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El Cubo de Rubik
El Cubo de Rubik43.252.003.274.489.856.000
Razones o ms para quererlo
Javier Santos , 1998
A Rufo ,
mi perro, que prefiere una pelota al cubo.
el ocho tumbado
http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Hall/3964/
corrEo
[email protected] Javier Santos , 1998
Indice1. Conceptos Bsicos
2. Algoritmo &3. Otros Cubos1
Conceptos Bsicos
Recuerdo las clases de manualidades con plastilina. La primera prctica consista en hacer una masa amorfa, puede parecer fcil pero a m me resultaba imposible, el resultado siempre era un cubo. Lo intentaba una y otra vez, pero nada ....... un cubo.
Suspend y trabaj muy duro, consegua hacer un tetraedro, el dodecaedro no me sala mal, el cubo no haca falta que practicase, pero sobre todo practiqu para conseguir una masa amorfa.
En la prueba de recuperacin volvieron a pedirme que hiciese una masa amorfa, me lo tema. Lo intent de todos los modos posibles, pero nada ...... un cubo. A veces consegua deformarlo un poco, pero no se como volva a la forma de cubo. Por fin, consegu aplastar un poco un vrtice y algn pequeo araazo, supona que no iba a ser suficiente pero era lo mximo que consegua. Lo cog y me diriga a la mesa del profesor para entregarlo y...... se me cay al suelo y por fin, la masa amorfa.
Esta experiencia me ha resultado muy positiva y confirma que la constancia es una de las bases del xito.
Introduccin
HYPERLINK \l "Descripcin"
Descripcin
ObjetivoNomenclatura de MovimientosOperadoresDiseo de OperadoresConvenio de Colores
HYPERLINK \l "Capas"
Capas
Desmontaje
HYPERLINK \l "OrdenadoColocadoOrientado"
Ordenado, Colocado, Orientado
Nmero de Estados y Restricciones
HYPERLINK \l "QuesunAlgoritmo"
Qu es un Algoritmo?
Tipos de AlgoritmoIntroduccin
Recuerdo mi primer Cubo de Rubik, los primeros algoritmos de libros y revistas, fueron la escuela para los conceptos bsicos de este tipo de puzzles denominado Movimientos Secuenciales.
La informacin de esta pgina es bsicamente una recopilacin de toda la informacin recogida, contada con ms o menos acierto y algunas aportaciones personales.
Descripcin
El Cubo de Rubik podemos considerarlo como un cubo de orden 3 ( 3x3x3) .
En la figura 1, podemos verlo en el estado ordenado, cada cara del cubo es de un color.
El puzzle dispone de un mecanismo interno que permite girar las caras.
Despus de unos giros, el cubo presenta un estado catico. Figura 2.
Figura 1. Estado OrdenadoFigura 2. Estado Catico
El Cubo de Rubik podemos considerarlo en principio compuesto por 27 cubos unitarios o piezas.
Al desmontarlo (ver el apartado Desmontaje ) comprobamos que no existe el cubo unitario central y contiene una cruceta, que es el sencillo e ingenioso sistema que permite las posibilidades de giro del puzzle.
Comprobamos que existen 3 tipos de piezas:
Vrtices (8), Aristas (12) y Centros (6).
Se distinguen por su posicin relativa en el cubo.
Los vrtices y aristas si tienen realmente forma de cubo, con una particular pestaa de sujecin.
Los centros son en realidad medios cubos y estn sujetos mediante un eje a la cruceta central, con posibilidad de giro. Sujetan las pestaas del resto de las piezas.
Figura 3. Tipos de Piezas
Podemos comprobar un detalle importante, que las piezas slo tienen pegatinas de colores en las caras visibles inicialmente.
Podemos distinguirlas fcilmente por el nmero de colores.
Respectivamente 3,2 y 1.
Cuando me refiera a la cara de un cubo unitario o pieza, lo indicar del modo cara - vrtice.
Objetivo
El objetivo del cubo es poner un poco de orden en el caos.
Tenemos que conseguir ordenarlo como en la Figura 1.
Nomenclatura de Movimientos
El movimiento bsico de Cubo de Rubik es el giro 90 de una cara.
Para describir los movimientos utilizar la nomenclatura ms habitual en castellano.
Denominaremos a las caras por una letra representativa. ( En Maysculas y negrita )
Izquierda Derecha
Frente aTrs
Arriba aBajo
Figura 4. Denominacin de las caras.
Consideraremos el giro de 90 en Sentido Horario como positivo, lo indicaremos simplemente con la letra de la cara. Por ejemplo A, par indicar la cara Arriba
Cuando sea en sentido AntiHorario lo consideraremos negativo, le aadiremos un apstrofe . Por ejemplo A .
En algunos casos se gira 180 (media vuelta), le aadiremos un 2, intentando indicar que es el doble del giro bsico. Por ejemplo A2 .
No es complicado acostumbrarse al determinar el giro positivo de las caras F, A , D: Pero cuidado con el resto de las caras, el consejo que os indico parece obvio .... y lo es, poner un reloj en la cara.
Comprueba como al girar A y luego B parece que giran en sentido contrario.
Operadores
Para ordenar el cubo se utilizan secuencias de movimientos que realizan alguna misin, las denominar Operadores. Por ejemplo:
Intercambiador de Aristas Opuestas
( D T A T A D ) A ( I A T A T I )
Cuando una secuencia tiene parntesis, suele tener dos utilidades:
En el caso anterior, los utilizo para agrupar los movimientos y sean ms fciles de recordar.
En otros casos tienen un nmero detrs, que indica el nmero de repeticiones de los movimientos contenidos en el parntesis. Por ejemplo:
Operador Girador de Vrtices +
( F B F B )2Uno de los Operadores del Algoritmo contiene tambin corchetes, es el sistema que utilizo para indicar repeticiones anidadas.
Doble Intercambiador de Vrtices Diagonal
[ ( A2 D2)3 A ]2Por si hay alguna duda, ( A2 D2) se repite 3 veces y luego A . Todo se repite 2 veces.
Diseo de Operadores
No entra dentro de los objetivos de este estudio el diseo de operadores, pero indicar unos conceptos bsicos.
Flip -Flop
Se suele denominar Flip -Flop a los operadores obtenidos mediante dos giros bsicos, una vez en cada sentido.
Por ejemplo:
Operador Girador de Vrtices +
( F B F B )2
Operador Inverso
Si hemos diseado un operador que realizar un ciclo en un sentido, podemos obtener el operador inverso, es decir que realice el ciclo en sentido inverso, si realizamos los giros empezando por el final y en sentido contrario.
Por ejemplo:
3-ciclo de Vrtices Horario
( F A T A ) ( F A T A )3-ciclo de Vrtices AntiHorario
( A T A F ) ( A T A F )
Convenio de Colores
Para el diseo de los grficos he utilizado mi cubo, tiene la siguiente distribucin de colores:
FrenteAzul
ArribaBlanco
DerechaAmarillo
AtrsVerde
AbajoRojo
IzquierdaNaranja
Durante el Algoritmo me referir a los colores, ya que resulta ms cmodo que referirse al nombre de las caras.
Cuando manipulamos el cubo y se desordena, las caras aparecen multicolores. Pero como las piezas centro siempre de mantienen fijas en su cara, podemos indicar que la pieza centro determina el color de una cara, aunque est multicolor.
Capas
Con el cubo ordenado, giramos la cara Arriba A y aBajo B, pero slo unos pocos grados en cualquier sentido.
Podemos considerar el cubo dividido en tres niveles, que suelen denominarse Capas.
