Estudo da Equação de Estado dos Gases Perfeitos
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Termodinâmica - ACF - DEM - ISEL
Resumo
Este trabalho experimental tem como objectivo estudar o comportamento de um
gás ideal aquando da variação das suas propriedades termodinâmicas, nomeadamente a
pressão e a temperatura, propriedades intensivas, e o volume, propriedade extensiva.
Para uma determinada quantidade, constante, de gás (ar), pretende-se estudar a
relação entre Pressão e Volume sem se fazer variar a Temperatura, determinando esta
relação para diferentes temperaturas é possível verificar experimentalmente a equação
de estado dos gases perfeitos. Assim como verificar a lei de Boyle-Mariotte.
Introdução
O estado de um gás é determinado a partir das suas variáveis de estado:
temperatura T, pressão P, volume V e a quantidade de substância n. Em caso extremo,
pode-se recorrer ao modelo de um gás ideal, um modelo teórico, no qual o gás obedece
com grande exactidão à seguinte equação:
𝑷. 𝑽 = 𝒏. 𝑹. 𝑻
nas quais, P a pressão expressa-se em pascal (Pa), V o volume em metros cúbicos (m
3),
T temperatura em Kelvin (K), n o número de moles do gás em mol e R a constante
universal dos gases perfeitos em JK-1
mol-1
.
A partir da equação dos gases ideais, podem-se obter várias leis, das quais
destacamos a lei de Boyle-Mariotte, quando se consideram mudanças de estado
particulares.
No século XVII o inglês Robert Boyle observou que um volume de um gás é
inversamente proporcional à pressão a que está submetido, quando a temperatura
permanece constante, sendo formulada assim a Lei de Boyle-Mariotte:
𝑷. 𝑽 = 𝑪te
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Termodinâmica - ACF - DEM - ISEL
Implementação Experimental
1. Registou-se os valores de pressão atmosférica e de temperatura no interior do
laboratório, utilizando um barómetro e um termómetro, respectivamente;
2. Verificou-se que todos os aparelhos e objectos intervenientes no procedimento
experimental estavam nos conformes;
3. Ligou-se o termóstato a uma temperatura de 24°C e aguardou-se a sua
estabilização e procedeu-se ao seu registo;
4. Foi escolhido um valor para o comprimento da coluna de ar, l, de 227 mm e
procedeu-se à leitura dos valores do desnível no tubo manométrico, Δh;
5. Reduziu-se o valor de l de 10 em 10 mm até atingir 97 mm, repetindo o
procedimento anterior;
6. Fez-se variar a temperatura do termóstato, até obter os valores de temperatura:
24,31, 38, 44, 51, 58 °C, repetindo as etapas 4 e 5.
NOTA: Para todas as medidas que foram efectuadas registou-se os erros associados aos
respectivos aparelhos de medida.
Legenda
1. Tripé
2. Suporte alumínio
2.1. Régua graduada
3. Recipiente de medida
3.1. Tubo de medida
3.1.1. Tubuladura
3.2. Tubo envolvente
3.2.1. Tubuladura
3.2.2. Tubuladura
3.2.3. Orifício para termómetro
4. Reservatório de mercúrio
4.1. Patim
4.2. Tampa de borracha
4.3. Suporte
5. Mangueira
5.1. Suporte
5.2. Suporte
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Termodinâmica - ACF - DEM - ISEL
Cálculos e Resultados
Cálculo do Volume
Em primeiro lugar procedeu-se ao cálculo do volume da coluna de ar, para cada
valor de l. Para tal utilizou-se a expressão a seguir indicada:
𝑉 = 𝑉l + 𝑉R = 𝜋 𝑑
2
2
∗ 𝑙 + 𝑉R
𝑑 = 11,4 𝑚𝑚
𝑉R = 1,01 ∗ 10−3 𝑑𝑚3
𝑉(𝑐𝑚3) = 𝜋 1,14
2
2
∗ 𝑙 × 0,1 + 1,01
onde VR corresponde ao volume do topo do tubo que contém ar e que apresenta cor
acastanhada e d é o diâmetro do tubo.
