8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
1/24
Ejercicio 1:
Diagrama original.
Diagrama de admitancias:
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
2/24
Cálculos:
Admitancias:
ω=500rad
seg
yk =G+ j (ωC − 1
ωL)
y1=G+ j(
−1ωL
)
y1= 1
.25+ j ( −1500 x (1 x 10−3 ) )=4−2 j [simmens ]
y2= j(ωC −
1
ωL)
y2=0+ j (500 x (2 x 10−3)− 1500 x (.5 x 10−3 ) )=−3 j [ simmens ]
y3=G+ j(ωC −
1
ωL)
y3= 1
.5+ j (500 x (1 x 10
−3)− 1500 x ( .25 ) )=2+0.5 j [ simmens ]
Voltajes:
V fc=u1
V y 1=u3
V y 2=u2−u3
V y 3=u2−u1
Admitancias propias de nodo:
Y 11= y
3+2 ( 0 )= y
3=2+0.5 j [simmens]
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
3/24
Y 22= y
2+ y
3+2( 0 )= y
2+ y
3=−3 j+2+0.5 j=2−2.5 j [simmens ]
Y 33= y
1+ y
2+2( 0 )= y
1+ y
2=4−2 j−3 j=4−5 j [simmens ]
Admitancias mutuas de nodo:
Y 12=− y
3+2( 0 )+1 ( 0)=− y
3=−2−0.5 j [simmens ]
Y 32=− y
2+2 ( 0 )+1(0)=− y
2=3 j [simmens]
Y 13=0
Y 11u
1+Y
12u
2+Y
13u
3=− I fc
Y 21u
1+Y
22u
2+Y
23u
3=0
Y 31
u1+Y
32u
2+Y
33u
3=0
Ecuaciones:
( 2+0.5 j )u1+ (−2−.5 j )u
2+0u
3=−(
−7
√ 2∠0°)
(−2−0.5 j )u1+( 2−2.5 j )u2+(3 j)u3=0
( 0 ) u1+( 3 j ) u
2+(4−5 j)u
3=0
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
u1=3.6686∠25.209 °
u2=2.3623∠65.225 °
u3=1.1068∠26.565 °
Voltajes:
V fc=3.6686∠25.209°
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
4/24
V y 1=1.1068∠26.565°
V y 2=2.3623∠65.225°−1.1068∠26.565 °=1.649∠90°
V y 3=2.3623∠65.225 °−3.6686∠25.209°=2.4010∠165.96 °
Ejercicio 2:
Diagrama original
Diagrama de admitancias:
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
5/24
Cálculos:
f=66.62!"
ω=2πf =2πx (636.62 )=4000 rad
seg
I fc= 5
√ 2∠0 °
#nvertancias:
Γ kl=(−1)l+k cof Lkl
∆ Lkl
∆ Lkl=| L11 L12 L
21 L
22|=|16
−1
−1 5 | x10−
3
∆ Lkl=74 [mHy ]2
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
6/24
Γ 11=
5 x 10−3
74 [mHy ]2=67.56[ Hy]−1
Γ 22=
15 x10−3
74 x10−6=202.7 [ Hy ]
−1
Γ 12=
(−1 )1+2 x (−1 x 10−3)
74 x 10−6
=13.51[ Hy]−1
$dmitancias:
y1=G
y1=
1
5=0.2[simmens ]
y2=G
y2=
1
5=0.2[simmens ]
y3=G+ j(ωC −
1
ωL)
y3=1
5+ j ((4000∗400 x 10−
3
)− 1
4000 x ( 8 x 10−3 ) ) y3=4.76 x 10
−3−0.0305 j[simmens ]
y4= j(− Γ 11ω )=−67.5674 x103 j=−0.01689 j
y5= j
(
− Γ 2
ω
)=−202.7
4 x10
3 j=−0.05067 j
y4−5= j(− Γ 12ω )=−13.514 x103 j=−0.00338 j
Voltajes:
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
7/24
V fc=u1
V y 4=u2
V y 5=u3
V y 1=u1−u2
V y 2=u1−u3
$dmitancias %ro%ias de nodo:
Y 11= y1+ y2+ y3+2 ( 0 )=0.2+0.2+4.76 x10−3−0.0305 j
Y 11=0.4047−0.0305 j [simmens]
Y 22= y
1+ y
4+2 ( 0 )=0.2−0.01689 j [ simmens]
Y 33= y
2+ y
5+2( 0 )=0.2−0.05067 j [simmens ]
$dmitancias mutuas de nodo:
Y 12=− y
1+2 ( 0 )+1 ( 0)=−0.2 [simmens]
Y 13=− y2+2
(0
)+1
(0
)=−0.2
[simmens]
Y 23=0+2 ( 0 )+1 ( y4−5 )=−0.00338 j [simmens]
&istema de ecuaciones
Y 11u
1+Y
12u
