EM302 Yöneylem Araştırması 2
Dr. Özgür Kabak
İstanbul Teknik Üniversitesi
Endüstri Mühendisliği Bölümünde Yardımcı Doçent
Doktora İTÜ’den 2008
Olabilirsel doğrusal programlama ile tedarik zinciri ağ yapısının modellenmesi ve bir uygulama
Doktora üstü çalışma Belgium Nuclear Research Centre (SCK.CEN), Mol, Belçika Şubat 2009 – Şubat 2010
Nükleer koruma uygulamaları için bir çok ölçütlü karar verme yaklaşımı
Çalışma Alanları Yöneylem Araştırması (Matematiksel programlama)
Tedarik Zinciri Yönetimi
Bulanık karar verme
Özgür Kabak
Özgür Kabak
E-posta: [email protected]
Tel.: 0212 2931300 / 2039
Ofis: İTÜ İşletme Fakültesi, Maçka, A311
web sayfası : http://web.itu.edu.tr/kabak
Ders web sayfası
http://web.itu.edu.tr/~kabak/dersler/EM302/
Ders kitabı
Winston W.L. (2004) "Operations Research: Applications and Algorithms", Duxbury Press, Wadsworth Inc., Belmont, USA.
Diğer kaynaklar
Lieberman, H. (2005), "Introduction to Operations Research", Eigh Edition, Mc-Graw-Hill, Singapore
Taha, H.A. (2007), "Operations Research: An Introduction", Eighth Edition, Pearson International Edition, London
Taha, H. (2000), “Yöneylem Araştırması”, 6. Basımdan Çevirenler . Ş. Alp Baray- Şakir Esnaf,
Haftalık Ders Planı (Geçici) Hafta Tarih Konu Ödev
1 21.09.2012 Ders yapılamadı - telafi edilecek
2 28.09.2012 Tamsayılı Programlama (TP) Temel Kavramlar, TP Modellemeye Giriş
3 05.10.2012 Modelleme (TP'de Formülasyon), Grafik Çözüm Ödev 1
4 12.10.2012 TP Model Türleri. Tüm Tamsayı Modellerin Çözüm Yöntemleri
5 19.10.2012 Tüm Tamsayı Modellerin Çözüm Yöntemleri Ödev 1
teslim
6 26.10.2012 BAYRAM
7 02.11.2012 Karışık Tamsayılı Modellerin Çözüm Yöntemleri: Dal ve sınır
03.11.2012 Telafi dersi: sınav için soru çözümü
8 09.11.2012 YARIYILİÇİ SINAVI I
9 16.11.2012 0-1 Tamsayılı modeller için: Kapalı sayma, Değişken sabitleme, Kısıt
sıkılaştırma, gereksiz kısıt belirleme Ödev 2
10 23.11.2012 Deterministik Dinamik Programlama Modellerinin Formülasyonu
11 30.11.2012 Deterministik Dinamik Programlama Modellerinin Formülasyonu,
ve Çözümü Ödev 2
teslim
12 07.12.2012 Probabilistik Dinamik Programlama Modellerinin Formülasyonu ve
çözümü, Ödev 3
13 14.12.2012 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş
14 21.12.2012 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Ödev 3
teslim
15 28.12.2012 YARIYILİÇİ SINAVI II
Ders kapsamı
Konular
Tamsayılı programlama Fomülasyonu
Tamsayılı programlama Çözümü
Deterministik dinamik programlama
Probabilistik dinamik programlama
Doğrusal olmayan programlama
Değerlendirme Ödev (3 adet) %15
Kısa sınav (3 adet) %15
Yarıyıl içi sınavı (2 adet) %30
Yarıyıl sonu sınavı %40
Başarı notları (alt sınır):
85-100 A+ 80-85 A 75-80 B+ 65-75 B 60-65 C+ 50-60 C 45-50 D+ 40-45 D < 40 F
Sınavlar Kısa Sınavlar
Habersiz olarak ders saatinde yapılacaktır
Telafisi olmayacaktır
Yarıyıl için sınavları 1. yarıyıliçi sınavı
09.11.2012 ders saatinde
İlk 7 hafta işlenen tüm konular dahil
2. yarıyıliçi sınavı 28.12.2012 ders saatinde
9.-14. haftalar arasında işlenen tüm konular dahil
Yarıyıl sonu sınavı Final haftasında
Derste işlenen tüm konular dahil
Tüm sınavlarda defter/kitap açık olacaktır.
Ödevler
Dönem boyunca 3 ödeviniz olacak.
Ödevler 2 kişilik gruplar halinde yapılabilir.
