiene ad Lp((1, +
), m) la funzione
f(x) =+n=1
1
3nsen
x4n+1
[4n,4n+1)(x) ?
4 ) Calcolare, giustificando i passaggi,
limn+
B1(0)
max
n, min
x2 y
(x2 +y2)2, n
dx dy .
5 ) Studiare la convergenza inLp(R2, m), 1 p +, della successione di funzioni
fn(x, y) =
1
1 +x2 +y2Dn(x, y) ,
dove
Dn= {(x, y) R2 : (x n)2 +y2 n2} .6 ) Studiare la convergenza inLp(R2, m), 1 p + della successione di funzioni
fn(x, y) = 1
1 +n 4
x2 +y2.
7 ) Sia la misura definita suMda
(E) =E|x| dm , E M .
Per quali p 1 appartiene ad Lp((0, 1), ) la funzione f(x) = 1x
? Ed a Lp(R, )?
8 ) Sia la misura definita suMda
(E) =
E
|x| dm , E M .1
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Se f appartiene ad L([0, 1], ), puo essere
limx0+
f(x) = +
?
9 ) Sia la misura definita suMda
(E) =
E
1
|x| dm , E M ,
e sia f in L1([1, 1], ). Dimostrare che se esiste il limite L di|f| nellorigine, allora siha L= 0.
10 ) Siala misura definita suMda
(E) = E
1
|x|dm ,
E
M.
Per quali p 1 appartiene a Lp((0, 1), ) la funzione f(x) = 14x? Ed a Lp((1, +), )?11 ) Siaf in L1(R, m). Dimostrare che se esiste il limiteL di|f| per x tendente
ad infinito, allora L= 0; dimostrare che
lim infx+
|f(x)| = 0 ,
e trovare una funzione g in L1(R, m) tale che
lim supx+
|g(x)| = + .
12 ) Siala misura definita suMda(E) =
E
min 1
x2, x2
dm , E M .
Per quali Re p 1 appartiene ad Lp(R, ) la funzione f(x) = |x|?13 ) Siadefinita suMda
(E) =
E
g(x) dm , E M ,
cong una funzione positiva in Lp(R, m) (1 p +). Dimostrare che si ha
Lr q
(R, m) Lr
(R, ) ,dove q e il coniugato di Holder di p. Se
g(x) = min 1
x2, 1
,
si dimostri chege inL(R, m), e si dimostri con un esempio che Lr(R, ) non e contenutoin Lr(R, m).
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14 ) Sia{ak}una successione di numeri reali positivi, e sia
(E) =
+k=1
{k}(E) , E P(N) .Si dimostri che e una misura; successivamente, data una successione{yk} di numerireali positivi, si dimostri che
N
{yk} d=+k=1
akyk.
15 ) Siadefinita suP(N) da
(E) =+
k=1
1
k
2{k}(E) ,
E
P(N) .
Dimostrare che se 1 < p < q
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