Las denominaremos: Superior, Intermedia, Inferior.
En realidad cuando decimos que giramos la cara Arriba, giramos 9 piezas y las Aristas y Vrtices tienen colores en las caras laterales del cubo.
Algunos consideran tambin como movimiento bsico el giro de la capa Intermedia y en general el giro de la fila o columna central de una cara.
No aaden nuevas posibilidades de giro, el giro de la capa intermedia en sentido horario,es equivalente a A B, y cambiar la orientacin general del cubo, situando la cara azul al Frente.
Creo que la discusin lleg hasta aspectos filosficos, no me resisto a citar un argumento contundente que aproximadamente deca:
Consideremos al cubo como un Sndwich. Las capas Superior e Inferior son el pan y la capa Intermedia el jamn.
Si deseamos girar el jamn, Cuantos giraran las dos rodajas de pan ?
En cubos de mayores dimensiones, 4 y 5, parece que si deben considerarse como giros bsicos los de las capas intermedias. ( Ver en Captulo Otros Cubos, Otras Dimensiones )
Desmontaje
Para desmontar El Cubo de Rubik tenemos que realizar el siguiente proceso:
Giramos la cara Arriba 45.
La clave en caso de la figura 5 es la arista blanca -azul.
Podemos desmontarla haciendo palanca con un objeto con forma de cua.
Ahora podemos desmontar los dos vrtices adyacentes.
Se desmonta la arista azul -amarilla y el vrtice inferior.
Despus el resto de la cara Arriba y por ltimo el resto de piezas.
Figura 5. Desmontaje
El montaje lo realizaremos en sentido inverso.
La arista blanca -azul, que es la ltima pieza la encajaremos a presin.
Es conveniente que montemos las piezas dejando ordenado el cubo. En caso contrario puede que lo montemos en un estado que no permite ordenar adecuadamente el cubo. ( Ver el apartado de Nmero de Estados y Restricciones)
El proceso de desmontaje y ordenacin es lo que denomino Algoritmo Lento.
Espero que aunque inicialmente te resulte ms rpido, llegue a ser realmente el Algoritmo lento.
Ordenado, Colocado, Orientado
Podemos considerar que el cubo tiene unas posiciones huecas o cubiculos y cada vez que giramos una cara, las piezas cambian de cubiculo y se mezclan.
Es importante destacar que cada tipo de pieza (arista, vrtice) cambia a un cubiculo del mismo tipo.
Supongamos que el cubo est revuelto como en la figura 2.
Es posible que una pieza, por ejemplo un vrtice est exactamente como en su cubiculo inicial, diremos que est ordenado.
Tambin es posible que est es su cubiculo inicial, pero no est exactamente igual, los colores no estn con la misma orientacin, diremos entonces que est colocado simplemente. Adems podemos decir que est mal orientado o girado. En el caso de aristas prefiero el trmino volteada.
En la figura 2, el vrtice blanco - azul - amarillo, est colocado y adems girado.
En los algoritmos de resolucin, en las fases finales, no suele ordenarse directamente las piezas, se suele realizar en dos subfases: colocacin y orientacin. ( y a veces al revs)
Nmero de Estados y Restricciones
Nmero de Estados
Podemos calcular el nmero de estados o configuraciones que puede tener el Cubo de Rubik.
El nmero de estados segn mi criterio no es un ndice exacto de la dificultad de un puzzle.
Suele influir mucho ms el nmero de piezas afectadas por el giro bsico. En el cubo es ms de un 1/3, por lo que tiene cierta dificultad.
Tambin influye que existan varios tipos de piezas.
Permutaciones y Orientaciones de Centros
Desmontamos el cubo, comprobamos que las piezas centro estn fijas en su cubiculo. Slo pueden girar. Pero como estn coloreadas de modo uniforme, no se puede distinguir el giro.
Analizaremos la orientacin de los centros en el captulo Otros Cubos, Otros ColoreadosPuede parecer que si giramos la capa Intermedia, los centros cambian de cubiculo, pero en realidad no cambian su posicin relativa. Slo ha cambiado la orientacin general del cubo.
Podemos considerar los centros con el mecanismo de giro como una estructura fija.
Para calcular el nmero de estados o configuraciones que puede tener el Cubo de Rubik podemos empezar por calcular de cuantas maneras podemos montar las piezas aristas y vrtices en sus cubiculos correspondientes.
Permutaciones y Orientaciones de Aristas
Hay 12 aristas, luego son las permutaciones de 12 piezas, 12!
Cada arista puede alojarse con 2 orientaciones posibles, entonces multiplicamos por 212 .
Permutaciones y Orientaciones de Vrtices
Hay 8 vrtices, luego son las permutaciones de 8 piezas, 8!
Cada vrtice puede alojarse con 3 orientaciones posibles, entonces multiplicamos por 38 .
Multiplicando ambas cantidades calculamos que lo podemos montar de aproximadamente 5x 1020 maneras diferentes o estados.
Restricciones
Para el clculo del nmero de estados, hemos considerado que son posibles todos los estados.
Pero si partimos del estado ordenado, no es posible alcanzar todos los estado mediante los giros bsicos. Existen estados que no se pueden alcanzar, decimos que El Cubo de Rubik tiene restricciones.
Las restricciones de orientacin no son complicadas de indicar, pero si de demostrar. As que las indicar sin demostracin.
Restricciones en el Volteo de Aristas
El nmero de aristas volteadas tiene que ser par.
Por ejemplo, no puede presentarse una configuracin con una sola arista volteada.
Esta restriccin es importante para disear operadores. Habitualmente se voltean por parejas.
Esta restriccin tiene un factor 2, es decir divide el nmero de estados calculados por 2.
Restricciones en el Giro de Vrtices
El giro que pueden tener los vrtices tambin tiene restricciones.
Las explicar con la analoga con las partculas elementales Quark, indicada por Solomon w. Golomb.
Los Quark son unas partculas elementales que tienen carga 1/3 y su antipartcula AntiQuark tiene carga -1/3. Podemos denominar a un vrtice girado 120 Quark y el girado en sentido contrario AntiQuark.
Las restricciones que tienen los Quark, son exactamente las mismas que los vrtices.
No pueden existir en la naturaleza Quark aislados, siempre estn agrupados con carga entera.
Es decir pueden aparecer:
Un Quark y un AntiQuark y se denomina Mesn.
Tres del mismo tipo y se denomina Barin.
Esta restriccin tiene un factor 3.
En las portadas suele aparecer el cubo con un Quark, puede parecer una configuracin imposible, pero oculto en el vrtice opuesto puede haber un AntiQuark. Figura 6.
Figura 6. Un Quark
Restricciones en el Intercambio de Piezas
Existe una ltima restriccin que afecta al nmero de intercambios de piezas, vrtices y aristas.
Supongamos el cubo ordenado.
Cuando giramos una cara, los 4 vrtices se trasladan, formando lo que se denomina un ciclo.
Si pudiramos intercambiar dos vrtices cualesquiera libremente, son suficientes 3, intercambios para volverlos a ordenar. Siempre es uno menos que el nmero de piezas del ciclo.
Lo importante es la paridad, impar. Independientemente de la estrategia para ordenarlos, que puede que utilice ms intercambios, la paridad no cambia.
Es un principio importante de la teora de grupos que se utiliza en este tipo de puzzles.
Cuando giramos otra cara, se incrementa el nmero de intercambios en un nmero impar, y el total pasa a ser par. No importa que la cara girada vuelva a trasladar vrtices ya trasladados.
Lo mismo ocurre con las aristas.
