Matematica 3 Esercitazioni
Teoremi di Stokes, della divergenza e di GaussGreen.
Esercizio 1 : Calcolare larea del dominio T avente per frontiera la linea chiusa di equazioniparametriche
:
{x = (1 t)2t
y = (1 t)t, t [0, 1]
Soluzione : Possiamo utilizzare indifferentemente una delle tre formule (giustificate dalteorema di GaussGreen)
Area(T ) =
+
x dy =
+y dx =
+
x
2dy
y
2dx.
Bisogna pero` stabilire se la parametrizzazione assegnata alla frontiera induce su di essa o-rientazione positiva o negativa. Un metodo per farlo e` quello di determinare la direzione e ilverso di un vettore tangente alla curva in un opportuno punto. Il vettore tangente a ha componenti (t) = ((1 t)(1 3t), 1 2t) dunque, per t = 1
2e` = ( 1
4, 0), orizzontale
ed orientato secondo le x decrescenti. Da cio` si deduce che lorientazione su e` quella insenso antiorario e quindi positiva. Calcoliamo quindi larea secondo la prima delle tre formuleprecedenti:
T
dx dy =
+
x dy =
10
x(t)y(t) dt
=
10
(1 t)2t(1 2t) dt =
[1
2t2
4
3t3 +
5
4t4
2
5t5
]10
=1
60.
Esercizio 2 : Calcolare larea del dominio tratteggiato in figura di frontiera = 1 2 3ove 1 = {(x, y) R
2, x2 + y2 x = 0, y 0} e 2 ha equazione in coordinate polari = e
con [0, pi2].
Soluzione : Determiniamo dapprima una parametrizzazione per la frontiera che induca su
1
di essa orientazione positiva. Si ha
1 :
x =1
2+
1
2cos(pi )
y =1
2sin(pi )
, [0, pi],
2 :
{x = e cos
y = e sin , [0,
pi
2]
e
3 :
{x = 0
y = epi
2 t, t [0, e
pi
2 ].
Utilizziamo ora la formula
Area(T ) =
+
x
2dy
y
2dx.
Considerando che il contributo allintegrale del tratto 3 e` nullo, si ha+
x
2dy
y
2dx =
1
x
2dy
y
2dx +
2
x
2dy
y
2dx
=1
2
pi0
[
(1
2+
1
2cos(pi )
)1
2cos(pi )
1
2sin(pi )
1
2sin(pi )
]d
+1
2
pi2
0
[e2 cos (sin + cos ) e2 sin (cos sin )
]d
= 1
2
pi0
(1
4+
1
4cos(pi )
)d +
1
2
pi2
0
e2 d
=
[1
8sin(pi )
1
8
]pi0
+
[1
4e2
]pi2
0
= pi
8+
1
4epi
1
4.
Esercizio 3 : Usando il teorema di GaussGreen, calcolare lintegrale doppio
T
y dx dy
ove T e` il dominio in figura, di frontiera T = 0 1 2 con
0 :
{x = t sin t
y = cos t 1, t [0, 2pi]
1 :
{x = 2pi cos3 t
y = 2pi sin3 t, t [0,
pi
2]
Soluzione : Per poter applicare il teorema di GaussGreen, dobbiamo determinare un campoF = (f1(x, y), f2(x, y)) tale che xf2(x, y)yf1(x, y) = y. Una scelta possibile e` la seguente:
2
f1(x, y) = y2
2, f2(x, y) = 0. Il teorema di GG afferma quindi
T
y dx dy =
T+
y2
2dx.
Non abbiamo bisogno di calcolare una parametrizzazione del tratto 2 poiche su di esso x e`costante dunque x(t) = 0. Inoltre, le parametrizzazioni assegnate ai tratti 0 e 1 induconosu di essi orientazione positiva. Si ha quindi:
T
y dx dy =
0
y2
2dx +
1
y2
2dx
= 1
2
2pi0
(1 cos t)3 dt +
pi2
0
12pi3 sin7 t cos2 t dt
= 1
2
2pi
0
(1 4 cos t + sin2 t cos t +3
2cos(2t) +
3
2) dt +
pi2
0
12pi3 sin6 t cos2 t sin t dt
= 1
2
[5
2t 4 sin t +
1
3sin3 t +
3
4sin(2t)
]2pi0
+
pi2
0
12pi3(cos2 t cos8 t 3 cos4 t + 3 cos6 t) sin t dt
= 5
2pi + 12pi3
[
1
3cos3 t +
1
9cos9 t +
3
5cos5 t
3
7cos7 t
]pi2
0
= 5
2pi + 12pi3(
1
3
1
9
3
5+
3
7)
Esercizio 4 : Dato il campo vettoriale F = (x cos y sinx + cos y cos x)i (x sin x cos y)j,calcolare il flusso di F uscente dalla linea = 1 2 3 usando il teorema della divergenza.
