Fox, McDonald & Pritchard1
CapCaptulo tulo VIIIVIII
FLUJO INTERNO VISCOSO FLUJO INTERNO VISCOSO INCOMPRESIBLEINCOMPRESIBLE
Texto gua:
Jairo A. Sandoval, Ms. Eng.
Fox, McDonald & Pritchard2
ContenidoContenido1. Introduccin: Flujo laminar y turbulentoFlujo completamente desarrollado2. Flujo laminar entre placas paralelas3. Flujo laminar en tuberas4. Distribucin del esfuerzo cortante en tuberas5. Perfil de velocidad turbulento en tuberas6. Consideraciones energticas para flujo en tuberas7. Clculo de las prdidas de carga8. Problemas tpicosMedicin de flujo9. Mtodos directos de medicin de flujo10. Medicin de flujo interno con restricciones
Fox, McDonald & Pritchard3
Fox, McDonald & Pritchard4
Flujo interno vs. Flujo externo
Fox, McDonald & Pritchard5
Flujo interno:
Tuberas Ductos Toberas Difusores Contracciones Expansiones Vlvulas Accesorios
Incompresible: M < 0.3 En Aire ~ 100 m/s
Fox, McDonald & Pritchard6
8.1. Introduccin: Flujo laminar y turbulento
DVDVRe ==
Tubera:Recritico ~ 2300
Regin no viscosa
Fox, McDonald & Pritchard7
Velocidad media: conservacin de la masa constante =m&
AVudAAUmArea
== 0 &
Fox, McDonald & Pritchard8
Longitud de entrada para flujo laminar:
D ReL 06.0
Para Rec:
Para obtener informacin sobre el perfil de velocidad usaremos las ecuaciones diferenciales que desarrollamos (laminar).
Fox, McDonald & Pritchard9
8.2. Flujo laminar entre placas paralelas
8.2.1. Placas estacionarias
8.2.2. Placas superior movindose a velocidad constante
Fox, McDonald & Pritchard10
8.2.1. Placas estacionarias
Aplicacin: prdidas de aceite en un cilindro, por ejemplo.
Consideraciones: Incompresible Estable Viscoso No vara en z (2-D) No vara en x,
completamente desarrollado
00
)(
=
=
=
w
v
yuu
1400=
aVRe
Fox, McDonald & Pritchard11
constanteyu
x
p=
=
2
2
gyp
=
Fox, McDonald & Pritchard12
constantedy
udyu
x
p==
=
2
2
2
2
x
pdy
ud
=2
2
1cyx
pdydu
+
=
212
21
cycyx
pu ++
=
20 c= ac
ax
p
12
210 +
= ax
pc
=
21
1
La distribucin de velocidades es:
Fox, McDonald & Pritchard13
Distribucin de esfuerzos cortantes, Flujo volumtrico, Cada de presin como funcin del caudal, Velocidad media, Punto de velocidad mxima,
Ahora podemos calcular:
Fox, McDonald & Pritchard14
Distribucin de esfuerzos cortantes:
+
==
yu
x
vyxxy dy
du= 21221
cycyx
pu ++
=
1cyx
pdydu
yx +
==
Flujo volumtrico:
Fox, McDonald & Pritchard15
Cada de presin como funcin del caudal:
laLQp 3
12= ( )laVAVQ ==
Velocidad media:
= Area AdVAV
rr1
Fox, McDonald & Pritchard16
Punto de velocidad mxima:
Transformacin de coordenadas: punto medio
Fox, McDonald & Pritchard17
Ejemplo: prdidas en pistn hidrulico
T = 50C, Aceite SAE 10W
Cul es la fuga de lquido?
Anlisis:
Suposiciones:(1) Laminar (3) Incompresible(2) Permanente (4) Totalmente desarrollado
Fox, McDonald & Pritchard18
Verificar que sea laminar:
Fox, McDonald & Pritchard19
8.2.2. Placas superior movindose a velocidad constante
1500=
aVRe
Aplicacin: Lubricacin de cojinetes.
Similar al caso anterior, diferentes condiciones de borde:
Fox, McDonald & Pritchard20
Reempezando:
Note que si p/ x = 0 Variacin lineal
Fox, McDonald & Pritchard21
Distribucin de esfuerzos cortantes:dydu
yx =
Flujo volumtrico:
Fox, McDonald & Pritchard22
Velocidad media: = Area AdVAV
rr1
Punto de velocidad mxima:
Fox, McDonald & Pritchard23
Distribucin de Velocidades:
Fox, McDonald & Pritchard24
Ejemplo: Torque y potencia en un cojineteUn cojinete que soporta el cigeal de un M.C.I. es lubricado con aceite SAE 30 a 210F. El dimetro del cojinete es 3 con una holgura de 0.0025/2; el eje rota a 3600 rpm, la longitud del soporte es 1.25. El cojinete no tiene carga y la holgura es simtrica. Cul es el torque requerido para rotar en cojinete?, Cul es la potencia disipada?
