ENERGIA
As leis de Newton permitem analisar vários tipos de movimentos. Esta análise pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do movimento que são inacessíveis.
0iv
?fv
Exemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na chegada de um percurso de montanha russa? Despreze a resistência do ar e o atrito, e resolva o problema usando as leis de Newton.
ENERGIA
Até agora abordamos o movimento dum corpo utilizando grandezas como posição, velocidade, aceleração e força
Resolvemos anteriormente vários problemas de mecânica utilizando esses conceitos
Investigaremos agora uma nova técnica para a análise dos problemas
inclui definições de algumas grandezas conhecidas mas que na física essas grandezas tem significados mais específicos do que na vida diária
Começaremos o nosso estudo explorando o conceito de ENERGIA
O termo energia é tão amplo que é difícil pensar numa definição concisa
Devemos nos restringir a determinadas formas de energia, como a manifestada pelo movimento de um corpo, pela sua posição em relação a outros corpos, pela sua deformação, etc .
Energia é um conceito que ultrapassa a mecânica de Newton é relevante também na mecânica quântica, relatividade , electromagnetismo, etc.
A conservação da energia total de um sistema isolado é uma lei fundamental da natureza
ENERGIA
Importância do conceito de energia
• Processos geológicos• Balanço energético no planeta Terra• Reacções químicas• Funções biológicas (máquinas nanoscópicas)
energia armazenada e energia libertada
• Balanço energético no corpo humano
SISTEMA
Um conceito importante no estudo de energia é o conceito de SISTEMA
é um modelo de simplificação, em que focalizamos a nossa atenção numa pequena região do Universo e desprezamos os detalhes sobre o restante do universo fora do sistema
TRABALHO
Quando empurramos uma caixa ela se desloca nós realizamos um trabalho sobre a caixa a força que exercemos sobre a caixa fez com que ela se movesse
F
x
dm
O TRABALHO realizado por um agente ao exercer uma força constante sobre um sistema é
cosFddFW
O trabalho é uma grandeza escalar
A unidade de trabalho no SI é o joule (J)
Trabalho realizado por uma força constante
d
F
ENERGIA CINÉTICA
A energia cinética de uma partícula de massa m em movimento com uma velocidade escalar v é
2
2
1vmK
A energia cinética é uma grandeza escalar
A unidade da energia cinética no SI é o joule (J)
v
A energia cinética K é a energia associada ao estado de movimento de um corpo
Da segunda lei de Newton
m
Fa xx xx maF
22
0
2 davv x
2
1
2
1 2
0
2 dFmvvm x )(2
1 2
0
2 dFvvm x
O lado esquerdo da expressão representa a variação da energia cinética do corpo e o lado direito é o trabalho realizado pela força sobre o corpo
F
x
v
0v
dm
TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA
22
0
2 dm
Fvv x
“Realizar trabalho”, portanto, é transferir energia
Seja a força resultante que atua sobre uma partícula de massa m)(xFF
TEOREMA DO TRABALHO E DA ENERGIA CINÉTICA
A definição mais geral de trabalho corresponde ao trabalho realizado por uma força variável
2
1
)(x
x
dxxFW
Integrando entre o estado inicial e o estado final
)(2
1
2)(
22
2
if
v
v
x
xi
x
xi
x
xi
x
xi
x
xi
vvm
vmvdvmdx
dt
dvmadxmmadxdxxFW
f
i
fffff
KW
esse resultado é conhecido como teorema do trabalho e da energia cinética
Quando é feito um trabalho sobre um sistema e a única mudança no sistema é em sua velocidade escalar, o trabalho feito pela força resultante é igual à variação da energia cinética do sistema
Agora vamos deteminar qual é o trabalho realizado pela força peso sobre um corpo de 10.2 kg que de cai 1.0 m de altura?
Exemplo: Trabalho de uma força constante: a força gravitacional na superfície da Terra
mgdmgdmgdW 0180coscos
d
0v
v
gF
gF
o sinal negativo indica que a força gravitacional retira a energia
mgd da energia cinética do objeto durante a subida.
Se o corpo se eleva duma altura d :
Qual é a velocidade final do corpo, se ele parte do repouso?
J100)m0.1()m/s 8.9(kg) 2.10( 2 W
2
1 0
2
1
2
1
2
1 2222 WvmvmmvvmK ffif
0iv
m/s 4.4kg 10.2
J 10022
m
Wv f
cosdFdFW gg
POTÊNCIA
Se uma força externa é aplicada num corpo, e se o trabalho feito por essa força for W no intervalo de tempo t, então a potência média durante esse intervalo de tempo é definida como
t
WP
A potência instantânea P num instante particular é o valor limite da potência média quando t aproxima-se de zero
dt
dW
t
WP
t
0lim
A unidade no sistema inglês é o cavalo-vapor: 1 HP = 760 W
Uma nova unidade de energia pode agora ser definida em termos da unidade de potência:
J 103.6s) W)(360010(kWh 1 63 Um quilowatt-hora é a energia transferida numa hora à taxa constante de 1 kW:
Unidade de potência HP criada por Watt para fazer o marketing de sua máquina numa sociedade fortemente dependente do (e acostumada ao) trabalho realizado por cavalos.1a motivação: retirada da água das minas de carvão.
dt
rdF
dt
dWP
Unidade de P no SI:J/s = watt (W)
o segundo termo é a velocidade e
vFP
Exemplo : 100 m RASOS X MARATONA: TRABALHO E POTÊNCIA
Trabalho realizado sobre o corredor de 100 m rasos: 2,1 x 104 J
Trabalho realizado sobre maratonista (42 142 m): 5,9 x 106J
P. A. Willems et al, The Journal of Experimental Biology 198, 379 (1995)
Potência do corredor de 100 m rasos:
Potência do corredor de maratona: Ws
JPmar 816
60602
109,5 6
Ws
JP 2100
10
101,2 4
100
ENERGIA POTENCIAL
A energia potencial U é uma forma de energia que pode ser associada com a configuração (ou arranjo) de um sistema de dois ou mais corpos, que exercem forças uns sobre os outros.
