2. SPTIMA EDICIN ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas con
valores en la frontera 08367_00_frontmatter.indd
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4. SPTIMA EDICIN ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas con
valores en la frontera DENNIS G. ZILL Loyola Marymount University
MICHAEL R. CULLEN Late of Loyola Marymount University TRADUCCIN
Dra. Ana Elizabeth Garca Hernndez Universidad La Salle Morelia
REVISIN TCNICA Dr. Ernesto Filio Lpez Unidad Profesional
Interdisciplinaria en Ingeniera y Tecnologas Avanzadas Instituto
Politcnico Nacional Australia Brasil Corea Espaa Estados Unidos
Japn Mxico Reino Unido Singapur 08367_00_frontmatter.indd
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5. Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la
frontera Sptima edicin Dennis G. Zill y Michael R. Cullen
Presidente de Cengage Learning Latinoamrica: Javier Arellano
Gutirrez Director general Mxico y Centroamrica: Pedro Turbay
Garrido Director editorial Latinoamrica: Jos Toms Prez Bonilla
Director de produccin: Ral D. Zendejas Espejel Cordinadora
editorial: Mara Rosas Lpez Editor: Sergio R. Cervantes Gonzlez
Editora de produccin: Abril Vega Orozco Ilustrador: Jade Myers,
Matrix Diseo de portada: Grupo Insigne OTA, S.A de C.V. Imagen de
portada: Photos.com Composicin tipogrfica: EDITEC S.A. de C.V. D.R.
2009 por Cengage Learning Editores, S. A. de C. V., una Compaa de
Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe nm. 505,
piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, Mxico, D.F. Cengage
Learning es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS
RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley
Federal del Derecho de Autor, podr ser reproducida, transmitida,
almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya
sea grfico, electrnico o mecnico, incluyendo, pero sin limitarse a
lo siguiente: fotocopiado, reproduccin, escaneo, digitalizacin,
grabacin en audio, distribucin en internet, distribucin en redes de
informacin o almacenamiento y recopilacin en sistemas de informacin
a excepcin de lo permitido en el Captulo III, Artculo 27 de la Ley
Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de
la Editorial. Traducido del libro Differential Equations with
Boundary-Value Problems, Seventh Edition. Zill, Dennis G. and
Michael R. Cullen Publicado en ingls por Brooks & Cole /Cengage
Learning 2009 ISBN-13: 978-0-495-10836-8 ISBN-10: 0-495-10836-7
Datos para catalogacin bibliogrfica: Zill, Dennis G. y Michael R.
Cullen Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la
frontera Sptima edicin ISBN-13: 978-607-481-314-2 ISBN-10:
607-481-314-0 Visite nuestro sitio en:
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6. v CONTENIDO 1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1
Prefacio ix 1.1 Deniciones y terminologa 2 1.2 Problemas con
valores iniciales 13 1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos
matemticos 19 REPASO DEL CAPTULO 1 32 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN 34 2.1 Curvas solucin sin una solucin 35 2.1.1 Campos
direccionales 35 2.1.2 ED de primer orden autnomas 37 2.2 Variables
separables 44 2.3 Ecuaciones lineales 53 2.4 Ecuaciones exactas 62
2.5 Soluciones por sustitucin 70 2.6 Un mtodo numrico 75 REPASO DEL
CAPTULO 2 80 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN 82 3.1 Modelos lineales 83 3.2 Modelos no lineales 94 3.3
Modelado con sistemas de ED de primer orden 105 REPASO DEL CAPTULO
3 113 08367_00_frontmatter.indd v08367_00_frontmatter.indd v 6/4/09
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7. vi CONTENIDO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
117 4.1 Teora preliminar: Ecuaciones lineales 118 4.1.1 Problemas
con valores iniciales y con valores en la frontera 118 4.1.2
Ecuaciones homogneas 120 4.1.3 Ecuaciones no homogneas 125 4.2
Reduccin de orden 130 4.3 Ecuaciones lineales homogneas con
coecientes constantes 133 4.4 Coecientes indeterminados: Mtodo de
superposicin 140 4.5 Coecientes indeterminados: Mtodo del anulador
150 4.6 Variacin de parmetros 157 4.7 Ecuacin de Cauchy-Euler 162
4.8 Solucin de sistemas de ED lineales por eliminacin 169 4.9
Ecuaciones diferenciales no lineales 174 REPASO DEL CAPTULO 4 178 5
MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 181 5.1
Modelos lineales: Problemas con valores iniciales 182 5.1.1
Sistemas resorte/masa: Movimiento libre no amortiguado 182 5.1.2
Sistemas resorte/masa: Movimiento libre amortiguado 186 5.1.3
Sistemas resorte/masa: Movimiento forzado 189 5.1.4 Circuito en
serie anlogo 192 5.2 Modelos lineales: Problema con valores en la
frontera 199 5.3 Modelos no lineales 207 REPASO DEL CAPTULO 5 216
6.1 Soluciones respecto a puntos ordinarios 220 6.1.1 Repaso de
series de potencias 220 6.1.2 Soluciones en series de potencias 223
6.2 Soluciones en torno a puntos singulares 231 6.3 Funciones
especiales 241 6.3.1 Ecuacin de Bessel 241 6.3.2 Ecuacin de
Legendre 248 REPASO DEL CAPTULO 6 253 SOLUCIONES EN SERIES DE
ECUACIONES LINEALES 2196 08367_00_frontmatter.indd
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8. CONTENIDO vii 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 255 7.1 Denicin
de la transformada de Laplace 256 7.2 Transformadas inversas y
transformadas de derivadas 262 7.2.1 Transformadas inversas 262
7.2.2 Transformadas de derivadas 265 7.3 Propiedades operacionales
I 270 7.3.1 Traslacin en el eje s 271 7.3.2 Traslacin en el eje t
274 7.4 Propiedades operacionales II 282 7.4.1 Derivadas de una
transformada 282 7.4.2 Transformadas de integrales 283 7.4.3
Transformada de una funcin peridica 287 7.5 La funcin delta de
Dirac 292 7.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 295
