Download - Einf uhrung & Konvexe H ulle - ITI Algorithmik Ia) Die konvexe H ulle CH (P ) enth alt alle Punkte aus P . Mathematik: CH(P ) = \ C P : C konvex C b) Schnitt zweier konvexen Mengen

$: Einf uhrung & Konvexe H ulle - ITI Algorithmik Ia) Die konvexe H ulle CH (P ) enth alt alle Punkte aus P . Mathematik: CH(P ) = \ C P : C konvex C b) Schnitt zweier konvexen Mengen$
Andreas Gemsa · Ubung Algorithmische Geometrie

Andreas Gemsa

Ubung Algorithmische Geometrie

LEHRSTUHL FUR ALGORITHMIK I · INSTITUT FUR THEORETISCHE INFORMATIK · FAKULTAT FUR INFORMATIK

Einfuhrung & Konvexe Hulle

21.04.2011


AlgoGeom-Team

Martin [email protected]

Raum 319Sprechzeiten: Termin per Mail vereinbaren

Dozent

Ubungsleiter

Andreas [email protected]

Raum 322Sprechzeiten: Termin per Mail vereinbaren

TermineVorlesung: Di 9:45 – 11:15 Uhr, Raum 131Ubung: Do 10:15 – 11:00 Uhr, Raum 131 (ab 21.04.)


Ubungsbetrieb

Ausgabe Blatt 1for Woche i = 2 . . . 14 do

if Tag == Dienstag thenAusgabe Blatt iAbgabe Blatt (i− 1)

if Tag == Donnerstag & !isFeiertag(Tag) thenBesprechung Blatt (i− 1)

Bearbeitung der Aufgaben und Abgabe der Losungen inZweiergruppen erwunschtUbung wochentlich 45 Minutenabweichende Regelung an FeiertagenAchtung: erste Ubung am 21.04. in Raum −118


Ablauf

Besprechung UB1EinstiegGrundlegendesOptimalitat!

Kontextsensitiver Algorithmus

Optimalitat?!


Fragen

Fragen zur Vorlesung

Fragen zum Ablauf der Ubung

AlgorithmenLaufzeiten...

...

Einfuhrung & Konvexe Hulle


Ubungsblatt 1 - Aufgabe 1 - a)

Gerichtete Gerade g durch p = (px, py) und q = (qx, qy)

Punkt r = (rx, ry)



A =

1 px py1 qx qy1 rx ry


Punkt r = (rx, ry)



A =



Punkt r = (rx, ry)

Beweise: Vorzeichen von det(A) zeigt an ob r linksoder rechts von g liegt.


Aufgabe 1 - a)


Aufgabe 1 - a)

p

q


Aufgabe 1 - a)

p

qr


Aufgabe 1 - a)

p

qr

rp =

(rx − pxry − py

)


Aufgabe 1 - a)

p

qr

npq =

(py − qyqx − px

)rp =

(rx − pxry − py

)

rp · npq = det(A)


Aufgabe 1 - a)

A =



Punkt r = (rx, ry)



Aufgabe 1 - a)

A =



Punkt r = (rx, ry)


+ b)

Beweise: |det(A)| = doppelter Flacheninhalt desDreiecks pqr


Aufgabe 1 - b)

p

q

r


Aufgabe 1 - b)

p

q

r

Apqr = |pq| · hh


Aufgabe 1 - b)

p

q

r

Apqr = |pq| · hhϕ


Aufgabe 1 - b)

p

q

r

Apqr = |pq| · hhϕ

ϕ


Aufgabe 1 - a)

A =



Punkt r = (rx, ry)


+ b)

Beweise: |det(A)| = doppelter Flacheninhalt desDreiecks pqr


Aufgabe 2Lemma:Fur eine endliche Punktmenge P ⊆ R2

ist CH(P ) ein konvexes Polygon, das Penthalt und dessen Ecken in P liegen.




Mathematik: CH(P ) =⋂

C⊇P : C konvex

C




a) Die konvexe Hulle CH(P ) enthalt alle Punkte aus P .


C⊇P : C konvex

C






C⊇P : C konvex

C

b) Schnitt zweier konvexen Mengen ist konvex.