Consideramos que um estudante levanta um livro de massa m de uma altura inicial acima do solo, até a uma altura final
ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL
1y2y
solo
1y
2y
O trabalho feito pelo estudante sobre o sistema livro e Terra é
12
y12y ]e)[( )e (
mgymgy
yymgdFW
Definimos a grandeza
O trabalho apresenta uma transferência de energia para o sistema e que agora aparece na forma de energia potencial gravitacional
mgy
como a energia potencial gravitacional
mgyU g
gU
A unidade da energia potencial gravitacional no SI é o joule (J)
1mgy
2mgy
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
solo
1y
2y
1mgy
2mgy
A introdução da energia potencial nos permite gerar um princípio poderoso e aplicável universalmente para a resolução de problemas que são difíceis de resolver utilizando as leis de Newton
Do exemplo anterior após termos levantado o livro, se agora soltarmos o livro ele estará sob a influência somente da força gravitacional
Quando o livro cai de para , o trabalho feito pela força gravitacional é
1y2y
12
y21ylivro o sobre ]e)[( )e (
mgymgy
yymgdFW g
Pelo teorema do trabalho e da energia cinética, o trabalho feito sobre o livro é
livrolivro o sobre KW
12livro mgymgyK
KKKKK livroTerralivro
Para o sistema livro-Terra descrito anteriormente, a Terra desloca-se tão lentamente que praticamente a sua velocidade é nula e a energia cinética do sistema, é devido unicamente à energia cinética do livro
K
assim
)( 2112livro mgymgymgymgyKK
Agora o nossa energia gravitacional final é e a energia gravitacional inicial é
fUmgy 1
iUmgy 2
Comparando com o sistema livro-Terra que foi onde definimos a energia potencial gravitacional
gif UUUmgymgy )()( 21 então
gUK escrevemos a equação na forma 0 gUK ou
0)()( ifif UUKK (1) iiff UKUK
Definimos a soma das energias potencial e cinética como ENERGIA MECÂNICA
gUKE mec
Assim a equação (1) é uma formulação da CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
Exemplo : Conservação da energia mecânica gUKE mec
Um sistema físico no qual a força varia com a posição um bloco ligado à uma mola
xkxFF )(mola
0aplicada F
0aplicada F
k é uma constante de força (ou constante elástica)
Lei de Hook lei de força para as molas
o sinal negativo significa que a força exercida pela mola tem sempre direcção oposta ao deslocamento
FORÇA ELÁSTICA
molaF
mola F força restauradora
0xxx
Substituindo a força elástica na integral
ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA
)()]0()([)()(00
xUUxUUdxxFdxxFWxx
x
UW
kxxF )(
A configuração de referência é x0= 0 e 0)0( U
x
dxkxxU0
)()(
é a energia potencial elástica
A energia mecânica para o sistema bloco-mola
constante)(mec xUKE constante 2
1
2
1ou 2
mola
2
blocomec xmvmE
Aplicando para o sistema bloco-mola
2
0 2
1)( kxxdxkxU
x
2
2
1)( kxxU
FORÇA CONSERVATIVA
Forças conservativas forças para as quais a energia mecânica é conservada
O trabalho feito por uma força conservativa não depende da trajectória, depende apenas das configurações inicial e final
Exemplos de forças conservativas • Força gravitacional• Força elástica• Força unidimensional que só dependa da posição: F(x)
Conhecendo a energia potencial podemos determinar a força (força conservativa)
dUdxFdxFrdFdW x xe
dx
dUFx
Exemplo: Para um corpo localizado numa distância y acima de algum ponto de referência, a função energia potencial gravitacional é dada por mgyU g
Determinamos a força mgmgydy
d
dy
dUF g
y )(
que é a expressão correcta para a força gravitacional
FORÇAS NÃO-CONSERVATIVAS
Forças não-conservativas O trabalho feito por uma força não-conservativa depende da trajectória
Nesse caso, não é possível definir uma energia potencial porque o trabalho da força de atrito depende da trajectória descrita pelo corpo
Exemplos de forças não-conservativas: Força de atrito e Força de arraste
Exemplo 1
C
BALFsdFBAW atritoatritoatrito )(
Exemplo 2:
O bloco de massa m é solto de x = d. Qual é a velocidade do bloco em x = 0?
2
2
2 2
10
21
02
1 1
2 2
K mvK U
U kd
kmv kd v d
m
b) Com atrito
2 2
2
1 1
2 2
2
atr c
c
c
E K U W mgd
mv kd mgd
kdv gd
m
a) Sem atrito
d
F
af
d
F
x = 0
x = 0
N
gmP