Fox, McDonald & Pritchard25
Suposiciones:(1) Laminar(2) Permanente(3) Incompresible(4) Totalmente desarrollado(5) Semejante a 2 placas planas infinitas (ya que L/a =
1.25/0.0125 = 1000)(6) p/ x = 0, pues el flujo es simtrico en el cojinete
Esquema y datos:
Lubricante: aceite SAE-30T = 210F, = 3600 rpm = 9.6 10-3 Ns/m2 (Fig. A-2)
= 2.01 10-4 lbfs/ft2
Fox, McDonald & Pritchard26
Anlisis:
( )2DDLT yx = pi
Fox, McDonald & Pritchard27
a
Dyx 2
=
0yx Acta hacia la izquierda sobre la placa
LDT yx2
2
pi=
El torque ser:
La potencia ser:
Fox, McDonald & Pritchard28
Verificacin del flujo laminar:
< 1500
Fox, McDonald & Pritchard29
8.3. Flujo laminar en tuberas
Consideraciones: Incompresible Estable Viscoso
No vara en x, completamente desarrollado
No vara en , simtrico
2300= DVRe
Fox, McDonald & Pritchard30
( ) 0== Rru)(
00
ruvv
v
v
xz
r
==
=
=
Fox, McDonald & Pritchard31
Ecuacin de continuidad: ( ) ( ) ( ) 011 =
+
+
xr vx
vr
rvrr
Navier-Stokes direccin x:
+
+
+
=
+
+
+
2
2
2
2
211
x
vv
rr
vr
rrx
pg
x
vv
v
r
v
r
vv
tv
xxxx
xx
xxr
x
constanter
vr
rrx
p x=
= 1
1
2
2c
r
x
pr
vr x +
=
r
cr
x
pr
vx 12
+
=
Fox, McDonald & Pritchard32
r
cr
x
pr
vx 12
+
=
21
2
ln4
crc
x
pruvx ++
==
c1 debe ser igual a cero pues de lo contrario u(0) no tendra un valor finito:
2
2
4c
x
pruvx +
== Usando la condicin de frontera:
2
2
40 c
x
pR+
=
=
x
pRc 4
2
2
Fox, McDonald & Pritchard33
Distribucin de esfuerzos cortantes, Flujo volumtrico, Caudal como funcin de la cada de presin, Velocidad media, Punto de velocidad mxima,
Ahora podemos calcular:
Distribucin de esfuerzos cortantes:
+
=
r
v
x
v xrrx
drdu
drdvx
rx ==
Fox, McDonald & Pritchard34
Flujo volumtrico:
drrdA pi2=
Caudal en trminos de la cada de presin:
Fox, McDonald & Pritchard35
Velocidad media:
Punto de velocidad mxima:
El perfil de velocidad se puede escribir en trminos de U como:
Fox, McDonald & Pritchard36
Ejemplo: Viscosmetro de capilaridadEs posible construir un viscosmetro simple y preciso a partir de un tramo de tubera capilar; si se miden el flujo y la cada de presin, y se conoce la geometra del tubo, la viscosidad de un fluido newtoniano puede calcularse a partir de la ecuacin:
Una prueba de cierto lquido en viscosmetro capilar brind los siguientes resultados:
Determine la viscosidad del lquido.
Fox, McDonald & Pritchard37
Suposiciones:(1) Laminar(2) Permanente(3) Incompresible(4) Totalmente desarrollado(5) Tubo Horizontal
Esquema y datos:
Fox, McDonald & Pritchard38
Anlisis:
Verificacin del flujo laminar:
Asumiendo densidad similar a la del agua (999 kg/m3):
< 2300
Fox, McDonald & Pritchard39
Flujo en Tuberas y Ductos Tuberas Ductos Sistemas de flujo
p = ? en
Sin friccin BernoulliCon friccin Real
p PrdidasMayores (tramos rectos)
Menores: Vlvulas, accesorios, Ts, Ys, codos
Fox, McDonald & Pritchard40
Tubos y ductos seccin circular Otras formas:dimetro hidrulico
Flujo laminar: Seccin 8.3Flujo turbulento: sigue !
Fox, McDonald & Pritchard41
8.4. Distribucin del esfuerzo cortante en tuberas con flujo completamente desarrollado
costante
Esfuerzovs
PresinCada
.