Lo importante es que ambos tipos de piezas tienen la misma paridad de intercambios en cualquier configuracin posible.
Supongamos que tenemos ordenadas todas las aristas, paridad par, entonces los vrtices tienen la misma paridad, no es posible que queden slo dos vrtices intercambiados.
Esta restriccin tiene un factor 2.
Podra existir una restriccin ms fuerte, como ocurre en el Megaminx, ( Ver en Captulo Otros Cubos, Otros Poliedros ), que es una generalizacin del Cubo de Rubik, sobre un dodecaedro.
En el Megaminx, el giro bsico mueve en ciclo 5 aristas y 5 vrtices, ambos tendrn la misma paridad, pero como el giro bsico tiene paridad par, nunca pueden existir dos piezas del mismo tipo intercambiadas, independientemente del estado del otro tipo de piezas.
Restricciones Totales
En total los factores de restriccin son 2x3x2, el nmero de estados posibles el calculado inicialmente sin restricciones dividido por 12.
El Cubo de Rubik puede alcanzar 43.252.003.274.489.856.000 estados posibles. Aproximadamente 4,3 x 1019 .
Qu es un Algoritmo ?
Para ordenar el cubo se necesita un sistema de resolucin, es lo que se denomina Algoritmo.
Para conseguir ordenar un puzzle, lo primero es el anlisis de restricciones y determinar que operadores se necesitan para resolverlo.
Despus se necesitan una serie de instrucciones que determinen que operador necesitamos utilizar en cada momento, es decir disear un algoritmo.
Tipos de Algoritmo
La mayora de los Algoritmos son de tipo progresivo, es decir van ordenando de modo progresivo el cubo.
Habitualmente se realiza por capas, es necesario que en cada fase no se desordene lo conseguido.
El primer algoritmo que utilic era progresivo pero ordenaba primero las aristas y luego los vrtices.
El Algoritmo ms eficiente sera el que emplease el mnimo nmero de giros, es lo que se denomina Algoritmo de Dios. No se como estn las investigaciones sobre el tema.
Un tipo curioso de algoritmo basado en la teora de grupos fue desarrollado por Morwen B. y Thistethwaite. Tienen la propiedad de no parecer que se este ordenado progresivamente.
2
Algoritmo &
El algoritmo propuesto es una mezcla de varios sistemas y algunas aportaciones personales.
La estructura es la tpica de un algoritmo por capas. Cada capa puede tener varias fases.
1. Primera Capa
HYPERLINK \l "OrdenacindeAristas11"
1.1 Ordenacin de Aristas
1.2 Ordenacin de Vrtices
2. Capa Intermedia3. Ultima Capa
HYPERLINK \l "OrdenacindeAristas31"
3.1 Ordenacin de Aristas
3.1.1. Orientacin de Aristas
HYPERLINK \l "ColocacindeAristas312"
3.1.2. Colocacin de Aristas
3.2 Ordenacin de Vrtices3.2.1. Colocacin de Vrtices
HYPERLINK \l "OrientacindeVrtices322"
3.2.2 Ordenacin de Vrtices
1.Primera Capa
La primera capa a ordenar es la superior.
Podemos elegir cualquier cara como superior.
Para seguir un convenio de colores, supongamos que es la blanca.
El color de la cara est definido por el color del centro.
Recuerda que adems de formar la cara superior blanca, las caras laterales de las piezas deben coincidir con el color de su cara.
Esta fase consta de dos subfases:
Ordenacin de Aristas
Ordenacin de Vrtices
La primera capa tambin necesita un Algoritmo de resolucin, aunque no necesitamos operadores largos.
1.1 Ordenacin de Aristas
El objetivo de esta fase es ordenar las aristas de la cara blanca.
El aspecto del cubo ser como el de la figura.
Formaremos una cruz blanca.
Las aristas se ordenan una a una.
Cuando ordenamos una arista, tenemos que conseguir que no se desordenen las aristas ya ordenadas. Supondremos entonces que ya estn ordenadas 3 aristas y falta la ltima, la arista interseccin de las caras Arriba - Frente, segn el convenio de color, blanca - azul.
En los grficos, las piezas o caras coloreadas en gris indican que puede ser cualquier color.
Empecemos a mirar el cubo.
Dnde est la arista a ordenar, blanca - azul ?
Existen 3 posibilidades, segn la capa.
El caso bsico es que est en la capa inferior.
Si no est la trasladaremos previamente.
Capa Inferior
Es el caso bsico.
Giramos la cara aBajo, hasta situar la arista a ordenar en el cubiculo de la cara Frente, debajo del destino.
Hay dos posibilidades segn la orientacin de la arista a ordenar.
Realizamos el operador correspondiente, segn las figuras.
D2B D F D
Capa Intermedia
La idea es trasladarla a la capa inferior, que es el caso bsico.
Entonces se soluciona como caso anterior.
Solucionaremos el caso de la figura, en la que es necesario mantener una arista ya ordenada.
Al trasladarla a la capa inferior, intentaremos que la cara - arista blanca quede en la cara aBajo, que es caso ms fcil.
T B2 T
Capa Superior
Puede ocurrir que la arista a ordenar ya est la capa superior, pero mal orientada o colocada.
Seguimos la misma idea, trasladarla a la capa inferior, que es el caso bsico.
Veamos los dos problemas.
Mal OrientadaMal Colocada
B2D2
1.2 Orientacin de Vrtices
El objetivo de esta fase es ordenar los vrtices.
El aspecto del cubo ser como el de la figura.
Con esta fase terminamos de ordenar la primera Capa.
Los vrtices se ordenan uno a uno.
Cmo la cara Arriba es blanca, son los vrtices que tienen una de sus cara-vrtice blanca.
Supongamos que quiere ordenar el vrtice interseccin de las caras Arriba - Frente - Derecha. Segn el convenio de color, blanco -azul - amarillo.
Dnde est el vrtice a ordenar?
Existen 2 posibilidades segn la capa.
Capa Inferior
Es el caso bsico.
Giramos la cara aBajo, hasta situar el vrtice a ordenar en el cubiculo debajo de su destino.
Hay 3 posibilidades, segn la orientacin del vrtice.
Nos fijamos en la cara - vrtice blanca y realizamos el operador correspondiente.
F B FD B DD B2 D B D B D
(Observa como el caso 3 se soluciona reducindolo al caso 2)
Capa Superior
Si el vrtice a ordenar ya est en la capa superior, pero mal orientado o colocado, lo trasladaremos a la capa inferior, que el caso bsico.
No es necesario un operador especifico. Podemos trasladar un vrtice cualquiera de la capa inferior al cubiculo que ocupa el vrtice a ordenar y este se traslada automticamente a la capa inferior.
Mal OrientadoMal Colocado
2. Capa Intermedia
Una vez que hemos conseguido ordenar la Capa Primera, volteamos el cubo, la ponemos como capa inferior. La idea es conseguir mejor visibilidad para ordenar el resto del cubo.
Reconozco que puede ser poco didctico, pero el hombre es un animal de costumbres.
El Objetivo de esta fase es ordenar la capa intermedia.
El aspecto del cubo ser como el de la figura.
Slo tiene aristas, no tiene vrtices.
Las aristas se ordenan una a una.
Supongamos que queremos ordenar la arista amarilla, azul
Dnde est la arista a ordenar?
Existen dos posibilidades segn la capa.
El caso bsico es que est en la capa intermedia.
Si no est, la trasladaremos previamente.
Capa Superior
Es el caso bsico.
Hay dos posibilidades segn la orientacin de la arista.
