Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014
Oppgåve 1 (2 poeng)
Nedanfor ser du kor mange sniglar Astrid har plukka i hagen kvar kveld dei ti siste kveldane.
10 5 22 28 2 8 50 15 40 10
Bestem gjennomsnittet og medianen for dette datamaterialet. Når vi ordnar talet på sniglar i stigande rekkefølgje, er medianen den mellomste, eller gjennomsnittet
av dei to mellomste.
Vi ordnar dataa i stigande rekkefølgje:
10 152 5 8 10 22 28 40 50
10 1512,5
2
Medianen: 12,5
Gjennomsnittet:
2 5 8 10 10 15 22 28 40 50 190
1910 10
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Oppgåve 2 (2 poeng)
Sorter uttrykka nedanfor etter stigande verdi. Vis eller forklar korleis du har tenkt.
3
3
6 6 36 2 0,75
2 8 4
3
3 3
0,0016 1,6 10 1,6 16 40,80
2 10 2 10 2 20 5
2 2
2
2 2 40,44
3 3 9
01
14
I stigande rekkefølgje:
2 0
3
3
2 0,0016 1, 6 2 , ,
3 2 10 4
Oppgåve 3 (2 poeng)
I Noreg er det ca. 5 millionar innbyggjarar. Kvart år blir det produsert omtrent 150 milliardar
M&M-sjokoladar i verda. Tenk deg at desse sjokoladane skulle delast likt mellom innbyggjarane i
Noreg.
Omtrent kor mange M&M-sjokoladar ville kvar innbyggjar ha fått? Skriv svaret på standardform.
99 6 3 4
6
150 1030 10 30 10 3,0 10
5 10
Kvar innbyggar ville ha fått om lag 3,0 ∙ 104 M&M-sjokoladar.
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Oppgåve 4 (2 poeng)
Rekn ut
4 1 44 2
2
2
2
162
16
(2 )
8
aa
a
aa
a
Oppgåve 5 (2 poeng)
I tabellen nedanfor ser du resultata frå ein pilkastkonkurranse.
Poeng Spelarar
0,40
60
40,80
20
80,120
16
120,180
4
Bestem den gjennomsnittlege poengsummen for spelarane.
0 40 40 80 80 120 120 18060 20 16 4
1200 1200 1600 600 46002 2 2 2 4660 20 16 4 100 100
Den gjennomsnittlege poengsummen er 46.
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Oppgåve 6 (4 poeng)
Whisky blir lagra på tønner. Ei tønne på 500 L blir fylt opp og plassert på lager. Kvart år fordampar
omtrent 2 % av innhaldet i tønna.
a) Set opp eit uttrykk som du kan bruke til å rekne ut kor mange liter whisky det vil vere
igjen i tønna etter 12 år.
Whiskymengda minkar med 2 % i året. Vekstfaktoren blir då 2
1 1 0,02 0,98100
Uttrykket blir: 12500 0,98
b) Set opp eit uttrykk som du kan bruke til å rekne ut kor mange liter whisky som vil ha
fordampa frå tønna etter 20 år.
Uttrykket blir: 20 20500 500 0,98 500 (1 0,98 )
Ei tønne har vore lagra i 25 år.
c) John påstår at halvparten av innhaldet har fordampa, og at denne tønna derfor no
inneheld 250 L. Det grunngir han med at 25 2% 50%
Forklar John kvifor dette ikkje er riktig.
Første året fordampar 2 % av 250 liter. Neste år fordampar 2 % av det som no er igjen, og så
vidare. I og med at innhaldet blir mindre og mindre, vil dei to prosentane utgjere eit stadig
mindre volum for kvart år som går. Den totale nedgangen i prosent i løpet av dei 25 åra blir difor
mindre enn 50 %.
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Oppgåve 7 (4 poeng)
Lufttrykk kan målast i bar eller psi. Lasse har ein racersykkel der det tilrådde lufttrykket i dekka er
oppgitt både i bar og i psi. Sjå biletet ovanfor.
a) Teikn eit koordinatsystem med lufttrykk målt i psi langs x - aksen og lufttrykk målt i bar langs y -
aksen. Marker verdiane frå dekket på biletet som punkt i koordinatsystemet, og teikn ei rett linje
gjennom punkta.