Ödevler web sayfasında ilan edilecek
Ödev Konu İlan tarihi Teslim tarihi
1 Tam sayılı programlama formülasyonu 05.10.2012 19.10.2012
2 Tamsayı Modellerin Çözüm Yöntemleri 16.11.2012 30.11.2012
3 Dinamik programlama 07.12.2012 21.12.2012
Derse katılım
Derse katılma Doğuş Üniversitesi kuralları gereği
%70’tir.
Derse katılım ile beklenen sadece yoklamayı
imzalamak değil derse aktif olarak katkı sağlamaktır.
Ders saatleri
09:00 – 10:00 1. Ders
10:00 – 10:15 ara
10:15 – 11:15 2. Ders
11:15 – 11:30 ara
11:30 – 12:50 3. Ders
Lütfen Derse zamanında gelin!
Tam Sayılı Programlama
13
Bazı doğrusal programlama modellerinde sonuçların tam
sayı çıkmaması problemin gerçek hayattaki problemlere
uygunluğunu bozmaktadır.
Örneğin bir üretim probleminde masa ve sandalye üretimi
yapılacaksa sonuçların kesirli çıkması gerçekçi değildir.
Sonuçların tam sayıya yuvarlatılması bazı kısıtları
sağlamayabileceği için çözüm olmamaktadır.
Tam sayılı programlama tekniği, kısıtları bozmadan
sonucun tam sayı olmasını sağlamaktadır.
Tam sayılı / Karma sayılı / 0-1 tam sayılı programlama
modellerinde
Hatırla
Doğrusal Programlama
Simpleks algoritması
DP Örneği - Giapetto Örneği
15
(Winston 3.1., s. 49)
Giapetto tahtadan oyuncak asker ve tren yapmaktadır. Satış fiyatları, bir oyuncak asker için $27, bir oyuncak tren için
$21'dır.
Bir asker için $10'lık hammadde ve $14'lık işçilik kullanılmaktadır.
Bir tren için ise söz konusu rakamlar sırasıyla $9 ve $10'dır.
Her bir asker için 2 saat montaj ve 1 saat marangozluk gerekirken,
her bir tren için 1 saat montaj ve 1 saat marangozluk gerekmektedir.
Eldeki hammadde miktarı sınırsızdır,
fakat haftada en çok 100 saat montaj ve 80 saat marangozluk kullanabilen
Giapetto'nun haftada en fazla 40 oyuncak asker satabileceğini göz önünde bulundurarak
karını enbüyüklemek için hangi oyuncaktan haftada kaç adet üretmesi gerektiğini bulunuz.
Tam sayılı program
(Integer Program)
Karar değişkenlerinin tam sayı olması gereken problemler için kurulan doğrusal modellere tam sayılı program denir.
Söz konusu programların çözümü konusu Tamsayılı Programlama (TP) olarak isimlendirilir.
Tüm değişkenlerin tamsayı olduğu bir programlama sorunu
tamamen tamsayılı programlama sorunu olarak isimlendirilir.
Eğer değişkenlerin bazıları tamsayı, bazıları kesirli ise söz konusu sorun karma tamsayılı programlama sorunu adını alır.
Bazı durumlarda tamsayı değişkenler sadece 0 veya 1 değerlerini alabilir. Bu tip sorunlar da tamamen (karma) 0-1 programlama sorunları veya tamamen (karma) ikili tamsayı programlama sorunları olarak isimlendirilir.
Tamamem Tam Sayılı Programlama
17
Tüm karar değişkenli tam sayı
maks z = x1+ x2+x3
öyle ki x1 + 6x2 + x3 ≤ 8
x1 + 2x2+1,5x3 ≤ 2
2x1 + x2 + 5x3 ≤ 8
x1,x2,x3 tam sayı
0-1 Tam Sayılı Programlama
18
Tüm karar değişkenleri 0 veya 1 değerini alır.
maks z = 2x1+ 3x2+ 4x3 + 7x4+ 2x5
Öyle ki; x1+ 2x2+ 3x3 + x4+ 2x5 ≤ 8
x1,x2,x3,x4,x5 = 0 or 1
Karma Tam Sayılı Programlama
19
Karar değişkenlerinin en az bir tanesi tam sayı veya
0-1 tam sayı olan doğrusal programlama modelleri
maks z = x1 - 2x2+x3 +2x4
Öyle ki x1 + 6x2+ x3 - 2x4 ≤ 8
x1 + 2x2+1,5x3 +x4 ≤ 2
2x1 + x2+ 5x3 +2x4 8
x1 0; x2,x3 tam sayı; x4 0 veya 1
Tam sayılı programlama modellerinin
formülasyonu
20
Sermaye Bütçeleme 0-1 tamsayılı modeli
Sırt çantası problemi
Sabit maliyetlerin modellenmesi
Ya - ya da kısıtları
Eğer – ise kısıtları
Ya hep – Ya hiç
Gezgin satıcı sorunu
Grup kapsama ve ayırma modelleri
Küme kapsama problemi
Parçalı fonksiyonların modellenmesi
Sermaye Bütçeleme 0-1 tamsayılı modeli
21
Stockco dört yatırımı değerlendirmektedir. Yatırımların getirileri şöyledir:
1- $16,000; 2- $22,000; 3- $12,000; 4- $8,000.