Nos fijamos en el color de la cara - arista que est en un lateral (el que no est en la cara Arriba).
Giramos la cara Arriba hasta que el color de la cara - arista lateral coincida con el color de la pieza central.
Orientamos el cubo de modo que la arista ordenar quede en la cara Frente.
Nos fijamos en las dos posibilidades y realizamos el operador correspondiente.
( A I A I ) ( A F A F )( A D A D ) ( A F A F )
Nota. Estos operadores no destruyen la capa inferior ni lo ordenado en la capa intermedia.
No son intercambiadores de aristas, la arista de la capa intermedia que ocupa el cubiculo de arista a ordenar se traslada a otro cubiculo de la capa superior, concretamente Arriba -aTrs.
Tambin se producen otros "efectos secundarios" en los vrtices de la capa superior, que no son importantes ya que est desordenada.
Capa Intermedia
Si la arista a ordenar ya est en la capa intermedia, pero est mal orientada o colocada, se traslada a la capa superior, que es el caso bsico.
No es necesario un operador especifico. Podemos trasladar una arista cualquiera de la capa superior al cubiculo que ocupa la arista a ordenar y esta se traslada automticamente a la capa superior.
3. Ultima Capa
En esta fase se ordena la Ultima Capa.
El cubo quedar totalmente ordenado.
Consta de dos subfases en la primera se ordenan las aristas y en la segunda los vrtices.
3.1 Ordenacin de Aristas
En esta fase se ordenarn las aristas de la ltima capa.
Formaremos una cruz roja, de modo similar a la primera capa.
Se realiza en dos subfases, en la primera se orientan y en la segunda se colocan en su posicin adecuada.
3.1.1 Orientacin de Aristas
En esta subfase se orientan las aristas. Es decir si la cara Arriba es roja, tenemos que conseguir una cruz roja, pero no importa que las aristas estn colocadas adecuadamente.
El aspecto del cubo ser como el de la figura.
Nos fijamos en las aristas que estn bien orientadas, es decir tienen color rojo en la cara Arriba.
Cuantas aristas estn bien orientadas?
Existen 3 posibilidades:
Todas
Pasamos a la siguiente subfase
Dos
Existen dos posibilidades, segn la colocacin relativa:
Adyacentes, Opuestos.
Realizamos el Operador Volteador correspondiente
Operador Volteador Adyacente
F A D A D FOperador Volteador Opuesto
F D A D A F
Ninguna
Se reduce al caso anterior.
Realizamos cualquiera de los Operadores Volteadores anteriores, y conseguimos dos aristas bien orientadas.
(Posteriormente se utiliza el otro Operador Volteador)
3.1.2 Colocacin de Aristas
En esta subfase colocaremos las aristas de la ltima capa en su posicin adecuada.
El aspecto del cubo ser el de la figura. Cuantas aristas estn colocadas?
Podemos reducir los estados posibles a dos posibilidades.
Giramos la cara Arriba, hasta que 2 aristas al menos queden situadas.
Todas
Pasamos a la siguiente subfase.
Dos
Existen dos posibilidades, segn la posicin relativa:
Adyacentes, Opuestos.
Realizamos el Operador Intercambiador de Aristas correspondiente.
Intercambiador de Aristas Adyacentes
A D A D A D A2 D Intercambiador de Aristas Opuestas
( D T A T A D ) A ( I A T A T I )
3.2 Ordenacin de Vrtices
En esta subfase se ordenarn los vrtices de la ltima capa.
Se realiza en dos subfases, en la primera se colocan y en la segunda se orientan adecuadamente.
3.2.1 Colocacin de Vrtices
En esta subfase se colocan los vrtices de la ltima capa.
No importa que estn orientados adecuadamente.
El aspecto del cubo ser similar al de la figura. Los vrtices estn en su posicin, pero algunos estn mal orientados.
Cuantos vrtices estn colocados?
Existen 3 posibilidades:
Todos
Pasamos a la siguiente subfase
Uno
Orientamos el cubo de modo que el vrtice colocado quede como en las figuras de los operadores.
Los vrtices estn formando un 3-ciclo. Existen dos posibilidades, segn el sentido.
Nos fijamos en sentido y realizamos el Operador 3-ciclo de Vrtices correspondiente.
3-ciclo de Vrtices Horario
( F A T A ) ( F A T A )3-ciclo de Vrtices AntiHorario
( A T A F ) ( A T A F )
Ninguno
Se reduce al caso anterior.
Realizamos cualquiera de los Operadores 3-ciclo de Vrtices anteriores, y conseguimos colocar un vrtice.
Tambin se puede resolver directamente.
Cuando no hay ningn vrtice colocado, hay un doble intercambio.
Existen dos posibilidades:
Paralelos o diagonal.
Nos fijamos en el tipo de intercambio y realizamos el Operador Doble Intercambiador de Vrtices correspondiente.
Doble Intercambiador de Vrtices Paralelos
F ( D A D A )3 FDoble Intercambiador de Vrtices Diagonal
[ ( A2 D2)3 A ]2
3.2.2 Orientacin de Vrtices
El objetivo de esta subfase es orientar adecuadamente los vrtices de la ltima capa.
El aspecto del cubo ser el de la figura. Como terminamos de ordenar la capa 3, el cubo estar totalmente ordenado.Los vrtices se orientan uno a uno.
El sistema de orientacin es nico, de todos modos podemos hacernos la pregunta habitual.
Nos fijamos en los vrtices que estn bien orientados, es decir los que tienen la cara roja en la cara Arriba.
Cuantos vrtices estn bien orientados ?
Existen 4 posibilidades:
Todos
Pasamos a la siguiente subfase.
Uno
Hay 3 vrtices girados en el mismo sentido. Se denomina un Barin.
Existen dos posibilidades, segn el sentido.
Dos
Hay 2 vrtices girados en sentido contrario. Se denomina un Mesn.
Ninguno
Los vrtices estn girados dos en cada sentido.
Veamos el proceso de orientacin de vrtices:
Durante el proceso no cambiar la orientacin general de cubo, es decir si la cara Frente es amarilla, no debe moverse del frente.Mediante giros de la cara Arriba, situar el vrtice que deseamos orientar en el cubculo Frente -Arriba - Derecha.
Nos fijamos en la posicin de la cara-vrtice roja (El color de la cara Arriba) y realiza el Operador Girador de Vrtices correspondiente.
Operador Girador de Vrtices +
( F B F B )2Operador Girador de Vrtices -( B F B F )2
Momentneamente las capas inferiores se destruyen, no te pongas nervioso y contina.
Pero recuerda que no debes cambiar la orientacin general del cubo.
Repetimos este proceso para el resto de los vrtices a orientar.Cuando todos los vrtices estn bien orientados, las capas inferiores estarn de nuevo ordenadas.
Falta girar la cara de Arriba hasta ajustarla.
3
Otros Cubos
Hay otros cubos,
pero estn en este
Introduccin
HYPERLINK \l "OtrosColoreados"
Otros Coloreados
Algoritmo Otros Coloreados &Otras FormasOtras Dimensiones
HYPERLINK \l "OtrosPoliedros"
Otros Poliedros
Introduccin
No me siento capacitado para hablar de cronologa, pero parece que El Cubo de Rubik no fue la primera patente de este tipo de puzzles tridimensionales, pero lo importante es que
anim a realizar versiones, generalizaciones y nuevos diseos.
Segn parece algunos de estos diseos ya estaban en la mente de aficionados y el xito del cubo, propici que sus diseadores lo patentasen y no tuvieran problemas de comercializacin.
