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5/24/2018 Ecuaciones Homogeneas y Reducibles a Estas

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ECUACIONES ORDINARIAS HOMOGNEAS

MATEMTICA II Pgina 1

DE L PROMOCIN DE L INDUSTRIRESPONS BLE Y DEL COMPROMISO CLIMTICO

UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO

FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA AGRICOLA

CURSO : MATEMATICA II

TEMA : ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS Y

REDUCIBLES A ESTAS.

INTEGRANTES: - AQUINO CHVEZ JHONSTON

- ONCOY LAZO DANNY

- CHACPI CERNA ANDREY

DOCENTE: MINAYA SALINAS OSCAR SEGUNDO

CICLO : III

FECHA : 09/04/2014

ANCASH-HUARAZ
http://www.primerapaginaperu.com/article/ancash/296/


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INDICE:

Presentacin pg. 2

A) Ecuaciones homogneas pg. 3

A.1) Funcin Homognea pg. 3

A.2) Definicin de Ecuacin Diferencial Homognea pg. 4

A.3) Ejercicios Desarrollados pg. 6

A.4) Problemas Propuestos pg. 9

B) Reduccin a ecuaciones diferenciales homogneas pg.10

B.1) Ejercicios resueltos pg. 10

B.2) Ejercicios propuestos pg.19

C) Bibliografa Pg.20


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PRESENTACIN

El presente trabajo consta de dos secciones, en la primera se desarrolla sobre las ecuaciones

diferenciales homogneas y la solucin a estas, para ello luego se presentan ejercicios

resueltos ilustrando el procedimiento de resolucin, finalmente se presenta ejercicios

propuestos para que el lector pueda practicar y familiarizarse con el tema presentado.

En la segunda seccin se desarrolla sobre las ecuaciones reducibles a homogneas, para ello

se utiliza la misma metodologa de la primera seccin (se presentan ejercicios resueltos ypropuestos).


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A) ECUACIONES HOMOGNEAS

Ciertas ecuaciones diferenciales de primer orden no son separables, pero pueden llevarse a

esa forma mediante un sencillo cambio de variable. Esta afirmacin se cumple para

ecuaciones diferenciales de la forma:

(1)(Donde f es una funcin cualquiera dada de

) o bien reducible a ella, se llama ecuacinhomognea. As por ejemplo: ,al escribir en la forma:

=>

resulta claramente de este tipo y es, por definicin, homognea. Antes de discutir la

ecuacin (1) enunciemos, previamente, algunas definiciones y teoremas importantes.

A.1) FUNCIN HOMOGNEA

DEFINICIN: Una funcin f(x,y) es homognea de grado n en sus argumentos si se

cumple la identidad f(tx,ty) tn

f(x,y) (1)

Es decir que una expresin homognea de grado n-simo en x e y es una expresin tal que

si se sustituye en ella xe ypor tx y ty resulta la expresin original multiplicada por tn.

Por ejemplo f(x,y) = 2x2-xy es homognea en x e y, ya que se tiene que

, es decir f es una funcin homognea degrado 2.En general, cualquier polinomio cuyos trminos (monomios) sean del mismo grado en x ey, es homogneo. As, es homognea en xe y, puesto que:F(tx,ty) = a+b(tx)(ty) + c Obsrvese que cualquier funcin de y/x es homognea de grado 0, pues evidentemente

Por ejemplo: si , entonces:


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TEOREMA: es homognea y de grado n, se verifica que:(xfx + yfy +zfz + )= nf(x, y, z, )

Este teorema, sobre funciones homogneas se debe a Euler y lleva su nombre.

A partir de la definicin; expresin (1), podemos obtener una relacin bastante interesante,

haciendo uso la sustitucin , es decir, si f es una funcin homognea, de grado n,entonces:

Demostracin: si f es una funcin homognea de grado n, entonces:

Hagamos que: Reemplazando (1) y (2) en (I): Es decir que: , si f es homognea de grado n(II)A.2) DEFINICIN DE ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA: una ecuacindiferencial: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (III)

Es homognea en x e y si M y N son funciones homogneas del mismo grado en x e y.

Por ejemplo: es homognea de segundo grado, porque al expresar enforma equivalente la ecuacin dada, resultara que: , donde: O sea M y N son funciones homogneas del mismo grado.

