Equações do Movimento
João Oliveira
Departamento de Engenharia MecânicaÁrea Científica de Mecânica Aplicada e Aeroespacial
Instituto Superior Técnico
Estabilidade de Voo, Eng. Aeroespacial
João Oliveira (ACMAA, IST) Equações do Movimento Estabilidade de Voo 1 / 43
Sumário
Referenciais
Ângulos de EulerDefinição dos Ângulos de EulerMatrizes de rotaçãoVelocidades angulares
Equações de EulerEquações do movimentoForças aplicadasEquações do movimento no referencial do aviãoResumo
Flight Path
Rotores em movimento
Sistemas de eixos do corpo
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Referenciais
Sumário
Referenciais
Ângulos de EulerDefinição dos Ângulos de EulerMatrizes de rotaçãoVelocidades angulares
Equações de EulerEquações do movimentoForças aplicadasEquações do movimento no referencial do aviãoResumo
Flight Path
Rotores em movimento
Sistemas de eixos do corpo
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Referenciais
Referenciais: fixo na Terra e do avião
ñ FE (OxEyEzE) : referencial«inercial», fixo na Terra;(supõe-se Terra plana e ~gvertical, segundo zE)
ñ FB (Cxyz) : referencialcom origem no centro demassa da aeronave e que semove solidário com ela;
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Referenciais
Definições
Podemos usar referenciais diferentes para medir/definir ovector e para escrever as suas componentes.
~Vabñ o expoente a identifica o referencial relativamente ao
qual medimos o vectorñ o índice b identifica o referencial no qual escrevemos
as componentes do vector
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Referenciais
Exemplos
ñ Velocidade relativamente à Terra: ~VE
ñ ~VEE = (xE, yE, zE)ñ ~VEB = (uE, vE,wE)
ñ «Airspeed»: ~VB = (u,v,w)
Note-se que, se o vento tiver velocidade ~W ,
~VE = ~V + ~W
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Ângulos de Euler
Sumário
Referenciais
Ângulos de EulerDefinição dos Ângulos de EulerMatrizes de rotaçãoVelocidades angulares
Equações de EulerEquações do movimentoForças aplicadasEquações do movimento no referencial do aviãoResumo
Flight Path
Rotores em movimento
Sistemas de eixos do corpo
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Ângulos de Euler
Orientação relativa dos referenciais
Orientação relativa dos dois referenciais (FE fixo na Terrae FB solidário com o avião):
Ângulos de Euler
ñ Muitas definições possíveis.ñ Em Aeronáutica:
ñ guinada (yaw),ñ picada/cabragem (pitch),ñ pranchamento ou rolamento (banking, rolling).
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Ângulos de Euler Definição dos Ângulos de Euler
Ângulos de Euler: ângulo de guinada ψ
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Ângulos de Euler Definição dos Ângulos de Euler
Ângulos de Euler: ângulo de picada/cabragem θ
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Ângulos de Euler Definição dos Ângulos de Euler
Ângulos de Euler: ângulo de pranchamento φ
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Ângulos de Euler Matrizes de rotação
Rotação em torno do eixo Ox
Lx(α) =
1 0 00 cosα sinα0 − sinα cosα
x
y
z
α
α
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Ângulos de Euler Matrizes de rotação
Rotação em torno do eixo Oy
Ly(β) =
cosβ 0 − sinβ0 1 0
sinβ 0 cosβ
β
βx
y
z
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Ângulos de Euler Matrizes de rotação
Rotação em torno do eixo Oz
Lz(γ) =
cosγ sinγ 0− sinγ cosγ 0