Cálculo da Pressão
Em seguida procedeu-se ao cálculo da pressão P do ar existente no interior do
tubo. Para tal recorreu-se à seguinte expressão:
𝑃 (𝑚𝑚𝐻𝑔) = 𝑃atm + 𝛥ℎ
𝑃 𝑃𝑎 = 𝑃 𝑚𝑚𝐻𝑔 ∗ 𝜌𝐻𝑔𝑔
𝜌Hg = 13,590 𝑘𝑔. 𝑑𝑚−3
𝑔 = 9,807 𝑚𝑠−2
𝑃atm = 758,1 ± 0,05 𝑚𝑚𝐻𝑔
𝑃 𝑃𝑎 = 𝑃 𝑚𝑚𝐻𝑔 × 10−3 ∗ 13590 𝑘𝑔. 𝑚−3 ∗ 9,807 𝑚𝑠−2
Cálculo do PV
PV traduz o produto entre a pressão P em Pa e o volume V em m3.
Cálculo de PV − PV
PV − PV traduz -se no desvio em relação à média de PV, PV .
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Termodinâmica - ACF - DEM - ISEL
Tratamento de Resultados
θ = 24°C
l (mm) Δh mmHg V (cm3) P (mmHg) P (Pa) PV (Pa.m3) 𝑷𝑽 − 𝑷𝑽 (Pa.m3)
227 -360 24,180 398,100 53057,625 1,283 0,377
217 -290 23,159 468,100 62387,025 1,445 0,215
207 -263 22,139 495,100 65985,507 1,461 0,199
197 -238 21,118 520,100 69317,435 1,464 0,196
187 -208 20,097 550,100 73315,749 1,473 0,187
177 -180 19,076 578,100 77047,509 1,470 0,190
167 -106 18,056 652,100 86910,016 1,569 0,091
157 -67 17,035 691,100 92107,825 1,569 0,091
147 -16 16,014 742,100 98904,958 1,584 0,076
137 33 14,994 791,100 105435,538 1,581 0,079
𝑃𝑉 = Valor médio de PV = 1,4899 Pa. m3
∆ 𝑃𝑉 = Valor médio PV − PV = 0,1702447 Pa. m3
𝑃𝑉 ± ∆ 𝑃𝑉 = 1,5 ± 0,17 Pa. m3
θ = 31°C
l (mm) Δh mmHg V (cm3) P (mmHg) P (Pa) PV (Pa.m3) 𝑷𝑽 − 𝑷𝑽 (Pa.m3)
227 -295 24,180 463,100 61720,639 1,492 0,168
217 -270 23,159 488,100 65052,567 1,507 0,154
207 -243 22,139 515,100 68651,050 1,520 0,140
197 -216 21,118 542,100 72249,532 1,526 0,134
187 -187 20,097 571,100 76114,569 1,530 0,130
177 -160 19,076 598,100 79713,051 1,521 0,139
167 -132 18,056 626,100 83444,811 1,507 0,153
157 -90 17,035 668,100 89042,451 1,517 0,143
147 -51 16,014 707,100 94240,259 1,509 0,151
137 5 14,994 763,100 101703,778 1,525 0,135
𝑃𝑉 = Valor médio de PV = 1,5152 Pa. m3
∆ 𝑃𝑉 = Valor médio PV − PV = 0,14485655 Pa. m3
𝑃𝑉 ± ∆ 𝑃𝑉 = 1,5 ± 0,14 Pa. m3
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Termodinâmica - ACF - DEM - ISEL
θ = 38°C
l (mm) Δh mmHg V (cm3) P (mmHg) P (Pa) PV (Pa.m3) 𝑷𝑽 − 𝑷𝑽 (Pa.m3)
227 -278 24,180 480,100 63986,350 1,547 0,113
217 -258 23,159 500,100 66651,893 1,544 0,117 207 -237 22,139 521,100 69450,712 1,538 0,123
197 -207 21,118 551,100 73449,026 1,551 0,109
187 -175 20,097 583,100 77713,895 1,562 0,098 177 -152 19,076 606,100 80779,268 1,541 0,119
167 -110 18,056 648,100 86376,908 1,560 0,101
157 -72 17,035 686,100 91441,439 1,558 0,102 147 -30 16,014 728,100 97039,078 1,554 0,106
137 23 14,994 781,100 104102,766 1,561 0,099
𝑃𝑉 = Valor médio de PV = 1,5514 Pa. m3