Apliquemos la ecuacin de momentum componente x:
Consideraciones:1. Tubo horizontal, FBx = 02. Permanente
3. Incompresible4. Totalmente desarrollado
0 (1) 0 (2) 0 (3,4)
Fox, McDonald & Pritchard42
0,
=xSF
0222
22,
=+
+
= rdxrdxx
pprdxx
ppF rxxS pipipi
022,
=+
= rdxrdxx
pF rxxS pipi xpr
rx
=
2
Vara lineal con rEl cortante en la pared, w:
[ ]x
pRRrrxw
==
= 2 0 si 0
x
pw
Fox, McDonald & Pritchard43
x
pRw
=
2
Note que para nada se toc la relacin -u. Esta relacin aplica para rgimen laminar o turbulento.
Si se conoce la relacin entre y u. (p.e. laminar newtoniano) se puede determinar la cada de presin analticamente.
Para caso turbulento no es simple resultados experimentales
=
adyacentescapas entre
momentum
Transporte
aturbulenci velocidadnesFluctuacio
Puede verse como un Esfuerzo extra (aparente)
Fox, McDonald & Pritchard44
y distancia desde la pared del tubou velocidad mediau, v componentes fluctuantes de la velocidad en x y yuvmedia en el tiempo del producto u v
: Esfuerzo de Reynolds, cortante turbulento
Cerca de la pared: es dominante el esfuerzo constante laminar (viscoso)
Cerca del centro: es dominante el cortante turbulento
Cortante turbulento
Fox, McDonald & Pritchard45
8.5. Perfil de velocidad turbulento en tuberas
En flujo turbulento, el perfil de velocidades puede aproximarse como:
Donde n vara con Re, y U es la velocidad en el centro.
Fox, McDonald & Pritchard46
Otras expresiones tiles son:
Donde ReU es el nmero de Reynolds calculado con la velocidad mxima U, y V trazo es la velocidad media.
Para n = 6, ReV (con Vmedia) 15000.Para n = 10, ReV 2.7 106
Fox, McDonald & Pritchard47
8.6. Consideraciones energticas para flujo en tuberas
Conservacin de la energa:
Fox, McDonald & Pritchard48
Consideraciones:1. Wshaft = 0, Wother = 02. Wshear = 0 pues aunque
hay esfuerzos en las paredes, la velocidad es cero all.
3. Permanente4. Incompresible5. Energa interna y presin uniformes en las secciones (1) y (2)
0 (1) 0 (1)0 (2)
0 (3)
Fox, McDonald & Pritchard49
+++=
SCgzVpuQ AdV
2
2 rr&
++++
+++=
21VdA
2VdA
2
22
AAgzVpugzVpuQ
&
+
+++
++=
22
11
22
22
2222
2
11
21
1111
1
dAV2
dAV
dAV2
dAV
AA
AA
Vgzpu
VgzpuQ
&
m&
Fox, McDonald & Pritchard50
Para no usar las integrales, definimos el coeficiente de energa cintica, , de tal forma que:
Fox, McDonald & Pritchard51
En flujo laminar = 2.0; en flujo turbulento:
Para n = 6, = 1.08. Para n = 10, = 1.03. Al incrementar la turbulencia, 1.0
Fox, McDonald & Pritchard52
Entonces la ecuacin de energa puede escribirse como:
o,
Reorganizando tenemos:
Fox, McDonald & Pritchard53
Energa mecnica por unidad de masa en la seccin transversal
Diferencia en la energa mecnica entre las secciones (1) y (2).
Conversin irreversible de la energa mecnica en energa trmica no
deseada (u2-u1) y calor.
A este ltimo trmino lo llamaremos la energa total perdida por unidad de masa, hl,T, o prdidas de carga.
Fox, McDonald & Pritchard54
[L2/t2][FL/M]
Prdidas de carga:
Energa total perdida por unidad de masa:
Energa total perdida por unidad de peso del fluido:
[L]
Fox, McDonald & Pritchard55
8.7. Clculo de las prdidas de carga
+
=
...) ,accesorios (entradas,menores
Prdidas
rectos) (tramosmayoresPrdidas
cargade total
Prdida
mT lll hhh +=
Fox, McDonald & Pritchard56
8.7.1. Prdidas mayores: Factor de FriccinEn general tenemos que:
Donde:
[L2/t2][FL/M]
Flujo desarrolladoen tubera de
seccin constante
mT lll hhh +=
0=mlh
22
22
_
2
21
_
1VV
=
( ) lhzzgpp =+ 2121
^
Entonces,
Fox, McDonald & Pritchard57
( ) lhzzgpp =+ 2121
Si el tubo es horizontal, z1 = z2, y
La prdida de carga mayor equivale a la cada de presin ( / ) en flujo completamente desarrollado a travs de una tubera horizontal de rea constante.