REPASO DEL CAPTULO 7 300 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
LINEALES DE PRIMER ORDEN 303 8.1 Teora preliminar: Sistemas
lineales 304 8.2 Sistemas lineales homgeneos 311 8.2.1 Eigenvalores
reales distintos 312 8.2.2 Eigenvalores repetidos 315 8.2.3
Eigenvalores complejos 320 8.3 Sistemas lineales no homgeneos 326
8.3.1 Coecientes indeterminados 326 8.3.2 Variacin de parmetros 329
8.4 Matriz exponencial 334 REPASO DEL CAPTULO 8 337 9 SOLUCIONES
NUMRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 339 9.1 Mtodos de
Euler y anlisis de errores 340 9.2 Mtodos de Runge-Kutta 345 9.3
Mtodos multipasos 350 9.4 Ecuaciones y sistemas de orden superior
353 9.5 Problemas con valores en la frontera de segundo orden 358
REPASO DEL CAPTULO 9 362 08367_00_frontmatter.indd
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9. SISTEMAS AUTNOMOS PLANOS 363 10.1 Sistemas autnomos 364 10.2
Estabilidad de sistemas lineales 370 10.3 Linearizacin y
estabilidad local 378 10.4 Sistemas autnomos como modelos
matemticos 388 REPASO DEL CAPTULO 10 395 11 FUNCIONES ORTOGONALES Y
SERIES DE FOURIER 397 11.1 Funciones ortogonales 398 11.2 Series de
Fourier 403 11.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 408 11.4
Problema de Sturm-Liouville 416 11.5 Series de Bessel y Legendre
423 11.5.1 Serie de Fourier-Bessel 424 11.5.2 Serie de
Fourier-Legendre 427 REPASO DEL CAPTULO 11 430 12 PROBLEMAS CON
VALORES EN LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES 432 12.1
Ecuaciones diferenciales parciales separables 433 12.2 EDP clsicas
y problemas con valores en la frontera 437 12.3 Ecuacin de calor
443 12.4 Ecuacin de onda 445 12.5 Ecuacin de Laplace 450 12.6
Problemas no homogneos con valores en la frontera 455 12.7
Desarrollos en series ortogonales 461 12.8 Problemas dimensionales
de orden superior 466 REPASO DEL CAPTULO 12 469 10 viii CONTENIDO
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10. CONTENIDO ix APNDICES I Funcin gamma APE-1 II Matrices
APE-3 III Transformadas de Laplace APE-21 Respuestas a los
problemas seleccionados con numeracin impar RES-1 ndice I-1 13
PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS
471 13.1 Coordenadas polares 472 13.2 Coordenadas polares y
cilndricas 477 13.3 Coordenadas esfricas 483 REPASO DEL CAPTULO 13
486 14 TRANSFORMADA INTEGRAL 488 14.1 Funcin error 489 14.2
Transformada de Laplace 490 14.3 Integral de Fourier 498 14.4
Transformadas de Fourier 504 REPASO DEL CAPTULO 14 510 15
SOLUCIONES NUMRICAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 511 15.1
Ecuacin de Laplace 512 15.2 Ecuacin de calor 517 15.3 Ecuacin de
onda 522 REPASO DEL CAPTULO 15 526 08367_00_frontmatter.indd
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12. xi AL ESTUDIANTE Los autores de los libros viven con la
esperanza de que alguien en realidad los lea. Contrariamente a lo
que usted podra creer, casi todo texto de matemticas de nivel
universitario est escrito para usted y no para el profesor. Cierto
es que los temas cu- biertos en el texto se escogieron consultando
a los profesores, ya que ellos toman la decisin acerca de si hay
que usarlos en sus clases; pero todo lo escrito en l est dirigido
directamente al estudiante. Entonces quiero invitarle, no, en
realidad quiero decirle que lea este libro de texto! Pero no lo
haga como leera una novela; no debe leerlo rpido y no debe saltarse
nada. Piense en este como un cuaderno de ejercicios. Por eso pienso
que las matemticas siempre deberan ser ledas con lpiz y papel a la
mano porque muy probablemente, tendr que trabajar a su manera los
ejemplos y hacer el anlisis. Lea ms bien, trabaje todos los
ejemplos de una seccin antes de intentar cualquiera de los
ejercicios; los ejemplos se han construido para mostrar lo que
considero son los aspectos ms importantes de la seccin y por tanto,
muestran los procedimientos necesarios para trabajar la mayora de
los problemas de los conjuntos de ejercicios. Yo les digo a mis
estudiantes que cuando lean un ejemplo, cubran su solucin y que
intenten trabajar primero en ella, comparar su respuesta con la
solucin dada y luego resolver cualquier diferencia. He tratado de
incluir lo ms importante de cada ejemplo, pero si algo no es claro
usted podra siempre intentarlo y aqu es donde el papel y el lpiz
entran otra vez complete los detalles o pasos que faltan. Puede no
ser fcil, pero es parte del proceso de aprendizaje. La acumulacin
de hechos seguidos por la lenta asimilacin del entendimiento
simplemente no se puede alcanzar sin luchar. En conclusin, le deseo
buena suerte y xito. Espero disfrute el libro y el curso que est
por iniciar. Cuando era estudiante de la licenciatura en
matemticas, este curso fue uno de mis favoritos porque me gustan
las matemticas que estn conectadas con el mundo fsico. Si tiene
algn comentario o si encuentra algn error cuando lo lea o trabaje
con l o si me quiere hacer llegar una buena idea para mejorar el
libro, por favor pngase en contacto conmigo o con mi editor en la
Compaa editorial Brooks/Cole: [email protected] AL
PROFESOR QU ES LO NUEVO EN ESTA EDICIN? Primero, djeme decirle que
no ha cambiado. El orden del captulo por temas, el nmero y el orden
de las secciones dentro de un captulo, se conservan igual que en
las ediciones anteriores. PREFACIO 08367_00_frontmatter.indd
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13. En caso de que examine este texto por primera vez,
Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera,
7a. edicin, se puede utilizar ya sea para un curso de un semestre
de ecuaciones diferenciales ordinarias o para cubrir un curso de
dos semestres de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.