Def: Eine Menge P ⊆ R2 heißt konvex, wenn fur je zweiPunkte p, q ∈ P auch gilt pq ∈ P .






C⊇P : C konvex

C







C⊇P : C konvex

C


c) CH(P ) ist ein Polygon.






C⊇P : C konvex

C


c) CH(P ) ist ein Polygon.

d) Alle Ecken von CH(P ) liegen in P.


Aufgabe 3

a) Berechnung konvexer Hulle benotigt Ω(n log n).


Aufgabe 3


b) Gegeben: einfaches [nicht notwendigerweise kovexes]Polygon. Konstruiere daraus in O(n) seine konvexe Hulle.Warum ist das kein Widerspruch zu a) ?


Aufgabe 3


b) Gegeben: einfaches [nicht notwendigerweise kovexes]Polygon. Konstruiere daraus in O(n) seine konvexe Hulle.Warum ist das kein Widerspruch zu a) ?

UpperConvexHull(P )

〈p1, p2, . . . , pn〉 ← sortiere P von links nach rechtsL← 〈p1, p2〉for i← 3 to n do

L.append(pi)while |L| > 2 and letzte 3 Punkte in L kein Rechtsknick do

entferne vorletzten Punkt aus L

return L



GiftWrapping(P )

p0 = (0,∞), p1 = linkester Knoten in Pwhile true do

Berechne pk+1 ∈ P der den Winkel pj−1pjqi maximiert.if pk+1 == p1 then

break

return (p1, . . . , ph)



O(n)

GiftWrapping(P )



break

return (p1, . . . , ph)



O(n)O(h)

GiftWrapping(P )



break

return (p1, . . . , ph)



O(n)O(h)

Laufzeit: O(nh)

GiftWrapping(P )



break

return (p1, . . . , ph)


Optimalitat?!

Wann ist welcher Algorithmus besser?


Optimalitat?!

Viele Punkte auf CH(P ): O(n log n)

Wenige Punkte auf CH(P ): O(nh)


Graham Scan

Gift Wrapping


Optimalitat?!




Geht es vielleicht noch besser?

Graham Scan

Gift Wrapping


Optimalitat?!




Geht es vielleicht noch besser?

ja

Graham Scan

Gift Wrapping


Chans Algorithmus

Angenommen, wir kennen h:ChanHull(P ,h)

Unterteile P in Mengen Pi mit je h Knotenfor i von 1 bis n/h do

Berechne per GrahamScan CH(Pi)

p0 = (0,∞)p1 = linkester Knoten in Pfor j von 1 bis h do

for i von 1 bis n/h doBerechne Punkt qi ∈ Pi der den Winkelpj−1pjqi maximiert.

pj+1 = maxq1, . . . , qn/hreturn (p1, . . . , ph)


Chans Algorithmus

Angenommen, wir kennen h:

Gift Wrapping

GrahamScan

ChanHull(P ,h)







Chans Algorithmus








Chans Algorithmus







O(h log h)


Chans Algorithmus







O(h log h)

O(n/h)


Chans Algorithmus







O(h log h)

O(n/h)

O(n

logh

)


Chans Algorithmus

O(logm)







O(h log h)

O(n/h)

O(n

logh

)


Chans Algorithmus

O(logm)







O(h log h)

O(n/h)

O(n

logh

)

O(h) · O(n/h) = O(n)


Chans Algorithmus

O(logm)







O(h log h)

O(n/h)

O(n

logh

)

O(h) · O(n/h) = O(n)

O(n

logh

)


Chans Algorithmus

O(logm)







O(h log h)

O(n/h)

O(n

logh

)

O(h) · O(n/h) = O(n)

O(n

logh

)

O(n log h)


Chans Algorithmus

O(logm)

ChanHull(P ,h)






O(h log h)

O(n/h)

O(n

logh

)

O(h) · O(n/h) = O(n)

O(n

logh

)

Im Allgemeinen ist h aber unbekannt.