Soluzione : Ricordiamo il teorema della divergenza nel piano:
F,nds =
T
divF dx dy
ove n e` il versore uscente normale al bordo del dominio T . Poiche la retta OB ha equazione
3
y = x e la retta BA ha equazione y = 2x + 2, si haT
divF dx dy
=
T
(x cos y cos x + x sinx sin y) dx dy
=
T
x cos(y x) dx dy =
23
x=0
xy=0
x cos(y x) dy dx +
1x= 2
3
2x+2y=0
x cos(y x) dy dx
=
23
x=0
x sinx dx +
1
x= 23
(x sin(3x + 2) + x sinx) dx
=
1
x=0
x sinx dx +
1
x= 23
x sin(3x + 2) dx
= [x cos x + sinx]10+
[1
3x cos(3x + 2) +
1
9sin(3x + 2)
]12
3
=8
9sin 1
2
3cos 1
2
9.
Esercizio 5 : Sia S la porzione delliperboloide ad una falda di equazioni parametriche
P :
x = coshu cos v
y = cosh u sin v
z = sinhu
,u [ sinh1 1, sinh1 2]
v [pi
2,pi
2].
Si calcoli il flusso del vettore F = xi + yj + zk che attraversa S nel verso delle x crescenti.
Soluzione : In questo esercizio non si puo` usare il teorema della divergenza perche la super-ficie non e` chiusa. Calcoliamo quindi il flusso in base alla definizione:
Flusso =
S
F,nd
ove n e` il versore normale a S orientato nel verso delle x crescenti e d e` lelemento di superficiesu S. Ricordiamo che se P(u, v) e` una parametrizzazione della superficie S con (u, v) D,D R2 e g e` una funzione definita in un intorno di S, lintegrale di superficie si calcola
S
g d =
D
g(P(u, v))Pu Pv du dv
ove Pu Pv e` il prodotto vettoriale dei due vettori tangenti Pu e Pv (ed e` quindi un vettorenormale alla superficie). Calcoliamo nel nostro caso il versore n normale alla superficie. Si ha
Pu = (sinhu cos v, sinhu sin v, cosh u), Pv = ( cosh u sin v, cosh u cos v, 0)
4
da cui
n =Pu PvPu Pv
=1
Pu Pv
i j k
sinhu cos v sinhu sin v coshu coshu sin v cosh u cos v 0
=
1
Pu Pv
(( cosh2 u cos v)i (cosh2 u sin v)j + (sinhu coshu)k
)(Osservazione: Non abbiamo bisogno di calcolare la norma del vettore perche` si sempli-fichera` nellintegrale)
Il versore cos` trovato e` nel verso delle x crescenti? Poiche la componente lungo lasse x delvettore normale Pu Pv e` cosh
2 u cos v < 0 se (u, v) D, il versore NON e` nel verso dellex crescenti dunque dovremo prendere il versore opposto. Abbiamo quindi:
S
F,nd =
D
F(P(u, v)),Pu PvPu Pv
Pu Pv du dv
=
sinh1 2u= sinh1 1
pi2
v=pi2
(cosh3 u cos2 v + cosh3 u sin2 v sinh2 u coshu) du dv
=
sinh1 2u= sinh1 1
pi2
v=pi2
(cosh3 u sinh2 u cosh u) du dv
=
sinh1 2u= sinh1 1
pi2
v=pi2
cosh u du dv
= pi
sinh1 2u= sinh1 1
cosh u du = [pi sinhu] sinh1 2
sinh1 1= 3pi.
Esercizio 6 : Dato il campo F = yi+ zj+xk, calcolare il flusso del rotore di F attraverso laporzione di paraboloide S = {(x, y, z) R3, z = 1x2y2, z 0} sia in base alla definizione,sia usando il teorema di Stokes.
Soluzione : Per il teorema di Stokes, se F = (f1, f2, f3) e` un campo definito in un intornodella superficie S R3, si ha
S
rotF,n d =
S+
f1dx + f2dy + f3dz
ove lorientazione positiva di S e` scelta coerentemente con il verso del versore normale allasuperficie n. Calcoliamo il flusso del rotore di F nel verso delle z crescenti.