Puedes consultar la pgina DOMAIN OF THE CUBE de Mark Longridge , la seccin Cube Notes. http://web.idirect.com/~cubeman/
Es importante destacar que pueden existen puzzles de aspecto exterior idntico y tengan otro mecanismo interno. Parece que fue el caso de Terutoshi Ishige, que patent un cubo 3x3x3 ,con las mismas posibilidades de giro.
Es posible incluso que aunque el aspecto exterior sea idntico tengan diferentes posibilidades de giro. Es el caso de la serie de puzzles sobre el tetraedro de Uwe Mffert.
Hay una interesante pgina Twisty Puzzles de David Byrden, contiene de simuladores de puzzles. http://byrden.com/puzzles/
Puedes manejar puzzles que existen fsicamente y otros que slo existen simulados.
Y por ltimo, si quieres manipular puzzles de Rubik, visita la pgina de Raymond Penners,
http://raymondp.cobweb.nl/rubik/index.html
Otros Coloreados
En el captulo de Conceptos Bsicos indicamos que los centros de las caras slo tienen la posibilidad de girar en su cubiculo.
No se puede distinguir su giro, debido a que los centros estn coloreados de modo uniforme.
Si coloreamos el centro de forma adecuada podemos distinguir su giro.
En la figura 1, se muestra un coleado en diagonal de 12 colores.
Para ordenarlo hay que tener en cuenta el giro de los centros, y por ahora nos sabemos resolverlo.
Si nos fijamos en el diseo, las aristas son monocolores, por lo tanto no es necesario controlar el volteo.
Stan Isaacs dise un coloreado similar al de la figura 2. En su diseo los vrtices son todos grises, anulando totalmente el control de los vrtices. El objetivo es conseguir un puzzle idntico en la esencia al Octaedro de Uwe Mffert.
El diseo de la figura 2, tiene los vrtices monocolores, por lo tanto no es necesario controlar el giro, pero s la colocacin.
Figura 1. Coloreado DiagonalFigura 2. Coloreado de Stan Isaacs
No es complicado realizar un diseo que tengamos que controlar todas las colocaciones y orientaciones. Podemos convertir el cubo en un autntico puzzle de figuras, un dibujo en cada cara.
Supongo que no estars dispuesto a estropear tu cubo, as que te propongo mi diseo con unas pegatinas superpuestas. Lo denomino Sierpe.
En las caras no visibles, la sierpe avanza en zigzag, por las caras aTrs, Bajo, Izquierda y por ltimo se cierra en la cara Frente.
Figura 3. Sierpe de Javier Santos
Si las aristas estn ordenadas, slo cuando la sierpe avanza, el centro est bien orientado.
Explicar con este diseo como orientar los centros, en el apartado.
Nmero de Estados y Restricciones
Nmero de Estados
Podemos calcular el nmero de estados o configuraciones que puede tener el Cubo de Rubik con los centros con orientacin distinguible.
Si son posibles todas las orientaciones, cada vrtice puede tener 4 orientaciones, as que pueden estar de 46 estados.
Para calcular el nmero de estados total, multiplicaramos el nmero de estados del cubo bsico por este factor.
Restricciones
Pero las orientaciones de vrtices tienen una restriccin factor 2, es decir slo es posible la mitad de los estados.
Veamos una sencilla demostracin.
Nos fijamos en lo que ocurre cuando realizamos un giro bsico de una cara.
Se realiza un giro de 90 de la pieza centro en el sentido de giro. Consideremos un giro de 90 de un centro como el giro unitario. Paridad Non.
Sabemos que en las aristas y vrtices se produce un nmero impar de intercambios. Paridad Non.
Por lo tanto los giros de centros y por otro lado los intercambios de aristas y vrtices tienen la misma paridad.
Si el cubo est ordenado, excepto los centros, la paridad de los giros de los centros debe ser Par.
Es decir, si el cubo estuviera con 5 centros bien orientados, el 6 slo podra estar bien ordenado o girado 180 .
No creas que todo son complicaciones, se han diseado cubos monocolores....... para impacientes.
Figura 4. Cubo Azul
Puedes conseguir un diseo similar en negro, quitando las pegatinas.
Aprovechando la ocasin puedes ordenarlo, es lo que denomino Algoritmo por cambio de Pegatinas.Algoritmo Otros Coloreados &
Introduccin
El Algoritmo propuesto para ordenar el cubo con las piezas centrales con orientacin distinguible empieza ordenando el cubo sin preocuparnos de las piezas centrales.
Podis criticar el diseo del algoritmo, que es propio. Los Operadores tienen otro padre.
Me decido por utilizar un nmero mnimo de operadores, bsicamente se pueden utilizar dos:
Uno que gire una cara 180 y otro que gire dos caras adyacentes 90 en cada sentido.
Se pueden utilizar ms operadores, que pueden acortar el nmero de giros.
Realizaremos la ordenacin de las piezas centrales en 3 fases:
Fase 1 Cara Inferior
Fase 2 Caras intermedias
Fase 3 Cara superior
Fase 1
Localizamos una pieza central que est bien orientada y la colocamos como inferior.
Si no existe ninguna pieza central bien orientada, necesitamos orientar una cualquiera como se indica en la Fase 2.
Fase 2
En la Fase 2 se orienta las piezas centrales intermedias.
Las piezas centrales se orientan una a una.
Nos fijamos en el giro adecuado y realizamos el Operador Girador de Centros correspondiente.
Girador de Centros +
( A F T D I A B F A B D I F T )
Girador de Centros -( F T D I A B F A B D I F T A )
Girador de Centros 180
(F D I F2 D I )2
No nos preocupamos por los "efectos secundarios" en la cara superior, la ordenaremos en la siguiente fase.
Podramos utilizar solamente el primer operador Girador + de Centros para solucionar todos los casos. La idea es repetirlo hasta que la pieza central quede bien orientada.
Fase 3.
En la Fase 3 se orienta la pieza central superior.
Slo puede tener dos orientaciones:
Bien Orientada
Se terminan los problemas.
Girada 180
Realizamos el Operador Girador de Centros180.
Girador de Centros 180
(A D I A2 D I )2
Se trata del mismo operador de la Fase 2, pero cambiando la orientacin general del cubo.
Otras Formas
Hay otros puzzles, que tienen diferente forma, pero en esencia son idnticos.
Inflando
En la figura 1, est el Cubo Esfera. Bonita contradiccin, entre los expertos no tienen problema en denominar a este puzzle como cubo.
Si nos fijamos es un cubo "inflado" y el mecanismo interno puede ser idntico.
El coloreado es similar al cubo bsico, los centros monocolores.
Figura 1. Esfera
Con un coloreado con forma de globo terrqueo conseguiremos una versin con control de los giros de los centros.
A diferencia del cubo, cuando se gira una "cara", a mitad de un giro, la esfera no pierde su forma, y las piezas no dejan ver sus caras interiores.
Biselando
Existen bastantes puzzles que se consigue biselando cubo. Octaedros, Diamante, Prisma Octogonal...
No es complicado disear un puzzle biselado basado en el cubo, Mi aportacin es el poliedro denominado Rombicuboctaedro.
EL coloreado de la figura es equivalente al del cubo, pero admite otros ms interesantes.
Figura 2. Rombicuboctaedro
Aunque no tienen excesivo inters aparente, ya que en esencia son idnticos al cubo, pueden tener algunas curiosidades.