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Lasse har kjøpt ny terrengsykkel. På dekka står det at lufttrykket bør vere mellom 35 og 65 psi. Han
lurer på kva det svarar til målt i bar.
b) Bruk linja i oppgåve a) til å finne ut kor høgt lufttrykk målt i bar Lasse bør bruke i dekka på
terrengsykkelen.
Lasse bør bruke eit lufttrykk som er mellom 2,4 og 4,5 bar.
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Oppgåve 8 (2 poeng)
På fredag sykla Synnøve til skolen. Ovanfor ser du ei forenkla grafisk framstilling av sykkelturen. Kva kan du seie om sykkelturen ut frå grafen?
Turen varte i 20 minutt, og Synnøve sykla 6 km. Etter 6 minutt hadde ho kome 2 km, og ho tok då ein
pause på fire minutt før ho sykla vidare. Etter pausen sykla ho litt raskare enn før pausen.
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Oppgåve 9 (4 poeng)
Ein filmklubb har 40 medlemmer. Halvparten av medlemmene har sett filmen «Gåten Ragnarok»,
mens 15 av medlemmene har sett filmen «Tusen ganger god natt». 14 av medlemmene har ikkje sett
nokon av dei to filmane.
a) Systematiser opplysningane ovanfor i ein krysstabell eller i eit venndiagram.
Krysstabell:
Har sett «Gåten
Ragnarok»
Har ikkje sett «Gåten
Ragnarok» Sum
Har sett «Tusen ganger god natt»
9 6 15
Har ikkje sett «Tusen ganger god natt»
11 14 25
Sum 20 20 40
Venndiagram:
40
14
9
Har sett «Tusen
ganger god natt»
11
Har sett «Gåten
Ragnarok»
6
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Vi vel ut ein tilfeldig medlem av filmklubben.
b) Bestem sannsynet for at medlemmen har sett minst éin av dei to filmane.
14 26 13
(minst éin av dei to filmane) 1 (ingen av filmane) 140 40 20
P P
c) Bestem sannsynet for at ein medlem som har sett «Tusen ganger god natt», også har sett «Gåten
Ragnarok».
9
(Gåten Ragnarok|Tusen ganger god natt)20
P
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Oppgåve 1 (6 poeng)
Framandspråk Gutar Jenter
Tysk 9165 7467
Fransk 3729 5515
Spansk 10385 11619
Tabell 1
Tabell 1 viser kor mange elevar i Noreg som valde framandspråka tysk, fransk og spansk på 8. trinn skoleåret 2012/2013. a) Lag eit passande diagram som illustrerer opplysningane gitt i tabell 1.
Eg skriv inn tabellen i Excel, markerer området og vel Set inn + Stolpe:
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Tysk Fransk Spansk
Talet på gutar
Talet på jenter
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Skoleår Elevar
med tysk Elevar
med fransk Elevar
med spansk
2002/2003 38,9 % 21,5 % 2,0 %
2004/2005 33,6 % 20,4 % 6,3 %
2006/2007 27,3 % 17,1 % 32,6 %
2008/2009 26,5 % 13,7 % 33,1 %
2010/2011 25,5 % 15,5 % 32,1 %
2012/2013 26,4 % 14,7 % 34,9 %
Tabell 2
Tabell 2 viser prosentdelen elevar på 8. trinn som valde tysk, prosentdelen som valde fransk, og prosentdelen som valde spansk som framandspråk nokre skoleår i perioden 2002/2013. b) Lag eit kurvediagram (linjediagram) som illustrerer opplysningane gitt i tabell 2.
Eg skriv inn tabellen i Excel, markerer området og vel Set inn + Linje:
c) Omtrent kor mange elevar var det på 8. trinn skoleåret 2012/2013?
Skoleåret 2012/2013 valde 9165 7467 16632elevar tysk. Dette er 26,4 % av elevane på 8. trinn. Går «vegen om 1»:
16632
100 6300026,4
Det var om lag 63 000 elevar på 8. trinn skoleåret 2012/2013
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
40,00%
45,00%
Del av elevane medtysk
Del av elevane medfransk
Del av elevane medspansk
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Oppgåve 2 (6 poeng)
År 2002 2004 2006 2008 2010 2012
Gjennomsnittspris per kvadratmeter (kroner)
12 478 14 769 20 084 25 977 28 247 33 454
Tabellen ovanfor viser gjennomsnittspris per kvadratmeter for einebustader i Stavanger nokre år i perioden 2002–2012. a) La x vere talet på år etter 2002, og bestem den lineære modellen som passar best med dei
oppgitte verdiane. Eg brukar GeoGebra, og legg inn (0, 12479), (2, 14769) som punkt i eit koordinatsystem. Deretter brukar eg kommandoen Beste tilpassa linje, og markerer punkta:
Den lineære modellen som passar best med dei oppgitte verdiane er y = 2160,1x + 11701.