∆ 𝑃𝑉 = Valor médio PV − PV = 0,1086717 Pa. m3
𝑃𝑉 ± ∆ 𝑃𝑉 = 1,6 ± 0,11 Pa. m3
θ = 44°C
l (mm) Δh mmHg V (cm3) P (mmHg) P (Pa) PV (Pa.m3) 𝑷𝑽 − 𝑷𝑽 (Pa.m3)
227 -270 24,180 488,100 65052,567 1,573 0,087
217 -250 23,159 508,100 67718,110 1,568 0,092
207 -226 22,139 532,100 70916,761 1,570 0,090
197 -200 21,118 558,100 74381,966 1,571 0,089
187 -167 20,097 591,100 78780,112 1,583 0,077
177 -140 19,076 618,100 82378,594 1,571 0,089
167 -104 18,056 654,100 87176,571 1,574 0,086
157 -62 17,035 696,100 92774,210 1,580 0,080
147 -18 16,014 740,100 98638,404 1,580 0,080
137 37 14,994 795,100 105968,646 1,589 0,071
𝑃𝑉 = Valor médio de PV = 1,5760 Pa. m3
∆ 𝑃𝑉 = Valor médio PV − PV = 0,0841417 Pa. m3
𝑃𝑉 ± ∆ 𝑃𝑉 = 1,6 ± 0,08 Pa. m3
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Termodinâmica - ACF - DEM - ISEL
θ = 51°C
l (mm) Δh mmHg V (cm3) P (mmHg) P (Pa) PV (Pa.m3) 𝑷𝑽 − 𝑷𝑽 (Pa.m3)
227
217 -240 23,159 518,1 69050,881 1,599 0,061
207 -212 22,139 546,1 72782,641 1,611 0,049
197 -185 21,118 573,1 76381,123 1,613 0,047
187 -155 20,097 603,1 80379,437 1,615 0,045
177 -127 19,076 631,1 84111,197 1,605 0,056
167 -90 18,056 668,1 89042,451 1,608 0,052
157 -47 17,035 711,1 94773,367 1,614 0,046
147 0 16,014 758,1 101037,392 1,618 0,042
137 58 14,994 816,1 108767,466 1,631 0,029
𝑃𝑉 = Valor médio de PV = 1,6127 Pa. m3
∆ 𝑃𝑉 = Valor médio PV − PV = 0,0473952 Pa. m3
𝑃𝑉 ± ∆ 𝑃𝑉 = 1,6 ± 0,05 Pa. m3
θ = 59°C
l (mm) Δh mmHg V (cm3) P (mmHg) P (Pa) PV (Pa.m3) |PV - PV| (Pa.m3)
227 -260 24,180 498,100 66385,338 1,605 0,055
217 -225 23,159 533,100 71050,038 1,645 0,015
207 -200 22,139 558,100 74381,966 1,647 0,013
197 -170 21,118 588,100 78380,280 1,655 0,005
187 -140 20,097 618,100 82378,594 1,656 0,005
177 -105 19,076 653,100 87043,294 1,660 0,000
167 -65 18,056 693,100 92374,379 1,668 0,008
157 -20 17,035 738,100 98371,850 1,676 0,016
147 28 16,014 786,100 104769,152 1,678 0,018
137 82 14,994 840,100 111966,117 1,679 0,019
𝑃𝑉 = Valor médio de PV = 1,6569 Pa. m3
∆ 𝑃𝑉 = Valor médio PV − PV = 0,0152552 Pa. m3
𝑃𝑉 ± ∆ 𝑃𝑉 = 1,7 ± 0,02 Pa. m3
Estudo da Equação de Estado dos Gases Perfeitos
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Termodinâmica - ACF - DEM - ISEL
Cálculo do Erro de PV através da Regra de Propagação dos Erros
Quando a determinação de uma grandeza física é feita através de uma relação
entre outras grandezas directamente medidas, as quais estão afectadas de um
determinado erro de leitura, é necessário estimar a incerteza associada ao valor obtido,
propagação dos erros parciais.