Ahora bien, como, segn (I), y/x desempea un papel importante en una expresinhomognea, es de esperar que la sustitucin:

Resulte el cambio de variable adecuado para resolver una ecuacin homognea. Vamos a

probar, ahora, que la sustitucin (3) en una ecuacin homognea de primer orden y de


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primer grado conduce a una ecuacin del tipo de variables separables. Supongamos que la

ecuacin diferencial homognea (III) sea de grado n, entonces teniendo en cuenta (II)

logramos que:

y

Luego, si: , entonces: De (3): [ ( )] =>

Expresin en la que se encuentran las variables separadas y se har la sustitucin (3)

siempre y cuando la expresin N sea ms sencilla que M cuya solucin se obtiene entoncespor integracin

(*)

OBERVACIN: En lugar de la sustitucin (3) podemos utilizar el cambio de variablesiguiente: Se har este cambio cuando al tratar de resolver (III), M es ms simple que N.

Demostracin: Como: Hagamos que:

(

) =>

()

Reemplazando () y () en (I): Luego si: son funciones homogneas de grado n, entonces: y Como: => + (7)(5) en (7):

Expresin en la que se encuentran las variables separadas; y cuya solucin se logra por

integracin de (8):


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Ejemplo:las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias son homogneas.

1. 2. ( ) 3. 4. A.3) EJERCICIOS DESARROLLADOS:

1. Resolver: (I)Hagamos: , entonces: (1) Y (2) en (I): => 2.- Resolver:

Solucin:podemos expresar que (II)Ecuacin que es homognea, luego hagamos: De (I) y (II):


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3.- Resolver: Solucin:

Sea:

, luego la ecuacin resultar:

=> => =>

4.- Prubese que si cambia a coordenadas polares una ecuacin homognea (es decir,hacemos en ella , las variables quedan separadas en laecuacin resultante.

Solucin: sea , la ecuacin dada, luego si es homogneatendremos que: (1)Si: (2) y (3) en (1): =>

Ecuacin en la que estn separadas las variables y cuya solucin la obtenemos por

integracin directa.

5.- Resolver: ()Solucin: Apreciando la ecuacin propuesta, vemos algunos trminos que nos indica autilizar coordenadas polares, donde:

(1) => {


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=> ( => => =>

=> => => * +


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A.4) PROBLEMAS PROPUESTOS:

1.-

2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- ( )8.- 9. 10.-


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B) ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCTIBLES A HOMOGNEAS:

Una transformacin especial x =

o y =

, cambio que permite transformar algunas

ecuaciones diferenciales a ecuaciones homogneas as por ejemplo:

B.1) Ejercicios resueltos:

Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes:

a.- (y + y ) dx + 2xdy = 0Sol:

Hagamos x = , dx = , donde por ahora es un nmero arbitrario que se elegira continuacin. Sustituyendo x y dx en la ecuacin dada, por sus expresiones, obtenemos,

si:

(y + y ) dx + 2xdy = 0 (y + y )+ 2dy = 0 ( ) 2dy = 0..(1)Y para que la ecuacin (1) sea homognea debe cumplirse que = , donde:Si: N(x, y) = 2= Si: M(x,y)= ( ), entonces el grado de Es 1+ 1 = , adems para su grado ser: = = , (para que (1) sea homognea) = -2De (1) : ( ) 2dy = 0.(2)Ecuacin que resulta homognea, hagamos entonces: y = vz..(3)

(3) en (2): -(v

+

)dz +

(vdz + zdv) = 0

: -(v + )dz + vdz + zdv = 0 -( )dz + zdy = 0 = 0 * que al integrar resulta:-Lnz +

= C


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( = C( 1 = Tal que: z = y v = = y - 1 =

b.- 2(y + dx + dx = 0Sol:

Si: 2(y + dx + dx = 0, siendo x = 2(y + )dz + dy = 0

2

(

y +

)dz +

dy = 0 (1)

Si esta ecuacin debe ser homognea, entonces:

3- 1 + 1 = = = = 3 =- .(2)De (1): - ( )dz + dy = 0Hagamos: y = vz ( )dz + (vdz+ zdv) = 0Obs: *

=

=

2

dv = tdt

-(v + )dz + vdz + zdv = 0(- )dz + zdv = 0 - + = 0 = LnC = Cz .(3)Donde: x = = y v = = y

De (3):

y +

= C

c.- 4dy + (3 )dy = 0Sol:

Si: 4ydx + (3 )dy = 0 (1)Hagamos: y = y dy = dz (2)


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(2) en (1): 4xdx + (3 )dz = 0 4xdx + (3 )dz = 0 ..(3)

Grado: 1 + 2

= 2 + 2

1 =

1

= 2

De (3): 4xdx - 2(3 )dz = 0 2xzdx(3- )dz = 0 (4)Sea: x = vz y dx = vdz + zdv (5)

(5) en (4): 2v(vdz + zdv) (3 )dz = 0 dz +2vdv = 0(1-)dz + 2vzdv = 0 + = 0

|| |

|= |C|

z = C (

)

De (5) : v = , de (2): z = = C(1-) y = d.- Hallar la ecuacin de la curva, tal que el rea acotada por la curva, el eje x, unaordenada fija y otra variable, sea igual al cuadrado de la diferencia de lascoordenadas de un punto arbitrario de la curva.