La versin cor- ta del libro, Ecuaciones diferenciales con
aplicaciones de modelado, 9a. edicin, termina en el captulo 9. Para
un curso de un semestre, supongo que los estudiantes han concluido
con xito al menos un curso de dos semestres de clculo. Puesto que
est leyendo esto, sin duda ya ha examinado la tabla de contenidos
para los temas que cubrir. En este prefacio no encontrar un
programa sugerido. No pretender ser tan sabio como para decir lo
que otros profesores enseen en sus clases. Siento que hay mucho
material aqu para escoger y formar un curso a su gusto. El texto
tiene un equilibrio razonable entre los mtodos analticos,
cualitativos y cuantitativos en el es- tudio de las ecuaciones
diferenciales. Por lo que mi losofa subyacente es Un libro para
estudiantes de licenciatura debera estar escrito considerando
siempre el enten- dimiento del estudiante, lo que signica que el
material debera estar presentado en una forma directa, legible y
til, considerando el nivel terico compatible con la idea de un
primer curso. A las personas familiarizadas con las ediciones
anteriores me gustara mencionar- les algunas de las mejoras hechas
en esta edicin. Problemas aportados Los conjuntos de ejercicios
seleccionados concluyen con uno o dos problemas aportados. Estos
problemas se han probado en clase y los han enviado profesores de
cursos de ecuaciones diferenciales y muestran cmo los profesores
han complementado sus presentaciones de clase con proyectos
adicionales. Ejercicios Un gran nmero de ejercicios se ha
actualizado agregando nuevos problemas para evaluar mejor y
presentarles retos a los estudiantes. De igual forma, se han
mejorado algunos conjuntos de ejercicios quitando algunos pro-
blemas. Diseo Esta edicin se ha mejorado con un diseo a cuatro
colores, lo que le da profundidad de signicado a todas las grcas y
nfasis a frases impor- tantes, supervis la creacin de cada parte de
arte para asegurarme de que est matemticamente correcta conforme al
texto. Nueva numeracin de guras Me tom muchas ediciones hacer esto,
pero nalmente me convenc de que la vieja numeracin de guras,
teoremas y deniciones tena que cambiarse. En esta revisin he
utilizado un sistema de numeracin de doble-decimal. Por ejemplo, en
la ltima edicin la gura 7.52 slo indica que es la 52a. del captulo
7. En esta edicin, la misma gura se numer como la gura 7.6.5 donde
Captulo Seccin 7.6.5d Quinta gura en la seccin Siento que este
sistema proporciona una indicacin clara de dnde estn las cosas, sin
necesidad de agregar el molesto nmero de pgina. Proyectos de
ediciones anteriores Problemas y ensayos seleccionados de edi-
ciones pasadas del libro se pueden encontrar en el sitio web de la
compaa en academic.cengage.com/math/zill RECURSOS PARA LOS
ESTUDIANTES Student Resource and Solutions Manual, de Warren S.
Wright, Dennis G. Zill, y Carol D. Wright (ISBN 0495385662) que
acompaa a Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la
Frontera 7a. edicin, pre- senta repasos del material ms importante
de lgebra y Clculo, las solucio- nes de cada tercer problema de
cada conjunto de ejercicios excepto la dis- xii PREFACIO T T
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14. PREFACIO xiii cusin de problemas y laboratorio de
conjuntacin) los comandos y su sintaxis ms importantes de
Mathematica y Maple, listas de conceptos importantes, as como tiles
sugerencias de cmo empezar ciertos problemas. Las herramientas de
ED (DE tools) son conjuntos de simulaciones que apor- tan una
exploracin visual interactiva de los conceptos presentados en este
texto. Visite academic.cengage.com/math/zill para encontrar ms
recursos, o contacte a los representantes de ventas de su localidad
y pregunte acerca de ms opciones disponibles para el
aprovechamiento DE tools con este libro. MATERIAL DE APOYO PARA EL
PROFESOR Este libro cuenta con una serie de recursos para el
profesor, los cuales estn dis- ponibles en ingls, y slo se
proporciona a los docentes que lo adopten como texto en sus cursos.
Para direcciones de correo electrnico: Cengage Learning Mxico y
Centroamrica [email protected] Cengage Learning Caribe
[email protected] Cengage Learning Cono Sur
[email protected] Colombia
[email protected] El Text Bank, de Gilbert Lewis
(ISBN0495386065) contiene mltiples op- ciones y respuestas cortas a
las cuestiones de las pruebas que se plantean en el texto.
RECONOCIMIENTOS Compilar un libro de texto de matemticas como ste y
asegurarse de que sus miles de smbolos y cientos de ecuaciones estn
(en su mayora) correctos es una enorme tarea, pero puesto que yo me
llamo el autor este es mi trabajo y responsabilidad. Pero muchas
personas adems de m, invirtieron enormes cantidades de tiempo y
energa para lograr por n su publicacin. Entonces me gustara
aprovechar esta oportuni- dad para expresar mi ms sincero aprecio a
cada uno la mayora de ellos no me co- noce en la Compaa Editorial
Brooks/Cole, en Cengage Learning y en Hearthside Publication
Services, quienes estuvieron implicados en la publicacin de esta
nueva edicin. Sin embargo, me gustara seleccionar a unas personas
para un reconocimiento especial: En Brooks/Cole/Cengage, a Cheryll
Linthicum, jefa del proyecto de produc- cin, por su buena voluntad
para escuchar las ideas de autores y contestar paciente- mente las
muchas preguntas de los mismos; a Larry Didona por sus excelentes
diseos de los forros; a Diane Beasley por el diseo interior; a
Vernon Boes por su supervi- sin de todo el arte y el diseo; a
Charlie van Wagner, editor antrin; a Stacy Green por la coordinacin
de todos los suplementos; a Leslie Lahr, editora de desarrollo, por
sus sugerencias, apoyo y por conseguir y organizar los problemas
aportados; y en Hearthside Publication Services, a Anne Seitz,
editora de produccin, quien puso de nuevo todas las piezas del
rompecabezas juntas. Mi ms especial agradecimiento va para John
Samons por el trabajo excepcional que hizo al revisar el texto y
conseguir el manuscrito correcto. Tambin extiendo mi ms sincero
aprecio a aquellas personas que invirtie- ron su tiempo a pesar sus
ocupados horarios acadmicos para enviar un problema aportado. Ben
Fitzpatrick, Loyola Marymount University Layachi Hadji, University
of Alabama Michael Prophet, University of Northern Iowa Doug Shaw,
University of Northern Iowa 08367_00_frontmatter.indd
xiii08367_00_frontmatter.indd xiii 6/4/09 12:29:01 PM6/4/09
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15. Warren S. Wright, Loyola Marymount University David
Zeigler, California State UniversitySacramento Finalmente, conforme
han pasado los aos, estos libros de texto se han mejorado por un
nmero incontable de caminos por las sugerencias y las crticas de
los revisores. As que es justo concluir con un reconocimiento de mi
deuda con las siguientes perso- nas por compartir su maestra y
experiencia. REVISORES DE EDICIONES PASADAS William Atherton,
Cleveland State University Philip Bacon, University of Florida
Bruce Bayly, University of Arizona R. G. Bradshaw, Clarkson College
Decano R. Brown, Youngstown State University David Buchthal,
University of Akron Nguyen P. Cac, University of Iowa T. Chow,
California State University-Sacramento Dominic P. Clemence, North
Carolina Agricultural and Technical State University Pasquale
Condo, University of Massachusetts-Lowell Vincent Connolly,
Worcester Polytechnic Institute Philip S. Crooke, Vanderbilt
University Bruce E. Davis, St. Louis Community College at
Florissant Valley Paul W. Davis, Worcester Polytechnic Institute
Richard A. DiDio, La Salle University James Draper, University of
Florida James M. Edmondson, Santa Barbara City College John H.