Para calcular o erro associado à grandeza PV, 𝛥𝑃𝑉, é necessário para o seu
cálculo tomar em conta os erros associados às grandezas que a esta estão associadas,
para tal recorreu-se à regra de propagação dos erros da seguinte formas:
𝑃𝑉 = 𝜋 . 𝑑2
4 . 𝑙 + VR ∗ 𝑃atm + ℎ ∗ 𝜌𝑔
𝛥𝑃𝑉 = 𝜕𝑃𝑉
𝜕𝑙 𝛥𝑙 +
𝜕𝑃𝑉
𝜕(𝛥ℎ) 𝛥(𝛥ℎ) +
𝜕𝑃𝑉
𝜕𝑃atm 𝛥𝑃atm
𝛥𝑃𝑉 = 𝜋𝑑2
4∗ 𝑃atm ∗ 𝜌𝑔 +
𝜋𝑑2
4∗ |ℎ| ∗ 𝜌𝑔 𝛥𝑙 +
𝑙𝜋𝑑2
4∗ 𝜌𝑔 + 𝑉R ∗ 𝜌𝑔 𝛥(𝛥ℎ) +
𝑙𝜋𝑑2
4∗ 𝜌𝑔 + 𝑉R ∗ 𝜌𝑔 𝛥𝑃atm
Propagação dos Erros (𝐏𝐚. 𝐦3)
θ = 38°C
𝝏𝑷𝑽
𝝏𝒍 𝜟𝒍
𝜕𝑃𝑉
𝜕𝑃atm 𝛥𝑃atm
𝜕𝑃𝑉
𝜕(𝛥ℎ) 𝛥(𝛥ℎ) ΔPV PV
0,01409 0,00032 0,00645 0,02086 1,686
0,01382 0,00031 0,00617 0,02030 1,688
0,01354 0,00030 0,00590 0,01973 1,688
0,01313 0,00028 0,00563 0,01904 1,710
0,01269 0,00027 0,00536 0,01832 1,730
0,01238 0,00025 0,00508 0,01772 1,716
0,01181 0,00024 0,00481 0,01686 1,746
0,01129 0,00023 0,00454 0,01606 1,755
0,01072 0,00021 0,00427 0,01520 1,764
0,01063 0,00020 0,00400 0,01482 1,786
ΔPV ≈ 0,018 Pa.m3
Depois dos cálculos efectuados e construída a tabela acima, podemos concluir
que obtivemos PV = Cte, dentro dos limites dos erros das medidas:
𝑃𝑉máx − 𝛥𝑃𝑉 < 𝑃𝑉 < 𝑃𝑉min + 𝛥𝑃𝑉, ∀ 𝑃𝑉
𝛥𝑙 = 0,001 𝑚
𝛥(𝛥ℎ) = 0,002 𝑚
𝛥𝑃atm = 0.0001 𝑚𝐻𝑔
Erros de Medida
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Termodinâmica - ACF - DEM - ISEL
Diagrama P-V para θ = 38°C
θ °C = 38 e 𝑃𝑉 = 1,5514
V (cm3) P (Pa)-Exp. P(Pa)-Teórico
24,180 63986,350 64162,351
23,159 66651,893 66990,193
22,139 69450,712 70078,791
21,118 73449,026 73465,956
20,097 77713,895 77197,178
19,076 80779,268 81327,686
18,056 86376,908 85925,194
17,035 91441,439 91073,648
16,014 97039,078 96878,395
14,994 104102,766 103473,466
Cálculo do valor teórico da pressão
𝑃. 𝑉 = 𝑃𝑉 ⇔ 𝑃 =𝑃𝑉
𝑉
Calculado o valor teórico da pressão
segundo a forma transcrita, e registados
os seus valores na tabela ao lado,
procedeu-se à construção do Diagrama
P-V onde se sobrepôs as curvas teórica
e experimental.