Si ha
rotF =
i j k
x y zy z x
= i j k.Determiniamo quindi una parametrizzazione della porzione di paraboloide:
P :
x = u
y = v
z = 1 u2 v2, 0 u2 + v2 1.
5
Il vettore normale alla superficie nel verso delle z crescenti e` quindi
Pu Pv =
i j k
1 0 2u0 1 2v
= 2ui + 2vj + k(si osservi che la componente lungo lasse z e` positiva). Dunque, in base alla definizione:
S
rotF,n d =
S
rotF,Pu PvPu Pv
Pu Pv du dv
=
0u2+v21
(2u 2v 1) du dv = pi.
Applichiamo ora il teorema di Stokes e determiniamo dapprima una parametrizzazione di Sche induce orientazione positiva:
r :
x = sin t
y = cos t
z = 0
, t [0, 2pi]
Si ha quindi:S+
f1dx + f2dy + f3dz =
2pi
0
sin t( sin t) dt =
2pi
0
cos(2t) 1
2dt =
[1
4sin(2t)
1
2t
]2pi0
= pi.
Esercizio 7 : Dato il campo F = x3i + y3j + z3k definito nel dominio E = {(x, y, z) R
3, x2 + y2 1, z [0, 1]}, calcolare il flusso di F uscente dalla frontiera di E sia in base alladefinzione, sia usando il teorema della divergenza.
Soluzione : Per il teorema della divergenza nello spazio:E
F,nd =
E
divF dx dy dz
ove n e` il versore uscente normale al bordo E del dominio E. Determiniamo una parametriz-zazione del bordo E = S1 S2 S3. Per S1 si ha:
P1 :
x = cos
y = sin
z = t
, [0, 2pi], t [0, 1].
Per S2 si ha:
P2 :
x = u
y = v
z = 0
, 0 u2 + v2 1.
Per S3 si ha:
P3 :
x = u
y = v
z = 1
, 0 u2 + v2 1.
6
Calcoliamo ora il versore normale uscente relativo a S1, S2 e S3. Si ha facilmente
n2 = (0, 0,1), n3 = (0, 0, 1)
mentre un vettore normale a S1 e`
P Pt =
i j k
sin cos 00 0 1
= cos i + sin j.Si tratta del vettore uscente dal bordo S1 poiche per = 0 si ha i (si osservi che si tratta diun versore, poiche P Pt = 1). Calcoliamo il flusso uscente tramite la definizione:
E
F,nd =
S1
F,nd +
S2
F,nd +
S3
F,nd
=
0u2+v21
0 du dv +
0u2+v21
1 du dv +
2pi=0
1t=0
(cos4 + sin4 ) d dt = pi +3
2pi =
5
2pi.
Utilizzando ora il teorema della divergenza, poiche divF = 3x2 + 3y2 + 3z2, si haE
divF dx dy dz =
1
z=0
0x2+y21
(3x2 + 3y2 + 3z2) dx dy dz
= 2pi
1=0
33d +
0x2+y21
1z=0
3z2dz dx dy =3
2pi + pi =
5
2pi.
Esercizio 8 : Si calcoliD
x2 dx dy
dove D = {(x, y) R2, 1 x2 + y2 2}, utilizzando il teorema di GaussGreen.
Risultato: 34pi
Esercizio 9 : Applicando il teorema di Stokes, calcolare lintegrale
y2 dx + xy dy + xz dz
ove e` lellisse intersezione tra la superficie cilindrica di equazione x2 + y2 = 2x e il pianoz = y. Il risultato dipende dallorientazione di ?
Risultato: 0, dunque in questo caso particolare non dipende dallorientazione.
Esercizio 10 : Dato il campo vettoriale F = xi + 2yj 3zk, calcolare
a) la circuitazione lungo la linea intersezione delle superfici di equazione
xy = z, e x2 + y2 = 1
b) il flusso uscente dal cubo di lato unitario, avente tre spigoli sugli assi, un verticenellorigine e il vertice opposto nel punto (1, 1, 1).
7
Risultato: sono entrambi nulli.
Esercizio 11 : Si calcoli il flusso del campo F = zi+x2yj+ y2zk uscente dalla superficie delsolido
S = {(x, y, z) R3, 2
x2 + y2 z 1 + x2 + y2}.
Risultato: pi30
.
8
Top Related