La prdida de carga es independiente de la orientacin de la tubera.
Fox, McDonald & Pritchard58
a) Caso flujo laminarDe la ecuacin 8.13c
Despejamos la cada de presin que podemos reemplazar en la ecuacin 8.32 para las prdidas mayores:
Por lo que las prdidas mayores son:
Fox, McDonald & Pritchard59
Es prctico expresarlas en trminos de Re:
DVRe_
=
Otra forma de expresar las prdidas mayores es:
Fox, McDonald & Pritchard60
b) Caso flujo turbulento: Experimentalmente
rugosidad
Aplicando anlisis dimensional,
De experimentacin, la prdida de carga adimensional es directamente proporcional a L/D, entonces
Fox, McDonald & Pritchard61
* , da
Factor de friccin (de Darcy):Energa cintica por unidad de masa
Consecuentemente,
Fox, McDonald & Pritchard62 (1944)
Fox, McDonald & Pritchard63
Esto significa que las prdidas mayores son siempre proporcionales a la velocidad al cuadrado?
CLARO QUE NO!Pero si son proporcionales a la velocidad, no al cuadrado claro.
Factor de friccin flujo laminar: Re < 2300
Fox, McDonald & Pritchard64
Factor de friccin flujo turbulento: Re > 2300Hay varias correlaciones.
Ecuacin de Colebrook (1938):
Se recomienda usar en la primera iteracin (error 1%):
Fox, McDonald & Pritchard65
Rugosidades de diferentes tuberas (nuevas):
- Acero remachado
- Estaca de madera- Hierro fundido
- Hierro forjado- Tubo estirado
Ecuacin de Blasius (1938): para tubera lisa
510Re
Fox, McDonald & Pritchard67
8.7.2. Prdidas menores:
Dos opciones: Coeficiente de prdida Longitud equivalente
Coeficiente de prdida:
Longitud equivalente de tubera recta:
Fox, McDonald & Pritchard68
A continuacin veremos:a. Entradas y salidas d. Vlvulas y accesoriosb. Aumentos y contracciones e. Ductos no circularesc. Codosa. Entradas y salidas:
Fox, McDonald & Pritchard69
b. Aumentos y contracciones:
Fox, McDonald & Pritchard70
Fox, McDonald & Pritchard71
Para difusores: Coeficiente de recuperacin de presin, Cp
El coeficiente de recuperacin de presin, Cp , se relaciona con la prdida de carga mediante:
donde, Cp i es el coeficiente de recuperacin de presin en un fluido ideal (no viscoso):
Fox, McDonald & Pritchard72
Fox, McDonald & Pritchard73
c. Codos:
Fox, McDonald & Pritchard74
d. Vlvulas y accesorios:
Fox, McDonald & Pritchard75
Dimetro hidrulico:
donde,A = rea de la seccin transversalP = Permetro mojado
e. Ductos no circulares:
En un ducto circular:
En un ducto rectangular, b*h:
Fox, McDonald & Pritchard76
En un ducto rectangular, b*h:
Definiendo la relacin proporcional, ar, cmo ar = h/b, entonces:
El dimetro hidrulico puede usarse para
Fox, McDonald & Pritchard77
8.7.3. Bombas y Ventiladores:
Balance de energa para el fluido en una bomba, despreciando la transferencia de calor:
La carga (o cabeza) de la bomba, hpump, es la energa suministrada al fluido por unidad de masa:
Fox, McDonald & Pritchard78
En muchas situaciones los dimetros de entrada y salida son similares (y por tanto las velocidades) y la elevacin despreciable. Entonces:
Si multiplicamos por
Fox, McDonald & Pritchard79
La energa consumida depender de la eficiencia de la bomba:
Por otro lado, si aplicamos la 1 Ley a un tramo que contiene una bomba (o ventilador), la cabeza de la bomba puede verse como una prdida negativa:
Fox, McDonald & Pritchard80
Dimetros de tubera comercial:
Fox, McDonald & Pritchard81
Energy Equation
8.8. Problemas tpicos
Resumen:
Fox, McDonald & Pritchard82
Major Losses
Fox, McDonald & Pritchard83
Minor Losses
Fox, McDonald & Pritchard84
Single Patha) Find Dp for a given L, D, and Q
Use energy equation directly
b) Find L for a given Dp, D, and QUse energy equation directly
Cmo solucionar problemas:
Fox, McDonald & Pritchard85
Single Path (Continued)c) Find Q for a given Dp, L, and D
