Elise Nourtier-Mazauric, Eric Blayo (LMC, Grenoble)
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advection-diffusion 2-D (Martin, 2003)
Conditions aux Frontières Conditions aux Frontières Ouvertes Ouvertes
Décomposition de domaines, couplage de modèles et CFO
Cadre : Modélisation de phénomènes multi-échelles et/ou multi-
physiques par emboîtement ou couplage de modèles (avec ou sans recouvrement)
Objectifs : Robustesse de la méthode de résolution Efficacité numérique (coût, stockage) Implémentation numérique aussi indépendante que possible
des modèles numériques utilisés
Décomposition de domaines, couplage de modèles et CFO
Quelles conditions imposer sur les frontières ouvertes ?
Illustration du problème des frontières ouvertes
Exemple : simulation de Saint-Venant 2-D (Martin, 2003) Propagation d’un dôme d’eau dans un « canal » Un seul domaine
Illustration du problème des frontières ouvertes
Exemple : simulation de Saint-Venant 2-D (Martin, 2003) Propagation d’un dôme d’eau dans un « canal » Décomposition en 2 sous-domaines Couplage par un algorithme de Schwarz Conditions à l ’interface : Dirichlet-Dirichlet Solution après 2 itérations
Formalisation du problème
Déterminer quelles sont les propriétés à assurer au niveau de l’interface continuité, dérivabilité de telle ou telle quantité, échange
de flux…
loc
ext
Les applications pratiques ne résolvent (en général) pas le problème exact, mais des formes approchées.
Formalisation du problème
En pratique Le modèle « extérieur » n’est pas toujours disponible on-
line. On peut n’avoir qu’un seul modèle, « forcé » par des solutions de l’autre.
Il peut y avoir un recouvrement entre les deux modèles (cas de modèles « emboîtés »). Dans ce cas, le modèle extérieur n’est pas défini sur ext, mais sur ext + loc . Le modifier pour « faire un trou » et éviter ce recouvrement serait très coûteux.
On peut être limité par les moyens de calcul, et vouloir un couplage « économique ».
loc
ext
loc
ext
Le problème de frontière ouverte
Quelles conditions aux limites pour le modèle local ?
loc
ext
Le problème de frontière ouverte
Quelles conditions aux limites pour le modèle local ?
Une condition aux limites est constituée par des données externes
• provenant d’une base de données ou d’un modèle externe un opérateur mathématique
Quelles conditions aux limites pour le modèle local ?
Cahier des charges Evacuer l’information sortante Conserver la partie pertinente, i.e. entrante, de
l’information extérieure
Comment séparer l’information entrante de l’information sortante ?
loc
ext
Le problème de frontière ouverte
Séparer l’information sortante et l’information entrante
Exemple basique : équation de transport 1-D Une quantité Q qui se déplace à vitesse constante c dans
la direction x vérifie (dans le cas 1-D) :
La solution exacte est
c
t = 0 t = d/c
d x
Séparer l’information sortante et l’information entrante
Exemple basique : équation de transport 1-D Une quantité Q qui se déplace à vitesse constante c dans
la direction x vérifie (dans le cas 1-D) :
La solution exacte est
Dans un domaine limité
c
x
Information extérieure requise
Aucune information extérieure requise
Séparer l’information sortante et l’information entrante
Exemple basique : équation de transport 2-D
même comportement
Information extérieure requise
Aucune information extérieure requise
Séparer l’information sortante et l’information entrante
De telles équations qui décrivent la propagation de quantités à des vitesses constantes sont appelées équations hyperboliques.
Les systèmes et les équations hyperboliques sont souvent beaucoup plus complexes que l’ équation de transport.
Mais ils peuvent être, au moins localement, transformés en un ensemble d’équations de transport (approchées) appliqué à de nouvelles variables, appelées variables caractéristiques (ou invariants de Riemann).
Pour que le problème hyperbolique soit bien posé, les seules conditions aux limites à spécifier correspondent aux variables caractéristiques entrantes. 1 CFO pour chaque variable caractéristique entrante pas de CFO pour les variables caractéristiques sortantes
Pour un système hyperbolique de la forme
diagonaliser la matrice A conduit à déterminer les variables caractéristiques
Système hyperbolique et variables caractéristiques
Méthode des caractéristiques
Exemple : modèle de Saint-Venant 2-D Frontière ouverte Est ou Ouest
Linéarisation du système
Exemple : modèle de Saint-Venant 2-D hyperbolique linéarisé Diagonalisation de A1 Soit
. Aux valeurs propres , , ,
correspondent les variables caractéristiques
, ,
• Si u>0, w1 entrante, v et w3 sortantes
• Si u<0, w1 et v entrantes, w3 sortante
Par combinaison linéaire
Méthode des caractéristiques
Exemple : modèle de Saint-Venant 2-D hyperbolique linéarisé Flux d’information aux frontières ouvertes
Méthode des caractéristiques
L’ajout de non-linéarités, de paramétrisations sous-mailles, de forçages, ne change pas fondamentalement le comportement.
Variables caractéristiques sortantes Leur valeur sur la frontière ouverte doit être obtenue à partir
de valeurs internes au domaine (par extrapolation, ou en résolvant les équations de transport correspondantes).