Chans Algorithmus

O(logm)

ChanHull(P ,h)






O(h log h)

O(n/h)

O(n

logh

)

O(h) · O(n/h) = O(n)

O(n

logh

)

Im Allgemeinen ist h aber unbekannt.m


Chans Algorithmus

Im Allgemeinen ist h aber unbekannt.ChanHull(P ,m)

Unterteile P in Mengen Pi mit je m Knotenfor i von 1 bis n/m do


p0 = (0,−∞)p1 = linkester Knoten au Pfor j von 1 bis m do

for i von 1 bis n/m doBerechne Punkt qi ∈ Pi der den Winkelpj−1pjqi maximiert.

pj+1 = maxq1, . . . , qn/mreturn (p1, . . . , pm)

O(m logm)

O(n/m)

O(n

logm

)

O(logm)

O(m) · O(n/m) = O(n)

O(n

logm

)

O(n logm)


Chans Algorithmus

ChanHull(P ,m)

Unterteile P in Mengen Pi mit je m Knoten...p0 = (0,−∞)p1 = linkester Knoten au Pfor j von 1 bis m do


pj+1 = maxq1, . . . , qn/mif pj+1 == p1 then

return (p1, . . . , pj)

return failure

O(n

logm

)

O(log h)

O(m) · O(n/m) = O(n)

O(n

logm

)



Chans Algorithmus

ChanHull(P ,m)

Unterteile P in Mengen Pi mit je m Knoten...p0 = (0,−∞)p1 = linkester Knoten au Pfor j von 1 bis m do


pj+1 = maxq1, . . . , qn/mif pj+1 == p1 then

return (p1, . . . , pj)

return failure

O(n

logm

)

O(log h)

O(m) · O(n/m) = O(n)

O(n

logm

)


O(n logm)


Was ist mit m?

Vorschlage?


Was ist mit m?

FullChanHull(P )

for t = 0, 1, 2, . . . do

m = minn, 22tresult = ChanHull(P , m)if result != failure then

break

return result


Was ist mit m?

FullChanHull(P )

for t = 0, 1, 2, . . . do


break

return result

Laufzeit:

O(n logm) =O(n log 22

t)


Was ist mit m?

FullChanHull(P )

for t = 0, 1, 2, . . . do


break

return result

Laufzeit:


t)

?∑t=0

O(n log 22t)


Was ist mit m?

FullChanHull(P )

for t = 0, 1, 2, . . . do


break

return result

Laufzeit:


t)

O(log log h)∑t=0

O(n log 22t)


Was ist mit m?

FullChanHull(P )

for t = 0, 1, 2, . . . do


break

return result

Laufzeit:


t)

O(log log h)∑t=0

O(n log 22t) = O(n)

O(log log h)∑t=0

O(2t)


Was ist mit m?

FullChanHull(P )

for t = 0, 1, 2, . . . do


break

return result

Laufzeit:


t)

O(log log h)∑t=0

O(n log 22t) = O(n)

O(log log h)∑t=0

O(2t)

= O(n) · O(2log log h+1)


Was ist mit m?

FullChanHull(P )

for t = 0, 1, 2, . . . do


break

return result

Laufzeit:


t)

O(log log h)∑t=0

O(n log 22t) = O(n)

O(log log h)∑t=0

O(2t)

= O(n) · O(2log log h+1) = O(n) · O(2log log h)


Was ist mit m?

FullChanHull(P )

for t = 0, 1, 2, . . . do


break

return result

Laufzeit:


t)

O(log log h)∑t=0

O(n log 22t) = O(n)

O(log log h)∑t=0

O(2t)

= O(n) · O(2log log h+1) = O(n) · O(2log log h)= O(n) · O(log h)


Was ist mit m?

FullChanHull(P )

for t = 0, 1, 2, . . . do


break

return result

Laufzeit:


t)

O(log log h)∑t=0

O(n log 22t) = O(n)

O(log log h)∑t=0

O(2t)

= O(n) · O(2log log h+1) = O(n) · O(2log log h)= O(n) · O(log h) = O(n log h)


Das war’s!

Nachster Termin:Donnerstag, 28.04, 10:15 Uhr

SegmentschnitteRaum 131, Gebaude 50.34

Fragen?