Como podemos constatar a curva PV - experimental sobrepõem-se quase na sua
totalidade à curva PV - teórico. Estes pequenos desvios devem-se a erros associados às
medições e ao facto de o sistema termodinâmico não estar idealmente isolado.
60
70
80
90
100
110
14 16 18 20 22 24
P (
kP
a)
V (cm3)
Diagrama P-V (θ = 38°C)
PV - Experimental
PV - Teórico
Estudo da Equação de Estado dos Gases Perfeitos
9
Termodinâmica - ACF - DEM - ISEL
Equação de Estado dos Gases Perfeitos
Organizando os valores anteriormente calculados na seguinte tabela, é possível
construir o Diagrama PV-θ, com as suas barras de erro.
θ °C 24 31 38 44 51 58
𝑷𝑽 (Pa.m3) 1,4899 1,5153 1,5514 1,5760 1,6127 1,6569
Δ PV 0,1702447 1,448655 0,1086717 0,0841417 0,0473952 0,0152552
𝑷𝑽 − 𝜟(𝑷𝑽) 1,320 1,370 1,443 1,492 1,565 1,642
𝑷𝑽 + 𝜟(𝑷𝑽) 1,660 1,660 1,660 1,660 1,660 1,672
Como é possível comprovar o valor do produto P.V aumenta com a temperatura,
tal como seria de esperar através da equação de estado dos gases perfeitos:
𝑷. 𝑽 = 𝒏. 𝑹. 𝑻
como n e R são valores constantes para um determinado sistema, o aumento da
temperatura irá provocar um aumento do produto P.V, o contrário também se verifica.
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
20 25 30 35 40 45 50 55 60
PV
(P
a.m
3)
θ (°C)
Diagrama PV - θ
Estudo da Equação de Estado dos Gases Perfeitos
10
Termodinâmica - ACF - DEM - ISEL
Prolongando a recta do Diagrama PV-θ obteremos um diagrama semelhante
onde poderemos visualizar que quando PV=0, θ toma um valor próximo do zero
absoluto (-273,15°C ou 0K)
Determinação da recta através do Método dos Mínimos Quadrados
Através do método dos mínimos quadrados é possível determinar a equação
característica da recta, calculando o seu declive, m, e a sua ordenada na origem, b,
através das seguintes expressões:
𝑚 =𝑛 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 𝑦𝑖
𝑛 𝑥𝑖2 − ( 𝑥𝑖)
2 𝑏 = 𝑥𝑖
2 𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 𝑥𝑖𝑦𝑖
𝑛 𝑥𝑖2 − ( 𝑥𝑖)
2
𝑚 = 0,00488391 𝑏 = 1,36678417
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 ⇔ 𝑦 = 0,00488𝑥 + 1,36678
Através do gráfico obtêm-se:
𝑦 = 0,0049𝑥 + 1,3668
Intercepção da recta com o eixo dos θθ:
𝑃𝑉 = 0,0049𝜃 + 1,3668
𝑃𝑉 = 0 ⇔ 𝜃 = −278,94℃ ≈ −273,15℃
y = 0,0049x + 1,3668
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
-300 -275 -250 -225 -200 -175 -150 -125 -100 -75 -50 -25 0 25 50
PV
(P
a.m
3)
θ (°C)
Diagrama PV - θ
Estudo da Equação de Estado dos Gases Perfeitos
11
Termodinâmica - ACF - DEM - ISEL
Cálculo do número de moles de ar dentro do tubo
Escolhendo um ponto das tabelas construídas anteriormente, é possível calcular
o número de moles de ar existentes dentro do tubo, recorrendo à equação de estado dos
gases perfeitos, onde T é a temperatura em kelvin e R é a constante universal dos gases
perfeitos:
𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇
𝜃 = 38 ℃
𝑇 = 𝜃 + 273,15 = 311,15 𝐾
