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Elementos de Geodésia e
Levantamentos
PPGCC
FCT/UNESP
Aulas de EGL 2018– João Francisco Galera Monico
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Esfera Celeste
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Esfera Celeste
• Observando o céu em uma noite estrelada, tem-se a
impressão de que estamos no meio de uma grande
esfera, incrustrada por estrelas. Isso inspirou, nos
antigos gregos, a ideia do céu como sendo uma Esfera
Celeste.
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Esfera Celeste
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• Os astros se movem no céu, nascendo a leste e se
pondo a oeste. Isso causa a impressão de que a
esfera celeste está girando de leste para oeste, em
torno de um eixo imaginário, que intercepta a
esfera em dois pontos fixos: os Pólos Celestes.
– Na verdade, esse movimento, chamado movimento
diurno dos astros, é um reflexo do movimento de
rotação da Terra, que se faz de oeste para leste.
– O eixo de rotação da esfera celeste é o prolongamento
do eixo de rotação da Terra, e os pólos celestes são as
projeções, no céu, dos pólos terrestres.
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• Embora o Sol, a Lua, e a maioria dos astros, aqui na nossa
região, tenham nascer e ocaso, existem astros que nunca
nascem nem se põem, permanecendo sempre acima do
horizonte.
– Se pudéssemos observá-los durante 24 horas, os veríamos
descrevendo uma circunferência completa no céu, no sentido
horário.
– Esses astros são chamados circumpolares. O centro da
circunferência descrita por eles coincide com o Pólo Celeste Sul.
Para os habitantes do hemisfério norte, as estrelas circumpolares
descrevem uma circunferência em torno do Pólo Celeste Norte.
– Mas as estrelas que são circumpolares no hemisfério norte não
são as mesmas estrelas que são circumpolares no sul, pois o fato
de uma estrela ser circumpolar ou não depende da latitude do
lugar de observação.
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• Os antigos gregos definiram alguns planos e pontos na
esfera celeste, que são úteis para a determinação da
posição dos astros no céu. São eles:
– Horizonte: plano tangente à Terra no lugar em que se encontra o
observador. Como o raio da Terra é desprezível frente ao raio da
esfera celeste, considera-se que o Horizonte é um círculo
máximo da esfera celeste, ou seja, passa pelo seu centro.
– Zênite: ponto no qual a vertical do lugar intercepta a esfera
celeste, acima da cabeça do observador.
– Nadir: ponto diametralmente oposto ao Zênite.
– Equador Celeste: círculo máximo em que o prolongamento do
equador da Terra intercepta a esfera celeste.
– Polo Celeste Norte: ponto em que o prolongamento do eixo de
rotação da Terra intercepta a esfera celeste, no hemisfério norte.
– Polo Celeste Sul: ponto em que o prolongamento do eixo de
rotação da Terra intercepta a esfera celeste, no hemisfério sul.
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• Para definirmos uma posição sobre a esfera precisamos
definir um eixo e um plano perpendicular a este eixo.
– Círculo vertical: qualquer semi-círculo máximo da esfera
celeste contendo a vertical do lugar. Os círculos verticais
começam no Zênite e terminam no Nadir.
– Ponto Geográfico Norte: ponto em que o círculo vertical que
passa pelo Polo Celeste Norte intercepta o Horizonte. É
também chamado Ponto Cardeal Norte.
– Ponto Geográfico Sul: também chamado Ponto Cardeal Sul, é
o ponto em que o círculo vertical que passa pelo Polo Celeste
Sul intercepta o Horizonte.
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– A linha sobre o Horizonte que liga os pontos cardeais Norte e
Sul chama-se linha Norte-Sul, ou meridiana. A linha Leste-
Oeste é obtida traçando-se, sobre o Horizonte, a perpendicular
à meridiana.
– Círculo de altura: qualquer círculo da esfera celeste paralelo ao
Horizonte. É também chamado almicântarado, o paralelo de
altura.
– Círculo horário: qualquer semi-círculo máximo da esfera
celeste que contém os dois pólos celestes. É também chamado
meridiano. O meridiano que passa pelo Zênite se chama
Meridiano Local.
– Paralelo: qualquer círculo da esfera celeste paralelo ao
equador celeste. É também chamado círculo diurno.
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Coordenadas Celeste
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Matrizes de Rotação
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Dois sistemas com mesma origem
lijcosseno diretor do ângulo formado entre
os eixos respectivos em cada sistema
Y = LX
9 elementos – mas apenas 3 independentes
Conhecendo-se 3 ângulos é o suficiente
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Rotação de ϴ em torno de X, Y e Z
Valor positivo do ângulo : . 2 sistemas
dextrógiros e ângulo de rotação medido
no sentido anti-horário.
ϴ
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Reflexão em torno de x
R1, R2 e R3 são matrizes de reflexão e permitem transformar
sistemas levógiros em dextrógiros e vice-versa.