0 0 1
x
y
z
γ
γ
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Ângulos de Euler Matrizes de rotação
Rotação: referencial Terra para referencial doavião
Matriz de rotação do referencial fixo na Terra FE para oreferencial fixo na aeronave FB:
LBE = Lx(φ) · Ly(θ) · Lz(ψ)
Transformação de vectores:
~VB = LBE ~VE
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Ângulos de Euler Matrizes de rotação
Rotação: referencial do avião para referencialTerra
Matriz de rotação do referencial fixo na aeronave FB parao referencial fixo na Terra FE:
LEB = L−1BE = Lz(−ψ) · Ly(−θ) · Lx(−φ)
Transformação de vectores:
~VE = LEB ~VB
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Ângulos de Euler Matrizes de rotação
Rotação: referencial Terra para referencial doavião (2)
Matriz de rotação do referencial fixo na Terra FE para oreferencial fixo na aeronave FB:
LBE = Lx(φ) · Ly(θ) · Lz(ψ) =
= cosθ cosψ cosθ sinψ − sinθ
sinφ sinθ cosψ− cosφ sinψ sinφ sinθ sinψ+ cosφ cosψ sinφ cosθcosφ sinθ cosψ+ sinφ sinψ cosφ sinθ sinψ− sinφ cosψ cosφ cosθ
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Ângulos de Euler Matrizes de rotação
Rotação: referencial do avião para referencialTerra
Matriz de rotação do referencial fixo na aeronave FB parao referencial fixo na Terra FE:
LEB = L−1BE = Lz(−ψ) · Ly(−θ) =
=cosθ cosψ sinφ sinθ cosψ− cosφ sinψ cosφ sinθ cosψ+ sinφ sinψ
cosθ sinψ sinφ sinθ sinψ+ cosφ cosψ cosφ sinθ sinψ− sinφ cosψ− sinθ sinφ cosθ cosφ cosθ
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Ângulos de Euler Velocidades angulares
Velocidade angularNos eixos do corpo ~ω = p~iB + q~jB + r ~kBPor outro lado ~ω = ψ~k1B + θ ~j2B + φ~i3BMas, pela definição dos ângulos de Euler:
~i3B = ~iB~j2B = cosφ~jB − sinφ~kB~k1B = cosθ(sinφ~jB + cosφ~kB)− sinθ~iB
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Ângulos de Euler Velocidades angulares
Velocidade angular (2)
Usando
~i3B = ~iB~j2B = cosφ~jB − sinφ~kB~k1B = cosθ(sinφ~jB + cosφ~kB)− sinθ~iB
em ~ω = ψ~k1B + θ ~j2B + φ~i3B obtém-se
~ω = ψ~k1B + θ ~j2B + φ~i3B= ψ[cosθ(sinφ~jB + cosφ~kB)− sinθ~iB]+θ[cosφ~jB − sinφ~kB]+ φ~iB
= (φ− ψ sinθ)~iB + (ψ cosθ sinφ+ θ cosφ)~jB++ (ψ cosθ cosφ− θ sinφ)~kB
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Ângulos de Euler Velocidades angulares
Velocidade angular (3)
Logo
( ~ω)B = p~iB + q~jB + r ~kB= (φ− ψ sinθ)~iB + (ψ cosθ sinφ+ θ cosφ)~jB+
+ (ψ cosθ cosφ− θ sinφ)~kB
p = φ− ψ sinθ
q = ψ cosθ sinφ+ θ cosφ
r = ψ cosθ cosφ− θ sinφ
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Equações de Euler
Sumário
Referenciais
Ângulos de EulerDefinição dos Ângulos de EulerMatrizes de rotaçãoVelocidades angulares
Equações de EulerEquações do movimentoForças aplicadasEquações do movimento no referencial do aviãoResumo
Flight Path
Rotores em movimento
Sistemas de eixos do corpo
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Equações de Euler Equações do movimento
Equações do movimento no referencial inercial
Equação da dinâmica de translação:
~f =m[
ddt(~VE)
]FE
Equação da dinâmica de rotação:
~GC =[
ddt(~hC)
]FE
ñ ~f : força resultanteñ ~GC : momento resultante relativo ao CM do aviãoñ ~hC : momento angular relativamente ao CM do avião
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Equações de Euler Equações do movimento
Equações do movimento no referencial do avião
O referencial do avião é um referencial em rotação comvelocidade angular ~ω.