2+Y
13u
3=− I fc
Y 21u
1+Y
22u
2+Y
23u
3=0
Y 31 u1+Y 32 u2+Y 33 u3=0
( 0.4047−0.0305 j )u1+(−0.2 ) u
2+(−0.2)u
3=−(
−5
√ 2∠0° )
(−0.2 )u1+( 0.2−0.01689 j )u
2+(−0.00338 j)u
3=0
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
8/24
(−0.2)u1+(−0.00338 j )u
2+(0.2−0.05067 j )u
3=0
&olucionando el sistema de ecuaciones:
u1=34.311∠78.579 °
u2=34.047∠84.315 °
u3=33.209∠93.754 °
Voltajes:
V fc=34.311∠78.579°
V y 4=34.047∠84.315°
V y 5=33.209∠93.754 °
V y 1=34.311∠78.579 °−34.047∠84.315°=3.4302∠−4.1475°
V y 2=34.311∠78.579°−33.209∠93.754 °=8.9816∠3.1517 °
Ejercicio :
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
9/24
Diagrama original:
Diagrama de admitancias:
Cálculos:
Vfv=5
√ 2∟0° [V ]
Invertancias:
Γ kl=(−1)l+k cof Lkl
∆ Lkl
∆ Lkl=| L11 L12 L21 L
22|=| 8 −1−1 2 | x10−3
∆ Lkl=15[mHy ]2
L11=8X10-3 Hy
L22=2X10-3 Hy
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
10/24
L12=-1X10-3 Hy
Γ11=13333 Hy-1
Γ22=!3333 Hy-1
Γ12="""" Hy
-1
Γ33=120#8 Hy-1
Admitancias
y1=15+ j ( ( 102 )−133.3310 )=15+6.66 j [simmens ]
y2=40+ j(−533.3310 )=40−53.33 j [ simmens ]
y3=20+ j ( ( 52 )−120.4010 )=20+37.95 j [simmens ]
y12=(− j 66.6610 )=−6.66 j [simmens ]
Admitancias propias de nodo
Y 11= y
1+2 ( 0 )=15+6.66 j [ simmens ]
Y 22= y
2+ y
3+2( 0 )=60−15.38 j [simmens]
Y 12=0+2 ( 0 )+1 (+ y12)=−6.66 j [simmes ]
$istema de ecuaciones
Y 11!
1+Y
12!
1=
5
√ 2∟0°
Y 21! 1+Y 22! 2=0
(15+6.66 j )! 1+(−6.66 j )!
2=
5
√ 2∟ 0°
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
11/24
(−6.66 j )! 1+(60−15.38 j )! 2=0
Los va%ores de & son:
! 1=0.2677−0.1166 j
√ 2=.2064 ∟−23.53 ° [V ]
! 2=
0.00500+0.031 j
√ 2=0.222∟80.83 ° [V ]
Vo%ta'es de cada e%emento:
Vy1= &1¿ .2064 ∟−23.53 ° [V ]
Vy2= &2¿0.022∟80.83° [V ]
Vfc= &1¿0.2064 ∟−23.53 ° [V ]
Vy3= &2¿0.0222∟80.83° [V ]
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
12/24
Ejercicio ':
Diagrama original:
Diagrama de admitancias:
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
13/24
Cálculos:
()c=5
√ 2∟ 0 ° [ " ]
Γ kl=(−1)l+k
cof Lkl
∆ Lkl
∆ Lkl=| 8 −4 0−4 8.3 2
0 2 2| x 10−3
∆ Lkl=6.881 0−8[ Hy]3
Γ11=18313 Hy-1
Γ12=11"28 Hy-1
Γ13=-11"28 Hy-1
Γ22=232!"Hy-1
Γ23=-232!" Hy-1
Γ33=*32!" Hy-1
Admitancias:
y1=15+ j (10 2−
183.13
10)=15+1.68 j [simmens]
y2=15+ j (10 2−232.5610 )=15−3.255 j [simmens]
y3=40
+ j(−732.56
10
)=40
−73.26
j [simmens]
y4= j(105− 1108.31 0−3 )=37.95 j [simmens]
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
14/24
y5= j(
1
108.310−3 )=−12.05 j [simmens ]
y12=−11.63 j [simmens ]
y13=11.63 j [simmens]
y23=23.26[ simmens]
Admitancias propias de nodo:
Y 11= y
2+ y
1+2 (+ y12 )=30−24.58 j [simmens]
Y 22= y
3+ y
4+ y
5+ y
2+2 (− y23)=55−97.133 j [simmens]
Admitancias mutuas de nodo:
Y 12=− y
2+2 ( 0 )+1 (− y12+ y23+ y13 )=−15+49.77 j [simmens ]
+cuaciones:
Y 11!