El nico que he manipulado es el Prisma Octogonal, figura 3, se consigue biselando las aristas laterales de cubo
El coloreado habitual es que los biseles sean monocolores y que no tenga ninguna relacin con los colores de las antiguas caras laterales. Podemos decir que es independiente.
Figura 3. Prisma Octogonal
Veamos algunas curiosidades del puzzle.
Hay dos tipos de piezas aristas intermedias, las de los biseles son monocolores. El resto de aristas se mantienen igual bicolores.
Todas las piezas vrtice estn biseladas. Los vrtices no plantean ninguna novedad esencial, aunque slo tienen dos colores, pueden orientarse de 3 modos.
A diferencia del cubo, cuando se gira una "cara", el Prisma Octogonal pierde su forma.
Los giros de los vrtices y las aristas biseladas le convierten en un puzzle difcil de coger.
El Prisma Octogonal puede solucionarse mediante el Algoritmo similar al propuesto para el cubo.
Pero lo ms importante es los problemas que ocasiona los dos tipos de aristas y los biseles de colores independientes.
Las aristas monocolores no necesitan voltearse, pero cuidado. Sabemos que el nmero de aristas volteadas debe ser par, en el Prisma Octogonal, puede que veamos configuraciones con una sola arista bicolor volteada. El secreto est en que tenemos que voltear tambin una arista monocolor cualquiera.
Los biseles de colores independientes no son ninguna ventaja, parece que podemos elegir libremente su colocacin y no es cierto, hay una restriccin oculta.
Si consideramos el bisel como una pieza, respecto de la configuracin ordenada slo se pueden alcanzar configuraciones con un nmero par de intercambios de biseles.
No es posible alcanzar una configuracin que tiene un nmero impar de intercambios, por ejemplo dos biseles intercambiados. Es equivalente un intercambiando de aristas y dos intercambios de vrtices. Recuerda que en cubo hay una importante restriccin que indica que los intercambios de vrtices y aristas tienen la misma paridad.
Supongamos entonces que elegimos una configuracin de biseles con un intercambio respecto del original. Qu puede ocurrir ?
Al intentar ordenar tendremos configuraciones aparentemente imposibles.
Puede presentarse bsicamente dos casos:
El Prisma queda solamente con dos vrtices intercambiados.
Imposible de ordenar, lo que ocurre es que los vrtices ya estn colocados y necesitamos intercambiar los otros dos vrtices aparentemente bien colocados y las aristas del bisel. Es decir hemos intercambiado el bisel.
Ms claro parece cuando slo quedan dos aristas biseladas intercambiadas.
Imposible de ordenar, lo que ocurre es que realmente las tenemos que considerar colocadas y realizar dos intercambios con los vrtices correspondientes de su bisel.
Pero puede ocurrir que sean dos aristas cualesquiera las que queden intercambiadas. Es un caso habitual si utilizas un algoritmo por capas y en la ltima capa ordenas primero los vrtices.
Aplastando
Supongamos que en el cubo slo manipulamos las caras Arriba y Derecha.
Esta restriccin puede lograrse colocando unas pegatinas cuadradas 2x2 colocadas en las caras Frente y aTrs y unas pegatinas rectangulares 2x3 en las caras Izquierda y aBajo.
Es decir, el efecto es que se forma un bloque 2x2x3.
Figura 4.
Como supongo que no tiene nombre, lo denominar Dubo.
Este puzzle tendra que estar en el apartado Bloqueando, pero me sirve de introduccin.
Figura 4. Dubo
No creas que sabiendo ordenar el cubo sabes ordenar directamente el Dubo.
Los operadores que utilices slo pueden utilizar las dos caras.
Resulta curioso y hasta cierto punto contradictorio, tiene menos estados pero puede resultar ms complicado de encontrar operadores.
El Dubo es un puzzle tridimensional ?
Si pudiramos poner en un mismo plano las dos caras conservando las posibilidades de giro, parece que tendramos que decir que es un puzzle bidimensional.
Resulta que este tipo de puzzles ya existe. Figura 5
No tengo claro la cronologa de este tipo puzzle. Creo es posterior al cubo, propuesto por Douglas A. Engel, segn un artculo de Investigacin y Ciencia de A.K. Dewdney, aunque yo haba visto puzzles basados en la misma idea, incluso ms complejos.
Figura 5. Turn Stile
Existen diferentes coloreados, nos fijamos en el de la figura, que se comercializa con el nombre de Turn Stile. No resulta el ms didctico, ya que no permite distinguir bien las piezas inicialmente.
El puzzle consta de dos crculos con interseccin. Cada circulo tiene una serie de piezas.
Podemos girar cada uno de los crculos y las piezas se van mezclando.
Los crculos son similares a las caras del cubo.
Existen dos tipos de piezas, unas con forma de tringulo inflado, que se corresponde con los vrtices y unos rectngulos desinflados, que se corresponde con las aristas.
En la figura, la interseccin es amarilla y son 3 piezas, dos vrtices y una arista en el centro.
Exactamente como en el cubo.
La diferencia con el cubo es que cada crculo tiene 6 vrtices y 6 aristas.
Es debido al diseo plano, es necesario que las caras sean circulares.
Los giros bsicos son de 60.
El Magic8, que puede datar del 1890, figura 6. consta de dos circuitos circulares secantes que forman un "8" y contienen bolas.
Las bolas se deslizan por el circuito y se mezclan las situadas en la interseccin.
Tambin admite diferentes coloreados, el ms complicado sera las bolas numeradas.
Podemos comprobar que estn basados en la misma idea.
Figura 6. Magic8
Creo que no existe ninguna duda en que el Magic8 es bidimensional.
No me resulto complicado disear el Magic8 sobre una esfera. Lo denomin iESFERA.En la iESFERA, las intersecciones de los aros se producen en dos fichas diametralmente opuestas, a diferencia del Magic8. El diseo completo de la iESFERA es aadiendo un tercer aro, perpendicular a ambos.
En la prehistoria de la informtica dise un simulador para la iESFERA con dos circuitos.
Puedes descargar el simulador en mi pgina de Movimientos Secuenciales.
Figura 7. iESFERA
Es la iESFERA un puzzle tridimensional ?
Quizs no nos pongamos de acuerdo, y la clave es que tendramos primero que definir que se considera un puzzle tridimensional.
El cubo de Rubik podemos considerarlo como un puzzle compuesto por crculos o circuitos de piezas con intersecciones, si nos fijamos en la versin esfrica es ms evidente. El movimiento bsico de girar una cara, es idntico al de deslizar las piezas por el circuito.
Supongamos que diseamos un Cubo Esfera sobre la superficie de la Tierra, con esta idea de circuitos. Con un poco de esfuerzo haramos girar las piezas. No creo que tuviramos la sensacin de que el puzzle es tridimensional.
Algunos defienden que es bidimensional, ya que las piezas se mezclan sobre la superficie. No hay intercambios de piezas del tipo dentro - fuera.
Grabiel Iorente ha trabajado con este tipo de puzzles con diseos 2D y algunos 3D.
Los puzzles 2D compuestos por crculos con intersecciones tienen el aspecto de mosaico regulares. El puzzle de la figura 8, lo denomina La Parrilla.
Figura 8 La parrilla.
Rodolfo Valerias ha trabajado en una serie de Juegos de Ordenacin Planos. Ha diseado un simulador para JOP-2. Un puzzle que en la configuracin bsica es un cuadrado de 4x4, con posibilidad de realizar movimientos cclicos de 4 piezas de un cuadrado 2x2.
Tiene opciones para modificar el tamao del puzzle, restricciones en los movimientos, controlar la orientacin de las piezas y autoresolucin.