Equação da dinâmica de translação:
( ~f)B =m[
ddt(~VE)
]FE=m
[(~VE)B + ( ~ω)B × (~VE)B
]
Equação da dinâmica de rotação:
( ~GC)B =[
ddt(~hC)
]FE=[(~hC)B + ( ~ω)B × (~hC)B
]
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Equações de Euler Forças aplicadas
Forças aplicadas a uma aeronave
Principais forças externas aplicadas:
ñ força gravítica: m(~g)Bñ forças aerodinâmicas: ~Añ força de propulsão: ~T
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Equações de Euler Forças aplicadas
Forças
Força gravítica:
(~g)B = [LBE][(~g)E] =[cosθ cosψ cosθ sinψ − sinθ
sinφ sinθ cosψ−cosφ sinψ sinφ sinθ sinψ+cosφ cosψ sinφ cosθcosφ sinθ cosψ+ sinφ sinψ cosφ sinθ sinψ−sinφ cosψ cosφ cosθ
][00g
]
m(~g)B =mg(− sinθ~iB + cosθ sinφ~jB + cosθ cosφ~kB
)Forças aerodinâmicas e de propulsão:
( ~A)B + (~T)B = X~iB + Y ~jB + Z~kB
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Equações de Euler Equações do movimento no referencial do avião
Equação da dinâmica de translação
( ~f)B =m[
ddt(~VE)
]FE=m
[(~VE)B + ( ~ω)B × (~VE)B
]
No referencial do avião:
(~VE)B = uE~iB + vE ~jB +wE~kB
( ~ω)B = p ~iB + q ~jB + r ~kB
Logo
X −mg sinθ =m(uE + qwE − rvE)
Y +mg cosθ sinφ =m(vE + ruE − pwE)Z +mg cosθ cosφ =m(wE + pvE − quE)
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Equações de Euler Equações do movimento no referencial do avião
Equação da dinâmica de rotação
Equação da dinâmica de rotação:
( ~GC)B =[
ddt(~hC)
]FE=[(~hC)B + ( ~ω)B × (~hC)B
]
( ~GC)B = L~iB +M ~jB +N ~kB ; [(~hC)B] = [IB][( ~ω)B]
Matriz de inércia: [IB] =
Ixx −Ixy −Ixz−Ixy Iyy −Iyz−Ixz −Iyz Izz
em que Ixx =
∫(y2 + z2)dm, etc. e Ixy =
∫xydm, etc.
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Equações de Euler Equações do movimento no referencial do avião
Equação da dinâmica de rotação (2)
Depois de efectuadas todas as operações, obtém-se:
L = Ixxp − Iyz(q2 − r2)− Izx(r + pq)− Ixy(q − rp)− (Iyy − Izz)qrM = Iyy q − Izx(r2 − p2)− Ixy(p + qr)− Iyz(r − pq)− (Izz − Ixx)rpN = Izz r − Ixy(p2 − q2)− Iyz(q + rp)− Izx(p − qr)− (Ixx − Iyy)pq
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Equações de Euler Resumo
Resumo das equações do movimento
X −mg sinθ =m(uE + qwE − rvE)
Y +mg cosθ sinφ =m(vE + ruE − pwE)Z +mg cosθ cosφ =m(wE + pvE − quE)
L = Ixxp − Iyz(q2 − r2)− Izx(r + pq)− Ixy(q − rp)− (Iyy − Izz)qrM = Iyy q − Izx(r2 − p2)− Ixy(p + qr)− Iyz(r − pq)− (Izz − Ixx)rpN = Izz r − Ixy(p2 − q2)− Iyz(q + rp)− Izx(p − qr)− (Ixx − Iyy)pq
p = φ− ψ sinθ
q = ψ cosθ sinφ+ θ cosφ
r = ψ cosθ cosφ− θ sinφ
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Equações de Euler Resumo
Resumo das equações do movimento
ñ Sistema de equações diferenciaisñ 9 equaçõesñ 9 incógnitas (u,v,w,p, q, r ,ψ, θ,φ)
ñ Sistema não linearñ Equações acopladas
Simplificação: se a aeronave é simétrica, Ixy = 0 = Iyz
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Flight Path
Sumário
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Equações de EulerEquações do movimentoForças aplicadasEquações do movimento no referencial do aviãoResumo
Flight Path
Rotores em movimento
Sistemas de eixos do corpo
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Flight Path
Flight path
A trajectória é determinada no referencial da Terra, FE.