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Sistema de Coordenadas Cartesiano – Terra esférica
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Sistema de Coordenadas Cartesiano – Terra esférica
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Sistema de Coordenadas
Astronômicas
Horizontal
Equatorial ou Uranográfica
Horária
Ecliptica
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Sistema de Coordenadas Horizontais
Azimute (A): é o ângulo medido sobre o horizonte,
no sentido horário (NLSO), com origem no Norte e
extremidade no círculo vertical do astro.
O azimute varia entre 0 e 360.
Altura (h): é o ângulo medido sobre o círculo vertical do
astro, com origem no horizonte e extremidade no astro. A
altura varia entre -90° e +90°. O complemento da altura
se chama distância zenital (z). Assim, a distância zenital é o
ângulo medido sobre o círculo vertical do astro, com
origem no zênite e extremidade no astro. A distância zenital
varia entre 0° e 180°:
(h + z=90°)
Plano Fundamental: Horizonte Observador
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Sistema Levógiro???
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Algumas Informações adicionais
Se o azimute de um astro estiver
entre 0° e 180° (norte–leste–sul), o
astro está em ascensão.
Se o azimute estive entre 180° e
360° (sul–oeste–norte), o astro está
em descensão.
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A EclípticaO plano da eclíptica é o plano
imaginário contendo a órbita da Terra
em volta do Sol.
Durante o ano, a posição aparente do
Sol está neste plano, assim como todos
os planetas estão próximos deste
Plano.
A eclíptica é um grande círculo
imaginário na esfera celeste no qual o
Sol parece se mover ao longo de um
ano. É realmente a órbita da Terra ao
redor do Sol que causa a mudança no
aparente movimento do Sol. A eclíptica
é inclinada no equador celeste em 23,5
graus. Os dois pontos onde a eclíptica
cruza o equador celeste são conhecidos
como os equinócios.
.
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O Movimento do Sol na
Eclípitica
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Sistema de Coordenadas
Equatoriais/Uranográfica
Ascensão reta ( ): ângulo medido sobre o equador, com origem no meridiano que passa pelo
ponto Áries, e extremidade no meridiano do astro: varia entre 0h e 24h (ou entre 0 e 360)
aumentando para leste.
Declinação(): ângulo medido sobre o meridiano do astro, com origem no equador e extremidade
no astro: varia entre -90 e +90. O complemento da declinação se chama distância polar
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Z1
Z2
Z3
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Coordenadas Cartesianas
Equatoriais
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Sistema de Coordenadas Eclípticas
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E1
E2
E3
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Sistema de Coordenadas Horárias
ângulo horário (H): ângulo medido sobre o equador, com origem no meridiano local e
extremidade no meridiano do astro. Varia entre -12h e +12h. O sinal negativo indica que o astro
está a leste do meridiano, e o sinal positivo indica que ele está a oeste do meridiano.
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Coordenadas Cartesianas Horárias
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Hora Sideral
Hora sideral (HS): ângulo horário do ponto Áries. Pode ser medida a partir de qualquer
estrela, pela relação: HS = H +
Dia Sideral: é o intervalo de tempo decorrido entre duas passagens sucessivas do ponto vernal
pelo meridiano do lugar.
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Precessão do Eixo da TerraA Terra não é perfeitamente esférica, mas é achatada nos pólos e bojuda
no equador. Seu diâmetro equatorial é cerca de 40 km maior do que o
diâmetro polar. Além disso, o plano do equador terrestre, e portanto o
plano do bojo equatorial, está inclinado 23° 26' 21,418" em relação ao
plano da eclíptica, que por sua vez está inclinado 5° 8' em relação ao
plano da órbita da Lua. Por causa disso, as forças
diferenciais (que ficam mais importantes nos dois
bojos da Terra) tendem não apenas a achatá-la ainda
mais, mas também tendem a "endireitar" o seu eixo,
alinhando-o com o eixo da eclíptica
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• Como a Terra está girando, o eixo da Terra não se
alinha com o eixo da eclíptica, mas precessiona em
torno dele, da mesma forma que um pião posto a girar
precessiona em torno do eixo vertical ao solo;
No caso do pião, o seu peso gera um
torque
onde r é o vetor posição do centro de
massa do pião em relação ao ponto de
contato com o solo, e mg é a força peso.
Portanto o torque é paralelo ao solo,
perpendicular à força peso, e perpendicular
ao momemto angular de rotação do
pião. Em módulo, seu valor é N = mgr.
Como o torque é dado por:
gmrN
dtdLN
O seu efeito é variar o momento angular do pião - que é na direção de N.
Como N e L são perpendiculares, o torque não altera o módulo de L , mas apenas sua
direção, fazendo-o precessionar em torno do eixo perpendicular ao solo.
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• No caso da Terra, as forças diferenciais gravitacionais da
Lua e do Sol produzem um torque que tende a alinhar o
eixo de rotação da Terra com o eixo da eclíptica, mas
como esse torque é perpendicular ao momento angular de
rotação da Terra, seu efeito é mudar a direção do eixo de
rotação, sem alterar sua inclinação.