Puedes descargar el simulador en su pgina Heureka.
http://usuarios.iponet.es/rodoval/heureka
Figura 9. JOP-2
He realizado algunos diseos, una idea interesante consta de 6 crculos alrededor de uno de igual tamao.
En el diseo bsico, cada crculo tiene dos piezas y puede girar de modo independiente. Se puede incrementar el nmero de piezas a valores pares.
Para mezclar las piezas es necesario el giro del crculo central que mueve todas las piezas interiores.
Figura 10. Circunloquio
Independientemente, buscando ideas en slidos diferentes, disee un puzzle tridimensional con forma de Toro o Donut, con piezas semicilindricas.
Dispone de dos tipos de movimientos
Se pueden girar cada cilindro independientemente y se puede girar la mitad del Donut.
Se necesitan unas piezas de ajuste.
Me di cuenta que los puzzles eran idnticos en la esencia.
La idea es tan bonita como sencilla y hace unos aos la he visto en el mercado con el nombre comercial de Meeting Colors y en la publicidad aparece como una pulsera.
Tiene 4 piezas por cilindro.
Hay que tener cuidado en alinear bien las piezas, ya que tiende a bloquearse.
Figura 11. Meeting Colors
De todos modos, mis anlisis fueron mas all, nos fijamos en la superficie correspondiente al giro de medio Donut, es una arandela. Si la cortamos y la unimos del revs mentalmente, podemos conseguir una Banda de Moebius. Una superficie de una sla cara. Ahora no hay mitad del donut y todas las piezas de mueven en ciclo.
Se permite tambin el otro giro bsico, girar un cilindro.
Con un nmero suficiente de piezas es posible crear el puzzle fsicamente, aunque pueden existir problemas de bloqueo.
Este interesante puzzle, no es tan interesante, investigalo.
Bloqueando
En el Mundo Cientfico, public un articulo sobre la nueva generacin de puzzles, tras el cubo de Rubik. Raoul Raba presentaba algunos diseos planos basados en el cubo de Rubik.
Uno era bsicamente 3 caras adyacentes aplastadas, por ejemplo Frente Arriba Derecha y el aspecto es exactamente igual que el propuesto por Engel, pero con un circulo ms.
Los 3 crculos tienen como interseccin un vrtice.
Tambin puede simularse en el cubo, bloqueando el resto de las caras con pegatinas cuadradas 2x2, ajustadas al vrtice Izquierdo - aTrs - aBajo.
Es decir, el efecto es que se forma un bloque cbico 2x2x2.
Es interesante el diseo del Bicubo, figura 12, que puede simularse sobre un cubo de Rubik.
Figura 12. Bicubo
Slo se manipulan las 3 caras visibles en la figura.
La pieza interseccin es un vrtice, el resto son prisma 1x1x2 formados por dos piezas y unidos por pegatinas de tamao 2x1, se forman 4 piezas dobles por cara.
La parte no visible est formada por un cubo 2x2x2 queda bloqueado por pegatinas 2x2.
El Bicubo es un puzzle complicado, el tamao doble de las piezas provoca que el puzzle se pueda bloquear en ciertos movimientos.
Los operadores tienen que tener en cuenta que no siempre las piezas estn en la misma distribucin.
Otras Dimensiones
El Cubo de Rubik, 3x3x3 , podemos decir que es de orden o dimensin 3, entendiendo por dimensin el nmero de cubos unitarios de un lado del cubo.
Existen cubos de otras dimensiones, 2, 4, 5. Los nombres tienen varias denominaciones. Yo no me complico y les denomino CuboN, siendo N la dimensin.
No tengo claro la cronologa de los puzzles, parece que el Cubo2 fue el primero en patentarse, antes que el Cubo de Rubik 3x3x3.
Rubik tambin patent posteriormente un cubo 2x2x2. Tengo que suponer que los mecanismos internos son diferentes.
Los nombres habituales y su diseador son:
2 MiniCubo, Larry Nichols
4 La venganza de Rubik, Peter Sebesteny
5 El cubo del Profesor o Rubik's Wahn, Udo Krell
Figura 1 Minicubo Figura 2 La venganza de RubikFigura 3.El cubo del Profesor
El Cubo4 es complicado de encontrar, hubo hasta una subasta en la red.
Personalmente, el que ms me gusta es el Cubo2. Tiene un encanto especial con todas las piezas iguales.
Puede simularse sobre un Cubo3. (Tambin en cualquiera de los superiores).
Podemos colorear las piezas Centro y Arista de gris, como la figura4.
Figura 4. Cubo2
Se demuestra indirectamente que si sabemos resolver el Cubo3, podemos resolver el Cubo2.
Se puede utilizar el Cubo 3 incluso para disear el Cubo2 con el mismo aspecto exterior. Necesitas fabricar unas piezas con tres paredes de un cubo, como los colores visibles de los vrtices, pero de mayor tamao.
Tenemos que pegarlas encima del vrtice correspondiente, pero con una base que las deje a cierta distancia, para que al girar una cara, no choquen con las aristas y centros.
Rubik diseo un paraleleppedo de dimensiones 3x3x2, que denomina Domin Mgico.
Los cubos unitarios tienen puntos como media ficha de domin.
Los giros bsicos son idnticos al cubo cuando se gira una capa cuadrada, pero de 180 cuando se gira una capa rectangular.
El Domin Mgico puede considerarse como 2/3 del Cubo.
Puede disearse un puzzle menor ?
Bueno.... menor en el tiempo, disee un puzzle megaltico, est compuesto por menhires, con forma de paraleleppedo 1x1x3 , con cada cara pintada de un color.
El puzzle consta de 9 menhires en disposicin 3x3. Forman un cubo 3x3x3
En la posicin ordenada todos los menhires tienen la misma orientacin y el cubo tiene cada cara de un color.
El movimiento bsico es girar 180 cualquier fila o columna, de modo que se deslice paralela a las filas o columnas adyacentes.
Figura 5. Crnlech
Lo denomino Crnlech, en honor a la disposicin de los menhires. Todava se est estudiando el verdadero significado o utilidad de estos monumentos megalticos, Religioso? Astronmico?.
Espero que no tardes tanto en analizarlo, es un puzzle fcil. Puede que el Algoritmo de Dios sea fcil de encontrar en este ambiente, pero confrmate con un algoritmo prctico
En el Crnlech existen 3 tipos de menhires, segn su posicin relativa en el puzzle, nos fijamos en la cara de arriba:
Menhir central, es el que est en el centro del cuadrado, hay 1.
Menhir esquina, son los que estn en las esquinas del cuadrado, hay 4.
Menhir Medio, son los que estn en medio de las caras laterales, hay 4.
Empieza analizando que efectos se producen al realizar un giro bsico.
Qu no tienes menhires ?
aTIZA ! . Este era otro de los nombres posibles para este puzzle blando, puedes utilizar 9 TIZAS para analizarlo.
Todava no te has dado cuenta que puede simularse con el cubo ?
Se consigue con pegatinas 1x3 y se pegan verticales en las caras laterales del cubo.
Cada menhir est compuesto por 3 piezas unitarias del cubo.
El menhir central es tan particular como lo son las piezas centrales en el cubo.
Crnlech podemos considerarlo del tipo Bloqueando.
Con poco de cuidado, no es necesario utilizar pegatinas, el movimiento bsico del Crnlech, girar 180 cualquier fila o columna, es equivalente en la terminologa del cubo a realizar solamente giros de 180 de las caras laterales del cubo y tambin es posible girar 180 las capas intermedias verticales.