Ellison, Grove City College Raymond Fabec, Louisiana State
University Donna Farrior, University of Tulsa Robert E. Fennell,
Clemson University W.E. Fitzgibbon, University of Houston Harvey J.
Fletcher, Brigham Young University Paul J. Gormley, Villanova Terry
Herdman, Virginia Polytechnic Institute and State University
Zdzislaw Jackiewicz, Arizona State University S.K. Jain, Ohio
University Anthony J. John, Southeastern Massachusetts University
David C. Johnson, University of Kentucky-Lexington Harry L.
Johnson, V.P.I & S.U. Kenneth R. Johnson, North Dakota State
University Joseph Kazimir, East Los Angeles College J. Keener,
University of Arizona Steve B. Khlief, Tennessee Technological
University (retired) C.J. Knickerbocker, St. Lawrence University
Carlon A. Krantz, Kean College of New Jersey Thomas G. Kudzma,
University of Lowell G.E. Latta, University of Virginia Cecelia
Laurie, University of Alabama James R. McKinney, California
Polytechnic State University James L. Meek, University of Arkansas
Gary H. Meisters, University of Nebraska-Lincoln Stephen J.
Merrill, Marquette University Vivien Miller, Mississippi State
University Gerald Mueller, Columbus State Community College xiv
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16. Philip S. Mulry, Colgate University C.J. Neugebauer, Purdue
University Tyre A. Newton, Washington State University Brian M.
OConnor, Tennessee Technological University J.K. Oddson, University
of California-Riverside Carol S. ODell, Ohio Northern University A.
Peressini, University of Illinois, Urbana-Champaign J. Perryman,
University of Texas at Arlington Joseph H. Phillips, Sacramento
City College Jacek Polewczak, California State University
Northridge Nancy J. Poxon, California State University-Sacramento
Robert Pruitt, San Jose State University K. Rager, Metropolitan
State College F.B. Reis, Northeastern University Brian Rodrigues,
California State Polytechnic University Tom Roe, South Dakota State
University Kimmo I. Rosenthal, Union College Barbara Shabell,
California Polytechnic State University Seenith Sivasundaram,
Embry-Riddle Aeronautical University Don E. Soash, Hillsborough
Community College F.W. Stallard, Georgia Institute of Technology
Gregory Stein, The Cooper Union M.B. Tamburro, Georgia Institute of
Technology Patrick Ward, Illinois Central College Warren S. Wright,
Loyola Marymount University Jianping Zhu, University of Akron Jan
Zijlstra, Middle Tennessee State University Jay Zimmerman, Towson
University REVISORES DE LAS EDICIONES ACTUALES Layachi Hadji,
University of Alabama Ruben Hayrapetyan, Kettering University
Alexandra Kurepa, North Carolina A&T State University Dennis G.
Zill Los ngeles PREFACIO xv 08367_00_frontmatter.indd
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17. A continuacin, queremos agradecer su apoyo y preferencia a
algunos profesores que son adopters de nuestra obra: NOMBRE DEL
PROFESOR INSTITUCIN Claudia Vernica Martnez Casillas Universidad de
Guadalajara Jess de Dios Snchez Universidad de Guadalajara Rosendo
Martnez Silva Universidad de Guadalajara Jess Ricardo Reyes Ortega
Universidad de Guadalajara Elba Lilia de la Cruz Garca Universidad
de Guadalajara Dalmiro Garca Nava Universidad de Guadalajara
Fernando Elizalde Camino Universidad de Guadalajara William Enrique
Londoo Terwes Universidad de Guadalajara Jos Sols Rodrguez
Universidad de Guadalajara Rosalba Espinoza Snchez Universidad de
Guadalajara Federico Antonio Huerta Cisneros Universidad de
Guadalajara Maria Esther Meja Marn Universidad de Guadalajara
Fernando Renn Gonzlez Sols Universidad de Guadalajara Eloisa
Santiago Hernndez Universidad de Guadalajara Jos Miguel Asuncin
Gutirrez Rocha Universidad de Guadalajara Alexander Yakhno
Universidad de Guadalajara Maria Merced Arriaga Gutirrez
Universidad de Guadalajara Rafael Martn del Campo Amezcua
Universidad de Guadalajara Carlos Alberto Rivera Aguilar
Universidad de Guadalajara Octavio Flores Siordia Universidad de
Guadalajara Cesar Castillo Quevedo Universidad de Guadalajara Cesar
Ascencio Snchez Universidad de Guadalajara Eduardo Palomar Lever
Universidad de Guadalajara Milton Oswaldo Vzquez Lepe Universidad
de Guadalajara Maria Carolina Rodrguez Uribe Universidad de
Guadalajara Luz Maria Ziga Medina Universidad de Guadalajara
Gerardo Agustn Hermosillo Rodrguez Universidad de Guadalajara Jess
Castaeda Contreras Universidad de Guadalajara Roger Chiu Zarate
Universidad de Guadalajara Hctor Prez Ladrn de Guevara Universidad
de Guadalajara Reyes Angulo Cedeo Instituto Tecnolgico y de
Estudios Superiores de Monterrey Campus Guadalajara Luz Maria
Gonzlez Urea Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
Monterrey Campus Guadalajara Javier Quezada Andrade Instituto
Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Guadalajara
Carlos Santilln Verduzco Universidad Panamericana Ignacio Navarro
Ruiz Universidad del Valle de Atemajac Martn Muoz Snchez
Universidad del Valle de Atemajac Norma Elba Espino Rojas
Universidad del Valle de Atemajac Ral Baeza Ornelas Instituto
Tecnolgico de Estudios Superiores de Occidente Francisco Javier
Gonzlez Orozco Instituto Tecnolgico de Estudios Superiores de
Occidente Alberto Arjona Cabrera Instituto Tecnolgico de Estudios
Superiores de Occidente Roberto Langarica Snchez Instituto
Tecnolgico de Estudios Superiores de Occidente Paola Zatarain Gmez
Universidad Autnoma de Guadalajara Mario Mesino Gonzlez Universidad