1. Manually iterate energy equation and friction factor formula to find V (or Q), or
2. Directly solve, simultaneously, energy equation and friction factor formula using (for example) Excel
d) Find D for a given Dp, L, and Q1. Manually iterate energy equation and friction factor formula to
find D, or2. Directly solve, simultaneously, energy equation and friction
factor formula using (for example) Excel
Fox, McDonald & Pritchard86
Multiple-Path SystemsExample:
Cmo solucionar problemas:
Fox, McDonald & Pritchard87
Multiple-Path Systems Solve each branch as for single path
Deben usarse estas dos reglas para determinar las restricciones qua acotan el problema:1. En los nodos no se acumula fluido (Qin = Quot)2. La presin en cada nodo es nica
To complete solution of problem1. Manually iterate energy equation and friction factor for
each branch to satisfy all constraints, or2. Directly solve, simultaneously, complete set of equations
using (for example) Excel
Fox, McDonald & Pritchard88
Suposiciones:(1) Permanente(2) Incompresible(3) Totalmente desarrollado(4) Viscoso(5) En turbulento 1
Anlisis: Balance de energa
EJEMPLOS DE SISTEMAS DE UNA VEJEMPLOS DE SISTEMAS DE UNA VAA
Fox, McDonald & Pritchard89
Prdidas mayores:
Prdidas menores:
Adems:
Simplificando:
Despejando d:
Fox, McDonald & Pritchard90
Cmo conocemos el caudal:
Determinemos f y K:
Fox, McDonald & Pritchard91
51070.1 =Re
Fox, McDonald & Pritchard92
??????
=
=
WL&
Suposiciones:
(1) Permanente(2) y constantes(3) Totalmente desarrollado(4) Viscoso(5) Tubo horizontal
(6) Sin prdidas menores
Fox, McDonald & Pritchard93
Anlisis: Balance de energa en volmenes de control 1 y 2
Para el CV1:
Fox, McDonald & Pritchard94
Para el CV2:
Fox, McDonald & Pritchard95
Fox, McDonald & Pritchard96
Suposiciones:
(1) Permanente(2) V1 0, 2 1(3) Totalmente desarrollado(4) Viscoso(5) y constantes
???=Q
Fox, McDonald & Pritchard97
Anlisis: Balance de energa
Iterar
Fox, McDonald & Pritchard98
Despejando V:
Como primera iteracin, tomemos f de la regin completamente rugosa:
03.0f
Fox, McDonald & Pritchard99
Fox, McDonald & Pritchard100
???=D
Suposiciones:
(1) Permanente(2) V1 = V2 0; 1 2; z1 = z2(3) Totalmente desarrollado(4) Viscoso e Incompresible(5) Prdidas menores despreciables
pmax Dmin
Fox, McDonald & Pritchard101
Anlisis: Balance de energa
Necesitamos poner todo en trminos de D: Re, f, V,
Fox, McDonald & Pritchard102
Ahora debemos suponer un dimetro de tubera, por ejemplo 4con un dimetro interno de:
Ahora debemos calcular Re y e / D para determinar f y poder despejar D, e iterar nuevamente.
inD 026.4=
Fox, McDonald & Pritchard103
Resolviendo para D encontramos: D= 5.54 (OJO CON LAS UNIDADES). Indicando que si f = 0.012 entonces el dimetro mnimo deber ser el valor calculado.Tomemos entonces una tubera con dimetro nominal 6 y miremos si P es menor que Pmax. El dimetro interno es:
inD 065.6=
Fox, McDonald & Pritchard104
Fox, McDonald & Pritchard105
EJEMPLOS DE SISTEMAS DE VARIAS VEJEMPLOS DE SISTEMAS DE VARIAS VASAS
Cadas de presin, h:
Fox, McDonald & Pritchard106
2
_
2VDLfhp l ==
Despreciando las prdidas menores:
Toca ayudarse con el computador, sino cundo terminamos?
Fox, McDonald & Pritchard107
Flow Measurement
Direct Methods Examples: Accumulation in a Container; Positive
Displacement Flowmeter
Restriction Flow Meters for Internal Flows Examples: Orifice Plate; Flow Nozzle; Venturi;
Laminar Flow Element
Fox, McDonald & Pritchard108
Linear Flow Meters Examples: Float Meter (Rotameter); Turbine;
Vortex; Electromagnetic; Magnetic; Ultrasonic
Flow Measurement
Fox, McDonald & Pritchard109
Traversing Methods Examples: Pitot (or Pitot Static) Tube; Laser
Doppler Anemometer
Flow Measurement
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