– Portanto, os pólos celestes não ocupam uma posição fixa no
céu: cada pólo celeste se move lentamente em torno do
respectivo pólo da eclíptica, descrevendo uma circunferência
em torno dele com raio de 23,5 graus.
– O tempo necessário para descrever uma volta completa é 25770
anos. Atualmente o Pólo Celeste Norte está nas proximidades
da estrela Polar, na constelação da Ursa Menor, mas isso não
será sempre assim. Daqui a cerca de 13000 anos ele estará nas
proximidades da estrela Vega, na constelação de Lira.
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• O movimento de precessão é lento (apenas 50,290966'' por ano), mas
foi percebido pelo astrônomo grego Hiparco, no ano 129 a.C., ao
comparar suas observações da posição da estrela Spica (Alfa Virginis)
com observações feitas por Timocharis de Alexandria em 273 a.C.
Timocharis tinha medido que Spica estava a 8° do ponto vernal, mas
Hiparco media somente 6°. Ele concluiu que o ponto vernal havia se
movido 2 graus em 144 anos.• O movimento de precessão da Terra é conhecido como precessão dos
equinócios, porque, devido a ele, os equinócios se deslocam ao longo
da eclíptica no sentido de ir ao encontro do Sol
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• A precessão não tem nenhum efeito importante sobre as estações, uma
vez que o eixo da Terra mantém sua inclinação de 23,5 graus em
relação ao eixo da eclíptica enquanto precessiona em torno dele.
Como o ano do nosso calendário é baseado nos equinócios, a
primavera continua iniciando em setembro no hemisfério sul, e em
março no hemisfério norte. A única coisa que muda são as estrelas
visíveis no céu durante a noite em diferentes épocas do ano.
Uma conseqüência da precessão é a
variação da ascensão reta e da
declinação das estrelas. Por isso, os
astrônomos, ao apontarem seus
telescópios para o céu, devem
corrigir as coordenadas tabeladas
da estrela que irão observar pelo
efeito de precessão acumulado desde
a data em que as coordenadas foram
registradas até a data da observação.
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• Nutação
• A próxima correção ao movimento chama-se nutação e
trata-se da componente não circular (bamboleio) do
movimento do pólo da Terra em torno do pólo da eclíptica,
causada pelas variações na inclinação da órbita da Lua em
relação à órbita da Terra em torno do Sol (de 18° 18' a 28°
36'). A principal contribuição da nutação na obliquidade tem
uma amplitude de 9,2025" e período de 18,613 anos, mas
contribuições menores, como 0,57" com períodos de 182,62
dias, também estão presentes.
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• As forças diferenciais do Sol e da Lua sobre a Terra são
mais complexas do que nossa aproximação pois os três
corpos não são esféricos. Existe ainda a pequena
contribuição das forças diferenciais causada pelos planetas
sobre a Terra.
• Devido ao torque causado pela Lua, Sol e outros planetas,
além dos deslocamentos de matéria em diferentes partes do
planeta: elasticidade do manto, achatamento da Terra,
estrutura e propriedades da borda entre núcleo e manto,
reologia do núcleo, variabilidade dos oceanos e da
atmosfera, a inclinação (obliqüidade) do eixo da Terra em
relação ao eixo da eclíptica está decrescendo 0,46815 "/ano,
ou
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Transformação entre coordenadas
Celestes
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Transformação entre coordenadas
horárias e horizontal
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Sistema levógiro – rotação anti-
horária
De horizontal para Horário
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Sistema levógiro – rotação anti-
horária
De Horária para Horizontal
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Transformação entre coordenadas
Horárias e Equatorial
z
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Um sistema Levógiro e outro Destrógiro
De Horária para Equatorial
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De Equatorial para Horária
Transformar de Uranográfica/Equatorial para Eclíptica e
Vice-versa.
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Como esses fundamentos são
utilizadas em Astronomia?
Determinar o meridiano do lugar?
Passagem do sol pelo meridiano do local – determina-se a
latitude e o azimute (máxima elevação do sol ou estrela – ponto
de culminação).
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h
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Observar uma estrela/sol no momento que passa pelo meridiano
do lugar (H=0).
Então: HS = H + = HS =
HS = Hora Local Sideral (LST)
Long = HS-HGreenwich
Long = LST – GST
Precisa de um cronômetro que registra a hora de
Greenwich
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P
S
90 - Dec H
Alternativamente, tendo a Latitude , pode-se medir o ângulo
Zenital e determinar o ângulo H para qualquer estrela visível.
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Aberração estelar: movimento aparente de um objeto celeste (estrela)
.. Devido ao movimento aparente do observador e estrela. Aberação
diária (devido a rotação da Terra – máximo de 0,32”) e aberração anual
(movimento de translação – máximo 20,6”). Essa última para alta acu-
rácia deve ser levada em consideração.
Paralaxe anual: Passar do sistema heliocentrico para geocentrico
e vice versa. Os sistemas de coordenadas podem ser geo ou helio.
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E1
E2
E3
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