Autnoma de Guadalajara Ignacio Snchez Ramrez Universidad Autnoma de
Guadalajara Samuel Flores Gonzlez Centro de Enseanza Tcnica
Industrial Alberto Montas Espinosa Centro de Enseanza Tcnica
Industrial Manuel Mrquez Gutirrez Centro de Enseanza Tcnica
Industrial Salvador Cervantes Petersen Instituto Tecnolgico
Superior de Zapopan Evaristo Martnez Maldonado Instituto Tecnolgico
Superior de Zapopan Lucia ngela Navarro Moreno Universidad
Tecnolgica de Guadalajara Emilio Delgado Ornelas Universidad
Tecnolgica de Guadalajara Edgar Lpez Mena Universidad Tecnolgica de
Guadalajara Mario Saldaa Universidad Tecnolgica de Guadalajara
Francisco Carbajal Ramos Universidad Tecnolgica de Guadalajara Luis
Andrs Mejia Universidad Tecnolgica de Guadalajara Jos Jurez Palafox
Instituto Tecnolgico de Morelia Juan Manuel Alanis Gutirrez
Instituto Tecnolgico de Morelia Salvador Aburto Bedolla Instituto
Tecnolgico de Morelia Fabin Ortega Monroy Instituto Tecnolgico de
Morelia Juan Manuel Torres Jasso Instituto Tecnolgico de Morelia
Jos Adalberto Gutirrez Paredes Instituto Tecnolgico de Morelia
Gerardo Hernndez Medina Instituto Tecnolgico de Morelia Francisco
Javier Po Chvez Instituto Tecnolgico Regional de Jiquilpan Irma
Partida Cervantes Instituto Tecnolgico Regional de Jiquilpan Daniel
Barriga Flores Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
Monterrey Campus Morelia Gladis Ileana Tejeda Campos Universidad de
Colima Salvador Gutirrez Moreno Instituto Tecnolgico de Colima
Gracias! Atentamente Cengage Learning Mxico AGRADECIMIENTOS
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18. SPTIMA EDICIN ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas con
valores en la frontera 08367_00_frontmatter.indd
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20. 1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1 Deniciones
y terminologa 1.2 Problemas con valores iniciales 1.3 Ecuaciones
diferenciales como modelos matemticos REPASO DEL CAPTULO 1 Las
palabras ecuaciones y diferenciales ciertamente sugieren alguna
clase de ecuacin que contiene derivadas y, y, . . . Al igual que en
un curso de lgebra y trigonometra, en los que se invierte bastante
tiempo en la solucin de ecuaciones tales como x2 5x 4 0 para la
incgnita x, en este curso una de las tareas ser resolver ecuaciones
diferenciales del tipo y 2y y 0 para la funcin incgnita y (x). Nos
dice algo el prrafo anterior, pero no la historia completa acerca
del curso que est por iniciar. Conforme el curso se desarrolle ver
que hay ms en el estudio de las ecuaciones diferenciales, que
solamente dominar los mtodos que alguien ha inventado para
resolverlas. Pero las cosas en orden. Para leer, estudiar y
platicar de un tema especializado, tiene que aprender la
terminologa de esta disciplina. Esa es la idea de las dos primeras
secciones de este captulo. En la ltima seccin examinaremos
brevemente el vnculo entre las ecuaciones diferenciales y el mundo
real. Las preguntas prcticas como qu tan rpido se propaga una
enfermedad? Qu tan rpido cambia una poblacin? implican razones de
cambio o derivadas. As, la descripcin matemtica o modelo matemtico
de experimentos, observaciones o teoras puede ser una ecuacin
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21. 2 CAPTULO 1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
DEFINICIONES Y TERMINOLOGA REPASO DE MATERIAL Denicin de derivada
Reglas de derivacin Derivada como una razn de cambio Primera
derivada y crecimiento/decrecimiento Segunda derivada y concavidad
INTRODUCCIN La derivada dydx de una funcin y (x) es otra funcin (x)
que se en- cuentra con una regla apropiada. La funcin y = e0.1x2 es
derivable en el intervalo (, ), y usando la regla de la cadena, su
derivada es dydx = 0.2xe0.1x2 . Si sustituimos e0.1x2 en el lado
derecho de la ultima ecuacin por y, la derivada ser . dy dx 0.2xy
(1) Ahora imaginemos que un amigo construy su ecuacin (1); usted no
tiene idea de cmo la hizo y se pregunta cul es la funcin
representada con el smbolo y? Se est enfrentando a uno de los
problemas bsicos de este curso: Cmo resolver una ecuacin para la
funcin desconocida y (x)? 1.1 UNA DEFINICIN La ecuacin (1) es
llamada ecuacin diferencial. Antes de pro- seguir, consideremos una
denicin ms exacta de este concepto. DEFINICIN 1.1.1 Ecuacin
diferencial Una ecuacin que contiene derivadas de una o ms
variables respecto a una o ms variables independientes, se dice que
es una ecuacin diferencial (ED). Para hablar acerca de ellas
clasicaremos a las ecuaciones diferenciales por tipo, orden y
linealidad. CLASIFICACIN POR TIPO Si una ecuacin contiene slo
derivadas de una o ms variables dependientes respecto a una sola
variable independiente se dice que es una ecuacin diferencial
ordinaria (EDO). Por ejemplo, Una ED puede contener ms de una
variable dependiente, dy dx 5y ex , d2 y dx2 dy dx 6y 0, y dx dt dy
dt 2x y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuacin
que involucra derivadas par- ciales de una o ms variables
dependientes de dos o ms variables independientes se llama ecuacin
diferencial parcial (EDP). Por ejemplo,
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22. 2 u x2 2 u y2 0, 2 u x2 2 u t2 2 u t , y u y v x (3) son
ecuaciones diferenciales parciales.* En todo el libro las derivadas
ordinarias se escribirn usando la notacin de Leibniz dydx, d2 ydx2
, d3 ydx3 , . . . o la notacin prima y, y, y, . . . . Usando esta
ltima notacin, las primeras dos ecuaciones diferenciales en (2) se