... y por ltimo, se comporta como si el cubo fuese de una sola capa, un prisma 3x3x1. Tenemos 1/3 de cubo.
Crnlech es un puzzle fcil, pero como suelo indicar en mis notas..... es mo.
No quiero decir que hay sido el primero en tener esta idea tan sencilla, con los millones de aficionados que hay a este tipo de puzzles, es casi seguro que otros han tenido la misma idea.
Lo interesante, es que se te haya ocurrido.
Todo este circunloquio, para indicar que he visto en la lista de Mark Longridge Rubik's Layer (3x3x1), no tengo claro si es una idea o un puzzle.
Cuantos estados diferentes tiene ?
Quizs te sorprenda, slo tiene 192 estados y no se me olvida indicar millones.
Otros Poliedros
El Cubo de Rubik se considera un puzzle de forma de cubo con giros centrados en las caras, es decir que se giran las caras del poliedro.
Creo que la primera generalizacin fue realizar el mismo diseo en un dodecaedro.
EL nombre del puzzle es Megaminx, diseado por Kersten Meier y Ben Halpern.
Figura1. Megaminx
Anteriormente y de modo independiente haban diseado El Tetraedro, pero con un mecanismo un poco burdo.
Parece ser que Uwe Mffert tena unos diseos de Tetraedro ms precisos, eran anteriores al cubo y fue uno de los diseadores que aprovecharon el xito del cubo para comercializarlo con el nombre de Pyraminx. Fue el primer puzzle que consegu despus del Cubo.
En el Tetraedro ( lo siento, pero me cuesta denominarlo Pyraminx ), puede considerarse que se giran las caras y permanece fijo el vrtice opuesto, pero parece ms correcto considerar que es un puzzle con giros centrados en los vrtices
Figura 2. Tetraedro
Tiene unas piezas que denomino supervrtices que pueden girar libremente, es un giro de un nivel, sin que se mezclen las aristas.
Los supervrtices estn fijos a un tipo de pieza que denomino subvrtice, donde se apoyan.
Al conjunto de piezas supervrtice y subvrtice lo denomino vrtice.
El vrtice es el equivalente a la pieza Central del Cubo de Rubik
Para mezclar las aristas es necesario realizar un giro de dos niveles, es decir girar un vrtice y se giran 3 aristas.
Si no lo has manipulado y ......desmontado, es complicado de entender inicialmente.
Despus de manipular el cubo durante aos, el giro del Tetraedro resultaba extrao y la mueca se resista a realizarlo correctamente.
Posteriormente Uwe Mffert diseo un tetraedro que aade otras posibilidades de giro, que denomina Master Pyraminx. Permite adems girar 180 alrededor de una arista, todas las piezas entre sus dos vrtices.
Otros Giros
Existen otros puzzles con aspecto exterior de cubo que disponen de otras posibilidades de giro.
Tony Durham diseo el Skewb, figura 1.
Tiene un curioso giro bsico, gira la mitad del cubo de modo segado. La seccin de giro es un hexgono.
Desconozco si lleg a realizar un prototipo o ide el mecanismo interno, pero se puso en contacto con Mffert para el desarrollo y lo denomin Pyraminx Cube.
Figura 1. Skewb
El Dino Cube, figura 2, es el puzzle que mayor desilusin me ha producido. No es que sea malo.
Tiene forma de cubo, Tiene 12 piezas iguales.
Los giros estn centrados en los vrtices, moviendo 3 piezas.
Figura 2. Dino Cube
El coloreado de la figura es el habitual, con una cara de cada color (H).
Tambin admite otros coloreados, por ejemplo las 3 piezas de un vrtice monocolores idnticas ( I), en total son 4 colores
David Byrden tiene un simulador en su pgina.
Mark Longridge lo recoge
A Rubik's Cube Chronology
May 16, 1995 First mention of Rubik's Dino Cube in cube-lovers
Ranking the Puzzles by Number of Combinations
N Name Combinations Mechanism
25. Dino Cube #1 (H) 1.9*10^7 Erno Rubik??
31. Dino Cube #2 ( I ) 4.2*10^4 Erno Rubik??
Este puzzle ha sido comercializado antes del 1995, pero no entiendo la falta de informacin.
Parece que es complicado encontrar uno, estara muy agradecido sobre cualquier informacin sobre la empresa que lo comercializa y el puzzle en general.
La desilusin no es porque el puzzle sea malo.
Este puzzle lo disee en el ao 1984.
En aqul momento no se me ocurri otro nombre que El Cubo de Javik.
No lo haba visto en ningn catlogo durante estos aos, eso me ilusionaba, pero me extraaba ya que es un puzzle sencillo de disear.
Constru un prototipo muy rudimentario para comprobar que funcionaba.
Realic un simulador con mi primer ordenador ZX Spectrum 48K.
No lo patent, resultaba excesivamente caro, y aun estoy arrepentido.
El Dino Cube es un puzzle relativamente fcil, es posible solucionarlo por niveles y slo necesita operadores para la ltima fase de ordenacin de la cara superior.
La dificultad es similar al Tetraedro, y es que en fondo el Dino Cube es un hbrido entre Cubo y Tetraedro, y por cuestiones de gentica tiene el aspecto del cubo y el carcter del Tetraedro.
Veamos el clculo del nmero de estados posibles.
En principio tiene 12 piezas iguales, para calcular las permutaciones es necesario fijar una, para fijar la orientacin general del cubo, entonces 11!.
Un giro bsico mueve 3 en ciclo, el nmero de intercambios tiene paridad par. No son posibles los estados con un nmero impar de intercambios.
Esta restriccin tiene factor 2.
Lo ms curioso del puzzle es una propiedad que pasa inadvertida inicialmente, las piezas no pueden voltearse. Es decir, una pieza despus de pasearse por todo el cubo, siempre llega a su posicin inicial con la misma orientacin.
Entonces las orientaciones no incrementan nmero de estados.
El numero total de estados es aproximadamente 1.99*10^7.
Un curioso puzzle es Square1, figura 3 en Espaa se ha comercializado como Super Cubix, diseado por Vojtech Kopsky
Figura 3. Square 1
El Super Cubix consta de 3 capas:
La capa intermedia tiene slo dos piezas y nunca abandonan la capa. Podemos considerarlo como un subpuzzle. Se comprueba que es fcil de solucionar.
Las capas extremas son idnticas, constan de 8 piezas, 4 aristas y 4 vrtices.
Los vrtices tienen un ngulo doble que las aristas.
Dispone de dos tipos de movimientos
Giro de las capas extremas, el giro bsico es un paso de arista, 30.
Giro sesgado de medio cubo 180.
El giro sesgado y los dos tipos de piezas bsicos hacen que el Square1 pierda la forma de cubo al manipularse, y si se manipula aleatoriamente tiende a bloquearse.
No es un puzzle demasiado original, podemos considerarlo una variante del Masteball, diseado por Geza Gyovai. Figura 4.
Figura 4. MasterBall
Hemos indicado que la capa central podemos considerarla como un subpuzzle, por lo tanto queda solamente las capas extremas.
Si el puzzle fuese de un cilindro, o una esfera, el giro sesgado sera diametral y adems no perdera nunca la forma bsica. Es solamente una cuestin esttica.
Si disponemos de un Masteball de 12 piezas por capa, podemos simular un Square1, utilizando solamente 2 capas y pegando adecuadamente dos piezas adyacentes para conseguir alternar piezas simples y dobles
Square1 aporta esta sencilla idea, que provoca bastantes complicaciones, por lo que hay que reconocer su mrito.
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