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
b) Når vil gjennomsnittsprisen for ein einebustad i Stavanger på 200 m2 passere 10 millionar kroner dersom prisutviklinga held fram?
Pris per kvadratmeter = 10000000
50000200
Eg teiknar linja y = 50000, og finn skjeringspunktet mellom denne og linja eg fann i a) ved å bruke kommandoen Skjering mellom to objekt.
I følgje denne modellen vil prisen for ein einebustad på 200 m2 passere 10 millionar kroner i løpet av 2019.
Ein eigedomsmeklar gjekk i 2012 ut frå at prisen på einebustader i Stavanger ville auke med 20 % i perioden 2012–2015. c) Kor stor prosentvis auke svarar det til per år?
Med ein prisauke på 20 % i perioden vil ein einebustad i 2015 koste 33454 1,20 40144,8kr kr
For å finne ut prosentvis auke per år må eg finne vekstfaktoren, x, i uttrykket 333454 40144,8kr x kr
Brukar CAS i GeoGebra:
Dette svarar til ein prosentvis auke på 6,3 % i året
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Oppgåve 3 (4 poeng)
Bygda Alvfjord har i dag 5000 innbyggjarar. Ein reknar med at innbyggjartalet vil auke med 4 % kvart år.
a) Forklar at funksjonen K gitt ved ( ) 5000 1,04xA x kan brukast som modell for talet på innbyggjarar i Alvfjord om x år. Innbyggjartalet aukar med 4 % kvart år. Vekstfaktoren til ein prosentvis auke på 4 % er 1,04. Ved å multiplisere denne med 5000 vil ein få innbyggartalet etter eitt år. Ved å opphøge vekstfaktoren i x, kan vi finne innbyggartalet etter x år.
b) Teikn grafen til A for 0 ≤ x ≤ 30 Teiknar grafen i GeoGebra:
c) Kor mange innbyggjarar vil det vere i Alvfjord om 10 år ifølgje modellen i oppgåve a)? Eg teiknar linja x = 10, og finn skjeringspunktet mellom denne og modellen i a) ved å bruke kommandoen Skjering mellom to objekt. I følgje modellen vil det om 10 år vere om lag 7400 innbyggjarar i Alvfjord
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Oppgåve 4 (4 poeng)
Ola har 120 m gjerde. Han skal gjerde inn eit område. Området skal ha form som eit rektangel med lengde x meter og breidde y meter der y > 20. Langs den eine sida av området står det ein mur. Muren er 20 m lang. Ola treng ikkje gjerde langs muren. Sjå skissa ovanfor a) Bestem ein modell som viser samanhengen mellom lengda x og arealet A(x) av området.
Eg set først opp eit uttrykk for talet på meter gjerde Ola har: 2 ( 20) 120x y y
Dette gir oss:
2 20 120
2 2 140
70
70
x y y
x y
x y
y x
( )
( ) (70 )
A x x y
A x x x
b) Bestem x slik at arealet av området blir størst mogleg. Kor stort blir området da? Eg teiknar grafen til A(x) i GeoGebra, og finn toppunktet ved å skrive inn Ekstremalpunkt[A] i innskrivingsfeltet: Området blir størst mogleg når x = 35. Arealet blir då 1225 m2.
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Oppgåve 5 (4 poeng)
Ei undersøking viser at 9 % av norske menn bruker bunad på nasjonaldagen. Vi vel tilfeldig ut tre
norske menn.
a) Kva er sannsynet for at ingen av dei bruker bunad på nasjonaldagen?
3
(bruker ikkje bunad) 1 (bruker bunad) 1 0,09 0,91
(ingen bruker bunad) 0,91 0,754
P P
P
Sannsynet for at ingen av dei brukar bunad er 75,4 %.
b) Kva er sannsynet for at nøyaktig éin av dei bruker bunad på nasjonaldagen?