1+Y
12!
2=− I#c
Y 21!
1+Y
22!
2=0
$ustituyendo %os va%ores de %as admitancias:
( 30−24.58 j )! 1+(−15+49.77 j )!
2=+5
√ 2∟0°
(−15+49.77 j)! 1+(55−97.135 j )! 2=0
Los va%ores de & son:
! 1=
0.1766+0.00270 j
√ 2=0.1248 ∟ 0.87 ° [V ]
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
15/24
! 2=
0.0805−0.01692 j
√ 20.058∟−11.87°[V ]
A,ora ue conocemos %os vo%ta'es. procedemos a ca%cu%ar e% vo%ta'e de cadae%emento:
Vfc=&1¿0.1248 ∟0.87 ° [V ]
V/1= &1¿0.1248∟0.87 ° [V ]
V/3=V/#=V/!=&2¿0.0581 ∟−11.87 ° [V ]
V/#=&1 &2¿
0.176620
√ 2∟0.87 °−
0.082258
√ 2∟−11.87 °=0.0693 ∟11.52 ° [V ]
Ejercicio (:
Diagrama original:
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
16/24
Diagrama de admitancias:
Cálculos:
#nvertancias
L1=8 x10−3[ Hy]
L2=5 x10−3[ Hy]
L1−2=2 x 10−3[ Hy ]
L3=3 x10−3[ Hy]
L4=8 x 10−3[ Hy]
L3−4=1 x 10−3 [ Hy ]
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
17/24
∆ L12=| L11 L12 L
21 L
22|=|8 22 5| x10−3
∆ L12=36 [mHy ]2
Γ 11=(−1)2∗5 x10−3
36 x 10−6 =138.88 [ Hy ]
−1
Γ 22=(−1)4∗8 x 10−3
36 x10−6 =222.22[ Hy ]
−1
Γ 12=(−1)3∗2 x 10−3
36 x 10−6 =−55.55 [ Hy ]
−1
∆ L34=| L33 L34 L
43 L
44|=|3 11 8| x 10−3
∆ Lkl=23[mHy ]2
Γ 33=(−1)6∗8 x10−3
23 x10−6 =347.82[ Hy]
−1
Γ 44=(−1)8∗3 x 10−3
23 x 10−6 =130.43[ Hy ]
−1
Γ 34=(−1)7∗1 x 10−3
23 x 10−6 =−43.47 [ Hy ]
−1
$dmitancias
y1=G+ j(ωC −
Γ
ω)
y1=15+ j ((10∗2)−138.8810 ) =1()6.112j
y2=G+ j(
− Γ ω )
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
18/24
y2=40+ j(−222.2210 ) = '*+22.22j
y3=G+ j(ωC −
Γ
ω)
y3=20+ j ((10∗5)−347.8210 ) = 2*)1(.21,j
y4=G+ j (ωC −
Γ
ω)
y4=15+ j((10∗2)−130.43 x10
−3
10 ) = 1()6.-(j
y12= j(
− Γ ω )
y12= j(−−55.5510 ) = (.((j
y34= j (
− Γ ω )
y34= j (−−
43.4710 ) = '.'j
$dmitancias %ro%ias de nodo
Y 11= y
1+2 ( 0 )=15+6.112 j [ simmens]
Y 22= y
2+ y
3+2( 0 )=60−7.002 j [simmens]
Y 33= y
4+2 ( 0)=13+6.95 j [simmens ]
Y 12= y
12=5.55 j [simmens ]
Y 13=0 [simmens ]
Y 23= y
34=4.347 j [simmens ]
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
19/24
Voltajes
V fc=u1
V f$=u3
V y 1=u1
V y 2=u2
V y 3=u2
V y 4=u3
&istema de ecuaciones
Y 11u
1+Y
12u
2+Y
13u
3=− I fc
Y 21u
1+Y
22u
2+Y
23u
3=0
Y 31
u1+Y
32u
2+Y
33u
3=− I f$
( 15+6.112 j )u1+( 5.55 j )u
2+(0)u
3=−(
−5
√ 2∠0 °)
( 5.55 )u1+ ( 60−7.002 j )u2+(4.34 j )u3=0
( 0)u1+( 4.34 j )u
2+(15+6.95 j )u
3= I f$
u3=