𝑅 = 8,314 𝐽𝐾−1𝑚𝑜𝑙−1
𝑃𝑉 = 1,7269 𝑃𝑎. 𝑚−3
𝑛 =1,7269
8,314 ∗ 311,15= 6,68 ∗ 10−4 𝑚𝑜𝑙
Estudo da Equação de Estado dos Gases Perfeitos
12
Termodinâmica - ACF - DEM - ISEL
Discussão
Depois de realizado este procedimento experimental e de analisarmos os
resultados que dele advêm podemos comprovar que a pressão e o volume têm uma
variação inversamente proporcional tomando o produto entre eles um valor constante,
posto isto é possível comprovar a veracidade da lei de Boyle-Mariotte.
Relativamente à equação de estado dos gases perfeitos conseguimos provar
através do nosso trabalho laboratorial que com o aumento da temperatura, o produto de
PV também irá aumentar, como seria de esperar.
Iremos agora justificar a razão de não termos respeitado com rigor os erros dos
instrumentos de medida:
𝛥𝑙 = 0,001 𝑚 → a razão pela qual atribuímos este valor ao erro associado à esta
medição e não a metade da menor medida, 0.0005 m, deve-se do mercúrio
contido no tubo de medida formar uma bolha que dificulta a leitura;
𝛥ℎ = 0,002 𝑚 → a razão pela qual atribuímos este valor ao erro associado à
esta medição e não a metade da menor medida, 0.0005 m, deve-se ao
afastamento da escala relativamente ao recipiente que contém mercúrio e
também ao devido ao facto de este último formar uma bolha que dificulta a
leitura;
𝛥𝑃atm = 0.0001 𝑚𝐻𝑔 → a razão pela qual atribuímos este valor ao erro
associado à esta medição e não a metade da menor medida, 0.00005 m, deve-se
ao facto de ser difícil o encostamento do vértice da vareta do barómetro com o
topo da bolha de mercúrio que se forma no seu interior.
Devido aos erros acima referidos, e como todos os cálculos foram efectuados a
partir dos valores obtidos com estes instrumentos de medida, todos os nossos resultados
(tabelas, diagramas, etc.) poderão ter um certo erro associado. Outras possíveis causas
de erros nos resultados obtidos serão erros de leitura por parte das pessoas envolvidas
ou a defeitos que os equipamentos terão.
Fora das causas possíveis para a explicação dos erros associados aos resultados
obtidos estão os arredondamentos visto que todos os cálculos foram efectuados numa
folha de cálculo do Excel®, que elimina qualquer perda de casas decimais em passo
intermédios de cálculo.
Estudo da Equação de Estado dos Gases Perfeitos
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Termodinâmica - ACF - DEM - ISEL
Bibliografia e Referências
G. Silveira, N. Dias e S. Marreiros, Trabalho 2: A Equação de Estado dos Gases
Perfeitos, ACF-DEM-ISEL;
ACF-DEM-ISEL, Elementos de Apoio aos Procedimentos Experimentais;
ACF-DEM-ISEL, Apontamentos Teóricos de Termodinâmica (slides das aulas);
ACF-DEM-ISEL, Termodinâmica (adaptação do livro "Termodinâmica", Y.A.
Çengel e M.A. Boles)
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Termodinâmica - ACF - DEM - ISEL
Anexos
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