pueden escribir en una forma un poco ms compacta como y 5y ex y y y
6y 0. Realmente, la notacin prima se usa para denotar slo las
primeras tres derivadas: la cuarta derivada se denota y(4) en lugar
de y. En general, la n-sima derivada de y se escribe como dn ydxn o
y(n) . Aunque es menos conveniente para escribir o componer
tipogrcamente, la no- tacin de Leibniz tiene una ventaja sobre la
notacin prima en que muestra claramente ambas variables, las
dependientes y las independientes. Por ejemplo, en la ecuacin d2x
dt2 16x 0 funcin incgnita o variable dependiente variable
independiente se ve inmediatamente que ahora el smbolo x representa
una variable dependiente, mientras que la variable independiente es
t. Tambin se debe considerar que en ingenie- ra y en ciencias
fsicas, la notacin de punto de Newton (nombrada despectivamente
notacin de puntito) algunas veces se usa para denotar derivadas
respecto al tiem- po t. As la ecuacin diferencial d2 sdt2 32 ser s
32. Con frecuencia las derivadas parciales se denotan mediante una
notacin de subndice que indica las va- riables independientes. Por
ejemplo, con la notacin de subndices la segunda ecuacin en (3) ser
uxx utt 2ut . CLASIFICACIN POR ORDEN El orden de una ecuacin
diferencial (ya sea EDO o EDP) es el orden de la mayor derivada en
la ecuacin. Por ejemplo, primer ordensegundo orden 5( )3 4y ex dy
dx d2y dx2 es una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden.
Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden algunas
veces son escritas en la forma diferencial M(x, y)dx N(x, y) dy 0.
Por ejemplo, si suponemos que y denota la variable dependiente en
(y x) dx 4xdy 0, entonces y dydx, por lo que al dividir entre la
diferencial dx, obtenemos la forma alterna 4xy y x. Vanse los
Comentarios al nal de esta seccin. Simblicamente podemos expresar
una ecuacin diferencial ordinaria de n-simo orden con una variable
dependiente por la forma general ,F(x, y, y , . . . , y(n) ) 0 (4)
donde F es una funcin con valores reales de n 2 variables: x, y, y,
, y(n) . Por ra- zones tanto prcticas como tericas, de ahora en
adelante supondremos que es posible resolver una ecuacin
diferencial ordinaria en la forma de la ecuacin (4) nicamente para
la mayor derivada y(n) en trminos de las n 1 variables restantes. *
Excepto esta seccin de introduccin, en Un primer curso de
ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, novena
edicin, slo se consideran ecuaciones diferenciales ordinarias. En
ese libro la palabra ecuacin y la abreviatura ED se reere slo a las
EDO. Las ecuaciones diferenciales parciales o EDP se consideran en
el volumen ampliado Ecuaciones diferenciales con problemas con
valores en la frontera. sptima edicin. 1.1 DEFINICIONES Y
TERMINOLOGA 3 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd
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23. 4 CAPTULO 1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES La
ecuacin diferencial , dn y dxn f(x, y, y , . . . , y(n 1) ) (5)
donde f es una funcin continua con valores reales, se conoce como
la forma normal de la ecuacin (4). As que cuando sea adecuado para
nuestros propsitos, usaremos las formas normales dy dx f (x, y) y
d2 y dx2 f(x, y, y ) para representar en general las ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. Por ejemplo, la
forma normal de la ecuacin de primer orden 4xy y x es y (x y)4x; la
forma normal de la ecuacin de segundo orden y y 6y 0 es y y 6y.
Vanse los Comentarios. CLASIFICACIN POR LINEALIDAD Una ecuacin
diferencial de n-simo orden (4) se dice que es lineal si F es
lineal en y, y, . . . , y(n) . Esto signica que una EDO de n-simo
orden es lineal cuando la ecuacin (4) es an (x)y(n) an1 (x)y(n1) a1
(x)y a0 (x)y g(x) 0 o .an(x) dn y dxn an 1(x) dn 1 y dxn 1 a1(x) dy
dx a0(x)y g(x) (6) Dos casos especiales importantes de la ecuacin
(6) son las ED lineales de primer orden (n 1) y de segundo orden (n
2): .a1(x) dy dx a0(x)y g(x) y a2(x) d2 y dx2 a1(x) dy dx a0(x)y
g(x) (7) En la combinacin de la suma del lado izquierdo de la
ecuacin (6) vemos que las dos propiedades caractersticas de una EDO
son las siguientes: La variable dependiente y y todas sus derivadas
y, y, . . . , y(n) son de primer grado, es decir, la potencia de
cada trmino que contiene y es igual a 1. Los coecientes de a0 , a1
, . . . , an de y, y, . . . , y(n) dependen a lo ms de la variable
independiente x. Las ecuaciones (y x)dx 4x dy 0, y 2y y 0, y d3 y
dx3 x dy dx 5y ex son, respectivamente, ecuaciones diferenciales de
primer, segundo y tercer orden. Aca- bamos slo de mostrar que la
primera ecuacin es lineal en la variable y cuando se escribe en la
forma alternativa 4xy y x. Una ecuacin diferencial ordinaria no
lineal es sim- plemente no lineal. Funciones no lineales de la
variable dependiente o de sus derivadas, tales como sen y o ey , no
se pueden presentar en una ecuacin lineal. Por tanto trmino no
lineal: coeficiente depende de y trmino no lineal: funcin no lineal
de y trmino no lineal: el exponente es diferente de 1 (1 y)y 2y ex,
sen y 0, y d2y dx2 y2 0 d4y dx4 son ejemplos de ecuaciones
diferenciales ordinarias no lineales de primer, segundo y cuarto
orden respectivamente. SOLUCIONES Como ya se ha establecido, uno de
los objetivos de este curso es resolver o encontrar soluciones de
ecuaciones diferenciales. En la siguiente denicin consideramos el
concepto de solucin de una ecuacin diferencial ordinaria.