2
√ 2∠0 °
(4.34 j )u3=(4.34 j )∗( 2√ 2∠0 ° )=
8.68 j
√ 2
( 15+6.95 j )u3=( 15+6.95 j )∗( 2√ 2∠0°)=
30+13.9 j
√ 2
&istema de ecuaciones:
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
20/24
( 15+6.112 j )u1+( 5.55 j )u
2+(0)u
3=−(
−5
√ 2∠0 °)
( 5.55 )u1+ ( 60−7.002 j )u
2+0=
−8.68 j
√ 2
( 0)u1+( 4.34 j )u
2− I f$=
−30+13.9 j
√ 2
(15+6.112 j 5.55 j 0−5.55 j 60−7.002 j 00 4.34 j −1)=−973.59−261.69 j
( 5
√ 2−5.55 j 0
−8.68 j
√ 260−7.002 j 0
−30+13.9 j√ 2
4.34 j −1)△
=0.229460−0.08710
u1=.24544∠−20.787 °
(15+6.112 j
5
√ 20
−5.55 j −8.68 j
√ 20
0 −30+13.9 j
√ 2−1)
△=.080920∠−77.668°=u
2
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
21/24
(
15+6.112 j −5.55 j 5
√ 2
−5.55 j 60−7.002 j −8.68 j
√ 2
0 4.34 j −30+13.9 j
√ 2
)△=23.723∠24.676 °= I f$
Voltajes:
V fc=24544∠−20.787 °
V f$= 2
√ 2∠0°
V y 1=24544∠−20.787 °
V y 2=.080920∠−77.668 °
V y 3=.080920∠−77.668 °
V y 4= 2
√ 2∠0°
Circuito 6:
Cálculos:
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
22/24
Vfv=5
√ 2∟0° [V ]
%=2
πf =2
π 318.35
=2000
H&
(mpedancias de% circuito:
' 1=2+ j ( 2000210−3 )=2+4 j [()ms ]
' 2=2+ j ( 2000110−3 )=2+2 j [()ms ]
' 3= j( −1
2000 .2510−3 )=−2 j [()ms ]
' 4=4 [()ms]
' 5=1[()ms ]
Admitancias:
y1=
1
' 1
=0.1−0.2 j [simmens]
y2=
1
' 2
=0.25−0.25 j [simmens]
y3=
1
' 3
=0.5 j [simmens ]
y4=
1
' 4
=0.25 [simmens ]
y5=
1
' 5
=1[simmens ]
+% vo%ta'e da cada uno es:
Vfv= !
1=
5
√ 2∟0° [V ]
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
23/24
Vy#=&2
Vy!=&3
ero saemos ue e% vo%ta'e en e%ementos en para%e%o es e% mismo. por %o tanto:
Vfv= &1 =&2 =&3=5
√ 2∟ 0 °[V ]
Admitancias propias de nodo:
Y 11= y
2+ y
1+2 ( 0 )=0.35−0.45 j [simmens]
Y 22= y
3+ y
4+ y
1+2 ( 0 )=0.35−0.3 j [simmens]
Y 33= y
5+ y
3+ y
2+2( 0 )=01.25+0.25 j [simmens]
Admitancias mutuas de nodo:
Y 12=− y
1+2 ( 0 )+1 ( 0)=−0.1+0.2 j [simmens ]
Y 13=− y
2+2( 0 )+1 ( 0)=−0.25+0.25 j [simmens ]
Y 23=− y3+2( 0 )+1 ( 0 )=−0.5 j [simmens ]
+cuaciones:
Y 11!
1+Y
12!
2+Y
13!
3= I#$
Y 21
! 1+Y
22!
2+Y
23!
3=0
Y 31!
1+Y
32!
2+Y
33!
3=0
omo so%o tenemos una inc45nita. so%o uti%i6amos %a ecuaci4n 1:
Y 11!
1+Y
12!
2+Y
13!
3= I#$
(0.35−0.45 j)( 5
√ 2)+(−0.1+0.2 j)(
5
√ 2)+(−0.25+0.25 j )(
5
√ 2)= I#$
8/18/2019 Ejercicios de nodos Esime zac
24/24
0= I#$
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