Mas
ñ ~VEE = (xE, yE, zE)ñ ~VEB = (uE, vE,wE)ñ uE, vE e wE obtidos pelas equações do movimentoñ [~VEE ] = [LEB][~VEB ]
Daqui obtém-se o sistema de equações para a trajectória.
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Flight Path
Flight path
Sistema de equações diferenciais para as coordenadas:
xE = uE cosθ cosψ+ vE(sinφ sinθ cosψ− cosφ sinψ)+wE(cosφ sinθ cosψ+ sinφ sinψ)
yE = uE cosθ sinψ+ vE(sinφ sinθ sinψ+ cosφ cosψ)+wE(cosφ sinθ sinψ− sinφ cosψ)
zE = −uE sinθ + vE sinφ cosθ +wE cosφ cosθ
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Rotores em movimento
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Equações de EulerEquações do movimentoForças aplicadasEquações do movimento no referencial do aviãoResumo
Flight Path
Rotores em movimento
Sistemas de eixos do corpo
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Rotores em movimento
Efeito de rotores
Mesmo desprezando os efeitos de elasticidade, um aviãonão é um corpo rígido.
Exemplo de partes em movimento:
ñ Hélices (motores a hélice)ñ Turbinas e compressores (motores a jacto)
Como introduzir o efeito dos rotores nas equações deEuler?
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Rotores em movimento
Equações de Euler quando há rotores
Somamos
[(~hC)B] = [IB][( ~ω)B]+ [~h′B]
ñ ~h′B: momento angular dos rotores (devido ao seumovimento de rotação relativo ao avião).
ñ [IB][( ~ω)B]: momento angular do avião
e usamos o novo momento angular na equação para adinâmica de rotação:
( ~GC)B =[
ddt(~hC)
]FE=[(~hC)B + ( ~ω)B × (~hC)B
]
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Rotores em movimento
Equações de Euler quando há rotores
Logo, aparecem os seguintes termos adicionais naequação dos momentos:
Na equação segundo x: qh′z − rh′yNa equação segundo y: rh′x − ph′zNa equação segundo z: ph′y − qh′x
(Nota: admitimos que a velocidade angular dos rotores éconstante)
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Sistemas de eixos do corpo
Sumário
Referenciais
Ângulos de EulerDefinição dos Ângulos de EulerMatrizes de rotaçãoVelocidades angulares
Equações de EulerEquações do movimentoForças aplicadasEquações do movimento no referencial do aviãoResumo
Flight Path
Rotores em movimento
Sistemas de eixos do corpo
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Sistemas de eixos do corpo
Sistemas de eixos
ñ Podemos usar qualquer sistema de eixos solidárioscom o corpo
ñ Na prática: xz no plano de simetria do aviãoñ Cx apontando «para a frente»ñ Cz apontando «para baixo»ñ Cy formando um triedro directo
ñ Ainda temos muitas possibilidades de escolha de Cx eCz
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Sistemas de eixos do corpo
Sistemas de eixos: Cx linha de sustentação nula
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Sistemas de eixos do corpo
Sistemas de eixos principais de inércia
Vantagens: Ixy = Ixz = Iyz = 0⇒
hx = Ixphy = Iyqhz = Izr
Nota: γ: ângulo de subida (ou de rota)
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Sistemas de eixos do corpo
Sistemas de eixos de estabilidade (xS , yS , zS)Eixo dos x segundo a direcção do vector velocidade.
Vantagens:αx = 0⇒ w = 0
Novos momentos e produtos de inércia:
IxS = IxP cos2 ε+ IzP sin2 ε
IzS = IxP sin2 ε+ IzP cos2 ε
IxSzS =12(IzP − IxP ) sin 2ε
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