Yatırımlar için aşağıdaki miktarların yatırılması gerekmektedir:
1- $5,000; 2- $7,000; 3- $4,000; 4- $3,000.
Firmanın elinde $14,000 bulunduğuna göre en büyük toplam getiriyi elde etmek için hangi yatırıma para yatırması gerektiğini verecek 0-1 tamsayılı modeli kurunuz.
Sırt Çantası Problemi!!
Sırt Çantası Problemi Sadece bir kısıtı olan herhangi bir TP sırt çantası sorunu olarak isimlendirilir.
Bir diğer özellik de kısıtın ve amaç fonksiyonunun katsayıları negatif olmayan sayılardır.
Örneğin aşağıdaki model sırt çantası sorunudur:
max z = 8x1 + 11x2 + 6x3 + 4x4
Öyle ki; 5x1 + 7x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 14
xj = 0 or 1 (j = 1,2,3,4)
Geleneksel öykü, bir sırt çantasında (örnekte kapasitesi 14’dür) bazı eşyaları (dört çeşit eşya) taşımak ile ilgilidir. Her eşyanın bir büyüklüğü ve taşıma sonucu elde edilecek bir değeri vardır (eşya 2 için büyüklük 7, değer 11’dir).
Amaç, sırt çantasına sığabilecek eşyaların toplam değerini enbüyüklemektir.
Sırt çantası sorunları genellikle kolay çözülürler.
Bütçeleme 0-1 tamsayılı modeli
Yeni kısıtlar
23
Stockco için önerilen modeli aşağıdaki koşulları
sağlayacak şekilde düzenleyiniz:
Stockco en fazla iki yatırım aracına yatırım yapabilir.
Stockco eğer ikinci yatırımı seçerse, birinci yatırımı da
seçmelidir.
Stockco eğer ikinci yatırımı seçerse dördüncü yatırımı
seçemez.
Çok Dönemli Sermaye Bütçeleme
Önümüzdeki üç yıllık planlama dönemi için dört
projenin değerlendirilmesi yapılacaktır. Her projeye
ait beklenen getiriler ile yıllık harcamalar aşağıdaki
tabloda gösterilmiştir. Üç yıl boyunca uygulamaya
konulacak projeleri belirleyiniz.
Harcamalar
Proje Getiri (NŞD) 1. Yıl 2.Yıl 3.Yıl
1 0.2 0.5 0.3 0.2
2 0.3 1 0.5 0.2
3 0.5 1.5 1.5 0.3
4 0.1 0.1 0.4 0.1
Kullanılabilir sermaye 3.1 2.5 0.4
Sabit maliyetlerin modellenmesi
Çok sayıda üretim ve yer seçimi sorunlarının
modellenmesi için de TP kullanılabilir.
Sabit maliyetleri ifade etmek için 0-1 değişken
tanımlanır
Bu değişken ile diğer değişkenler arası ilişki
kurulmalıdır!
Gandhi örneği
Çek Tahsilatı Ofisi Örneği
Sabit maliyetlerin modellenmesi
26
Gandhi tekstil firması üç tür ürün üretmektedir: t-shirt, şort ve pantolon.
Bu ürünleri üretmek için firma, haftalık olarak makine kiralamalıdır. T-shirt makinesinin kirası 200$, şort makinesinin kirası 150$ ve pantolon makinesinin kirası 100$’dır.
Üretimi gerçekleştirmek için kumaş ve işçilik de gerekmektedir.
Her hafta 150 saat işçilik ve 160 yard2 kumaş kullanılabilmektedir.
Ürünler için satış fiyatı ve değişken maliyetleri verilmiştir.
Gandhi’nin haftalık karını enbüyüklemek için tam sayılı programlama modelini kurunuz.
Ürün İşçilik
(saat)
Kumaş
(yard^2)
Satış fiyatı $ Değişken
maliyet $
T-shirt 3 4 12 6
Şort 2 3 8 4
Pantalon 6 4 15 8
Top Related