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24. DEFINICIN 1.1.2 Solucin de una EDO Cualquier funcin ,
denida en un intervalo I y que tiene al menos n deriva- das
continuas en I, las cuales cuando se sustituyen en una ecuacin
diferencial ordinaria de n-simo orden reducen la ecuacin a una
identidad, se dice que es una solucin de la ecuacin en el
intervalo. En otras palabras, una solucin de una ecuacin
diferencial ordinaria de n-simo orden (4) es una funcin que posee
al menos n derivadas para las que F(x, (x), (x), . . . , (n) (x)) 0
para toda xen I. Decimos que satisface la ecuacin diferencial en I.
Para nuestros propsitos supondremos que una solucin es una funcin
con valores reales. En nuestro anlisis de introduccin vimos que y =
e0.1x2 es una solucin de dydx 0.2xy en el intervalo (, ).
Ocasionalmente ser conveniente denotar una solucin con el smbolo
alternativo y(x). INTERVALO DE DEFINICIN No podemos pensar en la
solucin de una ecuacin diferencial ordinaria sin simultneamente
pensar en un intervalo. El intervalo I en la de- nicin 1.1.2 tambin
se conoce con otros nombres como son intervalo de denicin, in-
tervalo de existencia, intervalo de validez, o dominio de la
solucin y puede ser un intervalo abierto (a, b), un intervalo
cerrado [a, b], un intervalo innito (a, ), etctera. EJEMPLO 1
Vericacin de una solucin Verique que la funcin indicada es una
solucin de la ecuacin diferencial dada en el intervalo (, ). a) dy
dx xy ; y 1 16 1 2 x4 b) y 2y y 0; y xex SOLUCIN Una forma de
vericar que la funcin dada es una solucin, es ver, una vez que se
ha sustituido, si cada lado de la ecuacin es el mismo para toda x
en el intervalo. a) De lado derecho: xy1/2 x 1 16 x4 1/2 x 1 4 x2 1
4 x3 , lado izquierdo: dy dx 1 16 (4 x3 ) 1 4 x3 , vemos que cada
lado de la ecuacin es el mismo para todo nmero real x. Observe que
y1/2 1 4 x2 es, por denicin, la raz cuadrada no negativa de 1 16 x4
. b) De las derivadas y xex ex y y xex 2ex tenemos que para todo
nmero real x, lado derecho: .0 lado izquierdo: y 2y y (xex 2ex )
2(xex ex ) xex 0, En el ejemplo 1, observe tambin, que cada ecuacin
diferencial tiene la solucin constante y 0, x . Una solucin de una
ecuacin diferencial que es igual a cero en un intervalo I se dice
que es la solucin trivial. CURVA SOLUCIN La grca de una solucin de
una EDO se llama curva solucin. Puesto que es una funcin derivable,
es continua en su intervalo de de- 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGA 5
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25. 6 CAPTULO 1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
nicin I. Puede haber diferencia entre la grca de la funcin y la
grca de la solucin . Es decir, el dominio de la funcin no necesita
ser igual al intervalo de denicin I (o dominio) de la solucin . El
ejemplo 2 muestra la diferencia. EJEMPLO 2 Funcin contra solucin El
dominio de y 1x, considerado simplemente como una funcin, es el
conjunto de todos los nmeros reales x excepto el 0. Cuando trazamos
la grca de y 1x, dibuja- mos los puntos en el plano xy
correspondientes a un juicioso muestreo de nmeros toma- dos del
dominio. La funcin racional y 1x es discontinua en x 0, en la gura
1.1.1a se muestra su grca, en una vecindad del origen. La funcin y
1x no es derivable en x 0, ya que el eje y (cuya ecuacin es x 0) es
una asntota vertical de la grca. Ahora y 1x es tambin una solucin
de la ecuacin diferencial lineal de primer orden xy y 0
(Compruebe). Pero cuando decimos que y 1x es una solucin de esta
ED, signica que es una funcin denida en un intervalo I en el que es
derivable y satisface la ecuacin. En otras palabras, y 1x es una
solucin de la ED en cualquier intervalo que no contenga 0, tal como
(3, 1), (1 2 , 10), (, 0), o (0, ). Porque las curvas solucin
denidas por y 1x para 3 x 1 y 1 2 x 10 son simple- mente tramos, o
partes, de las curvas solucin denidas por y 1x para x 0 y 0 x ,
respectivamente, esto hace que tenga sentido tomar el intervalo I
tan grande como sea posible. As tomamos I ya sea como (, 0) o (0,
). La curva so- lucin en (0, ) es como se muestra en la gura
1.1.1b. SOLUCIONES EXPLCITAS E IMPLCITAS Usted debe estar
familiarizado con los trminos funciones explcitas y funciones
implcitas de su curso de clculo. Una solucin en la cual la variable
dependiente se expresa slo en trminos de la variable independiente
y las constantes se dice que es una solucin explcita. Para nuestros
propsitos, consideremos una solucin explcita como una frmula
explcita y (x) que podamos manejar, evaluar y derivar usando las
reglas usuales. Acabamos de ver en los dos ltimos ejemplos que y 1
16 x4, y xex , y y 1x son soluciones explci- tas, respectivamente,
de dydx xy1/2 , y 2y y 0, y xy y 0. Adems, la solucin trivial y 0
es una solucin explcita de cada una de estas tres ecuaciones.