Exemple du modèle de Saint-Venant 2-D pour une frontière Est :
• Transport de w :• Extrapolation :
Variables caractéristiques entrantes Leur valeur doit être spécifiée sur la frontière ouverte à partir
de données externes : B w = B wext (B opérateur) Choix le plus simple : B = Id w = wext
Si on ne dispose pas de données externes fiables, on peut considérer des hypothèses « raisonnables », comme par exemple dw/dn=0 (équivalent à B = d/dn et dwext/dn=0 )
Méthode des caractéristiques
Méthode des caractéristiques
Exemple : modèle de Saint-Venant 2-D hyperbolique linéarisé Si u>0, w1 entrante, v et w3 sortantes :
• B1 w1 = B1 w1ext
• extrapolation de v et w3
Si u<0, w1 et v entrantes, w3 sortante :
• B2 w1 = B2 w1ext, B3 v = B3 vext
• extrapolation de w3
Démarche de la méthode des caractéristiques : Résumé Déterminer de façon analytique les variables
caractéristiques du modèle en considérant la partie hyperbolique des équations. Ces variables sont des combinaisons linéaires des variables du modèle d’origine.
Extrapoler les variables caractéristiques sortantes sur la frontière ouverte.
Utiliser une condition de la forme B w = B wext pour chaque variable caractéristique entrante.
Systèmes non hyperboliques et conditions absorbantes
Des améliorations supplémentaires peuvent être obtenues en considérant les équations complètes (plutôt que leur partie hyperbolique seule) théorie des conditions absorbantes (Engquist and Majda, 1977; Halpern, 1986; Nataf et al., 1995; Lie, 2001)
Conditions absorbantes
Principe Solution vraie :
Solution tronquée :
Erreur :
Si on trouve C tel que Ce=0, alors e=0 (condition absorbante)
Conditions absorbantes
Exemple 1-D
Solution
Dans le domaine = {x<0},
d ’où
0
avec
Conditions absorbantes
Les conditions absorbantes sont également calculables pour des équations plus complexes. Elles ne sont alors souvent pas directement applicables, mais on peut les approximer.
Pour des équations hyperboliques, l’approximation d’ordre 0 rejoint l’approche précédente par variables caractéristiques.
Couplage par méthode de Schwarz
Itération
Coût de l’algo de Schwarz = coût des modèles x nb d’itérations Trouver des conditions d’interface qui assurent une convergence rapide
Erreurs
Si on trouve C1 et C2 tels que C1 e2n = 0 et C2 e1
n = 0, alors l’algorithme converge exactement en deux itérations.
Conditions absorbantes
Couplage par méthode de Schwarz globale en temps
Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003)
Transformée de Fourier en temps et en espace (selon la tangente à la frontière ouverte considérée)
équation complexe en d/dn Recherche des racines de l’équation caractéristique
Conditions absorbantes
x=0
Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Transformées de Fourier des erreurs : solutions
exprimées en fonction des +/-
CFO par transformée de Fourier inverse
Conditions absorbantes exactes (ou idéales)
Conditions absorbantes exactes
Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Problème : les opérateurs pseudo-différentiels +/- ne
sont pas locaux recherche de conditions locales par approximations
2 approches• Approximations par DL de Taylor• Optimisation du taux de convergence de
l’algorithme de Schwarz avec des conditions approchées
Conditions absorbantes approchées
Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Approximations par DL de Taylor
• Ordre 0
• Ordre 1
Conditions absorbantes approchées
Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Optimisation du taux de convergence de
l’algorithme de Schwarz avec des conditions approchées
• hypothèse :
• c’est-à-dire
• Résoudre le problème d’optimisation
Minimiser
Conditions absorbantes optimisées
Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Optimisation du taux de convergence de
l’algorithme de Schwarz avec des conditions approchées
• Minimiser
revient à– à l’ordre 0, trouver p qui minimise
– à l’ordre 1, trouver p et q qui minimisent
Conditions absorbantes optimisées
Exemple : équation d’advection-diffusion 2D (Martin, 2003) Résultats
Conditions absorbantes locales
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Conditions absorbantes locales
Exemple : simulation de Saint-Venant 2-D (Martin, 2003) Propagation d’un dôme d’eau dans un « canal » 1 seul domaine
Conditions absorbantes locales
Exemple : simulation de Saint-Venant 2-D (Martin, 2003) Propagation d’un dôme d’eau dans un « canal » Décomposition en 2 sous-domaines Couplage par un algorithme de Schwarz Conditions absorbantes optimisées à l’interface Solution après 2 itérations
Pour finir...
Problèmes de frontières ouvertes pour le couplage Ecrire le problème couplé continu Déterminer les quantités à échanger, les propriétés à
conserver… En fonction du type d’équation et des contraintes
pratiques, se tourner vers des outils de type méthode de caractéristiques, conditions absorbantes, …
Travaux en cours dans le cadre du couplage de modèles océaniques Recherche de conditions aux frontières absorbantes pour
• équations d’advection-diffusion bi-harmoniques 2-D et 3-D• équations de Saint-Venant avec termes dissipatifs
(paraboliques) et termes de Coriolis Méthode des caractéristiques pour les équations primitives
3-D (modes verticaux, partie barocline)
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