Sea (a,b) el punto de ordenada fija y P(x,y)

el punto variable arbitrario; luego, segn el

enunciado tenemos: = : y = 2(y - x)(y - 1)y = 2(y - x)y 2(y - x)

y =

.(1) (Ecuacin diferencial homognea)

Hagamos: y = vx y = v + xv = = xv = -v + = - =

= - 2 dv = -


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* +dv = - * += -Lnx + (2v - 1) = C = C (2y - x) = C

e.- (x4y - 9)dx + (4x + y - 2)dy = 0

sol:

Sea , como y para esto resolvemos el sistema: x = 1, y = -2, es decir: P (1,-2)Consideramos: x = z + h, y = + k de dondeX = z + 1, y = 2, adems dx = dz, dy =Reemplazando en la ecuacin diferencial dada: (z - 4)dz + (4z +)d= 0 ..(1)Que es una Ecuacin diferencial homognea.

Sea z = u

dz = ud

+

du .....(2)

Reemplazando (2) en (1) y simplificando se tiene:

( )+ (u - 4)du = 0 , separando la variable + du = 0, integrando + = C Ln( )8 arctg(u) = k ..(3)Como: z= uv u = = , reemplazando en (3)Ln[ 8artg() = k


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f.-

=

sol:

Sea , como , entonces: y para esto resolvemos el sistema: x = 2, y = 1, es decir: P (2,1)Consideramos x = z + 2 y y = + 1, dx = dz, dy = d ..(1)A la ecuacin diferencial dada expresaremos asi:

(x + 3y - 5)dx(xy - 1)dy = 0 ..(2)

Reemplazando (1) en (2) y simplificando: (z + 3)dz(z -)d= 0 .(3)Es una ecuacin diferencial homognea:

Sea = uz d= udz + zdu, de donde al reemplazar en (3) y separando la variable, se tiene:

+

= 0, integrando:

+ = k LnC(x + y -3) = -2( ) SOLUCIN

Sea , Reemplazando en la ecuacin dada

(1)Para que la ecuacin (1) sea homognea debe cumplir


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Como (2)Reemplazando (2) en (1) y simplificando se tiene: (3)Que es una ecuacin diferencial homognea

Sea (4)Reemplazando (4) en (3) simplificando y separando la variable

, integrando Como , se tiene h.- SOLUCIN

Sea , respectivamente en la ecuacin diferencial dada se tiene: (1)Que es una ecuacin diferencial homognea

Sea

(2)

Reemplazando (2) en (1), simplificando y separando la variable se tiene:

, integrando de donde i.- Determinar la ecuacin de una curva que pasa por el punto (1,0) tal que si por unpunto cualquiera de ella se traza la tangente geomtrica y por el origen decoordenadas se traza una perpendicular a esta tangente, la corta en el punto T, de tal

manera que OT siempre es igual a la abscisa del puntode tangencia. El origen de coordenadas es O.

SOLUCIN

Sea ... (1)


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La ecuacin de la recta tangente a la curva C en el punto y A el intercepto de estarecta con el eje X, luego:

(1)Ntese que y

Luego , lo cual concuerda con la expresin (1) y el dibujo.

En OTA: (2)Dnde: y , luego, de (1) y (2) se logra:(1) en (2): (1) Ecuaciones HomogneasSea:

Entonces de (1):

C

j.- Sea C una curva creciente ubicada en el primer cuadrante, que pasa por el punto()y tal que verifica la siguiente ecuacin:


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si Q es el punto de interseccin del eje de las coordenadas, con la recta normal a C en C, entonces la longitud del segmento OQ (O es el origen de coordenadas)esigual a la distancia de P al origen de coordenadas.

Hallar la curva C.

SOLUCION

Por dato: OP = OQ

(1)

LN:

...(2)

(2) en (1):

Como C es creciente (en el IC), entonces , luego:

(3) (4) (5)(5) y (4) en (3)


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De (4):

( ) C, entonces, de (6): Como C es creciente, debemos elegir , luego, de (6):


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B.2) Ejercicios propuestos

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

| | | |


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C) BIBLIOGRAFA:

Eduardo Espinoza Ramos/ecuaciones diferenciales/ 1ra edicin-impreso en Lima. Carlos Armbulo Ostos/ ecuaciones diferenciales/ 1ra edicin/ impreso en Lima-

1981.