Sannsynet for at éin bruker bunad medan dei to andre ikkje gjer det er 20,03 0,91 . Det er tre
måtar dette kan skje på, i og med at vi vel ut tre menn. Vi multipliserer derfor med 3.
2(nøyaktig éin bruker bunad) 3 0,03 0,91 0,075P
Sannsynet for at nøyaktig éin av dei bruker bunad er 7,5 %.
Oppgåve 6 (5 poeng)
Izabela Duda frå Oppsal blei toppskårar i Eliteserien i handball for kvinner i sesongen 2012/2013. Nedanfor ser du kor mange mål ho skåra i kvar av dei 22 kampane.
6 1 4 8 8 17 7 12 1 8 4 7
10
13
14
7
9
7
11
12
7
4
a) Kor mange mål skåra ho i gjennomsnitt per kamp?
Eg legg inn tala i eit rekneark i GeoGebra og bruker kommandoen Gjennomsnitt for å rekne ut gjennomsnittet:
Izabela Duda skåra i gjennomsnitt om lag 8 mål per kamp.
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Ein annan spelar skåra i gjennomsnitt 5 mål per kamp i dei 22 kampane. Standardavviket hennar for talet på mål per kamp var 2,5. b) Samanlikne prestasjonane til denne spelaren med prestasjonane til Izabela Duda.
Eg reknar ut standardavviket til Izabela ved å markere tala i tabellen og bruke kommandoen Lag liste med punkt. Lista får namnet Liste1, og eg finn så standardavviket i CAS:
Izabela skårar i snitt fleire mål per kamp, men i og med at ho har eit høgare standardavvik, er ho meir ujamn i prestasjonane enn den andre spelaren.
Izabela Duda skåra nokre av måla på straffekast. Tabellen viser kumulativ frekvens for dei måla ho skåra på straffekast i løpet av de 22 kampane.
Mål på straffekast
Kumulativ frekvens
0 8
1 14
2 17
3 21
4 22
c) I kor mange kampar skåra ho tre mål på straffekast?
Kor mange mål skåra ho på straffekast i løpet av dei 22 kampane?
21 17 4
Izabela skåra tre mål i fire kampar. 1 (14 8) 2 (17 14) 3 (21 17) 4 (22 21) 6 6 12 4 28
Ho skåra i alt 28 mål på straffekast i løpet av dei 22 kampane.
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Oppgåve 7 (7 poeng)
Thea lagar figurar av små sjokoladar. Figurane ovanfor har ho kalla F2, F3 og F4 a) Kor mange små sjokoladar vil det vere i figuren F5 ?
I den nedste rada vil det vere 5 sjokoladar, i den nest nedste 6, så 7, så 8, så 9, så 8, så 7, så 6 og så 5.
2 5 2 6 2 7 2 8 9 61 I F5 vil det vere 61 sjokoladar.
Thea vil setje opp ein modell som viser kor mange små sjokoladar ho treng for å lage enda større figurar. Ho får ein god idé og lagar figuren F4 på nytt.
Ho reknar no ut at talet på små sjokoladar i figuren F4 er 3 3 3 4 4 4 37 b) Vis korleis Thea kan bestemme kor mange små sjokoladar det er i F3 og F5 ved å rekne på same
måte.
3
5
:2 2 2 3 3 3 19
: 4 4 4 5 5 5 61
F
F
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
c) Kor mange små sjokoladar treng ho for å lage figuren F10 ? Set opp ein modell som Thea kan bruke for å bestemme talet på små sjokoladar i figuren Fn uttrykt ved n.
10 :9 9 9 10 10 10 271F
Thea treng 271 små sjokoladar for å lage figuren F10.
2 2
( ) ( 1)( 1) ( 1)
( ) ( 1) ( 1)
F n n n n n n n
F n n n n n
d) Kva er den største figuren Fn Thea kan lage dersom ho har 5000 små sjokoladar?
Teiknar grafen til F(n) og linja y = 5000. Finn skjeringspunktet ved å bruke kommandoen Skjering mellom to objekt:
Den største figuren Thea kan lage er F41.
Løysingane er laga av
Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Våren 2014 - Løysing
Bileteliste
Kjelder for bilete, teikningar osv.:
Izabela Duda: http://oppsal.topphandball.no/kamp-om-kvartfinale/ (12.10.2013)
Andre bilde, teikningar og grafiske framstillingar i oppgåveteksten: Utdanningsdirektoratet
Top Related