Cuando lleguemos al punto de realmente resolver las ecuaciones
diferenciales ordi- narias veremos que los mtodos de solucin no
siempre conducen directamente a una solucin explcita y (x). Esto es
particularmente cierto cuando intentamos resolver ecuaciones
diferenciales de primer orden. Con frecuencia tenemos que
conformarnos con una relacin o expresin G(x, y) 0 que dene una
solucin . DEFINICIN 1.1.3 Solucin implcita de una EDO Se dice que
una relacin G(x, y) 0 es una solucin implcita de una ecuacin
diferencial ordinaria (4) en un intervalo I, suponiendo que existe
al menos una funcin que satisface la relacin as como la ecuacin
diferencial en I. Est fuera del alcance de este curso investigar la
condicin bajo la cual la relacin G(x, y) 0 dene una funcin
derivable . Por lo que supondremos que si implemen- tar formalmente
un mtodo de solucin nos conduce a una relacin G(x, y) 0, enton- ces
existe al menos una funcin que satisface tanto la relacin (que es
G(x, (x)) 0) como la ecuacin diferencial en el intervalo I. Si la
solucin implcita G(x, y) 0 es bastante simple, podemos ser capaces
de despejar a y en trminos de x y obtener una o ms soluciones
explcitas. Vanse los Comentarios. 1 x y 1 a) funcin y 1/x, x 0 b)
solucin y 1/x, (0, ) 1 x y 1 FIGURA 1.1.1 La funcin y 1x no es la
misma que la solucin y 1x 08367_01_ch01_p001-033-ok.indd
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26. EJEMPLO 3 Comprobacin de una solucin implcita La relacin x2
y2 25 es una solucin implcita de la ecuacin diferencial dy dx x y
(8) en el intervalo abierto (5, 5). Derivando implcitamente
obtenemos . d dx x2 d dx y2 d dx 25 o 2x 2y dy dx 0 Resolviendo la
ltima ecuacin para dydx se obtiene (8). Adems, resolviendo x2 y2 25
para y en trminos de x se obtiene y 225 x2 . Las dos funciones 2(x)
125 x2y 1(x) 125 x2 y y satisfacen la relacin (que es, x2 1 2 25) y
x2 2 2 25) y son las soluciones explcitas denidas en el inter- valo
(5, 5). Las curvas solucin dadas en las guras 1.1.2b y 1.1.2c son
tramos de la grca de la solucin implcita de la gura 1.1.2a.
Cualquier relacin del tipo x2 y2 c 0 formalmente satisface (8) para
cual- quier constante c. Sin embargo, se sobrentiende que la
relacin siempre tendr sentido en el sistema de los nmeros reales;
as, por ejemplo, si c 25, no podemos decir que x2 y2 25 0 es una
solucin implcita de la ecuacin. (Por qu no?) Debido a que la
diferencia entre una solucin explcita y una solucin implcita debera
ser intuitivamente clara, no discutiremos el tema diciendo siempre:
Aqu est una solucin explcita (implcita). FAMILIAS DE SOLUCIONES El
estudio de ecuaciones diferenciales es similar al del clculo
integral. En algunos libros una solucin es algunas veces llamada
inte- gral de la ecuacin y su grca se llama curva integral. Cuando
obtenemos una anti- derivada o una integral indenida en clculo,
usamos una sola constante c de integra- cin. De modo similar,
cuando resolvemos una ecuacin diferencial de primer orden F(x, y,
y) 0, normalmente obtenemos una solucin que contiene una sola
constante arbitraria o parmetro c. Una solucin que contiene una
constante arbitraria representa un conjunto G(x, y, c) 0 de
soluciones llamado familia de soluciones uniparam- trica. Cuando
resolvemos una ecuacin diferencial de orden n, F(x, y, y, . . . ,
y(n) ) 0, buscamos una familia de soluciones n-paramtrica G(x, y,
c1 , c2 , . . . , cn ) 0. Esto signica que una sola ecuacin
diferencial puede tener un nmero innito de solu- ciones
correspondiendo a un nmero ilimitado de elecciones de los
parmetros. Una solucin de una ecuacin diferencial que est libre de
la eleccin de parmetros se llama solucin particular. Por ejemplo,
la familia uniparamtrica y cx x cos x es una solucin explcita de la
ecuacin lineal de primer orden xy y x2 sen x en el intervalo (, )
(Compruebe). La gura 1.1.3 que se obtuvo usando un paquete
computacional de trazado de grcas, muestra las grcas de algunas de
las solu- ciones en esta familia. La solucin y x cos x, la curva
azul en la gura, es una solucin particular correspondiente a c 0.
En forma similar, en el intervalo (, ), y c1 ex c2 xex es una
familia de soluciones de dos parmetros de la ecuacin lineal de
segundo orden y 2y y 0 del ejemplo 1 (Compruebe). Algunas
soluciones particulares de la ecuacin son la solucin trivial y 0
(c1 c2 0), y xex (c1 0, c2 1), y 5ex 2xex (c1 5, c2 2), etctera.
Algunas veces una ecuacin diferencial tiene una solucin que no es
miembro de una familia de soluciones de la ecuacin, esto es, una
solucin que no se puede obtener usando un parmetro especco de la
familia de soluciones. Esa solucin extra se llama solucin singular.
Por ejemplo, vemos que y 1 16 x4 y y 0 son soluciones de la ecua-
cin diferencial dydx xy1/2 en (, ). En la seccin 2.2 demostraremos,
al resol- verla realmente, que la ecuacin diferencial dydx xy1/2
tiene la familia de solucio- nes uniparamtrica y (1 4 x2 c)2 .
Cuando c 0, la solucin particular resultante es y 1 16 x4 . Pero
observe que la solucin trivial y 0 es una solucin singular, ya que
y x 5 5 y x 5 5 y x 5 5 5 a) solucin implcita x2 y2 25 b) solucin
explcita y1 25 x2 , 5 x 5 c) solucin explcita y2 25 x2 , 5 x 5
FIGURA 1.1.2 Una solucin implcita de dos soluciones explcitas de y
xy. FIGURA 1.1.3 Algunas soluciones de xy y x2 sen x. y x c>0
c